DE602004008332T2

DE602004008332T2 - Zahnradzahnprofilkrümmung

Info

Publication number: DE602004008332T2
Application number: DE602004008332T
Authority: DE
Inventors: John R. St. Albert COLBOURNE
Original assignee: Genesis Partners LP
Current assignee: Genesis Partners LP
Priority date: 2003-12-18
Filing date: 2004-12-16
Publication date: 2008-05-21
Anticipated expiration: 2024-12-17
Also published as: WO2005060650A2; ES2293381T3; JP2007514911A; DK1694986T3; JP4800220B2; CA2548107A1; KR20070037433A; CN1898486A; WO2005060650A3; WO2005060650B1; ATE370356T1; EP1694986A4; DE602004008332D1; EP1694986A2; BRPI0417745A; AU2004305064A1; US20050132836A1; EP1694986B1; US7077026B2

Description

QUERVERWEIS AUF VERWANDTE ANMELDUNGEN
Diese Anmeldung bezieht sich auf die vorläufige US-Patentanmeldung Nr. 60/530,752, die am 18. Dezember 1003 eingereicht wurde.
HINTERGRUND DER ERFINDUNG
Die vorliegende Erfindung betrifft die Konstruktion von Profilen von konjugierten Zahnrädern. Insbesondere betrifft die vorliegende Erfindung die Konstruktion von Profilen von konjugierten Zahnrädern mit einer Relativkrümmung, die eine Funktion der Übersetzung, des Zahnbreitenfaktors, des Achsabstands und der Grenzbelastungen ist, gemäß dem Oberbegriff der Ansprüche 1, 11, 21, 23 und wie in dem Dokument WO 03/089174 A beschrieben.
In dem US-Patent 61019892 , auf dessen Inhalt hiermit verwiesen wird, sind drei Verfahren zum Spezifizieren der Krümmungen von konjugierten Zahnprofilen beschrieben. Wenn s, Φ die Polarkoordinaten von Punkten an der Berührungsbahn sind und wenn p1, p2 die Krümmungsradien des Profils an den entsprechenden Punkten an den Zahnprofilen sind, lassen sich diese Verfahren wie folgt angeben: 1/ρ1 + 1/ρ2 = Konstante (1) (1/ρ1 + 1/ρ2)/cosΦ = Konstante (2) ⨍(s, Φ, ρ1, ρ2) = Konstante (3)
Das erste Verfahren kann als konstante Relativkrümmung bezeichnet werden. Das zweite Verfahren ist für Stirnräder geeignet und dafür vorgesehen, für eine konstante Kontaktbelastung zu sorgen. Bei dem dritten Verfahren kann f eine beliebige Funktion sein, die von Konstrukteuren von Zahnprofilen spezifiziert wird. Wenn bei konventionellen Zahnrädern wie beispielsweise Zahnrädern mit Evolventenverzahnung die Laststärke bekannt ist, d.h. die Zahnkraft pro Längeneinheit der Berührungskurve, dann können beide Belastungen durch konventionelle, hinreichend bekannte Verfahren ermittelt werden.
Das Ermitteln der Laststärke für ein gegebenes Drehmoment ist bei Convoloid-Zahnrädern schwieriger als bei Evolventen-Zahnrädern. Bei einem Evolventen-Zahnradpaar sind die Berührungskurven gerade Linien, und an jedem Punkt einer Berührungslinie liegt die Normale zu den Zahnoberflächenpunkten in der gleichen Richtung, so dass die Laststärke für ein gegebenes Drehmoment umgekehrt proportional zu der Gesamtlänge der Berührungslinien ist. Die maximale Laststärke lässt sich ermitteln, wenn die Gesamtlänge der Berührungslinien ein Minimum ist, und dies findet statt, wenn eine Berührungslinie durch eine Ecke des Kontaktbereichs hindurch verläuft.
Bei einem Convoloid-Zahnradpaar dagegen sind die Berührungskurven nicht exakt geradlinig, die Normalen weisen nicht in exakt die gleiche Richtung, und die Berührungskurven sind unterbrochen, wo sie die Übergangszone kreuzen. Daher ist die Laststärke nicht umgekehrt proportional zu der Gesamtlänge der Berührungskurven, und die Position der Berührungskurven bei maximaler Laststärke ist nicht bekannt.
Es ist daher wünschenswert, Convoloid-Zahnradpaare derart auszubilden, dass sie eine Krümmung aufweisen, bei der die Maximalbelastungen an die Grenzbelastungen heranreichen, diese jedoch nicht überschreiten.
KURZE ZUSAMMENFASSUNG DER ERFINDUNG

Kurz zusammengefasst ist eine Ausführungsform der vorliegenden Erfindung auf ein Zahnradsystem gerichtet, das ein Ritzel und ein Gegenrad umfasst. Das Ritzel hat eine Ritzelzähnezahl (N₁), einen Ritzel-Teilkreisradius (R_p1) und eine erste Vielzahl von Zähnen, wovon jeder Zahn ein erstes Zahnprofil aufweist. Das Gegenrad hat eine Gegenradzähnezahl (N₂), einen Gegenrad-Teilkreisradius (R_p2) und eine zweite Vielzahl von Zähnen, wovon jeder Zahn ein zweites Zahnprofil aufweist. Das Ritzel und das Gegenrad bilden ein Zahnradpaar mit einer Übersetzung (m_G) gleich N₂/N₁, einer Zahnbreite (F_w) und einem Zahnbreitenfaktor (f_w) gleich (2·R_p2)/F_w. Die Relativkrümmung des ersten Zahnprofils und des zweiten Zahnprofils ist ein Vielfaches einer Referenz-Relativkrümmung (K_ref), wobei das Vielfache definiert wird durch den Ausdruck K_m·K_ref, wobei

und K_m ein Relativkrümmungs-Multiplikator ist, der größer als a_i,j – δ und kleiner als a_i,j + 2δ ist, wobei δ zwischen 0 und etwa 0,15 liegt und a_i,j definiert wird durch ein vorgegebenes Verhältnis zwischen der Übersetzung (m_G) und dem Zahnbreitenfaktor (f_w). Das vorgegebene Verhältnis entspricht zumindest einem Relativkrümmungs-Multiplikatorwert in einer Relativkrümmungs-Multiplikatorwertetabelle mit den folgenden Eigenschaften: Zahnbreitenfaktor (f_w)

	4,0	5,0	6,0
Übersetzung (m_G)
1,0	0,41	0,40	0,39
1,5	0,43	0,41	0,40
2,0	0,43	0,43	0,41
2,5	0,48	0,45	0,41
3,0	0,48	0,48	0,48
4,0	0,48	0,48	0,48
6,0	0,46	0,46	0,46
16,0	0,43	0,43	0,43

Eine weitere Ausführungsform der vorliegenden Erfindung ist auf ein Zahnradsystem gerichtet, das ein Ritzel und ein Gegenrad umfasst. Das Ritzel hat eine Ritzelzähnezahl (N₁), einen Ritzel-Teilkreisradius (R_p1) und eine erste Vielzahl von Zähnen, wovon jeder Zahn ein erstes Zahnprofil aufweist. Das Gegenrad hat eine Gegenradzähnezahl (N₂), einen Gegenrad-Teilkreisradius (R_p2) und eine zweite Vielzahl von Zähnen, wovon jeder Zahn ein zweites Zahnprofil aufweist. Das Ritzel und das Gegenrad bilden ein Zahnradpaar mit einem Achsabstand (C) gleich (R_p1 + R_p2), einer Übersetzung (m_G) gleich N₂/N₁, einer Zahnbreite (F_w) und einem Zahnbreitenfaktor (f_w) gleich (2·R_p2)/F_w. Die Relativkrümmung des ersten Zahnprofils und des zweiten Zahnprofils wird gegeben durch den Ausdruck k_c·F_c, wobei F_c eine Relativ-Referenzkrümmungsfunktion ist, die durch den Ausdruck F_c = (N₁ + N₂)²/(N₁·N₂·C) definiert wird, und wobei k_c ein Relativkrümmungsmultiplikator ist, der größer als b_i,j – δ und kleiner als b_i,j + 2δ ist, wobei δ zwischen 0 und etwa 0,439 liegt und b_i,j definiert wird durch ein vorgegebenes Verhältnis zwischen der Übersetzung (m_G) und dem Zahnbreitenfaktor (f_w). Das vorgegebene Verhältnis entspricht zumindest einem Relativkrümmungs-Multiplikatorwert in einer Relativkrümmungs-Multiplikatorwertetabelle mit den folgenden Eigenschaften: Zahnbreitenfaktor (f_w)

	4,0	5,0	6,0
Übersetzung (m_G)
1,0	1,199	1,170	1,140
1,5	1,257	1,199	1,170
2,0	1,257	1,257	1,199
2,5	1,403	1,316	1,199
3,0	1,403	1,403	1,286
4,0	1,403	1,403	1,403
6,0	1,345	1,345	1,345
16,0	1,257	1,257	1,257

Eine weitere Ausführungsform der vorliegenden Erfindung ist auf ein Zahnradsystem gerichtet, mit einer vorgegebenen Übersetzung (m_G), einem vorgegebenen Achsabstand (C), einer vorgegebenen Zahnbreite (F_w) und vorgegebenen Grenzbelastungen. Das Zahnradsystem umfasst ein Ritzel und ein Gegenrad. Das Ritzel hat eine Ritzelzähnezahl (N₁) und eine erste Vielzahl von Zähnen, wovon jeder Zahn ein erstes Zahnprofil aufweist. Das Gegenrad hat eine Gegenradzähnezahl (N₂), die die Gleichung N₂ = m_G·N₁ erfüllt, und eine zweite Vielzahl von Zähnen, wovon jeder Zahn ein zweites Zahnprofil aufweist. Das Ritzel und das Gegenrad bilden ein Zahnradpaar mit einem Zahnbreitenfaktor (f_w) gleich (2·N₂·C)/((N₁ + N₂)·F_w). Die Relativkrümmung des ersten Zahnprofils und des zweiten Zahnprofils ist ein Vielfaches einer Referenz-Relativkrümmung (K_ref), wobei das Vielfache angegeben wird den Ausdruck K_m·K_ref, wobei die Relativkrümmung des ersten Zahnprofils und des zweiten Zahnprofils angegeben wird durch den Ausdruck kc·F_c, wobei F_c eine Relativ-Referenzkrümmungsfunktion ist, die durch den Ausdruck F_c = (N₁ + N₂)²/(N₁·N₂·C) angegeben wird, und wobei k_c ein Relativkrümmungsmultiplikator ist, wobei k_c durch ein Verfahren be stimmt wird, das die folgenden Schritte umfasst: (a) Bestimmen einer Vielzahl von Laststärken für ein vorgegebenes Eingangsdrehmoment, wobei jeder Laststärke eine einmalige Winkelposition einer Vielzahl von Winkelpositionen des Ritzels zugeordnet ist, wobei die Vielzahl von Winkelpositionen einen Teilwinkel des Ritzels überspannt, wobei jede Laststärke auf einem Versuchs-Relativkrümmungsmultiplikator (k'_c) basiert; (b) Bestimmen einer Vielzahl von Zahnbelastungen entsprechend einer größten Laststärke der Vielzahl von Laststärken; (c) Skalieren der größten Laststärke auf eine skalierte Laststärke, derart, dass eine Zahnbelastung der Vielzahl von Zahnbelastungen sich einer der vorgegebenen Grenzbelastungen nähert; (d) Bestimmen eines Grenzdrehmoments entsprechend der skalierten Laststärke; und (e) Wiederholen der Schritte (a)–(d) für eine Vielzahl von Versuchs-Relativkrümmungsmultiplikatoren (k'_c) innerhalb eines vorgegebenen Bereichs von Versuchs-Relativkrümmungsmultiplikatorwerten und Wählen des Versuchs-Relativkrümmungsmultiplikators (k'_c), der dem Grenzdrehmoment mit dem größten Wert entspricht, als Relativkrümmungsmultiplikator (k_c).
Eine weitere bevorzugte Ausführungsform der vorliegenden Erfindung ist ein Zahnradsystem mit einer vorgegebenen Übersetzung (m_G), einem vorgegebenen Achsabstand (C), einer vorgegebenen Zahnbreite (F_w) und vorgegebenen Grenzbelastungen. Das Zahnradsystem umfasst ein Ritzel und ein Gegenrad. Das Ritzel hat eine Ritzelzähnezahl (N₁) und eine erste Vielzahl von Zähnen, wovon jeder Zahn ein erstes Zahnprofil aufweist. Das Gegenrad hat eine Gegenradzähnezahl (N₂), die die Gleichung N₂ = m_G·N₁ erfüllt, und eine zweite Vielzahl von Zähnen, wovon jeder Zahn ein zweites Zahnprofil aufweist Das Ritzel und das Gegenrad bilden ein Zahnradpaar mit einem Zahnbreitenfaktor (f_w) gleich (2·N₂·C)/((N₁ + N₂)·F_w) Die Relativkrümmung des ersten Zahnprofils und des zweiten Zahnprofils wird angegeben durch einen Ausdruck k_c·F_c, wobei F_c, eine Relativ-Referenzkrümmungsfunktion ist, die durch den Ausdruck F_c = (N₁ + N₂)²/(N₁·N₂·C) angegeben wird, und wobei k_c ein Relativkrümmungsmultiplikator ist, der eine Funktion der Übersetzung (m_G), des Zahnbreitenfaktors (f_w), des Achsabstands (C) und einer der Grenzbelastungen ist.
KURZE BESCHREIBUNG DER VERSCHIEDENEN ZEICHNUNGSANSICHTEN
Die vorstehende Zusammenfassung sowie die folgende Detailbeschreibung der Erfindung sind besser verständlich, wenn sie im Zusammenhang mit den anliegenden Zeichnungen gelesen werden. Zum Zweck der Darstellung der Erfindung sind in den Zeichnungen derzeit bevorzugte Ausführungsformen gezeigt. Dabei versteht sich, dass die Erfindung nicht auf die dargestellten präzisen Anordnungen und Durchführungen beschränkt ist.
In den Zeichnungen zeigt:
1 eine Ansicht in einer transversalen Ebene der Zahnradprofile eines mit einem Gegenradzahn gepaarten Ritzelzahns gemäß einer bevorzugten Ausführungsform der vorliegenden Erfindung;
1A eine vergrößerte Ansicht der Übergangszonen in 1;
2 ein Diagramm eines bevorzugten Verfahrens zum Bestimmen des Relativkrümmungsmultiplikators für die Relativkrümmung des ersten und des zweiten Zahnprofils des Ritzels und des Gegenrads von 1.
DETAILBESCHREIBUNG DER ERFINDUNG
In den 1–1A sind in einer transversalen Ebene die Zahnradzahnprofile eines allgemein mit Bezugsziffer 10 gekennzeich neten Zahnradsystems gezeigt, wobei das Zahnradsystem im Folgenden als erfindungsgemäßes Zahnradsystem 10 bezeichnet wird.
Eine bevorzugte Ausführungsform des Zahnradsystems 10 mit einer Relativkrümmung in Übereinstimmung mit der vorliegenden Erfindung umfasst ein Ritzel 100 und ein Gegenrad 200. Das Ritzel 100 hat eine erste Vielzahl von Zähnen. Jeder Zahn der ersten Vielzahl von Zähnen hat ein erstes Zahnprofil 102. Das erste Zahnprofil 102 hat eine Mittellinie 104 des ersten Zahnprofils und schneidet einen Ritzel-Teilkreis 106 an einem Teilungspunkt 108 des ersten Zahnprofils. Der Ritzel-Teilkreis 106 hat einen Ritzel-Teilkreisradius (R_p1). Das erste Zahnprofil 102 umfasst eine erste Übergangszone 140, die sich zwischen einem innerhalb der Fußhöhe 130 des Ritzels 100 liegenden ersten konkaven Bereich 134 und einem innerhalb der Kopfhöhe 120 des Ritzels 100 liegenden ersten konvexen Bereich 124 befindet. Das Ritzel 100 hat eine Ritzelzähnezahl (N₁), die der Anzahl von Zähnen in der ersten Vielzahl von Zähnen entspricht.
Das Gegenrad 200 hat eine zweite Vielzahl von Zähnen. Jeder Zahn der zweiten Vielzahl von Zähnen hat ein zweites Zahnprofil 202. Das zweite Zahnprofil 202 hat eine Mittelachse 204 des zweiten Zahnprofils und schneidet einen Gegenrad-Teilkreis 206 an dem Teilungspunkt 208 des zweiten Zahnprofils. Der Gegenrad-Teilkreis 206 hat einen Gegenrad-Teilkreisradius (R_p2). Das zweite Zahnprofil 202 hat eine zweite Übergangszone 240, die sich zwischen einem innerhalb der Fußhöhe 230 des Gegenrads 200 liegenden zweiten konkaven Bereich 234 und einem innerhalb der Kopfhöhe 220 des Gegenrads 200 liegenden zweiten konvexen Bereich 224 befindet. Der zweite konkave Bereich 234 ist zu dem ersten konvexen Bereich 124 des ersten Zahnprofils 102 der ersten Vielzahl von Zähnen des Ritzels 100 konjugiert. Der zweite konvexe Bereich 224 ist zu dem ersten konkaven Bereich 134 des ersten Zahnprofils 102 der ersten Vielzahl von Zähnen des Ritzels 100 konjugiert. Das Gegenrad 200 hat eine Gegenrad zähnezahl (N₂) entsprechend der Anzahl von Zähnen in der zweiten Vielzahl von Zähnen.
Das Ritzel 100 und das Gegenrad 200 bilden ein Zahnradpaar mit einer Übersetzung (m_G) gleich N₂/N₁, einem Achsabstand C, einer Zahnbreite (F_w) und einem Zahnbreitenfaktor (f_w) gleich (2·R_p2)/F_w.
Die Relativkrümmung für das erste und das zweite Zahnprofil 102, 202 lässt sich anhand der folgenden Gleichung darstellen: K1 + K2 = Ae-Bξξ (4)wobei ξ = ssinΦ/mn (5)K₁ und K₂ sind die Profilkrümmungen gleich den Reziprokwerten der Krümmungsradien, A und B sind von dem Anwender gewählte Konstanten, m_n ist das Normalmodul und ξ ist eine dimensionslose Koordinate entlang der Linie der Mitten, mit Ursprung an dem Teilungspunkt. Der Anwender spezifiziert die Relativkrümmungen mit ξ = 1, ξ = 0 und ξ = 1, so dass ein Paar von Werten für A und B in der Fußhöhe des Ritzels und ein anderes Paar in der Kopfhöhe des Ritzels vorhanden ist.
Es wurden Studien durchgeführt, um die optimalen Eingabewerte für viele Zahnradpaare zu bestimmen. Da die Ergebnisse für ein Zahnradpaar nach oben oder nach unten skaliert werden können, ist der Achsabstand kein Faktor. Die Zahnradpaare wurden durch ihre Zähnezahlen und durch ihren Zahnbreitenfaktor spezifiziert, der als Teilungsdurchmesser des Zahnrads geteilt durch die Zahnbreite definiert wird.
Die Ergebnisse dieser Studien zeigen, dass die geringsten Laststärken vorgefunden werden, wenn die drei eingegebenen Relativkrümmungen in ihrem Wert entweder alle gleich oder sehr ähnlich sind. Aus diesem Grund wird die vorstehend in Gleichung (4) angegebene Funktion nicht mehr verwendet, und die Relativkrümmung wird über den gesamten Eingriffszyklus hinweg als eine Konstante spezifiziert. Dem gemäß ist die Relativkrümmung des ersten Zahnprofils 102 und des zweiten Zahnprofils 202 ein Vielfaches einer ersten bevorzugten Referenz-Relativkrümmung (K_ref), wobei das Vielfache angegeben wird durch den Ausdruck K_m K_ref, wobei K_m ein Relativkrümmungsmultiplikator ist.
Die Referenz-Relativkrümmung (K_ref) ist die relative Krümmung an dem Teilungspunkt eines Stirnradpaares mit einem 20 Grad-Druckwinkel, das die gleiche Zähnezahl und den gleichen Achsabstand wie das in Betracht gezogene Zahnradpaar hat, und wird angegeben durch die Euler-Savary-Gleichung. Folglich gilt:
Das in 2 dargestellte und nachfolgend im Detail erläuterte Verfahren wurde angewendet, um die Grenzdrehmomente entsprechend dem Relativkrümmungsmultiplikator (K_m) für die folgenden Kombinationen von Fällen basierend auf der oben genannten Referenz-Relativkrümmung (K_ref) zu berechnen.

Übersetzungen (m_G): 1,0, 1,5, 2,0, 2,5, 3,0, 4,0, 6,0, 16,0
Zahnbreitenfaktoren (f_w): 4,0, 5,0, 6,0

Für jede Kombination der vorgenannten Übersetzungen (m_G) und der Zahnbreitenfaktoren (f_w) wurden die Ritzelzähnezahl (N₁) und der Relativkrümmungsmultiplikator (K_m) bestimmt, die das größte Grenzdrehmoment ergeben. Die Relativkrümmungsmultiplikatoren (K_m) sind in Tabelle 1 gezeigt. Tabelle 1 – Relativkrümmungsmultiplikatoren (K_m) Zahnbreitenfaktor (f_w)

	4,0	5,0	6,0
Übersetzung (m_G)
1,0	0,41	0,40	0,39
1,5	0,43	0,41	0,40
2,0	0,43	0,43	0,41
2,5	0,48	0,45	0,41
3,0	0,48	0,48	0,48
4,0	0,48	0,48	0,48
6,0	0,46	0,46	0,46
16,0	0,43'	0,43	0,43

Die den in Tabelle 1 gezeigten Multiplikatoren entsprechenden Ritzelzähnezahlen (N₁) sind in Tabelle 2 angegeben. Tabelle 2 – Ritzelzähnezahl (N₁) Zahnbreitenfaktor (f_w)

4,0 5,0 6,0

Übersetzung (m_G)

1,0 18 22 28

1,5 12 16 18

2,0 14 11 14

2,5 14 10 12

3,0 14 13 10

4,0 13 13 12

6,0 13 13 13

16,0 11 11 12
Für Zahnradpaare, deren Übersetzung (m_G) und Zahnbreitenfaktor (f_w) zwischen den Zahlen in der Tabelle liegen, kann der Relativkrümmungsmultiplikator (K_m) durch lineare Interpolation bestimmt werden. Wenn beispielsweise die Übersetzung (m_G) 1,4 und der Zahnbreitenfaktor (f_w) 4,3 betragen, kann der Relativkrümmungsmultiplikator (K_m) wie folgt ermittelt werden: (Km) = 0,2 (0,7·0,41 + 0,3·0,40) + 0,8 (0,7·0,43 + 0,3·0,41) = 0,4206
Für Zahnradpaare mit einem Zahnbreitenfaktor (f_w) von weniger als 4,0 wird der Relativkrümmungsmultiplikator (K_m) gleich dem Wert festgelegt, der erhalten werden würde, wenn der Zahnbreitenfaktor (f_w) 4,0 betragen würde. Für Zahnradpaare mit einem Zahnbreitenfaktor (f_w) von größer als 6,0 wird der Relativkrümmungsmultiplikator (K_m) gleich dem Wert festgelegt, der erhalten werden würde, wenn der Zahnbreitenfaktor (f_w) 6,0 betragen würde. Für ein Zahnradpaar mit einer Übersetzung (m_G) von größer als 16,0 wird der Relativkrümmungsmultiplikator (K_m) auf einen Wert gleich 0,43 festgelegt.
Für Zahnradpaare mit Ritzelzähnezahlen (N₁), die sich von jenen in Tabelle 2 unterscheiden, können die Relativkrümmungsmultiplikatoren (K_m) in Tabelle 1 noch angewendet werden. Das Ergebnis wird insofern nicht optimal sein, als das Grenzdrehmoment kleiner sein wird als der Wert im Falle der Verwendung der Ritzelzähnezahlen (N₁) aus Tabelle 2.
Bei Relativkrümmungsmultiplikatoren (K_m), die größer sind als in Tabelle 1 angegeben, nimmt das Grenzdrehmoment langsam ab. Bei Relativkrümmungsmultiplikatoren (K_m), die kleiner sind als in Tabelle 1 angegeben, nimmt das Grenzdrehmoment manchmal ab, oder das Grenzdrehmoment kann zunehmen, wobei aber das Profilkontaktverhältnis auf unter 1,0 fällt. Zahnradpaare mit einem Profilkontaktverhältnis von weniger als 1,0 gelten nicht generell als akzeptabel, da aber die Zahnräder Schrägstirnräder sind, können sie angemessen sein, insofern, als sie immer noch für ein konstantes Winkelgeschwindigkeitsverhältnis sorgen. Es ist offensichtlich, dass Relativkrümmungsmultiplikatoren (K_m), die sowohl über als auch unter jenen in Tabelle 1 liegen, verwendet werden können, um zufriedenstellende Zahnradpaare zu bilden. Aus diesem Grund ist in vorliegender Beschreibung ein Bereich von Relativkrümmungsmultiplikatoren (K_m) erfasst, der sich von 0,15 unterhalb der Werte in Tabelle 1 bis 0,30 oberhalb der Werte in Tabelle 1 erstreckt.
Bei Relativkrümmungsmultiplikatoren (K_m), die unterhalb der oben genannten Untergrenze liegen, beträgt das Profilkontaktverhältnis weniger als 0,85, was bedeutet, dass das Zahnradpaar höchst wahrscheinlich nicht akzeptabel ist. Bei Relativkrümmungsmultiplikatoren (K_m), die über der Obergrenze liegen, beträgt das Grenzdrehmoment 80% oder weniger des Grenzdrehmoments, wenn die in der Tabelle 1 angegebenen Relativkrümmungskoeffizienten verwendet werden.
Aus den oben genannten Gründen wurde der Bereich möglicher Relativkrümmungskoeffizienten (K_m) auf mehr als a_ij – δ und weniger als a_i,j + 2δ festgelegt, wobei δ etwa 0,15 beträgt und a_ij wenigstens einem Relativkrümmungsmultiplikatorwert in Tabelle 1 entspricht.

Die Relativkrümmung des ersten Zahnprofils 102 und des zweiten Zahnprofils 202 kann alternativ auch durch den Ausdruck k_c·F_c angegeben werden, wobei eine Relativ-Referenzkrümmungsfunktion ist, die durch den Ausdruck F_c = (N₁ + N₂)²/(N₁·N₂·C) definiert wird, und wobei k_c ein Relativkrümmungsmultiplikator ist, der größer als b_i,j – δ und kleiner als b_i,j + 2δ ist, wobei δ etwa 0,439 beträgt und b_i,j definiert wird durch ein vorgegebenes Verhältnis zwischen der Übersetzung (m_G) und dem Zahnbreitenfaktor (f_w). Das vorgegebene Verhältnis entspricht wenigstens einem Relativkrümmungsmultiplikatorwert in einer Relativkrümmungs-Multiplikatorwertetabelle mit den folgenden Eigenschaften: Tabelle 3 – Relativkrümmungsmultiplikatoren (k_c) Zahnbreitenfaktor (f_w)

Für Zahnradpaare mit einem Zahnbreitenfaktor (f_w) von weniger als 4,0 wird der Relativkrümmungsmultiplikator (k_c) gleich dem Wert festgelegt, der erhalten werden würde, wenn der Relativkrümmungsmultiplikator (k_c) 4,0 betragen würde. Für Zahnradpaare mit einem Zahnbreitenfaktor (f_w) von größer als 6,0 wird der Relativkrümmungsmultiplikator (k_c) gleich dem Wert festgelegt, der erhalten werden würde, wenn der Relativkrümmungsmultiplikator (k_c) 6,0 betragen würde. Für ein Zahnradpaar mit einer Übersetzung größer als 16,0 wird der Relativkrümmungsmultiplikator (k_c) auf einen Wert gleich 1,257 festgelegt. Für Zahnradpaare mit einer Übersetzung oder einem Zahnbreitenfaktor, die bzw. der zwischen den Zahlen in der Tabelle liegt, wird eine Interpolation, vorzugsweise linear, auf der Basis von zumindest einem oder zwei Relativkrümmungsmultiplikatorwerten angewendet, um den Relativkrümmungsmultiplikator (k_c) zu bestimmen.
Als eine Alternative zur Bestimmung des Wertes für den Relativkrümmungskoeffizienten (k_c) durch Abrufen einer Tabelle kann bei vorgegebenen Werten für die Zahnbreite (F_w), die Ritzelzähnezahl (N₁), den Ritzelteilkreisradius (R_p1), die Gegenradzähnezahl (N₂) und den Gegenradteilkreisradius (R_p2) der Relativ krümmungsmultiplikator (k_c) durch das nachstehende fünfstufige Verfahren bestimmt werden.
In 2 umfasst die Bestimmung des Relativkrümmungsmultiplikators (k_c) ein mehrstufiges Verfahren, das hinreichend bekannte Methoden für die Bestimmung von Zahnprofilen, Berührungskurven, Laststärken, Zahnbelastungen und dergleichen einschließt. Die Methoden, mit welchen diese Merkmale oder Parameter bestimmt werden, wurden von Buckingham, ANALYTICAL MECHANICS OF GEARS, McGRaw-Hill, 1949, wiederveröffentlicht von Dover, N.Y., 1963, auf deren gesamten Inhalt hiermit verwiesen wird, und in dem US-Patent 6,101,892 , auf dessen gesamten Inhalt hiermit ebenso verwiesen wird, beschrieben, wobei der Kürze halber auf eine Erläuterung verzichtet wird. Da ein Vorgang ähnlich dem nachstehend beschriebenen Vorgang angewendet werden kann, um die Relativkrümmungsmultiplikatoren (K_m) zu bestimmen, wird der Kürze halber auf eine Erläuterung der Bestimmung der Relativkrümmungsmultiplikatoren (K_m) ebenfalls verzichtet.
In 2 umfasst ein erster Schritt 310 bei der Bestimmung des Relativkrümmungsmultiplikators (k_c) das Bestimmen einer Vielzahl von Laststärken für ein vorgegebenes Eingangsdrehmoment. Jede Laststärke wird einer einmaligen Winkelposition einer Vielzahl von Winkelpositionen des Ritzels 100 zugeordnet. Die Vielzahl von Winkelpositionen überspannt einen Teilwinkel des Ritzels 100. Jede Laststärke basiert auf der Ritzelzähnezahl (N₁) und einem Versuchs-Relativkrümmungsmultiplikator (k'_c).
Insbesondere werden in Schritt 310 der Zahnbreitenfaktor f_w = (2·R_p2)/F_w und die Relativ-Referenzkrümmungsfunktion F_c = (N₁ + N₂)²/N₁·N₂·C) bestimmt. Es wird ein Wert für den Versuchs-Relativkrümmungsmultiplikator (k'_c) innerhalb eines vorgegebenen Bereichs, z.B. 0,7 ≤ k'_c ≤ 2,3, angenommen, und es werden das erste und das zweite Zahnprofil 102, 202 gemäß den Lehren des US-Patents Nr. 6,101,892 bestimmt. Ein Wert, zum Beispiel 10.000 in-lbs (1130 Nm), wird für ein Drehmoment (τ_input) angenommen. Eine Vielzahl von Winkelpositionen, die einen Teilwinkel des Ritzels (100) überspannen, wird angegeben. Für jede Winkelposition der Vielzahl von Winkelpositionen werden die Positionen der Berührungskurven berechnet, und die Berührungskurven werden in eine Vielzahl von kleinen Inkrementen unterteilt. Vorzugsweise ist die Anzahl der Inkremente in der Vielzahl von kleinen Inkrementen größer als 200 Inkremente und kleiner als 500 Inkremente in jeder Berührungskurve und basiert auf der gewünschten Genauigkeit der Berechnungen. Ein beliebiger Wert, z.B. 1.000 lbs/in (17.857 kg/m), wird für die Laststärke angenommen, und es wird ein Drehmomentbeitrag einer Kontaktkraft bei jedem Inkrement bestimmt. Die Drehmomentbeiträge werden summiert, um ein Gesamtdrehmoment entsprechend der angenommenen Laststärke zu erhalten. Die angenommene Laststärke wird dann skaliert, so dass das Gesamtdrehmoment gleich dem angenommenen Eingangsdrehmoment (τ_input) ist. Der Vorgang zum Bestimmen einer skalierten Laststärke entsprechend dem Gesamtdrehmoment wird für jede Winkelposition des Ritzels wiederholt, und es wird die größte Laststärke für die weitere Verarbeitung gewählt.
Ein zweiter Schritt 320 umfasst das Bestimmen einer Vielzahl von Zahnbelastungen, z.B. einer Kontaktbelastung, einer Ritzel-Fußausrundungsflächenbelastung und einer Gegenrad-Fußausrundungsflächenbelastung, entsprechend einer größten Laststärke der Vielzahl von Laststärken.
Ein dritter Schritt 330 umfasst das Skalieren der größten Laststärke auf eine skalierte Laststärke, so dass eine Zahnbelastung der Vielzahl von Zahnbelastungen sich einer der vorgegebenen Grenzbelastungen nähert, die charakteristisch ist für das Material, aus welchem das Zahnradpaar gefertigt ist.
Ein vierter Schritt 340 umfasst das Bestimmen eines Grenzdrehmoments entsprechend der skalierten Laststärke. Das entsprechende Grenzdrehmoment ist gleich dem Grenzdrehmoment für das Zahnradpaar für den Versuchs-Relativkrümmungsmultiplikator (k'_c), der in dem ersten Schritt angenommen wurde.
Ein fünfter Schritt 350 umfasst das Wiederholen des ersten bis vierten Schritts 310–340 für eine Vielzahl von Versuchs-Relativkrümmungsmultiplikatoren (k'_c) innerhalb des vorgegebenen Bereichs von Relativkrümmungsmultiplikatorwerten und das Auswählen des dem Grenzdrehmoment mit dem höchsten Wert entsprechenden Versuchs-Relativkrümmungsmultiplikator (k'_c) als Relativkrümmungsmultiplikator (k_c).
Als Alternative zum Bestimmen des Wertes für den Relativkrümmungsmultiplikator (k_c) durch Abrufen der Tabelle kann bei vorgegebenen Werten für die Übersetzung (m_G), den Achsabstand (c), die Zahnbreite (F_w) und die Grenzbelastungen der Relativkrümmungsmultiplikator (k_c) durch das vorstehend beschriebene und nachstehend modifizierte fünfstufige Verfahren bestimmt werden.
In dem ersten Schritt 310 wird die Ritzelzähnezahl (N₁) gleichgesetzt mit einer Versuchs-Ritzelzähnezahl (N'₁).
In dem fünften Schritt 350a werden der erste bis einschließlich vierte Schritt 310–340 für eine Vielzahl von Versuchs-Relativkrümmungsmultiplikatoren (k'_c) innerhalb eines vorgegebenen Bereichs von Versuchs-Relativkrümmungsmultiplikatorwerten wiederholt, und der dem Grenzdrehmoment mit dem höchsten Wert entsprechende Versuchs-Relativkrümmungsmultiplikator (k'_c) wird als ein auf die Ritzelzähnezahl bezogener Versuchs-Relativkrümmungsmultiplikator (k''_c) gewählt.
Es wird ein sechster Schritt 360 hinzugefügt. Der sechste Schritt 360 wiederholt den ersten bis fünften Schritt 310–350 für eine Vielzahl von Versuchs-Ritzelzähnezahlen (N'₁) innerhalb eines vorgegebenen Bereichs von Versuchs-Ritzelzähnezahlen, zum Beispiel 10 ≤ N'₁ ≤ 30, und der auf die Ritzelzähnezahl bezogene Relativkrümmungsmultiplikator (k_c), der dem Grenzdrehmoment mit dem höchsten Wert entspricht, wird als Relativkrümmungsmultiplikator (k_c) gewählt.
Der Fachmann wird erkennen, dass Änderungen der vorstehend beschriebenen Ausführungsformen möglich sind, ohne von deren breitem Erfindungsgedanken abzuweichen.

Claims

Zahnradsystem, umfassend: ein Ritzel mit einer Ritzelzähnezahl (N₁), einem Ritzel-Teilkreisradius (R_p1) und einer ersten Vielzahl von Zähnen, wovon jeder Zahn ein erstes Zahnprofil aufweist; und ein Gegenrad mit einer Gegenradzähnezahl (N₂), einem Gegenrad-Teilkreisradius (R_p2) und einer zweiten Vielzahl von Zähnen, wovon jeder Zahn ein zweites Zahnprofil aufweist, wobei das Ritzel und das Gegenrad ein Zahnradpaar bilden mit einer Übersetzung (m_G) gleich N₂/N₁, einer Zahnbreite (F_w) und einem Zahnbreitenfaktor (f_w) gleich (2·R_p2)/F_w, dadurch gekennzeichnet, dass die Relativkrümmung des ersten Zahnprofils und des zweiten Zahnprofils ein Vielfaches einer Referenz-Relativkrümmung (K_ref) ist, wobei das Vielfache definiert wird durch den Ausdruck Km·Kref, wobei
und K_m ein Relativkrümmungs-Multiplikator ist, der größer als a_i,j – δ und kleiner als a_i,j + 2δ ist, δ zwischen 0 und etwa 0,15 liegt und a_i,j definiert wird durch ein vorgegebenes Verhältnis zwischen der Übersetzung (m_G) und dem Zahnbreitenfaktor (f_w), wobei das vorgegebene Verhältnis zumindest einem Relativkrümmungs-Multiplikatorwert in einer Relativkrümmungs-Multiplikatorwertetabelle mit den folgenden Eigenschaften entspricht: Zahnbreitenfaktor (f_w) 4,0 5,0 6,0 Übersetzung (m_G) 1,0 0,41 0,40 0,39 1,5 0,43 0,41 0,40 2,0 0,43 0,43 0,41 2,5 0,48 0,45 0,41 3,0 0,48 0,48 0,48 4,0 0,48 0,48 0,48 6,0 0,46 0,46 0,46 16,0 0,43 0,43 0,43
Zahnradsystem nach Anspruch 1, wobei der Relativkrümmungsmultiplikator (k_c) bei einem Zahnbreitenfaktor (f_w) kleiner als 0,4 dem Relativkrümmungsmultiplikator (k_c) bei einem Zahnbreitenfaktor (f_w) gleich 4,0 entspricht.
Zahnradsystem nach Anspruch 1, wobei der Relativkrümmungsmultiplikator (K_m) bei einem Zahnbreitenfaktor (f_w) größer als 6,0 dem Relativkrümmungsmultiplikator (K_m) bei einem Zahnbreitenfaktor (f_w) gleich 6,0 entspricht.
Zahnradsystem nach Anspruch 1, wobei der Relativkrümmungsmultiplikator (K_m) einem interpolierten Wert basierend auf zumindest zwei Relativkrümmungs-Multiplikatorwerten in der Relativkrümmungs-Multiplikatorwertetabelle entspricht.
Zahnradsystem nach Anspruch 1, wobei δ gleich Null ist.
Zahnradsystem nach Anspruch 1, wobei der Relativkrümmungsmultiplikator (K_m) einem interpolierten Wert basierend auf zumindest zwei Relativkrümmungs-Multiplikatorwerten in der Relativkrümmungs-Multiplikatorwertetabelle entspricht.
Zahnradsystem nach Anspruch 1, wobei das erste Zahnprofil eine erste Übergangszone aufweist, die zwischen einem innerhalb der Fußhöhe des Ritzels liegenden ersten konkaven Bereich und einem innerhalb der Kopfhöhe des Ritzels liegenden ersten konvexen Bereich angeordnet ist, und wobei das zweite Zahnprofil eine zweite Übergangszone aufweist, die zwischen einem innerhalb der Fußhöhe des Gegenrads liegenden zweiten konkaven Bereich, der zu dem ersten konvexen Bereich des ersten Zahnprofils der ersten Vielzahl von Zähnen des Ritzels konjugiert ist, und einem innerhalb der Kopfhöhe des Gegenrads liegenden zweiten konvexen Bereich, der zu dem ersten konkaven Bereich des ersten Zahnprofils der ersten Vielzahl von Zähnen des Ritzels konjugiert ist, angeordnet ist.
Zahnradsystem nach Anspruch 7, wobei der Relativkrümmungsmultiplikator (K_m) einem interpolierten Wert basierend auf zumindest zwei Relativkrümmungs-Multiplikatorwerten in der Relativkrümmungs-Multiplikatorwertetabelle entspricht.
Zahnradsystem nach Anspruch 7, wobei δ gleich Null ist.
Zahnradsystem nach Anspruch 9, wobei der Relativkrümmungsmultiplikator einem interpolierten Wert basierend auf zumindest zwei Relativkrümmungs-Multiplikatorwerten in der Relativkrümmungs-Multiplikatorwertetabelle entspricht.
Zahnradsystem, umfassend: ein Ritzel mit einer Ritzelzähnezahl (N₁), einem Ritzel-Teilkreisradius (R_p1) und einer ersten Vielzahl von Zähnen, wovon jeder Zahn ein erstes Zahnprofil aufweist; und ein Gegenrad mit einer Gegenradzähnezahl (N₂), einem Gegenrad-Teilkreisradius (R_p2) und einer zweiten Vielzahl von Zähnen, wovon jeder Zahn ein zweites Zahnprofil aufweist; wobei das Ritzel und das Gegenrad ein Zahnradpaar bilden mit einem Achsabstand (C) gleich (R_p1 + R_p2), einer Übersetzung (m_G) gleich N₂/N₁, einer Zahnbreite (F_w) und einem Zahnbreitenfaktor (f_w) gleich (2·R_p2)/F_w, dadurch gekennzeichnet, dass die Relativkrümmung des ersten Zahnprofils und des zweiten Zahnprofils definiert wird durch den Ausdruck k_c F_c, wobei F_c eine Relativ-Referenzkrümmungsfunktion ist, die durch den Ausdruck F_c = (N₁ + N₂)²/(N₁·N₂·C) definiert wird, und wobei k_c ein Relativkrümmungsmultiplikator ist, der größer als b_i _,j – δ und kleiner als b_i,j + 2δ ist, wobei δ zwischen 0 und etwa 0,439 liegt und b_i,j definiert wird durch ein vorgegebenes Verhältnis zwischen der Übersetzung (m_G) und dem Zahnbreitenfaktor (f_w), wobei das vorgegebene Verhältnis zumindest einem Relativkrümmungs-Multiplikatorwert in einer Relativkrümmungs-Multiplikatorwertetabelle mit den folgenden Eigenschaften entspricht: Zahnbreitenfaktor (f_w) 4,0 5,0 6,0 Übersetzung (m_G) 1,0 1,199 1,170 1,140 1,5 1,257 1,199 1,170 2,0 1,257 1,257 1,199 2,5 1,403 1,316 1,199 3,0 1,403 1,403 1,286 4,0 1,403 1,403 1,403 6,0 1,345 1,345 1,345 16,0 1,257 1,257 1,257
Zahnradsystem nach Anspruch 11, Zahnradsystem nach Anspruch 1, wobei der Relativkrümmungsmultiplikator (k_c) bei einem Zahnbreitenfaktor (f_w) kleiner als 0,4 dem Relativkrümmungsmultiplikator (k_c) bei einem Zahnbreitenfaktor (f_w) gleich 4,0 entspricht.
Zahnradsystem nach Anspruch 11, wobei der Relativkrümmungsmultiplikator (k_c) bei einem Zahnbreitenfaktor (f_w) größer als 6,0 dem Relativkrümmungsmultiplikator (k_c) bei einem Zahnbreitenfaktor (f_w) gleich 6,0 entspricht.
Zahnradsystem nach Anspruch 11, wobei der Relativkrümmungsmultiplikator (k_c) einem interpolierten Wert basierend auf zumindest zwei Relativkrümmungs-Multiplikatorwerten in der Relativkrümmungs-Multiplikatorwertetabelle entspricht.
Zahnradsystem nach Anspruch 11, wobei δ gleich Null ist.
Zahnradsystem nach Anspruch 15, wobei der Relativkrümmungsmultiplikator (k_c) einem interpolierten Wert basierend auf zumindest zwei Relativkrümmungs-Multiplikatorwerten in der Relativkrümmungs-Multiplikatorwertetabelle entspricht.
Zahnradsystem nach Anspruch 11, wobei das erste Zahnprofil eine erste Übergangszone aufweist, die zwischen einem innerhalb der Fußhöhe des Ritzels liegenden ersten konkaven Bereich und einem innerhalb der Kopfhöhe des Ritzels liegenden ersten konvexen Bereich angeordnet ist, und wobei das zweite Zahnprofil eine zweite Übergangszone aufweist, die zwischen einem innerhalb der Fußhöhe des Gegenrads liegenden zweiten konkaven Bereich, der zu dem ersten konvexen Bereich des ersten Zahnprofils der ersten Vielzahl von Zähnen des Ritzels konjugiert ist, und einem innerhalb der Kopfhöhe des Gegenrads liegenden zweiten konvexen Bereich, der zu dem ersten konkaven Bereich des ersten Zahnprofils der ersten Vielzahl von Zähnen des Ritzels konjugiert ist, angeordnet ist.
Zahnradsystem nach Anspruch 17, wobei der Relativkrümmungsmultiplikator (k_c) einem interpolierten Wert basierend auf zumindest zwei Relativkrümmungs-Multiplikatorwerten in der Relativkrümmungs-Multiplikatorwertetabelle entspricht.
Zahnradsystem nach Anspruch 17, wobei δ gleich Null ist.
Zahnradsystem nach Anspruch 19, wobei der Relativkrümmungsmultiplikator (k_c) einem interpolierten Wert basierend auf zumindest zwei Relativkrümmungs-Multiplikatorwerten in der Relativkrümmungs-Multiplikatorwertetabelle entspricht.
Zahnradsystem mit einer vorgegebenen Übersetzung (m_G), einem vorgegebenen Achsabstand (C), einer vorgegebenen Zahnbreite (F_w) und vorgegebenen Grenzbelastungen, wobei das Zahnradsystem umfasst: ein Ritzel mit einer Ritzelzähnezahl (N₁) und einer ersten Vielzahl von Zähnen, wovon jeder Zahn ein erstes Zahnprofil aufweist; und ein Gegenrad mit einer Gegenradzähnezahl (N₂), die die Gleichung N₂ = m_G·N₁ erfüllt, und einer zweiten Vielzahl von Zähnen, wovon jeder Zahn ein zweites Zahnprofil aufweist, wobei das Ritzel und das Gegenrad ein Zahnradpaar bilden mit einem Zahnbreitenfaktor (f_w) gleich (2·N₂·C)/((N₁ + N₂)·F_w), dadurch gekennzeichnet, dass die Relativkrümmung des ersten Zahnprofils und des zweiten Zahnprofils definiert wird durch den Ausdruck k_c wobei F_c eine Relativ-Referenzkrümmungsfunktion ist, die durch den Ausdruck F_c = (N₁ + N₂)²/(N₁·N₂·C) definiert wird, und wobei k_c ein Relativkrümmungsmultiplikator ist, wobei k_c durch ein Verfahren bestimmt wird, das die folgenden Schritte umfasst: (a) Bestimmen einer Vielzahl von Laststärken für ein vorgegebenes Eingangsdrehmoment, wobei jeder Laststärke eine einmalige Winkelposition einer Vielzahl von Winkelpositionen des Ritzels zugeordnet ist, wobei die Vielzahl von Winkelpositionen einen Teilwinkel des Ritzels überspannt, wobei jede Laststärke auf einem Versuchs-Relativkrümmungsmultiplikator (k'_c) basiert; (b) Bestimmen einer Vielzahl von Zahnbelastungen entsprechend einer größten Laststärke der Vielzahl von Laststärken; (c) Skalieren der größten Laststärke auf eine skalierte Laststärke, derart, dass eine Zahnbelastung der Vielzahl von Zahnbelastungen sich einer der vorgegebenen Grenzbelastungen nähert; (d) Bestimmen eines Grenzdrehmoments entsprechend der skalierten Laststärke; und (e) Wiederholen der Schritte (a)–(d) für eine Vielzahl von Versuchs-Relativkrümmungsmultiplikatoren (k'_c) innerhalb eines vorgegebenen Bereichs von Versuchs-Relativkrümmungsmultiplikatorwerten und Wählen des Versuchs-Relativkrümmungsmultiplikators (k'_c), der dem Grenzdrehmoment mit dem größten Wert entspricht, als Relativkrümmungsmultiplikator (k_c).
Zahnradsystem nach Anspruch 21, wobei der vorgegebene Bereich von Versuchs-Relativkrümmungsmultiplikatoren etwa 0,7 bis 2,3 beträgt.
Zahnradsystem mit einer vorgegebenen Übersetzung (m_G), einem vorgegebenen Achsabstand (C), einer vorgegebenen Zahnbreite (F_w) und vorgegebenen Grenzbelastungen, wobei das Zahnradsystem umfasst: ein Ritzel mit einer Ritzelzähnezahl (N₁) und einer ersten Vielzahl von Zähnen, wovon jeder Zahn ein erstes Zahnprofil aufweist; und ein Gegenrad mit einer Gegenradzähnezahl (N₂), die die Gleichung N₂ = m_G·N₁ erfüllt, und einer zweiten Vielzahl von Zähnen, wovon jeder Zahn ein zweites Zahnprofil aufweist, wobei das Ritzel und das Gegenrad ein Zahnradpaar bilden mit einem Zahnbreitenfaktor (f_w) gleich (2·N₂·C)/((N₁ + N₂)·F_w), dadurch gekennzeichnet, dass die Relativkrümmung des ersten Zahnprofils und des zweiten Zahnprofils definiert wird durch einen Ausdruck k_c·F_c, wobei F_c eine Relativ-Referenzkrümmungsfunktion ist, die durch den Ausdruck F_c = (N₁ + N₂)²/(N₁·N₂·C) definiert wird, und wobei k_c ein Relativkrümmungsmultiplikator ist, der eine Funktion der Übersetzung (m_G), des Zahnbreitenfaktors (f_w), des Achsabstands (C) und einer der Grenzbelastungen ist.
Zahnradsystem nach Anspruch 23, wobei das vorgegebene Verhältnis durch ein Verfahren bestimmt wird, das die folgenden Schritte umfasst: (a) Bestimmen einer Vielzahl von Laststärken für ein vorgegebenes Eingangsdrehmoment, wobei jeder Laststärke eine einmalige Winkelposition einer Vielzahl von Winkelpositionen des Ritzels zugeordnet ist, wobei die Vielzahl von Winkelpositionen einen Teilwinkel des Zahnradpaares überspannt, wobei jede Laststärke auf einer Versuchs-Ritzelzähnezahl (N'₁) und einem Versuchs-Relativkrümmungsmultiplikator (k'_c) basiert; (b) Bestimmen einer Vielzahl von Zahnbelastungen entsprechend einer größten Laststärke der Vielzahl von Laststärken; (c) Skalieren der größten Laststärke auf eine skalierte Laststärke, derart, dass eine Zahnbelastung der Vielzahl von Zahnbelastungen sich einer vorgegebenen Grenzbelastung nähert; (d) Bestimmen eines Grenzdrehmoments entsprechend der skalierten Laststärke; (e) Wiederholen der Schritte (a)–(d) für eine Vielzahl von Versuchs-Relativkrümmungsmultiplikatoren (k'_c) innerhalb eines vorgegebenen Bereichs von Versuchs-Relativkrümmungsmultiplikatorwerten und Wählen des Versuchs-Relativkrümmungsmultiplikators (k'_c), der dem Grenzdrehmoment mit dem größten Wert entspricht, als einen auf die Ritzelzähnezahl bezogenen Versuchs-Relativkrümmungsmultiplikator (k''_c); und (f) Wiederholen der Schritte (a)–(e) für eine Vielzahl von Versuchs-Ritzelzähnezahlen (N'₁) innerhalb eines vorgegebenen Bereichs von Versuchs-Ritzelzähnezahlen und Wählen des auf die Ritzelzähnezahl bezogenen Versuchs-Relativkrümmungsmultiplikators (k''_c), der dem Grenzdrehmoment mit dem größten Wert entspricht, als Relativkrümmungsmultiplikator (k_c).