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Vorrichtung zum Umwandeln von Koordinaten Die Erfindung bezweckt,
eine Vorrichtung zur Verfügung zu stellen, durch die sich aus den Koordinaten von
Punkten eines ebenen oder räumlichen Gebildes in bezug auf ein ebenes oder räumliches,
rechtwinkliges Koordinatensystem die entsprechenden Koordinaten dieser Punkte in
bezug auf ein zweites rechtwinkliges Koordinatensystem ermitteln lassen, das gegenüber
dem erstgenannten Koordinatensystem um dessen Anfang verdreht ist.
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Nach der Erfindung wird eine solche Vorrichtung mit einem Getriebe
ausgestattet, durch das zwei Gliedersysteme so miteinander gekuppelt sind, daß bei
Einstellung des einen Systems gemäß den Koordinaten eines Punktes in bezug auf das
eine Koordinatensystem dem zweiten Gliedersystem eine Einstellung gemäß den Koordinaten
dieses Punktes in bezug auf das andere Koordinatensystem erteilt wird. Als Gliedersysteme
kommen z. B. Kreuzschlittensysteme oder Wellen in Betracht als Getriebe, z. B. Hebel
oder Rädergetriebe.
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Im folgenden soll der Einfachheit halber nur die Koordinatenumwandlung
von Punkten ebener Gebilde behandelt werden, wobei aber ausdrücklich bemerkt sei,
daß für räumliche Gebilde die Koordinatenumwandlung nur die gleichen Lösungsmittel
voraussetzt und keinerlei Schwierigkeiten bietet.
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Eine zweckmäßige Ausführungsform einer der Erfindung entsprechenden
Vorrichtung ergibt sich, wenn zwei zweigliedrige Kreuzschlittensysteme durch ein
Hebelsystem so miteinander gekuppelt werden, daß bei Einstellung der beiden Schlitten
eines der beiden Kreuzschlittensysteme entsprechend den Koordinaten X1' und Yi eines
in der durch ein rechtwinkliges Koordinatensystem (X', Y'-System) bestimmten
Ebene liegenden Punktes in bezug auf dieses Koordinatensystem die beiden Schlitten
des anderen Kreuzschlittensystems eine solche Einstellung erfahren, daß die Koordinaten
X1 und Y1 dieses Punktes in bezug auf ein zweites rechtwinkliges Koordinatensystem
(X, Y-System) entnommen werden können, das gegenüber dem X', Y'-System innerhalb
der Ebene desselben um einen Winkel a verdreht ist.
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Dabei sind zwei Lösungen denkbar. Bei der einen Lösung werden die
Verschiebungsrichtungen entsprechender Schlitten der beiden Kreuzschlittensysteme
einander parallel gelegt, und wind -das Hebelsystem so ausgebildet, daß es zwei
miteinander zu gleicher Drehung gekuppelte Hebel enthält, die entsprechend der gegenseitigen
Verdrehung a_ der beiden Koordinatensysteme gegeneinander einstellbar angeordnet
und mit einer Einrichtung verbunden sind, um. die wirksamen Hebellängen stets einander
gleich zu halten.
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Bei der anderen Lösung wird das eine Kreuzschlittensystem um eine
Achse drehbar angeordnet, die auf der durch die Verschiebungsrichtungen der beiden
Schlitten des anderen Kreuzschlittensystems bestimmten Ebene senkrecht steht, zu
dem Zwecke, die
Verschiebungsrichtungen der beiden Schlitten des
ersteren Kreuzschlittensystetns gegenüber den Verschiebungsrichtungen der entsprechenden
Schlitten des letzteren Kreuzschlittensystems entsprechend der gegenseitigen Verdrehung
a der beiden Koordinatensysteme (X', Y' und X, Y) gegeneinander einstellen
zu können, wobei das Hebelsystem so ausgebildet ist, daß es nur einen einzigen Hebel
enthält, der ebenfalls um jene Achse drehbar angeordnet ist.
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Eine andere zweckmäßige Ausführungsform einer der Erfindung entsprechenden
Vorrichtung ergibt sich, wenn zwei Wellen, deren jede gemäß der Änderung einer der
beiden Koordinaten (Xi und Yi) eines sich innerhalb einer Ebene bewegenden Punktes
in bezug auf ein in dieser Ebene liegendes rechtwinkliges Koordinatensystem
(X', Y'-System) einstellbar ist, mit zwei anderen Wellen durch zwei Differentialgetriebe
gekuppelt sind, von deren jedem das Planetenrad mit einer jener beiden ersteren
(einzustellenden) Wellen in Verbindung steht, während die beiden Kronräder je mit
einer jener beiden letzteren (getriebenen) Wellen verbunden sind, und zwar so gekuppelt,
daß jeder von den beiden getriebenen Wellen eine Drehung gemäß der Änderung der
entsprechenden Koordinate (Xibzw. Y1) jenes Punktes in bezug auf ein zweites rechtwinkliges
Koordinatensystem (X, Y-System) erteilt wird, das gegenüber dem X', Y'-Sy stein
innerhalb der Ebene desselben um einen Winkel a verdreht ist. Dabei empfiehlt es
sich, um die Koordinatenumwandlung für verschiedene Winkel a zu ermöglichen, zwischen
jedes der vier Kronräder und die zugehörende getriebene Welle ein Wechselrädergetriebe
einzuschalten.
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In der Zeichnung dienen die schematischen Abb. i, 3 und 5 zur Erläuterung
der Erfindung, während die Abb. z, 4 und 6 je ein Ausführungsbeispiel der Erfindung
im Grundriß veranschaulichen, und zwar Abb. 2 und 4. je eines mit durch Hebel gekuppelten
Kreuzschlittensystemen und Abb. 6 eines mit durch Differentialgetriebe gekuppelten
Wellen.
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' In Abb. i sind zwei rechtwinklige Koordinatensysteme mit den Achsen
X und Y bzw. :I' und Y' gezeichnet, die einen gemeinsamen Anfang 0
haben und gegeneinander um einen Winkel a verdreht sind. Mit den eingeschriebenen
Bezeichnungen ergeben sich für die Koordinaten X1 und Y1 bzw. X1' und I'1' eines
Punktes P1 folgende Gleichungen: X1 -Pila--fla--Pila-eg-@:Xi'cosa-Yi'sina (i) Y1
- e f + Ö 7e = gla -;- 0 e - :- X1' sin a + Y,' cos a (2)
0 d -j- b d - 0 d -E- -a c = X1 cos a -f - Y1 sin a (3) Y1'
Pia - 7-b - Pica - -F d _-_ Y1 cos a -- X1 sin
a ÜPi -- j% --- --Y--2 -#- Yi2 .- jl@y'i= -r- Y@i= (5) Bei jeder der Erfindung entsprechenden
(zwei Gliedersysteme und ein Getriebe enthaltenden) Vorrichtung muß die Anordnung
so getroffen werden, daß bei Einstellung des einen Gliedersystems, entsprechend
den Koordinaten eines Punktes in bezug auf eines der beiden Koordinatensvsteme,
mittels des Getriebes das andere Gliedersv stein eine solche Einstellung erfährt,
daß stets die durch jene Gleichungen ausgedrückten Beziehungen aufrechterhalten
bleiben.
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In dem ersten, durch Abb. 2 veranschaulichten Ausführungsbeispiel
einer solchen Vorrichtung ist i eine Grundplatte, auf der zwei einander parallele,
mit Gewinde gleicher Steigung versehene Spindeln 2 und 3 drehbar gelagert sind.
Mittels zweier Kegelräderpaare q. und 5 und einer Welle 6, die durch ein Handrad;
angetrieben werden kann, sind die beiden Spindeln zu gleicher Drehung miteinander
gekuppelt. Mit den beiden Spindeln steht mittels zweier (in der Zeichnung nicht
sichtbarer) Mutterstücke ein Schlitten 8 im Eingriff, der den unteren Schlitten
eines zweigliedrigen Kreuzschlittensystems bildet, dessen oberer Schlitten 9 auf
dem Schlitten 8 senkrecht zu .den Spindeln a und 3 geführt ist, und durch Drehung
einer an dem Schlitten 8 drehbar gelagerten Gewindespindel, in die er mittels eines
(in der Zeichnung nicht sichtbaren) Mutterstücks. eingreift, längs des Schlittens
8 verschoben werden kann. Um die Spindel io antreiben zu können, ist ein Kegelrad
i i auf ihr befestigt, das mit einem Kegelrad 12 im Eingriff steht, das auf einer
auf der Grundplatte i drehbar gelagerten, den Spindeln ? und 3 parallelen, genuteten
Welle 13 verschieblich angeordnet ist und durch einen an dem Schlitten 8 befestigten
Mitnehmer 1:4 an den Verschiebungen des Schlittens 8 beteiligt ist. Die genutete
Welle 13 kann durch ein Handrad 15 angetrieben werden. Von einem zweiten zweigliedrigen
Kreuz= schlittensysteni ist der untere Schlitten i6
längs zweier
Führungsleisten 17 und 18, die den Spindeln 2 und 3 parallel und auf der Grundplatte
i befestigt sind, und der obere Schlitten i9 auf dem Schlitten 16 senkrecht zu diesen
Führungsleisten verschieblich angeordnet.
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In einem Zapfen 2o des Schlittens i9 greift mittels eines Längsschlitzes
21 ein Arm 22 eines Doppelhebels ein, der gegenüber der Grundplatte i um eine Achse
11,1-1!r! drehbar gelagert ist. Der andere Arm 23 des Doppelhebels greift mittels
eines Längsschlitzes 24 in einen Zapfen 25 des Schlittens 9 ein. Die Neigung des
Armes 23 gegenüber dem Arm 22 kann durch Drehung des Armes 23 um die Achse
M -M eingestellt werden. Zum Feststellen der Arme gegeneinander dient eine
Klemmschraube 26. Der jeweils eingestellte Winkel a, den der Arm 23 mit der Verlängerung
des Armes 22 einschließt, wird durch einen Zeiger 27 des Armes 23 an einer Gradteilung
28 des Armes 22 angezeigt. Um die Achse 111-11 gegenüber der Grundplatte i drehbar
ist ferner eine Führungsstange 29 angeordnet, längs deren zwei Muffen
30 und 31 verschieblich sind. An der Muffe 30 sind je mit dem einen
Ende zwei gleich lange Stangen 32 und 33 angelenkt. Die Stange 32 ist mit ihrem
anderen Ende um den Zapfen 20 und die Stange 33 mit ihrem anderen Ende um den Zapfen
25 drehbar. An der Muffe 31 sind je mit dem einen Ende zwei weitere gleich lange
Stangen 34 und 35 angelenkt, die je mit dem anderen Ende an der Stange 32 bzw. an
der Stange 33 angelenkt sind. Dabei ist die Anordnung so getroffen, daß die Achse
11-1-I stets von den beiden Zapfen 2o und 25 gleich weit entfernt ist. Ein Zeiger
36 des Schlittens 8 zeigt an einer Teilung 37 der Grundplatte z die in die Verschiebungsrichtung
des Schlittens 8 fallende Komponente des Abstandes des Zapfens 25 von der Achse
ill-IV an. Die in die Verschiebungsrichtung des Schlittens 9 fallende Komponente
dieses Abstandes wird durch einen Zeiger 38 des Schlittens 9 an einer Teilung 39
des Schlittens 8 angezeigt. Ferner zeigt ein Zeiger 4o des Schlittens 16 an einer
Teilung 41 der Grundplatte i die in die Verschiebungsrichtung- des Schlittens 16
fallende Komponente des Abstandes des Zapfens 2o von der Achse 111-!1i1 an, während
die in die Verschiebungsrichtung des Schlittens ig fallende Komponente dieses Abstandes
durch einen Zeiger 42 des Schlittens 19 an einer Teilung 43 des Schlittens 16 angezeigt
wird.
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Daß bei Einstellung der Schlitten 8 und 9 entsprechend den Koordinaten
X1' und Y1' irgendeines Punktes in bezug auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem
X', Y' die Schlitten 16 und i9 derart verstellt werden, daß die an :den Teilungen
41 und 43 angezeigten Werte diejenigen Koordinaten X1 und Y1 darstellen, die der
Punkt in bezug auf ein um den Winkel a (dem gemäß die gegenseitige Einstellung der
Arme 22 und 23 des Doppelhebels erfolgt ist) gegenüber jenem Koordinatensystem
X', Y' verdrehtes, rechtwinkliges Koordinatensystem X, Y hat, daß
also zwischen den Koordinaten die durch die oben angegebenen Gleichungen ausgedrückten
Beziehungen bestehen, geht aus Abb. 3 hervor, aus der sich mit den eingeschriebenen
Bezeichnungen die Gleichungen ergeben:
Die erste dieser beiden Gleichungen folgt ohne weiteres aus den oben angegebenen
Gleichungen (i) und (2). Die zweite Gleichung ist mit Gleichung (5) identisch. Daß
auch die Gleichungen (3) und (4) erfüllt werden, läßt sich ebenfalls leicht ableiten.
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Das zweite, durch Abb. 4 veranschaulichte Ausführungsbeispiel, bei
dem die Bezeichnungen des ersten, in Abb.2 dargestellten Ausführungsbeispiels, soweit
angängig, übernommen sind, unterscheidet sich von dieseln ersten Beispiel im wesentlichen
nur durch folgendes. Die Führungsleisten 17 und 18 des unteren Schlittens 16 des
Kreuzschlittensystems 16, i 9 sind nicht auf der Grundplatte i befestigt, sondern
gehören einem Rahmen 4.4 an, der um die Achse wl-l4l gegenüber der Grundplatte i
drehbar gelagert ist und durch eine Klemmschraube 45 gegenüber der Grundplatte i
festgestellt werden kann. Ein Zeiger 46 des Rahmens-44 zeigt an einer Gradteilung
47 der Grundplatte i den Winkel a an, dem entsprechend jeweils die Verschiebungsrichtungen
der Schlitten 8 und 16 bzw. 9 und i 9 gegeneinander geneigt eingestellt sind. Statt
des bei dem ersten Ausführungsbeispiel verwendeten Hebelsystems dient zur Kupplung
der Schlitten 9 und i9 miteinander ein einziger Hebel 48, der um die Achse 1T-111
drehbar angeordnet ist und mittels eines Längsschlitzes 49 in einen Zapfen 5o des
Schlittens i9 eingreift. Der Schlitten 19 ist an dem Schlitten 9 um einen (in der
Zeichnung nicht sichtbaren) Zapfen des Schlittens 9 drehbar gelagert, dessen Achse
mit der des Zapfens 50 zusammenfällt.
Damit bei Einstellung
der Schlitten 8 und 9 entsprechend den Koordinaten X1' und Y1' irgendeines Punktes
in bezug auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem X', Y' die Schlitten 16
und i9 derart verstellt werden, daß die an den Teilungen 41 und 43 angezeigten Werte
diejenigen Koordinaten X1 und Y1 darstellen, die der Punkt in bezug auf ein um den
Winkel a (demgemäß der Rahmen 44 gegenüber der Grundplatte i eingestellt ist) gegenüber
jenem Koordinatensystem X', Y'
verdrehtes, rechtwinkliges Koordinatensystem
X, Y hat, daß also zwischen den Koordinaten die durch die oben angegebenen
Gleichungen ausgedrückten Beziehungen bestehen, geht aus Abb. 5 hervor, aus der
sich mit den eingeschriebenen Bezeichnungen die Gleichungen ergeben:
In dem dritten, durch Abb. 6 veranschaulichten Ausführungsbeispiel sind auf einer
Grundplatte 51 zwei Gehäuse 52 und 53 befestigt, in deren jedem ein Wechselrädergetriebe
untergebracht ist, von dem der Einfachheit halber nur diejenigen Räder gezeichnet
sind, die für die Umwandlung von Koordinaten benötigt werden, wenn der Winkel, um
den die in Frage kommenden Koordinatensysteme gegeneinander verdreht sind (wie später
abgeleitet werden wird), a=53° 1o' ist. Um andere Drehwinkel a berücksichtigen zu
können, müßten also andere, nicht gezeichnete Räder eingeschaltet werden. Zum Zwecke
der Umschaltung ist an dem Gehäuse 5 2 ein Knopf 54 und an dem Gehäuse 53 ein Knopf
55 vorgesehen. Ein Zeiger 56 des Knopfes 54 zeigt an einer Skala 57 des Gehäuses
52, und ,ein Zeiger 58 dies Knopfes 55 zeigt an einer Skala 59 des Gehäuses
53 denjenigen Winkel a an, dementsprechend die Wechselräder geschaltet sind. Der
gezeichnete Teil des im Gehäuses 52 untergebrachten Wechselrädergetriebes besteht
aus zwei miteinander im Eingriff stehenden Rädern r1 und r=, die ein Übersetzungsverhältnis
6 -.5 aufweisen, und zwei miteinander im Eingriff stehenden Rädern ri und r2 mit
einem Übersetzungsverhältnis 8.: 5, während der gezeichnete Teil des im Gehäuse
53 untergebrachten Wechselrädergetriebes zwei miteinander im Eingriff stehende Räder
rs und y4 mit einem Übersetzungsverhältnis 6 : 5 und einen Radsatz enthält, der
aus zwei Rädern y3 und r4 besteht, die über ein Zwischenrad r, miteinander zusammenarbeiten
und ein Übersetzungsverhältnis 8 : 5 aufweisen. Auf der das Rad r2 tragenden Welle
6o sitzt ein Kegelrad 61, daß das eine Kronrad eines Differentialgetriebes bildet,
dessen anderes Kronrad durch ein Kegelrad 62 gebildet wird, das auf der das Rad
r4 tragenden Welle 63 sitzt. Das -zugehörende Planetenrad 64, das die gleiche Zähnezahl
aufweist wie die Kronräder 61 und 62, ist auf einem Arm 65 drehbar gelagert, der
einem auf der Welle 63 lose drehbar gelagerten Radkörper 66 angehört, Dieser
Radkörper greift mittels einer Verzahnung 67 in ein Zahnrad 68, .das mittels einer
Welle 69 durch ein Handrad 7o angetrieben werden kann. Die Welle 69 ist mit Gewinde
versehen, in das ein Mutterstück 71 eingreift, das, um an Drehungen verhindert zu
sein, noch längs einer der Welle 69 parallelen Welle 72 geführt ist. Die Anordnung
hat zur Folge, daß eine Verschiebung des Mutterstücks 71 gegenüber der Grundplatte
51 einer Verdrehung des Radkörpers 66 und damit einer Verdrehung des Planetenrades
64 um die Achse der Welle 63 -bzw. der Welle 6o proportional ist. Ein Zeiger 73
des Mutterstücks 71 zeigt an einer nach Längen bezifferten Skala 74 der Grundplatte
5i die jeweilige Stellung des Mutterstücks 71 gegenüber der Grundplatte 51 an, welche
Stellung, wie weiter unten erläutert werden wird, der Koordinate @l eines bestimmten
Punktes P1 in bezug auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem X', Y' entspricht.
Die zugehörende Koordinate Yi dieses Punktes wird durch einen an einem zweiten Mutterstück
75 angebrachten Zeiger 76 an einer nach Längen bezifferten Skala 77 der Grundplatte
51 angezeigt. Das Mutterstück 75 ist einerseits längs einer Welle 78 verschieblich
gelagert und greift andererseits in eine dieser Welle parallele Gewindespindel 79
ein, die durch ein Handrad 8o angetrieben werden kann. Um die Drehungen der Spindel
79 auf einen Radkörper 81 zu übertragen, der auf der das Rad r4 tragenden Welle
8a lose drehbar gelagert ist, greift ein Zahnrad 83 der Spindel 79 in eine Verzahnung
84 des Radkörpers 81 ein. Auf einem Arm 85 des Radkörpers 81 ist das Plänetenrad
86 eines zweiten Differentialgetriebes drehbar gelagert. Die beiden Kronräder 87
und 88 dieses Getriebes weisen die gleiche Zähnezahl auf wie das Planetenrad 86.
Das Kronrad 87 sitzt auf der Welle 82, während das Kronrad 88 auf der das Rad r=
tragenden Welle 89 befestigt ist. Die Räder r1 und rl werden von einer Welle 9o
getragen, deren Drehungen
mittels eines Kegelräderpaares 9i auf
eine Welle 92 übertragen werden. Ein Mutterstück 93, das einerseits in ein Gewinde
dieser Welle 92 eingreift und andererseits längs einer dieser Welle parallelen Welle
94 geführt ist, erfährt bei einer Verdrehung der Welle 92 eine Verschiebung gegenüber
der Grundplatte 51, die der Verdrehung der Welle 92 und damit der Verdrehung
der Welle 9o proportional ist. Ein Zeiger 95 des Mutterstücks 93 zeigt an einer
nach Längen bezifferten Skala 96 des Gehäuses 52 die jeweilige Stellung des Mutterstücks
93 gegenüber der Grundplatte 51 an, welche Stellung, wie weiter unten erläutert
werden wird, der Koordinate Y1 jenes Punktes F1 in bezug auf ein um den Winkel a
(dem entsprechend die Wechselräder geschaltet sind) gegenüber dem X', Y'-System
verdrehtes, rechtwinkliges Koordinatensystem X, Y entspricht. Die Räder r3 und r3
«-erden von einer Welle 97 getragen, deren Drehungen mittels eines Kegelräderpaares
98 auf eine Welle 99 übertragen werden. Ein Mutterstück ioo, das einerseits in ein
Gewinde dieser Welle 99 eingreift und andererseits längs einer dieser Welle parallelen
Welle ior geführt ist, erfährt bei einer Verdrehung der Welle 99 eine Verschiebung
gegenüber der Grundplatte 5 i, die der Verdrehung der Welle 99 und damit der Verdrehung
der Welle 97 proportional ist. Ein Zeiger io2 des Mutterstücks ioo zeigt an einer
nach Längen bezifferten Skala 103 des Gehäuses 53 die jeweilige Stellung des Mutterstücks
ioo gegenüber der Grundplatte an, welche Stellung, wie weiter unten erläutert wenden
wird, der zu der Koordinate Y1 gehörenden Koordinate X1 jenes Punktes P1 in bezug
auf das X, Y-System entspricht.
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Sind die Koordinaten X,' und Y,' eines Punktes in bezug auf ein rechtwinkliges
Koordinatensystem X', Y' bekannt, -und sollen die entsprechenden Koordinaten
X, und Y1 dieses Punktes in bezug auf ein Koordinatensystem X, Y ermittelt werden,
das gegenüber dem X', Y'-System um einen Winkel a verdreht ist, so sind zunächst
in beiden Gehäusen 52- und 53. die diesem Winkel a. entsprechenden Wechselräder
einzuschalten, zu welchem Zweck die Knöpfe 54 und 55 so zu betätigen sind, daß der
Zeiger 56 an' der Skala 57 ebenso wie der Zeiger 58 an der Skala 59 diesen Winkel
a anzeigt. Darauf sind die Handräder 7o und 8o so anzutreiben, daß der Zeiger 73
an der Skala 74 den Wert X,' und der Zeiger 76 an der Skala 77
den
Wert Y1' anzeigt. Dann gibt der Zeiger i o2 an der Skala 103 den gesuchten
Wert X,. und der Zeiger 95 an der Skala 96 den gesuchten Wert Y1 an.
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Auch die soeben beschriebene Vorrichtung muß, wie die Vorrichtungen
nach Abb. 2 und 4, die obengenannten Gleichungen (i) bis (5) erfüllen. Da, wenn
jede der Gleichungen (3) und (4) für sich erfüllt wird, auch die Gleichungen (i),
(2) und (5) erfüllt werden, so ist also das richtige Arbeiten der Vorrichtung nachgewiesen,
wenn gezeigt werden kann, daß die durch die Gleichungen X1' = X1 cos
a -i-- Y1 sin a, Y1' = Y1 cos a -X, sin a
ausgedrückten
Beziehungen aufrechterhalten werden. Es läßt sich nun leicht ableiten, daß bei einer
(aus. einer Drehung des Handrades 7o folgenden und nach der getroffenen Anordnung
der angezeigten Koordinate X,' proportionalen) Drehung des Radkörpers 66 (mit dem
Planetenrad 64) um die Achse der Welle 63 und bei einer (aus einer Drehung des Handrades
8o folgenden und nach der getroffenen Anordnung der angezeigten Koordinate l'i proportionalen)
Drehung des Radkörpers 81 (mit dem Planetenrad 86) um die Achse der Welle 82 (wobei
eine Drehung der Welle 9o resultiert, die nach der getroffenen Anordnung der angezeigten
Koordinate Y1 proportional ist, und wobei ferner eine Drehung der Welle 97 resultiert,
die nach der getroffenen Anordnung der angezeigten Koordinate X1 proportional ist),
die Gleichungen gelten
Diese Gleichungen lassen sich in die obigen beiden Gleichungen überführen, wenn
noch die beiden folgenden Gleichungen gelten:
das heißt für einen bestimmten Winkel a müssen solche Wechselräder eingeschaltet
werden, däß die Übersetzungsverhältnisse der Radpaare y1, r2 und. r,',
. r4 untereinander gleich und gleich dem Cosinus dieses Winkels a sind und
daß die Übersetzungsverhältnisse der Radpaare r3, r4 und r,', r2 untereinander
gleich und gleich dem Sinus dieses Winkels a sind. Dabei ist dem negativen Vorzeichen
in der Gleichung für Y1 durch das Zwischenrad r, (zur Erzielung eines anderen Drehsinnes
für das Rad r,) Rechnung getragen.
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Da, wie oben angegeben, das Übersetzungsverhältnis des Radpaares r1,
r= gleich dem des
Radpaares r,', r4' gleich 6 : 5 und das Übersetzungsverhältnis
des Radpaares r3,. r4 gleich dem des Radpaares r1', r2' gleich 8 : 5 gewählt ist,
so muß demnach die Vorrichtung richtig arbeiten. Die eingeschalteten Wechselräder
entsprechen einem Winkel v., dessen Cosinus gleich 3/" und dessen Sinus gleich '115
ist, also einen Winkel a = 53° 1o'.
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Zur Führung des Nachweises, daß diese beiden Gleichungen gelten, sei
:der Einfachheit halber angenommen, daß die Betätigung der Handräder 70 und
8o nacheinander erfolgt.
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Wenn das Handrad 8o in Ruhe ist, so befinden sich auch die Spindel
79, die Räder 83 und 84 und der Radkörper 8i, an dem das Planetenrad 86 des Differentialgetriebes
86, 87, 88 drehbar gelagert ist, in Ruhe. Demzufolge können bei einer Drehung am
Handrad 7o, die sich über die Wellen 6o, 9o, 89 und 63, 97, 82 auf die Kronräder
88 und 87 dieses Differentialgetriebes auswirkt, die Kronräder 88 und 87 und damit
die Wellen 89 und 82 nur eine Drehung Dun gleich große Beträge und im entgegengesetzten
Sinne erfahren. Wenn also die Welle 89 in der Zeiteinheit rt Umdrehungen erfährt,
so muß die Welle 82 in der Zeiteinheit rr Umdrehungen im entgegengesetzten Drehsinn
.erfahren. Zufolge der Kupplung der Wellen 89 und 9o durch das Räderpaar r1, r.
macht dabei die Welle 9o in der Zeiteinheit Umdrehungen, und da die Welle 9o
mit der Spindel 92 zur Verschiebung des Y,- Mutterstücks 93 gekuppelt ist, so ist
Y1 = Cl # n1, wobei Cl eine Proportionalitätskonstante ist. Entsprechend
ist - wegen - der Kupplung der Wellen 82 und 97 durch die Räder r3, ro, r4, also
mit
Umdrehungen der Welle 97 in der Zeiteinheit, und wegen der Kupplung der Welle 97
mit der Spindel 99 zur Verschiebung des X,-Mutterstücks ioo -X1 = C= # n?, wobei
C. eine zweite Proportionalitätskonstante ist. Die Wellen 6o und 63 mögen je eine
Umdrehungszahl zt, bzw. ia, in der Zeiteinheit haben. Zufolge der Kupplung der Welle
6o mit der Welle 9o durch die Räder ri und r.=' besteht die Gleichung
während zufolge der Kupplung der Welle 63 mit der Welle 97 durch die Räder r3 und
r4 die Gleichung
besteht. Da von dem Differentialgetriebe 61, 62, 64 das Kronrad 61 auf der Welle
6o sitzt, also n3 Umdrehungen in der Zeiteinheit macht, und das Kronrad 62 auf der
Welle 63 sitzt, also n.4 Umdrehungen in der Zeiteinheit macht, wobei mit Rücksicht
auf das für die Kupplung der Wellen 82 und 97 zwischen den Rädern r3 und r4 eingeschaltete
Zwischenrad r, die Drehrichtung beider Kronräder den gleichen Drehsinn hat, so macht
der Radkörper 66, an dem das Planetenrad 64 drehbar gelagert ist, um die Achse der
Welle 63 in der Zeiteinheit l/.. (n3 + n4) Umdrehungen, und da der Radkörper
66 mittels der Räder 67, 68 und der Spindel 69 mit dem X,'-Mutterstück 71 gekuppelt
ist, so ist X1' - C3 # (1a3 @- 1i4), wobei C3 eine dritte Proportionalitätskonstante
ist. Aus dieser Gleichung ergibt sich mit den obengenannten Gleichungen Yl =
Cl # nl; XI = C2 # ii.;
aus welcher bei geeigneten Werten der Proportionalitätskonstanten Cl, C, und C3
die erstere jener beiden Gleichungen, für die der Nachweis der Richtigkeit - erbracht
werden sollte, ohne weiteres hervorgeht.
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In gleicher Weise läßt sich auch der Nachweis für die Richtigkeit
der anderen der beiden Gleichungen führen.