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Vektorintegrator. In der theoretischen Physik werden die Kraft- und
Strömungsfelder teils auf sogenannte »Quellen«, teils auf »Wirbel« zurückgeführt.
Ersteres gilt z. B. für elektrostatische, magnetische, Schwerkraft- und Temperaturfelder,
letzteres für elektromagnetische und Torsionsspannungsfolder. Beide Arten, getrennt
oder vereint, gelten für die hydraulischen Strömungsfelder.
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Zwischen der Quellstärke &, und der von der Quelle für sich an
irgendeinem Raumpunkt P bedingten oder erregten Kraft, Temperaturgefälle, Geschwindigkeit,
kurz dem sogenannten Feldvektor, besteht immer die sehr einfache Beziehung, daß
dieser Vektor mit dem Quadrat des Abstandes abnimmt, .wenn die Quelle punktförmig
ist, oder mit dem einfachen Abstand abnimmt, wenn die Quelle längs einer geraden
Linie von unendlicher Länge verteilt ist. Außerdem ist die Vektorstärke auch der
Quellstärke oder Intensität u. proportional. Ähnliche Gesetze gelten auch für die
Felderregung durch Wirbel.
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Ferner erhält man auch für die aus dem Vektor abgeleiteten Funktionen,
die sogenannte Stromfunktion f@ (gleich der von einer
gewissen Stromlinie
als Nullinie ab gezählten Flußm.enge) und das sogenannte Potential 9 (Kräfte-, Geschwindigkeitspotential),
das durch Äquipotentiallinien oder -flächen dargestellt zu werden pflegt, ziemlich
einfache Gesetze, z. B. für die Stromlinienfanktion geradliniger Quellen das Gesetz
tL = &, O, wobei O der Winkel zwischen. dem Radiusvektor des jeweiligen »Aufpunktes«
P gegen die x-Achse ist (vgl. die Lehrbücher über Vektoranalysis, theoretische Physik,
Hydrodynamik).
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Hat man mehrere Quellen oder Wirbel oder eine stetige Verteilung von
kleinen, elementaren Quellen oder Wirbeln, so lehrt die Physik, daß dann dex Wert
der verschiedenen Vektorfunktionen sich einfach durch Summierung oder Integration
der Elementarbeiträge errechnet, z. B. für die genannte Stromlinienfunktion
worin d M die elementare Quellstärke des einzelnen Fadens und n den hier veränderlichen
Fahrstrablwinkel des betreffenden Quellfadens bedeutet.
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Abb. r erläutert das einem in der x-Richtung bewegten Kreiszylinder
entsprechende System positiver Quellen (rechts, durch Punkte markiert) und zugehöriger
Senken (links, ohne Punkte) und die zwischen den Quellen. und Senken zustande kommenden
Strom- oder Kraftlinien.
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Abb. a erläutert, wie das gleiche Strömungsfeld auf Wirbel zurückgeführt
werden kann, welche längs der Zylinderoberfläche nach bestimmtem Gesetz verteilt
sind.
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In beiden Fällen setzen sich an dem jeweils betrachteten Rufpunkt
die gesuchten Feldfunktionen (Geschwindigkeitskomponenten, Stromfunktion, Potential)
durch Summierung der Beiträge der Elementarquellen und -wirbel zusammen.
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Da die wirkliche Ausrechnung dieser Funktionen sowohl analytisch wie
graphisch äußerst mühselig ist, sucht die vorliegende Erfindung dies durch eine
Maschine zu erledigen.
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Bekannt ist, das Potential einer ebenen, durchaus gleichartigen; flächenhaften
Massenbelegung für irgendeinen Raumpunkt durch eine einfache Integriervorrichtung
zu ermitteln. Diese Aufgabe ist jedoch wegen sehr geringer Bedeutung dieses Falles
ohne westere Anwendung und Ausbildung geblieben.
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Die vorliegende Erfindung löst eine wesentlich allgemeinere und. schwierigere
Aufgabe, nämlich die maschinelle Ermittlung beliebiger Vekto,rfunktionen (siehe
oben) bei beliebiger (nicht nur gleichmäßiger) Verteilung von Quellen oder Wirbeln
über beliebige Kurven (nicht nur ebene Bereiche).
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Der neue, sehr allgemein anwendbare »Vektorintegrator« besteht einerseits
aus einer Vorrichtung A, welche eine im allgemeinen vollkommen willkürliche Verteilung
von Quellen, Doppelquellen oder Wirbeln durch Befahren einer gegebenen Intensitätskurve
y = f (x) mit Hilfe von Fahrstangen und -stiften, Schlitten, Rollen, Verzahnungen
o. dgl. der Größe nach messend wahrnimmt, und einer VorrichtungB, die aus ähnlichen,
an sich bei Integratoren für Flächen usw. bekannten Teilen besteht und zwischen
dem festen, gerade untersuchten Rufpunkt und der »Kontaktkurve« z = g (x),
auf welcher die elementaren Quellen oder Wirbel verteilt sind, eine Verbindung herstellt
und die Multiplikation der jeweiligen elementaren Quell- oder Wirbelstärke mit einer
Ortsfunktion (z. B. O, cos O, logn i° usw.) und die schließlich.e Integration vermittelt.
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Im allgemeinsten Falle handelt es sich also um Ausrechnunz von Integralen
der Form
worin f (x) dx die elementare Quell- (oder Wirbelstärke und g (x) die gen.aiinte
Ortsfunktion bedeutet, welche von der Maschine durch einen geeigneten kinematischen
Mechanismus selbsttätig hergestellt und in geeigneter Weise übertragen wird.
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In vielen praktischen Fällen liegen jedoch nicht vollkommen willkürliche
Formen der Intensitäts- und der Verteilungskurve vor, sondern treten wesentliche
Vereinfachungen ein, z. B. derart, daß die Intensität längs gewisser Strecken konstant,
oder daß die Verteilungskurve, z. B. bei Umdrehungskörpern (achsensymmetrisc@hes
Problem), geradlinigist. In solchen Fällen können die Vorrichtungen A bzw. B ganz
oder teilweise vereinigt sein oder zusammenfallen.
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Das Wesen der vorliegenden Vektorintegratoren möge an einem besonders
einfachen Beispiel, der Ermittlung der Stromfunktion @ für einen Kreis- oder elliptischen
Zylinder, erläutert werden (Abb.3). Diese berechnet sich, da die elementare Quellstärke
auf dem Zylinderumfang einfach gleich d v = k dy ist, zu
Infolgedessen kann hier der zur Wahrnehmung der Intensität dienende Fahrstift i
i und Schlitten i a mit dem zur Wahrnehmung der Verteilungskontur (z. B. Kreis)
dienenden Fahrstift und Schlitten zusammenfallen.
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Das Gerät besteht aus einer auf Rollen i 3, 13 in Richtung
dex x-Achse beweglichen Achsd 14, auf welcher Schlitten i a mit Fahrstift i i derart
gleitet, daß i i die Verteilungskurve (hier Kreis) bestreicht. P ist der Rufpunkt,
für den gerade tL zu ermitteln ist. Die Linie von P bis i i ist der strichpunktierte,
ideelle Fahrarm, welcher jedoch nicht in Metall ausgeführt ist, sondern dem wirklichen
Fahrarm P'0, um die Strecke a parallel verschoben, gegenüberliegt.
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Der Schlitten 1z trägt den Mechanismus, welcher die Bildung und Übertragung
der Ortsfunktion
bewerkstelligt und aus dem »Aufpunktarm«
OP', dem Zahnrad 16 und der Zahnschiene 17 besteht, und den jeweiligen
Drehwinkel O des Fahrarms in eine x-Verschiebung, relativ zum Schlitten i?, verwandelt.
Mit 17 ist ein Tragfüßchen 18 aufklappbar verbunden, in welches der Fahrstift
eines gewöhnlichen Planimeters eingesetzt wird, um eine besondere Integrierrolle
am Apparat selbst zu ersparen.
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Beim Umfahren der Verteilungslinie (Kreiskontur) mit Stift i i beschreibt
18 eine bestimmte Kurve, deren Flächeninhalt an der Plammeterrolle i g abgelesen
wird, und, wie Theorie und Versuch übereinstimmend zeigen, bis auf eine additive
Konstante (hier gleich Kreisflächeninhalt) den Wert der S,tromfunktion c@ für den
Aufpunkt P angibt.
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Bei den meisten Vektorintegratoren besteht die in ihrem Wesen begründete
Schwierigkeit, daß bei gewissen Lagen des Aufpunktes nahe der zu umfahrenden Kurve
der Aufpunktarm OP' mit dem Fahrstift i i zusammenstößt bzw. durch i i hindurchschlagen
muß.
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Die vorliegende Erfindung verwendet daher neben dem gewöhnlichen Fahrstift
i i noch einen als Bleistift o. diel. ausgebildeten Hilfsstift io, welcher eine
parallel um b verschobene kongruente Hilfskurve beschreibt. Außerdem werden sämtliche
Fahr- und Hilfsstifte hochnehmbar ausgeführt, derart, daß während des Hochnehmens
des einen Stiftes der andere zur Führung und Stützung dient, und umgekehrt. Hierdurch
wird verhindert, daß während des Hochnehmens einzelner Stifte die genaue Führung
auf der Kurve verlorengeht, da ja die Hilfskurve inzwischen als Ersatz dient, und
umgekehrt.
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Abb. 3a zeigt den Apparat in baulicher Ausführung, wobei das Zahnrad
16 und dieZahnsc.hiene 17 durch eine einfache Rolle ersetzt sind, welche
durch eine sehr feine herumgelegte Stahlsaite die Schiene 17 mittels zweier
Hörnzr in Richtung der Rollachse 14 relativ verschiebt. Die hochnehmbaren Fahrstifte
i i und i o sind deutlich sichtbar.
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Das vorliegende Gerät ist für Quellverteilungen längs beliebiger Konturkurven
geeignet, wenn die Quellstärke in bezug auf eine Achsenrichtung (hier z. B. y-Achse)
gleichmäßig verteilt ist. Statt auf einer geschlossenen Kurve können auch Quellen
und Senken längs einer einfachen Linie, z. B. einer Geraden, aneinandergereiht sein.
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Handelt es sich statt der Quellen um ebenso verteilte Wirbel., so
liefert der Integrator statt des Wertes der Stromfunktion @ die Werte der Potentialfunktion
y.
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Einen anderen Vektorintegrator zur Ermittlung des Feldvektors selbst,
d. h. seiner Komponenten cx bzw. c, zeigt Abb. 4.a bis 4.c für den Fall einer gesalilossenen,
mit Wirbeln konstanter Flächendichte oder entsprechenden Quellen erfüllten Kontur.
Die Theorie läßt sich am einfachsten durch Benutzung von Polarkoordinaten nachweisen,
und zwar wird hier
und
ermittelt. Das Gerät wird mit seinem Zentrum über den Aufpunkt P gestellt. Durch
diesen geht die vertikale Achse 2o der festen Gabel 21 mit Integrationsrolle 22
und die drehbare Hohlachse 23, in deren Gabelung 23' der Fahrarm 2.l mit
Fahrstift 24' radial schiebbar ist.
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Fährt der Fahrstift auf einer geschlossenen Konturkurve, so schiebt
sich 24 jeweils uni kleine Beträge dr. Die unter dem Winkel O dagegen geneigte Integrationsrolle
2a dreht sich dabei, nach wohlgekanntem Prinzip, um elementare Rollbögen dr cos
O und summiert diese Einzelbeträge zum Gesamtwert
Die bisher beschriebenen Maschinen betrafen Verteilungen mit nach irgendeiner Koord:inatenrichtung
konstanter Intensität, welche daher das Zusammenlegen mehrerer Teile der Vorrichtungen
A und B zuließen. Ist jedoch die Stärke der Quellen oder Wirbel willkürlich,
etwa in Form der unteren Kurve in Abb. 5 als y = f (x), gegeben und außerdem
die Logenkurve z=g (x) (Abb. 5 oben) willkürlich vorgezeichnet, so kann dem
Vektorintegrator beispielsweise die dargestellte allgemeinere Form gegeben werden.
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Es handele sich z. B. wieder um eine Vektorfunktion
wobei ydx die elementare Quell- oder Wirbelstärke und O die schon oben erwähnte
Funktion der gegenseitigen Lage von Aufpunkt P und Quellpunkt O der Logenkurve
z = / (x) bedeutet.
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Die Maschine besteht beispielsweise aus einer Führungsschiene x, längs
welcher sich der Hauptwagen xa, x.. in der x-Richtung führt. Dieser trägt
die y-z-Schiene, auf welcher einerseits Wagen Y mit Fahrstift Q zur Wahin:ehanung
der lokalen Quellstärke y dx, anderseits Wagen Z mit dem Mechanismus zur
Wahrnehmung und Übertragung der Ortsfunkti@an (hier O) beweglich ist.
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Um eine vertikale Achse 4.o an der y-z-Schiene des Hauptwagens ist
Scheibe S drehbar, welche proportional der jeweiligen Verschiebung dx von einem
der Laufräder 41 aus angetrieben wird.
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Achse 40 liegt genau in Verlängerung der strichpunktierten Nullinie
der Intensitätskurve y= f (x).
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Der Y-Wagen trägt in gleicher Höhe mit Fahrstift Q die primäre Integrierro@lle
T, welche mit einer radialen Achse uaid Trommel 43 gekuppelt ist.
Diese
Teile bilden einen GoneIlaschen Integrationsmechanismus, wobei eine Abrollung von
T und 43 proportional dem Drehwinkel dx der Scheibe S und dem radialen Abstand
y (gleich jeweiliger Quellintensität) hergestellt wird., also eine Trommeldrehung
y dx.
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Die Multiplikation mit der Ortsfunktion (hier U) geschieht mit Hilfe
des Z -Wagens, unter Verwendung der in Abb.3 und 3a beschriebenen Mechanismen, folgendermaßen:
Durch Aufpunkt P geht der mit Zahnrad D verbundene Fahrarm PO, welcher gerade den
Winkel O mit der x-Richtung bildet. Achse 0 wird durch geeignete Mittel auf der
oder parallel zur Lagerkurve z = f (x) entlang geführt.
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Mit Hilfe der Zahnschiene E wird Drehwinkel O in die Relativverschiebung
a verwandelt. Am Endpunkt 45 der Strecke a greift Schiene FG von konstanter
Länge l an, derart, daß stets die Beziehung a l = sin a gilt. Da
l konstant und a proportional O ist, so ist demnach sin a stets proportional
Drehwinkel O.
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Auf Schiene FG führt sich der Hilfswagen J
vermittels
der Rollen 46 und q.6'. Die Gelenkstanggen 47 und 47' übertragen den Winkel a an
die sekundäre Integrierrolle K, welche an einem Arm (abgebrochen gezeichnet) des
Y-Wagens in einer Gabel der Vertikalachse K schwenkbar ist.
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,K berührt die Trommel 43 des Y-Wagens und wird von ihr demnach proportional
y dx sin a - y dx O angetrieben, entsprechend dem Grundprinzip schräggestellter
Planimeterrollen.
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Bewegt man sonach allgemein den Hauptwagen allmählich um weitere Beträge
dx, so nimmt der Y-Wagen die Multiplikation y dx wahr, der Z-Wagen die weitere Multiplikation
mit der Ortsfunktion, und die sekundäre Integrierrolle summiert die Elementardrehungen
zu der an der Teilung .18 mit Hilfe des Zeigers M ablesbaren Gesamtdrehung, welche
in dem von den Größenverhältnissen abhängigen Maßstab die Größe der gesuchten Vektorfunktio.n
(hier z. B. Stromfunktion @) angibt.
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Damit nicht zwei Beobachter (je einer für Fahrstift O und Q) erforderlich
sind, kann z. B. die flacher gekrümmte Lagenkurve z f (x) als Pappschablone
ausgeschnitten werden, gegen die Fahrstift O nach Art einer Kurvenführung leicht
angedrückt wird.
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Was für Vektorfunktion ul erläutert ist, kann für jede andere Vektorfunktion
(siehe oben) ;:inngemäß ausgeführt werden.
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Z. B. kann der Teilmechanismus für () Ilegen einen verwandten Mechanismus
für die Ortsfunktion Ign r ausgewechselt werden (z. B bei Berechnung der Stromfunktion
@ = lgn r. für fadenförmige Wirbel), etwa unter Zuhilfe nahme kinematischer Eigenschaften
der logarithmischen Spirale lgn r = y (r = R-adiusvekto.r, y =Drehwinkel von einer
Nullage r = l;:
,y _. 0 gezählt).
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Dieser Teilmechanismus kann nach Abb. tia und 6b so ausgeführt werden,
daß eine scharfkantige Rolle 36 vermittels eines Schlittens 35 längs des Armes 29-3o
radial auf die jeweilige Länge r eingestellt wird, wobei die scharfe Kante von 36
sich in einem logarithmisch-spiraligen Kurvensegment 2;-27 abrollt, welches gegenüber
3o-35-36 um die vertikale Achse 25 drehbar ist, gleichachsig mit 0 und Achse 28
von 29-3o. Durch diesen Mechanismus wird zu jedem eingestellten r die gesuchte Funktion
lgnr in Form einer zugeordneten Drehung Y des Kurvensegments 27 kinematisch verwirklicht.
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Diese kann in irgendeiner Weise weiter auf den Integrationsmechanismus
übertragen werden. Es kann auch abwechselnd der eine oder andere Mechanismus für
Berechnung verschiedener Ortsfunktionen auf die Geräte aufgesteckt werden.
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Die Integration der allgemeinen Vektorfunh tion , f f (x) #
g (x) dx kann gemäß vorliegender Erfindung noch in anderer allgemeiner Weise
gelöst werden, auf Grund trigonometrischer Beziehungen, etwa
Hiernach läßt sich das Produkt der Intensitätsfunktion f (x) mit der Ortsfunktion
g (x) zunächst als Produkt zweier trigonometrischer Funktionen, etwa 2 sin e #-r"
und dieses wieder als Summe zweier solcher Funktionen darstellen.
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Die Umwandlung solcher Ortsfunktionen in sin oder cos gelingt leicht,
wie in Abb. 5 und 8 gezeigt ist. Nur müssen die neuen Winkel 8+r, und e-r, aus den
oft beliebig gelegen,en e und -4 hergestellt werden.
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Abb.7 bis 9 erläutern Mechanismen hierfür. In AbY. 8 wird durch eine
G.eradführung die Strecke y = 2b sin s in einen sin verwandelt, ebenso z = 2e sin
-n. Aus den Winkeln s und r, kann die Summe e -I- i) oder Differenz a - -n entweder
mit Hilfe des Parallelogrammechanismus (Abb.7) oder des Rollenmechanismus (Abb.
8) (als Verschiebung einer losen Rolle) hergestellt werden. Abb. 8 deutet die Verschiebung
des losen Rollenmittelpunktes um
bzw. die Verschiebung eine Stangenmittelpunktes (unten) um
an, wobei die Stange natürlich wieder durch eine Rolle ersetzt werden kann.
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Die weitere Verwandlung dieser Versehiebongen in .cos- bzw. sin-Funktionen
gelingt
in einfachster Weise durch Anlegen einer geeigneten konstanten
Stangenlänge. ähnlich der in Abb. 5 und 8 vollzogenen Umwandlung von y bzw. z in
sin- bzw. cos-Funktionen.
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Abb.7 und 9 zeigen endlich, wie die Bildung der Winkelsummen E-ILr,
oder Differenzen e - r, in baulich zweckmäßiger Weise gemäß vorliegender Erfindung
durchgeführt werden kann, insbesondere wenn einer der Winkel, z. B. e, nicht von
einer festen, sondern von einer veränderlichen Nullrichtung, etwa von 2', aus, eingestellt
wird. Dieser Fall tritt z. B. ein, wenn Ortsfunktionen
oder
o. dgl. kinematisch durch Umwandlung in Sinusse oder Kossinusse darzustellen sind.
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Der Mechanismus (Abb. 9) besteht aus vier lose drehbaren Rollen i,
2, 3, 4, welche je mit Armen i', 2', 3', 4' versehen sind, ferner aus einem losen
Arm 5, welcher die breiteren kleinen Rollen 6 und 7 mit parallelen Achsen trägt.
Um die Rollen i und 2 ist in der dargestellten Weise eine Stahlsaite geschlungen,
ebenso um die Rollen 3 und 4. Der Mechanismus stellt nun zwischen Arm i' und 4'
denselben Winkel E her wie zwischen Arm 2' und 3', unabhängig von der Größe des
Winkels r, zwischen i' und 2'. Er ersetzt daher den Parallelogrammechanismus (Abb.
7), welcher in vielen Lagen selbstsperrend ist und Totpunkte aufweist. Diese
Rollenmechanismen können sehr vielseitig zum Übertragen eines beliebig gelegenen
Winkels s an einen anderen Winkel r, oder an eine bestimmt orientierte Ausgangsgerade,
ebenso zur Differenzbildung von Winkeln usw. verwendet werden, wie dies bei den
vorliegenden Vektorintegratören häufig notwendig ist.