DE56560C - Kegelschnitt-Zirkel - Google Patents

Description

KAISERLICHES

PATENTAMT.

KLASSE 42: Instrumente.

Die' Einrichtung des vorliegenden Kegelschnitt-Zirkels beruht auf folgenden beiden bekannten Sätzen: 1. Jeder Umdrehungskegel wird von einer Ebene je nach ihrer Lage in einem Kreise, einer Ellipse, Parabel oder Hyperbel geschnitten. 2. Beschreibt man in dem Kegel diejenigen beiden Kugeln, die Kegel und Schnittebene zugleich berühren, so sind ihre Berührungspunkte mit der Ebene identisch mit den Brennpunkten des betreffenden Kegelschnittes (Quetelet-Dandelin'scher Satz). Stellt also in Fig. 1 A B die den Rotationskegel ABC schneidende Ebene und M den Mittelpunkt einer der beiden einbeschriebenen Kugeln dar, so ist F der eine Brennpunkt des Kegelschnittes (hier Ellipse), ferner ist C M die Achse des Kegels und MF=MD. Die stärker ausgezogenen Linien stellen nun schematisch die Bestandteile des Zirkels dar, der in Fig. 2 vollständig gezeichnet ist.

Der Fufs α trägt an seinem unteren Ende eine Spitze F (bezw. Schraube); das obere Ende steht vermittelst eines gewöhnlichen Zirkelscharniers b mit dem Bolzen c in Verbindung. Ueber denselben ist die Hülse d geschoben, die bei e, Fig. 3, einen Schlitz hat, in welchem der kreisförmige Bügel f gleiten kann. Letzterer läfst sich durch die Druckschraube g feststellen. Das eine Ende des Bügels trägt mit Hülfe des Steges h eine zweite Hülse i. Der Steg ist radial nach M gerichtet und von solcher Länge, dafs der Abstand von M bis zur Achse der Hülse i gleich F M ist, also MD=MF. h und i bilden einen Winkel von 90 °. Die Hülse i enthält den Zeichenstift k, der an beiden Enden mit Blei oder Glasspitze versehen ist und unter dem Druck seines Eigengewichts auf der Zeichenfläche gleitet. Um eine Verschiebung des Hohlcylinders d längs des Bolzens c zu verhindern, ist an letzterem eine Hohlkehle I, Fig. 3, angebracht, in welche von aufsen ein federnder Stift m eingreift.

Setzt man nun den Fufs vermittelst der Spitze F in den einen Brennpunkt der zu zeichnenden Curve ein, hält ihn in dieser Stellung fest und führt man die ein Ganzes bildenden, fest verbundenen Glieder i hfd um den Bolzen c als Drehachse herum, so beschreibt der Zeichenstift den Mantel eines Umdrehungskegels, dessen Achse zusammenfällt mit der Achse des Bolzens und dessen Spitze C durch den Durchschnittspunkt derselben mit dem Zeichenstift gebildet wird. Das untere Ende B des letzteren beschreibt folglich bei voller Umdrehung auf der ebenen Zeichenfläche einen Kegelschnitt, dessen einer Brennpunkt, da MF=MD ist, durch den Punkt F dargestellt wird, und· dessen grofse Achse = A B ist. (Damit der Fufs sich nicht um seine eigene Achse drehe, kann an seinem unteren Ende der Zeiger , η angebracht werden — mit Bügel/ in derselben Ebene liegend —, der vermittelst der Spitze 0 genau auf die Linie A-B eingestellt werden kann.)

Da nicht allein die Richtung des Bolzens c, sondern auch die des Zeichenstiftes k (vermittelst des verschiebbaren Bügels) beliebig festgestellt werden kann, so beschreibt der Stift k die Oberflächen aller möglichen Rotationskegel, welche von der durch Mittelpunkt M und Radius MF=MD darge-

stellten Kugel berührt werden. Infolge dessen ist man im Stande, Kegelschnitte von jeder beliebigen Excentricität und Form zu zeichnen. Zugleich folgt aber hieraus, dafs der Zirkel gestattet, nicht nur Ellipsen, sondern auch Parabeln und Hyperbeln zu zeichnen. Aufser Fig. 2 veranschaulichen Fig. 4 bis 8 einige von den unendlich vielen möglichen Fällen.

Fig. 4: Parabel (C A parallel zur Zeichenfläche).

Fig. 5: Hyperbel, deren zweiter Ast vom zweiten Ende des Zeichenstiftes beschrieben wird.

Fig. 6: Ellipse als Schnittfigur einer Cylinderfläche (Je parallel c eingestellt) und einer Ebene.

Fig. 7: Ellipse mit beliebig kleinen Achsen (hierbei bilden Bolzenachse und Steg einen stumpfen Winkel, also liegt die Spitze des Kegels unterhalb der Zeichenebene). Dieser Fall ist besonders hervorzuheben, da von den vorhandenen Kegelschnitt-Zirkeln es noch keiner ermöglicht, jede Art von Kegelschnitten und zugleich beliebig kleine Ellipsen zu zeichnen.

Fig. 8: Kreis.

Soll im technischen Zeichnen zu gegebenen Achsen bezw. Brennpunkten und Achsen der betreffende Kegelschnitt, z. B. eine Ellipse, gezeichnet werden — ein Fall, der in der Praxis am häufigsten vorkommen dürfte —, so ist klar, dafs es nach Einsetzung des Fufses a in den einen Brennpunkt und Einstellung des Zeichenstiftes k auf den einen Endpunkt B der grofsen Achse nur noch einer Drehung des Bolzens c bedarf, um zu bewirken, dafs nach einer halben Umdrehung der Zeichenstift durch den anderen Endpunkt A gehe. Ferner ist ersichtlich, dafs sich die Entstehung der Kegelschnitte sowie der Uebergang von einer Curvenart zur anderen klar veranschaulichen läfst, und dafs es ebenso leicht ist, ganze Schaaren von Kegelschnitten zu zeichnen. Sollen z. B. die zu zwei gegebenen Brennpunkten zugehörigen Schaaren confocaler Kegelschnitte gezeichnet werden, so braucht man nur dafür zu sorgen, dafs bei feststehendem Fufs die leicht zu bestimmende Spitze C sich jedesmal auf der Linie C-F₁ befinde. Infolge dessen ist der Zirkel auch mit Vortheil anwendbar als Veranschaulichungsmittel (»Wandtafelzirkel« mit Schraube F) im darstellend-geometrischen und stereometrischen Unterricht.

Um im technischen Zeichnen die Curven direct mit Tusche zeichnen zu können, ersetzt man die Crayonbleifedern durch kleine, mit Rillen versehene Glasspitzen.

Gegenüber dem in der Patentschrift No. 40355 beschriebenen Kegelschnitt-Zirkel gewährt der vorliegende Zirkel den Vortheil, dafs der Fufspunkt F des Fufses α für jede gezeichnete Curve auch wirklich den einen Brennpunkt derselben darstellt, während dies für den eben erwähnten Zirkel durchaus nicht der Fall ist. Die Resultate des letzteren sind nur insofern richtig, als die erhaltenen Curven thatsächlich Kegelschnitte sind; die Lage der Brennpunkte ist jedoch bei den erhaltenen Linien eine durchaus andere, als bei Einstellung des Zirkels angenommen wurde. Infolge dessen gestattet dieser auch nicht, zu gegebenen Achsen einen Kegelschnitt zu zeichnen. Ferner ist für jeden einzelnen Fall die Höhe des Fufses besonders zu bestimmen, während sie bei vorliegendem Instrument ein- für allemal für jede Curve dieselbe ist. Endlich erlaubt jener Zirkel nicht — wie schon erwähnt —, Ellipsen zu zeichnen mit beliebig kleinen Achsen (Fig. 7).

Die Hülse i, in welcher der Schreibstift k gleitet, ist mit dem Stege h rechtwinklig so verbunden, dafs Schreibstift und Bolzen c in einer Ebene liegen, dafs also beide bei gehöriger Verlängerung sich stets schneiden (Spitze des Kegels). Diese Verbindung zwischen Steg und Hülse läfst sich aber leicht so abändern, dafs letztere um den Steg als Achse drehbar ist und in jeder beliebigen Stellung festgestellt werden kann. Alsdann liegen beide nicht mehr in einer Ebene, sondern windschief im Raum. Dann kann aber auch der Schreibstift beim Herumführen um den Bolzen c nicht mehr die Erzeugende eines Kegels sein, sondern er beschreibt bei seiner Umdrehung den Mantel eines windschiefen (oder einschaligen) Rotationshyperboloides (Fig. 10), von welchem der Rotationskegel nur ein specieller Fall ist.

Nun sind bekanntlich die Schnittfiguren eines windschiefen Rotationshyperboloides und einer Ebene genau dieselben, wie zwischen Rotationskegel und Ebene. Ferner gilt für diese Fläche auch der Dandelin'sche Satz von den beiden Berührungskugeln in genau derselben Weise wie beim Kegel. Wird also jene geringfügige Aenderung an meinem Apparat angebracht, so ist derselbe sofort geeignet, auch diese geometrischen Thatsachen zu veranschaulichen. Die Construction bleibt im übrigen vollständig dieselbe.

Die Fig. 11 bis 13 veranschaulichen, wie durch verschiedene Lage des Hyperboloides zur Zeichenfläche die verschiedenen Arten der Kegelschnitte zu gewinnen sind. (Um eine Parabel zu erhalten, braucht man nur genau wie beim Kegel den Apparat so einzustellen, dafs der Schreibstift nach halber Umdrehung parallel zur Zeichenebene zu liegen kommt.) Es ist klar, dafs durch verschiedene Einstellung von Bolzen c, Bügel / und Hülse i zu einander die verschiedenartigsten Hyperboloide vom Schreibstift beschrieben werden können, vom Grenzfalle des Kegels bis zu dem der Ebene.

Wenn auch die Verwendbarkeit des Zirkels im technischen Zeichnen hierdurch nicht gerade

erhöht wird, so dürfte es doch für den geometrischen Unterricht von grofsem Werth sein, einen Apparat zur Hand zu haben, der folgende Thatsachen veranschaulicht:

ι. Dreht sich eine gerade Linie um eine festliegende, nicht mit ihr in einer Ebene befindliche Gerade, so beschreibt sie den Mantel eines windschiefen Rotationshyperboloides.

2. Die Schnittfigur desselben und einer Ebene ist ein Kreis, eine Ellipse, Hyperbel oder Parabel, je nach der Lage der schneidenden Ebene.

3. Der Satz von den beiden Berührungskugeln gilt auch vom Rotationshyperboloid.

4. Der Rotationskegel ist ein Specialfall des Rotationshyperboloides; er tritt auf, wenn die erzeugende Gerade mit der festliegenden Achse in eine Ebene gebracht wird.

5. Auch die Ebene ist ein Specialfall vom Rotationshyperboloid; sie tritt auf, wenn die beiden öeraden windschief zu einander liegen und ihr Winkel = 90⁰ ist. Für diesen Fall beschreibt der Zeichenstift eine gerade Linie.

Da beim Grant'schen Zirkel Bolzen c und Hülse i beständig in wirklicher Verbindung mit einander stehen, so ist es nicht möglich, ihn so umzugestalten, dafs er zur Veranschaulichung obiger Thatsachen geeignet würde. Auch hieraus dürfte hervorgehen, dafs das zu Grunde liegende Princip bei meinem Zirkel in völlig anderer Weise aufgefafst und ausgenutzt worden ist, und dafs daher auch dessen praktische Ausführung sich von der des Grant'schen wesentlich unterscheidet.

Claims (1)

1. Patent-Anspruch: .

   Ein Kegelschnitt-Zirkel, bei welchem ein Bolzen c durch ein Zirkelscharnier M mit dem festzustellenden, nicht drehbaren Fufs a in Verbindung steht, während um diesen Bolzen durch die in feste Verbindung zu bringenden Glieder (Hülse d, Bügel/, Arm h und Hülse i) ein Schreibstift Ar, dessen Mittellinie von dem Gelenk b den gleichen Abstand hat wie die Zeichenebene, in einer Kegelfläche geführt wird und so je nach der Stellung des Bolzens c und des Bügels f einen Kreis, eine Ellipse, eine Hyperbel oder eine Parabel aufzeichnet.

   Hierzu ι Blatt Zeichnungen.