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Vorrichtung zum Auflösen linearer Gleichungen. Die Auflösung linearer
Gleichungen nach den üblichen rechnerischen Verfahren erfordert viel zeitraubende
Rechenarbeit und ist bei nicht sehr kleiner Anzahl der Unbekannten mit zahlreichen
Fehlerquellen verbunden. Vermieden bzw. verringert werden kann diese Schwierigkeit
durch Anwendung einer Vorrichtung, die das Auflösen auf mechanischem Wege ermöglicht.
Bekannt ist eine derartige Vorrichtung, bei der die Gleichungen dargestellt werden
durch die Projektionen gebrochener Linienzüge auf eine feste Achse. Die Neigungswinkel
der einzelnen Stäbe der unter sich parallelen Stabzüge zu der Projektionsachse geben
die Größe der Unbekannten an. Die Vorrichtung, die für die Auflösung einer geringen
Anzahl von Gleichungen ein sehr einfaches und bequemes Hilfsmittel darstellt, hat
jedoch verschiedene Nachteile, die ihre Anwendung beim Auflösen größerer Gleichungsgruppen
erschweren bzw. ganz unmöglich machen r. Das Einstellen der Vorrichtung auf die
zu lösenden Gleichungen erfordert ein Auseinandernehmen des ganzen Gerätes, da sämtliche
Stäbe in ihrer Länge den zu lösenden Gleichungen angepaßt werden müssen.
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2. Das Ablesen der Unbekannten erfolgt durch Messen des Kosinus der
Stabneigungs-Winkel. Da die Stäbe verschieblich sind, kann die Ablesung nicht an
einem festen Maßstab erfolgen, wodurch allein eine größtmögliche Genauigkeit der
Ergebnisse gewährleistet würde.
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3. Das Einstellen der einzelnen Stabzüge derart, daß die Bedingungen
zur Lösung der Gleichungen erfüllt sind, d. h. daß die einander entsprechenden Glieder
derselben einander parallel sind und ihre Endpunkte auf einer Lotrechten zur Projektionsachse
liegen, ist bei einer größeren Anzahl als etwa vier Unbekannter ohne besondere Hilfsmittel
nur schwer zu erreichen.
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q. Der Grad der Genauigkeit der Lösungen hängt ab von der Geschicklichkeit
des Rechners.
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Vorgenannte Nachteile vermeidet die vorliegende Erfindung. Ihr Gegenstand
unterscheidet sich von der genannten Vorrichtung dadurch, daß sowohl das Einstellen
der den Unbekannten beigeordneten Beiwerte als auch das Ablesen der Unbekannten
selbst an festen Maßstäben erfolgt. Die Unbekannten ergeben sich dabei zwangläufig
unmittelbar, sobald die Vorrichtung an ebenfalls festen Teilungen auf die Normalglieder
der Gleichungen eingestellt ist. Es ist daher möglich, durch geeignete Maßnahmen
zur Feineinstellung und
-ablesung die Genauigkeit der Ergebnisse
beliebig zu erhöhen.
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Die zu lösenden Gleichungen mit n Unbekannten lauten a1,1 # x1 @-
a1, 2 x2 -E- . . .. ui, aa ' xit = @l ü2, 1 XI + ü21 2 x2 + # . .
ü2, st ' x@t - ',2 ur:, 1 x1 " f' u2' x2 + #
. . U.n, n ' xiz - »t# Die Unbekannten x werden bei der den
Gegenstand der Erfindung bildenden Vorrichtung dargestellt als Bewegungen von n
Konstruktionsteilen a, deren Größe durch Strecken bzw. Drehwinkel gemessen werden
kann (Abb. 1). Jede dieser Bewegungen wird durch n= verstellbare Übersetzungen b
entsprechend den Beiwerten a »reduziert«. Diese reduzierten Bewegungen a #
x werden zwangläufig derart auf n weitere bewegliche Elemente übertragen,
daß deren Bewegungen gleich den doppelten Summen der reduzierten Bewegungen 2 (cri
x1 + a.2 x2 -}- . . . at # x,l), d. h. gleich den Werten 2 @, sind. Erteilt man
umgekehrt den Elementen e die vorgeschriebenen Bewegungen 2@, so müssen die Konstruktionsteile
,a zwangläufig Verschiebungen ausführen, deren Größe gleich der der gesuchten n
Unbekannten sind, da ja die kinematischen Bedingungen, aus denen sich die Beweungen
x ergeben, vollständig den in den' Gleichungen analytisch festgelegten Bedingungen
entsprechen.
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Da das Wesen der Erfindung unabhängig ist von der Anzahl der aufzulösenden
Gleichungen, soll es der Einfachheit halber an Hand einer Vorrichtung zur Auflösung
nur zweier Gleichungen mit zwei Unbekannten erläutert werden (Abb. r bis 3). Die
Vorrichtung enthält zwei den Gleichungen genau entsprechende kinematische Systeme,
die unter sich nur durch die Stäbe a miteinander verbunden sind. Die Bewegungen
dieser Stäbe liefern die gesuchten Unbekannten. Die Abb.3 zeigt schematisch eine
Ausführungsform der Vorrichtung. Sie besteht aus i ¢ Stäben a, b, c, d, e,
die in den durch Kreise bezeichneten Punkten gelenkig miteinander verbunden sind.
Die Punkte r stellen feste Drehpunkte der Stäbe d auf dem Bodenbrett dar. Die Punkte
2 sind in wagerechter Richtung verschiebliche Drehpunkte der Stäbe b in bezug auf
das Bodenbrett. Durch diese Drehpunkte wird jeder Stab b in einen zweiarmigen Hebel
verwandelt, dessen Arme ihrer Länge nach im Verhältnis a : r zueinander stehen.
Der Wert a ist an einer festen Teilung ablesbar. Läßt man also den Stab a eine Verschiebung
um die Strecke x ausführen, die an dem Zeiger r auf einer festen Skala abgelesen
werden kann, so verschieben sich die Stäbe c um das Maß a x. Die Hebel
b mit ihren je nach den Beiwerten a einzustellenden Drehpunkten 2 bewirken
also die »Reduzierung« der Bewegungen x. Zur Addition der reduzierten Verschiebungen
a . x dienen die Stäbe d und e. Der freie Schenkel des Hebels e verschiebt
sich, wie aus der Zeichnung (Abb. 3) zu ersehen, in Senkrechter Richtung um das
Maß 2 (a1 x1 -I- a2 x2) = 2 @, vorausgesetzt, daß alle Verschiebungen genügend
klein bleiben. (In der Zeichnung sind sie der Deutlichkeit halber stark übertrieben.)
Erteilt man also umgekehrt den Hebeln e die lotrechte Verschiebung 2 @, so müssen
die Stäbe a sich um die Strecken x verschieben und damit die gesuchten Unbekannten
liefern. Abb. r und 2 zeigen die soeben beschriebene Vorrichtung in einfachster
Ausführung.
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Die beschriebene Vorrichtung läßt sich für beliebig viele Unbekannte
anwenden. Es muß nur die Vorrichtung zum Auflösen von n Gleichungen mit n Unbekannten
auch n Stäbe a bzw. andere denselben Zweck erfüllende Konstruktionsglieder enthalten
und ebenso viele kinematische Systeme. Abb. q. zeigt z. B. eine Vorrichtung zum
Auflösen von drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Am Wesen der Erfindung wird
nichts geändert, wenn die Unbekannten statt durch Verschiebungen von Stäben durch
Verdrehung von Achsen o. dgl. erhalten werden. Ebenso ist die -Bauart der die Gleichungen
darstellenden kinematischen Systeme ohne Belang, sofern sie nur die Unbekannten
in den Gleichungen entsprechende Beziehungen zueinander bringen. Die Ausführungsform
ist daher beliebig.