DE112012000663B4

DE112012000663B4 - Verfahren zum Bestimmen einer Mehrschicht-Dünnfilm-Abscheidung auf einem piezoelektrischen Kristall

Info

Publication number: DE112012000663B4
Application number: DE112012000663.1T
Authority: DE
Inventors: Abdul Wajid
Original assignee: Inficon Inc
Current assignee: Inficon Inc
Priority date: 2011-02-03
Filing date: 2012-02-03
Publication date: 2021-05-06
Anticipated expiration: 2032-02-04
Also published as: KR20140007401A; CN103534553B; WO2012106609A2; DE112012000663T5; US20120201954A1; JP6355924B2; CN103534553A; KR101967002B1; WO2012106609A3; US8438924B2; JP2014509390A

Abstract

Verfahren zum Bestimmen der Dicke eines abgeschiedenen Films auf einem piezoelektrischen Kristall, wobei das Verfahren die folgenden Schritte umfasst:a) Bestimmen der Basis-Resonanzfrequenz eines piezoelektrischen Kristallrohlings;b) Aufbringen einer Elektrode auf den Kristallrohling;c) Bestimmen der Basis-Resonanzfrequenz des Verbunds aus Rohling und aufgebrachter Elektrode;d) Aufbringen einer ersten abgeschiedenen Schicht eines Materials auf den Kristallrohling und die Elektrode;e) Bestimmen der Resonanzfrequenz des Verbundresonators, der den Rohling, die Elektrode und die abgeschiedene Schicht aufweist;f) Bestimmen der Schall-Phasenverzögerung über jeden des Kristallrohlings, der Elektrode und der abgeschiedenen Schicht wie bei der Resonanzfrequenz berechnet; undg) Berechnen der Dicke der abgeschiedenen Schicht aus der Phasenverzögerungsinformation und der Dichte des Materials.

Description

TECHNISCHES SACHGEBIET DER ANMELDUNG
Diese Anmeldung betrifft im Wesentlichen das Gebiet der Dünnfilmabscheidung und insbesondere die Verwendung eines piezoelektrischen Kristalls zum Messen der Masse von mindestens einer abgeschiedenen Dünnfilmschicht. Das hier beschriebene Verfahren ermöglicht es, die Dicke mehrerer Schichten von abgeschiedenen Materialien, einschließlich ungleicher Materialien, zu bestimmen und ist auf Quarzkristalle sowie andere geeignete Piezomaterialien, einschließlich, jedoch nicht beschränkt auf, Langasit, Berlinit und Galliumorthophosphat, anwendbar.
HINTERGRUND DER ANMELDUNG
Dünnfilmabscheide-Controller, die auf einer Quarzkristall-Mikrowaage (Quartz Crystal Microbalance QCM) basieren, werden seit sehr langer Zeit in der Dünnfilmbeschichtungs-Industrie verwendet, wie unter anderem z. B. in US 5 112 642 A von Wajid und US 5 869 763 A von Vig et al. beschrieben ist. Bei einer typischen Anordnung ist ein Monitor-Quarzkristall in der Nähe eines Substrats in einer Dünnfilmabscheide-Einrichtung platziert, wobei der Kristall und das Substrat jeweils gleichzeitig beschichtet werden. Das Material, das auf dem Kristall abgeschieden wird, ist normalerweise proportional zu dem Material, das auf dem Substrat abgeschieden wird. Infolge der Materialabscheidung auf dem Quarzkristall verschiebt sich dessen Resonanzfrequenz auf monotone Weise nach unten. Daher ermöglicht das Wissen um die Frequenzverschiebung des Kristalls sowie die Dichte des Materials eine überschlägige Ermittlung der Dicke des Materials, das auf dem Kristall und dem Substrat abgeschieden wird.
Das Thema der Massenbestimmung mittels einer Mikrowaage für piezoelektrischen Quarzkristall wurde bereits zum Beispiel von Lu und Czanderna in ihrem Aufsatz Applications of Piezoelectric Quartz Crystal Microbatances [Verwendungen von Mikrowaagen für piezoelektrischen Quarzkristall] behandelt (siehe: C. Lu, A. W. Czanderna, „Applications of Piezoelectric Quartz Crystal Microbalances“, Methods and Phenomena Their Applications in Science and Technology (Vol. 7), Elsevier Science Publishers B. V., Niederlande 1984 (ISBN 0-444-42277-3)). Bei frühesten QCM-Geräten wurde die Sauerbrey-Beziehung angewendet, um die Dicke von abgeschiedenen Filmen aus der Resonanzfrequenzverschiebung des Quarzkristalls zu berechnen. Die Sauerbrey-Formel war jedoch nur für eine sehr begrenzte Frequenzverschiebung genau. In den 1970iger Jahren veröffentlichten Lu und Lewis eine Analyse, bei der die elastischen Eigenschaften des abgeschiedenen Films berücksichtigt wurden. Die Lu-Lewis-Gleichung mit dem Markenzeichen Zmatch® hat die Genauigkeit von QCM-Geräten in großem Maße verbessert und deren Einsatzbereich erweitert. Folglich wird bei nahezu allen QCM-Geräten, die für eine Dünnfilmabscheide-Prozesssteuerung vorgesehen sind, derzeit die Zmatch-Gleichung zum Umwandeln der Frequenzverschiebung eines Quarzkristalls in die Dicke des abgeschiedenen Films angewendet.
Die Zmatch-Gleichung ist jedoch hinsichtlich der Abscheidung von nur einem Material auf Quarzsand strikt gültig. Das Abscheiden von zwei oder mehr ungleichen Materialien nacheinander beeinträchtigt die Genauigkeit dieser Gleichung. Der Umfang an Fehlern ist vom Umfang der Diskrepanz der akustischen Eigenschaften der abgeschiedenen Materialien und der Dicke der Schichten, die abgeschieden werden, abhängig. Daher und wenn es bei einem Prozess erforderlich ist, unterschiedliche Materialien auf einem Substrat abzuscheiden, muss ausschließlich ein zweckbestimmter Quarzkristall für jedes Material verwendet werden, insbesondere dann, wenn die Genauigkeit von höchster Wichtigkeit ist.
Über die Jahre hat sich der Markt für QCM-basierte Dünnfilm-Controller entwickelt. In jüngster Zeit findet sich sein vorwiegender Einsatz auf dem Gebiet der optischen Beschichtung. Eine optische Beschichtung ist normalerweise ein Stapel aus zahlreichen dünnen Schichten aus dielektrischen Materialien, in den meisten Fällen Oxide und Fluoride. Diese Materialien sind hinsichtlich ihrer optischen sowie ihrer akustischen Eigenschaften ungleich. Die Umstände erlauben Benutzern selten eine Zweckbestimmung eines Quarzkristalls für jedes abgeschiedene Material. Eine Beeinträchtigung der Genauigkeit der Dicke/Messung kann sich jedoch niemand leisten. Folglich verwenden mit der optischen Beschichtung befasste Firmen die QCM für die Abscheideratensteuerung und bestimmen den Abscheideprozess, bei dem ein optischer Endpunktdetektor, wie z. B. ein Reflektometer oder Ellipsometer, verwendet wird.
In den frühen 1990iger Jahren haben die Erfinder der vorliegenden Anmeldung einen Prozess geschaffen, der als „Auto-Z“ bezeichnet wird und der teilweise die oben beschriebene Einschränkung überwunden hat. Auto-Z ist jedoch nur eine Annäherung, die auf einer gleichzeitigen Entwicklung von zwei Resonanzfrequenzen eines Quarzkristalls basiert. Zu diesem Zweck ist Auto-Z bei der Abscheidung von mehreren Schichten von Materialien mit bekannten akustischen Eigenschaften oder Materialien mit unbekannten akustischen Eigenschaften oder Legierungen mit variierender Stöchiometrie nützlich. Auto-Z ist jedoch nur eine schrittweise Verbesserung gegenüber der Zmatch-Gleichung und ist kein Ersatz für eine exakte Lösung des Problems bei der Mehrschicht-Dünnfilm-Abscheidung.
Soweit wir wissen, beanspruchen nur Dünnfilm-Controller, wie z. B. diejenigen, die von ULVAC Corporation vertrieben werden, derzeit eine Mehrschichtsteuerung. Eine Überprüfung des im Handel erhältlichen ULVAC-Controllers des Typs CRTM-9000 zeigt die Verwendung eines Linear-Extrapolation-Konzepts. Wenn eine Schicht aus unterschiedlichem Material abgeschieden wird, wird die Steigung der Extrapolation neu berechnet. Alle diese Berechnungen erfolgen vor dem eigentlichen Abscheiden der aktuellen Schicht. Wie in dem Benutzerhandbuch für diesen Controller beschrieben ist, kann es bis zu einigen zehn Sekunden dauern, diese im Hintergrund ablaufenden Berechnungen zu beenden. Bei der Abscheidung wird die zuletzt berechnete Steigung mit der Frequenzverschiebung multipliziert, um die Dicke der aktuellen Schicht überschlägig zu ermitteln. Somit ist es sicher, die Schlussfolgerung zu ziehen, dass bei diesen Controllern keine analytisch korrekte Lösung für die Mehrschicht-Abscheidung angewendet wird.
Es besteht ferner ein zusätzliches Problem in Zusammenhang mit der Abscheidung eines Dünnfilms auf einem Quarzkristall. Die oben genannte Zmatch-Gleichung erfordert eine präzise Kenntnis bezüglich der spezifischen Schallimpedanz des abzuscheidenden Materials oder des umgekehrten Verhältnisses zu der von AT-Schliff-Quarz (z-Verhältnis). Die Genauigkeit der überschlägigen Ermittlung seiner Dicke/Rate ist daher direkt von der Genauigkeit dieser physikalischen Eigenschaften abhängig. Der Umfang an Fehlern ist vom Umfang der Diskrepanz von akustischen Eigenschaften der abgeschiedenen Materialien und der Gesamtdicke der Schichten abhängig.
Eine weitere bedeutende und wachsende Verwendung von QCM erfolgt in der aufkommenden Fertigungsindustrie für organische Leuchtdioden (organic light emitting diode OLED). Bei OLED-Prozessen ist normalerweise die Verwendung ziemlich exotischer organischer Materialien erforderlich. Einige dieser Materialien sind in der Tat so neu, dass ihre physikalischen Eigenschaften, wie z. B. Elastizitätsmodul, Scherwellengeschwindigkeit, spezifische Schallimpedanz oder sogar die Dichte, nicht eindeutig bekannt sind.
Eine bekannte Zmatch-Technik kann angewendet werden, um das z-Verhältnis oder die spezifische Schallimpedanz eines unbekannten Materials zurückzurechnen, vorausgesetzt, dass eine dicke Schicht (d. h. ein Mikron oder mehr) auf dem Quarzkristall abgeschieden ist. Dies ist erforderlich, um die Auswirkung einer Diskrepanz bei der Schallimpedanz an der Elektroden-Film-Grenze zu minimieren. OLED-Materialien sind andererseits leicht und hochdämpfend. Somit sind die abgeschiedenen Schichten häufig dünn, und die entsprechende Massenlast ist kleiner als diejenige der Elektrode selbst. Somit sind bekannte Verfahren in diesem Fall stark fehleranfällig.
US 5 936 150 A beschreibt einen chemischen Sensor mit akustischen Dünnschicht-Resonator.
JP H07 - 4943 A beschreibt eine Vorrichtung zum Auftragen und Überwachen dünner Schichten.
ZUSAMMENFASSENDER ÜBERBLICK ÜBER DIE ANMELDUNG
Ein Aspekt, der hier beschrieben ist, ist die Schaffung einer umfassenden analytisch exakten Lösung des Problems der Mehrschicht-Abscheidung auf einem Quarz oder einem anderen piezoelektrischen Kristall. Bei dieser Lösung wird die Dicke der Schicht, die aktuell abgeschieden wird, auf der Basis der Kenntnis bezüglich der Schall-Phasenverzögerung durch sämtliche Schichten, die zuvor abgeschieden worden sind, bestimmt.
Bei einer Variante ist ein Verfahren zum Bestimmen der Dicke einer Materialschicht auf einem piezoelektrischen Rohling vorgesehen, wobei das Verfahren die folgenden Schritte umfasst:

Bereitstellen eines piezoelektrischen Kristallrohlings;
Bestimmen der Basis-Resonanzfrequenz des Kristallrohlings;
Aufbringen einer Elektrode auf den Kristallrohling und Bestimmen der Resonanzfrequenz des Kristallrohlings und der aufgebrachten Elektrode;
Aufbringen einer ersten abgeschiedenen Dünnfilmschicht auf den Kristallrohling;
Bestimmen der Resonanzfrequenz des Verbundresonators, der den Rohling, die Elektrode und die abgeschiedene Schicht aufweist;
Bestimmen der Schall-Phasenverzögerung über den Kristallrohling, die Elektrode und die abgeschiedene Schicht wie bei der Resonanzfrequenz berechnet, und
Berechnen der Schichtdicke aus der Phasenverzögerungsinformation, die in dem vorhergehenden Schritt berechnet worden ist, und der Dichte des Materials.

Vorzugsweise werden die Tangensfunktionen der Phasenverzögerungen über den Kristallrohling, die Elektrode und die abgeschiedene Schicht algebraisch berechnet und kombiniert. Arkustangensfunktionen des vorhergehenden Schritts ergeben äquivalente Phasenverzögerungen durch die Schicht, die aktuell abgeschieden wird.
Die intrinsische Resonanzfrequenz der abgeschiedenen Schicht kann anschließend anhand der Dickenberechnung bestimmt werden.
Jede Anzahl von nachfolgenden Schichten kann abgeschieden werden, wobei die Dicke jeder Schicht auf eine im Wesentlichen gleiche Weise bestimmt werden kann.
Das Abscheiden einer bestimmten Dünnfilmschicht kann ferner derart bestimmt werden, dass die Abscheiderate zu jedem Zeitpunkt Δt während des Abscheideprozesses anhand mindestens zweier aufeinanderfolgender Dickenmessungen bestimmt wird, wobei berechneten Dickenwerte algebraisch über Δt kombiniert werden können.
Bei einem weiteren Aspekt der hier beschriebenen Erfindung ist ein Verfahren zum Bestimmen der spezifischen Schallimpedanz eines unbekannten Materials durch Dünnfilmabscheidung auf einen piezoelektrischen Kristallrohling vorgesehen, wobei das Verfahren die folgenden Schritte umfasst:

Bereitstellen eines piezoelektrischen Kristallrohlings mit einer spezifischen Schallimpedanz;
Messen der Basis-Resonanzfrequenz des piezoelektrischen Kristallrohlings;
Aufbringen einer Elektrode mit einer spezifischen Schallimpedanz und Dichte auf den Kristallrohling;
Messen der Basis-Resonanzfrequenz des Kristallrohlings und der aufgebrachten Elektrode;
Berechnen einer Schall-Phasenverzögerungsinformation über den Kristallrohling und die aufgebrachte Elektrode bei der Resonanzfrequenz;
Bestimmen der Dicke der Elektrode auf der Basis der berechneten Schall-Phasenverzögerungsinformation und der Dichte der Elektrode;
Bestimmen der Masse des Kristallrohlings und der aufgebrachten Elektrode;
Abscheiden einer Schicht von Material mit einer unbekannten Schallimpedanz und einer unbekannten Dichte auf die zuvor aufgebrachte Elektrode und den Kristallrohling;
Messen der Basis-Resonanzfrequenz des Verbundresonators, der den Kristallrohling, die Elektrode und die abgeschiedene Schicht aufweist;
Wiegen des Kristallrohlings, der aufgebrachten Elektrode und der abgeschiedenen Schicht;
Bestimmen der Masse der abgeschiedenen Schicht auf der Basis der Gewichtsmessungen;
Bestimmen der Fläche der abgeschiedenen Schicht auf dem Kristallrohling;
überschlägiges Ermitteln der Dicke der abgeschiedenen Schicht auf der Basis der bestimmten Masse- und Flächenmessungen;
Berechnen einer Schall-Phasenverzögerungsinformation über den Kristallrohling, die Elektrode und die abgeschiedene Schicht bei der gemessenen Resonanzfrequenz; und
Bestimmen der spezifischen Schallimpedanz der abgeschiedenen Filmschicht auf der Basis der Phasenverzögerungsinformation und der Dickenmessung.

Nach einer Variante wird eine nichtlineare Gleichung nach der Berechnung der Schall-Phasenverzögerung durch jede der verschiedenen Schichten, in denen die spezifische Schallimpedanz bestimmt werden kann, unter Anwendung eines iterativen Wurzelauflöseverfahrens erstellt.
Ein vorteilhafter Nutzen, der mit dem hier beschriebenen Verfahren realisiert wird, ist eine noch nie dagewesene Genauigkeit der Abscheidung von mehreren Schichten auf einem einzelnen Quarz oder einem anderen piezoelektrischen Kristall.
Ein weiterer Vorteil besteht darin, dass eine verbesserte Genauigkeit selbst für eine sehr dünne einzelne Materialschicht realisiert wird, da den darunterliegenden Elektroden eine entsprechende akustische Eigenschaft zugewiesen ist.
Die hier beschriebene Lösung kann unter Verwendung einer bestehenden Ausrüstung, die bereits zum Durchführen von Dünnfilm-Dickenbestimmungen verwendet wird, in Echtzeit bestimmt werden.
Des Weiteren ermöglicht die hier beschriebene Technik eine genaue Bestimmung der Schallimpedanz eines unbekannten Materials, wodurch die Anwendung der Technik bei OLED- und anderen Prozessen ermöglicht wird.
Bei dem hier erläuterten Verfahren ist die Wirkung der aufgebrachten Elektrode natürlich berücksichtigt. Des Weiteren kann mit dem hier beschriebenen Verfahren die spezifische Schallimpedanz eines unbekannten Materials genau zurückgerechnet werden, selbst wenn der abgeschiedene Film dünn ist.
Diese und weitere Merkmale und Vorteile werden anhand der folgenden detaillierten Beschreibung, die in Zusammenhang mit den beiliegenden Zeichnungen gelesen werden sollte, ersichtlich.
Figurenliste

1 zeigt einen beispielhaften piezoelektrischen (Quarz-) Kristall mit einer Dicke h_q und eine abgeschiedene Schicht mit einer Dicke, die hier als h_f gezeigt ist;
2 zeigt schematisch mehrere Filmschichten, die typischerweise auf einen Quarzkristallrohling abgeschieden sind, und eine Elektrode;
3 zeigt eine grafische Darstellung einer Massenlast (proportional zu dem Produkt von Filmdicke und seiner Dichte) gegenüber einer Frequenzverschiebung auf einem piezoelektrischen Kristall aufgrund einer Materialabscheidung für verschiedene Werte eines z-Verhältnisses;
4-7 zeigen den Vergleich eines Schichtdickenfehlers bei einer bekannten Zmatch-Technik und bei dem hier beschriebenen Verfahren. Jede Figur zeigt Ergebnisse eines Experiments einer abwechselnden Abscheidung von ungleichen Materialien, wobei der Fehler relativ zu gravimetrischen Messungen berechnet wird;
8 zeigt ein Ablaufdiagramm mit Darstellung von Schritten zum Bestimmen der Dicke von verschiedenen Schichten von Material, einschließlich ungleicher Materialien, auf einem piezoelektrischen Kristallrohling nach der Erfindung; und
9 zeigt ein Ablaufdiagramm mit Darstellung von Schritten zum Bestimmen des z-Verhältnisses einer abgeschiedenen Schicht eines unbekannten Materials auf einem Kristallrohling nach der Erfindung.

DETAILLIERTE BESCHREIBUNG
Das Folgende betrifft ein bevorzugtes Verfahren zum Bestimmen der Dicke verschiedener Materialien, einschließlich ungleicher Materialien, die auf einem Substrat aufgebracht sind, sowie ein verwandtes Verfahren zum Bestimmen des z-Verhältnisses eines unbekannten Materials, das auf ein Substrat abgeschieden ist. Im Verlaufe der Beschreibung werden mehrere Ausdrücke verwendet, um einen geeigneten Referenzrahmen bezüglich der beiliegenden Zeichnungen zu bieten. Diese Ausdrücke dürfen hinsichtlich ihres Umfangs oder ihrer Wirkung nicht zu stark einschränkend sein, außer wenn dies besonders angegeben ist.
Bei einer hier beschriebenen bevorzugten Ausführungsform wird ein AT-Schliff-Quarzkristallrohling verwendet, der de facto ein Industriestandard ist. Es sei jedoch darauf hingewiesen, dass dieser Standard lediglich eine beispielhafte Variante darstellt und daher die hier diskutierten Lehren gleichermaßen auch auf andere Kristallschliffe, wie z. B., jedoch nicht beschränkt auf, SC-, IT-, FC-, RT- und andere Kristallschliffe für jedes geeignete piezoelektrische Material (einschließlich, aber nicht beschränkt auf, Langasit, Berlinit und Galliumorthophosphat), wie sie für Massenabtastzwecke verwendet werden, anwendbar sind. Wie hier genauer beschrieben wird, werden der beispielhafte Quarzkristallrohling, die aufgebrachte(n) Elektrode(n) und die abgeschiedenen Dünnfilmschichten, wie sie in 2 gezeigt sind, zusammengefasst, um einen Gesamtresonator zu bilden.
Eine Einrichtung, bei der ein aktiver Oszillator und ein Frequenzzähler verwendet werden, oder eine Phasenregelkreis-Einrichtung, wie z. B. unter anderem von Inficon Inc. hergestellt, ist erforderlich, um die Resonanzfrequenz dieses Gesamt- oder Verbundresonators zu bestimmen. Messungen, die von der Einrichtung durchgeführt werden, können in Echtheit erfolgen; typischerweise in einer Größenordnung von ungefähr 10 Messungen pro Sekunde. Die Messfrequenz kann jedoch in Abhängigkeit von der Anwendung und der Verarbeitungsleistung des Geräts/der Einrichtung, das/die verwendet wird, ausreichend variiert werden.
MATHEMATISCHE DETAILS:
Zmatch-Gleichung:
Als Hintergrundinformation und aus Gründen der Vollständigkeit wird die früher entwickelte Gleichung kurz zusammenfassend dargestellt. Wie oben gesagt worden ist, haben sich Lu und Czanderna in ihrem Aufsatz Applications of Quartz Crystal Microbatances gründlich mit dem Thema einer Massenbestimmung mittels einer Mikrowaage für piezoelektrischen Quarzkristall befasst. Sie haben eine allgemeine Ableitung der sogenannten Lu-Lewis-Gleichung gegeben. Diese Zmatch-Gleichung kann in der folgenden Form geschrieben werden und bildet die Basis für zahlreiche handelsübliche Dünnfilm-Controller, die derzeit erhältlich sind: $h_{f} = - \frac{Z_{f}}{2 π f ρ_{f}} arctan (\frac{Z_{q}}{Z_{f}} tan (\frac{π f}{f_{q}}))$
In der vorhergehenden Beziehung stellen h_f, ρ_f und Z_f die Dicke, Dichte bzw. spezifische Schallimpedanz des abgeschiedenen Films dar, und f, Z_q und f_q stellen die aktuelle Messfrequenz, die spezifische Schallimpedanz von Quarz bzw. die Resonanzfrequenz des Quarzrohlings allein dar. Aufgrund seiner überragenden thermischen Eigenschaften und Einfachheit bei der Herstellung hat sich der AT-Schliff-Quarzkristall seit langem als der Industriestandard etabliert und wird als Gegenstand dieser Hintergrund-Diskussion genommen. Die spezifische Schallimpedanz Z_q eines AT-Schliff-Quarzes beträgt 8.765.000 kg/m²/s. Es ist üblich, die Schallimpedanz anderer Dünnfilmmaterialien als das umgekehrte Verhältnis derjenigen des AT-Schliff-Quarzes auszudrücken. Dieses umgekehrte Verhältnis wird üblicherweise auch als das Schallimpedanz-Verhältnis oder z-Verhältnis (z) bezeichnet. Gleichung (1.1) kann dann hinsichtlich des z-Verhältnisses umformuliert werden als: $h_{f} = - \frac{Z_{q}}{2 π f ρ_{f}} arctan (z tan (\frac{π f}{f_{q}}))$
Schall -Übertragungsmatrix
Es wird gezeigt, dass das gleiche Ergebnis (Gleichung (1.1)) durch Verwendung einer Schall-Übertragungsmatrix abgeleitet werden kann. Bei diesem Formalismus können der Quarzkristall und die nachfolgenden Filme als Wellenleiter mit dem gleichen Querschnittbereich angesehen werden. Das Ziel der Schall-Übertragungsmatrix ist es, einen Zustandsvektor, der einen Satz von dynamischen Variablen aufweist, am Eingangsport des Wellenleiters mit demjenigen am Ausgangsport des Wellenleiters in Beziehung zu setzen. Wenn eine Kraft (F) und eine Verschiebegeschwindigkeit (ù) als die relevanten Variablen gewählt werden, gilt die folgende Beziehung: $[\begin{matrix} F_{1} \\ {\dot{u}}_{1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} cos (θ) & j Z sin (θ) \\ j sin (θ) / Z & cos (θ) \end{matrix}] [\begin{matrix} F_{2} \\ {\dot{u}}_{2} \end{matrix}]$
Bei dem Vorhergehenden bezieht sich Z auf die spezifische Schallimpedanz, während θ=kh=ωt die Schall-Phasenverzögerung durch die Breite des Wellenleiters darstellt. Die Resonanzfrequenz wird durch Setzen der Kraft an den freien Flächen auf null ermittelt; das heißt, F₁=0 und F₂=0. Wenn zwei solcher Wellenleiter oder Resonatoren übereinander gestapelt sind, wird eine Kontinuität der Kraft und Verschiebegeschwindigkeit automatisch verstärkt. Wenn zum Beispiel angenommen wird, dass der Quarz der Wellenleiter 0 ist und angenommen wird, dass der Dünnfilm der Wellenleiter 1 ist, dann $\begin{matrix} [\begin{matrix} F_{0} \\ {\dot{u}}_{0} \end{matrix}] = [\begin{matrix} cos (θ_{0}) & j Z_{0} sin (θ_{0}) \\ j sin (θ_{0}) / Z_{0} & cos (θ_{0}) \end{matrix}] [\begin{matrix} F_{1} \\ {\dot{u}}_{1} \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} F_{1} \\ {\dot{u}}_{1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} cos (θ_{1}) & j Z_{1} sin (θ_{1}) \\ j sin (θ_{1}) / Z_{1} & cos (θ_{1}) \end{matrix}] [\begin{matrix} F_{2} \\ {\dot{u}}_{2} \end{matrix}] \end{matrix}$
Dann erhalten wir $\begin{array}{l} [\begin{matrix} F_{0} \\ {\dot{u}}_{0} \end{matrix}] = [\begin{matrix} cos (θ_{0}) & j Z_{0} sin (θ_{0}) \\ j sin (θ_{0}) / Z_{0} & cos (θ_{0}) \end{matrix}] [\begin{matrix} cos (θ_{1}) & j Z_{1} sin (θ_{1}) \\ j sin (θ_{1}) / Z_{1} & cos (θ_{1}) \end{matrix}] [\begin{matrix} F_{2} \\ {\dot{u}}_{2} \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} cos (θ_{0}) cos (θ_{1}) - \frac{Z_{0}}{Z_{1}} sin (θ_{0}) sin (θ_{1}) & j {Z_{0} sin (θ_{0}) cos (θ_{1}) + Z_{1} sin (θ_{1}) cos (θ_{0})} \\ j {sin (θ_{0}) cos (θ_{1}) / Z_{0} + sin (θ_{1}) cos (θ_{0}) / Z_{1}} & cos (θ_{0}) cos (θ_{1}) - \frac{Z_{1}}{Z_{0}} sin (θ_{0}) sin (θ_{1}) \end{matrix}] [\begin{matrix} F_{2} \\ {\dot{u}}_{2} \end{matrix}] \end{array}$
Durch Setzen von F₀=F₂=0 $\begin{matrix} Z_{0} sin= (θ_{0}) cos (θ_{1}) + Z_{1} sin (θ_{1}) cos (θ_{0}) = 0 oder \\ Z_{0} t a n (θ_{0}) + Z_{1} t a n (θ_{1}) = 0 oder \\ Z_{1} t a n (θ_{1}) = - Z_{0} t a n (θ_{0}) \end{matrix}$
Die Phasenverzögerungsterme können wie folgt weiter erweitert werden (wobei C_q und Cf die Scherwellengeschwindigkeit in Quarz bzw. dem Film sind): $\begin{matrix} θ_{0} = ω t = \frac{ω h_{q}}{C_{q}} = \frac{π f}{f_{q}} \\ θ_{1} = \frac{ω h_{f}}{C_{f}} = \frac{2 π f ρ_{f} h_{f}}{Z_{f}} \end{matrix}$
Dann führt das Kombinieren der Gleichungen (2.4) und (2.5) zu einem identischen Ausdruck wie in (1.1). Es gibt eine beträchtliche Platzeinsparung, wenn wir die folgende Kurzdarstellung anwenden: $C_{i} = cos (θ_{i}), S_{i} = sin (θ_{i}), T_{i} = tan (θ_{i})$
Gleichung (2.3) kann in dieser Darstellung geschrieben werden als $[\begin{matrix} F_{0} \\ {\dot{u}}_{0} \end{matrix}] = [\begin{matrix} C_{0} C_{1} - \frac{Z_{0}}{Z_{1}} S_{0} S_{1} & j {Z_{0} S_{0} C_{1} + Z_{1} S_{1} C_{0}} \\ j {S_{0} C_{1} / Z_{0} + S_{1} C_{0} / Z_{1}} & C_{0} C_{1} - \frac{Z_{1}}{Z_{0}} S_{0} S_{1} \end{matrix}] [\begin{matrix} F_{2} \\ {\dot{u}}_{2} \end{matrix}]$
Die Anforderung bezüglich traktionsfreier Endflächen führt dazu, dass das obere rechte Element in der sich ergebenden Matrix null ist, wodurch sich (wie in Gleichung (2.4)) ergibt $Z_{0} S_{0} C_{1} + Z_{1} S_{1} C_{0} = 0 oder$
$- Z_{1} T_{1} - Z_{0} T_{0}$
Das Aufbringen nachfolgender Schichten bedeutet, dass die Übertragungsmatrix in Gleichung (2.7) mit einer weiteren Übertragungsmatrix wie in (2.1), die zu der neu abgeschiedenen Schicht gehört, nachmultipliziert werden muss und das obere rechte Element in der sich ergebenden Matrix hinsichtlich der Resonanzbedingung auf null gesetzt werden muss. Bei Anwenden dieses Konzepts bei einem 3-schichtigen System wird die folgende Übertragungsmatrix erhalten: $\begin{matrix} [\begin{matrix} C_{0} C_{1} - \frac{Z_{0}}{Z_{1}} S_{0} S_{1} & j {Z_{0} S_{0} C_{1} + Z_{1} S_{1} C_{1}} \\ j {S_{0} C_{1} / Z_{0} + S_{1} C_{0} / Z_{1}} & C_{0} C_{1} - \frac{Z_{1}}{Z_{0}} S_{0} S_{1} \end{matrix}] [\begin{matrix} C_{2} & j Z_{2} S_{2} \\ j S_{2} / Z_{2} & C_{2} \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} (C_{0} C_{1} - \frac{Z_{0}}{Z_{1}} S_{0} S_{1}) C_{2} - (Z_{0} S_{0} C_{1} + Z_{1} S_{1} C_{0}) S_{2} / Z_{2} & j {(C_{0} C_{1} - \frac{Z_{0}}{Z_{1}} S_{0} S_{1}) Z_{2} S_{2} + (Z_{0} S_{0} C_{1} + Z_{1} S_{1} C_{1}) C_{2}} \\ j {(C_{0} C_{1} - \frac{Z_{1}}{Z_{0}} S_{0} S_{1}) S_{2} / Z_{2} + (S_{0} C_{1} / Z_{0} + S_{1} C_{0} / Z_{1}) C_{2}} & (C_{0} C_{1} - \frac{Z_{1}}{Z_{0}} S_{0} S_{1}) C_{2} - (S_{0} C_{1} / Z_{0} + S_{1} C_{0} / Z_{1}) Z_{2} S_{1} \end{matrix}] \end{matrix}$
Daher erfordert die Resonanzbedingung, dass $(C_{0} C_{1} - \frac{Z_{0}}{Z_{1}} S_{0} S_{1}) Z_{2} S_{2} + (Z_{0} S_{0} C_{1} + Z_{1} S_{1} C_{0}) C_{2} = 0$
Und dies führt zu $- Z_{2} T_{2} = \frac{Z_{0} T_{0} + Z_{1} T_{1}}{1 - \frac{Z_{0}}{Z_{1}} T_{0} T_{1}}$
Bei Fortführung auf diese Weise erhalten wir für nachfolgende Schichten $- Z_{3} T_{3} = \frac{(Z_{0} T_{0} + Z_{1} T_{1} + Z_{2} T_{2}) - \frac{Z_{0} Z_{2}}{Z_{1}} T_{0} T_{1} T_{2}}{1 - (\frac{Z_{0}}{Z_{1}} T_{0} T_{1} + \frac{Z_{0}}{Z_{2}} T_{0} T_{2} + \frac{Z_{1}}{Z_{2}} T_{1} T_{2})}$
$- Z_{4} T_{4} = \frac{(Z_{0} T_{0} + Z_{1} T_{1} + Z_{2} T_{2} + Z_{3} T_{3}) - (\frac{Z_{0} Z_{2}}{Z_{1}} T_{0} T_{1} T_{2} + \frac{Z_{0} Z_{3}}{Z_{1}} T_{0} T_{1} T_{3} + \frac{Z_{0} Z_{3}}{Z_{2}} T_{0} T_{2} T_{3} + \frac{Z_{1} Z_{3}}{Z_{2}} T_{1} T_{2} T_{3})}{1 - (\frac{Z_{0}}{Z_{1}} T_{0} T_{1} + \frac{Z_{0}}{Z_{2}} T_{0} T_{2} + \frac{Z_{0}}{Z_{3}} T_{0} T_{3} + \frac{Z_{1}}{Z_{2}} T_{1} T_{2} + \frac{Z_{1}}{Z_{3}} T_{1} T_{3} + \frac{Z_{2}}{Z_{3}} T_{2} T_{3}) + \frac{Z_{0} Z_{2}}{Z_{1} Z_{3}} T_{0} T_{1} T_{2} T_{3}}$
$\begin{matrix} - Z_{5} T_{5} = \frac{(Z_{0} T_{0} + Z_{1} T_{1} + Z_{2} T_{2} + Z_{3} T_{3} + Z_{4} T_{4}) - (\frac{Z_{0} Z_{2}}{Z_{1}} T_{0} T_{1} T_{2} + \frac{Z_{0} Z_{3}}{Z_{1}} T_{0} T_{1} T_{3} + \frac{Z_{0} Z_{4}}{Z_{1}} T_{0} T_{1} T_{4} + \frac{Z_{0} Z_{3}}{Z_{2}} T_{0} T_{2} T_{3} +}{1 - (\frac{Z_{0}}{Z_{1}} T_{0} T_{1} + \frac{Z_{0}}{Z_{2}} T_{0} T_{2} + \frac{Z_{0}}{Z_{3}} T_{0} T_{3} + \frac{Z_{0}}{Z_{4}} T_{0} T_{4} + \frac{Z_{1}}{Z_{2}} T_{1} T_{2} + \frac{Z_{1}}{Z_{3}} T_{1} T_{3} + \frac{Z_{1}}{Z_{4}} T_{1} T_{4} + \frac{Z_{2}}{Z_{3}} T_{2} T_{3} +} \\ \frac{\frac{Z_{0} Z_{4}}{Z_{2}} T_{0} T_{2} T_{4} + \frac{Z_{0} Z_{4}}{Z_{3}} T_{0} T_{3} T_{4} + \frac{Z_{1} Z_{3}}{Z_{2}} T_{1} T_{2} T_{3} + \frac{Z_{1} Z_{4}}{Z_{2}} T_{1} T_{2} T_{4} + \frac{Z_{2} Z_{4}}{Z_{3}} T_{2} T_{3} T_{4})}{\frac{Z_{2}}{Z_{4}} T_{2} T_{4} + \frac{Z_{3}}{Z_{4}} T_{3} T_{4}) + (\frac{Z_{0} Z_{2}}{Z_{1} Z_{3}} T_{0} T_{1} T_{2} T_{3} + \frac{Z_{0} Z_{2}}{Z_{1} Z_{4}} T_{0} T_{1} T_{2} T_{4} + \frac{Z_{0} Z_{3}}{Z_{1} Z_{4}} T_{0} T_{1} T_{3} T_{4} + \frac{Z_{0} Z_{3}}{Z_{2} Z_{4}} T_{0} T_{2} T_{3} T_{4} + \frac{Z_{1} Z_{3}}{Z_{2} Z_{4}} T_{1} T_{2} T_{3} T_{4})} \end{matrix}$
Gleichungen für nachfolgende Schichten werden außerordentlich lang, wie aus dem Vorhergehenden ersichtlich ist. Eine generelle rekursive Beziehung für eine willkürlich gewählte Schicht kann jedoch auf die folgende Weise geschrieben werden: $- Z_{N} T_{N} = \frac{\sum_{i = 0}^{N - 1} Z_{i} T_{i} - \sum_{i = 0}^{N - 1} \sum_{j > i}^{N - 1} \sum_{k > j}^{N - 1} \frac{Z_{i} Z_{k}}{Z_{j}} T_{i} T_{j} T_{k} + \sum_{i = 0}^{N - 1} \sum_{j > i}^{N - 1} \sum_{k > j}^{N - 1} \sum_{l > k}^{N - 1} \sum_{m > l}^{N - 1} \frac{Z_{i} Z_{k} Z_{m}}{Z_{j} Z_{l}} T_{i} T_{j} T_{k} T_{l} T_{m} - \dots \dots}{1 - \sum_{i = 0}^{N - 1} \sum_{j > i}^{N - 1} \frac{Z_{i}}{Z_{j}} T_{i} T_{j} + \sum_{i = o}^{N - 1} \sum_{j > i}^{N - 1} \sum_{k > j}^{N - 1} \sum_{l > k}^{N - 1} \frac{Z_{i} Z_{k}}{Z_{j} Z_{l}} T_{i} T_{j} T_{k} T_{l} - \dots \dots} = K$
In der vorhergehenden Beziehung bezieht sich N auf den Index der Schicht, die aktuell abgeschieden wird, und i, j, k, l, m sind „Dummy-“ Indizes, die zuvor abgeschiedene Schichten anzeigen. Der Verbundparameter K bezeichnet die Gesamtheit der Phasenverzögerung durch sämtliche zuvor abgeschiedenen Schichten.
Auf der rechten Seite der Gleichung erscheinen ungeradzahlige Terme mit wechselnden Vorzeichen im Zähler, und geradzahlige Terme mit wechselnden Vorzeichen befinden sich im Nenner. Z-Kombinationen folgen der Reihenfolge der Schichten von der untersten zur obersten.
Um das oben beschriebene Prozedere zusammenzufassen ergibt Gleichung (2.14) eine Phasenverzögerung θ_N für die N. Schicht bezüglich der Phasenverzögerung in sämtlichen vorhergehenden Schichten, einschließlich der Elektrode und des Quarzrohlings.
Dann kann anhand der Definition der Phasenverzögerung die Dicke der N. Schicht wie folgt hergeleitet werden: $h_{N} = \frac{Z_{N} θ_{N}}{2 π f ρ_{N}} = - \frac{Z_{N}}{2 π f ρ_{N}} arctan (K / Z_{N})$
Für diese Schichten, die bereits abgeschieden worden sind, ist die Dicke bereits bekannt, und die Phasenverzögerung würde dann allein von der Antriebsfrequenz abhängig sein. Dies kann in geeigneter Weise geschrieben werden, wenn eine intrinsische Resonanzfrequenz jeder abgeschiedenen Schicht derart definiert ist: $f r_{i} = \frac{Z_{i}}{2 h_{i} ρ_{i}} and θ_{i} = \frac{π f}{f r_{i}}$

Zum Darstellen des dramatischen Unterschieds bei der mittels des oben beschriebenen Verfahrens berechneten Dicke im Vergleich zu dem bekannten Zmatch-Verfahren zeigt die folgende Tabelle 1 Unterschiede auf der Basis einer simulierten Abscheidung von mehreren Schichten aus unterschiedlichen Materialien auf einen Quarzkristall mit Goldelektroden zwischen einer Zmatch-Analyse und der vorliegenden Technik (in Tabelle 1 als „MultiZ“ bezeichnet), wie oben bei einem Kupfer-Calcium-Wolfram-Aluminium-Schichten-System beschrieben. Die Diskrepanz (d. h. der Unterschied) zwischen jedem Schichtdickenergebnis, wie in der äußerst rechten Spalte von Tabelle 1 aufgeführt, ist eindeutig beträchtlich. TABELLE 1

	Dichte	z-Verhältnis	Frequenz	Schichtdicke	Schichtdicke	Diskrepanz
	(g/cc)		(kHz)	Zmatch (kA)	MultiZ (kA)

Quarzrohling		1,00	6045
Goldelektrode	19,3	0,381	5985	3,77	3,77
Kupferschicht	8,93	0,437	5750	33,78	33,78	0 %
Calciumschicht	1,55	2,62	5500	177,09	222,71	-20,5 %
Wolframschicht	19,3	0,163	5250	22,03	17,18	28,2 %
Aluminiumschicht	2,7	1,08	5050	118,85	97,26	22,2 %

Der Vergleich der bestimmten Dicke, die mittels dieser zwei Techniken berechnet worden ist, mit gravimetrischen Messungen ist in 4-7 grafisch dargestellt, wobei eindeutig die Überlegenheit des hier vorgestellten Verfahrens gezeigt ist. 4 zeigt einen simulierten Vergleich des Dickenfehlers in einem System aus abwechselnden Kupfer-Aluminium-Schichten mit Darstellung des Aufbringens jeder Schicht von links nach rechts. 5 zeigt einen im Wesentlichen gleichen simulierten Vergleich für ein System mit abwechselnden Kupfer-Blei-Schichten, während 6 einen im Wesentlichen gleichen simulierten Vergleich für ein System mit abwechselnden Barium-Yttrium-Kupfer-Schichten zeigt und 7 einen weiteren simulierten Vergleich für ein System mit abwechselnden Cadmium-Kupfer-Schichten zeigt.
Wie in dem Ablaufdiagramm in 8 gezeigt ist, ist das Verfahren zum Bestimmen einer Dicke eines mehrschichtigen Kristalls, wie z. B. derjenigen, die für jedes der vorhergehenden Beispiele dargestellt worden sind, folgendes: zuerst wird ein Kristallrohling, wie z. B. ein AT-Schliff-Kristallrohling bereitgestellt, wobei der Rohling von einer Schicht 0 in 2 gebildet ist und durch seine Rohlings-Resonanzfrequenz F_q und spezifische Schallimpedanz gekennzeichnet ist, die Z₀=Z_q ist.
Die Basis-Resonanzfrequenz dieses Rohlings wird dann gemessen, wie z. B. in einer (nicht gezeigten) Luftspalt-Vorrichtung. Alternativ und anstelle der Durchführung dieser Messung kann der Rohling derart ausgelegt sein, dass er eine spezifische Basisfrequenz innerhalb eines sehr engen Bereichs aufweist. Eine Elektrodenschicht (in 2 als Schicht 1 gezeigt) wird dann mit bekannten Mitteln auf den Quarzrohling aufgebracht, wobei das Elektrodenschichtmaterial durch eine spezifische Schallimpedanz Z₁ und eine Dichte ρ₁. definiert ist. Die Resonanzfrequenz des Quarzrohlings und der Elektrode wird dann in dem Luftspalt oder der anderen geeigneten Vorrichtung gemessen, wobei diese Frequenz hier als f bezeichnet wird.
Die Tangente der Phasenverzögerung durch den Quarzrohling (Schicht 0) bei der gemessenen Frequenz f wird dann unter Anwendung der folgenden Beziehung bestimmt $T_{0} = tan (\frac{π f}{f_{q}}) .$
Das Anwenden von Gleichung (2.8a), bei der -Z₁T₁=Z₀T₀=K₀ ermöglicht eine Bestimmung einer Schall-Phasenverzögerung durch die aufgebrachte Elektrodenschicht, wobei die Elektrodendicke unter Anwendung der folgenden Beziehung bestimmt werden kann $h_{1} = - \frac{Z_{1}}{2 π f ρ_{1}} arctan (\frac{K_{0}}{Z_{1}})$
Die intrinsische Resonanzfrequenz der Elektrode kann dann auf der Basis der folgenden Beziehung überschlägig ermittelt werden $f r_{1} = \frac{Z_{1}}{2 h_{1} ρ_{1}}$
Ein erstes Fremdmaterial, das in 2 als Schicht 2 gezeigt ist, kann dann auf die Elektrode und den Kristallrohling abgeschieden werden, wobei dieses Material durch eine spezifische Schallimpedanz Z₂ und Dichte ρ₂ gekennzeichnet ist. Die Resonanzfrequenz f dieses Verbundresonators kann wieder unter Verwendung eines Luftspalts oder einer anderen geeigneten Vorrichtung bestimmt werden. Im Anschluss an diese Bestimmung wird eine Schall-Phasenverzögerungsinformation durch jede der vorhergehenden Schichten entsprechend der folgenden Beziehungen berechnet: $T_{0} = tan (\frac{π f}{f_{q}}) und T_{1} = tan (\frac{π f}{f r_{1}}),$
jeweils für jedes des Rohlings und der Elektrodenschicht.
Anhand des Vorhergehenden wird die kombinatorische Formel $- Z_{2} T_{2} = \frac{Z_{0} T_{0} + Z_{1} T_{1}}{1 - \frac{Z_{0}}{Z_{1}} T_{0} T_{1}} = K_{1}$
verwendet, um die Schall-Phasenverzögerung durch die abgeschiedene Schicht zu bestimmen.
Die Dicke der Schicht 2 kann dann unter Anwendung der folgenden Gleichung bestimmt werden $h_{2} = - \frac{Z_{2}}{2 π f ρ_{2}} arctan (\frac{K_{1}}{Z_{2}})$
Um die Abscheiderate des Materials zu bestimmen, können folgende zusätzliche Schritte unternommen werden. Nach einem Intervall Δt kann die Resonanzfrequenz f wieder unter Verwendung des Luftspalts oder der anderen geeigneten Vorrichtung gemessen werden, und jeder der vorhergehenden Schritte wird wiederholt, wobei die Schall-Phasenverzögerungsinformation durch die vorhergehenden Schichten und die abgeschiedene Schicht bei dieser gemessenen Frequenz berechnet werden kann. Die Dicke von Schicht 2 kann dann unter Anwendung der folgenden Beziehung bestimmt werden: $h_{2}^{'} = - \frac{Z_{2}}{2 π f ρ_{2}} arctan (\frac{K_{1}^{'}}{Z_{2}})$
Die Abscheiderate kann dann als (h'₂-h₂)/Δt bestimmt werden, wobei die oben beschriebenen Prozesse in vorbestimmten Intervallen bis zum Ende der Abscheidung dieser Schicht wiederholt werden.
Schließlich kann die intrinsische Resonanzfrequenz von Schicht 2 unter Anwendung der folgenden Beziehung bestimmt werden: $f r_{2} = \frac{Z_{2}}{2 h_{2} ρ_{2}}$
Ein zweites Fremdmaterial (Schicht 3, wie in 2 gezeigt ist), das durch Z₃ und ρ₃ gekennzeichnet ist, wird dann nachfolgend auf den Kristall und auf dessen Schicht 2 abgeschieden. Wie bei dem Vorhergehenden wird die Resonanzfrequenz f des Verbundresonators zuerst unter Verwendung des Luftspalts oder der anderen geeigneten Vorrichtung gemessen. Eine Schall-Phasenverzögerungsinformation durch jede der vorhergehenden Schichten (Schichten 0, 1, 2) wird dann unter Anwendung der folgenden Beziehungen berechnet: $T_{0} = tan (\frac{π f}{f_{q}}), T_{1} =tan (\frac{π f}{f r_{1}}) bzw . T_{2} = tan (\frac{π f}{f r_{2}})$
Im Anschluss an diese Berechnung wird die kombinatorische Formel $- Z_{3} T_{3} = \frac{(Z_{0} T_{0} + Z_{1} T_{1} + Z_{2} T_{2}) - \frac{Z_{0} Z_{2}}{Z_{1}} T_{0} T_{1} T_{2}}{1 - (\frac{Z_{0}}{Z_{1}} T_{0} T_{1} + \frac{Z_{0}}{Z_{2}} T_{0} T_{2} + \frac{Z_{1}}{Z_{2}} T_{1} T_{2})} = K_{2}$
angewendet, um die Phasenverzögerung der neu abgeschiedenen Schicht zu bestimmen.
Die Schichtdicke kann dann bestimmt werden als: $h_{3} = - \frac{Z_{3}}{2 π f ρ_{3}} arctan (\frac{K_{2}}{Z_{3}})$
Wie in dem Fall der vorhergehenden Schicht 2 kann die Abscheiderate der Schicht 3 durchgehend berechnet werden durch Messen der Resonanzfrequenz f nach einem Zeitintervall Δt, Neuberechnen der Phasenverzögerungsinformation durch jede der vorhergehenden Schichten bei dieser gemessenen Frequenz, Anwenden der Kombinationsformel zum Bestimmen der Phasenverzögerung durch die abgeschiedene Schicht und Bestimmen der Dicke der Schicht als: $h_{3}^{'} = - \frac{Z_{3}}{2 π f' ρ_{3}} arctan (\frac{K_{2}^{'}}{Z_{3}})$
und nachfolgendes Bestimmen der Abscheiderate als (h'₃-h₃)/Δt.
Schließlich wird die intrinsische Resonanzfrequenz von Schicht 3 unter Anwendung der folgenden Beziehung zurückgerechnet: $f r_{3} = \frac{Z_{3}}{2 h_{3} ρ_{3}}$
Es ist ersichtlich, dass die Dicke und Abscheiderate jeder nachfolgenden Fremdmaterialschicht (Schicht 4, 5, 6 ..... n) sowie ihre intrinsische Resonanzfrequenz anhand der im Wesentlichen gleichen Anwendung der vorhergehenden Schritte, die in der vorhergehenden Beschreibung erläutert worden sind, bestimmt werden können.
Wie in 9 gezeigt ist, sind die Schritte, die zum Implementieren einer Lösung für das zusätzliche Problem des Bestimmens der spezifischen Schallimpedanz eines unbekannten Materials erforderlich sind, folgende. Wie beim Vorhergehenden ist in diesem Fall eine Einrichtung, bei der ein aktiver Oszillator und ein Frequenzzähler verwendet werden, oder eine Phasenregelkreis-Einrichtung erforderlich, um die Resonanzfrequenz des Verbundresonators zu bestimmen, der von dem Quarz- (piezoelektrischen) Rohling, der (den) Elektrode(n) und jeder Schicht des (der) abgeschiedenen Dünnfilms (Dünnfilme) gebildet ist.
Zuerst wird der Quarzrohling zur Verfügung gestellt, wie z. B. ein AT-Schliff-Quarzrohling mit einer spezifischen Schallimpedanz Z_q=Z₀. Die Basis-Resonanzfrequenz des Quarzrohlings wird anfangs in einer Luftspalt-Vorrichtung gemessen (f_q). Alternativ kann der Rohling anstelle dieses Messschritts dazu ausgelegt sein, eine spezifische Basisfrequenz innerhalb eines sehr engen Bereichs zu besitzen. Im Anschluss an das Aufbringen einer Elektrode mit bekannten Mitteln, wobei die Elektrode eine spezifische Schallimpedanz von Z₁ und eine Dichte ρ₁ aufweist, wird die Resonanzfrequenz (f₁) des Quarzrohlings und der aufgebrachten Elektrode wieder gemessen. Wie beim Vorhergehenden wird eine Schall-Phasenverzögerungsinformation durch den Quarzrohling bei der oben gemessenen Frequenz unter Anwendung der folgenden Beziehung berechnet $T_{0} = tan (\frac{π f_{1}}{f_{q}})$
Eine Schall-Phasenverzögerung durch die Elektrodenschicht wird unter Anwendung von Gleichung 2.8a bestimmt, bei der -Z₁T₁=Z₀T₀ ist. Die Elektrodendicke kann unter Anwendung der folgenden Beziehung bestimmt werden $h_{1} = - \frac{Z_{1}}{2 π f_{1} ρ_{1}} arctan (\frac{Z_{0} T_{0}}{Z_{1}})$
bei der die intrinsische Resonanzfrequenz der Elektrode unter Anwendung der folgenden Formel überschlägig ermittelt wird $f r_{1} = \frac{Z_{1}}{2 h_{1} ρ_{1}} .$
Das Gewicht (m₁) des Kristallrohlings und der Elektrode wird dann unter Verwendung einer (nicht gezeigten) elektromechanischen Mikrowaage ermittelt.
Wenn eine ausreichend dicke Schicht eines Materials mit einer unbekannten Schallimpedanz Z₂ und Dichte ρ₂ abgeschieden worden ist, wird die Basis-Resonanzfrequenz des Quarzkristalls gemessen (f₂). Das Gewicht (m₂) des Kristalls wird wieder mit einer Mikrowaage ermittelt. Die Differenz zu der vorhergehenden Gewichtsmessung zeigt die Masse des abgeschiedenen Films an (Δm). Der Radius der Fleckgröße des abgeschiedenen Films wird auch unter Verwendung eines Mikroskops gemessen, und die Fläche des abgeschiedenen Flecks wird durch (A =πr²) bestimmt. Unter Anwendung der mathematischen Gleichungen (2.8a) und (2.10a) wird eine nichtlineare Gleichung erstellt, wie nun beschrieben wird.
Eine Schall-Phasenverzögerungsinformation durch jede abgeschiedene Schicht, einschließlich der Elektrode und des Rohlings, wird dann bestimmt. Zuerst wird die Tangente der Schall-Phasenverzögerung durch den Quarzrohling und die Elektrode bei f₂ bestimmt, wobei $T_{0} = tan (\frac{π f_{2}}{f_{q}}) bzw . T_{1} =tan (\frac{π f_{2}}{f r_{1}})$
Mit Gleichung (2.8a) wird die Dicke der Elektrode bestimmt, und Gleichung (2.10a) wird zum Auflösen nach der unbekannten Schallimpedanz des neuen Materials angewendet. In dieser Beziehung sind Z₀ und Z₁ die spezifische Schallimpedanz von Quarz- bzw. Elektrodenmaterial, und Z₂ ist die unbekannte spezifische Schallimpedanz (oder das äquivalente z-Verhältnis) des abgeschiedenen Films, nach der die Auflösung erfolgt ist.
Aus Gleichung (2.8a) und der gemessenen Frequenz nur bei der Elektrode wird die überschlägige Ermittlung der Dicke der Elektrode wie folgt erhalten: $h_{1} = - \frac{Z_{1}}{2 π f_{1} ρ_{1}} arctan (\frac{Z_{0}}{Z_{1}} tan (\frac{π f_{1}}{f_{q}})) oder h_{1} = \frac{Z_{1}}{2 π f_{1} ρ_{1}} arctan (\frac{Z_{0} T_{0}}{Z_{1}})$
Die entsprechende intrinsische Resonanzfrequenz der Elektrodenschicht allein ist definiert als $f r_{1} = \frac{Z_{1}}{2 h_{1} ρ_{1}}$
Dann wird die nichtlineare Gleichung zum Auflösen nach der unbekannten spezifischen Schallimpedanz Z₂ durch Erweitern der Gleichung (2.10a) zu der folgenden Beziehung erhalten: $\begin{matrix} tan (\frac{2 π f_{2}}{Z_{2}} \frac{Δ m}{A}) + \frac{1}{Z_{2}} (\frac{Z_{0} tan (\frac{π f_{2}}{f_{q}}) + Z 1 tan (\frac{π f_{2}}{f r_{1}})}{1 - \frac{Z_{0}}{Z_{1}} tan (\frac{π f_{2}}{f_{q}}) tan (\frac{π f_{2}}{f r_{1}})}) = 0 oder \\ Z_{2} T_{2} + \frac{Z_{0} T_{0} + Z_{1} T_{1}}{1 - \frac{Z_{0}}{Z_{1}} T_{0} T_{1}} = 0 \end{matrix}$
Iterative Wurzelauflöseverfahren, wie z. B. Newton-Ralphson, Bisektion oder andere können dann zum Auflösen nach dem unbekannten Parameter Z₂ angewendet werden.
Bei einem Beispiel ist die Frequenz eines Quarzrohlings f₀=6037100 Hz. Die spezifische Schallimpedanz eines AT-Schliff-Quarzes ist Zo=8765000 kg/(m²/s), z-Verhältnis = 1,0. Das Elektrodenmaterial ist Aluminium. Die Frequenz von Quarzrohling/Elektrode ist f₁=6016350 Hz. Die spezifische Schallimpedanz von Aluminium ist Z₁=8115741 kg/(m²/s), z-Verhältnis = 1,08. In diesem Fall ist das abgeschiedene Material AIQ3, das ein OLED-Material ist. Die Frequenz des Quarzkristall/Elektroden-Dünnfilms ist f₂=5906587,5 Hz, und die sich ergebende berechnete unbekannte spezifische Impedanz ist Z₂=1488621 kg/(m²/s), z-Verhältnis = 5,888.
Durch die exakte analytische Lösung werden Dickenfehler nahezu eliminiert, wenn mehrere Schichten aus unterschiedlichen Materialien sequenziell auf demselben Monitor-Quarzkristall abgeschieden werden. Die Technik ermöglicht ferner ein genaues Bestimmen der spezifischen Schallimpedanz eines unbekannten Materials.
Es ist ersichtlich, dass es andere Modifikationen und Variationen gibt, die für einen Fachmann anhand der vorhergehenden Diskussion als in den nachfolgenden Patentansprüchen enthalten offensichtlich sind.

Claims

Verfahren zum Bestimmen der Dicke eines abgeschiedenen Films auf einem piezoelektrischen Kristall, wobei das Verfahren die folgenden Schritte umfasst: a) Bestimmen der Basis-Resonanzfrequenz eines piezoelektrischen Kristallrohlings; b) Aufbringen einer Elektrode auf den Kristallrohling; c) Bestimmen der Basis-Resonanzfrequenz des Verbunds aus Rohling und aufgebrachter Elektrode; d) Aufbringen einer ersten abgeschiedenen Schicht eines Materials auf den Kristallrohling und die Elektrode; e) Bestimmen der Resonanzfrequenz des Verbundresonators, der den Rohling, die Elektrode und die abgeschiedene Schicht aufweist; f) Bestimmen der Schall-Phasenverzögerung über jeden des Kristallrohlings, der Elektrode und der abgeschiedenen Schicht wie bei der Resonanzfrequenz berechnet; und g) Berechnen der Dicke der abgeschiedenen Schicht aus der Phasenverzögerungsinformation und der Dichte des Materials.
Verfahren nach Anspruch 1, bei dem der Basis-Resonanzfrequenz-Bestimmungsschritt für den Kristallrohling das direkte Messen des Rohlings und/oder das Bereitstellen eines Rohlings mit einer spezifischen Basis-Resonanzfrequenz, die in einem sehr engen Bereich ausgelegt ist, umfasst.
Verfahren nach Anspruch 1, bei dem der Schall-Phasenverzögerungs-Bestimmungsschritt den weiteren Schritt des Berechnens einer Tangensfunktion der Phasenverzögerungen über den Kristallrohling, die Elektrode bzw. die abgeschiedene Schicht umfasst.
Verfahren nach Anspruch 3, mit dem weiteren Schritt des Berechnens von Arkustangensfunktionen der Phasenverzögerungsinformation durch die abgeschiedene Schicht zum Liefern einer äquivalenten Phasenverzögerung durch diese.
Verfahren nach Anspruch 1, mit dem zusätzlichen Schritt des Berechnens der intrinsischen Resonanzfrequenz der abgeschiedenen Schicht unter Anwendung der Dickenbestimmung.
Verfahren nach Anspruch 1, mit dem Schritt des Messens einer ersten abgeschiedenen Dicke vor dem Beenden der Abscheidung, des Durchführens mindestens einer nachfolgenden Dickenberechnung zu einem späteren Zeitpunkt Δt und dann des Bestimmens der Abscheiderate auf der Basis der Unterschiede in der Dicke über Δt.
Verfahren nach Anspruch 1, bei dem der Kristallrohling einer eines AT-Schliffs, SC-Schliffs, IT-Schliffs oder FC-Schliffs ist.
Verfahren nach Anspruch 1, mit dem Schritt des Abscheidens mindestens einer oder mehrerer zusätzlicher Schichten auf die erste Schicht und Bestimmen der Dicke der Schicht durch Wiederholen jedes der Schritte e) bis g).
Verfahren nach Anspruch 8, bei dem die zusätzlichen Schichten und die erste Schicht aus abgeschiedenem Material ungleiche Materialien sind.
Verfahren nach Anspruch 9, bei dem der Kristallrohling im Dickenschermodus vibriert, einschließlich eines des AT-Schliffs, SC-Schliffs, IT-Schliffs und FC-Schliffs.
Verfahren nach Anspruch 5, bei dem die Schall-Phasenverzögerung durch jede der abgeschiedenen Schichten auf dem Kristallrohling und der Elektrode durch die folgende Beziehung bestimmt wird $- Z_{N} T_{N} = \frac{\sum_{i = 0}^{N - 1} Z_{i} T_{i} - \sum_{i = 0}^{N - 1} \sum_{j > k}^{N - 1} \sum_{k > j}^{N - 1} \frac{Z_{i} Z_{k}}{Z_{j}} T_{i} T_{j} T_{k} + \sum_{i = 0}^{N - 1} \sum_{j > i}^{N - 1} \sum_{k > j}^{N - 1} \sum_{l > k}^{N - 1} \sum_{m > l}^{N - 1} \frac{Z_{i} Z_{k} Z_{m}}{Z_{j} Z_{l}} T_{i} T_{j} T_{k} T_{l} T_{m} - \dots \dots}{1 - \sum_{i = 0}^{N - 1} \sum_{J > I}^{N - 1} \frac{Z_{i}}{Z_{j}} T_{i} T_{j} + \sum_{i = 0}^{N - 1} \sum_{j > i}^{N - 1} \sum_{k > j}^{N - 1} \sum_{l > k}^{N - 1} \frac{Z_{i} Z_{k}}{Z_{j} Z_{l}} T_{i} T_{j} T_{k} T_{l} - \dots \dots} = K$
wobei Z die spezifische Schallimpedanz ist, T die Tangensfunktion der Schall-Phasenverzögerung der zuvor abgeschiedenen Schichten ist und K der Verbundparameter der Schall-Phasenverzögerung durch jede der zuvor abgeschiedenen Schichten ist.
Verfahren nach Anspruch 11, bei dem die Dicke jeder der abgeschiedenen Schichten auf dem Rohling und der Elektrode durch die folgende Beziehung bestimmt wird $h_{N} = \frac{Z_{N}}{2 π f ρ_{N}} arctan (K / Z_{N})$
wobei h_N die Dicke der abgeschiedenen Schicht ist, f die Basisfrequenz des Verbundresonators ist, der von dem Rohling, der Elektrode und der mindestens einen abgeschiedenen Schicht gebildet ist, K der Verbundparameter der Schall-Phasenverzögerung durch jede der zuvor abgeschiedenen Schichten ist, ρ_N die Dichte der abgeschiedenen Schicht ist und Z_N die spezifische Schallimpedanz der abgeschiedenen Schicht ist.
Verfahren nach Anspruch 12, bei dem die intrinsische Resonanzfrequenz jeder der abgeschiedenen Schichten auf dem Rohling und der Elektrode durch die folgende Beziehung bestimmt wird $f r_{i} = \frac{Z_{i}}{2 h_{i} ρ_{i}}$
wobei fr_i die intrinsische Resonanzfrequenz der abgeschiedenen Schicht ist, Z_i die spezifische Schallimpedanz der abgeschiedenen Schicht ist, h_i die Dicke der abgeschiedenen Schicht ist und ρ_i die Dichte der abgeschiedenen Schicht ist.
Verfahren zum Bestimmen der spezifischen Schallimpedanz eines unbekannten Materials durch Dünnfilmabscheidung auf einen piezoelektrischen Kristallrohling, wobei das Verfahren die folgenden Schritte umfasst: Bereitstellen eines piezoelektrischen Kristallrohlings mit einer spezifischen Schallimpedanz; Bestimmen der Basis-Resonanzfrequenz des piezoelektrischen Kristallrohlings; Aufbringen einer Elektrode mit einer spezifischen Schallimpedanz und Dichte auf den Kristallrohling; Messen der Basis-Resonanzfrequenz des Kristallrohlings und der aufgebrachten Elektrode; Berechnen einer Schall-Phasenverzögerungsinformation über den Kristallrohling und die aufgebrachte Elektrode bei der Resonanzfrequenz; Bestimmen der Dicke der Elektrode auf der Basis der berechneten Schall-Phasenverzögerungsinformation und der Dichte der Elektrode; Bestimmen der Masse des Kristallrohlings und der aufgebrachten Elektrode; Abscheiden einer Schicht von Material mit einer unbekannten Schallimpedanz und einer unbekannten Dichte auf die zuvor aufgebrachte Elektrode und den Kristallrohling; Messen der Basis-Resonanzfrequenz des Verbundresonators, der den Kristallrohling, die Elektrode und die abgeschiedene Schicht aufweist; Wiegen des Kristallrohlings, der aufgebrachten Elektrode und der abgeschiedenen Schicht; Bestimmen der Masse der abgeschiedenen Schicht auf der Basis der Gewichtsmessungen; Bestimmen der Fläche der abgeschiedenen Schicht auf dem Kristallrohling; überschlägiges Ermitteln der Dicke der abgeschiedenen Schicht auf der Basis der bestimmten Masse- und Flächenmessungen; Berechnen einer Schall-Phasenverzögerungsinformation über den Kristallrohling, die Elektrode und die abgeschiedene Schicht bei der gemessenen Resonanzfrequenz; und Bestimmen der spezifischen Schallimpedanz der abgeschiedenen Filmschicht auf der Basis der Phasenverzögerungsinformation und der Dickenmessung.
Verfahren nach Anspruch 14, bei dem der Basis-Resonanzfrequenz-Bestimmungsschritt für den Kristallrohling das direkte Messen des Rohlings und/oder das Bereitstellen eines Rohlings mit einer spezifischen Basis-Resonanzfrequenz, die in einem sehr engen Bereich ausgelegt ist, umfasst.
Verfahren nach Anspruch 14, bei dem der Schall-Phasenverzögerungs-Bestimmungsschritt den zusätzlichen Schritt des Erstellens einer nichtlinearen Gleichung einschließlich der Schall-Phasenverzögerungsinformation und der bestimmten Schichtdicke umfasst.
Verfahren nach Anspruch 16, bei dem die erstellte nichtlineare Gleichung $Z_{2} T_{2} + \frac{Z_{0} T_{0} + Z_{1} T_{1}}{1 - \frac{Z_{0}}{Z_{1}} T_{0} T_{1}} = 0 ist,$
wobei Z₂ die spezifische Schallimpedanz der abgeschiedenen Schicht ist, T₂ die Tangensfunktion der Schall-Phasenverzögerung der abgeschiedenen Schicht ist, Z₁ die spezifische Schallimpedanz der Elektrode ist, T₁ die Tangensfunktion der Schall-Phasenverzögerung der Elektrode ist, Z₀ die spezifische Schallimpedanz des Kristallrohlings ist bzw. T₀ die Tangensfunktion der Schall-Phasenverzögerung des Kristallrohlings ist.