Der
Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, analoge Schaltungsanordnungen
bereitzustellen, welche elliptische Funktionen elektrisch nachbilden
können.
Das
oben genannte technische Problem wird durch die Merkmale des Anspruchs
1 gelöst.
Danach
weist eine analoge Schaltungsanordnung mehrere Analogrechenschaltungen,
wie z.B. analoge Multiplizierer, Addierer, Integrierer, Differenzverstärker und
Dividierer auf, die wenigstens ein Ausgangssignal erzeugen, dessen
Kurvenverlauf wenigstens abschnittsweise einer elliptischen Funktion
entspricht oder angenähert
ist.
Vorteilhafte
Weiterbildungen sind Gegenstand der Unteransprüche.
Vorzugsweise
werden mit der analogen Schaltungsanordnung Jacobi elliptische Funktionen
elektrisch nachgebildet.
Eine
besonders effizient ausgebildete analoge Schaltungsanordnung umfasst
analoge Multiplizierer und Integrierer, die in der Lage sind, drei
Ausgangssignale zu liefern, deren Kurvenverläufe wenigstens abschnittsweise
den Jacobi elliptische Zeitfunktionen
und
entsprechen oder angenähert sind.
In diesen Zeitfunktionen ist k der Modul der elliptischen Funktionen,
f = 1/T die Frequenz der elliptischen Zeitfunktionen und
wobei M(1, √
1 – k 2)
das sogenannte arithmetisch-geometrische Mittel von 1 und √
1 – k 2 darstellt.
Der Wert k liegt meistens im Intervall [0, 1].
Häufig tritt
der Anwendungsfall auf, dass einem Eingangssignal ein bestimmtes
Ausgangssignal zugeordnet wird. Gemäß einer vorteilhaften Weiterbildung
sind daher mehrere Analogrechenschaltungen derart zusammengeschaltet,
dass bei einer Eingangsgröße x die
Ausgangsgröße y eine
elliptische Funktion von x ist.
Wird
als Eingangssignal eine Dreiecksfunktion an eine Schaltungsanordnung
gelegt, welche beispielsweise sn(x) realisiert, erhält man am
Ausgang eine elliptische Zeitfunktion.
Eine
Schaltungsanordnung, die diesen funktionalen Zusammenhang erzeugen
kann, weist einen ersten Multiplizierer auf, an dessen einen Eingang
ein Eingangssignal mit der Größe x, vorzugsweise
ein dreickförmiges
Eingangssignal, und an dessen andern Eingang der Faktor (1 – k2)/2 angelegt ist. Ferner ist ein zweiter
Multiplizierer vorgesehen, an dessen einen Eingang das dreieckförmige Eingangssignal
und an dessen anderen Eingang der Faktor (1 + k2)/2
angelegt ist. Ein Differenzverstärker
ist mit dem Ausgang des zweiten Multiplizierers verbunden, wobei
ein weiterer Eingang des Differenzverstärkers auf Masse liegt. Ferner
ist ein Addierer vorgesehen, der mit dem Ausgang des ersten Multiplizierers
und dem Ausgang des Differenzverstärkers verbunden ist. Am Ausgang
des Addierers liegt ein Ausgangssignal Ua an,
welches mit dem Eingangssignal durch die Jacobi elliptische Funktion
sn(Ue) verknüpft ist.
Mit
Hilfe einer analogen Divisionseinrichtung können weitere elliptische Funktionen
realisiert werden. Um ein Ausgangssignal gemäß der elliptischen Funktion
zu erzeugen, werden an die
analoge Divisionseinrichtung die Ausgangssignale
angelegt. Um ein Ausgangssignal
gemäß der elliptischen
Funktion
k) zu erzeugen, werden die
Ausgangssignale
und
an die Eingänge der
analogen Divisionseinrichtung angelegt.
In
vielen Fällen
will man die Frequenz
sowie den Wert k einer elliptischen
Funktion gezielt steuern oder beeinflussen. Ein typischer Anwendungsfall ist
beispielsweise die spannungsgesteuerte Veränderung der Frequenz f, der
Schwingungsdauer T oder des Moduls k. Zu diesem Zweck ist es erforderlich,
den Wert der Frequenz f und den Wert von π ^ gezielt auszuwählen. Wie
oben bereits erwähnt,
stehen die Größen π ^ und π in folgendem
Zusammenhang:
Aus
diesem Grunde ist es zweckmäßig, das
arithmetisch-geometrische
Mittel M(1, √1 – k 2)
mit Hilfe von Analogrechenschaltungen nachzubilden.
Gemäß einer
ersten Ausführungsform
ist wenigstens eine Analogrechenschaltung vorgesehen, an deren erstem
Eingang der Wert 1 und an deren zweitem Eingang der Faktor √1 – k 2 anliegt.
An dem ersten Ausgang der Analogrechenschaltung liegt das arithmetische
Mittel der beiden Eingangssignale an, wohingegen an dem zweiten
Ausgang der Analogrechenschaltung das geometrische Mittel der beiden
Eingangssignale anliegt. Ferner ist eine mit den Ausgängen der
Analogrecheneinrichtungen verbundene Analogrechenschaltung zum Berechnen
des arithmetischen Mittels vorgesehen, welches näherungsweise dem arithmetisch-geometrischen
Mittel M(1, √1 – k 2)
von 1 und √1 – k 2 entspricht.
Eine
alternative analoge Schaltungsanordnung zum Erzeugen des arithmetisch-geometrischen
Mittels M(1, √1 – k 2)
weist eine Analogrechenschaltung zum Berechnen des Minimums aus
zwei Eingangssignalen, eine Analogrechenschaltung zum Berechnen
des Maximums aus zwei Eingangssignalen, eine Analogrechenschaltung
zum Berechnen des arithmetischen Mittels aus zwei Eingangssignalen
sowie eine Analogrechenschaltung zum Berechnen des geometrischen
Mittels aus zwei Eingangssignalen auf. Der Ausgang der Analogrechenschaltung
zum Berechnen des Minimums ist mit einem Eingang der Analogrechenschaltung
zum Berechnen des arithmetischen Mittels und einem Eingang der Analogrechenschaltung
zum Berechnen des geometrischen Mittels verbunden. Der Ausgang der
Analogrechenschaltung zum Berechnen des Maximums ist mit einem anderen
Eingang der Analogrechenschaltung zum Berechnen des arithmetischen
Mittels und einem anderen Eingang der Analogrechenschaltung zum
Berechnen des geometrischen Mittels verbunden. Ein Eingang der Analogrechenschaltung
zum Berechnen des Minimums ist mit dem Ausgang der Analogrechenschaltung
zum Berechnen des arithmetischen Mittels verbunden, wobei an dem
anderen Eingang der Wert 1 angelegt ist. Ein Eingang der Analogrechenschaltung
zum Berechnen des Maximums ist mit dem Ausgang der Analogrechenschaltung
zum Berechnen des geometrischen Mittels verbunden, wobei an dem
anderen Eingang der Wert √1 – k 2 anliegt.
Demzufolge liegt am Ausgang der Analogrechenschaltung zum Berechnen
des geometrischen Mittels und am Ausgang der Analogrechenschaltung
zum Berechnen des arithmetischen Mittels das arithmetisch-geometrische
Mittel M von 1 und √1 – k 2 an.
Um
den Wert π ^ schaltungstechnisch bereitstellen zu können, ist eine Einrichtung,
insbesondere ein Dividierer vorgesehen, an dessen Eingänge das
arithmetisch-geometrische Mittel M(1, √1 – k 2) und die Zahl π anliegt.
Die
Erfindung wird nachfolgend anhand mehrerer Ausführungsbeispiele in Verbindung
mit den beiliegenden Zeichnungen näher erläutert. Es zeigen:
1 eine analoge Schaltungsanordnung
zum Erzeugen von drei Ausgangssignalen, die jeweils einer Jacobi
elliptischen Zeitfunktion entsprechen,
2 eine analoge Schaltungsanordnung
zum Erzeugen eines Ausgangssignals, welches der Jacobi elliptischen
Zeitfunktion
entspricht,
3 eine analoge Schaltungsanordnung
zum Erzeugen eines Ausgangssignals, welches mit einem dreieckförmigen Eingangssignal
durch die Jacobi elliptische Zeitfunktion sn(Ue)
verknüpft
ist,
4 eine analoge Schaltungsanordnung,
die aus zwei Eingangssignalen einen Schätzwert für das arithmetisch-geometrische
Mittel M liefert,
5 eine alternative analoge
Schaltungsanordnung zum Berechnen des arithmetisch-geometrischen
Mittels M aus zwei Eingangssignalen und
6 einen Dividierer zum Erzeugen
des Wertes π ^.
Zunächst werden
analoge Schaltungsanordnungen betrachtet, die wenigstens ein Ausgangssignal
erzeugen, dessen Kurvenverlauf einer Jacobi elliptischen Zeitfunktion
entspricht oder angenähert
ist. Wie bereits einleitend angeführt, werden im Folgenden die
sogenannten Jacobi elliptischen Funktionen sn(x, k), cn(x, k) und
dn(x, k) verwendet. Bei der Betrachtung von Zeitfunktionen werden
in den obigen Funktionen die Variable x durch t ersetzt und der
Einfachheit halber der Wert von k in den nachfolgenden Formeln weggelassen.
Unter
diesen Voraussetzungen lassen sich folgende wohlbekannte Gleichungen
zu den Jacobi elliptischen Funktionen angeben:
Erläuterungen
zu elliptischen Funktionen sind unter anderem in der Literatur „Vorlesungen über allgemeine
Funktionentheorie und elliptischen Funktionen", A. Hurwitz, Springer Verlag, Neuauflage
2000, Seite 204 zu entnehmen.
Um
elliptische Funktionen elektrisch nachbilden zu können, bei
der die Frequenz f verändert
werden kann, ist es nötig, ähnlich wie
bei den Kreisfunktionen entsprechende multiplikative Konstanten,
die zur Variablen t hinzutreten, zu berücksichtigen. Statt der Kreiskonstanten π wird die
Konstante π ^ verwendet. Die Größe π ^ steht
zur Größe π in folgendem
Zusammenhang:
Die
Funktion M(1, √1 – k 2)
bildet das sogenannte arithmetisch-geometrische Mittel von 1 und (√1 – k 2).
Mit
der Periodendauer T und der Einführung
von π ^ ergeben sich folgende Differenzialgleichungen:
wobei
f=1/T die Frequenz der elliptischen Funktionen ist.
1 zeigt eine analoge Schaltungsanordnung,
die drei Ausgangssignale erzeugt, deren Kurvenverläufe den
Jacobi elliptischen Funktionen entsprechen.
Gemäß
1 sind ein Multiplizierer
10,
ein Multiplizierer
20 sowie ein analoger Integrierer
30 hintereinander
geschaltet. Ferner ist ein analoger Multiplizierer
40,
ein analoger Multiplizierer
50 sowie ein weiterer analoger
Integrierer
60 hintereinander geschaltet. Eine dritte Reihenschaltung
umfasst einen weiteren analogen Multiplizierer
70, einen
anlogen Multiplizierer
80 sowie einen analogen Integrierer
90.
Der analoge Multiplizierer
20 multipliziert das Ausgangssignal
des Multiplizierers
10 mit dem Faktor 2π ^/T. Der Multiplizierer
50 multipliziert
das Ausgangssignal des Multiplizierers
40 mit dem Faktor
Der Multiplizierer
80 multipliziert
das Ausgangssignal des Multiplizierers
70 mit dem Faktor
Das
Ausgangssignal des Integrierers 30 wird auf den Multiplizierer 40 und
auf den Eingang des Multiplizierers 70 rückgekoppelt.
Das Ausgangssignal des Integrierers 60 wird auf den Eingang
des Multiplizierers 10 und auf den Eingang des Multiplizierers 70 rückgekoppelt.
Der Ausgang des Integrierers 90 wird auf den Eingang des
Multiplizierers 40 und auf den Eingang des Multiplizierers 10 rückgekoppelt.
Es
sei angemerkt, dass schaltungstechnisch bekannte Maßnahmen
zur Berücksichtigung
vordefinierter Anfangszustände
bei Inbetriebnahme in der Schaltung nicht eingezeichnet sind. Eine
solche in 1 gezeigte
analoge Schaltungsanordnung liefert am Ausgang des Integrators 30 die
Jacobi elliptischen Zeitfunktion sn(2π ^ft), am Ausgang des Integrierers 60 die
Jacobi elliptische Funktion cn(2π ^ft) und am Ausgang des Integrierers 90 die
Jacobi elliptische Funktion dn(2π ^ft).
Es
sei angemerkt, dass die Multiplikation mit
in den Multiplizierern
20 bzw.
50 und
die Multiplikation mit
im Multiplizierer
80 auch
in den Integrierern
30,
60 und
90 erfolgen
kann. Die Multiplikation mit k
2 kann auch an
den Ausgang des Integrierers
90 gelegt werden. Weiter ist
es möglich,
der in
1 gezeigten Schaltungsanordnung
bekannte Stabilisierungsschaltungen hinzuzufügen, wie sie beispielsweise
in der Fachliteratur „Halbleiter
Schaltungstechnik",
Tietze, Schenk, Springer Verlag, 5,. Auflage, 1980, Berlin Heidelberg
New York, Seiten 435–438
beschrieben sind.
Mit
der in 1 dargestellten
analogen Schaltungsanordnung können
alle drei Jacobi elliptische Zeitfunktionen sn(2π ^ft), cn(2π ^ft) und
dn(2π ^ft) gleichzeitig realisiert werden.
Außerdem erhält man am
Ausgang der Multiplizierer 10, 40 und 70 jeweils
noch die Ableitungen der Jacobi elliptischen Zeitfunktionen sn,
cn bzw. dn.
Soll
beispielsweise nur die Jacobi elliptische Zeitfunktion sn((2π ^ft))
mittels einer analogen Schaltungsanordnung realisiert werden, kommt
man mit weniger Multiplizierern aus, indem die für sn(2π ^ft) geltende Differenzialgleichung
zweiten Grades betrachtet wird, die aus den oben genannten Differenzialgleichungen
hergeleitet werden können.
Die für
sn(2π ^ft) geltende Differenzialgleichung zweiten Grades lautet:
Eine
beispielhafte analoge Schaltungsanordnung, die diese Differenzialgleichung
nachbildet, ist in 2 dargestellt.
Die
analoge Schaltungsanordnung weist einen Multiplizierer
100 auf,
dessen Ausgang mit einem nachgeschalteten Multiplizierer
110 verbunden
ist. An den Eingang des Multiplizierer
110 ist ferner der
Faktor –2k
2 angelegt. Der Ausgang des Multiplizierers
110 ist
mit einem Eingang eines Addierers
120 verbunden. An einem
zweiten Eingang des Addierers
120 liegt der Faktor 1 +
k
2 an. Der Ausgang des Addierers
120 ist
mit dem Eingang eines Multiplizierers
130 verbunden. An
einen weiteren Eingang des Multiplizierers
130 ist der Faktor
angelegt. Der Ausgang des
Multiplizierers
130 ist mit einem Eingang eines Multiplizierers
140 verbunden.
Der Ausgang des Multiplizierers
140 ist mit einem Eingang
eines Integrierers
150 verbunden. Der Ausgang des Integrierers
150 ist
mit dem Eingang eines Integrierers
160 verbunden. Der Ausgang
des Integrierers
160 ist auf den Eingang des Multiplizierers
140 sowie
an zwei Eingängen
des Multiplizierers
100 zurück gekoppelt. Auf diese Weise
erscheint am Ausgang des Integrierers
160 ein Ausgangssignal,
dessen Kurvenverlauf der Jacobi elliptischen Zeitfunktion
entspricht.
Die
Multiplikation mit dem Faktor
kann zweckmäßigerweise
wieder in den Integratoren
150 und
160 durchgeführt werden.
Nachfolgend
wird ein Ausführungsbeispiel
beschrieben, bei dem zwischen einem Eingangssignal und einem Ausgangssignal
näherungsweise
ein funktionaler Zusammenhang entsprechend der Jacobi elliptischen Funktion
sn(2π ^ft) besteht.
Die
in
3 dargestellte analoge
Schaltungsanordnung umfasst einen Differenzverstärker
170, einen Multiplizierer
180,
einen Multiplizierer
190 sowie einen Addierer
200.
An jedem Eingang der Multiplizierer
180 und
190 wird
beispielsweise ein Eingangssignal mit einem dreieckförmigen Spannungsverlauf
angelegt. An den Multiplizierer
180 wird ferner der Faktor
(1 – k
2)/2 angelegt, wohingegen an den Multiplizierer
190 der
Faktor (1 + k
2)/2 angelegt wird. Das Ausgangssignal
des Multiplizierers
190 wird dem Differenzverstärker
170 zugeführt. Der
zweite Eingang des Differenzverstärkers liegt auf Masse. Der
Ausgang des Multiplizierers
180 und der Ausgang des Differenzverstärkers
170 sind
mit den Eingängen
des Addierers
200 verbunden. Aufgrund der Tatsache, dass
die Differenzverstärkungsschaltung
170 einen
Zusammenhang zwischen dem Eingangssignal U
e und
dem Ausgangssignal U
a gemäß der Gleichung
hat, erzeugt die in
3 dargestellte Schaltungsanordnung
bei geeignet gewählten
Parametern des Differenzverstärkers
am Ausgang ein Signal U
a, welches mit dem
Eingangssignal U
e näherungsweise über die
Jacobi elliptische Funktion sn verknüpft ist.
An
dieser Stelle sei erwähnt,
dass es für
einen Durchschnittsfachmann ohne weiteres möglich ist, Schaltungsanordnungen
zu entwickeln, bei denen ein Ausgangssignal und ein Eingangssignal über die
Jacobi elliptische Funktion cn oder dn verknüpft sind.
Um
weitere elliptische Funktionen erzeugen zu können, kann der in 1 dargestellten Schaltungsanordnung
eine nicht dargestellte Divisionseinrichtung nachgeschaltet sein.
Um beispielsweise die elliptische Funktion sd(x) = sn(x)/dn(x) zu
erzeugen, können
der Divisionseinrichtung die Ausgangssignale der Integrierer 30 und 60 zugefügt werden.
Ferner können
der Divisionseinrichtung die Ausgangssignale der Integrierer 60 und 90 zugeführt werden,
um die elliptische Funktion cd(x) = cn(x/dn(x) zu erzeugen.
In
manchen Fällen
ist es wünschenswert,
die Frequenz f oder den Wert von k gezielt zu steuern.
Gemäß Gleichung
(4) ist es möglich,
den Wert π ^ durch Veränderung
des Wertes k zu verändern.
Das heißt,
die Berechnung von π ^ und somit von k kann durch eine Berechnung des
arithmetisch-geometrischen Mittels M(1, √1 – k 2) erfolgen. Eine Möglichkeit, die Frequenz der
mit der Schaltungsanordnung nach 1 erzeugten
Jacobi elliptischen Funktionen zu verändern, besteht darin, den Multiplizierern 20, 50 und 80 einen gezielt
geänderten
Wert für π ^ zuzuführen.
Um π ^ schaltunngstechnisch
erzeugen zu können,
kann zunächst
das arithmetisch-geometrische Mittels M(1, √1 – k 2) beispielsweise mit einer analogen Schaltungsanordnung
realisiert werden, die in 4 dargestellt
ist. Die in 4 dargestellte
Schaltungsanordnung besteht aus mehreren mit AG bezeichneten Analogrechenschaltungen 210, 220, 230 sowie
einer Analogrechenschaltung 240 zum Berechnen des arithmetischen
Mittels aus zwei Eingangssignalen. Die Analogrechenschaltungen 210 bis 230 sind
derart ausgeführt, dass
sie an einem Ausgang das arithmetische Mittel der beiden Eingangssignale
und am anderen Ausgang das geometrische Mittel der beiden Eingangssignale
erzeugen. Wie in 4 dargestellt,
wird an den ersten Eingang der Analogrechenschaltung 210 der
Faktor 1 und an dessen anderen Eingang der Faktor √1 – k 2 angelegt.
Unter der Voraussetzung, dass der Faktor √1 – k 2 zwischen 0 und 1 liegt, entspricht das
Ausgangssignal der Analogschaltungseinrichtung 240 in etwa
dem arithmetisch-geometrischen Mittel M der an den Eingängen der
Analogrechenschaltung 210 angelegten Faktoren 1 und √1 – k 2.
5 zeigt eine alternative
analoge Schaltungsanordnung zur Berechnung des arithmetisch-geometrischen
Mittels M der beiden Faktoren 1 und √1 – k 2. Die in 5 dargestellte
Schaltungsanordnung weist eine Analogrechenschaltung 250 zum
Berechnen des Minimums aus zwei Eingangssignalen, eine Analogrechenschaltung 260 zum
Berechnen des Maximums aus zwei Eingangssignalen, eine Analogrechenschaltung 270 zum
Berechnen des arithmetischen Mittels aus zwei Eingangssignalen und
eine Analogrechenschaltung 280 zum Berechnen eines geometrischen
Mittels aus zwei Eingangssignalen auf. An einen Eingang der Analogrechenschaltung 250 ist
der Faktor 1 angelegt, wohingegen an einen Eingang der Analogrechenschaltung 260 der
Faktor √1 – k 2 angelegt
ist. Der Ausgang der Analogrechenschaltung 250 zum Berechnen
des Minimums aus zwei Eingangssignalen ist mit dem Eingang der Analogrechenschaltung 270 und
der Analogrechenschaltung 280 verbunden. Der Ausgang der
Analogrechenschaltung 260 zum Berechnen des Maximums aus
zwei Eingangssignalen ist mit einem Eingang der Analogrechenschaltung 270 und
einem Eingang der Analogrechenschaltung 280 verbunden.
Der Ausgang der Analogrechenschaltung 270 ist mit einem
Eingang der Analogrechenschaltung 250 verbunden, wohingegen
der Ausgang der Analogrechenschaltung 280 mit einem Eingang
der Analogrechenschaltung 260 verbunden ist. Bei der in 5 dargestellten analogen
Schaltungsanordnung liefern die Ausgänge der Analogrechenschaltung 270 und 280 jeweils
das arithmetisch-geometrische Mittel M von 1 und √1 – k 2.
Bei
der technischen Realisierung der Schaltungsanordnung nach 5 sind Laufzeiteffekte nicht
berücksichtigt,
die mit in der Schaltungstechnik geläufigen Methoden (z. B. Abtasthaltegliedern)
behandelt werden können.
Die
Berechnung von π ^ kann nunmehr über
eine in 6 dargestellte
Divisionseinrichtung 290 erfolgen, an deren Eingänge die
Zahl π und
das arithmetisch-geometrische Mittel M(1, √1 – k 2), welches beispielsweise von der in 4 oder in 5 dargestellten Schaltung erzeugt wird,
angelegt sind.
Auf
diese Weise können
den Multiplizierern 20, 50 und 80 der
Schaltungsanordnung nach 1 gezielt
geänderte
Werte für π ^ zugeführt werden,
wodurch das Frequenzverhalten der Ausgangsfunktionen gezielt beeinflusst
werden kann.
und
entsprechen oder angenähert sind. In diesen Zeitfunktionen ist k der Modul der elliptischen Funktionen, f = 1/T die Frequenz der elliptischen Zeitfunktionen und
wobei M(1, √
angelegt. Um ein Ausgangssignal gemäß der elliptischen Funktion
k) zu erzeugen, werden die Ausgangssignale
und
an die Eingänge der analogen Divisionseinrichtung angelegt.
entsprechen oder angenähert sind, wobei
gilt und M(1, √