Aufgabe der Erfindung ist es, ein
Verfahren und eine Anordnung zum Einstellen eines Filters zu schaffen,
die eine vereinfachte und sichere Methode zum Filterentwurf ermöglichen.
Diese Aufgabe wird mit den Merkmalskombinationen
der unabhängigen
Patentansprüche
gelöst.
Die Erfindung ist in der Zeichnung
dargestellt und wird anhand der nachfolgenden Beschreibung näher erläutert.
Es zeigen 1 eine Schablone für einen Dämpfungsverlauf und 2 ein Blockschaltbild der
erfindungsgemäßen Anordnung.
Die Erfindung betrifft ein Verfahren
und eine Anordnung zur verbesserten Einstellung und Herstellung von
Cauer Filtern. Das Verfahren führt
zu einer Vereinfachung bei der Einstellung der wesentlichen Parameter, sodass
es nunmehr leicht möglich
ist universell einstellbare elliptische Filter zu entwerfen und
zu realisieren, deren wesentliche Parameter als Eingangsparameter
auch in Echtzeit benutzt werden können.
Elektrische Filter werden in der
Nachrichtentechnik weithin für
sehr viele Zwecke benötigt.
Die Erfindung behandelt den Entwurf von sogenannten Tiefpass Prototypen.
Im folgenden benutzen wir sogenannte
normierte Frequenzen, wie im Filterdesign üblich. Ein Tiefpassfilter ist
eine Anordnung, die (Kreis-) Frequenzen im Durchlassbereich ω = 0 bis ω = 1, passieren
lässt,
während
es Frequenzen oberhalb der Sperrfrequenz ω ≥ ωS dämpft. Den
Bereich oberhalb von ωS nennt man den Sperrbereich. Den Bereich
von ω =
1 bis ω = ωS nennt man den Übergangsbereich. Der durch
ein Filterdesign vorgegebene Dämpfungsverlauf
ist in 1 zu sehen. Die
maximale Dämpfung
im Durchlassbereich wird mit αmax bezeichnet und die minimale Dämpfung im
Sperrbereich mit αmin.
Elektrische Filter lassen sich sowohl
in analoger als auch in digitaler Form realisieren. Wesentlich ist der
Prototypentwurf. Aus dem Prototypfilter werden durch geeignete Transformationen
auch Hochpass-, Bandpass- und Bandsperrenfilter entworfen.
Auch im Zeitalter der Digitaltechnik
werden nach wie vor Analogfilter benötigt, z.B. um ungewünschte Frequenzanteile
eines Signals zu entfernen. Analogfilter werden sowohl in passiver
als auch in aktiver Bauweise realisiert.
Von den bekannten Filterentwurfsverfahren
im Frequenzbereich liefern die sogenannten Cauer Filter bei vorgegebenem
Grad n die beste Frequenzcharakteristik.
Cauer Filter werden auch als elliptische
Filter bezeichnet. Bisher ging der Entwurf von Elliptischen Filtern
durch die Anwendung von numerischen Verfahren und/oder Benutzung
von Filterkatalogen vonstatten. Durch die im folgenden dargestellten
Zusammenhänge
wird der Entwurf stark vereinfacht, sodass es möglich wird, universell einstellbare
Filter sowohl in Hard- als auch in Software zu realisieren.
Misst man die Dämpfung in Dezibel, so gelten
für die
Parameter αmax, αmin, ωs von elliptischen Filtern folgende wohl
bekannten Zusammenhänge.
Hat man ein gültiges Wertetripel (αmax, αmin, ωs), bzw. das hieraus leicht mit obigen Gleichungen
berechenbare äquivalente
Tripel (e, g, k), so kann man die wesentlichen Filterparameter in
geschlossener Form mittels sogenannter elliptischer Funktionen formelmässig beschreiben
(siehe z.B. H. J. Orchard, Alan N. Willson, Elliptic Functions for
Filter Design",
IEEE Transactions on Circuits and Systems, Fundamental Theory and Applications,
Vol. 44., No. 4, April 1997, pp. 273–287).
Das eigentliche Problem ist, dass
die drei Größen des
Wertetripels (ϵ, g, k) in verhältnismäßig komplexer Weise voneinander
abhängen.
Der schwierige Zusammenhang ist dabei der Zusammenhang zwischen g
und k. Die anderen Beziehungen sind durch obige Gleichungen offensichtlich.
In unserer Anwendung liegen die Werte von k und g im Interval [0,1].
Für
einen vorgegebenen Filtergrad n, der eine ganze natürliche Zahl
sein muss, gilt die wohlbekannte Gleichung
wobei die Funktion K(k) das
vollständige
Elliptische Integral der ersten Art ist.
Der Wert von K(k) wird am besten
mit dem sogenannten Arithmetisch-Geometrischen Mittel berechnet.
wobei
das Arithmetische-Geometrische Mittel M(a, b) von zwei Zahlen a
und b der Grenzwert der Rekursion a
i+1 =
(a
i + b
i)/2, b
i+1 = √
a
i
·b
i mit
Startwerten a
0 = a, b
0 =
b ist (siehe z.B. A. Hurwitz, "Vorlesungen über allgemeine
Funktionentheorie und Elliptische Funktionen", Springer, Fünfte Auflage, Springer, Berlin
Heidelberg New-York, 2000).
Mit Hilfe von Gleichung (4) kann
man zu vorgegebenen Wunschparametern auch den hierzu nötigen Grad
bestimmen. Hierzu ist es nötig
den nach der Formel berechneten Wert für n zu einer ganzen Zahl Auf- oder
Abzurunden durch Modifikation der Anforderungen an das Filter.
Diese Berechnung eines Wertetripels
für Cauerfilter
geschieht daher meistens in einer Synthesephase, bei der z.B. mittels
Gleichung (4) oder mit äquivalenten
Formeln ein Wertetripel numerisch bestimmt wird. Hierzu dienen vergleichsweise
aufwendige Iterationsverfahren.
Mit Hilfe der nachfolgend angegebenen
Gleichung wird ein einfacher formelmässiger Zusammenhang zwischen
g und k etabliert, der dergestalt ist, dass komplexe numerische
Verfahren gänzlich
entfallen können. Durch
Auswertung dieser Formel können
die Werte in Echtzeit bestimmt werden, sodass es möglich ist,
hiermit direkt Cauer Filter in Hard- oder Software einzustellen
bzw. zu entwerfen. Der formelmäßige Zusammenhang war
bisher in der Filtertheorie nicht bekannt.
Der Begriff Hardware bezieht sich
sowohl auf analoge als auch auf digitale Filter. Analoge Filter
werden mittels passiver und/oder aktiver Bauelemente hergestellt.
Digitale Filter werden oft mittels sogenannter Signalprozessoren
(Hardware) programmiert (Software) oder auch ausschliesslich mittels
Software auf Universalcomputern.
Wesentlich bei allen Entwürfen ist
der nicht triviale Zusammenhang zwischen g und k bei vorgegebenem
Grad n. Wir setzen g = f
n(k) und k = f
n
–1(g). Für die
Der nicht triviale Zusammenhang zwischen
g und k ist
Beide Formeln lassen sich sowohl
in Hard- als auch in Software auswerten und liefern die Parameter mit
dem ganzzahligen Wert für
n. Die Funktion sn ist eine der wohlbekannten Jacobi elliptischen
Funktionen. Die leichte Berechnungsweise ermöglicht es nun das in 2 dargestellte Filter vom
Grad n zu realisieren.
Die wesentliche Verbesserung stellt
die Berechnungseinheit Ber. 1 dar. Diese Berechnungseinheit hat als
Eingangsgrößen zwei
der drei Parameter des Wertetripels (ϵ, g, k), bzw. zwei
der drei Parameter des äquivalenten
Tripels (αmax, αmin, ωs). Mit der Eingangsgröße Auswahl wird ausgewählt welche
zwei der drei Eingangsgrößen als
Eingangsgrößen dienen.
So kann mit dieser Auswahlfunktion beispielsweise bestimmt werden,
dass als Eingangsparameter die beiden Größen αmin und αmax dienen.
Die Berechnungseinheit stellt dann durch Auswertung der Gleichungen
(1), (2), (3), (5) und (6) am Ausgang ein Cauer-Wertetripel (ϵ,
g, k) zur Verfügung.
Mit diesem Wertetripel können
dann unter Zuhilfenahme von bekannten Formeln direkt die Parameter eines
Filters n-ter Ordnung in der hier mit Ber. 2 dargestellten Berechnungseinheit
bestimmt werden. Die Filterparameter sind entsprechend der Realisierung
des Filters zu steuern. Bei Realisierung eines Analogfilters kann
man z.B. bei sogenannten Blöcken
zweiter Ordnung mittels Spannungen die relevanten Filterparameter direkt
steuern. Wie aus der Literatur bekannt ist können Analogfiltertiefpassentwürfe als
Basis für
die Konstruktion von Hochpass, Bandpass und Bandsperrfiltern dienen.
Ebenso lassen sich aus den Analogfiltern nach bekannten Methoden
(siehe etwa A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, Digital Signal Processing,
Prentice Hall, 1975) digitale Filter entwerfen. Obiges Verfahren
ist somit universell einsetzbar.
