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Die
vorliegende Erfindung betrifft eine Würfelanordnung.
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Würfel in
Hexaederform, d.h. mit sechs gleichen, quadratischen Begrenzungsflächen, werden
bereits seit der Antike dazu eingesetzt, eine zufällige Auswahl
aus sechs möglichen
Resultaten zu erzielen. Die sechs Begrenzungsflächen jedes Würfels tragen
unterschiedliche Symbole, die die Zahlen von 1 bis 6 repräsentieren.
Als geworfen oder durch den Wurf erzielt gilt jenes Symbol, das
nach dem Stillstand des Würfels
auf ebener Fläche
oben zu liegen kommt.
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Bei
herkömmlichen
Würfelanordnungen
sind auf den Würfeln
als Symbole Wertzahlen in Form von 1 bis 6 Augen derart angeordnet,
dass einander gegenüberliegende
Wertzahlen die Summe 7 ergeben. Diese Würfel werden einzeln oder in
Paaren bei den unterschiedlichsten Spielen eingesetzt, wobei die
nach dem Wurf oben liegenden Wertzahlen bzw. die Summe der nach
dem Wurf oben liegenden Wertzahlen als geworfen gelten.
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Für jeden
einzelnen Würfel
gilt, dass die Wahrscheinlichkeit, nach dem Wurf oben zu liegen,
für alle Wertzahlen
eines Würfels
gleich ist, nämlich
1/6. Bei paarweise verwendeten Würfeln,
bei denen die Summe der oben liegenden Wertzahlen als geworfen gilt,
ist jedoch die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Augensumme
erreicht wird, für
die einzelnen möglichen
Augensummen unterschiedlich. Das liegt daran, dass bestimmte Augensummen,
nämlich
2 und 12, jeweils nur durch eine einzige Kombination von Wertzahlen
erhältlich
sind, andere Augensummen aber durch mehrere Kombinationen von Wertzahlen.
Die Augensumme 7 kann bspw. durch sechs verschiedene Kombinationen
von Wertzahlen erzielt werden. Die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme
2 oder 12 zu erzielen, beträgt
demnach 1/36, während
die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme 7 zu erzielen, 6/36, d.h.
1/6 beträgt.
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Diese
herkömmlichen
Würfelanordnungen
aus ein oder zwei Würfeln,
die jeweils die Wertzahlen 1 bis 6 tragen, führen bei der Konzeption neuer
Spiele (bspw. Brettspiele oder Würfelspiele)
zu einer gewissen Einschränkung
der gestalterischen Möglichkeiten.
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Die
Aufgabe der vorliegenden Erfindung besteht darin, eine Würfelanordnung
bereitzustellen, die bei der Konzeption neuer Würfelspiele größere gestalterische
Möglichkeiten
eröffnet.
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Die
Lösung
besteht in einer Würfelanordnung
mit den Merkmalen des Anspruchs 1. Erfindungsgemäß ist vorgesehen, dass die
Würfelanordnung
aus drei Würfeln
in Hexaederform besteht, wobei auf den insgesamt 18 Begrenzungsflächen zwei
Sätze der
Wertzahlen 1 bis 9 verteilt angeordnet sind. Die Darstellung der
neun unterschiedlichen Augenzahlen kann hierbei in arabischen Ziffern,
römischen
Ziffern, Punkten vergleichbar den Augen auf Dominosteinen oder auch
durch neun beliebige andere, unterscheidbare Symbole erfolgen.
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Bei
der erfindungsgemäßen Würfelanordnung
handelt es sich um einen zusammengehörigen Satz von drei Würfeln in
herkömmlicher
Hexaederform. Im Unterschied zu herkömmlichen Würfeln sind jedoch auf den Begrenzungsflächen der
erfindungsgemäßen Würfel Symbole
angebracht, die die Wertzahlen von 1 bis 9 repräsentieren. Ein Satz von drei
Würfeln
weist dreimal sechs, also insgesamt 18 Begrenzungsflächen auf. Jede
Wertzahl 1 bis 9 kommt auf den insgesamt 18 Begrenzungsflächen genau
zweimal vor.
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Mit
der erfindungsgemäßen Würfelanordnung
können
neuartige Spiele, bspw. Brettspiele oder Würfelspiele konzipiert und gestaltet
werden. Je nach Anordnung der Wertzahlen auf den Begrenzungsflächen lassen
sich neuartige und unübliche
Effekte erzielen, mit denen auf den Spielverlauf Einfluss genommen
wird.
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Vorteilhafte
Weiterbildungen ergeben sich aus den Unteransprüchen.
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Besondere
Effekte lassen sich bspw. dadurch erzielen, dass die Wertzahlen
so angeordnet sind, dass die Summe der auf jedem einzelnen Würfel angeordneten
Wertzahlen genau 30 beträgt.
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Eine
andere Möglichkeit
besteht darin, auf einem einzelnen Würfel jede Wertzahl nur einmal
vorzusehen. Ferner kann bspw. die Wahrscheinlichkeit für Kombinationen
von Wertzahlen bei zwei der drei Würfel möglichst gleichmäßig verteilt
sein. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Wertzahlsummen eines
Wurfes kann auch symmetrisch sein, bspw. einer Polynomialverteilung
möglichst
nahe kommen.
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Bevorzugte
Ausführungsformen
der erfindungsgemäßen Würfelanordnung
werden im Folgenden anhand der beigefügten Zeichnungen näher beschrieben.
Es zeigen:
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1a bis 1c eine
erste Ausführungsform
einer erfindungsgemäßen Würfelanordnung
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2a bis 2c eine
zweite Ausführungsform
einer erfindungsgemäßen Würfelanordnung
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3 die
Wahrscheinlichkeitsverteilung der möglichen Ergebnisse eines Wurfes
mit einer Würfelanordnung
gemäß 1a bis 1c.
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Die
in den 1a bis 1c und 2a bis 2c dargestellten
Ausführungsformen
der erfindungsgemäßen Würfelanordnung
sehen vor, dass die Wertzahlen 1 bis 9 zwei Mal so auf den Begrenzungsflächen angeordnet
sind, dass eine möglichst
gleichmäßige Verteilung
der Würfelergebnisse
gewährleistet
ist, wenn jeder Wurf mit allen drei Würfeln eines Satzes gemeinsam
ausgeführt
wird. Hierzu sind die folgenden vier Bedingungen gleichzeitig verwirklicht:
- Bedingung 1: Keine Wertzahl kommt auf einem Würfel zwei
Mal vor.
- Bedingung 2: Die Summe der Wertzahlen auf jedem einzelnen der
drei Würfel
ist 30.
- Bedingung 3: Die Wahrscheinlichkeit für Kombinationen von Wertzahlen
bei zwei der drei Würfel
ist möglichst gleichmäßig verteilt.
- Bedingung 4: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Wertzahlsummen
eines Wurfes ist symmetrisch und kommt einer Polynomialverteilung,
d.h. einer diskreten Glockenkurve, möglichst nahe.
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Die
ersten beiden Bedingungen führen
zu einer ausgewogenen Verteilung der Zahlen auf den Würfeln der
erfindungsgemäßen Würfelanordnung,
wobei die Summe der Wertzahlen auf jedem Würfel gleich ist. Die letzten
beiden Bedingungen fordern ein Verhalten der drei Würfel, das
dem Verhalten von (theoretischen) Würfeln mit neun gleichen Flächen nahe
kommen soll.
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Sollen
alle Bedingungen eingehalten werden, dann sind zwei besonders bevorzugte
Ausführungsformen
möglich:
Bei
der ersten Ausführungsform
weist der erste Würfel
die Wertzahlen 1, 2, 4, 6, 8 und 9 auf, der zweite Würfel weist
die Wertzahlen 1, 3, 5, 6, 7 und 8 auf und der dritte Würfel weist
die Wertzahlen 2, 3, 4, 5, 7 und 9 auf (vgl. 1a bis 1c).
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Bei
der zweiten Ausführungsform
weist der erste Würfel
die Wertzahlen 1, 3, 4, 5, 8 und 9 auf, der zweite Würfel weist
die Wertzahlen 1, 2, 5, 6, 7 und 9 auf und der dritte Würfel weist
die Wertzahlen 2, 3, 4, 6, 7 und 8 auf (vgl. 2a bis 2c).
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Diese
beiden Ausführungsformen
der erfindungsgemäßen Würfelanordnung
erfüllen
die oben genannten vier Bedingungen und simulieren dadurch angenähert das
Verhalten von Würfeln
mit neun Flächen.
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Andere
Ausführungsformen,
die nicht alle der vier Bedingungen einhalten, sind selbstverständlich denkbar.
Ihre Ausgestaltung hängt
im Einzelfall von der Konzeption des jeweiligen Spiels ab, welches
mit der betreffenden Ausführungsform
der erfindungsgemäßen Würfelanordnung
realisiert werden soll. Bspw. können andere
Ausführungsformen
die erste Bedingung, nicht jedoch zusätzlich die zweite Bedingung
erfüllen.
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Bei
den beiden in den 1a bis 1c bzw. 2a bis 2c dargestellten
Ausführungsformen wird
mit allen drei Würfeln
geworfen. Die Verteilung der möglichen
Ergebnisse eines Wurfes mit allen drei Würfeln ist nicht damit identisch,
dass drei Mal unabhängig
aus einem Vorrat von neun Möglichkeiten
gewählt
wird, aber die Verteilung der möglichen
Ergebnisse (mindestens 4 Augen, höchstens 26 Augen) kommt einer
Polynomialverteilung nahe, wie man sie von der Kombination unabhängiger diskreter
Ereignisse kennt. 3 zeigt die Verteilung der Augensummen
beim Werfen mit drei Würfeln
der Ausführungsform
gemäß 1a bis 1c.
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Man
kann insbesondere unter Verwendung dieser beiden Ausführungsformen
der erfindungsgemäßen Würfelanordnung
faire Spiele entwerfen, bei denen eine zufällige Auswahl von 1 bis 9 getätigt werden
soll. Es kommen – mit
Ausnahme der Null – alle
Ziffern des Dezimalsystems als Augenzahl vor. Dies ist besonders für pädagogische
Lernspiele von Nutzen.
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Eine
denkbare Spielvariante könnte
darin bestehen, dass man eine Spielregel gelten lässt, wonach der
Spieler nach Gutdünken
zwei der drei Würfel
auswählt
und aus diesen beiden Ergebnissen eine Zahl von 11 bis 99 kombiniert.
Dann ergeben sich für
die Zahlen von 11 bis 99 nur zwei unterschiedliche Häufigkeiten im
Verhältnis
2:3. Auch diese Eigenschaft kann zur Entwicklung von Spielen genutzt
werden, bei denen die Ziffern 1 bis 9 in gleichmäßiger Verteilung zum Einsatz
kommen sollen.
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Im
Anhang 1, der Teil der Offenbarung dieser Anmeldung ist und insbesondere
weitere Ausführungsformen
der erfindungsgemäßen Würfelanordnung
offenbart, wird der Gedankengang erläutert, der insbesondere zu
den Ausführungsbeispielen,
wie sie in den 1a bis 1c und 2a bis 2c,
dargestellt sind, führt.
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Anhang 1
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Die
folgende Analyse untersucht der Reihe nach verschiedene Möglichkeiten,
mit drei Würfeln
in der klassischen Form regelmäßiger Hexaeder
zu würfeln.
Zunächst
wird das Würfeln
mit drei Würfeln
und jeweils den Wertzahlen 1 bis 6 untersucht. Danach wird das Würfeln mit
drei Würfeln
und insgesamt 18 unterscheidbaren Begrenzungsflächen untersucht. Zuletzt wird
das Würfeln
mit drei Würfeln
untersucht, auf denen die Wertzahlen 1 bis 9 je zwei Mal angebracht
sind.
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I. Drei Würfel mit
jeweils den Zahlen bzw. Augen 1 bis 6
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Drei
Würfel
haben 18 Begrenzungsflächen.
Auf jedem Würfel
sind die Augen von 1 bis 6 aufgebracht, die Augensumme beträgt 21, gegenüberliegende
Werte ergänzen
sich jeweils zu der Summe 7. Wenn die drei Würfel unterscheidbar sind, z.B.
in den Farben rot, grün
und blau, dann erhält
man nach jedem Wurf drei unterscheidbare Zahlen als Ergebnis, z.B.:
1r, 3g, 4b. Es gibt insgesamt 6 × 6 × 6, also 216 mögliche Ergebnisse, jedes
mit der gleichen Wahrscheinlichkeit. Solange alle Tripel durch die
Farbe des Würfels
unterscheidbar sind, haben alle Tripel die gleiche Wahrscheinlichkeit
1/216. Eine Aufzählung
aller Würfelergebnisse
ist trivial.
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Ignoriert
man die Farbe, so kommt es nur noch auf den Wert an. Man kann nach
dem Wurf nicht mehr unterscheiden, von welchem Würfel ein Wert stammt. 1, 1,
1 ist nur einmal in 216 Würfen
vorhanden. Andere Ergebnisse können
in mehreren Kombinationen auftreten: Das Tripel 1, 2, 3 kann mit
jeder möglichen
Farbkombination, also insgesamt sechs Mal auftreten. Die Wahrscheinlichkeit
für das
Tripel 1, 2, 3 ist also 6 Mal so hoch wie die für 1, 1, 1. Jedes Tripel mit
drei unterschiedlichen Zahlen hat die Wahrscheinlichkeit 6/216 =
1/36.
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Das
Tripel 1, 1, 2 kann drei Mal auftreten: 2 kann rot, grün oder blau
sein, aber sobald diese Farbe festgelegt ist, müssen die anderen beiden Würfel zwingend
die anderen Farben haben, da jeder Wurf immer alle drei Farben enthält. Jedes
Tripel mit genau zwei gleichen Zahlen hat also die Wahrscheinlichkeit
3/216 = 1/72.
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Es
gibt genau sechs Tripel mit drei gleichen Zahlen (Dreierpasch).
Die Wahrscheinlichkeit für
einen ganz bestimmten Dreierpasch ist 1/216, die Wahrscheinlichkeit
für irgendeinen
Dreierpasch ist 6/216 = 1/36.
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Mit
jeder Zahl gibt es fünf
Tripel, bei denen die anderen beiden Würfel gleiche Augen zeigen (Pasch). Insgesamt
gibt es 5 mal 6 = 30 Tripel, bei denen genau eine Zahl doppelt vorkommt.
Die Wahrscheinlichkeit für
einen bestimmten Pasch war 1/72, die Wahrscheinlichkeit für einen
beliebigen Pasch ist 30/72 = 5/12, fast die Hälfte.
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Es
verbleiben 20 Kombinationen, bei denen alle drei Würfel unterschiedliche
Augenzahlen zeigen. Die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmtes dieser Tripel
ist 1/36, die Wahrscheinlichkeit für irgend eines dieser Tripel
ist 20/36 = 5/9, knapp mehr als die Hälfte.
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Insgesamt
können
fallen: ein Dreierpasch, ein Zweierpasch oder ein neutrales Tripel.
Die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten muss 1 sein: 1/36
+ 5/12 + 5/9 = 6/216 + 90/216 + 210/216 = 1!
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Insgesamt
gibt es 56 unterschiedliche Tripel, davon 30 mit zwei gleichen und
6 mit drei gleichen Zahlen.
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Beschränkt man
sich auf die Augensumme, dann kommen als Ergebnis eines Wurfes die
Zahlen 3 bis 18 in Frage. Für
manche Kombinationen ergeben sich recht hohe Wahrscheinlichkeiten.
Im Mittel kann z.B. das Ergebnis 10 aus folgenden Kombinationen
zusammengesetzt werden: 1, 3, 6; 1, 4, 5; 2, 2, 6; 2, 3, 5; 2, 4, 4;
3, 3, 4. Man muss die Wahrscheinlichkeiten der Tripel addieren:
(6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3)/216 = 27/216. Das Ergebnis 11 kann aus folgenden
Kombinationen erreicht werden: 1, 4, 6; 1, 5, 5; 2, 3, 6; 2, 4,
5; 3, 3, 5; 3, 4, 4. Die Wahrscheinlichkeiten erge ben wieder (6
+ 3 + 6 + 6 + 3 + 3)/216 = 27/216. Die Verteilung muss symmetrisch
zum Mittelwert 10,5 liegen und sieht der bekannten Glockenkurve ähnlich.
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II. Drei Würfel mit
den Zahlen bzw. Augen 1 bis 18
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Die
18 Flächen
dreier Würfel
werden von 1 bis 18 durchnummeriert. Wieder wird streng der Reihe nach
gewürfelt.
Beim ersten Wurf fällt
eine Zahl von 1 bis 6 auf dem ersten Würfel. Dann fällt eine
Zahl von 7 bis 12 auf dem zweiten Würfel. Beim dritten Wurf fällt eine
Zahl von 13 bis 18 auf dem dritten Würfel. Ob man die drei Würfel nacheinander
oder gleichzeitig wirft, ist egal.
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Wenn
man die Flächen
von 1 bis 18 durchnumeriert, dann hat man bei jedem Wurf mit allen
drei Würfeln
ein Ergebnis aus drei Zahlen. Insgesamt sind es 216 mögliche Ergebnisse,
jedes mit der gleichen Wahrscheinlichkeit. Jede der Zahlen von 1
bis 18 fällt
mit der gleichen Wahrscheinlichkeit, solange man mit allen drei
Würfeln
zugleich würfelt.
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Für die pure
mechanische Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse ist es egal, was auf
den Flächen
zu sehen ist. Jeder Wurf ist ein Tripel aus den sechs Oberflächen der
drei Würfel.
Es können
aber nicht beliebige Tripel aus 18 Zahlen geworfen werden, da jedes
Tripel von jedem Würfel
nur eine Fläche
zeigen kann.
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Welche
Kombinationen können
fallen? Klarerweise enthält
jedes Tripel drei unterschiedliche Zahlen, denn jede der 18 Oberflächen hat
eine individuelle Zahl. Auch kann keine Zahl in Kombination mit
einer Zahl fallen, die auf dem gleichen Würfel liegt. Die 216 möglichen
Ergebnisse können
also das Tripel 1, 7, 13 oder das Tripel 6, 12,18 enthalten, nicht
jedoch das Tripel 1, 2, 3, denn diese Zahlen liegen alle auf dem
ersten Würfel.
Verwechselbare Tripel gibt es nicht.
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Welche
Tripel tatsächlich
auftreten können,
ist davon abhängig,
in welcher Weise die 18 Zahlen auf die drei Würfel verteilt sind. Man muss
ja nicht die Zahlen von 1 bis 6 auf dem ersten Würfel, 7 bis 12 auf dem zweiten
Würfel,
usw. anordnen. Wählt
man diese kanonische Anordnung, dann hat das kleinste Tripel die
Augensumme 21, das größte die
Augensumme 36. Mehrere Tripel haben die gleiche Augensumme – obwohl
jedes Tripel unverwechselbar eines aus 216 ist. Die Augensummen
6 + 7 + 14, 5 + 8 + 14, 4 + 9 + 14, 3 + 10 + 14, 2 + 11 + 14, 1
+ 12 + 14, 5 + 7 + 15 usf. ergeben z.B. jeweils die Augensumme 27.
Also hat die Augensumme 27 eine höhere Wahrscheinlichkeit als
die Augensumme 21, die nur in der kleinsten Kombination, also mit Wahrscheinlichkeit
1/216 auftreten kann.
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Die
Wahrscheinlichkeit für
eine bestimmte Augensumme ergibt sich daraus, dass eine Augensumme aus
unterschiedlichen Summanden zusammengesetzt werden kann. Wären die
Zahlen auf den 18 Würfelseiten
so beschaffen, dass jede Kombination aus drei dieser Zahlen eine
individuelle Augensumme ergibt, dann kämen 216 Augensummen vor. Die
Augenzahlen 1, 2, 4 = 22, 8 = 23,
24, 25, ... bis
217 würden
dieser Forderung genügen.
Interessant wäre
die Frage, welche kleinste Verteilung von Zahlen auf den 18 Flächen zu
216 individuellen Augensummen führt.
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III. Drei Würfel mit
zwei Sätzen
der Zahlen bzw. Augen 1 bis 9; paarig
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Hierbei
handelt es sich um Ausführungsformen
der vorliegenden Erfindung. Wenn man die Flächen statt mit 18 verschiedenen
Zahlen mit den Zahlen von 1 bis 9 zwei Mal durchnumeriert, dann
gibt es ebenfalls 216 mögliche
Ergebnisse. Wenn man eine Serie von 1 bis 9 rot, die andere grün markiert,
dann hat man wieder 216 unterscheidbare Tripel. Lässt man
die Farben rot und grün
weg, entstehen nicht-unterscheidbare Tripel. Welche genau dabei
entstehen, ist wieder von der Verteilung der Zahlen auf die Würfel abhängig.
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Betrachten
wir eine extreme Aufteilung: Jede der Zahlen 1 bis 9 wird doppelt
auf einem der Würfel
angebracht. Man hätte
also die Würfel:
1, 1, 2, 2, 3, 3; 4, 4, 5, 5, 6, 6; 7, 7, 8, 8, 9, 9. Bei dieser
Aufteilung wären unter
den 216 Würfen
die Zahlen 1 bis 9 gleich verteilt. Aber unter den Tripeln können klarerweise
keine auftreten, die eine Zahl zweimal enthalten. Das Tripel 1,
4, 7 kann durch jede Kombination aus (vormals) roten und grünen Zahlen
dargestellt werden, also insgesamt 8 Varianten. Daher ist die Wahrscheinlichkeit
für dieses Tripel
8/216, also 1/27. In der Tat: Dies gilt für alle Tripel und es gibt überhaupt
nur 27 mögliche
Ergebnisse! Dieses Ergebnis ist in Liste 1 dargestellt.
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Hier
treten also Tripel auf, die eine Zahl aus 1-3, eine Zahl aus 4-6
und eine dritte Zahl aus 7-9 enthalten. Es erinnert ein wenig an
Restklassen. Jede Zahl hat auf ihrem Würfel die Wahrscheinlichkeit
2/6 = 1/3, weil sie ja auf zwei Flächen angebracht ist. Da jeder
Wurf mit den drei Würfeln
drei unterschiedliche Zahlen ergibt und die Ereignisse unabhängig sind,
müssen
die Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden: 1/3 × 1/3 × 1/3 =
1/27.
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Wie
sieht es mit den Augensummen aus? Die kleinste Augensumme ist 1
+ 4 + 7 = 12 und die größte 3 +
6 + 9 = 18. Diese beiden Summen haben die Wahrscheinlichkeit 1/27,
weil sie einzigartig sind. Die Augensumme 15 kann auf sieben verschiedene
Arten gebildet werden: 1, 5, 9; 1, 6, 8; 2, 4, 9; 2, 5, 8; 2, 6,
7; 3, 4, 8; 3, 5, 7. Diese hat also die Wahrscheinlichkeit 7/27,
also fast 1/3. Da errät
man schon, dass die Augensumme 13 die Wahrscheinlichkeit 3/27 und
die Augensumme 14 die Wahrscheinlichkeit 5/27 haben wird – jeweils
entsprechend ihren Summationsmöglichkeiten.
Z.B. für
13: 1, 4, 8; 1, 5, 7; 2, 4, 7.
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IV. Drei Würfel mit
zwei Sätzen
der Zahlen bzw. Augen 1 bis 9; unpaarig
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Auch
hier werden weitere Ausführungsbeispiele
der vorliegenden Erfindung vorgestellt. Die paarige Aufteilung der
Zahlen 1 bis 9 auf drei Würfel
ist sehr ausgewogen, aber auch nicht sehr spannend. Insbesondere
ist die geringe Spannweite der Augensummen von 12 bis 18 enttäuschend.
Man wünscht
sich, dass möglichst
viele unterschiedliche Augensummen möglich sind. Man wünscht sich
auch, dass möglichst
viele Würfe möglich sind,
bei denen zwei Würfel
die gleiche Augenzahl zeigen. Daraus ergibt sich, dass kein Würfel auf zwei
Seiten die gleiche Augenzahl zeigen soll. Aber immer noch gibt es
viele Möglichkeiten,
die Zahlen 1 bis 9 auf die 18 Flächen
dreier Würfel
zu verteilen.
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Wir
versuchen, alle Verteilungsmöglichkeiten
zu klassifizieren, wenn auf keinem Würfel zwei gleiche Zahlen liegen
sollen. Wir gehen also davon aus, dass wir zwei Sätze der
Zahlen 1 bis 9 auf die 18 Oberflächen der
drei Würfel
zu verteilen haben. Wir färben
die beiden Sätze
zunächst
rot (r) und grün
(g), weil sich das leichter beschreiben lässt.
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Wir
verteilen die Zahlen von 1r bis 6r auf dem ersten Würfel. Es
bleiben die Zahlen 7r, 8r und 9r. Es sieht so aus, als könne man
diese drei beliebig auf die beiden verbliebenen Würfel verteilen,
aber: Angenommen, die Zahlen 7r, 8r und 9r wären nicht gemeinsam auf dem
zweiten Würfel,
dann müssten
einige auf dem dritten sein, z.B. 9r. Man hat dann folgende Situation:
| Würfel 1: | 1r,
2r, 3r, 4r, 5r, 6r |
| Würfel 2: | 7r,
8r, frei, frei, frei, frei |
| Würfel 3: | 9r,
frei, frei, frei, frei, frei |
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Auf
welchem Würfel
wird 9g untergebracht werden? Auf Würfel 3 ist ja schon 9r, also
darf 9g dort nicht untergebracht werden. Auf Würfel 2 wäre später aber 9g von 9r nicht unterscheidbar!
Wir können
also genauso gut 9r auf dem Würfel
2 unterbringen. Diese Überlegung
gilt für
alle Anordnungen von Zahlen des ersten, roten Satzes auf dem zweiten
Würfel.
Also können
auf dem zweiten Würfel
die Zahlen 7r, 8r und 9r des ersten Satzes untergebracht werden,
ohne eine Variante zu verpassen.
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Die
Zahlen 7g, 8g und 9g des zweiten Satzes können nicht ebenfalls auf dem
zweiten Würfel
untergebracht werden, sie müssen
also auf dem dritten Würfel
untergebracht werden, so dass nur die Zahlen 1g, 2g, 3g, 4g, 5g
und 6g des zweiten Satzes auf die verbleibenden Plätze verteilt
werden können:
| Würfel 1: | 1r
2r 3r 4r 5r 6r |
| Würfel 2: | 7r
8r 9r x x x |
| Würfel 3: | 7g
8g 9g x x x |
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Jede
Lösung,
bei der keine Zahl auf einem Würfel
doppelt vorkommen soll, hat diese Struktur. Die (roten) Zahlen des
ersten Satzes sind auf dem ersten und dem zweiten Würfel angebracht.
Jene (roten) Zahlen, die auf dem zweiten Würfel angebracht sind, müssen in
grün auf
dem dritten Würfel
Platz finden. Die (roten) Zahlen des ersten Würfels sind auf die nun noch
freien Plätze
der Würfel
2 und 3 zu verteilen. Auf jedem Würfel befinden sich daher Zahlen
aus zwei Dreiergruppen nach dem Schema:
| Würfel 1: | AB |
| Würfel 2: | CA |
| Würfel 3: | CB |
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Mit
A sind jene drei Zahlen gemeint, die in grün auf dem Würfel 2 liegen, mit B sind jene
Zahlen gemeint, die in grün
auf dem Würfel
3 liegen. Mit C sind jene Zahlen gemeint, die auf Würfel 1 fehlen.
Die roten Zahlen werden kursiv geschrieben: A, B, C.
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Für die Belegung
der drei Positionen von C kommen 3 aus 9 in Frage. Das ergibt 9 × 8 × 7 = 504.
Für die
Belegung von B kommen nun in jeder Variante nochmals 3 aus 6 in
Frage. Das ergibt 6 × 5 × 4 = 120. Insgesamt
sind das 60480 Möglichkeiten.
Die Belegung der Positionen von A ergibt sich zwingend aus den drei
verbleibenden Zahlen und bietet keinen Freiheitsgrad mehr. Keine
der Belegungen, die bei systematischer Vergabe der Positionen in
C und B entstehen, kann eine Mutation der anderen Belegungen sein.
Es gibt also genau 60480 Möglichkeiten,
die Zahlen 1 bis 9 zweimal auf die 18 Würfeloberflächen zu bringen, wenn keine Zahl
auf einem Würfel
zweimal angebracht sein soll.
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Bei
der kanonischen Belegung A = 1, 2, 3; B = 4, 5, 6; C = 7, 8, 9 ergibt
sich, dass der erste Würfel
die Augensumme 21, der zweite Würfel
30 und der dritte Würfel
die Augensumme 39 hat. Das empfindet man nicht als ausgewogen. Man
empfindet nur jene Belegungen als ausgewogen, in denen die Augensummen
der drei Würfel
gleich sind.
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Wie
sieht es mit den Augensummen der Würfe mit drei Würfeln aus?
Die kleinste mögliche
Augensumme ist 1 + 1 + 2 = 4, die größte ist 9 + 9 + 8 = 26. Die
Häufigkeit
der Augensummen in den 216 möglichen Ergebnissen
ist allerdings davon abhängig,
mit welchen konkreten Zahlen die Gruppen A, B, und C belegt werden.
Bei jeder Belegung gilt: A + B + C = 45, denn das ist die Summe
der Zahlen von 1 bis 9 und A, B und C zusammen repräsentieren
die 9 Zahlen. A + B, A + C und B + C sind die Augensummen der drei
Würfel.
Die größte Summe
aus drei Zahlen von 1 bis 9 ist 7 + 8 + 9 = 24, die kleinste ist
1 + 2 + 3 = 6. Die Summen sind also verteilt von 6/15/24 bis 15/15/15.
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Die
drei Augensummen auf den Würfeln
betragen bei der Lösung
6/15/24: A + B = 6 + 15 = 21, A + C = 6 + 24 = 30, B + C = 15 +
24 = 39. Bei der Lösung
15/15/15 betragen die Augensummen aller drei Würfel 30. Die Forderung, dass
keine Zahl auf einem Würfel
zwei Mal vorhanden sein soll, führt
also zunächst
zu 60480 Möglichkeiten.
Von diesen Möglichkeiten
führen
nur zwei zu drei ausgewogenen Würfeln
mit den Augensummen 30! Man kann dieses Ergebnis auch rascher erhalten:
Wenn die Augensumme jedes Würfels
30 sein soll, dann bedeutet dies, dass A + B, A + C und B + C jeweils
Summe 30 ergeben muss. Dann muss A, B und C jeweils 15 sein. Man
benötigt
also Gruppen von je drei Zahlen aus den Ziffern von 1 bis 9 mit
der Summe 15. Um aus drei Zahlen von 1 bis 9 die Summe 15 zu bilden,
gibt es nur die folgenden Kombinationen:
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Aus
dieser Liste sind drei Zeilen auswählen, die zusammen die Zahlen
von 1 bis 9 aufbrauchen. Es gibt nur zwei Lösungen. Lösung I: zu 168 passen 249 und
357. Lösung
II: zu 159 passen 267 und 348. Zu 258 gibt es keine passenden Zeilen
und zu 456 ebenfalls nicht. Nun muss man aus den drei gefundenen
Dreiergruppen die Würfel
zusammenstellen: Lösung I:
| Würfel 1 | 2
4 9 3 5 7 |
| Würfel 2 | 1
6 8 3 5 7 |
| Würfel 3 | 1
6 8 2 4 9 |
Lösung II:
| Würfel 1 | 2
6 7 3 4 8 |
| Würfel 2 | 1
5 9 3 4 8 |
| Würfel 3 | 1
5 9 2 6 7 |
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Die
Augensumme jedes der drei Würfel
beträgt
30. Dass diese Augensummen gleich sein sollen, ist eine zusätzliche
Bedingung, die zunächst
auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung der 216 Möglichkeiten keinen Einfluss
hat. Allerdings zeigt sich, dass nicht alle der 60480 Belegungen
zu einer symmetrischen Verteilung der Augensumme der Würfe führen. Und
die Verteilung der Paare, die im letzten Abschnitt behandelt wird,
ist erst recht von der Verteilung der Zahlen auf die drei Würfel abhängig.
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Die
Bedingung, dass gegenüberliegende
Werte sich zu einem für
alle Würfel
gleichen Wert ergänzen (7
bei konventionellen Würfeln),
lässt sich
nicht perfekt einhalten. Rein wahrscheinlichkeitstheoretisch entspringt
die Überzeugung,
dass nur Würfel
mit den „richtigen" Augensummen fair
seien, dem Aberglauben der Würfelspieler.
Die Verteilung der Augen auf die sechs Oberflächen eines einzelnen Würfels ist
tatsächlich
belanglos. Dass gegenüberliegende
Augen hier einander zweimal zu 9 und zweimal zu 11 ergänzen, ist
aber nur ein kleiner Mangel.
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Insgesamt
gibt es 9 × 9 × 9 = 729
Tripel von 1-1-1 bis 9-9-9. Nur 216 davon können tatsächlich auftreten. Welche sind
das und welche Eigenschaften haben sie?
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Da
alle Zahlen nur zweimal vorhanden sind, kann es kein Tripel mit
drei gleichen Zahlen geben. Die neun Tripel 1-1-1 bis 9-9-9 sind
also nicht möglich.
Für die
weitere Analyse ist es vorteilhaft, sich die Struktur der Würfel in
Erinnerung zu rufen. Alle Zahlen werden in drei Gruppen aufgeteilt,
z.B.: A = 1, 2, 3. B = 4, 5, 6. C = 7, 8, 9. Die drei Würfel haben
die Struktur AB, BC und CA. Ein gewürfeltes Tripel von Zahlen zeigt
auf jedem Würfel
eine Zahl. Bei jedem Wurf zeigt jeder Würfel eine Zahl aus einer seiner
beiden Gruppen. Es sind folgende acht Kombinationen der Gruppen
möglich:
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Jede
Spalte beschreibt 27 mögliche
Tripel, denn aus jeder der drei Gruppen kann eine von den drei Zahlen
unabhängig
gewählt
werden. Jede Spalte steht also für
3 × 3 × 3 = 27
Tripel.
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Spalte
1 und Spalte 8 sind die einzigen, in denen alle drei Gruppen vorkommen.
Da in den drei Gruppen A, B und C jeweils verschiedene Zahlen von
1 bis 9 vorkommen, sind alle 27 Kombinationen einzigartig. Da Spalte
1 und Spalte 8 sich nur darin unterscheiden, von welchem Würfel die
Gruppen A, B und C stammen, treten in den beiden Spalten die gleichen
Tripel auf. Insgesamt sind dies 27 verschiedene Tripel, die paarweise auftreten,
und in denen Zahlen aus allen drei Gruppen vorkommen. Jedes dieser
Tripel hat die Wahrscheinlichkeit 2/216 = 1/108.
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In
allen anderen Spalten (2 bis 7) tritt immer eine der beiden Gruppen
paarig auf. In den Spalten 2 und 6 ist die Gruppe B doppelt vorhanden.
Alle paarigen Kombinationen der Zahlen aus B mit Zahlen aus B werden mit
den Zahlen aus C und aus A kombiniert. Man kann auch sagen: Alle
paarigen Kombinationen der Zahlen aus B mit Zahlen aus B werden
mit dem dritten Würfel
kombiniert, denn CA ist ja gerade der dritte Würfel. Dies gilt auch für die Spalten
3 und 4, in denen alle paarigen Kombinationen von C mit C mit dem
ersten Würfel kombiniert
werden.
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In
den Spalten 5 und 7 wird jede Kombination von A mit A mit dem zweiten
Würfel
kombiniert.
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Wir
haben also drei Mal die Kombination aller Zahlen einer Gruppe mit
sich selbst, das sind 3 × 3
= 9 Möglichkeiten,
und diese wieder kombiniert mit den Zahlen des verbleibenden Würfels, also
mal 6.
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Von
den 9 Möglichkeiten
enthalten 3 einen Zweier-Pasch: Wenn man alle Zahlen einer Gruppe
mit sich selbst kombiniert, entstehen auch drei Paarungen mit gleichen
Zahlen, z.B. 1-1, 2-2 und 3-3. In jeder Gruppe haben wir drei Paschs,
so dass wir neun Paschs haben. Jeder Zweier-Pasch kann mit den Zahlen des verbleibenden
Würfels
kombiniert werden, so dass wir 9 × 6 = 54 Zweier-Paschs unter
den 216 möglichen
Tripeln finden. Die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Zweier-Pasch
ist also 6/216 = 1/36, die Wahrscheinlichkeit für irgend einen Zweier-Pasch
ist 6 × 9/216
= 9/36 = 1/4. Jeder vierte Wurf ist somit ein Zweier-Pasch!
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Von
den 9 Möglichkeiten,
die Zahlen einer Gruppe mit sich zu kombinieren, verbleiben sechs,
die kein Pasch sind, jedoch jeweils symmetrisch anzufinden sind:
wenn die Kombination 1-2 möglich
ist, dann auch die Kombination 2-1. Alle diese Tripel treten also
ebenfalls paarig auf. Da es drei Gruppen gibt, haben wir insgesamt:
Für drei
Gruppen gibt es jeweils drei Kombinationen mit sechs Zahlen des
dritten Würfels,
die paarig vorkommen: 3 × 3 × 6 = 54
Tripel, jedes mit Wahrscheinlichkeit 2/216 = 1/108.
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Zusammengefasst:
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- 27 Tripel mit Wahrscheinlichkeit 2/216, das sind 27 × 2/216
= 54/216 = 1/4
- 54 Zweier-Paschs mit Wahrscheinlichkeit 1/216, das ist 1/4 aller
Fälle.
- 54 Tripel mit den Zahlenpaaren einer Gruppe und Wahrscheinlichkeit
2/216, das sind 1/2.
- Die Summe ist 1/4 + 1/4 + 1/2 = 1, also haben wir alle Fälle erfaßt.
- Insgesamt sind es also nur 54 + 54 + 27 = 135 unterschiedliche
Tripel.
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Die
Tripel der Paschs sind einzigartig. Da keine Zahl auf nur einem
Würfel
zweimal angebracht ist, gibt es jeden Pasch mit den Zahlen 1 bis
9. Die Paschs lassen sich beliebig mit den Zahlen des dritten Würfels kombinieren.
Daher gibt es 9 × 6
= 54 Tripel, in denen ein Zweier-Pasch vorkommt. Das ist 1/4 aller
Fälle.
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Diese
Struktur der Tripel ist für
alle Belegungen der drei Gruppen A, B und C mit neun Zahlen gleich. Mithin
ist diese Struktur im Prinzip bei allen 60840 Varianten vorhanden.
Sie verteilt sich nur unterschiedlich auf die konkreten Zahlen.
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Insgesamt
kommen nur 135 der insgesamt 729 Tripel von 1-1-1 bis 9-9-9 vor.
Das ist dünn
gesät.
Was passiert, wenn der Spieler bei jedem Wurf zwei der drei Würfel auswählt und
aus diesen beiden Würfeln
eine Zahl von 1-1 bis 9-9 bildet? Man kann diese Häufigkeiten
als Paarwahrscheinlichkeiten bezeichnen.
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Tabelle
1 zeigt die Paarwahrscheinlichkeit für Ausführungsform I, Tabelle II für Ausführungsform
II.
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Entlang
der beiden Achsen sind die Ergebnisse der Würfe aufgetragen. Lesebeispiele
an Ausführungsform
II: Das Ergebnis 2-3 (und ein beliebiger dritter Wert) kommt bei
216 Würfen
3 Mal vor, das Ergebnis 4-3 oder das Ergebnis 4-4 kommt nur 2 Mal
vor.
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Man
erkennt die Struktur der Gruppen. In jeder Zeile sind jene Spalten
mit geringerer Wahrscheinlichkeit besetzt, die zur eigenen Gruppe
gehören.
Die Zahlen innerhalb einer Gruppe lassen sich untereinander nicht
kombinieren, da sie auf dem gleichen Würfel liegen. Deshalb sind solche
Paare seltener.
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Und
hier liegt nun der Grund dafür,
dass von den zwei verbliebenen Auswahlen mit Augensumme 30 auf jedem
Würfel
sogar eine den Vorzug vor der anderen verdient: Man wird jene Würfel als „fair" empfinden, bei denen
diese selteneren Zahlenkombinationen regelmäßiger auf die Zahlen von 11
bis 99 verteilt sind, und das ist die Ausführungsform I.
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Liste 1
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27 Tripel auf paarigen
Würfeln
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Wenn
auf jedem der drei Würfel
drei Zahlen paarig aufgebracht sind, erhält man die Würfel:
- 1,1,2,2,3,3.
- 4, 4, 5, 5, 6, 6.
- 7, 7, 8, 8, 9, 9.
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Mit
solchen Würfeln
sind 27 Ergebnisse möglich:
- 147, 148, 149, 157, 158, 159, 167, 168, 169,
- 247, 248, 249, 257, 258, 259, 267, 268, 269,
- 347, 348, 349, 357, 358, 359, 367, 368, 369.
