CN1771434A - 点焊构造的疲劳寿命预测方法 - Google Patents

Abstract

一种焊接构造的疲劳寿命预测方法，相对点焊构造制作有限元素法分析用壳模型，使用所制作的有限元素法分析用壳模型进行有限元素法线弹性分析，根据点焊部中央的焊点部的分担载荷和以该焊点部作为中心而描绘的直径为(D)的圆周上的位移，使用弹性学的圆板弯曲理论和二维弹性论求出上述焊点部的标称构造应力，并通过该标称构造应力来预测点焊构造的疲劳寿命。根据本方法，能够简单迅速且正确地预测点焊构造的疲劳寿命。

Description

点焊构造的疲劳寿命预测方法

技术领域

本发明涉及点焊构造的疲劳寿命预测方法，更为详细而言，涉及下述点焊构造的疲劳寿命预测方法：接合两张以上的板而形成点焊构造，相对该点焊构造制作有限元素法分析用壳模型，使用上述点焊构造焊点部的分担载荷求出标称构造应力，并通过该标称构造应力预测点焊构造的疲劳寿命。

背景技术

在汽车的开发中，为了应对轻量化、缩短开发周期、缩减试制车辆的课题，近年来积极推进基于使用电子计算机的CAE预测各种性能的技术。对于车体的强度评价也不例外，该技术正在加速地进步。

汽车车体由薄板构成，该板通常通过点焊结合。由于作用在车体上的载荷通过该焊接部传递到各部件上，因而焊接部上应力集中而成为强度上的弱点的情况很多。并且由于其数量庞大，并且作用有各种形式的复合载荷，因而对于能够简便且精度良好地预测点焊部疲劳寿命的方法的开发要求很高。

对应该要求，D.拉达伊(Dieter Radaj；Design and Analysis ofFatigue Resistant Welded Structures，Abington Publishing，1990 378p)等人提出了将汽车车体假想成以从点焊构造切出的以焊点为中心的直径为(D)的圆板，使用通过FEM壳分析得到的焊点部的分担载荷和存储在数据库中的直径D的值而求出标称构造应力σ_ns，然后使用该值而预测点焊部的疲劳寿命的方法。汽车技术会疲劳可靠性部门委员会也新近也考虑扭转成分引起的影响而提出了相同的方法。此处的标称构造应力σ_ns是在点焊部(焊点部)端上产生的最大主应力。

如图22所示，这些方法如下所述：在步骤S1形成点焊构造，并在步骤S2向形成有限元素法分析用壳模型(FEM模型)的FEM模型给出载荷数据D1，由此在步骤S3求出点焊部(焊点部)的六分力，接着在步骤S4参照存储有D值的数据库D2，并根据板理论求出标称构造应力σ_ns，在步骤S5以标称构造应力σ_ns为基础，参照由表示标称构造应力σ_ns-断裂反复次数N的关系的数据库D3构成的映射而预测疲劳寿命。

在这些现有的方法中，相对分担载荷中的剥离载荷和弯矩，将焊点部作为刚体，考虑将该焊点部作为中心的外周直径为(D)的圆板，并应用弹性学的圆板弯曲理论来求出标称构造应力。该圆板外周条件采用位移和放射方向倾斜度都为零的固定条件、即全自由度约束条件。将其应用到实际点焊构造而求出标称构造应力时，产生到底圆板直径(D)取什么值比较适当这一非常困难的问题。在现状中，如图22中的流程图所示，通过制作D值数据库D2来解决。制作该D值数据库D2时需要非常多的劳力。

在图23表示以从点焊构造切出的焊点部(1)(Nugget，点焊部)为中心的直径为(D)的圆板(2)，焊点部(1)上通常作用有以下六分力：

①剥离载荷  Fz

②弯矩      Mx，My

③剪切力    Fx，Fy

④扭矩      Mz

D.拉达伊等人对于焊点分担载荷中的弯矩和剥离载荷，如下所述地求出了作为疲劳强度参数的标称构造应力σ_ns。

【数学式1】

(1)剥离载荷

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ns}}=0.69\left(\frac{F_z}{t^2}\right)\mathrm{In}\left(\frac{D}{d}\right)$

【数学式2】

(2)弯矩

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ns}}=25.4\left(\frac{M}{d{t}^2}\right)\left(\frac{d}{D}\right)/e^{4.8\frac{d}{D}}$

其中，D、d、t是图23的在中心具有焊点部(1)的圆板(2)的外周直径、焊点直径、板厚。Fz和M是作用在焊点部(1)上的剥离载荷、弯矩。

【数学式1】、【数学式2】是在图23的圆板2中，将焊点部(1)作为刚体，圆板(2)外周为位移完全约束而导出的。

因此，想要使用【数学式1】、【数学式2】来求出实际点焊构造的标称构造应力σ_ns时，在满足圆板外周的位移完全约束条件的情况下必然能够决定D值，并能够精度良好地推定标称构造应力σ_ns。但是通常很少能够完全约束实际构造的焊点部(1)周围的圆周(D)上的位移，这种情况下，产生以上式中包含的圆板(2)的外周直径为(D)取什么值适当的问题。

相对剪切载荷F_x、F_y的应力，作为在具有相当于焊点的直径为d的圆形刚体夹杂物的无限板上，在其中心作用x轴方向的剪切载荷F_x的问题来处理，除去刚体夹杂物的区域的x轴上的应力成分σ_x由数学式3赋值。

【数学式3】

$\left(3\right)---{\mathrm{\σ}}_x=\frac{-F_x}{2\mathrm{\πt}(\mathrm{\κ}+1)}\frac{1}{x}\{(\mathrm{\κ}-\frac{1}{2}\frac{d^2}{x^2})+3\}$

κ＝(3-ν)/(1+ν)    (平面应力)

ν是泊松比。标称构造应力构成焊点端的最大主应力，此时，成为

【数学式4】

$\left(4\right)---{\mathrm{\σ}}_x=\frac{F_x}{\mathrm{\πdt}}$

图24是受到拉伸剪切的等厚度的三张重叠一点点焊接缝的中央板外表面的负荷方向垂直应力分布。σ₀是均匀负荷拉伸应力。根据式(3)的理论解与FEM三维弹性分析的结果进行比较时，虽然相当于标称构造应力的焊点端的应力显示出近似的值，但是随着远离焊点端，两者的差异变大。这是因为在远离焊点端的远处渐近于零的式(3)中，负荷应力σ₀对焊点附近产生的影响几乎在计算上没有显现出来。

例如，试着考虑受内外压力的中空圆板的应力分布。该问题的严格解如式(5)所示

【数学式5】

$\left(5\right)---{\mathrm{\σ}}_r=\frac{a^2}{b^2-a^2}[(1-\frac{b^2}{r^2})p_{\mathrm{in}}-(\frac{b^2}{a^2}-\frac{b^2}{r^2})p_a]$

式6为在无限平板上存在与内径相同直径的孔的问题的解。

【数学式6】

$\left(6\right)---{\mathrm{\σ}}_r=-\frac{a^2}{r^2}{p}_{\mathrm{in}}$

将式(5)与式(6)比较的结果如图26所示。虽然外压比内压小时无限平板的解与严格解非常一致，但是外压与内压为相同程度大小时，两者的解出现很大差异。认为与此相同的现象出现在表示三张重叠接缝的应力分布的图24中。因而在这种情况下通过无限平板的解很难得到精度良好的应力。

图27是在假想带托座的点焊接缝的大小两张平板进行一点点焊的接缝上，其两端负载有均匀拉伸应力σ₀时的负荷方向垂直应力分布。由于作用有负荷的平板其本身处于平衡状态，因而通过壳元素对于其进行模型化并进行有限元素法分析时，焊点的分担载荷成为零。因而在式(3)中不能计算这种情况的应力。

本发明的目的在于，为了消除D值决定问题，提出一种点焊构造的疲劳寿命预测方法，能够根据圆板的挠度、放射方向的倾斜度、弯矩、剥离载荷、剪切力以及扭矩求出标称构造应力，并从该标称构造应力简单迅速地预测点焊构造的疲劳寿命，且经济性良好。

并且其目的在于，提供一种能够解决以往的均匀负荷拉伸应力的值随着从焊点端远离而误差变多的问题的新方法。

发明内容

为了达成上述目的，本发明技术方案1的点焊构造的疲劳寿命预测方法，其特征在于，接合多个例如2张板而形成点焊构造，相对该点焊构造制作有限元素法分析用壳模型，使用所制作的有限元素法分析用壳模型进行有限元素法线弹性分析，算出点焊部中央的焊点部的分担载荷、和以该焊点部为中心描绘的直径为(D)的圆周上的位移，根据所算出的该分担载荷和圆周上的位移，并利用弹性学的圆板弯曲理论以及二维弹性论求出上述焊点部的标称构造应力，通过该标称构造应力来预测点焊构造的疲劳寿命。

在本技术方案1的发明中，假想从点焊构造切出的以焊点部为中心的直径为D的圆板，并向该圆板外周部给出点焊构造的位移，在向处于该圆板中央的焊点部给出剥离载荷以及弯矩、剪切力以及扭矩，从而求出基于这些量的标称构造应力，因而不必制作D值数据库，能够消除D值决定问题，并能够简单迅速地预测点焊构造的疲劳寿命。

并且，本发明技术方案2的点焊构造的疲劳寿命预测方法，在技术方案1的发明中，其特征在于，上述两张板包括平板和L型板，上述有限元素法分析用壳模型细小地分割以点焊构造的焊点部的L型板的凸缘宽度作为一边的正方形内部，沿放射方向将焊点内分割为2份，将外侧分割为4份，沿圆周方向分割为8份。

并且，本发明技术方案3的点焊构造的疲劳寿命预测方法，在技术方案1或技术方案2的发明中，其特征在于，预先对点焊构造物进行拉伸剪切疲劳试验、剥离疲劳试验以及复合载荷疲劳试验，形成表示标称构造应力和断裂反复次数之间关系的映射，根据标称构造应力并参照该映射算出断裂反复次数，从而进行上述点焊构造的疲劳寿命的预测。

附图说明

图1是表示本发明的点焊构造的疲劳寿命预测方法的LP模型的透视图；

图2是本发明的点焊构造的疲劳寿命预测方法的有限元素法分析用壳模型的焊点周边的放大透视图；

图3是本发明的点焊构造的疲劳寿命预测方法的直径D的圆板的说明图；

图4是本发明的点焊构造的疲劳寿命预测方法的流程图；

图5是对本发明的剥离载荷以及弯矩分别作用时的挠度分布的严格解之间进行比较的图；

图6是对通过本发明的点焊构造的疲劳寿命预测方法求出的通过焊点中心的X轴上的应力σr分布与FEM实体解进行比较的图，分别表示在图1中向θx、θy方向加载的情况，(a)是LP#90#90的应力σr分布图，(b)是LP#45#90的应力σr分布图；

图7是表示通过本发明的点焊构造的疲劳寿命预测方法求出的中央焊点的标称构造应力的图表；

图8是表示本发明的等厚的三张条形平板在一点进行点焊，并在接缝上作用有拉伸剪切的情况的图；

图9是表示本发明的三张重叠接缝的FEM壳分析模型的图；

图10是表示本发明的等厚度三张重叠一点点焊接缝的应力分布的图；

图11是利用本发明的壳元素制作分析模型的图；

图12是表示本发明的带托座的平板的应力分布的图；

图13是作为本发明的FEM壳分析模型表示L形板的一部分的图；

图14是表示本发明的壳分析模型的图的一个例子；

图15是使用为了验证本发明的解的精度而进行的三维弹性分析用的FEM实体模型来表示L形板的一部分的图；

图16是表示本发明的分析结果的图；

图17是表示本发明的标称构造应力的图；

图18是表示能够进行本发明的各种复合载荷疲劳试验的DC试验片的图；

图19是表示本发明的代表性的点焊疲劳试验片、即拉伸剪切(TS)与十字形拉伸试验片(CT)的图；

图20是对于本发明的各试验片，通过本方法求出标称构造应力，并整理疲劳试验数据的图；

图21是用流程图表示本发明的点焊构造的疲劳寿命预测法的图；

图22是现有的点焊构造的疲劳寿命预测方法的流程图；

图23是表示作用在点焊构造的疲劳寿命预测方法中的焊点上的六分力的说明图；

图24是表示本发明的等厚度三张重叠一点点焊接缝的应力分布的图；

图25是表示本发明的受到内外压力的中空圆板的应力分布的图；

图26是与本发明的在无限平板上具有与内径相同直径的孔的问题的解进行比较的图；

图27是表示本发明的带托座的平板的应力分布的图。

具体实施方式

下面根据附图，说明本发明的点焊构造的疲劳寿命预测方法的实施方式。

使用如图1所示的简单的点焊构造、即LP模型(11)进行说明。该LP模型(11)是接合平板(12)和L型板(13)而在三点进行点焊的构造。对于平板(12)的一对边(12a)、(12a)位移完全约束，在L型板(13)的垂直片(13a)的上端，向各方向施加载荷(P)，关注中央的焊点部(15)考虑求出该标称构造应力σ_ns的方法。

首先制作有限元素法分析用壳模型(21)。为了相对LP模型(11)实施有限元素法分析，使用通常用于汽车的车身分析的壳元素制作分析模型(21)。图2表示LP壳分析模型中央的焊点部(15)周围的放大图。一般部分以粗格子状进行元素分割，在焊点部(15)附近细小地分割将凸缘宽度(L1)作为一边的正方形内部。在图2所示的实施方式中，沿着放射方向将焊点内部分割为2份，将外侧分割为4份，将圆周方向分割为8份。

使用上述有限元素法分析用壳模型(21)实施有限元素法线弹性分析，由此算出作用在中央的焊点部(15)上的分担力。并且使用从焊点部(15)中心处于放射线上(图2的情况为4根)的节点的挠度(z方向的位移)，求出八边形的顶点(8点)上的挠度与放射方向的倾斜度。求出该挠度和放射方向的倾斜度的八边形与图1的虚线所示的直径为(D)的圆内接，该挠度和倾斜度用作如下所示的直径(D)的圆板的外周部的支撑条件。

如图1中虚线所示，从作为点焊构造的LP模型(11)切出以焊点部(15)为中心的直径D的圆板(31)而进行研究。该直径为(D)的圆板(31)如图3所示。圆板(31)的外周外接到上述八边形上。使用弹性学中圆板弯曲理论求出该圆板(31)的应力和变形。此时，作用在该圆板(31)上的外力即为作用在上述焊点部(15)上的分担力。此时为z方向的剥离载荷F_z和弯矩M(M_X和M_Y的合力矩)。

圆板(31)外周的支撑条件是上述八边形的顶点的挠度和倾斜度。然而由于这些是离散值，因而其周向分布用傅里叶级数近似地表示，并将其作为边界条件、即外周支撑条件而给出。

由于D.拉达伊等人提出的标称构造应力式【数学式1】、【数学式2】是在图3所示的圆板(31)外周支撑条件为位移完全固定的基础上导出的，因而想要使用这些数学式求出图1的中央焊点部(15)的标称构造应力时，使包含在【数学式1】、【数学式2】中的D值与此时图1的虚线所示的圆的外径(D)相同时，图1的点焊构造中的直径(D)的圆周上的位移不是完全固定的，与D.拉达伊等人的圆板外周支撑条件(位移完全固定)不同，因而不能根据D.拉达伊等人的【数学式1】、【数学式2】精度良好地得到图1的中央焊点部(15)的标称构造应力σ_ns。通过修正【数学式1】、【数学式2】中的D值来解决该问题。由于该修正根据点焊构造或载荷条件等而不同，因而对于各种情况另外求出使D值为何值较适当，并将其作为D值数据库D2以求出标称构造应力σ_ns。

与此相对，由于在本发明的点焊构造的疲劳寿命预测方法中，作为图3的圆板外周支撑条件，给出点焊构造中的直径为(D)的圆的外周上的实际位移，因而能够得到较高精度的标称构造应力σ_ns。并且在本方法中不需要修正上述D值，能够解决D值取何值适当这一非常困难的问题，因而没必要制作D数据库D2。

相对焊点分担载荷中的剪切成分(F_X、F_Y)和扭转成分、以及六分力同时作用的复合载荷的标称构造应力通过下述理论式求出。由使用简单的点焊接缝试验片进行复合载荷下的疲劳试验而制作的标称构造应力σ_n和断裂反复次数Nf数据库，能够预测与通过前述方法得到的标称构造应力σ_ns对应的断裂寿命Nf。将以上流程制成流程图即是图4。

如图4所示，在步骤(S11)形成点焊构造，在步骤(S12)形成有限元素法分析用壳模型(FEM模型)，在步骤(S13)向FEM模型给出载荷数据D1而进行有限元素法线弹性分析，由此求出点焊部(焊点部)的六分力和节点位移。接着，在步骤(S14)，根据所算出的六分力和节点位移进行规定的运算而算出标称构造应力σ_ns，接着根据在步骤(S15)算出的标称构造应力σ_ns，参照预先通过实验制作的与标称构造应力σ_ns对应的断裂寿命Nf的数据库D3，算出断裂寿命Nf，并据此来预测疲劳寿命。

与图21进行比较，可知算出标称构造应力时不需要D值数据库D2。

如上所述，在本发明中，为了解决D值决定问题，提供一种用于求出相对弯曲的标称构造应力的新方法。

如图3所示，考虑外径为(D)、厚度为(t)的圆板，并在其中心的焊点(直径d)上作用有剥离载荷F_O、弯矩M。弯矩是图1的Mx、M_y的合力矩。并且将焊点作为刚体。

如图3所示，该新方法考虑直径为(D)、厚度为(t)的圆板(31)。如上所述，作用在该圆板(31)上的外力是剥离载荷F_Z、弯矩M(图1中的M_x、M_y的合力矩)，这些外力作用在圆形的焊点部(15)(直径d)上，并使圆板(31)的外周的支撑条件与实际的点焊构造一致。在该分析中，将焊点部(15)作为刚体而进行处理。圆板外周的边界条件不像式(1)、(2)一样进行位移完全约束，而是如后所述地，使之与点焊构造的所关注的焊点周围的变形状态一致。并且在焊点部(15)的中心设置具有原点的极坐标系(rθz)。

由于圆板(31)被外力弯曲而在内部产生应变和应力，因而求出这些量。首先，弹性论中的下述圆板(31)的弯曲问题的控制方程式由以下的【数学式7】给出，并需要找出满足该【数学式7】的挠度w(z方向的位移)的函数。

【数学数7】

(7)

ΔΔw＝O

$\mathrm{\Δ}=\frac{{\∂}^2}{\∂r^2}+\frac{1}{r}\frac{\∂}{\∂r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\θ}}^2}$

通常满足【数学式7】的挠度函数可如以下的【数学式8】所示，作为使用三角函数的r和θ的函数来表示。

【数学式8】

$\left(8\right)---w=w_0+w_1+\underset{n=2}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{w}_n$

$=f_0\left(r\right)+f_1\left(r\right)\cos \mathrm{\θ}+\underset{n=2}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{f}_n\left(r\right)\cos \mathrm{n\θ}$

$+g_1\left(r\right)\cos \mathrm{\θ}+\underset{n=2}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{g}_n\left(r\right)\sin \mathrm{n\θ}$

f₀(r)＝A₀+B₀r²+C₀lnr+D₀r²lnr

f₁(r)＝A₁r+B₁r³+C₁r^-1+D₁rlnr

f_n(r)＝A_nrⁿ+B_nr^-n+C_nrⁿ⁺²+D_nr^-n+2

g₁(r)＝A₁′r+B₁′r³+C₁′r^-1+D₁′rlnr

g_n(r)＝A_n′rⁿ+B_n′r^-n+C_n′rⁿ⁺²+D_n′r^-n+2

【数学式8】中包含的An～Dn是通过边界条件确定的未知系数，为4(n+1)个。确定该系数就能确定挠度函数【数学式8】。

确定上述系数的条件为以下两种。

①焊点为刚体的条件

图3的圆形的焊点部(15)不变形而进行刚体位移，因而圆板的挠度w和半径方向的倾斜度w/r在焊点端r＝d/2成为【数学式9】。

【数学式9】

(9)

w_r＝d/2＝w_c+(d/2)(-θ_yc cosθ+θ_xc sinθ)

${\left(\frac{\∂w}{\∂r}\right)}_{r=d/2}=-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yc}}\cos \mathrm{\θ}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xc}}\sin \mathrm{\θ}$

Wc和θ_xc、θ_yc是通过后述条件确定的未定系数。

②圆板外周支撑条件

在圆板外周需要使之与实际的点焊构造的支撑条件一致。因此，在圆板外周(r＝D/2)中，挠度Wr＝D/2和倾斜度w/r如以下【数学式10】表示。

【数学式10】

$\left(10\right)---w_{r=D/2}=\frac{1}{2}{\mathrm{\α}}_{w0}+\underset{N=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{wn}}\cos \mathrm{n\θ}+\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{wn}}\sin \mathrm{n\θ}$

${\left(\frac{\∂w}{\∂r}\right)}_{r=D/2}=\frac{1}{2}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ws}0}+\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{wsn}}\cos \mathrm{n\θ}+\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{wsn}}\sin \mathrm{n\θ}$

式(10)的右边是图3的圆板外周发生的位移，这是对于点焊构造进行FEM壳分析，由得到的节点位移而给出。具体如下所述。

(i)以所关注的焊点作为中心描绘直径为(D)的同心圆，通过FEM壳分析求出圆周上的节点位移w、θ_r的离散值。w是面外位移，θ_r是半径方向的挠度w的倾斜角。

【数学式11】

$\left(11\right)---{\mathrm{\θ}}_r{\left(\frac{\∂w}{\∂r}\right)}_{r=D/2}$

(ii)从该离散值通过三次周期样条插值函数内插位移w、θ_r的周向分布。例如构成插值函数的节点q_i的数为9时，外圆周上的位移w的样条插值函数可由下式表示。

【数学式12】

$\left(12\right)---w{\left(\mathrm{\θ}\right)}_{r=D/2}=\underset{i=-2}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i{B}_{i,4}\left(\mathrm{\θ}\right)+\underset{i=-2}{\overset{-1}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i{B}_{i+\mathrm{8,4}}\left(\mathrm{\θ}\right)+a_5{B}_{-\mathrm{3,4}}\left(\mathrm{\θ}\right)$

其中，B_i，4是用三次B样条通过以下渐近公式得到的。

【数学式13】

$\left(13\right)---B_{i,4}\left(\mathrm{\θ}\right)=\frac{\mathrm{\θ}-q_i}{q_{i+1}-q_i}{B}_{i,3}\left(\mathrm{\θ}\right)+\frac{q_{i+4}-\mathrm{\θ}}{q_{i+4}-q_{i+1}}{B}_{i+\mathrm{1,3}}\left(\mathrm{\θ}\right)$

B_i，1(θ)＝1(q_i≤θ＜q_i+1+1)，O(θ＜q_i，θ≥q_i+1)

式(12)的系数α_i以θ＝q_i并使w(θ)_r＝D/2成为其节点值而决定。

对于位移θ_r(θ)_r＝D/2，也用样条插值函数表示。

(iii)这些的内插式用傅里叶级数表示，并如式(10)右边所示，作为圆板外周的位移边界条件而给出。包含在式(10)中的傅里叶级数的系数通过下式计算。

【数学式14】

$\left(14\right)---{\mathrm{\α}}_{\mathrm{wn}}=\frac{1}{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}w{\left(\mathrm{\θ}\right)}_{r=D/2}\cos \mathrm{n\θ}$

${\mathrm{\α}}_{\mathrm{wsn}}=\frac{1}{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}{\mathrm{\θ}}_r{\left(\mathrm{\θ}\right)}_{r=D/2}\cos \mathrm{n\θ}$

${\mathrm{\β}}_{\mathrm{wn}}=\frac{1}{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}w{\left(\mathrm{\θ}\right)}_{r=D/2}\cos \mathrm{n\θ}$

${\mathrm{\β}}_{\mathrm{wsn}}=\frac{1}{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}{\mathrm{\θ}}_r{\left(\mathrm{\θ}\right)}_{r=D/2}\cos \mathrm{n\θ}$

使用边界条件时，确定包含在挠度函数式(8)中的全部未定常数。

决定挠度函数后，使用该函数而如下式得到圆板的截面力、截面力矩。

【数学式15】

$\left(15\right)---M_r=-D_p[M_{r0}+\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{M}_{\mathrm{rfn}}\cos \mathrm{n\θ}+\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{M}_{\mathrm{rgn}}\sin \mathrm{n\θ}]$

$M_{\mathrm{\θ}}=-D_p[M_{\mathrm{\θ}0}+\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{M}_{\mathrm{\θfn}}\cos \mathrm{n\θ}+\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{M}_{\mathrm{\θgn}}\sin \mathrm{n\θ}]$

$M_{\mathrm{r\θ}}=(1-v)D_p[\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{M}_{\mathrm{r\θfn}}\sin \mathrm{n\θ}+\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{M}_{\mathrm{r\θgn}}\cos \mathrm{n\θ}]$

$M_{r0}=\frac{d^2{f}_0}{d{r}^2}+\frac{v}{r}\frac{d{f}_0}{\mathrm{dr}}$

$M_{\mathrm{rfi}}=\frac{d^2{f}_i}{d{r}^2}+\frac{v}{r}(\frac{d{f}_i}{\mathrm{dr}}-\frac{f_i}{r}{i}^2),(i\≥1)$

$M_{\mathrm{rgi}}=\frac{d^2{g}_i}{d{r}^2}+\frac{v}{r}(\frac{d{g}_i}{\mathrm{dr}}-\frac{g_i}{r}{i}^2),(i\≥1)$

$M_{\mathrm{\θ}0}=v\frac{d^2{f}_0}{d{r}^2}+\frac{1}{r}\frac{d{f}_0}{\mathrm{dr}}$

$M_{\mathrm{\θfi}}=v\frac{d^2{f}_i}{d{r}^2}+\frac{1}{r}(\frac{d{f}_i}{\mathrm{dr}}-\frac{f_i}{r}{i}^2),(i\≥1)$

$M_{\mathrm{\θgi}}=v\frac{d^2{g}_i}{d{r}^2}+\frac{1}{r}(\frac{d{g}_i}{\mathrm{dr}}-\frac{g_i}{r}{i}^2),(i\≥1)$

$M_{\mathrm{r\θfi}}=-\frac{i}{r}(\frac{d{f}_i}{\mathrm{dr}}-\frac{f_i}{r}),(i\≥1)$

$M_{\mathrm{rgi}}=\frac{i}{r}(\frac{d{g}_i}{\mathrm{dr}}-\frac{g_i}{r}),(i\≥1)$

其中，D_p是板的弯曲刚性(如数学式16所示)，E是杨氏模量，ν是泊松比。

【数学式16】

$\left(16\right)---D_p=\frac{E{t}^3}{12(1-v)}$

使用式(15)的截面力矩时，通过下式给出板的应力成分。

【数学式17】

$\left(17\right)---{\mathrm{\σ}}_r=\frac{12M_{r}z}{t^3}{,\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}=\frac{12M_{\mathrm{\θ}}z}{t^3},{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}=\frac{12M_{\mathrm{r\θ}}z}{t^3}$

并且，对于图3的圆板，考虑z轴方向的内外力的平衡和与x、y轴有关的力矩的平衡时，得到

【数学式18】

$-{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}{Q}_r\left(\frac{d}{2}\right)\mathrm{d\θ}=F_z$

$\left(18\right)----\underset{0}{\overset{2\mathrm{\π}}{\∫}}(M_{\mathrm{r\θ}}\cos \mathrm{\θ}-M_r\sin \mathrm{\θ})\left(\frac{d}{2}\right)\mathrm{d\θ}-\underset{0}{\overset{2\mathrm{\π}}{\∫}}{Q}_r{\left(\frac{d}{2}\right)}^2\sin \mathrm{\θd\θ}=M_x$

$-\underset{0}{\overset{2\mathrm{\π}}{\∫}}(M_{\mathrm{r\θ}}\sin \mathrm{\θ}+M_r\cos \mathrm{n\θ})\left(\frac{d}{2}\right)\mathrm{d\θ}+\underset{0}{\overset{2\mathrm{\π}}{\∫}}{Q}_r{\left(\frac{d}{2}\right)}^2\cos \mathrm{\θd\θ}=M_y$

将通过边界条件确定的系数An～Dn代入式(8)的挠度函数后，再将其代入式(18)时，包含在式(9)中的常数w_c和θ_cx、θ_cy可用作用在焊点上的剥离载荷F_z和弯矩Mx、M_y表示。

因此，实施点焊构造的FEM壳分析，其结果，给出所关注的焊点的分担载荷和以其作为中心的直径为(D)的圆周上的节点位移时，能够确定式(8)中的全部未定系数。

在本文中提出的相对剥离载荷和弯矩的标称构造应力，虽然不能像式(1)、(2)那样表示成简单的式子，但是应用于实际构造时，不会出现圆板外径D取什么值适当的问题。并且由于能够作为边界条件给出点焊构造的焊点周围的变形状态，因而能够精度良好地测量标称构造应力。

该理论的分析程序简单，通过将这个分析程序编入CAE能够容易地进行点焊构造的寿命预测。

接着，对于基于剪切载荷和扭矩的标称构造应力的理论解，根据图23说明用于求出基于剪切力和扭矩的标称构造应力的方法。该问题作为弹性论的平面应力问题来处理。基础方程式由以下【数学式19】给出，满足其的应力函数一般可由【数学式20】表示：

【数学式19】

(19)ΔΔφ＝0

$\mathrm{\Δ}=\frac{{\∂}^2}{\∂r^2}+\frac{1}{r}\frac{\∂}{\∂r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\θ}}^2}$

【数学式20】

$\left(20\right)---\mathrm{\φ}=a_0\log r+b_0{r}^2+\frac{a_1}{2}\mathrm{r\θ}\sin \mathrm{\θ}-\frac{c_1}{2}\mathrm{r\θ}\cos \mathrm{\θ}$

$+(b_1{r}^3+{a_1}^{\′}{r}^{-1}+{b_1}^{\′}r\log r)\cos \mathrm{\θ}$

$+(d_1{r}^3+{c_1}^{\′}{r}^{-1}+{d_1}^{\′}r\log r)\sin \mathrm{\θ}$

$+\underset{n=2}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}(a_n{r}^n+b_n{r}^{n+2}+{a_n}^{\′}{r}^{-n}+{b_n}^{\′}{r}^{-n+2})\cos \mathrm{n\θ}$

$+\underset{n=2}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}(c_n{r}^n+d_n{r}^{n+2}+{c_n}^{\′}{r}^{-n}+{d_n}^{\′}{r}^{-n+2})\sin \mathrm{n\θ}$

包含在式(20)中的系数a₀～d’_n是未定系数，根据边界条件来确定。应力成分使用应力函数φ时，可由下式表示。

【数学式21】

$\left(21\right)---{\mathrm{\σ}}_r=\frac{1}{r}\frac{\∂\mathrm{\φ}}{\∂r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\∂}^2\mathrm{\φ}}{{\∂\mathrm{\θ}}^2}$   ${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}=\frac{{\∂}^2\mathrm{\φ}}{{\∂r}^2}$   ${\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}=-\frac{\∂}{\∂r}\left(\frac{1}{r}\frac{\∂\mathrm{\φ}}{\∂\mathrm{\θ}}\right)$

应变成分和位移成分之间的关系如下为

【数学式22】

$\left(22\right)---{\mathrm{\ϵ}}_r=\frac{\∂u}{\∂r}$   ${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\θ}}=\frac{u}{r}+\frac{1}{r}\frac{\∂v}{\∂\mathrm{\θ}}$   ${\mathrm{\γ}}_{\mathrm{r\θ}}=\frac{1}{r}\frac{\∂u}{\∂\mathrm{\θ}}+\frac{\∂v}{\∂r}-\frac{v}{r}$

u、v分别是γ、θ方向的位移。平面应力问题中的应力与应变的关系如下。

【数学式23】

$\left(23\right)---{\mathrm{\ϵ}}_r=\frac{1}{E}({\mathrm{\σ}}_r--v{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}})$   ${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\θ}}=\frac{1}{E}({\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}-v{\mathrm{\σ}}_r)$   ${\mathrm{\γ}}_{\mathrm{r\θ}}=\frac{1}{G}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}$

E是杨氏模量，G是剪切弹性系数。

应力函数式(20)代入式(21)时应力成分可由下式表示。

【数学式24】

${\mathrm{\σ}}_r=a_0{r}^{-2}+2b_0$

$+(\frac{a_1}{r}+2b_{1}r-2{a_1}^{\′}{r}^{-3}+{b_1}^{\′}{r}^{-1})\cos \mathrm{\θ}$

$+(\frac{c_1}{r}+2d_{1}r-2{c_1}^{\′}{r}^{-3}+{d_1}^{\′}{r}^{-1})\sin \mathrm{\θ}$

$+\underset{n=2}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\left\{\begin{array}{c}{a}_{n}n{(1-n)r}^{n-2}+b_n(n+2-n^2)r^n\\ -{a_n}^{\′}n{(1+n)r}^{-n-2}+{b_n}^{\′}(-n+2-n^2)r^{-n}\end{array}\right\}\cos \mathrm{n\θ}$

$+\underset{n=2}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\left\{\begin{array}{c}{c}_{n}n{(1-n)r}^{n-2}+d_n(n+2-n^2)r^n\\ -{c_n}^{\′}n{(1+n)r}^{-n-2}+{d_n}^{\′}(-n+2-n^2)r^{-n}\end{array}\right\}\sin \mathrm{n\θ}$

(24)

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}=a_0{r}^{-2}+2b_0$

$+(6b_{1}r+2{a_1}^{\′}{r}^{-3}+{b_1}^{\′}{r}^{-1})\cos \mathrm{\θ}$

$+(6d_{1}r+2{c_1}^{\′}{r}^{-3}+{d_1}^{\′}{r}^{-1})\sin \mathrm{\θ}$

$+\underset{n=2}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\left\{\begin{array}{c}{a}_{n}n{(n-1)r}^{n-2}+b_n(n+2)(n+1)r^n\\ +{a_n}^{\′}n{(n+1)r}^{-n-2}+{b_n}^{\′}(-n+2){(-n+1)r}^{-n}\end{array}\right\}\cos \mathrm{n\θ}$

$+\underset{n=2}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\left\{\begin{array}{c}{c}_{n}n{(1-n)r}^{n-2}+d_n(n+2)(n+1)r^n\\ +{c_n}^{\′}n{(1+n)r}^{-n-2}+{d_n}^{\′}(-n+2)(-n+1)r^{-n}\end{array}\right\}\sin \mathrm{n\θ}$

${\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}=(2b_{1}r-2{a_1}^{\′}{r}^{-3}+{b_1}^{\′}{r}^{-1})\sin \mathrm{\θ}$

$-(2d_{1}r-2{c_1}^{\′}{r}^{-3}+{d_1}^{\′}{r}^{-1})\cos \mathrm{\θ}$

$+\underset{n=2}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\left\{\begin{array}{c}{a}_{n}n{(n-1)r}^{n-2}+b_{n}n(n+1)r^n\\ -{a_n}^{\′}{n(n+1)r}^{-n-2}+{b_n}^{\′}n(n-1)r^{-n}\end{array}\right\}\sin \mathrm{n\θ}$

$-\underset{n=2}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\left\{\begin{array}{c}{c}_{n}n{(n-1)r}^{n-2}+d_{n}n(n+1)r^n\\ -{c_n}^{\′}n{(n+1)r}^{-n-2}-{d_n}^{\′}n{(n-1)r}^{-n}\end{array}\right\}\cos \mathrm{n\θ}$

将这些代入式(23)的第一、第二式而求出应变ε_x、ε_y，把该应变代入式(22)的第一、第二式，并进行积分而可得到位移u、v。

【数学式25】

$\mathrm{Eu}=-a_0(1+v)r^{-1}+2b_0(1-v)r$

$+\{a_1\log r+b_1(1-3v)r^2+{a_1}^{\′}(1+v)r^{-2}+{b_1}^{\′}(1-v)\log r\}\cos \mathrm{\θ}$

$+\{c_1\log r+d_1(1-3v)r^2+{c_1}^{\′}(1+v)r^{-2}+{d_1}^{\′}(1-v)\log r\}\sin \mathrm{\θ}$

$+\underset{n=2}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\left\{\begin{array}{c}-a_{n}n{(1+v)r}^{n-1}+b_n\{(2-n)-v(n+2)\}{r}^{n+1}\\ +{a_n}^{\′}{n(1+v)r}^{-n-1}+{b_n}^{\′}\{(2+n)-v(-n+2){\}r}^{-n+1}\end{array}\right\}\cos \mathrm{n\θ}$

$+\underset{n=2}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\left\{\begin{array}{c}-c_{n}n{(1+v)r}^{n-1}+d_n\{(2-n)-v(n+2){\}r}^{n+1}\\ +{c_n}^{\′}{n(1+v)r}^{-n-1}+{d_n}^{\′}\{(2+n)-v(-n+2)\}{r}^{-n+1}\end{array}\right\}\sin \mathrm{n\θ}$

$+\mathrm{Ef}\left(\mathrm{\θ}\right)$

(25)

$\mathrm{Ev}=\left\{\begin{array}{c}-a_1(v+\log r)+b_1(5+v)r^2\\ +{a_1}^{\′}(1+v)r^{-2}+{b_1}^{\′}(1-v)(1-\log r)\end{array}\right\}\sin \mathrm{\θ}$

$-\left\{\begin{array}{c}-c_1(v+\log r)+d_1(5+v)r^2\\ +{c_1}^{\′}(1+v)r^{-2}+{d_1}^{\′}(1-v)(1-\log r)\end{array}\right\}\sin \mathrm{\θ}$

$+\underset{n=2}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\left\{\begin{array}{c}{c}_{n}n{(1+v)r}^{n-1}+d_n\{(n+4)-v{n\}r}^{n+1}\\ +{c_n}^{\′}{n(1+v)r}^{-n-1}+{d_n}^{\′}\{(n-4)-v{n\}r}^{-n+1}\end{array}\right\}\sin \mathrm{n\θ}$

$-E\∫f\left(\mathrm{\θ}\right)\mathrm{d\θ}+\mathrm{Eg}\left(r\right)$

f(θ)仅是θ的未知函数，g(r)仅是r的未知函数。将位移式(25)代入式(22)的第三式而求出剪切应变，使用式(23)的第三式则得到剪切应力。由于其必须与式(24)的第三式相等，因而通过比较两个式而如下求出未知函数f(θ)、g(r)。

【数学式26】

(26)   f(θ)＝Hsinθ+Kcosθ

$g\left(r\right)v=-\frac{a_0^{\′}}{2\mathrm{Gr}}+\mathrm{Fr}$

H、K、F是未知常数。

边界条件在焊点端(r＝d/2)，为

【数学式27】

(27)   u_r＝d/2＝u_xccosθ+u_ycsinθ

ν_r＝d/2＝-u_xcsinθ+u_yccosθ+θ_cb

式(27)的u_xc、u_yc、θ_c是通过后述的条件确定的常数，由于将焊点假定为刚体，因而其外周上的位移u、v的圆周方向分布通过式(27)给出。

在圆板外周(r＝D/2)，成为：

【数学式28】

(28)

$u_{r=D/2}=\frac{1}{2}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{Ou}0}+\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{Oun}}\cos \mathrm{n\θ}+\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{Oun}}\sin \mathrm{n\θ}$

$v_{r=D/2}=\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{Ovn}}\sin \mathrm{\θ}+\frac{1}{2}{\mathrm{\β}}_{0v0}+\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{Ovn}}\cos \mathrm{n\θ}$

式(27)右边是圆板外周发生的位移，其可由对点焊构造进行FEM壳分析而得到的节点位移给出。具体如下所述。

①以所关注的焊点作为中心描绘直径为(D)的同心圆，并求出通过FEM壳分析得到的直径为(D)圆周上的节点位移u、ν的离散值。

②从该离散值通过3次周期样条插值函数内插位移u、ν的周向分布。例如构成插值函数的节点q_i的数为9时，外圆周上的位移u的样条插值函数可由下式表示。

【数学式29】

$\left(29\right)---u{\left(\mathrm{\θ}\right)}_{r=D/2}=\underset{i=-2}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i{B}_{i,4}\left(\mathrm{\θ}\right)+\underset{i=-2}{\overset{-1}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i{B}_{i+\mathrm{8,4}}\left(\mathrm{\θ}\right)+a_5{B}_{-\mathrm{3,4}}\left(\mathrm{\θ}\right)$

其中，B_i，4(θ)是用三次B样条通过以下渐近公式得到的。

【数学式30】

(30)

$B_{i,4}\left(\mathrm{\θ}\right)=\frac{\mathrm{\θ}{-q}_i}{q_{i+1}-q_i}{B}_{i,3}\left(\mathrm{\θ}\right)+\frac{q_{i+4}-\mathrm{\θ}}{q_{i+4}-q_{i+1}}{B}_{i+\mathrm{1,3}}\left(\mathrm{\θ}\right)$

B_i，1(θ)＝1(q_i≤θ＜q_i+1)，0(θ＜q_i，θ≥q_i+1)

式(29)的系数α_i以θ＝q_i并使u(θ)_r＝D/2成为其节点值而决定。

对于位移ν(θ)_r＝D/2，也同样用样条插值函数表示。

(iii)用傅里叶级数表示这些内插式，并作为边界条件而给出。

式(27)中的u_xc、u_yc、θ_c，可通过求解作用在焊点上的分担载荷和焊点端周围的应力分布的平衡式而得到。该平衡式为

【数学式31】

(31)

$F_x+{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}({\mathrm{\σ}}_r\cos \mathrm{\θ}-{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}\sin \mathrm{\θ})\mathrm{bd\θ}=0$

$F_y+{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}({\mathrm{\σ}}_r\sin \mathrm{\θ}-{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}\cos \mathrm{\θ})\mathrm{bd\θ}=0$

$M_z+{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}b{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}\mathrm{bd\θ}=0$

因此，实施点焊构造的FEM壳分析，其结果，给出所关注的焊点部的分担载荷、和以焊点部作为中心的直径为(D)的圆周上的节点位移时，能够确定式(20)中的全部未定系数，并求出焊点周围的位移场和应力场。

下面，说明复合载荷下的标称构造应力。

如图22所示，剥离载荷、弯矩、剪切载荷、扭矩同时作用时，由下式表示的焊点端的最大主应力作为标称构造应力，并用作疲劳强度参量。

【数学式32】

$\left(32\right)---{\mathrm{\ρ}}_{p1},{\mathrm{\σ}}_{p2}=\frac{\left({\mathrm{\σ}}_{\mathrm{rsum}}{+\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θsum}}\right)\±\sqrt{{({\mathrm{\σ}}_{\mathrm{rsum}}-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θsum}})}^2+{{4\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θsum}}}^2}}{2}$

其中，δ_rsum、σ_θsum、τ_rθsum是叠加各自的分担载荷的分析结果的数据。

在此，为了确认本发明的有效性，求出图1的LP模型(11)的中央焊点部(15)的标称构造应力。为了验证解的精度，制作LP模型(11)的详细的三维实体模型并通过有限元素法分析等求出标称构造应力。通常在汽车车身的分析中，不使用这种详细的实体模型，而使用计算负荷较小的壳模型。

应用到点焊构造前，为了验证通过本方法求出的解，如图5所示，在图3的圆板中完全约束外周的位移，对于剥离载荷以及弯矩单独作用时的挠度分布的严格解进行比较。

本发明的解，作为圆板的外周条件(式(6)的右边)，使用了严格解的圆板中间圆周上(剥离载荷：r＝3.82(d/2)、弯矩：r＝3.82(d/2))的挠度和倾斜度，因而与严格解非常一致。

图6(a)、(b)是将由本发明求出的通过焊点部(15)中心的x轴上的应力σ_r分布与FEM实体解进行比较的图表。在图1中用LP#θx、θy表示向θx、θy方向加载的情况。图6(a)为LP#90#90，图6(b)为LP#45#90，任何情况下两者都非常一致。

图7表示在本发明中求出的中央焊点的标称构造应力。无论哪种载荷情况，本发明中求出的标称构造应力均与基于实体模型的FEM解非常一致。从以上可知，通过本发明能够精度良好地得到作为寿命预测参量的标称构造应力。另外在本实施方式中，对于点焊构造使用了LP模型11，但是并不限定于此，只要是两张以上的板的点焊构造，无论什么构造都能适用。

[例2]

上述例子1用于求出相对分担载荷中的剥离载荷或弯矩的标称构造应力，因而在该例子2中考虑作为分担载荷，剪切力成为支配性的情况。作为典型的例子，例如等厚的三张条形平板在一点进行点焊，并在接缝上作用有拉伸剪切(图8)。

为了得到用作边界条件的节点位移数据而实施有限元素法壳分析。图9是三张重叠接缝的FEM壳分析模型。一般部分以粗格子状进行元素分割，在焊点部附近细小地分割将重叠长度作为一边的正方形内部，沿着放射方向将焊点内部分割为2份，将外侧分割为4份，沿着圆周方向分割为8份。并且在焊点内部，在放射方向上沿着壳元素的边设有杆元素，使用具有与焊点相当的刚性的梁元素，在焊点中心结合上下板。在FEM解算机中使用COSMOS/M而进行线弹性分析。

在此，使用图9的壳分析模型说明应用理论求出焊点周围的应力分布的顺序。

①制作如图9所示的壳模型，并实施FEM分析。

②从①的分析中，求出焊点部的分担载荷、直径为(D)的同心圆周上的8节点的半径方向和圆周方向位移u、ν。

③对于在①中求出的节点位移，通过3次周期样条插值函数内插位移u、ν的周向分布。并且用傅里叶级数对其进行表示，并将其作为图23的圆板外周的边界条件。

④在③的边界条件下，通过上述理论求出焊点周围的应力分布。

通过以上顺序求出的分析结果如图10所示。这是沿着三张重叠接缝中央板外表面的中心轴的轴应力分布，与FEM实体分析的结果进行了比较。如图24所示，在以往的理论中随着从焊点远离，应力衰减而成为零，并且与FEM实体解不一致，但是在本方法中表示出与FEM实体解很好地一致。

[例3]

在对于如图27所示大小的两张平板进行一点点焊的接缝上，其两端负载有均匀拉伸应力σ₀的情况下求出负荷方向垂直应力分布。首先如图11所示，用壳元素制作分析模型，使用位于焊点周围的八边形的顶点的节点位移，并用上述理论而求出的应力分布的结果如图12所示。可知，使用本理论时能够求出不能在以往方法中得到的应力分布，并且能够与FEM实体解很好地一致。

[例4]

作为点焊构造例例如有如图13所示的LP模型。接合平板和L形板并在三点进行点焊，将平板的一对边进行全自由度约束，并在L形板的上端上向各个方向施加载荷P。LP_θx_θy表示载荷P向θx、θy方向作用的情况。L形板的凸缘宽度为15mm，长度为135mm，平板宽度为45mm。点焊间距为45mm，双方的板厚均为0.8mm。

作为FEM壳分析模型，L形板的一部分如图14所示。具体而言，是将一般部以粗格子状进行元素分割，焊点部附近细小地分割将凸缘宽度w_f作为一边的正方形内部，并沿着放射方向将焊点内部分割为2份，将外侧分割为4份，沿着圆周方向分割为4份的Shell_04和Shell_08模型。并且在焊点内部，在放射方向沿着壳元素的边设有杆元素，使用具有与焊点相当的刚性的梁元素，在焊点中心结合上下板。

图15是用于验证本方法的解的精度而进行的三维弹性分析用FEM实体模型，表示L形板的一部分。沿着板厚方向分割为4份，并详细分割焊点周围。平板也相同。载荷条件(LP_θ_x_θ_y)和位移约束条件如图13所示。

使用图14(a)的壳分析模型Shell_04说明应用上述理论求出焊点周围的应力分布的顺序。

①制作如图14(a)所示的壳模型，并实施FEM分析。

②从①的分析，使用从焊点中心位于放射线上(图14(a)的情况下为AC、BD两根)的节点的挠度值，求出多边形和正方形接触的节点(A、B、C、D4点)的挠度及其放射方向的倾斜度。

③由这4点的挠度和倾斜度，内插圆周方向的分布(式(12))，通过傅里叶级数来表示，并作为图3的圆板的外周边界条件(式(10))。

④根据①的FEM壳分析，求出所关注的焊点的分担力，其中，使用式(9)求出剥离成分F_x和弯曲成分M_x及M_y。

⑤在③④给出的圆板外周边界条件和载荷条件下，令圆板外径D＝W_f，根据上述理论，相对剥离成分和弯曲成分求出焊点周围的应力分布。

⑥对于焊点分担载荷的剪切成分和扭转成分M_z，与弯曲情况相同地进行②～⑤的操作，由此求出焊点周围的应力分布。

⑦叠加⑤⑥的分析结果而得出复合载荷下的应力，并由此求出上述标称构造应力(式(32))。

通过以上顺序求出的分析结果如图16所示。这是在载荷LP_90_90的情况下，L形板中央焊点的x轴上的弯曲应力σ_r分布中，为了观察元素分割的影响而比较壳分析模型Shell_04和Shell_08的结果的图。未发现两者的结果存在大的差异，粗略的元素分割即Shell_04模型也与FEM实体解很好地一致，并得出了良好的结果。以后表示使用Shell_04模型进行分析的结果。图中的σ₀是载荷除以L形板上表面的作用面积得到的平均应力。

图17是通过本方法求出的标称构造应力与FEM实体分析的结果进行比较的图表，可知各载荷的情况均得出了良好的解。

并且在图18表示Gieke，Hahn提出的，以相同形状的试验片可进行各种复合载荷疲劳试验的DC试验片(单点点焊的相对杯形试验片)，在图19表示作为代表性的点焊疲劳试验片的拉伸剪切(TS)和十字形拉伸试验片(CT)。

对于这些试验片，用本方法求出标称构造应力，并整理疲劳试验数据的图表如图20所示，可知可以整理在狭窄的带宽度内。

用流程图表示使用本方法的点焊构造的疲劳寿命预测法时成为图21。

①相对点焊构造制作壳模型，并实施有限元素法弹性分析。

②求出所关注的焊点的分担载荷、以及以焊点作为中心的同心圆周上的节点位移值。

③根据上述理论求出标称构造应力σ_ns。

通过基于另外准备的DC试验片的σ_ns-N_f线图预测疲劳寿命。

产业上的利用可能性

如上所述，根据本发明技术方案1的点焊构造的疲劳寿命预测方法，假想从点焊构造切出的以焊点部为中心的直径为D的圆板，并向该圆板外周部给出点焊构造的位移，向其圆板中央的焊点部给出剥离载荷、弯矩、剪切力以及扭矩的分担载荷，由此能够求出标称构造应力，因而不必制作D值数据库，可以消除D值决定问题，能够简单迅速地预测点焊构造的疲劳寿命。

并且根据本发明技术方案2的点焊构造的疲劳寿命预测方法，多张例如上述两张板包括平板和L型板，上述有限元素法分析用壳模型细小地分割将点焊构造的焊点部的L型板凸缘宽度作为一边的正方形内部，沿放射方向将焊点内部分割为2份，将外侧分割为4份，沿圆周方向分割为8份，因而能够简单迅速地预测点焊构造的疲劳寿命。

另外根据技术方案3的点焊构造的疲劳寿命预测方法，预先对于点焊构造物进行拉伸剪切疲劳试验、剥离疲劳试验以及复合载荷疲劳试验，由此形成表示标称构造应力和断裂反复次数之间关系的映射，以标称构造应力为基础，参照该影响而算出断裂反复次数，从而进行上述点焊构造的疲劳寿命的预测，因而能够正确地推算疲劳寿命。

Claims (3)

1.一种点焊构造的疲劳寿命预测方法，其特征在于，接合多个板而形成点焊构造，相对该点焊构造制作有限元素法分析用壳模型，使用所制作的有限元素法分析用壳模型进行有限元素法线弹性分析，由此算出点焊部中央的焊点部的剥离载荷、弯矩、剪切力以及扭矩的分担载荷、和以该焊点部为中心描绘的直径为(D)的圆周上的位移，根据所算出的该分担载荷和圆周上的位移，并利用弹性学的圆板弯曲理论以及二维弹性论，求出所述焊点部的剥离载荷、弯矩、剪切力以及扭矩的标称构造应力，通过该标称构造应力能够预测点焊构造的疲劳寿命。

2.根据权利要求1所述的点焊构造的疲劳寿命预测方法，其特征在于，所述多个板包括平板和L型板，所述有限元素法分析用壳模型细小地分割以点焊构造的焊点部的L型板的凸缘宽度作为一边的正方形内部，沿放射方向将焊点内分割为2份，将外侧分割为4份，沿圆周方向分割为8份。

3.根据权利要求1或2所述的点焊构造的疲劳寿命预测方法，其特征在于，预先对点焊构造物进行拉伸剪切疲劳试验、剥离疲劳试验以及复合载荷疲劳试验，形成表示标称构造应力和断裂反复次数之间关系的映射，根据标称构造应力并参照该映射算出断裂反复次数，从而进行所述点焊构造的疲劳寿命的预测。

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