CN115016266A - 一种基于分数阶重复控制的磁悬浮转子系统振动力抑制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于分数阶重复控制的磁悬浮转子系统振动力抑制方法，建立含有转子质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子系统动力学模型，然后针对由转子质量不平衡和传感器谐波引起的电流刚度力，采用奇次谐波分数阶重复控制算法进行抑制和采用基于PI控制的旋转坐标变换算法对由转子质量不平衡引起的位移刚度力进行补偿，实现磁悬浮转子系统振动力的完全抑制；奇次谐波分数阶重复控制算法对磁悬浮转子系统的奇次主导谐波扰动进行抑制，并分数阶延迟滤波器的设计提高抑制精度，减小计算负担；同时基于PI控制的旋转坐标变换算法无静差跟踪经变换后同频直流分量，使位移刚度力补偿精度提高。本发明实际应用中很方便，实现全工作转速范围内振动力抑制。

Description

一种基于分数阶重复控制的磁悬浮转子系统振动力抑制方法

技术领域

本发明涉及磁悬浮控制力矩陀螺振动力抑制的技术领域，具体涉及一种基于分数阶重复控制的磁悬浮转子系统振动力抑制方法，用于对磁悬浮控制力矩陀螺转子系统在全工作转速范围内的振动力进行抑制，为磁悬浮控制力矩陀螺在卫星平台上实现“超高姿态稳定度”和“超高指向精度”等方面的应用提供相应的技术支持。

背景技术

采用磁轴承支撑的磁悬浮控制力矩陀螺，与传统的机械轴承控制力矩陀螺相比，具有无接触摩擦、高转速、无需油润滑以及阻尼和刚度可调等优点，且可以实现主动振动控制，只需添加相应的软件控制算法即可实现对振动的抑制，从而磁悬浮控制力矩陀螺成为航天器惯性执行机构的一个较为理想的选择。

磁悬浮转子系统存在的两个主要振动源分别为：转子质量不平衡和传感器谐波。转子质量不平衡可以分为静不平衡和动不平衡两类，前者是指转子的几何中心和质量中心发生偏移，通常导致振动力；后者是指转子的几何轴和惯性轴发生偏转，通常导致振动力矩。传感器谐波主要是由于转子位移传感器检测面的加工和材料的非理想特性引起的，包括被检测面圆度误差、材质不均匀和局部压力集中等，上述非理想特性经位移传感器检测后，通过磁轴承控制系统产生振动力和振动力矩。而上述转子质量不平衡和传感器谐波引起的振动力又可以分为位移刚度力和电流刚度力，其中电流刚度力包含同频分量和倍频分量，由转子质量不平衡和传感器谐波共同引起；位移刚度力则仅体现为同频分量，仅由转子质量不平衡引起。由磁悬浮转子系统产生的振动会传递至航天器基座，进而会影响航天器平台的稳定性，因而对磁悬浮转子系统的振动力进行抑制是十分有必要的。

针对磁悬浮转子系统的谐波电流的抑制，常用的方法有多同步旋转坐标变换法、多并联谐振控制器法以及多并联相移陷波器法等，上述各方法虽有一定的抑制效果，但是结构较为复杂，计算量较大，而相比之下重复控制方法结构更为便捷，更节省计算资源。针对位移刚度力的补偿，常采用的方法为陷波器法，但这种方法并不适用于高转速的情况下，而采用基于PI控制的旋转坐标变换算法则可以在全工作转速范围内实现位移刚度力的有效补偿。

发明内容

本发明的技术解决问题为：克服现有技术的不足，提供一种基于分数阶重复控制的磁悬浮转子系统振动力抑制方法，通过采用一种奇次谐波分数阶重复控制算法和一种基于PI控制的旋转坐标变换算法分别对电流刚度力进行抑制和对位移刚度力进行补偿，实现全工作转速范围内的振动力的抑制。

本发明采用的技术方案为：一种基于分数阶重复控制的磁悬浮转子系统振动力抑制方法，包括以下步骤：

磁悬浮转子系统主要由控制器、功率放大器、磁铁、磁悬浮转子和位移传感器组成。首先，位移传感器将检测到的磁悬浮转子的位置信号传递给控制器，控制器根据预定的位置值与位移信号的差值输出控制信号，控制信号经由功率放大器输出控制电流，控制电流作用于磁铁产生磁力，磁力使得转子回复到给定位置，整个过程形成了闭环控制系统。其中，以磁悬浮转子的一端为例，两对位移传感器在磁悬浮转子的径向相互正交放置，构成了相位相差90°的X通道和Y通道；另外，磁悬浮转子的几何轴和惯性轴分别为经过磁悬浮转子中心面中的几何中心和惯性中心并沿转子轴向的轴。

步骤(1)：基于磁悬浮转子系统振动力包括的电流刚度力和位移刚度力，建立含有转子质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子系统的动力学模型，如下：

上式中，等式左边为轴承力，即广义力的表达式，等式右边为电流刚度力和位移刚度力的表达式，可见磁悬浮转子系统的振动力由电流刚度力和位移刚度力两部分组成。

其中，

为磁悬浮转子系统的灵敏度函数，I_4×4为单位矩阵，

为磁轴承坐标系到广义坐标系的转换矩阵，

为广义坐标系到位移传感器坐标系的转换矩阵，

为广义坐标系到磁轴承坐标系的转换矩阵，G_p(s)为被控对象，即磁悬浮转子传递函数，k_s为位移传感器增益系数；k_i和k_h分别为磁悬浮转子系统的电流刚度系数和位移刚度系数；M为广义质量矩阵，G_w(s)和G_c(s)分别为磁悬浮转子系统的功率放大器传递函数和控制器传递函数；h_m为磁悬浮转子几何轴在磁轴承坐标系下的位移；h_I和h_g为磁悬浮转子的惯性轴和几何轴在广义坐标系N-XYZ中的位移分别表示，广义坐标系N-XYZ为以磁悬浮转子质心所在平面与A、B两端磁轴承定子中心点连线的交点N为坐标原点，Z轴沿磁轴承定子中心线，且由B指向A，X轴和Y轴位于转子质心平面内，且分别与X轴和Y轴径向位移传感器连线平行；在广义坐标系下，定义转子质量不平衡为Δh＝h_I-h_g；h_sr为位移传感器谐波误差；径向磁轴承线圈电流矢量I_m为：

I_m＝-k_adG_w(s)G_c(s)h_s

式中，k_ad为AD采样放大倍数；

为广义坐标系到位移传感器坐标系的转换矩阵，h_s为位移传感器输出信号；

步骤(2)：基于步骤1中建立的动力学模型，可知磁悬浮转子系统振动力包括电流刚度力和位移刚度力等两部分，因而所述一种基于分数阶重复控制的磁悬浮转子系统振动力抑制方法包括两部分：首先采用一种奇次谐波分数阶重复控制算法对电流刚度力进行抑制，然后采用一种基于PI控制的旋转坐标变换算法对位移刚度力进行补偿，两种算法相互独立，最终实现磁悬浮转子系统振动力的完全抑制。

所述步骤(2)中，所述的一种奇次谐波分数阶重复控制算法为：

首先确定该奇次谐波分数阶重复控制算法的离散化传递函数；然后以功率放大器输出电流作为该奇次谐波分数阶重复控制算法的输入，再将该奇次谐波分数阶重复控制算法的输出正反馈至功率放大器的输入端，之后得出功率放大器的输出电流表达式，分析该电流在上述奇次谐波分数阶重复控制算法的作用下的变化情况，即可得出电流刚度力是否被抑制；同时，为提高电流刚度力抑制精度，对分数阶延迟滤波器进行设计；另外，为确保加入该奇次谐波分数阶重复控制算法后磁悬浮转子系统能够正常运行，得出对应的稳定性条件。

确定奇次谐波分数阶重复控制算法的离散化传递函数G_OFORC(z)：

上式中，k_rc表示重复控制增益系数(取值范围由稳定性条件决定)，C(z)和Q(z)分别为相位补偿滤波器和维持重复控制算法稳定性的低通滤波器离散化传递函数，G_F(z)为分数阶延迟滤波器离散化传递函数；D为重复控制延迟阶数整数部分，D的值可由式

确定，其中T₀为干扰信号周期，T_s为磁悬浮转子系统采样周期，F为重复控制延迟阶数小数部分。

将步骤(1)中奇次谐波分数阶重复控制算法离散化传递函数代入基本系统，即未添加任何振动力抑制算法的磁悬浮转子系统，确定功率放大器输出电流I(z)表达式为：

其中，

为基本系统灵敏度离散化传递函数，G_c(z)、G_w(z)和G_p(z)分别为控制器、功率放大器和被控对象的离散化传递函数，R(z)为参考输入信号离散化传递函数，k_s为位移传感器增益系数，x_d(z)为等效扰动离散化传递函数，

为重复控制延迟阶数；

当低通滤波器Q(z)为移动平均滤波器时，该低通滤波器在系统频带内的幅频响应值为1，则有：

式中，k为整数，π为圆周率。当k取正奇数时，即k＝1,3,5,…时，1+cos(kπ)＝0，由I(z)表达式进一步得到，此时功率放大器输出电流I(z)为零，即在奇次谐波分数阶重复控制算法作用下，磁悬浮转子控制系统的谐波电流为零，由动力学模型可知，电流刚度力为零，即磁悬浮转子系统的电流刚度力得到了有效地抑制。

根据步骤(2)所述的一种奇次谐波分数阶重复控制算法，所述一种奇次谐波分数阶重复控制算法中分数阶延迟滤波器设计如下：

分数阶延迟滤波器的离散化传递函数G_F(z)为：

上式中，F为重复控制延迟阶数小数部分，M为多项式阶数，k为自然数，L_k(z)为子滤波器离散化传递函数，可采用拉格朗日插值方法设计。

基于奇次谐波分数阶重复控制算法传递函数，确定加入所述奇次谐波分数阶重复控制算法后磁悬浮转子系统能够正常运行的稳定条件为：

当添加上述奇次谐波分数阶重复控制算法后的磁悬浮转子控制系统满足如下条件时，是稳定的：

a.未加入所提奇次谐波分数阶重复控制算法时，磁悬浮转子控制系统的闭环传递函数是渐近稳定的；

b.重复控制增益系数k_rc和λ(ω)的取值需满足：

λ(ω)∈(90°,270°)；

上述稳定性条件中，λ(ω)为磁悬浮转子系统函数相位响应与奇次谐波分数阶重复控制算法中相位补偿滤波器传递函数相位响应之和，L(ω)和K(ω)分别为磁悬浮转子系统函数幅频响应表达式和奇次谐波分数阶重复控制算法中相位补偿滤波器传递函数幅频响应表达式。

所述步骤(2)中，所述的一种基于PI控制的旋转坐标变换算法为：

首先确定基于PI控制的旋转坐标变换算法的复系数传递函数；然后，将磁悬浮转子系统的控制器输入信号作为该基于PI控制的旋转坐标变换算法的输入，该基于PI控制的旋转坐标变换算法的输出负反馈至所述奇次谐波分数阶重复控制算法的输入端，得出磁悬浮转子系统振动力的表达式，分析位移刚度力的补偿情况及磁悬浮转子系统振动力的抑制效果；另外，为确保加入该旋转坐标变换算法后，磁悬浮转子系统能够正常工作，得出相应的稳定性条件；此外，该基于PI控制的旋转坐标变换算法能够实现同时对两个通道的控制，极大地提高了工作效率。

确定基于PI控制的旋转坐标变换算法的复系数传递函数G_SRFT(s)为：

式中，k_{p_sr}和k_{i_sr}分别为比例增益系数和积分增益系数，e为自然常数，j为虚数单位，

为相位补偿角，Ω为转子转速；

为实现振动力的完全抑制，需在上述添加奇次谐波分数阶重复控制算法对电流刚度力进行抑制的基础上，再加入基于PI控制的旋转坐标变换算法对位移刚度力进行补偿，当所述的奇次谐波分数阶重复控制算法和基于PI控制的旋转坐标变换算法共同作用于基本系统，即未添加任何振动抑制算法的磁悬浮转子控制系统时，磁悬浮转子控制系统输出轴承力f表示为：

在零参考输入条件下，对表现为同频分量的位移刚度力补偿性能进行分析时，R(s)和h_sr(s)均认为为0，当角频率等于转子转速时，则轴承力f的值为0，即磁悬浮转子系统的振动力得到有效地抑制；

基于所建立的基于PI控制的旋转坐标变换算法的传递函数，确定同时作用有奇次谐波分数阶重复控制算法和基于PI控制的旋转坐标变换算法的磁悬浮转子控制系统稳定条件如下：

当同时含有一种奇次谐波分数阶重复控制算法和一种基于PI控制的旋转坐标变换算法的闭环系统相位满足如下条件时，磁悬浮转子控制系统是渐近稳定的：

其中，arg[·]是幅角，ψ(jΩ)＝2k_hG_p(jΩ)G_OFORC(jΩ)F₁(jΩ)，式中F₁(jΩ)为仅含上述奇次谐波分数阶重复控制算法的系统函数，通过设计相应的相位补偿角和PI控制中比例增益系数以满足所提出的稳定条件，保证工作转速范围内的磁悬浮转子控制系统的稳定性，最终实现振动力的抑制，通过调节相位补偿角和PI控制中比例增益系数即使磁轴承控制系统在不同转速时实现闭环稳定。

本发明的基本原理在于：磁悬浮控制力矩陀螺在工作过程中所产生的微振动会通过基座传递到航天器平台，进而会对航天器的姿态稳定性和指向精度造成影响。而磁悬浮转子系统所产生的振动力，可分为电流刚度力和位移刚度力，前者主要表现为同频信号和倍频信号，而后者则仅由表现为同频信号。针对磁悬浮转子系统所产生的振动力，本发明通过建立含有转子质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子系统的动力学模型，提出了一种基于分数阶重复控制的磁悬浮转子系统振动力抑制方法。采用一种奇次谐波分数阶重复控制算法，通过将重复控制算法与系统功率放大器并联，利用内模原理对磁悬浮转子系统的奇次倍频振动进行抑制，通过对分数阶延迟滤波器的设计，提高了电流刚度力的抑制精度；采用一种基于PI控制的旋转坐标变换算法，可以实现同时对两个通道的位移刚度力进行补偿，简化了算法的结构，另外分别对加入两种算法后的系统进行稳定性分析，保证磁悬浮转子系统在全工作转速范围内稳定运行。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)为了实现对磁悬浮转子系统振动力的有效抑制，本发明提出了一种基于分数阶重复控制的磁悬浮转子系统振动力抑制方法，在对振动力中电流刚度力进行抑制的同时，也对位移刚度力进行补偿，实现了在全工作转速范围内的振动力抑制。

(2)本发明中，采用一种奇次谐波分数阶重复控制算法实现对电流刚度力的抑制，根据磁悬浮转子系统振动力频域特性，仅对系统中所表现出的奇次倍频扰动进行抑制，减轻了系统的计算负担；另外设计了一种基于泰勒级数展开的分数阶延迟滤波器对重复控制算法中的延迟阶数小数部分进行近似处理，提高了电流刚度力的抑制精度。

(3)本发明在对电流刚度力进行抑制的基础上，采用了一种基于PI控制的旋转坐标变换算法实现对位移刚度力的补偿，该算法可以实现在高转速下同时对两个通道的位移刚度力进行处理，最终在分别加入两种算法后系统的全工作转速稳定性条件下，实现了磁悬浮转子系统的振动力的有效抑制。

附图说明

图1为本发明的流程图；

图2为磁悬浮转子系统结构示意图，其中，1为位移传感器，2为磁悬浮转子，3为主动磁轴承，4为转子几何轴，5为转子惯性轴；

图3为磁悬浮转子系统基本控制系统原理框图；

图4为含有所述奇次谐波分数阶重复控制算法的磁悬浮转子系统的控制框图；

图5为含有所提的一种基于分数阶重复控制的磁悬浮转子系统控制框图；

图6为基于PI控制的旋转坐标变换算法的基本控制原理框图；

图7为基于PI控制的旋转坐标变换算法的复系数等效基本控制原理框图；

图8为含有所提的一种基于分数阶重复控制的磁悬浮转子系统等效简化控制框图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整的描述，显然，所描述的实施例仅为本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例，基于本发明中的实施例，本领域的普通技术人员在不付出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明的保护范围。

如图1所示，本发明一种基于分数阶重复控制的磁悬浮转子系统振动力抑制方法的实施过程如下：首先建立含有转子质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子系统的动力学模型，分析振动机理；然后设计一种基于奇次谐波分数阶重复控制算法的电流刚度力抑制算法，以及一种基于PI控制的旋转坐标变换算法的位移刚度力补偿算法。

磁悬浮转子系统主要由控制器、功率放大器、磁铁、磁悬浮转子和位移传感器组成。首先，位移传感器将检测到的磁悬浮转子的位置信号传递给控制器，控制器根据预定的位置值与位移信号的差值输出控制信号，控制信号经由功率放大器输出控制电流，控制电流作用于磁铁产生磁力，磁力使得转子回复到给定位置，整个过程形成了闭环控制系统。其中，以磁悬浮转子的一端为例，两对位移传感器在磁悬浮转子的径向相互正交放置，构成了相位相差90°的X通道和Y通道；另外，磁悬浮转子的几何轴和惯性轴分别为经过磁悬浮转子中心面中的几何中心和惯性中心并沿转子轴向的轴。

步骤1：建立含有转子质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子系统的动力学模型。

磁悬浮转子系统包括四对径向磁轴承和四对径向位移传感器，其结构如图2所示。首先定义广义坐标系N-XYZ，以磁悬浮转子质心C所在平面与A、B两端磁轴承定子中心点连线的交点N为坐标原点，Z轴沿磁轴承定子中心线，且由B指向A；X轴和Y轴位于转子质心平面内，且分别与X轴和Y轴径向位移传感器连线平行，则磁悬浮转子的惯性轴和几何轴在广义坐标系N-XYZ中的位移可以表示为：

h_I＝(x_I,β_I,y_I,-α_I)^T

h_g＝(x_g,β_g,y_g,-α_g)^T

上式中，h_I是磁悬浮转子的惯性轴在广义坐标系中的位移，x_I、α_I为X轴方向上的平动位移和转动位移，y_I、β_I为Y轴方向上的平动位移和转动位移；h_g是磁悬浮转子的几何轴在广义坐标系中的位移，x_g、α_g为X轴方向上的平动位移和转动位移，y_g、β_g为Y轴方向上的平动位移和转动位移。

其次定义磁轴承坐标系：分别以两端的径向磁轴承定子几何中心为坐标原点，坐标系Z_m轴垂直于由磁轴承线圈形成的平面。则磁悬浮转子几何轴在磁轴承坐标系下的位移为h_m＝(x_ax,x_bx,x_ay,x_by)^T，其各元素表示转子在四对径向磁轴承处的平动位移；转子所受轴承力为f_m＝(f_ax,f_bx,f_ay,f_by)^T，其各元素表示转子在四对径向磁轴承处所受的轴承力。

最终定义传感器坐标系：分别以两端的径向位移传感器几何中心为坐标原点，X_s轴和Y_s轴分别沿相对位置的两个位移传感器连线。定义磁悬浮转子几何轴在传感器坐标系下的位移为h_s＝(s_ax,s_bx,s_ay,s_by)^T，其各元素表示转子在传感器坐标下的径向位移。

根据牛顿第二定律和陀螺技术方程，可得磁悬浮转子的径向平动和转动的动力学模型分别如下：

式中，Ω为转子绕惯性坐标系下Z轴旋转的角速度，即转子转速；J_r和J_p分别为磁悬浮转子的赤道转动惯量和极转动惯量；m为磁悬浮转子质量；l_m为径向磁轴承中心到广义坐标系坐标原点N的距离；f_x和f_y分别为转子在X轴和Y轴方向受到的轴承力合力；M_α和M_β分别为转子在X轴和Y轴方向上受到的合力矩。

将上述径向平动模型和转动模型合成为矩阵，可得径向四自由度转子动力学模型如下：

其中，M为广义质量矩阵，G为陀螺矩阵，f_i为广义力矢量。当磁轴承转子在平衡位置附近做小位移运动时，对非线性轴承力方程进行Taylor级数展开可得线性化方程：

f_m＝k_iI_m+k_hh_m

其中，I_m为径向磁轴承线圈电流矢量，k_i和k_h分别为磁悬浮转子系统电流刚度系数和位移刚度系数。假设磁悬浮转子给定任意悬浮位置为0，则电流矢量I_m可以表示为：

I_m＝-k_adG_w(s)G_c(s)h_s

式中，k_ad为AD采样放大倍数，G_w(s)和G_c(s)分别为磁悬浮转子系统功率放大器传递函数和控制器传递函数。

转子的质量不平衡是指，当磁悬浮转子的几何轴和惯性轴不重合时，由于转子动力学方程的变量是相对于磁悬浮转子惯性轴位移的，从而产生不平衡振动。在广义坐标系下，定义转子质量不平衡为：

上式中，

和

分别为X轴方向的静不平衡和动不平衡分量；

和

分别为Y轴方向的静不平衡和动不平衡分量；γ和χ分别为静不平衡幅值和初始相位，σ和δ分别为动不平衡幅值和初始相位。

由于转子的机械加工精度误差和材料的不均匀等的影响，磁悬浮转子系统的位移传感器会因为检测面圆度的不理想、材质的不均匀、剩磁特性不同等因素，输出信号将会出现同频和倍频的正弦信号，即传感器谐波误差。则传感器谐波噪声信号在传感器坐标系下可建模为：

式中，i为谐波次数；s_ai和s_bi分别为A、B两端传感器谐波中的第i次谐波分量幅值；a_si和b_si为第i次谐波分量初始相位。

位移传感器输出信号在传感器坐标系下可表示为：

上式中

为广义坐标系到传感器坐标系的转换矩阵。

综合上述分析可以得出，含有转子质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子系统的动力学方程为：

上式中，

为磁轴承坐标系到广义坐标系的转换矩阵，k_s为位移传感器增益系数。同时，从上式中可以看出，由于转子质量不平衡和传感器谐波等振动源的存在，导致磁悬浮转子系统产生振动。

如下图3所示，为带有转子质量不平衡Δh和传感器谐波h_sr的磁悬浮转子系统控制原理图，图中R(s)为参考输入信号，G_p(s)为被控对象，即磁悬浮转子传递函数。磁悬浮转子控制系统将径向位移传感器所测位移信号与给定悬浮位置比较后得到的误差信号作为控制器的输入信号，控制器输出控制信号送入功率放大器中，输出控制电流，磁轴承线圈通过输出的控制电流产生相应的电磁力，作用于磁悬浮转子上不断调整其悬浮位置，直到磁悬浮转子稳定悬浮于给定的位置。

进一步地有：

上式中，等式左边为轴承力，即广义力的表达式，等式右边为电流刚度力和位移刚度力的表达式，可见磁悬浮转子系统的振动力由电流刚度力和位移刚度力两部分组成。

其中，

为磁悬浮转子系统的灵敏度函数，I_4×4为单位矩阵，

为广义坐标系到位移传感器坐标系的转换矩阵，

为广义坐标系到磁轴承坐标系的转换矩阵，G_p(s)＝(Ms²+Gs)^-1为被控对象，即磁悬浮转子传递函数。

步骤2：基于步骤1中所建立的磁悬浮转子系统动力学模型，设计基于分数阶重复控制算法的磁悬浮转子系统振动力抑制方法。

基于步骤1中建立的动力学模型，可知磁悬浮转子系统振动力包括电流刚度力和位移刚度力等两部分，且磁悬浮转子系统的谐波振动力主要表现为奇次倍频扰动，因而所述一种基于分数阶重复控制的磁悬浮转子系统振动力抑制方法包括两部分：首先采用一种奇次谐波分数阶重复控制算法对电流刚度力进行抑制，然后采用一种基于PI控制的旋转坐标变换算法对位移刚度力进行补偿，两种算法相互独立，最终实现磁悬浮转子系统振动力的完全抑制。

①针对电流刚度力，首先确定该奇次谐波分数阶重复控制算法的离散化传递函数；然后以功率放大器输出电流作为该奇次谐波分数阶重复控制算法的输入，再将该奇次谐波分数阶重复控制算法的输出正反馈至功率放大器的输入端，之后得出功率放大器的输出电流表达式，分析该电流在上述奇次谐波分数阶重复控制算法的作用下的变化情况，即可得出电流刚度力是否被抑制；同时，为提高电流刚度力抑制精度，对分数阶延迟滤波器进行设计；另外，为确保加入该奇次谐波分数阶重复控制算法后磁悬浮转子系统能够正常运行，得出对应的稳定性条件。

步骤2中，所述的一种奇次谐波分数阶重复控制算法具体包括：

1、算法分析

本发明中所提的一种奇次谐波分数阶重复控制算法的离散化传递函数G_OFORC(z)可表示为：

上式中，k_rc表示重复控制增益系数(取值范围由稳定性条件决定)，C(z)和Q(z)分别为相位补偿滤波器和维持重复控制算法稳定性的低通滤波器离散化传递函数，G_F(z)为分数阶延迟滤波器离散化传递函数；D为重复控制延迟阶数整数部分，D的值可由式

确定，其中T₀为干扰信号周期，T_s为磁悬浮转子系统采样周期，F为重复控制延迟阶数小数部分。

本发明中低通滤波器Q(z)为移动平均滤波器，离散化传递函数为：

Q(z)＝0.25z+0.5+0.25z^-1

根据基本系统系统函数相频特性，可以得到重复控制相位补偿滤波器C(z)表达式为：

将上述奇次谐波分数阶重复控制算法传递函数代入基本系统，即未添加任何振动力抑制算法的磁悬浮转子系统，确定功率放大器输出电流I(z)表达式为：

其中，

为基本系统灵敏度传递函数，G_c(z)、G_w(z)和G_p(z)分别为控制器、功率放大器和被控对象的离散化传递函数，R(z)为参考输入信号离散化传递函数，通常取常数0，k_s为位移传感器增益系数，x_d(z)为等效扰动离散化传递函数，

为重复控制延迟阶数。

当低通滤波器Q(z)为移动平均滤波器时，该低通滤波器在系统频带内的幅频响应值为1，则有：

式中，e为自然常数，j为虚数单位，ω为角频率，k为整数，分析可得：当k取正奇数时，即k＝1,3,5,…时，

由I(z)表达式进一步得到，此时功率放大器输出电流I(z)为零，即在奇次谐波分数阶重复控制算法作用下，磁悬浮转子控制系统的谐波电流为零，由动力学模型可知，电流刚度力为零，即磁悬浮转子系统的电流刚度力得到了有效地抑制。

所述一种奇次谐波分数阶重复控制算法中分数阶延迟滤波器设计如下：

由前述可得

D为重复控制延迟阶数整数部分，F为重复控制延迟阶数小数部分，则上述奇次谐波分数阶重复控制算法的分数阶延迟z^-F经泰勒级数展开后，可得：

上式中M为多项式阶数，当M→∞时，o(F^M+1)→0，则有：

则分数阶延迟滤波器的离散化传递函数G_F(z)可以表示为：

上式中，L_k(z)为子滤波器传递函数，可采用拉格朗日插值方法设计。分析可得，随着阶数M的增大，分数阶延迟滤波器的近似程度越来越高，但系统的计算负担也越大及计算时间也相应的延长，因而此处将该分数阶延迟滤波器的阶数定为二阶，则可得：

G_F(z)＝L₀(z)+L₁(z)F+L₂(z)F²＝1+(-1.5+2z^-1-0.5z^-2)F+(0.5-z^-1+0.5z^-2)F²

最终，可以得出含有上述奇次谐波分数阶重复控制算法的磁悬浮转子系统的控制框图如下图4所示，图中L为高频段相位补偿阶数。

2、稳定性分析

根据前述分析，添加所提奇次谐波分数阶重复控制算法后，磁悬浮转子控制系统功率放大器输出电流I(z)可表示为：

定义添加所提奇次谐波分数阶重复控制算法后，控制系统的灵敏度函数S₁(z)表示为：

由上式可得闭环系统s域特征方程为：

所提奇次谐波分数阶重复控制算法中所采用的低通滤波器Q(s)为移动平均滤波器，即一种零相移低通滤波器，幅频响应为1，相频响应为0，因而可令：

则系统的重构谱函数为：

上式中F(s)为系统函数，令F(s)|_s＝jω＝L(ω)e^jα(ω)，C(s)|_s＝jω＝K(ω)e^jβ(ω)，其中L(ω)和α(ω)分别为F(s)|_s＝jω的幅频响应和相频响应，K(ω)和β(ω)分别为C(s)|_s＝jω的幅频响应和相频响应，则可以得出：

|1+k_rcL(ω)K(ω)e^{j[α(ω)+β(ω)]}|＝|1+P(ω)e^jλ(ω)|＝|1+P(ω)cosλ(ω)+jP(ω)sinλ(ω)|＜1

由于上式有解且P(ω)＞0，将上式不等号两边表达式同时取平方便可得出：

同时，可得重复控制算法增益系数k_rc的取值为：

综上所述，可以得出本发明所提一种奇次谐波分数阶重复控制算法的两个充分稳定性条件为：

1)未加入所提奇次谐波分数阶重复控制算法时，磁悬浮转子控制系统的闭环传递函数是渐近稳定的；

2)重复控制增益系数k_rc和λ(ω)的取值需满足：

λ(ω)∈(90°,270°)。

②针对位移刚度力，采用一种基于PI控制的旋转坐标变换算法进行补偿。首先确定基于PI控制的旋转坐标变换算法的复系数传递函数，该基于PI控制的旋转坐标变换算法包括：PI控制器、正变换矩阵和逆变换矩阵；然后，将磁悬浮转子系统的控制器输入信号作为该基于PI控制的旋转坐标变换算法的输入，该旋转坐标变换算法首先将输入交流信号转变成直流信号，然后利用PI控制器的无静差跟踪特性对该直流信号进行处理，之后将处理后的直流信号逆变换回交流信号并将输出负反馈至所述奇次谐波分数阶重复控制算法的输入端，得出磁悬浮转子系统振动力的表达式，分析位移刚度力的补偿情况及磁悬浮转子系统振动力的抑制效果；另外，为确保加入该旋转坐标变换算法后，磁悬浮转子系统能够正常工作，得出相应的稳定性条件；此外，该基于PI控制的旋转坐标变换算法能够实现同时对两个通道的控制，极大地提高了工作效率。如图5所示为位移刚度力补偿控制系统框图，图中R_x(s)和R_y(s)分别为磁悬浮转子控制系统X通道和Y通道参考输入，H_x(s)和H_y(s)分别为X通道和Y通道输出信号。

所述步骤(2)中，一种基于PI控制的旋转坐标变换算法包括：

1、算法分析

本发明中的一种基于PI控制的旋转坐标变换算法的基本控制原理框图如下图6所示，其中，r_x(t)、r_y(t)和c_x(t)、c_y(t)分别为该旋转坐标变换算法中对应X通道和Y通道的输入信号和输出信号，

为相位补偿角，图中，

为正变换矩阵，

为PI控制器传递函数，

为逆变换矩阵。

通过对PI控制器和相位调制角进行设计，可提高系统的动态响应性能和补偿精度，同时确保系统在全工作转速范围内具有足够的稳定裕度，为便于分析，引入复系数变量，则图6所示基本控制原理框图可等效为如图7所示的等效框图。由图7所示控制原理框图，可得上述一种基于PI控制的旋转坐标变换算法的传递函数G_SRFT(s)表示为：

式中，k_{p_sr}和k_{i_sr}分别为PI控制器的比例增益系数和积分增益系数。令s＝jω，且k_{p_sr},k_{i_sr}≠0，则有：

进一步地，对上述传递函数G_SRFT(jω)的幅频特性进行分析可以得出如下结论：

由上式可以看出，所采用的基于PI控制的旋转坐标变换算法可以实现无跟踪误差提取位移刚度力同频信号，且不影响其他信号。

现对图5所示位移刚度力补偿控制系统框图做如图8所示的等效简化操作，则由图8可以得出当该基于PI控制的旋转坐标变换算法和上述奇次分数阶重复控制算法共同作用于原控制系统时，系统输出轴承力f可以表示为：

实际实验中，在零参考输入条件下，对表现为同频分量的位移刚度力补偿性能进行分析时，R(s)和h_sr(s)均可认为为0，当角频率等于转子转速时，则轴承力f的值为0，即磁悬浮转子系统的振动力可以得到有效地抑制。

2、稳定性分析

令

则由图8可以得出，当该基于PI控制的旋转坐标变换算法和上述奇次分数阶重复控制算法共同作用于原控制系统时，系统输出轴承力f为：

则此时系统的闭环特征方程为：

[1-2k_hG_p(s)][1-G_OFORC(s)G_w(s)]+2k_sk_iG_p(s)[G_c(s)G_w(s)-G_SRF(s)G_OFORC(s)G_w(s)]＝0

定义

为当仅由所述奇次谐波分数阶重复控制算法作用于基本系统时系统函数，同时令ψ(s)＝2k_hG_p(s)G_OFORC(s)F₁(s)，则上述闭环特征方程可简化为：

由上式可知，当k_{i_sr}＝0时，s＝jΩ，因而可令s为因变量，k_{i_sr}为自变量，对s求k_{i_sr}的偏导数，则求上式的偏微分方程表示如下：

若要使加入上述旋转坐标变换算法后系统保持稳定，则需使系统闭环特征方程的根均位于复平面的左半平面，因而可得如下稳定性条件：

其中，arg[·]是幅角，通过设计相应的相位补偿角和PI控制器中比例增益系数以满足所提出的稳定条件，保证工作转速范围内的磁悬浮转子控制系统的稳定性，最终实现振动力的抑制，通过调节相位补偿角和PI控制器中比例增益系数即使磁轴承控制系统在不同转速时实现闭环稳定。

尽管上述对本发明说明性的具体实施方式进行了描述，以便于本技术领域的技术人员理解本发明，且应该清楚，本发明不限定于具体实施方式的范围，对本技术领域的普通技术人员来讲，只要各种变化在所附的权利要求限定和确定的本发明的精神和范围内，这些变化是显而易见的，一切利用本发明构思的发明创造均在保护之列。

Claims (4)

1.一种基于分数阶重复控制的磁悬浮转子系统振动力抑制方法，其特征在于：所述磁悬浮转子系统包括控制器、功率放大器、磁铁、磁悬浮转子和位移传感器；首先，位移传感器将检测到的磁悬浮转子的位置信号传递给控制器，控制器根据预定的位置值与位移信号的差值输出控制信号，控制信号经由功率放大器输出控制电流，控制电流作用于磁铁产生磁力，磁力使得转子回复到给定位置，整个过程形成了闭环控制系统，其中以磁悬浮转子的一端为例，两对位移传感器在磁悬浮转子的径向相互正交放置，构成了相位相差90°的X通道和Y通道；另外，磁悬浮转子的几何轴和惯性轴分别为经过磁悬浮转子中心面中的几何中心和惯性中心并沿转子轴向的轴；

所述基于分数阶重复控制的磁悬浮转子系统振动力抑制方法包括下列步骤：

步骤1：基于磁悬浮转子系统振动力包括电流刚度力和位移刚度力，建立含有转子质量不平衡和位移传感器谐波的磁悬浮转子系统的动力学模型，如下：

上式中，等式左边为轴承力，即广义力的表达式，等式右边为电流刚度力和位移刚度力的表达式，磁悬浮转子系统的振动力由电流刚度力和位移刚度力两部分组成；

其中，

为磁悬浮转子系统的灵敏度函数，I_4×4为单位矩阵，

为磁轴承坐标系到广义坐标系的转换矩阵，

为广义坐标系到位移传感器坐标系的转换矩阵，

为广义坐标系到磁轴承坐标系的转换矩阵，G_p(s)为被控对象，即磁悬浮转子传递函数，k_s为位移传感器增益系数；k_i和k_h分别为磁悬浮转子系统的电流刚度系数和位移刚度系数；M为广义质量矩阵，G_w(s)和G_c(s)分别为磁悬浮转子系统的功率放大器传递函数和控制器传递函数；h_m为磁悬浮转子几何轴在磁轴承坐标系下的位移；h_I和h_g为磁悬浮转子的惯性轴和几何轴在广义坐标系N-XYZ中的位移分别表示，广义坐标系N-XYZ为以磁悬浮转子质心所在平面与A、B两端磁轴承定子中心点连线的交点N为坐标原点，Z轴沿磁轴承定子中心线，且由B指向A，X轴和Y轴位于转子质心平面内，且分别与X轴和Y轴径向位移传感器连线平行；在广义坐标系下，定义转子质量不平衡为Δh＝h_I-h_g；h_sr为位移传感器谐波误差；径向磁轴承线圈电流矢量I_m为：

I_m＝-k_adG_w(s)G_c(s)h_s

式中，k_ad为AD采样放大倍数；

为广义坐标系到位移传感器坐标系的转换矩阵，h_s为位移传感器输出信号；

步骤2：基于步骤1中建立的动力学模型，首先采用一种奇次谐波分数阶重复控制算法对电流刚度力进行抑制，然后采用一种基于PI控制的旋转坐标变换算法对位移刚度力进行补偿，最终实现磁悬浮转子系统振动力的完全抑制。

2.根据权利要求1所述的一种基于分数阶重复控制的磁悬浮转子系统振动力抑制方法，其特征在于：所述步骤2中，一种奇次谐波分数阶重复控制算法实现为：

(1)奇次谐波分数阶重复控制算法的离散化传递函数G_OFORC(z)：

上式中，k_rc表示重复控制增益系数，C(z)和Q(z)分别为相位补偿滤波器和维持重复控制算法稳定性的低通滤波器离散化传递函数，G_F(z)为分数阶延迟滤波器离散化传递函数；D为重复控制延迟阶数整数部分，D的值由式

确定，其中T₀为干扰信号周期，T_s为磁悬浮转子系统采样周期，F为重复控制延迟阶数小数部分；

(2)确定经步骤(1)中奇次谐波分数阶重复控制算法作用后，功率放大器输出电流I(z)：

将步骤(1)中奇次谐波分数阶重复控制算法离散化传递函数代入基本系统，即未添加任何振动力抑制算法的磁悬浮转子系统，确定功率放大器输出电流I(z)表达式为：

其中，

为基本系统灵敏度离散化传递函数，G_c(z)、G_w(z)和G_p(z)分别为控制器、功率放大器和被控对象的离散化传递函数，R(z)为参考输入信号离散化传递函数，k_s为位移传感器增益系数，x_d(z)为等效扰动离散化传递函数，

为重复控制延迟阶数；

当低通滤波器Q(z)为移动平均滤波器时，该低通滤波器在系统频带内的幅频响应值为1，则有：

式中，k为整数，π为圆周率，当k取正奇数时，即k＝1,3,5,…时，1+cos(kπ)＝0，由I(z)表达式进一步得到，此时功率放大器输出电流I(z)为零，即在奇次谐波分数阶重复控制算法作用下，磁悬浮转子控制系统的谐波电流为零，由动力学模型，电流刚度力为零，即磁悬浮转子系统的电流刚度力得到有效地抑制。

3.根据权利要求2所述的一种基于分数阶重复控制的磁悬浮转子系统振动力抑制方法，其特征在于：所述分数阶延迟滤波器设计如下：

分数阶延迟滤波器的离散化传递函数G_F(z)为：

上式中，F为重复控制延迟阶数小数部分，M为多项式阶数，k为自然数，L_k(z)为子滤波器离散化传递函数，可采用拉格朗日插值方法设计；

为确保加入所述奇次谐波分数阶重复控制算法后磁悬浮转子系统能够正常运行，基于步骤(1)中得到的奇次谐波分数阶重复控制算法传递函数，确定加入所述奇次谐波分数阶重复控制算法后磁悬浮转子系统能够正常运行的稳定条件为：

当添加上述奇次谐波分数阶重复控制算法后的磁悬浮转子控制系统满足如下条件时，是稳定的：

a.未加入所提奇次谐波分数阶重复控制算法时，磁悬浮转子控制系统的闭环传递函数是渐近稳定的；

b.重复控制增益系数k_rc和λ(ω)的取值需满足：

λ(ω)∈(90°,270°)；

上述稳定性条件中，λ(ω)为磁悬浮转子系统函数相位响应与奇次谐波分数阶重复控制算法中相位补偿滤波器传递函数相位响应之和，L(ω)和K(ω)分别为磁悬浮转子系统函数幅频响应表达式和奇次谐波分数阶重复控制算法中相位补偿滤波器传递函数幅频响应表达式。

4.根据权利要求1所述的一种基于分数阶重复控制的磁悬浮转子系统振动力抑制方法，其特征在于：所述步骤2中，基于PI控制的旋转坐标变换算法为：

(1)确定基于PI控制的旋转坐标变换算法的复系数传递函数G_SRFT(s)为：

式中，k_{p_sr}和k_{i_sr}分别为比例增益系数和积分增益系数，e为自然常数，j为虚数单位，

为相位补偿角，Ω为转子转速；

为实现振动力的完全抑制，需在上述添加奇次谐波分数阶重复控制算法对电流刚度力进行抑制的基础上，再加入基于PI控制的旋转坐标变换算法对位移刚度力进行补偿，当所述的奇次谐波分数阶重复控制算法和基于PI控制的旋转坐标变换算法共同作用于基本磁悬浮转子控制系统，即未添加任何振动抑制算法的磁悬浮转子系统时，磁悬浮转子系统输出轴承力f表示为：

在零参考输入条件下，对表现为同频分量的位移刚度力补偿性能进行分析时，R(s)和h_sr(s)均认为为0，当角频率等于转子转速时，轴承力f的值为0，即磁悬浮转子系统的振动力得到有效地抑制；

(2)基于步骤(1)中所建立的基于PI控制的旋转坐标变换算法的传递函数，确定同时作用有奇次谐波分数阶重复控制算法和基于PI控制的旋转坐标变换算法的磁悬浮转子控制系统稳定条件如下：

当同时含有一种奇次谐波分数阶重复控制算法和一种基于PI控制的旋转坐标变换算法的闭环系统相位满足如下条件时，磁悬浮转子系统是渐近稳定的：

其中，arg[·]是幅角，ψ(jΩ)＝2k_hG_p(jΩ)G_OFORC(jΩ)F₁(jΩ)，式中F₁(jΩ)为仅含上述奇次谐波分数阶重复控制算法的系统函数，通过设计相应的相位补偿角和PI控制中比例增益系数以满足所提出的稳定条件，保证工作转速范围内的磁悬浮转子控制系统的稳定性，最终实现振动力的抑制，通过调节相位补偿角和PI控制中比例增益系数即使磁轴承控制系统在不同转速时实现闭环稳定。

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