CN113486466A - 一种线接触弧齿锥齿轮修形方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种线接触弧齿锥齿轮修形方法，主要包括：建立线接触弧齿锥齿轮数学模型；确定大小轮加工方法，确定弧齿锥齿轮几何参数，基于微分几何和齿轮啮合原理，得到大轮加工齿面和小轮加工齿面方程；建立安装误差下线接触弧齿锥齿轮有限元模型，提取齿面接触应力、弹性变形；采用四阶传动误差齿面修正方法对小轮齿面沿接触迹线修形；小轮齿面在沿接触迹线修形的基础上进行全齿面修形，包括对特征点修形，对特征点拟合、插值进行齿面其余点修形。本发明的齿轮修形方法可缓解边缘效应，降低齿面接触应力及其对安装误差的敏感度，提高运算效率。

Description

一种线接触弧齿锥齿轮修形方法

技术领域

本发明涉及弧齿锥齿轮修形技术领域，具体涉及一种线接触弧齿锥齿轮的修形方法。

背景技术

弧齿锥齿轮是螺旋锥齿轮传动中的一类，被广泛应用于汽车、航空航天、矿山、机床、仪器等机械传动领域。由于弧齿锥齿轮齿面的复杂性，现有修形技术主要是以局部共轭原理为基础的，而局部共轭弧齿锥齿轮在实际应用中存在使用寿命低、啮合接触区小的问题。为扩大齿面接触区，提高齿轮寿命，近年来，线接触弧齿锥齿轮修形技术逐渐兴起，一些学者研究了共轭齿面修形技术。但线接触螺旋锥齿轮修形存在以下问题：(1)边缘效应严重，传统的共轭齿面修形对齿顶、齿根中点修形量小，而有限元分析显示，齿顶边缘效应最为严重，因而有必要对其进行修正。(2)求解复杂。在确定各齿面点处的修形量时需要计算出各点处的瞬时接触线方向，而求解展成法加工齿面的瞬时接触线计算量大，求解复杂。

发明内容

针对上述现有技术，本发明提出一种弧齿锥齿轮修形方法，可缓解边缘效应，降低齿面接触应力及其对安装误差的敏感度，提高运算效率。

为了解决上述技术问题，本发明提出的一种线接触弧齿锥齿轮修形方法，步骤如下：

步骤一：建立线接触弧齿锥齿轮数学模型；确定大小轮加工方法，确定弧齿锥齿轮几何参数，基于微分几何和齿轮啮合原理，得到大轮加工齿面和小轮加工齿面方程；

步骤二：建立线接触弧齿锥齿轮安装误差有限元模型，提取齿面接触应力、弹性变形，为接触线方向求解、齿顶中点修形量、齿根中点修形量奠定基础；

步骤三：采用四阶传动误差齿面修正方法对小轮齿面沿接触迹线修形，包括：首先确定齿面设计参考点，参考点处传动误差为0；然后确定齿面设计参考点初始啮合转角，从而得到四阶传动误差多项式，最终将含有四阶传动误差的多项式带入小轮齿面，得到满足四阶传动误差的小轮齿面；

步骤四：小轮齿面在沿接触迹线修形的基础上进行全齿面修形，包括：首先对如下特征点进行修行，所述特征点包括齿面网格划分的四个边界点以及齿顶中点、齿根中点、大端中点和小端中点，其中，齿顶中点与齿根中点根据公式确定修形量，大端中点与小端中点根据沿接触迹线和接触线方向进行修形，最后对上述所述的特征点拟合、插值进行齿面网格其余点修形。

进一步讲，本发明所述的线接触弧齿锥齿轮修形方法，步骤一中，

所述的大轮加工齿面方程如下：

式(1)中，r₂表示大轮加工齿面位置矢量，

为大轮齿面参数，其中，u₂和θ₂分别为大轮刀具切削面坐标参数，α₂为刀具齿形角，r₀₂为刀盘名义半径，W₂为刀顶距，

为大轮加工转角；大轮机床调整参数用向量λ₂＝[S₂,q₂,i_2c,δ_M2,E₂,X₂,X_B2]表示，包括：径向刀位S₂、角向刀位q₂、机床安装角δ_M2、轴向轮位X₂、垂直轮位E₂、床位X_B2以及加工滚比i_2c；

所述的小轮加工齿面方程如下：

式(2)中：r₁表示小轮加工齿面位置矢量，

为小轮齿面参数，其中，u₁和θ₁分别为小轮刀具切削面坐标参数，α₁为刀具齿形角，所述的刀具齿形角具体分为内刀齿形角α_1i和外刀齿形角α_1o，r₀₁为小轮刀盘刀尖半径，

表示小轮啮合转角；小轮机床调整参数用向量λ₁表示；包括摇台角Q、偏心角β、刀转角J、刀倾角I、机床安装角δ_M1、轴向轮位X₁、垂直轮位E₁、床位X_B1、滚比i_1c、二阶变性系数C₀和三阶变性系数D₀；f_c1表示大轮与小轮啮合方程。

步骤三的具体步骤如下：

步骤3-1)四阶传动误差表示为：

式(4)中，Z₁、Z₂分别为小轮齿数、大轮齿数，

分别为设计参考点处小轮、大轮初始啮合转角，

分别为小轮啮合转角、大轮啮合转角；δ₁为四阶传动误差多项式，a、b分别为多项式中的四次项及二次项系数；

设定小轮齿面中点为参考点，根据所述的小轮齿面方程确定设计参考点处的大小轮初始啮合转角，确定啮合转换点幅值，从而得到四阶传动误差表达式；

步骤3-2)建立小轮理论齿面方程，包括：

建立线接触弧齿锥齿轮副啮合坐标系，该坐标系中包括固定坐标系S₀、小轮坐标系S₁、大轮坐标系S₂和大轮辅助坐标系S_g，根据大轮和小轮坐标系的位置关系，得到小轮理论齿面方程：

r₁'＝M₁₀M_0gM_g2r₂ (4)

式(3)中：r₁'表示小轮加工齿面位置矢量，M_g2为大轮坐标系S₂到大轮辅助坐标系S_g的变换矩阵，M_0g为大轮辅助坐标系S_g到小轮固定坐标系S₀的变换矩阵，M₁₀为小轮固定坐标系S₀到小轮坐标系S₁的变换矩阵，

分别为小轮啮合转角、大轮啮合转角；

基于线接触弧齿锥齿轮加工方法，该方法参见公布号为CN110899860A，公布日为2020年3月24日的中国专利文献中披露的《一种线接触弧齿锥齿轮副数控加工方法》，小轮加工齿面与小轮理论齿面误差在2um内，采用对小轮理论齿面进行四阶误差修正，将式(3)代入式(4)，得到含四阶传动误差的小轮齿面；将四阶传动误差小轮齿面与加工齿面比较得到差齿面；

步骤3-3)确定齿面接触迹线方向，将大轮齿面接触迹线设置为直线，该接触迹线与根锥夹角为η，通过设计参考点O₂，将大轮齿面接触迹线转换到小轮齿面即可得到小轮齿面接触迹线。

步骤四的具体步骤如下：

步骤4-1)进行小轮齿面特征点修形，在小轮齿面标记A、B、C、D、E、F、G、H、O九个点，其中，A、B、C、D为齿面网格的四个边界点，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，O点为参考点，该参考点修形量为0；A、B、C、D、F、H点修形量由四阶传动误差修形与沿接触线修形确定，沿四阶传动误差修形量用δ₁表示沿接触线修形量用δ₂表示，如式(5)所示，总修形量用δ表示，如式(6)所示，

δ＝δ₁+δ₂ (6)

式(5)中，a为预置的接触线长度的一半，l为齿面任意点沿接触线方向到接触迹线点在切平面的投影长度；

基于步骤二有限元分析，将小轮齿面接触线投影到轴平面上，将投影接触线首末点连接，根据接触线所占网格数量求得小轮齿面接触线斜率，即为接触线方向；

设B点斜率比F点大0.2，D点斜率比H点小0.2，从而确定出齿面网格各点沿接触线的修形量；

步骤4-2)根据步骤二有限元分析将误差下齿顶大小轮的变形量进行叠加，所得即为齿轮副的综合弹性变形量，将其作为E点的修形量，如式(7)所示：

δ_e＝-0.0069*d²+1.25*d-33.25 (7)

式(7)中，δ_e为E点的修形量，d为小轮分度圆直径，单位：mm；

根据步骤二有限元分析将误差下齿根大小轮的变形量进行叠加，所得即为齿轮副的综合弹性变形量，将其作为G点的修形量，如式(8)所示：

δ_g＝-0.0035*d²+0.75*d-24.375 (8)

式(8)中，δ_g为G点的修形量，d为小轮分度圆直径，单位：mm；

步骤4-3)进行齿面其余点修形，包括：

步骤4-3-1)根据上述已求得的A、E、B点修形量求得齿顶其余点修形量：

首先，以E点建立坐标系，构建A点关于E点的对称点A₁，然后以A、E、A₁三点拟合出A-E间修形量，如式(9)所示：

式(9)中δ_a、δ_e、δ_a1分别为A、E、A₁各点的修形量，h_a为A点到E点的距离，m、n、p为多项式系数；根据拟合的公式进行齿面点修形量插值运算；

然后，构建B点关于E点的对称点B₁，以B、E、B₁三点拟合出B-E间修形量，如式(10)所示：

式(10)中，δ_b、δ_e、δ_b1分别表示B、E、B₁各点的修形量，h_b表示B点到E点的距离，m₁、n₁、p₁为多项式系数；根据拟合的公式进行齿面点修形量插值运算；

步骤4-3-2)根据上述已求得的C、G、D点修形量，按照步骤4-3-1)的过程求得齿根其余点修形量；

步骤4-3-3)根据上述已求得的A、H、D点修形量，按照步骤4-3-1)的过程求得大端其余点修形量；

步骤4-3-4)根据上述已求得的C、F、B点修形量，根据步骤4-3-1)的过程求得小端其余点修形量；

步骤4-4)小轮齿面上任一网格点位矢表示为：

式(11)中，

为修形前齿面网格点坐标，

为修形后齿面网格点坐标，δ^ij表示齿面网格点修形量，

为修形前齿面点法向量；分别对小轮齿面网格点进行修形，即可得到满足传动误差和齿面印痕的小轮齿面。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：

(1)线接触弧齿锥齿轮在误差下具有边缘效应显著、对安装误差敏感的特点。与传统方法相比，本发明能够有效缓解误差下齿轮边缘效应，降低安装误差的敏感度。

(2)本发明提出了基于拟合及插值算法的共轭差曲面求解方法，可有效提高运算效率。

(3)本发明的齿轮修形方法是一种基于有限元求解齿面接触线方向的方法，求解方便。

附图说明

图1是本发明方法的流程图；

图2是大轮和小轮啮合位置关系示意图；

图3是四阶传动误差曲线示意图；

图4是大轮齿面接触迹线示意图；

图5是小轮全齿面修形示意图。

具体实施方式

下面结合附图及具体实施例对本发明做进一步的说明，但下述实施例绝非对本发明有任何限制。

如图1所示，本发明提出了一种线接触弧齿锥齿轮修形方法，主要包括：建立线接触弧齿锥齿轮数学模型：以确定大小轮加工方法，确定弧齿锥齿轮几何参数，并基于微分几何和齿轮啮合原理得到大轮加工齿面和小轮加工齿面方程；建立线接触弧齿锥齿轮安装误差有限元模型，为接触线方向求解、齿顶中点修形量、齿根中点修形量奠定基础；小轮齿面采用四阶传动误差齿面修正方法从而对小轮齿面沿接触迹线修形；小轮齿面在沿接触迹线修形的基础上进行全齿面修形，首先特征点修形，然后对特征点拟合、插值进行齿面网格其余点修形。采用本发明方法可以有效缓解边缘效应，降低安装误差的敏感度，提高运算效率。具体步骤如下：

步骤一：建立线接触弧齿锥齿轮数学模型；确定大小轮加工方法，确定弧齿锥齿轮几何参数，基于微分几何和齿轮啮合原理，得到大轮加工齿面和小轮加工齿面方程；

(1)大轮齿面方程。建立线接触弧齿锥齿轮共轭齿面，确定弧齿锥齿轮基本参数，基于微分几何和齿轮啮合原理，确定大轮加工齿面方程：

式(1)中，r₂表示大轮加工齿面位置矢量，

为大轮齿面参数，u₂和θ₂分别为大轮刀具切削面坐标参数，α₂为刀具齿形角，r₀₂为刀盘名义半径，W₂为刀顶距，

为大轮加工转角，大轮机床调整参数用向量λ₂＝[S₂,q₂,i_2c,δ_M2,E₂,X₂,X_B2]表示，包括径向刀位S₂、角向刀位q₂、机床安装角δ_M2、轴向轮位X₂、垂直轮位E₂、床位X_B2以及加工滚比i_2c。

(2)小轮加工齿面方程：

式(2)中：r₁表示小轮加工齿面位置矢量，

为小轮齿面参数，u₁和θ₁分别为小轮刀具切削面坐标参数，α₁为刀具齿形角，具体分为内刀齿形角α_1i、外刀齿形角α_1o，r₀₁为小轮刀盘刀尖半径，

表示小轮啮合转角，小轮机床调整参数用向量λ₁表示。包括摇台角Q、偏心角β、刀转角J、刀倾角I、机床安装角δ_M1、轴向轮位X₁、垂直轮位E₁、床位X_B1、滚比i_1c、二阶变性系数C₀和三阶变性系数D₀。f_c1表示大轮与小轮啮合方程。

步骤二：建立线接触弧齿锥齿轮安装误差有限元模型，为接触线方向求解、齿顶中点修形量、齿根中点修形量奠定基础。

步骤三：采用四阶传动误差齿面修正方法对小轮齿面沿接触迹线修形，包括：首先确定齿面设计参考点，参考点处传动误差为0；然后确定齿面设计参考点初始啮合转角，从而得到四阶传动误差多项式，最终将含有四阶传动误差的多项式带入小轮齿面，得到满足四阶传动误差的小轮齿面。

采用四阶传动误差弧齿锥齿轮修形方法，如图3所示，具体步骤为：

四阶传动误差表示为：

式(4)中，Z₁、Z₂分别为小轮齿数、大轮齿数，

分别为设计参考点处小轮、大轮初始啮合转角，

分别为小轮啮合转角、大轮啮合转角；δ₁为四阶传动误差多项式，a、b分别为多项式中的四次项及二次项系数。

设定小轮齿面中点为参考点，根据所述的小轮齿面方程确定设计参考点处的大小轮初始啮合转角，确定啮合转换点幅值，从而得到四阶传动误差表达式。由于小轮加工齿面与小轮理论齿面误差在2um内，因而采用对小轮理论齿面进行四阶误差修正。

建立小轮理论齿面方程，包括：建立建立如图2所示的线接触弧齿锥齿轮副啮合坐标系，确定大轮和小轮坐标系的位置关系。图2中，该坐标系中包括固定坐标系S₀、小轮坐标系S₁、大轮坐标系S₂和大轮辅助坐标系S_g，根据大轮和小轮坐标系的位置关系，得到小轮理论齿面方程：

r₁'＝M₁₀M_0gM_g2r₂ (4)

式(3)中：r₁'表示小轮加工齿面位置矢量，M_g2为大轮坐标系S₂到大轮辅助坐标系S_g的变换矩阵，M_0g为大轮辅助坐标系S_g到小轮固定坐标系S₀的变换矩阵，M₁₀为小轮固定坐标系S₀到小轮坐标系S₁的变换矩阵，

分别为小轮啮合转角、大轮啮合转角。

将式(3)代入式(4)，得到含四阶传动误差的小轮齿面，将四阶传动误差小轮齿面与加工齿面比较得到差齿面。

确定齿面接触迹线方向，如图4所示，将大轮齿面接触迹线设置为直线，接触迹线与根锥夹角为η，通过设计参考点O₂，将大轮齿面接触迹线转换到小轮齿面即可得到小轮齿面接触迹线。

步骤四：小轮齿面在沿接触迹线修形的基础上进行全齿面修形，包括：首先对如下特征点进行修行，所述特征点包括齿面网格划分的四个边界点以及齿顶中点、齿根中点、大端中点和小端中点，其中，齿顶中点与齿根中点根据公式确定修形量，大端中点与小端中点根据沿接触迹线和接触线方向进行修形，最后对上述所述的特征点拟合、插值进行齿面网格其余点修形。具体内容如下：

小轮全齿面修形。

(1)进行小轮齿面特征点修形，在小轮齿面标记A、B、C、D、E、F、G、H、O九个点，如图5所示，其中，A、B、C、D为齿面网格的四个边界点，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，O点为参考点，该点修形量为0。A、B、C、D、F、H点修形量由四阶传动误差修形与沿接触线修形确定。沿四阶传动误差修形量用δ₁表示。沿接触线修形量用δ₂表示，根据式(5)确定。总修形量用δ表示，如式(6)所示，

δ＝δ₁+δ₂ (6)

式(5)和式(6)中，a为预置的接触线长度的一半；l为齿面任意点沿接触线方向到接触迹线点在切平面的投影长度。

在此提出一种确定接触线方向的方法，由于小轮齿面接触线为互不平行的直线，根据理论求解数据量庞大，基于步骤二有限元分析，可将小轮齿面接触线投影到轴平面上，将投影接触线首末点连接，根据接触线所占网格数量可以快速求得小轮齿面接触线斜率，即为接触线方向。

由于小轮齿面接触线斜率绝对值呈现逐渐变大的趋势，假设B点斜率比F点大0.2，D点斜率比H点小0.2，从而确定出齿面网格各点沿接触线的修形量；

(2)根据步骤二有限元分析显示，小轮齿顶弹性变形大，为减小边缘接触现象，将误差下齿顶大小轮的变形量进行叠加(即齿轮副的综合弹性变形量)，将其作为E点的修形量见式(7)：

δ_e＝-0.0069*d²+1.25*d-33.25 (7)

式(7)中，δ_e为E点的修形量，d为小轮分度圆直径，单位：mm；

根据步骤二有限元分析显示，小轮齿根弹性变形大，为减小边缘接触现象，将误差下齿根大小轮的变形量进行叠加(即齿轮副的综合弹性变形量)，将其作为G点的修形量，如式(8)所示：

δ_g＝-0.0035*d²+0.75*d-24.375 (8)

式(8)中，δ_g为G点的修形量，d为小轮分度圆直径，单位：mm。

(3)进行齿面其余点修形。已知A、E、B点修形量，首先以E点建立坐标系，构建A点关于E点的对称点A₁,然后以A、E、A₁三点拟合出A-E间修形量；见式(9)：

式(9)中δ_a、δ_e、δ_a1分别为A、E、A₁各点的修形量，h_a为A点到E点的距离，m、n、p为多项式系数。根据拟合的公式进行齿面点修形量插值运算。

然后构建B点关于E点的对称点B₁，以B、E、B₁三点拟合出B-E间修形量。见式(10)

式(10)中δ_b、δ_e、δ_b1分别表示B、E、B₁各点的修形量，h_b表示B点到E点的距离，m₁、n₁、p₁为多项式系数。根据拟合的公式进行齿面点修形量插值运算。

齿根C、G、D，大端A、H、D与小端C、F、B其余齿面网格各点按照上述相同方法进行拟合。

(4)小轮齿面上任一网格点位矢表示为：

式(11)中，

为修形前齿面网格点坐标，

为修形后齿面网格点坐标，δ^ij表示齿面网格点修形量，

为修形前齿面点法向量。分别对小轮齿面网格点进行修形，可得到满足传动误差和齿面印痕的小轮齿面。

实施例：以一齿数比11/32的弧齿锥齿轮副为例。取端面模数m＝6mm，中点螺旋角β＝35°，法向压力角α＝20°，齿面宽b＝32mm。设定工作齿面为小轮凹面与大轮凸面啮合，以此为例具体实施如下：

一、齿面建模

将小轮凹面离散化为15×13的齿面网格点，各齿面点坐标为：

二、小轮齿面沿接触迹线修形

小轮齿面四阶传动误差表示为：

预置的接触线长度7mm，大轮齿面接触迹线与根锥的夹角为20°。

四阶传动误差下小轮各点修形量如下所示。单位：μm

三、全齿面修形

(1)小轮齿面D点的接触线方向为k＝-0.36；小轮齿面B点的接触线方向为k＝-0.74；小轮齿面H点的接触线方向为k＝-0.38；小轮齿面A点的接触线方向为k＝-0.52；小轮齿面F点的接触线方向为k＝-0.61；小轮齿面C点的接触线方向为k＝-0.72。

(2)E点修形量δ_e为19μm，G点的修形量δ_g为15μm。

(3)齿面各点修形量如下所示。单位：μm：

(4)修形后小轮凹面离散点坐标：

对修形后弧齿锥齿轮进行有限元分析，大轮扭矩为1000N·m，与修形前对比。结果显示，修形前无误差齿面最大接触应力为3100Mpa，修形后无误差齿面最大接触应力为2449Mpa。修形前7级安装精度下最大齿面接触应力为4562Mpa，修形后7级安装精度下最大齿面接触应力为3260Mpa。

综上，本发明方法利用有限元与传统修形方法相结合确定齿面点修形量，将修形量与误差下弹性变形联系一起，弥补了传统方法齿顶边缘接触的现象，降低了齿面接触应力以及齿轮副对安装误差的敏感度。本发明方法基于拟合和插值方法确定齿面点修形量，与传统方法相比，有效提高运算效率。本发明中确定线接触弧齿锥齿轮接触线方向的方法，能够快速计算出接触线斜率。

尽管上面结合附图对本发明进行了描述，但是本发明并不局限于上述的具体实施方式，上述的具体实施方式仅仅是示意性的，而不是限制性的，本领域的普通技术人员在本发明的启示下，在不脱离本发明宗旨的情况下，还可以做出很多变形，这些均属于本发明的保护之内。

Claims (4)

1.一种线接触弧齿锥齿轮修形方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一：建立线接触弧齿锥齿轮数学模型；确定大小轮加工方法，确定弧齿锥齿轮几何参数，基于微分几何和齿轮啮合原理，得到大轮加工齿面和小轮加工齿面方程；

步骤二：建立线接触弧齿锥齿轮安装误差有限元模型，为接触线方向求解、齿顶中点修形量、齿根中点修形量奠定基础；

步骤三：采用四阶传动误差齿面修正方法对小轮齿面沿接触迹线修形，包括：首先确定齿面设计参考点，参考点处传动误差为0；然后确定齿面设计参考点初始啮合转角，从而得到四阶传动误差多项式，最终将含有四阶传动误差的多项式带入小轮齿面，得到满足四阶传动误差的小轮齿面；

步骤四：小轮齿面在沿接触迹线修形的基础上进行全齿面修形，包括：首先对如下特征点进行修行，所述特征点包括齿面网格划分的四个边界点以及齿顶中点、齿根中点、大端中点和小端中点，其中，齿顶中点与齿根中点根据公式确定修形量，大端中点与小端中点根据沿接触迹线和接触线方向进行修形，最后对上述所述的特征点拟合、插值进行齿面网格其余点修形。

2.根据权利要求1所述的线接触弧齿锥齿轮修形方法，其特征在于，步骤一中，

所述的大轮加工齿面方程如下：

式(1)中，r₂表示大轮加工齿面位置矢量，

为大轮齿面参数，其中，u₂和θ₂分别为大轮刀具切削面坐标参数，α₂为刀具齿形角，r₀₂为刀盘名义半径，W₂为刀顶距，

为大轮加工转角；大轮机床调整参数用向量λ₂＝[S₂,q₂,i_2c,δ_M2,E₂,X₂,X_B2]表示，包括：径向刀位S₂、角向刀位q₂、机床安装角δ_M2、轴向轮位X₂、垂直轮位E₂、床位X_B2以及加工滚比i_2c；

所述的小轮加工齿面方程如下：

式(2)中：r₁表示小轮加工齿面位置矢量，

为小轮齿面参数，其中，u₁和θ₁分别为小轮刀具切削面坐标参数，α₁为刀具齿形角，所述的刀具齿形角具体分为内刀齿形角α_1i和外刀齿形角α_1o，r₀₁为小轮刀盘刀尖半径，

表示小轮啮合转角；小轮机床调整参数用向量λ₁表示；包括摇台角Q、偏心角β、刀转角J、刀倾角I、机床安装角δ_M1、轴向轮位X₁、垂直轮位E₁、床位X_B1、滚比i_1c、二阶变性系数C₀和三阶变性系数D₀；f_c1表示大轮与小轮啮合方程。

3.根据权利要求2所述的线接触弧齿锥齿轮修形方法，其特征在于，步骤三具体步骤如下：

步骤3-1)四阶传动误差表示为：

式(4)中，Z₁、Z₂分别为小轮齿数、大轮齿数，

分别为设计参考点处小轮、大轮初始啮合转角，

分别为小轮啮合转角、大轮啮合转角；δ₁为四阶传动误差多项式，a、b分别为多项式中的四次项及二次项系数；

设定小轮齿面中点为参考点，根据所述的小轮齿面方程确定设计参考点处的大小轮初始啮合转角，确定啮合转换点幅值，从而得到四阶传动误差表达式；

步骤3-2)建立小轮理论齿面方程，包括：

建立线接触弧齿锥齿轮副啮合坐标系，该坐标系中包括固定坐标系S₀、小轮坐标系S₁、大轮坐标系S₂和大轮辅助坐标系S_g，根据大轮和小轮坐标系的位置关系，得到小轮理论齿面方程：

r₁'＝M₁₀M_0gM_g2r₂ (4)

式(3)中：r₁'表示小轮加工齿面位置矢量，M_g2为大轮坐标系S₂到大轮辅助坐标系S_g的变换矩阵，M_0g为大轮辅助坐标系S_g到小轮固定坐标系S₀的变换矩阵，M₁₀为小轮固定坐标系S₀到小轮坐标系S₁的变换矩阵，

分别为小轮啮合转角、大轮啮合转角；

基于线接触弧齿锥齿轮加工方法，小轮加工齿面与小轮理论齿面误差在2um内，采用对小轮理论齿面进行四阶误差修正，将式(3)代入式(4)，得到含四阶传动误差的小轮齿面；将四阶传动误差小轮齿面与加工齿面比较得到差齿面；

步骤3-3)确定齿面接触迹线方向，将大轮齿面接触迹线设置为直线，该接触迹线与根锥夹角为η，通过设计参考点O₂，将大轮齿面接触迹线转换到小轮齿面即可得到小轮齿面接触迹线。

4.根据权利要求3所述的线接触弧齿锥齿轮修形方法，其特征在于，步骤四的具体步骤如下：

步骤4-1)进行小轮齿面特征点修形，在小轮齿面标记A、B、C、D、E、F、G、H、O九个点，其中，A、B、C、D为齿面网格的四个边界点，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，O点为参考点，该参考点修形量为0；A、B、C、D、F、H点修形量由四阶传动误差修形与沿接触线修形确定，沿四阶传动误差修形量用δ₁表示沿接触线修形量用δ₂表示，如式(5)所示，总修形量用δ表示，如式(6)所示，

δ＝δ₁+δ₂ (6)

式(5)中，a为预置的接触线长度的一半，l为齿面任意点沿接触线方向到接触迹线点在切平面的投影长度；

基于步骤二有限元分析，将小轮齿面接触线投影到轴平面上，将投影接触线首末点连接，根据接触线所占网格数量求得小轮齿面接触线斜率，即为接触线方向；

设B点斜率比F点大0.2，D点斜率比H点小0.2，从而确定出齿面网格各点沿接触线的修形量；

步骤4-2)根据步骤二有限元分析将误差下齿顶大小轮的变形量进行叠加，所得即为齿轮副的综合弹性变形量，将其作为E点的修形量，如式(7)所示：

δ_e＝-0.0069*d²+1.25*d-33.25 (7)

式(7)中，δ_e为E点的修形量，d为小轮分度圆直径，单位：mm；

根据步骤二有限元分析将误差下齿根大小轮的变形量进行叠加，所得即为齿轮副的综合弹性变形量，将其作为G点的修形量，如式(8)所示：

δ_g＝-0.0035*d²+0.75*d-24.375 (8)

式(8)中，δ_g为G点的修形量，d为小轮分度圆直径，单位：mm；

步骤4-3)进行齿面其余点修形，包括：

步骤4-3-1)根据上述已求得的A、E、B点修形量求得齿顶其余点修形量：

首先，以E点建立坐标系，构建A点关于E点的对称点A₁，然后以A、E、A₁三点拟合出A-E间修形量，如式(9)所示：

式(9)中δ_a、δ_e、δ_a1分别为A、E、A₁各点的修形量，h_a为A点到E点的距离，m、n、p为多项式系数；根据拟合的公式进行齿面点修形量插值运算；

然后，构建B点关于E点的对称点B₁，以B、E、B₁三点拟合出B-E间修形量，如式(10)所示：

式(10)中，δ_b、δ_e、δ_b1分别表示B、E、B₁各点的修形量，h_b表示B点到E点的距离，m₁、n₁、p₁为多项式系数；根据拟合的公式进行齿面点修形量插值运算；

步骤4-3-2)根据上述已求得的C、G、D点修形量，按照步骤4-3-1)的过程求得齿根其余点修形量；

步骤4-3-3)根据上述已求得的A、H、D点修形量，按照步骤4-3-1)的过程求得大端其余点修形量；

步骤4-3-4)根据上述已求得的C、F、B点修形量，根据步骤4-3-1)的过程求得小端其余点修形量；

步骤4-4)小轮齿面上任一网格点位矢表示为：

式(11)中，

为修形前齿面网格点坐标，

为修形后齿面网格点坐标，δ^ij表示齿面网格点修形量，

为修形前齿面点法向量；分别对小轮齿面网格点进行修形，即可得到满足传动误差和齿面印痕的小轮齿面。

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