CN108446524B - 一种用于数控加工的弧齿锥齿轮的建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种用于数控加工的弧齿锥齿轮的建模方法，步骤包括根据弧齿锥齿轮的轮坯参数求解仿真切齿的的参数、建立仿真切齿坐标系并得到各个坐标系之间的变换关系、齿面离散化及构建齿面和轮坯轴截面的关系、建立完全共轭齿面求解数学模型并编程计算、在三维软件中建立齿轮副三维模型。本发明方法求解所需参数少，求解方便，有利于编程计算；利用数学优化方法，将齿面求解问题转化为多维约束条件下的最优化问题进行求解，可以求解包括齿根过渡曲面在内的完整的齿面点坐标，因此可以得到完整的齿面模型；适用于根切等极限情况；可以得到一对任意模数的、完全共轭啮合的、精确的弧齿锥齿轮副模型。

Description

一种用于数控加工的弧齿锥齿轮的建模方法

技术领域

本发明涉及弧齿锥齿轮技术领域，具体涉及一种用于数控加工的弧齿锥齿轮的建模方法。

背景技术

弧齿锥齿轮是螺旋锥齿轮传动中的一类，被广泛应用于汽车、航空航天、矿山、机床、仪器等机械传动领域。随着数控加工技术的进步和多轴联动数控机床的广泛应用，弧齿锥齿轮也越来越多地采用多轴联动数控加工中心进行加工，尤其是大模数的弧齿锥齿轮。因此，对弧齿锥齿轮的几何模型的精度要求也越来越高。现有的弧齿锥齿轮建模方法多是基于离散齿面点进行构建的，获得方法有：根据Gleason加工方法的展成加工过程求解啮合方程、仿真切削获得和测量实际齿面点的坐标。第一种最为精确，应用最多。但是目前的齿面点求解及建模方法存在以下问题：(1)依据Gleason加工方法进行建模时，机床调整参数众多，求解复杂，不利于编程计算；(2)只能得到近似共轭即呈点接触的弧齿锥齿轮副，无法得到完全共轭的齿轮副三维模型；(3)用啮合方程求解齿面点坐标，只能求得参与啮合部分的齿面点坐标，无法求解齿根过渡曲面上的齿面点坐标，而且当发生根切等极限情况时，用啮合方程无法求解。以上几个方面的缺陷，都影响到弧齿锥齿轮建模的精确性，制约了弧齿锥齿轮多轴联动数控加工技术的发展和应用。

发明内容

针对现有技术，为建立完整的、高精度的弧齿锥齿轮齿面模型和三维模型，本发明提出一种用于数控加工的弧齿锥齿轮的建模方法，包括以下步骤：

步骤一、根据弧齿锥齿轮的轮坯参数求解仿真切齿的参数：

所述弧齿锥齿轮的轮坯参数包括弧齿锥齿轮的外锥距R_e、中点锥距R_m、中点螺旋角β和大端齿槽厚E_e，所述仿真切齿的参数包括仿真切齿的齿线半径r_D、产形轮中心到齿线中心的距离e和产形轮齿线转角λ，其中，所述产形轮的齿线转角是指将平面产形轮的凹面齿线绕产形轮轴线旋转到与凸面齿线重合时所转过的角度；

r_D＝R_e

步骤二、按照仿真切齿时的相对位置关系建立仿真切齿坐标系：

所述仿真切齿坐标系包括产形轮固定坐标系S_g、轮坯的固定坐标系S_w、与产形轮齿面所在圆锥的轴线固联的动坐标系S_t、与产形轮轴线固联的动坐标系S_d、与轮坯轴线固联的动坐标系S_p；

上述各坐标系之间的位置关系为：轮坯的固定坐标系S_w由产形轮固定坐标系S_g绕其自身X_g轴顺时针旋转90°+δ得到，δ为弧齿锥齿轮的节锥角；与产形轮轴线固联的动坐标系S_d由产形轮固定坐标系S_g绕其自身Z_g轴逆时针转ψ得到，ψ是产形轮的总转角，ψ是关于产形轮转角φ_g的函数；与产形轮齿面所在圆锥的轴线固联的动坐标系S_t由与产形轮轴线固联的动坐标系S_d沿其自身Y_d轴平移距离e得到；与轮坯轴线固联的动坐标系S_p由轮坯的固定坐标系S_w绕其自身Z_w轴顺时针转φ得到，φ为轮坯的转角；

并根据上述的各坐标系之间的位置关系得到各个坐标系之间的变换关系M_dt，M_gd，M_gw，M_wp；M_dt表示与产形轮齿面所在圆锥的轴线固联的动坐标系S_t到与产形轮轴线固联的动坐标系S_d的变换关系；M_gd表示与产形轮轴线固联的动坐标系S_d到产形轮固定坐标系S_g的变换关系；M_gw表示轮坯的固定坐标系S_w到产形轮固定坐标系S_g的变换关系；M_wp表示与轮坯轴线固联的动坐标系S_p到轮坯的固定坐标系S_w的变换关系；

步骤三、构建齿轮齿面和轮坯轴截面的关系：

在轮坯上建立坐标系S_L，所述坐标系S_L由与轮坯轴线固联的动坐标系S_p逆时针旋转η得到，所述坐标系S_L到轮坯轴线固联的动坐标系S_p的变换关系记为M_pL；在坐标系S_L的X_LO_LZ_L平面上的轮坯轴截面内划分m×n的网格，使每列网格垂直于节锥，每行网格均匀分布，求解轴截面内的网格点坐标(z_L，x_L)；构建从网格点发出的圆弧射线，半径为x_L，所述圆弧射线的终点均在齿轮齿面上；

步骤四、建立齿面求解数学模型：

在与产形轮齿面所在圆锥的轴线固联的动坐标系S_t下，切削面方程为：

求凹面时取-，求凸面时取+；

在产形轮固定坐标系S_g下，切削面方程为：

r_t ^(g)＝M_gdM_dtr_t ^(t)

在坐标系S_L下，齿轮的齿面方程为

在与轮坯轴线固联的动坐标系S_p下，齿轮的齿面方程为：

r^(p)＝M_pLr^(L)

在产形轮固定坐标系S_g下，齿轮的齿面方程为：

r^(g)＝M_gwM_wpr^(p)

依据切削面与齿轮齿面的接触条件

T＝r_t ^(g)-r^(g)＝0

并用下述传动比关系

化简得到等式约束1：

式中，p、q分别是圆弧射线起点至终点的矢量在坐标系S_L的Y_L坐标轴和X_L坐标轴上的投影；u、θ是切削面方程的参数；α_n是法向压力角；φ_g是产形轮的转角；φ是轮坯的转角；

等式约束2：

不等式约束1：

对于小轮凸面和大轮凹面：p＞0,q＜0；

对于小轮凹面和大轮凸面：p＜0,q＜0；

不等式约束2：

式中，u(ⁱ)是第i列齿面点对应的参数u，h_fe是齿轮的大端齿根高；b是齿面宽；

在满足等式约束1、2和不等式约束1、2时，求解目标函数

h_min＝p²+q²

求解第i列齿面点时，对应第i列网格点和代入i值的不等约束条件2，将求得的p、q代入r^(p)＝M_pLr^(L)即可求得齿面点坐标；

步骤五、利用上述得到的齿面点坐标在三维软件中建立齿廓曲线，利用齿廓曲线构建齿面模型，然后，进一步构建齿轮副的三维模型。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：

(1)基于仿真切齿方法建立齿面求解数学模型，无需众多的参数，求解方便，有利于编程计算；

(2)利用数学优化方法求解齿面点坐标，而非利用传统的啮合条件进行求解，可以求解弧齿锥齿轮的齿根过渡曲面上的离散齿面点，从而得到完整的齿面模型，而且适用于根切等极限情况；

(3)按照以往的建模方法只能得到局部共轭的弧齿锥齿轮副三维模型，而利用本发明建模方法可以得到一对任意模数的、精确的、完全共轭啮合的弧齿锥齿轮三维模型。

附图说明

图1是本发明中仿真切齿参数示意图；

图2是本发明中仿真切齿坐标系示意图；

图3是本发明中齿面离散化示意图；

图4是利用本发明建模方法建立的小轮的三维模型；

图5是利用本发明建模方法建立的与图4所示小轮啮合的大轮的三维模型。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明技术方案作进一步详细描述，所描述的具体实施例仅对本发明进行解释说明，并不用以限制本发明。

利用本发明提出的用于数控加工的弧齿锥齿轮的建模方法，其中：

一、小轮的建模步骤如下：

(1)根据弧齿锥齿轮的轮坯参数求解仿真切齿的参数。轮坯的参数可根据有关公式计算。如图1所示，A′B′为凹面齿线，A″B″为凸面齿线，

为小轮产形轮中心，O′为凹面齿线中心，O″为凸面齿线中心，b为齿面宽，仿真切齿的参数可按下式进行计算：

r_D＝R_e

式中，λ₁是小轮产形轮齿线转角，E_e1是小轮大端齿槽厚。

(2)如图2所示，建立仿真切齿坐标系。图中，

为小轮产形轮固定坐标系，

为小轮轮坯的固定坐标系，

为与小轮产形轮齿面所在圆锥的轴线固联的动坐标系，

为与小轮产形轮轴线固联的动坐标系，

为与小轮轮坯轴线固联的动坐标系。

各坐标系之间的位置关系为：

由

绕其自身X_g1轴顺时针旋转90°+δ₁得到，δ₁是小轮的节锥角；

由

绕其自身

轴逆时针旋转ψ₁得到，切削小轮凹面时ψ₁＝ψ₀+φ_g1，切削小轮凸面时ψ₁＝ψ₀+λ₁+φ_g1，ψ₀是产形轮的初始转角，可由产形轮转角范围导出，φ_g1是小轮产形轮的转角；

由

沿其自身

轴正方向平移距离e得到；

由

绕其自身

轴顺时针旋转φ₁得到，φ₁为小轮轮坯的转角。

得到各个坐标系之间的变换关系

表示与小轮产形轮齿面所在圆锥的轴线固联的动坐标系

到与小轮产形轮轴线固联的动坐标系

的变换关系；

表示与小轮产形轮轴线固联的动坐标系

到小轮产形轮固定坐标系

的变换关系；

表示小轮轮坯的固定坐标系

到小轮产形轮固定坐标系

的变换关系；

表示与小轮轮坯轴线固联的动坐标系

到小轮轮坯的固定坐标系

的变换关系；

(3)齿面离散化并构建齿面和轮坯轴截面的关系。如图3所示，

是与小轮轮坯轴线固联的动坐标系

的坐标原点，在轮坯上建立坐标系

其原点

与

重合，由与小轮轮坯轴线固联的动坐标系

逆时针旋转η得到，在坐标系

的

平面上的轮坯轴截面内划分m×n的网格，使每列网格垂直于节锥，每行网格均匀分布，求解轴截面内的网格点坐标

构建从网格点发出的圆弧射线D′D，半径为

终点在小轮齿面，并得到

表示坐标系

到小轮轮坯轴线固联的动坐标系

的变换关系。

(4)建立小轮齿面求解数学模型。

在与小轮产形轮齿面所在圆锥的轴线固联的动坐标系

下，切削面方程为：

求凹面时取-，求凸面时取+；

在小轮产形轮固定坐标系

下，切削面方程为：

在坐标系

下，小轮的齿面方程为：

在与小轮轮坯轴线固联的动坐标系

下，小轮的齿面方程为：

在小轮产形轮固定坐标系

下，小轮的齿面方程为：

依据接触条件建立等式约束条件

并用如下传动比关系

进行化简得到等式约束1：

式中，p、q分别是圆弧射线起点至终点的矢量在坐标系

的

坐标轴和

坐标轴上的投影；u₁、θ₁是切削面方程的参数；α_n是法向压力角；φ_g1是小轮产形轮的转角；φ₁是小轮轮坯的转角；

等式约束2：

不等式约束1：

p＜0,q＜0(小轮凹面)

p＞0,q＜0(小轮凸面)

不等式约束2：

式中，

是第i列齿面点对应的参数u₁，h_fe1是小轮的大端齿根高，b是齿面宽。

目标函数为：

h_min＝p²+q²

在满足等式约束1、2和不等式约束1、2时，求解目标函数，求解第i列齿面点时，对应第i列网格点和代入i值的不等约束条件2，将每次求得的p、q值代入

即可得小轮的凹面点坐标和凸面点坐标。

(5)利用离散的齿面点在三维软件中建立齿廓曲线，利用齿廓曲线构建齿面模型，再进一步构建小轮的三维模型。

二、大轮的建模步骤如下：

(1)根据弧齿锥齿轮的轮坯参数求解仿真切齿的参数，仿真切齿的参数可按下式进行计算：

r_D＝R_e

式中，λ₂是大轮产形轮齿线转角，E_e2是大轮大端齿槽厚。

(2)建立大轮的仿真切齿坐标系，

为大轮产形轮固定坐标系，

为大轮轮坯的固定坐标系，

为与大轮产形轮齿面所在圆锥的轴线固联的动坐标系，

为与大轮产形轮轴线固联的动坐标系，

为与大轮轮坯轴线固联的动坐标系。

各坐标系之间的位置关系为：

由

绕其自身

轴顺时针旋转90°+δ₂得到，δ₂是大轮的节锥角；

由

绕其自身

轴逆时针转ψ₂得到，切削大轮凹面时ψ₂＝ψ₀₂+φ_g2，切削大轮凸面时ψ₂＝ψ₀₂+φ_g2-λ₂，ψ₀₂是大轮产形轮的初始转角，φ_g2是大轮产形轮的转角；

由

沿其自身

轴负方向平移距离e得到；

由

绕其自身

轴顺时针转φ₂得到，φ₂为大轮轮坯的转角。

得到各个坐标系之间的变换关系

表示与大轮产形轮齿面所在圆锥的轴线固联的动坐标系

到与大轮产形轮轴线固联的动坐标系

的变换关系；

表示与大轮产形轮轴线固联的动坐标系

到大轮产形轮固定坐标系

的变换关系；

表示大轮轮坯的固定坐标系

到大轮产形轮固定坐标系

的变换关系；

表示与大轮轮坯轴线固联的动坐标系

到大轮轮坯的固定坐标系

的变换关系。

(3)齿面离散化并构建齿面和轮坯轴截面的关系。在大轮轮坯上建立坐标系

由与大轮轮坯轴线固联的动坐标系

逆时针旋转η得到，在坐标系

的

平面上的轮坯轴截面内划分m×n的网格，使每列网格垂直于节锥，每行网格均匀分布，求解轴截面内的网格点坐标

构建从网格点发出的圆弧射线，半径为

终点在大轮齿面，并得到

表示坐标系

到大轮轮坯轴线固联的动坐标系

的变换关系。

(4)建立大轮齿面求解数学模型。

在与大轮产形轮齿面所在圆锥的轴线固联的动坐标系

下，切削面方程为：

求凹面时取-，求凸面时取+；

在大轮产形轮固定坐标系

下，切削面方程为：

在坐标系

下，大轮的齿面方程为：

在与大轮轮坯轴线固联的动坐标系

下，齿轮的齿面方程为：

在大轮产形轮固定坐标系

下，齿轮的齿面方程为：

依据接触条件建立等式约束条件

并用相应传动比关系

进行化简得到等式约束1：

式中，p、q分别是圆弧射线起点至终点的矢量在坐标系

的

坐标轴和

坐标轴上的投影；u₂、θ₂是切削面方程的参数；α_n是法向压力角；φ_g2是大轮产形轮的转角；φ₂是大轮轮坯的转角；

等式约束2：

不等式约束1：

p＞0,q＜0(大轮凹面)

p＜0,q＜0(大轮凸面)

不等式约束2：

式中，

是第i列齿面点对应的参数u₂，h_fe2是大轮的大端齿根高，b是齿面宽。

目标函数为：

h_min＝p²+q²

在满足等式约束1、2和不等式约束1、2时，求解目标函数，求解第i列齿面点时，对应第i列网格点和代入i值的不等约束条件2，将每次求得的p、q值代入

即可得大轮的凹面点坐标和凸面点坐标。

(5)利用离散的齿面点在三维软件中建立齿廓曲线，利用齿廓曲线构建齿面模型，再进一步构建大轮的三维模型。

综上，本发明建模方法的主要特征为：求解所需参数少，有利于编程计算；利用数学优化方法，将齿面求解问题转化为多维约束条件下的最优化问题进行求解，可以求解包括齿根过渡曲面在内的完整的齿面点坐标，因此可以得到完整的齿面模型；适用于根切等极限情况；可以得到一对任意模数的、完全共轭啮合的、精确的弧齿锥齿轮副模型。

实施例：按上述方法模拟建立了齿数比为11/29的弧齿锥齿轮副三维模型。大端模数m＝10mm，中点螺旋角β＝35°，法向压力角α_n＝20°，齿面宽b＝48mm。具体实施如下：

一、小轮建模

(1)根据前述公式求得仿真切齿参数r_D＝155.0806mm，e＝133.8353mm，λ₁＝0.0796rad。

(2)建立仿真切齿坐标系，根据坐标系之间的相对位置关系得到相应坐标变换关系：

步骤(3)、(4)同前所述，设m＝9，n＝15，求解凹面时η＝60°，求解凸面时η＝-50°，求得的齿面点坐标为：

凹面：

41.0953009955814 18.8564120250134 97.3745518476105

40.2528834260263 17.1836340621400 97.9236652254377

39.3312487713126 15.6205023211355 98.4727786032649

38.3343630683859 14.1771154848125 99.0218919810921

37.2657861179721 12.8659786514492 99.5710053589192

36.1279031908076 11.7045509386500 100.1201187367464

……

凸面：

45.1924670375785 -1.4244161722912 97.3745518476105

43.7670082277385 -0.1445492437580 97.9236652254377

42.3082497295569 0.9794016014513 98.4727786032649

40.8257010218632 1.9432270587815 99.0218919810921

39.3288274304374 2.7414511844761 99.5710053589192

37.8271405968816 3.3659078869700 100.1201187367464

……

(5)利用齿面点坐标构建齿廓曲线，再构建小轮的三维模型，结果如图4所示。

二、大轮建模

(1)根据前述公式求得仿真切齿参数r_D＝155.0806mm，e＝133.8353mm，λ₂＝0.1254rad。

(2)建立仿真切齿坐标系，根据坐标系之间的相对位置关系得到相应坐标变换关系：

步骤(3)、(4)同前所述，设m＝9，n＝15，求解凹面时η＝-50°，求解凸面时η＝35°，求得的齿面点坐标为：

凹面：

73.0537990806759 -69.9095108082397 35.3543271784753

73.1282940807991 -69.1094999939287 36.6654619703447

73.1847409066913 -68.3229966722821 37.9765967622141

73.2262669186435 -67.4426616931396 39.4743897758702

73.2421584842264 -66.5837153561231 40.9721827895262

73.2309513622342 -65.7486454561339 42.4699758031822

……

凸面：

83.1908189581296 -57.4759506458383 35.3543271784753

82.4232408494239 -57.7085760737218 36.6654619703447

81.6648120575843 -57.9214696590102 37.9765967622141

80.8095594023548 -58.1413268879633 39.4743897758702

79.9660434594448 -58.3372678782262 40.9721827895262

79.1340039911669 -58.5103924876623 42.4699758031822

……

(5)利用齿面点坐标构建齿廓曲线，再构建大轮的三维模型，结果如图5所示。

尽管上面结合附图对本发明进行了描述，但是本发明并不局限于上述的具体实施方式，上述的具体实施方式仅仅是示意性的，而不是限制性的，本领域的普通技术人员在本发明的启示下，在不脱离本发明宗旨的情况下，还可以做出很多变形，这些均属于本发明的保护之内。

Claims (1)

1.一种用于数控加工的弧齿锥齿轮的建模方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤一、根据弧齿锥齿轮的轮坯参数求解仿真切齿的参数：

所述弧齿锥齿轮的轮坯参数包括弧齿锥齿轮的外锥距R_e、中点锥距R_m、中点螺旋角β和大端齿槽厚E_e，所述仿真切齿的参数包括仿真切齿的齿线半径r_D、产形轮中心到齿线中心的距离e和产形轮齿线转角λ，其中，所述产形轮的齿线转角是指将平面产形轮的凹面齿线绕产形轮轴线旋转到与凸面齿线重合时所转过的角度；

r_D＝R_e

步骤二、按照仿真切齿时的相对位置关系建立仿真切齿坐标系：

所述仿真切齿坐标系包括产形轮固定坐标系S_g、轮坯的固定坐标系S_w、与产形轮齿面所在圆锥的轴线固联的动坐标系S_t、与产形轮轴线固联的动坐标系S_d、与轮坯轴线固联的动坐标系S_p；

上述各坐标系之间的位置关系为：轮坯的固定坐标系S_w由产形轮固定坐标系S_g绕其自身X_g轴顺时针旋转90°+δ得到，δ为弧齿锥齿轮的节锥角；与产形轮轴线固联的动坐标系S_d由产形轮固定坐标系S_g绕其自身Z_g轴逆时针转ψ得到，ψ是产形轮的总转角，ψ是关于产形轮转角φ_g的函数；与产形轮齿面所在圆锥的轴线固联的动坐标系S_t由与产形轮轴线固联的动坐标系S_d沿其自身Y_d轴平移距离e得到；与轮坯轴线固联的动坐标系S_p由轮坯的固定坐标系S_w绕其自身Z_w轴顺时针转φ得到，φ为轮坯的转角；

并根据上述的各坐标系之间的位置关系得到各个坐标系之间的变换关系M_dt，M_gd，M_gw，M_wp；M_dt表示与产形轮齿面所在圆锥的轴线固联的动坐标系S_t到与产形轮轴线固联的动坐标系S_d的变换关系；M_gd表示与产形轮轴线固联的动坐标系S_d到产形轮固定坐标系S_g的变换关系；M_gw表示轮坯的固定坐标系S_w到产形轮固定坐标系S_g的变换关系；M_wp表示与轮坯轴线固联的动坐标系S_p到轮坯的固定坐标系S_w的变换关系；

步骤三、齿面离散化并构建齿轮齿面和轮坯轴截面的关系：

在轮坯上建立坐标系S_L，所述坐标系S_L由与轮坯轴线固联的动坐标系S_p逆时针旋转η得到，所述坐标系S_L与轮坯轴线固联的动坐标系S_p的变换关系记为M_pL；在坐标系S_L的X_LO_LZ_L平面上的轮坯轴截面内划分m×n的网格，使每列网格垂直于节锥，每行网格均匀分布，求解轴截面内的网格点坐标(z_L，x_L)；构建从网格点发出的圆弧射线，半径为x_L，所述圆弧射线的终点均在齿轮齿面上；

步骤四、建立齿面求解数学模型：

在与产形轮齿面所在圆锥的轴线固联的动坐标系S_t下，切削面方程为：

求凹面时取-，求凸面时取+；

在产形轮固定坐标系S_g下，切削面方程为：

r_t ^(g)＝M_gdM_dtr_t ^(t)

在坐标系S_L下，齿轮的齿面方程为：

在与轮坯轴线固联的动坐标系S_p下，齿轮的齿面方程为：

r^(p)＝M_pLr^(L)

在产形轮固定坐标系S_g下，齿轮的齿面方程为：

r^(g)＝M_gwM_wpr^(p)

依据切削面与齿轮齿面的接触条件

T＝r_t ^(g)-r^(g)＝0

并用下述传动比关系

化简得到等式约束1：

式中，p、q分别是圆弧射线起点至终点的矢量在坐标系S_L的Y_L坐标轴和X_L坐标轴上的投影；u、θ是切削面方程的参数；α_n是法向压力角；φ_g是产形轮的转角；φ是轮坯的转角；

等式约束2：

不等式约束1：

对于小轮凸面和大轮凹面：p＞0,q＜0；

对于小轮凹面和大轮凸面：p＜0,q＜0；

不等式约束2：

式中，u⁽ⁱ⁾是第i列齿面点对应的参数u，h_fe是齿轮的大端齿根高；b是齿面宽；在满足等式约束1、2和不等式约束1、2时，求解目标函数

h_min＝p²+q²

求解第i列齿面点时，对应第i列网格点和代入i值的不等约束条件2，将求得的p、q代入r^(p)＝M_pLr^(L)即可求得齿面点坐标；

步骤五、利用上述得到的齿面点坐标在三维软件中建立齿廓曲线，利用齿廓曲线构建齿面模型，然后，进一步构建齿轮副的三维模型。

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