CN113192180B - 一种基于插齿加工原理的椭圆齿轮参数化精确建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于插齿加工原理的椭圆齿轮参数化精确建模方法，包括步骤一，确定插齿加工时轮坯与齿刀的相对运动关系；步骤二，建立齿刀齿廓方程；步骤三，推导齿轮坐标系与齿刀坐标系的变换关系；步骤四，推导椭圆齿轮与齿刀的啮合方程；步骤五，根据齿刀与椭圆齿轮的啮合关系，推导椭圆齿轮的齿廓曲线方程。本发明基于插齿加工原理精确获取了椭圆齿轮齿廓曲线的方程，建立的齿根过渡曲线与齿轮的真实齿形完全吻合，为准确探究齿轮的强度及啮合性能奠定了基础。本发明开发的椭圆齿轮参数化建模程序，同时能够建立高阶椭圆齿轮和节曲线内凹的椭圆齿轮，功能完备，适用性强。

Description

一种基于插齿加工原理的椭圆齿轮参数化精确建模方法

技术领域

本发明涉及一种基于插齿加工原理的椭圆齿轮参数化精确建模方法，属于椭圆齿轮三维建模技术领域。

背景技术

齿轮传动是机械传动中最重要的传动形式之一，普通圆齿轮只能以固定的传动比进行传动，随着现代工业和科技的发展，固定传动比的传动形式已经不能满足某些特殊场合的需要，因此需要一种能够传递变传动比的齿轮传动形式，椭圆齿轮由此走入人们的视野，随着现代数控加工技术和计算机技术的发展，椭圆齿轮在设计和制造方面的难题逐渐得到解决，这也使得椭圆齿轮应用越来越广泛。

随着椭圆齿轮的广泛应用，对其进行啮合性能仿真分析以及数控加工研究就显得尤为重要，而这些都需要以椭圆齿轮实体模型为基础，因此精确、高效地建立实体模型对于椭圆齿轮的性能分析及应用研究具有十分重要的意义。例如中国专利文献CN101251181B公告了一种斜齿椭圆齿轮及其三维精确建模与实体成型制造方法，该方法是通过模拟斜齿条与斜齿椭圆齿轮啮合原理，利用标准法面参数斜齿条刀具节线平面与斜齿椭圆齿轮轮坯节曲线柱面始终保持相切且纯滚动的相对展成运动，在三维设计软件中用斜齿条斜齿面精确包络出斜齿椭圆齿轮空间齿廓曲面，从而直接获得斜齿椭圆齿轮三维模型。由此，再利用快速成型技术即可获得斜齿椭圆齿轮成型制造实体。

椭圆齿轮的实际模型是通过加工得到的，要精确地建立椭圆齿轮实体模型，最有效的方法是根据加工原理精确获得椭圆齿轮的齿廓曲线，尤其要确保对齿轮强度影响很大的齿根过渡曲线的建模精度。现阶段对椭圆齿轮的加工方法主要有滚齿、插齿和铣齿等方法，其中插齿是操作最简单，对设备要求最低的一种方法，因此得到了普遍应用。椭圆齿轮的建模过程比普通圆柱齿轮更加复杂，且椭圆齿轮每一个轮齿的齿形都不一样，传统的齿轮建模方法并不适用于椭圆齿轮。目前，在椭圆齿轮三维模型创建方面，大多使用的是当量齿轮法和仿真加工法，当量齿轮法建立的模型齿根过渡曲线都是用圆弧近似代替，并不能反映真实的齿根过渡曲线形状；仿真加工法在三维软件中模拟齿条刀具加工椭圆齿轮，利用布尔操作切割轮坯实体，建立的模型齿面不光滑，可操作性和实用性均较差。用这两种方法建立的齿轮模型，建模精度难以有效保证，进行啮合性能仿真分析时会产生较大的误差，若用作加工模型则难以保证实体加工的精确性，并且这两种方法计算及建模过程繁琐，工作量较大，当修改齿轮参数后需要重新进行大量计算和建模工作。因此，设计一种基于插齿加工原理的椭圆齿轮参数化精确建模方法是非常有实用性价值的。

发明内容

针对现有技术的不足，本发明提供一种基于插齿加工原理的椭圆齿轮参数化精确建模方法。

本发明的技术方案如下：

一种基于插齿加工原理的椭圆齿轮参数化精确建模方法，包括以下步骤：

步骤一，确定插齿加工时轮坯与齿刀的相对运动关系；

步骤二，建立齿刀齿廓方程；

步骤三，推导齿轮坐标系与齿刀坐标系的变换关系；

步骤四，推导椭圆齿轮与齿刀的啮合方程；

步骤五，根据齿刀与椭圆齿轮的啮合关系，推导椭圆齿轮的齿廓曲线方程。

优选的，所述步骤一具体包括：使齿轮节曲线椭圆长轴处于水平位置，设定a点为节曲线椭圆的长轴端点，r₀为端点a到左焦点O₁的距离；以端点a作为坐标原点O建立空间固定坐标系OXY，水平方向为X轴，竖直方向为Y轴；再分别以O₁和O₂为原点建立与齿轮轮坯和齿刀固连的动坐标系O₁X₁Y₁和O₂X₂Y₂，在初始加工位置，O₂与O重合，X₁轴与X轴重合，Y₁轴与Y轴平行，X₂轴与X轴平行，Y₂轴与Y轴重合，齿刀节线与齿轮节曲线在a点相切；

为便于计算，建立与齿轮轮坯固连的极坐标系，取O₁为极点，极坐标轴与X₁轴重合，则a点的极坐标为(0,r₀)，齿轮的节曲线极坐标方程可表示为

式中r为节曲线上任意一点的极径，

为其对应的极角，

设齿轮轮坯转角为θ_i时，齿刀插削第N个齿，N为正整数，此时齿刀节线与齿轮节曲线在

点相切；O₁到X轴的距离为a_i，齿刀竖直向下移动的距离为y_i，M为齿刀齿廓与齿轮齿廓的切点；根据齿刀与齿轮轮坯的相对位置关系，可得椭圆齿轮节曲线向径与切线正方向的夹角μ_i为：

式中：n为椭圆齿轮阶数，n为正整数，取1≤n≤5；k为椭圆齿轮偏心率0＜k＜1；

点a和点b间的节曲线弧长l_i可表示为：

由式(2)可知，节曲线弧长l_i为节曲线极角

的函数，为了表示方便，将上式表示为：

则

可表示为：

式中：Φ^-1为Φ的反函数；

齿轮轮坯转过的角度θ_i可表示为：

齿刀沿竖直方向移动的距离y_i为：

式中：A为椭圆齿轮长轴半径；

齿轮旋转中心O₁到X轴的距离a_i可表示为：

优选的，所述步骤二具体包括：设定齿刀参数，其中w_a为齿顶宽，w为节线处齿宽，r_p为齿顶圆角半径，P₀点为齿廓与节线的交点，s为齿廓CD段上切削点M与P₀间的距离，ξ为齿顶圆弧上任意点与该圆弧起始点之间所夹的圆心角，l_a为CP₀段齿廓的长度，α₀为刀具齿形角，m为模数，

为齿顶高系数，

为齿根高系数；齿刀在加工椭圆齿轮第N个齿时，在与齿刀固连的坐标系O₂X₂Y₂下，齿刀齿廓各段的数学方程如下，

AB段：

式中，x₂₁、y₂₁分别为齿刀齿廓AB段上点的横、纵坐标；

BC段：

式中，x₂₂、y₂₂分别为齿刀齿廓BC段上点的横、纵坐标；

CD段：

式中，x₂₃、y₂₃分别为齿刀齿廓CD段上点的横、纵坐标,s的取值范围为

为齿根高系数，c^*为顶隙系数；

DE段不参与切削，无需数学方程式表示；

EF段：

式中，x₂₄、y₂₄分别为齿刀齿廓EF段上点的横、纵坐标,s的取值范围为

FG段：

式中，x₂₅、y₂₅分别为齿刀齿廓FG段上点的横、纵坐标,ξ的取值范围为α₀≤ξ≤π/2；

GH段：

式中，x₂₆、y₂₆分别为齿刀齿廓AB段上点的横、纵坐标。

优选的，所述步骤三具体包括：由齿轮啮合原理可知，在齿轮加工过程中，齿刀与齿坯齿廓的切削点M在坐标系O₁X₁Y₁中的运动轨迹即为椭圆齿轮的齿廓线，M点在坐标系O₂X₂Y₂中的轨迹即为齿刀的齿廓线；

将在动坐标系O₂X₂Y₂中表达的刀具齿廓方程，通过坐标变换，变换到被加工齿轮坐标系O₁X₁Y₁中，则此时齿刀齿廓方程在坐标系O₁X₁Y₁中的表达式即为齿轮齿廓方程；坐标系OXY与O₁X₁Y₁的坐标变换关系为：

式中，x、y为切削点M在坐标系OXY中的横、纵坐标，x₁、y₁为将M点变换到坐标系O₁X₁Y₁后的坐标；

坐标系OXY与O₂X₂Y₂的坐标变换关系为：

式中，x₂、y₂为切削点M在坐标系O₂X₂Y₂中的横、纵坐标；

由式(14)和式(15)可以得到，坐标系O₁X₁Y₁与O₂X₂Y₂的坐标变换关系为：

优选的，所述步骤四具体包括：b点为齿轮与齿刀运动的速度瞬心，且位于齿条齿廓与齿轮齿廓在M点的公法线上，角α_i为M点处公法线n-n与齿轮节曲线切线间的夹角，可表示为：

角α_i同时也为齿刀齿廓与y₂轴的夹角，因此α_i还可以表示为：

式中，dx₂、dy₂分别为齿刀齿廓曲线横、纵坐标的微分；

联立式(17)和式(18)，即可得到齿刀加工椭圆齿轮的平面啮合方程：

根据加工过程中切削点M在坐标系O₂X₂Y₂中的坐标，可求出轮坯与齿刀的位置关系，从而求得M点在坐标系O₁X₁Y₁中的坐标。

优选的，所述步骤五具体包括：根据啮合关系，将坐标系O₂X₂Y₂中各段齿刀齿廓线方程变换到坐标系O₁X₁Y₁中，即可得到相应段的齿轮齿廓曲线方程；

齿轮第N个齿右齿根线由齿刀AB段切削而成，其方程为：

式中，x₁₁、y₁₁分别为齿轮第N个齿右齿根线在坐标系O₁X₁Y₁中的横、纵坐标，y₂₁为自变量，取值范围为-w+(N-1)πm≤y₂₁≤-w+w_a/2+(N-1)πm；由式(5)、(6)、(7)可知，未知量θ_i、y_i和a_i均为

的函数，由式(4)、(8)和(19)可知，

为变量y₂₁的函数：

则式(20)转化为只有一个自变量y₂₁的方程；

所述齿轮第N个齿左齿根线由齿刀GH段切削而成，其方程为：

式中，x₁₆、y₁₆分别为第N个齿左齿根线在坐标系O₁X₁Y₁中的横、纵坐标，y₂₆为自变量，取值范围为w-w_a/2+(N-1)πm≤y₂₆≤w+(N-1)πm；由式(5)、(6)、(7)可知，未知量θ_i、y_i和a_i均为

的函数，由式(4)、(13)和(19)可知，

为变量y₂₆的函数：

则式(22)转化为只有一个自变量y₂₆的方程；

所述齿轮第N个齿右齿根过渡曲线由齿刀BC段切削而成，其方程为：

式中，x₁₂、y₁₂分别为第N个齿右齿根过渡曲线在坐标系O₁X₁Y₁中的横、纵坐标，ξ为自变量，取值范围为0≤ξ≤π/2-α₀；由式(5)、(6)、(7)可知，未知量θ_i、y_i和a_i均为

的函数，由式(4)、(9)和(19)可知，

为变量ξ的函数：

则式(24)转化为只有一个自变量ξ的方程；

所述齿轮第N个齿左齿根过渡曲线由齿刀FG段切削而成，其方程为：

式中，x₁₅、y₁₅分别为第N个齿左齿根过渡曲线在坐标系O₁X₁Y₁中的横、纵坐标，ξ为自变量，取值范围为α₀≤ξ≤π/2；由式(5)、(6)、(7)可知，未知量θ_i、y_i和a_i均为

的函数，由式(4)、(12)和(19)可知，

为变量ξ的函数：

则式(26)转化为只有一个自变量ξ的方程；

所述齿轮第N个齿右齿廓工作廓线由齿刀CD段切削而成，其方程为：

式中，x₁₃、y₁₃分别为第N个齿右齿廓工作廓线在坐标系O₁X₁Y₁中的横、纵坐标，s为自变量，取值范围为

由式(5)、(6)、(7)可知，未知量θ_i、y_i和a_i均为

的函数，由式(4)、(10)和(19)可知，

为变量s的函数：

则式(28)转化为只有一个自变量s的方程；

所述齿轮第N个齿左齿廓工作廓线由齿刀EF段切削而成，其方程为：

式中，x₁₄、y₁₄分别为第N个齿左齿廓工作廓线在坐标系O₁X₁Y₁中的横、纵坐标，s为自变量，取值范围为

由式(5)、(6)、(7)可知，未知量θ_i、y_i和a_i均为

的函数，由式(4)、(11)和(19)可知，

为变量s的函数：

则式(30)转化为只有一个自变量s的方程。

一种在ANSYS软件中建立椭圆齿轮实体模型的方法，基于ANSYS软件的APDL编程语言，所述方法包括如下步骤：

(1)参数定义，包括节曲线参数、齿轮基本参数和标准参数，在建模过程中直接使用参数代号进行数据传递；节曲线参数包括椭圆齿轮阶数n，偏心率k，长轴半径A；齿轮基本参数包括模数m、齿数z、齿宽B、轴孔半径r_Z、键槽轴深t和键槽毂深t₁；标准参数包括齿刀齿形角α₀、齿顶高系数

齿根高系数

和齿顶圆角半径系数

(2)参数赋值，建模时需要赋值的参数为n、k、m、z、B、r_Z、t、t₁、α₀、

和

所有参数的取值均写入参数文件，供建模时读取；

(3)节曲线长轴半径计算，赋值完成后，利用APDL编程语言编程计算椭圆齿轮节曲线的长轴半径A，长轴半径A的计算公式如下：

式中，

(4)根切校验，椭圆齿轮的根切校验式：

式中，m_max为椭圆齿轮不发生根切的最大模数，

为齿刀齿顶非修圆部分的高度系数；

利用APDL编程语言编程判断齿轮是否会产生根切，如果齿轮发生根切，则程序会弹出错误提示框，并自动终止建模；

(5)确定椭圆齿轮轮齿的初始建模位置，椭圆齿轮参数化精确建模时，将节曲线椭圆的长轴方向置于水平方向，令第一个轮齿齿顶处的齿宽中点位于水平线上，或令第一个轮齿齿根处的齿槽中点位于水平线上；

(6)生成齿顶线，所述椭圆齿轮齿顶线为节曲线的法向等距线，其方程为：

式中，r_a为齿顶线的极径，r为椭圆节曲线的极径，h_a为椭圆齿轮的齿顶高，

为齿顶线的极角，

为节曲线的极角，

μ由式(35)求得；

利用式(34)计算齿顶线关键点坐标，利用APDL编程生成关键点，并将关键点拟合成一条齿顶线；

(7)建立齿廓点列，利用齿廓曲线方程分别计算各段齿廓曲线上关键点序列的坐标，然后利用循环命令*DO，按照右齿根线、右齿根过渡曲线、右齿廓工作廓线、左齿廓工作廓线、左齿根过渡曲线、左齿根线的顺序，依次建立各段齿廓曲线的关键点序列；

(8)拟合齿廓点并裁剪齿廓线，将右齿根线、右齿根过渡曲线、右齿廓工作廓线、左齿廓工作廓线、左齿根过渡曲线、左齿根线各段齿廓点列用曲线拟合命令SPLIN分别拟合成样条曲线，并利用裁剪命令LSBL去除左、右齿廓工作廓线超出齿顶线的部分以及齿顶线多余部分；

(9)建立齿顶倒角，利用倒角命令LFILLT对齿顶进行倒角，分别在左、右齿廓工作廓线和齿顶线间生成齿顶倒角；

(10)建立单个轮齿的齿面点阵，为了使齿面点阵更加均匀，在建立了完整的齿廓曲线及齿顶线之后，分别在各段齿廓线上用均匀取点命令KL均匀取点，形成齿廓点列，然后将齿廓点列沿齿宽方向阵列，生成单个轮齿的齿面点阵；

(11)生成单个轮齿齿廓曲面，将齿廓点阵中所有点的坐标信息写入到txt文件，并利用基于APDL编写的双三次B样条曲面插值程序生成单个轮齿的齿面；

(12)生成实体模型，利用*DO循环命令，按照生成单个轮齿齿廓曲面的流程，建立椭圆一个周期内所有轮齿的齿廓曲面，再将单个周期的齿廓曲面按周期数进行旋转阵列，生成全部轮齿的齿廓曲面；然后利用面生成命令AL，由所有轮齿前、后端面的边界曲线生成齿轮前、后端面；最后利用体生成命令VA，由前后端面和所有轮齿的齿廓曲面生成齿轮实体，并利用布尔运算VSBV在齿轮实体上创建轴孔和键槽，完成椭圆齿轮的实体模型创建。

一种服务器，包括：

一个或多个处理器；

存储装置，其上存储有一个或多个程序，

当所述一个或多个程序被所述一个或多个处理器执行，使得所述一个或多个处理器实现上述的方法。

一种计算机可读介质，其上存储有计算机程序，其中，该计算机程序被处理器执行时实现上述的方法。

本发明的技术特点和有益效果：

1、本发明引入参数化设计的思想，将各参数的计算公式转化为编程程序，只需输入椭圆齿轮的阶数、偏心率、齿数、模数、刀具齿形角等参数，系统便能自动进行长轴半径的计算，并对齿轮进行根切校验，最后建立齿轮实体模型。整个过程操作简单，建模精度高，有效解决了现有椭圆齿轮建模方法过程繁杂、精度及稳定性不足的弊端。

2、本发明基于插齿加工原理精确获取了椭圆齿轮齿廓曲线的方程，建立的齿根过渡曲线与齿轮的真实齿形完全吻合，为准确探究齿轮的强度及啮合性能奠定了基础。

3、本发明开发的椭圆齿轮参数化建模程序，同时能够建立高阶椭圆齿轮和节曲线内凹的椭圆齿轮，功能完备，适用性强。

附图说明

图1为齿刀加工椭圆齿轮初始位置关系示意图；

图2为齿刀加工椭圆齿轮第N齿时的位置关系示意图；

图3为齿刀轴截面示意图；

图4为齿廓关键点示意图；

图5为倒角后的齿廓线图；

图6为轮齿齿廓点列生成顺序示意图；

图7为单个轮齿的齿面点阵；

图8为插值生成的单个轮齿齿面；

图9为建模完成后的椭圆齿轮；

具体实施方式

下面通过实施例并结合附图对本发明做进一步说明，但不限于此。

实施例1：

如图1-9所示，本实施例提供一种基于插齿加工原理的椭圆齿轮参数化精确建模方法，包括以下步骤：

步骤一，确定插齿加工时轮坯与齿刀的相对运动关系；

使齿轮节曲线椭圆长轴处于水平位置，图1所示，设定a点为节曲线椭圆的长轴端点，r₀为端点a到左焦点O₁的距离；以端点a作为坐标原点O建立空间固定坐标系OXY，水平方向为X轴，竖直方向为Y轴；再分别以O₁和O₂为原点建立与齿轮轮坯和齿刀固连的动坐标系O₁X₁Y₁和O₂X₂Y₂，在初始加工位置，O₂与O重合，X₁轴与X轴重合，Y₁轴与Y轴平行，X₂轴与X轴平行，Y₂轴与Y轴重合，齿刀节线与齿轮节曲线在a点相切；

为便于计算，建立与齿轮轮坯固连的极坐标系，取O₁为极点，极坐标轴与X₁轴重合，则a点的极坐标为(0,r₀)，齿轮的节曲线极坐标方程可表示为

式中r为节曲线上任意一点的极径，

为其对应的极角，

设齿轮轮坯转角为θ_i时，齿刀插削第N个齿，N为正整数，此时齿刀节线与齿轮节曲线在

点相切；O₁到X轴的距离为a_i，齿刀竖直向下移动的距离为y_i，M为齿刀齿廓与齿轮齿廓的切点，即插齿加工时的切削点；根据齿刀与齿轮轮坯的相对位置关系，可得椭圆齿轮节曲线向径与切线正方向的夹角μ_i为：

式中：n为椭圆齿轮阶数，n为正整数，取1≤n≤5；k为椭圆齿轮偏心率0＜k＜1；

点a和点b间的节曲线弧长l_i可表示为：

由式(2)可知，节曲线弧长l_i为节曲线极角

的函数，为了表示方便，将上式表示为：

则

可表示为：

式中：Φ^-1为Φ的反函数；

齿轮轮坯转过的角度θ_i可表示为：

齿刀沿竖直方向移动的距离y_i为：

式中：A为椭圆齿轮长轴半径；

齿轮旋转中心O₁到X轴的距离a_i可表示为：

步骤二，建立齿刀齿廓方程，是后续获取齿轮齿廓曲线方程的基础；

设定齿刀参数，其中w_a为齿顶宽，w为节线处齿宽，r_p为齿顶圆角半径，P₀点为齿廓与节线的交点，s为齿廓CD段上切削点M与P₀间的距离，ξ为齿顶圆弧上任意点与该圆弧起始点之间所夹的圆心角，l_a为CP₀段齿廓的长度，α₀为刀具齿形角，m为模数，

为齿顶高系数，

为齿根高系数；图1中为齿刀在加工椭圆齿轮第一个轮齿时的位置，齿刀在加工椭圆齿轮第N个齿时，在与齿刀固连的坐标系O₂X₂Y₂下，齿刀齿廓各段的数学方程如下，参见图3；

AB段：

式中，x₂₁、y₂₁分别为齿刀齿廓AB段上点的横、纵坐标。

BC段：

式中，x₂₂、y₂₂分别为齿刀齿廓BC段上点的横、纵坐标；

CD段：

式中，x₂₃、y₂₃分别为齿刀齿廓CD段上点的横、纵坐标,α₀为刀具齿形角，取值为20°，s的取值范围为

为齿根高系数，c^*为顶隙系数；

DE段不参与切削，无需数学方程式表示；

EF段：

式中，x₂₄、y₂₄分别为齿刀齿廓EF段上点的横、纵坐标,s的取值范围为

FG段：

式中，x₂₅、y₂₅分别为齿刀齿廓FG段上点的横、纵坐标,ξ的取值范围为α₀≤ξ≤π/2；

GH段：

式中，x₂₆、y₂₆分别为齿刀齿廓AB段上点的横、纵坐标。

步骤三，推导齿轮坐标系与齿刀坐标系的变换关系；

由齿轮啮合原理可知，在齿轮加工过程中，齿刀与齿坯齿廓的切削点M在坐标系O₁X₁Y₁中的运动轨迹即为椭圆齿轮的齿廓线，M点在坐标系O₂X₂Y₂中的轨迹即为齿刀的齿廓线，参见图2、图3；

将在动坐标系O₂X₂Y₂中表达的刀具齿廓方程，通过坐标变换，变换到被加工齿轮坐标系O₁X₁Y₁中，则此时齿刀齿廓方程在坐标系O₁X₁Y₁中的表达式即为齿轮齿廓的方程；坐标系OXY与O₁X₁Y₁的坐标变换关系为：

式中，x、y为切削点M在坐标系OXY中的横、纵坐标，x₁、y₁为将M点变换到坐标系O₁X₁Y₁后的坐标；

坐标系OXY与O₂X₂Y₂的坐标变换关系为：

式中，x₂、y₂为切削点M在坐标系O₂X₂Y₂中的横、纵坐标；

由式(14)和式(15)可以得到，坐标系O₁X₁Y₁与O₂X₂Y₂的坐标变换关系为：

步骤四，推导椭圆齿轮与齿刀的啮合方程；

b点为齿轮与齿刀运动的速度瞬心，且位于齿条齿廓与齿轮齿廓在M点的公法线上，角α_i为M点处公法线n-n与齿轮节曲线切线间的夹角，可表示为：

角α_i同时也为齿刀齿廓与y₂轴的夹角，因此α_i还可以表示为：

式中，dx₂、dy₂分别为齿刀齿廓曲线横、纵坐标的微分；

联立式(17)和式(18)，即可得到齿刀加工椭圆齿轮的平面啮合方程：

根据加工过程中切削点M在坐标系O₂X₂Y₂中的坐标，可求出轮坯与齿刀的位置关系，从而求得M点在坐标系O₁X₁Y₁中的坐标。

步骤五，根据齿刀与椭圆齿轮的啮合关系，推导椭圆齿轮的齿廓曲线方程。

根据啮合关系，将坐标系O₂X₂Y₂中各段齿刀齿廓线方程变换到坐标系O₁X₁Y₁中，即可得到相应段的齿轮齿廓曲线方程；可结合图3和图5来理解；

齿轮第N个齿右齿根线由齿刀AB段切削而成，其方程为：

式中，x₁₁、y₁₁分别为齿轮第N个齿右齿根线在坐标系O₁X₁Y₁中的横、纵坐标，y₂₁为自变量，取值范围为-w+(N-1)πm≤y₂₁≤-w+w_a/2+(N-1)πm；由式(5)、(6)、(7)可知，未知量θ_i、y_i和a_i均为

的函数，由式(4)、(8)和(19)可知，

为变量y₂₁的函数：

则式(20)转化为只有一个自变量y₂₁的方程；

所述齿轮第N个齿左齿根线由齿刀GH段切削而成，其方程为：

式中，x₁₆、y₁₆分别为第N个齿左齿根线在坐标系O₁X₁Y₁中的横、纵坐标，y₂₆为自变量，取值范围为w-w_a/2+(N-1)πm≤y₂₆≤w+(N-1)πm；由式(5)、(6)、(7)可知，未知量θ_i、y_i和a_i均为

的函数，由式(4)、(13)和(19)可知，

为变量y₂₆的函数：

则式(22)转化为只有一个自变量y₂₆的方程；

所述齿轮第N个齿右齿根过渡曲线由齿刀BC段切削而成，其方程为：

式中，x₁₂、y₁₂分别为第N个齿右齿根过渡曲线在坐标系O₁X₁Y₁中的横、纵坐标，ξ为自变量，取值范围为0≤ξ≤π/2-α₀；由式(5)、(6)、(7)可知，未知量θ_i、y_i和a_i均为

的函数，由式(4)、(9)和(19)可知，

为变量ξ的函数：

则式(24)转化为只有一个自变量ξ的方程；

所述齿轮第N个齿左齿根过渡曲线由齿刀FG段切削而成，其方程为：

式中，x₁₅、y₁₅分别为第N个齿左齿根过渡曲线在坐标系O₁X₁Y₁中的横、纵坐标，ξ为自变量，取值范围为α₀≤ξ≤π/2；由式(5)、(6)、(7)可知，未知量θ_i、y_i和a_i均为

的函数，由式(4)、(12)和(19)可知，

为变量ξ的函数：

则式(26)转化为只有一个自变量ξ的方程；

所述齿轮第N个齿右齿廓工作廓线由齿刀CD段切削而成，其方程为：

式中，x₁₃、y₁₃分别为第N个齿右齿廓工作廓线在坐标系O₁X₁Y₁中的横、纵坐标，s为自变量，取值范围为

由式(5)、(6)、(7)可知，未知量θ_i、y_i和a_i均为

的函数，由式(4)、(10)和(19)可知，

为变量s的函数：

则式(28)转化为只有一个自变量s的方程；

所述齿轮第N个齿左齿廓工作廓线由齿刀EF段切削而成，其方程为：

式中，x₁₄、y₁₄分别为第N个齿左齿廓工作廓线在坐标系O₁X₁Y₁中的横、纵坐标，s为自变量，取值范围为

由式(5)、(6)、(7)可知，未知量θ_i、y_i和a_i均为

的函数，由式(4)、(11)和(19)可知，

为变量s的函数：

则式(30)转化为只有一个自变量s的方程。

根据椭圆齿轮各段曲线方程得到整个椭圆齿轮齿廓曲线方程，椭圆齿轮齿廓曲线方程为其端面齿廓曲线方程，椭圆齿轮通常为直齿轮，在垂直于齿轮轴线的各端截面上齿廓曲线相同，根据齿轮的齿宽将端面齿廓曲线沿轴向拉伸，即可得到齿轮的齿廓曲面。

实施例2：

一种在ANSYS软件中建立椭圆齿轮实体模型的方法，基于ANSYS软件的APDL编程语言实现实施例1所述的方法在计算机软件程序中的应用，所述方法包括如下步骤：

(1)参数定义，包括节曲线参数、齿轮基本参数和标准参数，在建模过程中直接使用参数代号进行数据传递；节曲线参数包括椭圆齿轮阶数n，偏心率k，长轴半径A；齿轮基本参数包括模数m、齿数z、齿宽B、轴孔半径r_Z、键槽轴深t和键槽毂深t₁；标准参数包括齿刀齿形角α₀、齿顶高系数

齿根高系数

和齿顶圆角半径系数

(2)参数赋值，建模时需要赋值的参数为n、k、m、z、B、r_Z、t、t₁、α₀、

和

所有参数的取值均写入参数文件，供建模时读取；

(3)节曲线长轴半径计算，赋值完成后，利用APDL编程语言编程计算椭圆齿轮节曲线的长轴半径A，长轴半径A的计算公式如下：

式中，

(4)根切校验，椭圆齿轮的根切校验式：

式中，m_max为椭圆齿轮不发生根切的最大模数，

为齿刀齿顶非修圆部分的高度系数；

利用APDL编程语言编程判断齿轮是否会产生根切，如果齿轮发生根切，则程序会弹出错误提示框，并自动终止建模；

(5)确定椭圆齿轮轮齿的初始建模位置，椭圆齿轮参数化精确建模时，将节曲线椭圆的长轴方向置于水平方向，令第一个轮齿齿顶处的齿宽中点位于水平线上，或令第一个轮齿齿根处的齿槽中点位于水平线上；

(6)生成齿顶线，所述椭圆齿轮齿顶线为节曲线的法向等距线，其方程为：

式中，r_a为齿顶线的极径，r为椭圆节曲线的极径，h_a为椭圆齿轮的齿顶高，

为齿顶线的极角，

为节曲线的极角，

μ由式(35)求得；

利用式(34)计算齿顶线关键点坐标，利用APDL编程生成关键点，并将关键点拟合成一条齿顶线；

(7)建立齿廓点列，利用齿廓曲线方程分别计算各段齿廓曲线上关键点序列的坐标，然后利用循环命令*DO，按照右齿根线、右齿根过渡曲线、右齿廓工作廓线、左齿廓工作廓线、左齿根过渡曲线、左齿根线的顺序，依次建立各段齿廓曲线的关键点序列；参见图6；

(8)拟合齿廓点并裁剪齿廓线，将右齿根线、右齿根过渡曲线、右齿廓工作廓线、左齿廓工作廓线、左齿根过渡曲线、左齿根线各段齿廓点列用曲线拟合命令SPLIN分别拟合成样条曲线，并利用裁剪命令LSBL去除左、右齿廓工作廓线超出齿顶线的部分以及齿顶线多余部分；

(9)建立齿顶倒角，利用倒角命令LFILLT对齿顶进行倒角，分别在左、右齿廓工作廓线和齿顶线间生成齿顶倒角；

(10)建立单个轮齿的齿面点阵，为了使齿面点阵更加均匀，在建立了完整的齿廓曲线及齿顶线之后，分别在各段齿廓线上用均匀取点命令KL均匀取点，形成齿廓点列，然后将齿廓点列沿齿宽方向阵列，生成单个轮齿的齿面点阵；参见图7；

(11)生成单个轮齿齿廓曲面，将齿廓点阵中所有点的坐标信息写入到txt文件，并利用基于APDL编写的双三次B样条曲面插值程序生成单个轮齿的齿面；参见图8；

(12)生成实体模型，利用*DO循环命令，按照生成单个轮齿齿廓曲面的流程，建立椭圆一个周期内所有轮齿的齿廓曲面，再将单个周期的齿廓曲面按周期数进行旋转阵列，生成全部轮齿的齿廓曲面；然后利用面生成命令AL，由所有轮齿前、后端面的边界曲线生成齿轮前、后端面；最后利用体生成命令VA，由前后端面和所有轮齿的齿廓曲面生成齿轮实体，并利用布尔运算VSBV在齿轮实体上创建轴孔和键槽，完成椭圆齿轮的实体模型创建。参见图9。

实施例3：

一种服务器，包括：

一个或多个处理器；

存储装置，其上存储有一个或多个程序，

当所述一个或多个程序被所述一个或多个处理器执行，使得所述一个或多个处理器实现实施例1或2所述的建模方法或实体模型生成方法。

实施例4：

一种计算机可读介质，其上存储有计算机程序，其中，该计算机程序被处理器执行时实现实施例1或2所述的建模方法或实体模型生成方法。

以上所述，仅为本发明的具体实施方式，本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种基于插齿加工原理的椭圆齿轮参数化精确建模方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一，确定插齿加工时轮坯与齿刀的相对运动关系；具体包括：使齿轮节曲线椭圆长轴处于水平位置，设定a点为节曲线椭圆的长轴端点，r₀为端点a到左焦点O₁的距离；以端点a作为坐标原点O建立空间固定坐标系OXY，水平方向为X轴，竖直方向为Y轴；再分别以O₁和O₂为原点建立与齿轮轮坯和齿刀固连的动坐标系O₁X₁Y₁和O₂X₂Y₂，在初始加工位置，O₂与O重合，X₁轴与X轴重合，Y₁轴与Y轴平行，X₂轴与X轴平行，Y₂轴与Y轴重合，齿刀节线与齿轮节曲线在a点相切；

为便于计算，建立与齿轮轮坯固连的极坐标系，取O₁为极点，极坐标轴与X₁轴重合，则a点的极坐标为(0,r₀)，齿轮的节曲线极坐标方程可表示为

式中r为节曲线上任意一点的极径，

为其对应的极角，

设齿轮轮坯转角为θ_i时，齿刀插削第N个齿，N为正整数，此时齿刀节线与齿轮节曲线在

点相切；O₁到X轴的距离为a_i，齿刀竖直向下移动的距离为y_i，M为齿刀齿廓与齿轮齿廓的切点；根据齿刀与齿轮轮坯的相对位置关系，可得椭圆齿轮节曲线向径与切线正方向的夹角μ_i为：

式中：n为椭圆齿轮阶数，n为正整数，取1≤n≤5；k为椭圆齿轮偏心率0＜k＜1；

点a和点b间的节曲线弧长l_i可表示为：

由式(2)可知，节曲线弧长l_i为节曲线极角

的函数，为了表示方便，将上式表示为：

则

可表示为：

式中：Φ^-1为Φ的反函数；

齿轮轮坯转过的角度θ_i可表示为：

齿刀沿竖直方向移动的距离y_i为：

式中：A为椭圆齿轮长轴半径；

齿轮旋转中心O₁到X轴的距离a_i可表示为：

步骤二，建立齿刀齿廓方程；

步骤三，推导齿轮坐标系与齿刀坐标系的变换关系；

步骤四，推导椭圆齿轮与齿刀的啮合方程；

步骤五，根据齿刀与椭圆齿轮的啮合关系，推导椭圆齿轮的齿廓曲线方程。

2.如权利要求1所述的基于插齿加工原理的椭圆齿轮参数化精确建模方法，其特征在于，所述步骤二具体包括：设定齿刀参数，其中w_a为齿顶宽，w为节线处齿宽，r_p为齿顶圆角半径，P₀点为齿廓与节线的交点，s为齿廓CD段上切削点M与P₀间的距离，ξ为齿顶圆弧上任意点与该圆弧起始点之间所夹的圆心角，l_a为CP₀段齿廓的长度，α₀为刀具齿形角，m为模数，

为齿顶高系数，

为齿根高系数；齿刀在加工椭圆齿轮第N个齿时，在与齿刀固连的坐标系O₂X₂Y₂下，齿刀齿廓各段的数学方程如下，

AB段：

式中，x₂₁、y₂₁分别为齿刀齿廓AB段上点的横、纵坐标；

BC段：

式中，x₂₂、y₂₂分别为齿刀齿廓BC段上点的横、纵坐标；

CD段：

式中，x₂₃、y₂₃分别为齿刀齿廓CD段上点的横、纵坐标,s的取值范围为

为齿根高系数，c^*为顶隙系数；

DE段不参与切削，无需数学方程式表示；

EF段：

式中，x₂₄、y₂₄分别为齿刀齿廓EF段上点的横、纵坐标,s的取值范围为

FG段：

式中，x₂₅、y₂₅分别为齿刀齿廓FG段上点的横、纵坐标,ξ的取值范围为α₀≤ξ≤π/2；

GH段：

式中，x₂₆、y₂₆分别为齿刀齿廓AB段上点的横、纵坐标。

3.如权利要求1所述的基于插齿加工原理的椭圆齿轮参数化精确建模方法，其特征在于，所述步骤三具体包括：由齿轮啮合原理可知，在齿轮加工过程中，齿刀与齿坯齿廓的切削点M在坐标系O₁X₁Y₁中的运动轨迹即为椭圆齿轮的齿廓线，M点在坐标系O₂X₂Y₂中的轨迹即为齿刀的齿廓线；

将在动坐标系O₂X₂Y₂中表达的刀具齿廓方程，通过坐标变换，变换到被加工齿轮坐标系O₁X₁Y₁中，则此时齿刀齿廓方程在坐标系O₁X₁Y₁中的表达式即为齿轮齿廓的方程；坐标系OXY与O₁X₁Y₁的坐标变换关系为：

式中，x、y为切削点M在坐标系OXY中的横、纵坐标，x₁、y₁为将M点变换到坐标系O₁X₁Y₁后的坐标；

坐标系OXY与O₂X₂Y₂的坐标变换关系为：

式中，x₂、y₂为切削点M在坐标系O₂X₂Y₂中的横、纵坐标；

由式(14)和式(15)可以得到，坐标系O₁X₁Y₁与O₂X₂Y₂的坐标变换关系为：

4.如权利要求1所述的基于插齿加工原理的椭圆齿轮参数化精确建模方法，其特征在于，所述步骤四具体包括：b点为齿轮与齿刀运动的速度瞬心，且位于齿条齿廓与齿轮齿廓在M点的公法线上，角α_i为M点处公法线n-n与齿轮节曲线切线间的夹角，可表示为：

角α_i同时也为齿刀齿廓与y₂轴的夹角，因此α_i还可以表示为：

式中，dx₂、dy₂分别为齿刀齿廓曲线横、纵坐标的微分；

联立式(17)和式(18)，即可得到齿刀加工椭圆齿轮的平面啮合方程：

根据加工过程中切削点M在坐标系O₂X₂Y₂中的坐标，可求出轮坯与齿刀的位置关系，从而求得M点在坐标系O₁X₁Y₁中的坐标。

5.如权利要求1所述的基于插齿加工原理的椭圆齿轮参数化精确建模方法，其特征在于，所述步骤五具体包括：根据啮合关系，将坐标系O₂X₂Y₂中各段齿刀齿廓线方程变换到坐标系O₁X₁Y₁中，即可得到相应段的齿轮齿廓曲线方程；

齿轮第N个齿右齿根线由齿刀AB段切削而成，其方程为：

式中，x₁₁、y₁₁分别为齿轮第N个齿右齿根线在坐标系O₁X₁Y₁中的横、纵坐标，y₂₁为自变量，取值范围为-w+(N-1)πm≤y₂₁≤-w+w_a/2+(N-1)πm；由式(5)、(6)、(7)可知，未知量θ_i、y_i和a_i均为

的函数，由式(4)、(8)和(19)可知，

为变量y₂₁的函数：

则式(20)转化为只有一个自变量y₂₁的方程；

所述齿轮第N个齿左齿根线由齿刀GH段切削而成，其方程为：

式中，x₁₆、y₁₆分别为第N个齿左齿根线在坐标系O₁X₁Y₁中的横、纵坐标，y₂₆为自变量，取值范围为w-w_a/2+(N-1)πm≤y₂₆≤w+(N-1)πm；由式(5)、(6)、(7)可知，未知量θ_i、y_i和a_i均为

的函数，由式(4)、(13)和(19)可知，

为变量y₂₆的函数：

则式(22)转化为只有一个自变量y₂₆的方程；

所述齿轮第N个齿右齿根过渡曲线由齿刀BC段切削而成，其方程为：

式中，x₁₂、y₁₂分别为第N个齿右齿根过渡曲线在坐标系O₁X₁Y₁中的横、纵坐标，ξ为自变量，取值范围为0≤ξ≤π/2-α₀；由式(5)、(6)、(7)可知，未知量θ_i、y_i和a_i均为

的函数，由式(4)、(9)和(19)可知，

为变量ξ的函数：

则式(24)转化为只有一个自变量ξ的方程；

所述齿轮第N个齿左齿根过渡曲线由齿刀FG段切削而成，其方程为：

式中，x₁₅、y₁₅分别为第N个齿左齿根过渡曲线在坐标系O₁X₁Y₁中的横、纵坐标，ξ为自变量，取值范围为α₀≤ξ≤π/2；由式(5)、(6)、(7)可知，未知量θ_i、y_i和a_i均为

的函数，由式(4)、(12)和(19)可知，

为变量ξ的函数：

则式(26)转化为只有一个自变量ξ的方程；

所述齿轮第N个齿右齿廓工作廓线由齿刀CD段切削而成，其方程为：

式中，x₁₃、y₁₃分别为第N个齿右齿廓工作廓线在坐标系O₁X₁Y₁中的横、纵坐标，s为自变量，取值范围为

由式(5)、(6)、(7)可知，未知量θ_i、y_i和a_i均为

的函数，由式(4)、(10)和(19)可知，

为变量s的函数：

则式(28)转化为只有一个自变量s的方程；

所述齿轮第N个齿左齿廓工作廓线由齿刀EF段切削而成，其方程为：

式中，x₁₄、y₁₄分别为第N个齿左齿廓工作廓线在坐标系O₁X₁Y₁中的横、纵坐标，s为自变量，取值范围为

由式(5)、(6)、(7)可知，未知量θ_i、y_i和a_i均为

的函数，由式(4)、(11)和(19)可知，

为变量s的函数：

则式(30)转化为只有一个自变量s的方程。

6.一种在ANSYS软件中建立椭圆齿轮实体模型的方法，基于ANSYS软件的APDL编程语言，所述方法包括如下步骤：

(1)参数定义，包括节曲线参数、齿轮基本参数和标准参数，在建模过程中直接使用参数代号进行数据传递；节曲线参数包括椭圆齿轮阶数n，偏心率k，长轴半径A；齿轮基本参数包括模数m、齿数z、齿宽B、轴孔半径r_Z、键槽轴深t和键槽毂深t₁；标准参数包括齿刀齿形角α₀、齿顶高系数

齿根高系数

和齿顶圆角半径系数

(2)参数赋值，建模时需要赋值的参数为n、k、m、z、B、r_Z、t、t₁、α₀、

和

所有参数的取值均写入参数文件，供建模时读取；

(3)节曲线长轴半径计算，赋值完成后，利用APDL编程语言编程计算椭圆齿轮节曲线的长轴半径A，长轴半径A的计算公式如下：

式中，

(4)根切校验，椭圆齿轮的根切校验式：

式中，m_max为椭圆齿轮不发生根切的最大模数，

为齿刀齿顶非修圆部分的高度系数；

利用APDL编程语言编程判断齿轮是否会产生根切，如果齿轮发生根切，则程序会弹出错误提示框，并自动终止建模；

(5)确定椭圆齿轮轮齿的初始建模位置，椭圆齿轮参数化精确建模时，将节曲线椭圆的长轴方向置于水平方向，令第一个轮齿齿顶处的齿宽中点位于水平线上，或令第一个轮齿齿根处的齿槽中点位于水平线上；

(6)生成齿顶线，所述椭圆齿轮齿顶线为节曲线的法向等距线，其方程为：

式中，r_a为齿顶线的极径，r为椭圆节曲线的极径，h_a为椭圆齿轮的齿顶高，

为齿顶线的极角，

为节曲线的极角，

μ由式(35)求得；

利用式(34)计算齿顶线关键点坐标，利用APDL编程生成关键点，并将关键点拟合成一条齿顶线；

(7)建立齿廓点列，利用齿廓曲线方程分别计算各段齿廓曲线上关键点序列的坐标，然后利用循环命令*DO，按照右齿根线、右齿根过渡曲线、右齿廓工作廓线、左齿廓工作廓线、左齿根过渡曲线、左齿根线的顺序，依次建立各段齿廓曲线的关键点序列；

(8)拟合齿廓点并裁剪齿廓线，将右齿根线、右齿根过渡曲线、右齿廓工作廓线、左齿廓工作廓线、左齿根过渡曲线、左齿根线各段齿廓点列用曲线拟合命令SPLIN分别拟合成样条曲线，并利用裁剪命令LSBL去除左、右齿廓工作廓线超出齿顶线的部分以及齿顶线多余部分；

(9)建立齿顶倒角，利用倒角命令LFILLT对齿顶进行倒角，分别在左、右齿廓工作廓线和齿顶线间生成齿顶倒角；

(10)建立单个轮齿的齿面点阵，为了使齿面点阵更加均匀，在建立了完整的齿廓曲线及齿顶线之后，分别在各段齿廓线上用均匀取点命令KL均匀取点，形成齿廓点列，然后将齿廓点列沿齿宽方向阵列，生成单个轮齿的齿面点阵；

(11)生成单个轮齿齿廓曲面，将齿廓点阵中所有点的坐标信息写入到txt文件，并利用基于APDL编写的双三次B样条曲面插值程序生成单个轮齿的齿面；

(12)生成实体模型，利用*DO循环命令，按照生成单个轮齿齿廓曲面的流程，建立椭圆一个周期内所有轮齿的齿廓曲面，再将单个周期的齿廓曲面按周期数进行旋转阵列，生成全部轮齿的齿廓曲面；然后利用面生成命令AL，由所有轮齿前、后端面的边界曲线生成齿轮前、后端面；最后利用体生成命令VA，由前后端面和所有轮齿的齿廓曲面生成齿轮实体，并利用布尔运算VSBV在齿轮实体上创建轴孔和键槽，完成椭圆齿轮的实体模型创建。

7.一种服务器，包括：

一个或多个处理器；

存储装置，其上存储有一个或多个程序，

当所述一个或多个程序被所述一个或多个处理器执行，使得所述一个或多个处理器实现权利要求1-6任一项所述的方法。

8.一种计算机可读介质，其上存储有计算机程序，其中，该计算机程序被处理器执行时实现权利要求1-6任一项所述的方法。

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