CN109446666A - 一种凹凸齿线联轴器的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种凹凸齿线联轴器的设计方法，包括：齿条刀具的法截面中心沿着三段抛物线做变位曲线运动，形成假想产形齿条，并推导出中凸外齿的齿面方程；内齿采用标准渐开线插齿刀或碟形砂轮加工，刀具在沿着轴向进给的同时，附加一个径向运动，通过控制径向进给量实现内齿的中凹加工，推导出中凹内齿的齿面方程。建立考虑轴交角安装误差的轮齿边缘接触分析模型和有限元分析模型，分别比较鼓形齿联轴器和凹凸齿线联轴器的最大轴交角、最大齿根弯曲应力和最大齿面接触应力。该设计方法保证凹凸齿线联轴器具有较小的齿面接触应力和齿根弯曲应力，提高轮齿强度；同时能够增大轴交角，改善凹凸齿线联轴器的误差敏感性。

Description

一种凹凸齿线联轴器的设计方法

技术领域

本发明属于齿轮传动技术领域，特别涉及一种凹凸齿线联轴器的设计方法。

背景技术

鼓形齿联轴器是机械动力装置中不可或缺的核心基础件，由齿形中鼓的外齿和相同齿数的内齿组成，具有结构紧凑、承载能力大、传递扭矩范围广、传动效率高和装拆方便等优点，能够补偿两轴间径向、轴向、角度及其综合位移，在船舶、冶金、航空、轨道交通等领域得到广泛的应用。我国从上世纪60年代中期才开始对鼓形齿联轴器进行系统研究，受诸多技术条件限制，研究成果虽然显著，但与世界先进水平相比还有较大差距，在许多高精尖装备中仍然需要依靠国外进口。目前，中国正由制造大国迈向制造强国，因此研究高精度、大扭矩、高可靠性的鼓形齿联轴器势在必行。

鼓形齿联轴器是在不断变化的角度联接下工作，齿面接触状态非常复杂，对于联轴器上的整圈齿，每个齿对的接触状态都不相同，每个齿对都在不同的相对摆动和翻转状态下啮合，共同承担并传递扭矩，因此适应这种啮合状态的齿形设计相当复杂，而分析多种不同啮合状态的方法则更为困难。鼓形齿联轴器在很大的扭矩下工作，由于外齿中鼓要求仅部分齿面承受载荷，不仅接触强度和弯曲强度需要考虑，由于每对齿的接触状态不同，齿面间存在相对滑动速度，其磨损更是需要关注的失效形式。现有鼓形齿联轴器存在啮合质量对安装误差较为敏感，以及在安装误差条件下齿面接触应力和齿根弯曲应力增大的问题。

高素荷在文献“用MSC.MARC实现大转矩三段弧鼓形齿联轴器应力分析研究.中国重型装备，2005，(1)：182-184”中，设计了三段弧鼓形齿联轴器，并进行了应力分布及接触状态分析，得出了这种鼓形齿联轴器可增大外齿轴套与内齿圈接触面积，有效减小其接触应力。袁伟谨在文献“三段弧鼓形齿式联轴器的研究和设计，矿山机械，2003(12)：79-81”中，分析了三段圆弧鼓形齿联轴器既能保证联轴器有较高的承载能力，又能保证有较大轴交角，通过外齿齿面设计为三段弧，中间弧段鼓度小，两端弧度鼓度大，减小了接触应力，并满足轴交角的要求。赵世银文献“鼓形齿联轴器鼓度曲线选型优化比较分析.机械传动，2017(10)：86-91”中，建立了圆弧曲线、椭圆曲线、双曲线和三段圆弧曲线，分别计算最小间隙、接触点位置、允许最大轴交角和重合度，结果表明：三段圆弧曲线可允许轴交角最大且对应接触点轴向位移量最小。轴交角大于1.3°时，中间位置曲率半径相同时，三段圆弧对应的齿面法向最小间隙曲线明显更平缓，啮合重合度更高。甚至有些学者设想将内齿设计为中凸齿形，理论上凸-凸啮合的鼓形齿联轴器能够增大轴交角的变化范围，但接触区面积减小，齿面接触应力必然大大提高，显然是不合理的。发明人将弧齿锥齿轮和圆弧齿线圆柱齿轮等凹凸齿线点接触的设计方法引入到鼓形齿联轴器中，通过凹凸齿线啮合提高齿面接触强度和齿根弯曲强度，进一步探索其在改善误差敏感性的作用机理。

发明内容

为了改善鼓形齿联轴器对安装误差的敏感性，提高齿面接触应力和齿根弯曲应力，本发明提出了一种凹凸齿线联轴器的设计方法，内外齿采用三段抛物变位曲线，以获得凹凸齿线接触，中部变位量较小，保证齿面具有较大的接触应力，两侧的变位量较大，以增大轴交角，改善误差敏感性。

为了实现上述目的，本发明采用的技术方案是：

一种凹凸齿线联轴器的设计方法，包括以下步骤：

步骤S100：给定外齿左侧、中部和右侧的变位长度和变位量，采用三段抛物线曲线进行径向变位设计；

步骤S200：齿条刀具的法截面中心沿着三段抛物线变位曲线运动，形成假想产形齿条；根据渐开线齿轮的展成原理，假想产形齿条和外齿沿着节线和节圆作纯滚动，由坐标变换和啮合原理推导出外齿的齿面方程；

步骤S300：采用标准渐开线插齿刀或碟形砂轮加工内齿，刀具在沿着轴向进给的同时，附加一个径向运动，通过控制径向进给量实现内齿的中凹加工；刀具的运动轨迹为三段抛物线，给定内齿上部、中部和下部的径向进给量，由连续可导条件，求出运动轨迹的函数表达式；

步骤S400：根据内齿插削原理，由插齿刀的截面方程和插齿刀的运动轨迹，借助坐标变换和啮合方程，推导具有中凹齿形的内齿齿面方程；

步骤S500：以小轮分度圆与齿侧端面交点为参考点，建立考虑轴交角安装误差的轮齿边缘接触分析模型，计算出最大轴交角；

步骤S600：划分外齿和内齿的单齿网格，进行有限元计算，求解获得齿面接触应力和齿根弯曲应力。

作为本发明进一步改进，步骤S100中，径向变位设计具体是指：先确定中部抛物线变位曲线的系数，再根据变位曲线在连接点处的连续可导条件和最大变位量，求出左侧、右侧的抛物线变位系数。

作为本发明进一步改进，步骤S100中，三段抛物线曲线的函数建立步骤如下：

在直角坐标系x₁o₁z₁中，建立外齿变位曲线方程，横坐标z₁为齿向，纵坐标x₁变位方向；外齿变位曲线划分为三段，左侧I段抛物线的变位长度为l₁，最大变位量为h₁，中部II段抛物线的变位长度为l₂，最大变位量为h₂，右侧III段抛物线的变位长度为l₃，最大变位量为h₃，三段的变位长度之和等于外齿齿宽b₁；中部II段变位曲线为对称抛物线，二次项系数为左侧I段抛物线的终点坐标为(-l₁-0.5l₂,-h₁)，与中部II段抛物线连接处的坐标为(-0.5l₂,-h₂)，在该连接点处导数为右侧III段抛物线的终点坐标为(0.5l₂+l₃,-h₃)，与中部II段抛物线连接处的坐标为(0.5l₂,-h₂)，在该连接点处导数为根据几何约束条件，建立三段变位曲线的函数表达式为：

式中，l_t为外齿沿着齿向的齿面参数；通过改变l₁，l₂，l₃，h₁，h₂，h₃参数可以控制变位曲线的形状，根据设计要求可实现沿齿向方向不同鼓形量要求；当左右两侧的变位量h₁、h₃均大于中部变位量时，外齿即为鼓形齿。

作为本发明进一步改进，步骤S200具体步骤如下：

齿条法向截面的位置矢量为R_a＝[u_tcosα_n a_m-u_tsinα_n 0]，法矢为N_a＝[sinα_n cosα_n 0]，u_t为刀具切削点的位置，α_n为法向压力角，a_m＝πm_n/4，m_n为法向模数；坐标系S_a(x_ao_ay_a)的原点o_a绕着三段抛物线曲线移动，且坐标轴x_a始终垂直于旋转轴方向；在齿条动坐标系S_c中，假想齿条的位矢为R_c(u_t,l_t)＝[u_tcosα_n+h(l_t) a_m-u_tsinα_n l_t]，法矢为假想产形齿条和外齿的展成运动关系为：当齿条刀移动r_p1φ₁时，被加工外齿转动φ₁，r_p1为外齿节圆半径；假设刀具上切削点P的坐标分别为(x_c,y_c)和(nx_c,ny_c)，x_c和y_c为位矢R_c的两个分量，nx_c和ny_c为法矢N_c的两个分量；在假想产形齿条坐标系S_c中，瞬时节点I的坐标为(0,r_p1φ₁)，根据齿轮的瞬心理论，瞬时节点I和切削点P的连线为切削点的法矢方向，由此推导出外齿的加工转角为：

根据坐标变换，将假想产形齿条的位矢R_c和法矢N_c从S_c变换到S₁，获得外齿的位置矢量和法向矢量分别为：

作为本发明进一步改进，步骤S300具体步骤如下：

内齿轮采用插削或成形磨削，刀具切削刃的截形为标准渐开线，刀具截面的位置矢量和法向矢量分别为：

式中，θ_0s为插齿刀在基圆上的齿槽宽，θ_s为渐开线展角参数，l_s为插齿刀的齿向参数，r_bs为插齿刀基圆半径；

刀具沿齿向进给时，通过改变每一瞬时刀具和内齿的中心距，控制径向进给量获得中凹的内齿齿面；为了与外齿相配，刀具进给的运动轨迹亦设计为三段抛物线曲线，参数l₁、l₂和l₃与外齿相同，r_a2、r_p2和r_ps分别为内齿齿顶圆半径，分度圆半径和插齿刀分度圆半径；d₁、d₂和d₃分别为刀具在下部、中部和上部三个位置和内齿的中心距，用于控制刀具的运动轨迹，当d₀＝r_p2-r_ps时加工出标准渐开线内齿；根据几何约束条件，建立三段变位曲线的函数表达式为

式中，l_s为内齿沿着齿向的齿面参数。

作为本发明进一步改进，步骤S400具体步骤如下：

进给运动按照三段抛物线轨迹进行，齿面展成坐标系中S_s为插齿刀动坐标系，S_a为插齿刀参考坐标系，S₂为内齿动坐标系，φ_s为插齿刀加工转角，φ₂＝m_2sφ_s为内齿加工转角，m_2s＝T_s/T₂为加工滚比，T_s为插齿刀齿数，T₂为内齿齿数，S_b为内齿参考坐标系，内齿的位置矢量和法向矢量分别为：

以上3式中：第(1)～(2)式分别为为插齿刀的包络面位矢方程和法矢方程，第(3)式是插齿刀与内齿加工时的啮合方程；在插齿刀动坐标系S_s中的啮合方程表示为：

f₂(θ_s,l_s,φ_s)＝N_s·v_s2

式中，ω_s＝[0 0 1]，ω₂＝[0 0 m_2s]，

由上述四式即可确定内齿的齿面方程。

作为本发明进一步改进，步骤S500具体步骤如下：

已知小轮的齿宽小于大轮齿宽，取小轮分度圆与左侧或右侧端面的交点为参考点，在小轮动坐标系S₁上该点的坐标为(-0.5b₁，r_p1)；坐标系S_h和S_f分别为外齿和内齿的参考坐标系，S_d坐标系为辅助坐标系，γ为轴交角误差，E＝r_p1+r_p2为两轴线的中心距；将内齿和外齿的齿面方程表示在S_f下，根据在齿面接触点连续相切条件，得到考虑边缘接触的轮齿接触分析模型：

式中，和分别为外齿和内齿的啮合转角，R_f2＝M_f2R₂，R_f1＝M_fhM_hdM_d2R₂，N_f2＝L_f2N₂，N_f1＝L_fhL_hdL_d2N₁；x₁，y₁，z₁为外齿位置矢量的三个分量；矩阵M_ij表示从坐标系S_j到S_i的齐次坐标变换矩阵，L_ij表示M_ij的旋转部分。

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

本发明的一种凹凸齿线联轴器的设计方法，齿条刀具的法截面中心沿着三段抛物线做变位曲线运动，形成假想产形齿条，根据渐开线齿轮的展成原理，推导出中凸外齿的齿面方程；内齿采用标准渐开线插齿刀或碟形砂轮加工，刀具在沿着轴向进给的同时，附加一个径向运动，通过控制径向进给量实现内齿的中凹加工，根据插齿原理，推导出中凹内齿的齿面方程。建立考虑轴交角安装误差的轮齿边缘接触分析模型和有限元计算，分别比较出鼓形齿联轴器和凹凸齿线联轴器的最大轴交角、最大齿根弯曲应力和最大齿面接触应力。通过内齿、外齿中部设计为较小的变位量差，获得较小的相对曲率差，增大齿面中部的接触面积，降低齿面接触应力。通过增大内外齿两侧的变位量差，增大相对曲率差，从而增大轴间交角，降低误差敏感性，增大啮合齿对的数量，提高齿根弯曲强度。该设计方法保证凹凸齿线联轴器具有较小的齿面接触应力和齿根弯曲应力，提高轮齿强度；同时能够增大轴交角，改善凹凸齿线联轴器的误差敏感性。

附图说明

图1是本发明一种凹凸齿线联轴器的设计方法流程图；

图2是本发明的外齿三段抛物变位曲线示意图；

图3是本发明的齿条刀法向齿廓示意图；

图4是本发明的内齿三段抛物插削原理示意图；

图5是本发明的内齿轮展成坐标系示意图；

图6是本发明的凹凸齿线联轴器齿面接触分析坐标系示意图；

图7是本发明的凹凸齿线联轴器有限元分析模型示意图；

图8凹凸齿线联轴器示意图。

具体实施方式

下面结合本发明实施例的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完善的描述。

如图1所示，本发明的一种凹凸齿线联轴器的设计方法，包括以下步骤：

步骤S100：给定外齿左侧、中部和右侧的变位长度和变位量，采用三段抛物线曲线进行径向变位设计；先确定中部抛物线变位曲线的系数，再根据变位曲线在连接点处的连续可导条件和最大变位量，求出左侧、右侧的抛物线变位系数。

给定齿轮副的基本参数为：对于外齿轴套，齿轮模数4mm，齿数46，压力角为20°，分度圆直径164mm，齿顶高4mm，齿根高5mm，齿顶圆球面半径86mm，齿根圆半径97mm，位移圆半径170mm，齿宽30mm。对于内齿圆，齿轮模数4mm，齿数46，压力角20°，分度圆直径为164mm，径向变位系数为0，齿顶高4mm，齿根高5mm，齿顶圆球面半径170mm，齿根圆半径96mm，位移圆半径170mm，齿宽28mm。

在直角坐标系x₁o₁z₁中，建立外齿变位曲线方程，如图2所示，横坐标z₁为齿向，纵坐标x₁变位方向。外齿变位曲线划分为三段，左侧I段抛物线的变位长度为l₁，最大变位量为h₁，中部II段抛物线的变位长度为l₂，最大变位量为h₂，右侧III段抛物线的变位长度为l₃，最大变位量为h₃。三段的变位长度之和等于外齿齿宽b₁。中部II段变位曲线为对称抛物线，二次项系数为左侧I段抛物线的终点坐标为(-l₁-0.5l₂,-h₁)，与中部II段抛物线连接处的坐标为(-0.5l₂,-h₂)，在该连接点处导数为右侧III段抛物线的终点坐标为(0.5l₂+l₃,-h₃)，与中部II段抛物线连接处的坐标为(0.5l₂,-h₂)，在该连接点处导数为根据几何约束条件，建立三段变位曲线的函数表达式为：

式中，l_t为外齿沿着齿向的齿面参数；通过改变l₁，l₂，l₃，h₁，h₂，h₃参数可以控制变位曲线的形状，根据设计要求可实现沿齿向方向不同鼓形量要求。当左右两侧的变位量h₁、h₃均大于中部变位量时，外齿即为鼓形齿。外齿三段抛物线变位曲线的参数分别为：左侧I段抛物线的变位长度l₁＝4.0mm,最大变位量为h₁＝-1.5mm；中部II段抛物线的变位长度为l₂＝20.0mm,最大变位量为h₂＝-0.8mm；右侧III段抛物线的变位长度为l₃＝4.0mm,最大变位量为h₃＝-1.5mm。

步骤S200：刀具法截面中心沿着三段抛物线变位曲线运动，形成假想产形齿条；根据渐开线齿轮展成原理，假想产形齿条和外齿沿着节线和节圆作纯滚动，由坐标变换和啮合原理推导出外齿的齿面方程。

图2为假想齿条刀具的法向截面，齿条法向截面的位置矢量为R_a＝[u_tcosα_n a_m-u_tsinα_n 0]，法矢为N_a＝[sinα_n cosα_n 0]，u_t为刀具切削点的位置，α_n为法向压力角，a_m＝πm_n/4，m_n为齿轮副的法向模数。坐标系S_a(x_ao_ay_a)的原点o_a绕着三段抛物线曲线移动，且坐标轴x_a始终垂直于旋转轴方向。在动坐标系S_c中，假想齿条的位矢为R_c(u_t,l_t)＝[u_tcosα_n+h(l_t) -u_tsinα_n l_t]，法矢为图4为假想产形齿条和外齿的展成运动关系，当齿条刀移动r_p1φ₁时，被加工外齿转动φ₁，r_p1为外齿节圆半径。假设刀具上切削点P的坐标分别为(x_c,y_c)和(nx_c,ny_c)，x_c和y_c为位矢R_c的两个分量，nx_c和ny_c为法矢N_c的两个分量。在假想产形齿条坐标系S_c中，瞬时节点I的坐标为(0,r_p1φ₁)，根据齿轮的瞬心理论，瞬时节点I和切削点P的连线为切削点的法矢方向，由此推导出外齿的加工转角为：

根据坐标变换，将假想产形齿条的位矢R_c和法矢N_c从S_c变换到S₁，获得外齿的位置矢量和法向矢量分别为：

步骤S300：采用标准渐开线插齿刀或碟形砂轮加工内齿时，刀具在沿着轴向进给的同时，附加一个径向运动，控制径向进给量实现内齿的中凹。刀具的运动轨迹为三段抛物线，给定内齿上部、中部和下部的径向进给量，由连续可导条件，求出运动轨迹的函数表达式。

如图4所示，内齿轮采用插削或成形磨削，刀具切削刃的截形为标准渐开线，刀具截面的位置矢量和法向矢量分别为：

式中，θ_0s为插齿刀在基圆上的齿槽宽，l_s为插齿刀的齿向参数，θ_s为渐开线展角参数，r_bs为插齿刀基圆半径。刀具沿齿向进给时，通过改变每一瞬时刀具和内齿的中心距，控制径向进给量获得中凹的内齿齿面。为了与外齿相配，刀具进给的运动轨迹为三段抛物线，参数l₁、l₂和l₃与外齿相同，r_a2、r_p2和r_ps分别为内齿齿顶圆半径，分度圆半径和插齿刀分度圆半径。d₁、d₂和d₃分别为刀具下部、中部和上部三个位置和内齿的中心距，用于控制刀具的运动轨迹，当d₀＝r_p2-r_ps时加工出标准渐开线内齿。根据几何约束条件，建立三段变位曲线的函数表达式为

式中，l_s为内齿沿着齿向的齿面参数。

步骤S400：根据内齿轮插削原理，由插齿刀的截面方程和插齿刀的运动轨迹，借助坐标变换和啮合方程，推导具有中凹齿形的内齿齿面方程。

内齿轮的插销运动包括插齿刀进给运动、展成运动、分度运动和让刀运动，展成运动是插齿刀和内齿按照滚比m_2s＝T_s/T₂进行转动，T_s为插齿刀齿数，T₂为内齿齿数。进给运动按照三段抛物线轨迹进行，分度运动由工作台根据转动一个齿距，让刀运动是为了避免刀具回程时碰刀或破坏已加工齿面。齿面展成坐标系如图4所示，S_s为插齿刀动坐标系，S_a为插齿刀参考坐标系，S₂为内齿动坐标系，φ_s为插齿刀加工转角，φ₂＝m_2sφ_s为内齿加工转角，S_b为内齿参考坐标系，内齿的位置矢量和法向矢量分别为

式中：第(1)-(2)式分别为插齿刀的包络面的位矢方程和法矢方程，第(3)式是插齿刀与内齿加工时的啮合方程。在插齿刀动坐标系S_s中的啮合方程表示为

f₂(θ_s,l_s,φ_s)＝N_s·v_s2

式中，ω_s＝[0 0 1]，ω₂＝[0 0 m_2s]，由上述四式即可确定内齿的齿面方程。

内齿三段抛物线变位曲线的参数为，左侧I段抛物线的变位长度l₁＝4.0mm，最小变位量为d₁＝1.5mm，最大变位量为d₂＝2.0mm；中部II段抛物线的变位长度为l₂＝20.0mm，最小变位量为d₂＝2.0mm，最大变位量为d₀＝2.5；右侧III段抛物线的变位长度为l₃＝4.0mm，最小变位量为d₃＝1.5mm，最大变位量为2.0mm。

步骤S500：以小轮分度圆与齿侧端面交点为参考点，建立考虑轴交角安装误差的轮齿边缘接触模型，计算出最大轴交角。

已知小轮的齿宽小于大轮齿宽，取小轮分度圆与左侧(右侧)端面的交点为参考点，在小轮动坐标系S₁上该点的坐标为(-0.5b₁，r_p1)。图6为考虑轴交角安装误差的轮齿接触分析模型，坐标系S_h和S_f分别为外齿和内齿的参考坐标系，S_d坐标系为辅助坐标系，γ为轴交角误差，E＝r_p1+r_p2为两轴线的中心距。将内齿和外齿的齿面方程表示在S_f下，根据在齿面接触点连续相切条件，得到考虑边缘接触的轮齿接触分析模型。

式中，和分别为外齿和内齿的啮合转角，R_f2＝M_f2R₂，R_f1＝M_fhM_hdM_d2R₂，N_f2＝L_f2N₂，N_f1＝L_fhL_hdL_d2N₁；x₁，y₁，z₁为外齿位置矢量的三个分量；矩阵M_ij表示从坐标系S_j到S_i的齐次坐标变换矩阵，L_ij表示M_ij的旋转部分。第三个和第四个式子是接触点在小轮左侧边缘接触的条件。方程组中共有8个方程，而未知数仅有7个，将轴交角误差γ作为1个未知数，这样方程组就有解。采用求解非线性方程组的函数，如maltab的fsolve函数，即可求得最大轴交角误差γ。将内齿的变位量设置为零即为普通鼓形齿，求出最大轴交角误差为3.15°，而凹凸齿线联轴器最大轴交角误差为5.63°。显然，联轴器的误差敏感性得到了显著的改善。

步骤S600：自编程序划分外齿和内齿的单齿网格，将有限元网格形式按照商用软件Abaqus格式要求输出，导入有限元软件中，进行材料属性、载荷、边界条件、接触对和接触属性的建立，并进行求解获得齿面接触应力和齿根弯曲应力。

图7为一对齿轮副的有限元网格模型，将其按照相应的格式要求导入abaqus中，进行相关有限元条件设置，如，接触对为外齿和内齿的啮合面，载荷条件设置为在内齿设置负载扭矩，边界条件是将外齿的所有节点设置为全约束，不限制内齿内圈节点的绕旋转轴自由度的转动，采用ABAQUS/Standard静态接触分析，获得齿面接触应力和齿根弯曲应力。工作载荷为300N·m，普通鼓形齿的最大齿根弯曲应力分别为430.6Mpa，凹凸齿线联轴器的最大齿根弯曲应力分别为405.1Mpa；普通鼓形齿的最大齿根弯曲应力分别为744.2Mpa凹凸齿线联轴器的最大齿根弯曲应力分别为707.7Mpa、769.4Mpa和819.9Mpa。

显然，如图8所示，凹凸齿线联轴器比普通鼓形齿在弯曲强度和接触强度有一定的改善，具体的改善程度与三段抛物线系数的设置是紧密相关的。

以上所述的内容仅为说明本发明的技术思想，不能以此限定本发明的保护范围，凡是未脱离本发明提出的技术思想，在技术方案基础上所做的任何改动，均落入本发明权利要求书的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种凹凸齿线联轴器的设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤S100：给定外齿左侧、中部和右侧的变位长度和变位量，采用三段抛物线曲线进行径向变位设计；

步骤S200：齿条刀具的法截面中心沿着三段抛物线变位曲线运动，形成假想产形齿条；根据渐开线齿轮的展成原理，假想产形齿条和外齿沿着节线和节圆作纯滚动，由坐标变换和啮合原理推导出外齿的齿面方程；

步骤S300：采用标准渐开线插齿刀或碟形砂轮加工内齿，刀具在沿着轴向进给的同时，附加一个径向运动，通过控制径向进给量实现内齿的中凹加工；刀具的运动轨迹为三段抛物线，给定内齿上部、中部和下部的径向进给量，由连续可导条件，求出运动轨迹的函数表达式；

步骤S400：根据内齿插削原理，由插齿刀的截面方程和插齿刀的运动轨迹，借助坐标变换和啮合方程，推导具有中凹齿形的内齿齿面方程；

步骤S500：以小轮分度圆与齿侧端面交点为参考点，建立考虑轴交角安装误差的轮齿边缘接触分析模型，计算出最大轴交角；

步骤S600：划分外齿和内齿的单齿网格，进行有限元计算，求解获得齿面接触应力和齿根弯曲应力。

2.根据权利要求1所述的凹凸齿线联轴器的设计方法，其特征在于，步骤S100中，径向变位设计具体是指：先确定中部抛物线变位曲线的系数，再根据变位曲线在连接点处的连续可导条件和最大变位量，求出左侧、右侧的抛物线变位系数。

3.根据权利要求1所述的凹凸齿线联轴器的设计方法，其特征在于，步骤S100中，三段抛物线曲线的函数建立步骤如下：

在直角坐标系x₁o₁z₁中，建立外齿变位曲线方程，横坐标z₁为齿向，纵坐标x₁变位方向；外齿变位曲线划分为三段，左侧I段抛物线的变位长度为l₁，最大变位量为h₁，中部II段抛物线的变位长度为l₂，最大变位量为h₂，右侧III段抛物线的变位长度为l₃，最大变位量为h₃，三段的变位长度之和等于外齿齿宽b₁；中部II段变位曲线为对称抛物线，二次项系数为左侧I段抛物线的终点坐标为(-l₁-0.5l₂,-h₁)，与中部II段抛物线连接处的坐标为(-0.5l₂,-h₂)，在该连接点处导数为右侧III段抛物线的终点坐标为(0.5l₂+l₃,-h₃)，与中部II段抛物线连接处的坐标为(0.5l₂,-h₂)，在该连接点处导数为根据几何约束条件，建立三段变位曲线的函数表达式为：

式中，l_t为外齿沿着齿向的齿面参数；通过改变l₁，l₂，l₃，h₁，h₂，h₃参数可以控制变位曲线的形状，根据设计要求可实现沿齿向方向不同鼓形量要求；当左右两侧的变位量h₁、h₃均大于中部变位量时，外齿即为鼓形齿。

4.根据权利要求3所述的凹凸齿线联轴器的设计方法，其特征在于，步骤S200具体步骤如下：

齿条法向截面的位置矢量为R_a＝[u_tcosα_n a_m-u_tsinα_n 0]，法矢为N_a＝[sinα_n cosα_n0]，u_t为刀具切削点的位置，α_n为法向压力角，a_m＝πm_n/4，m_n为法向模数；坐标系S_a(x_ao_ay_a)的原点o_a绕着三段抛物线曲线移动，且坐标轴x_a始终垂直于旋转轴方向；在齿条动坐标系S_c中，假想齿条的位矢为R_c(u_t,l_t)＝[u_tcosα_n+h(l_t) a_m-u_tsinα_n l_t]，法矢为假想产形齿条和外齿的展成运动关系为：当齿条刀移动r_p1φ₁时，被加工外齿转动φ₁，r_p1为外齿节圆半径；假设刀具上切削点P的坐标分别为(x_c,y_c)和(nx_c,ny_c)，x_c和y_c为位矢R_c的两个分量，nx_c和ny_c为法矢N_c的两个分量；在假想产形齿条坐标系S_c中，瞬时节点I的坐标为(0,r_p1φ₁)，根据齿轮的瞬心理论，瞬时节点I和切削点P的连线为切削点的法矢方向，由此推导出外齿的加工转角为：

根据坐标变换，将假想产形齿条的位矢R_c和法矢N_c从S_c变换到S₁，获得外齿的位置矢量和法向矢量分别为：

5.根据权利要求3所述的凹凸齿线联轴器的设计方法，其特征在于，步骤S300具体步骤如下：

内齿轮采用插削或成形磨削，刀具切削刃的截形为标准渐开线，刀具截面的位置矢量和法向矢量分别为：

式中，θ_0s为插齿刀在基圆上的齿槽宽，θ_s为渐开线展角参数，l_s为插齿刀的齿向参数，r_bs为插齿刀基圆半径；

刀具沿齿向进给时，通过改变每一瞬时刀具和内齿的中心距，控制径向进给量获得中凹的内齿齿面；为了与外齿相配，刀具进给的运动轨迹亦设计为三段抛物线曲线，参数l₁、l₂和l₃与外齿相同，r_a2、r_p2和r_ps分别为内齿齿顶圆半径，分度圆半径和插齿刀分度圆半径；d₁、d₂和d₃分别为刀具在下部、中部和上部三个位置和内齿的中心距，用于控制刀具的运动轨迹，当d₀＝r_p2-r_ps时加工出标准渐开线内齿；根据几何约束条件，建立三段变位曲线的函数表达式为

式中，l_s为内齿沿着齿向的齿面参数。

6.根据权利要求3所述的凹凸齿线联轴器的设计方法，其特征在于，步骤S400具体步骤如下：

进给运动按照三段抛物线轨迹进行，齿面展成坐标系中S_s为插齿刀动坐标系，S_a为插齿刀参考坐标系，S₂为内齿动坐标系，φ_s为插齿刀加工转角，φ₂＝m_2sφ_s为内齿加工转角，m_2s＝T_s/T₂为加工滚比，T_s为插齿刀齿数，T₂为内齿齿数，S_b为内齿参考坐标系，内齿的位置矢量和法向矢量分别为：

以上3式中：第(1)～(2)式分别为为插齿刀的包络面位矢方程和法矢方程，第(3)式是插齿刀与内齿加工时的啮合方程；在插齿刀动坐标系S_s中的啮合方程表示为：

f₂(θ_s,l_s,φ_s)＝N_s·v_s2

式中，ω_s＝[0 0 1]，ω₂＝[0 0 m_2s]，

由上述四式即可确定内齿的齿面方程。

7.根据权利要求3所述的凹凸齿线联轴器的设计方法，其特征在于，步骤S500具体步骤如下：

已知小轮的齿宽小于大轮齿宽，取小轮分度圆与左侧或右侧端面的交点为参考点，在小轮动坐标系S₁上该点的坐标为(-0.5b₁，r_p1)；坐标系S_h和S_f分别为外齿和内齿的参考坐标系，S_d坐标系为辅助坐标系，γ为轴交角误差，E＝r_p1+r_p2为两轴线的中心距；将内齿和外齿的齿面方程表示在S_f下，根据在齿面接触点连续相切条件，得到考虑边缘接触的轮齿接触分析模型：

式中，和分别为外齿和内齿的啮合转角，R_f2＝M_f2R₂，R_f1＝M_fhM_hdM_d2R₂，N_f2＝L_f2N₂，N_f1＝L_fhL_hdL_d2N₁；x₁，y₁，z₁为外齿位置矢量的三个分量；矩阵M_ij表示从坐标系S_j到S_i的齐次坐标变换矩阵，L_ij表示M_ij的旋转部分。