CN110508879B - 一种渐开面包络环面蜗杆的数控车削飞边和倒棱方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种渐开面包络环面蜗杆的数控车削飞边和倒棱方法，通过参数化环面蜗杆齿面与蜗杆外轮廓表面迭代求交得到左齿面齿顶交线和右齿面齿顶交线；根据切槽车刀宽度、飞边轴向范围、飞边径向范围以及飞边螺旋线规划出均匀的飞边轨迹；取切槽车刀对称线与切削刃交点为刀位点，将螺旋轨迹空间点坐标转化为极坐标形式，再根据均匀分布的螺旋轨迹离散点极坐标，生成车削飞边数控代码；飞边曲面与圆台面和蜗杆齿面的迭代求交，将所求交点与蜗杆左齿面齿顶交线和蜗杆右齿面齿顶交线拼接起来构成新的左齿面齿顶交线和右齿面齿顶交线；连接齿顶交线各离散点处的倒棱特征离散点构造出倒棱轨迹；倒棱车削数控代码输出；本方法加工效率高、误差小。

Description

一种渐开面包络环面蜗杆的数控车削飞边和倒棱方法

技术领域

本发明属于齿轮加工技术领域，特别是一种渐开面包络环面蜗杆的数控车削飞边和倒棱方法。

背景技术

环面蜗杆加工完成后，在蜗杆两端啮出区存在很薄、尖锐的齿面，在啮合过程中容易变形并且不具有明显的承载作用，为了防止变形扭曲后刮伤齿轮齿面，需要进行两端飞边加工，去除齿厚特薄区域。此外，为了防止在啮合过程中蜗杆副齿顶毛刺刮伤蜗杆齿面而导致传动不平稳和应力集中，需要进行蜗杆倒棱加工。飞边和倒棱工序不仅可以避免啮合过程中的齿面刮伤，而且具有美观作用。

在齿轮倒棱领域，圆柱齿轮、锥齿轮已有了相对成熟的方法和装备，而环面蜗杆由于齿顶曲线形状复杂，外轮廓曲面特征种类较多，两端齿顶曲线不对称，导致倒棱自动加工比较难以实现。现在普遍采用的是人工飞边和倒棱方法，通用性好但加工效率低，并且飞边和倒棱均匀性难以保证。

发明内容

本发明的目的在于提供一种渐开面包络环面蜗杆的数控车削飞边和倒棱方法，以提高蜗杆的加工效率和加工效率。

实现本发明目的的技术解决方案为：

一种渐开面包络环面蜗杆的数控车削飞边和倒棱方法，包括以下步骤：

步骤1、参数化环面蜗杆齿面与蜗杆外轮廓表面迭代求交：定义交点判别函数，根据交点判别函数确定齿顶交点所在齿面网格单元，再通过数值迭代方法迭代计算出齿顶交点所对应的齿面参数值，得到蜗杆左齿面齿顶交线和蜗杆右齿面齿顶交线；

步骤2、计算飞边轨迹：首先确定飞边起点与飞边终点；根据同侧齿的飞边起点和飞边终点定义飞边螺旋线；飞边轴向宽度范围为飞边终止平面与蜗杆左齿面齿顶交线和蜗杆右齿面齿顶交线交点的轴向距离；飞边起点与飞边终点的半径之差为飞边径向范围；根据切槽车刀宽度、飞边轴向宽度范围、飞边径向范围以及飞边螺旋线规划出均匀的飞边轨迹；

步骤3、车削飞边数控代码输出：加工时采用切槽车刀，取切槽车刀对称线与切削刃交点为刀位点，将螺旋轨迹离散点坐标转化为极坐标形式，再根据均匀分布的螺旋轨迹离散点极坐标，根据锥螺纹车削指令，生成车削飞边数控代码；

步骤4、飞边曲面与圆台面和参数化环面蜗杆齿面的迭代求交，将所求齿顶交点与蜗杆左齿面齿顶交线和蜗杆右齿面齿顶交线拼接起来构成新蜗杆左齿面齿顶交线和新蜗杆右齿面齿顶交线；

步骤5、倒棱轨迹计算：通过新蜗杆左齿面齿顶交线和新蜗杆右齿面齿顶交线上离散点的z坐标值判断新蜗杆左齿面齿顶交线和新蜗杆右齿面齿顶交线上离散点相邻曲面特征：参数化环面蜗杆齿面、圆弧环面、圆柱面、圆台面或者飞边曲面；将离散点的相邻两曲面切矢量投影到过离散点及蜗杆轴线的平面上，获得两投影切矢量；根据倒棱特征以及曲面投影切矢量建立倒棱特征的参数化方程，连接新蜗杆左齿面齿顶交线和新蜗杆右齿面齿顶交线各离散点处的倒棱特征离散点构造出倒棱轨迹；

步骤6、车削倒棱数控代码输出：加工时采用切槽刀，取切槽刀两侧刀尖圆弧中心为刀位点；将均匀分布的倒棱轨迹离散点坐标转化为极坐标形式，将倒棱轨迹离散点处的法矢量投影到车削XZ平面，再将倒棱轨迹离散点极坐标沿车削XZ平面的投影法矢量偏置刀尖圆弧半径以获得车削倒棱轨迹刀位点。最后根据锥螺纹车削指令，生成车削倒棱数控代码。

本发明与现有技术相比，其显著优点是：

(1)结合技术方案，通过理论建模和求解的方式能够得到环面蜗杆复杂的齿顶曲线和飞边曲面。通过环面蜗杆倒棱轨迹和飞边轨迹的理论计算，基于锥螺纹车削指令能够实现环面蜗杆的自动车削飞边和齿顶倒棱，飞边和倒棱均匀性得到保证。

(2)本发明所述的渐开面包络环面蜗杆数控车削飞边和倒棱方法，使用普通数控车床即能满足动作要求，易于与环面蜗杆数控车削加工相集成，无需更换机床和附加人力，通用性强、效率高、成本低，可避免毛刺、飞边刮伤蜗杆副，提高传动平稳性。

附图说明

图1是本发明流程框图。

图2是环面蜗杆毛坯图。

图3是飞边和倒棱车削前环面蜗杆三维图。

图4(a-b)分别是飞边车削前、车削后环面蜗杆零件特征图。

图5是飞边车削前蜗杆齿面与齿顶轮廓交线示意图。

图6是飞边轨迹示意图。

图7是飞边车削后新的齿顶交线示意图。

图8(a-b)是齿顶交点相邻两曲面轴截面上投影切矢量图。

图9是倒棱螺旋轨迹及离散点处的法矢量仿真图。

图10是数控车削飞边和倒棱仿真结果图。

具体实施方式

下面结合附图及具体实施例对本发明做进一步的介绍。

结合图1，本发明的一种渐开面包络环面蜗杆的数控车削飞边和倒棱方法，包括以下步骤：

步骤1、参数化环面蜗杆齿面S(u,v)与蜗杆外轮廓表面迭代求交，u、v指齿面的变量参数：具体包括参数化环面蜗杆齿面8与蜗杆外轮廓表面的圆弧环面1、圆柱面2以及圆台面3之间的数值迭代求交。

首先定义交点判别函数，根据交点判别函数确定齿顶交点13所在齿面网格单元，再通过数值迭代方法迭代计算出齿顶交点13所对应的齿面参数值，得到蜗杆左齿面齿顶交线4和蜗杆右齿面齿顶交线5，如图5所示。

参数化环面蜗杆齿面8与环面蜗杆外轮廓表面迭代求交的具体方法为：

结合图2、图3，针对参数化环面蜗杆齿面8与圆弧环面1、圆柱面2以及圆台面3的求交分别定义交点判别函数：

其中，f₁、f₂、f₃分别指参数化环面蜗杆齿面8与圆弧环面1交点判别函数、参数化环面蜗杆齿面8与圆柱面2交点判别函数、参数化环面蜗杆齿面8与圆台面3交点判别函数，x_w、y_w、z_w分别指参数化环面蜗杆齿面8网格点对应的x轴坐标值、y轴坐标值和z轴坐标值，坐标系的建立如图2所示，坐标原点设定在蜗杆轴线与垂直于蜗杆轴线的中间平面的交点处，z坐标轴方向为蜗杆轴向，x、y轴坐标方向指向蜗杆径向，三坐标轴两两相互垂直。a指渐开面包络环面蜗杆副的中心距，R_a指环面蜗杆的齿顶圆半径，R_cy指圆柱半径，L_cy指圆柱与圆台交线距坐标原点的距离，γ指圆台母线与轴线的夹角。

根据参数化环面蜗杆齿面方程计算得到参数化环面蜗杆齿面8离散网格点矩阵Q。交点判别函数的使用取决于网格点的z轴坐标值是否在对应几何特征体范围内，计算齿面网格点的交点判别函数值f，若f>0，标记该点的uv＝1，若f<0，则标记该点的uv＝-1，uv指网格点的特征变量。如果uv_i,j*uv_i+1,j<0，则在顶点Q_i,j与Q_i+1,j之间存在交点，Q表示网格点矩阵，下标指网格点所在网格点矩阵的行数和列数。uv_i,j指第i行、第j列网格点的特征变量值，uv_i+1,j指第i+1行、第j列网格点的特征变量值，Q_i,j指第i行、第j列网格点，Q_i+1,j指第i+1行、第j列网格点。

对于曲面网格单元边与特征体的齿顶交点13参数，可以采用牛顿迭代法计算，具体方法如下：v＝v_i,j，u₁＝u_i,j，u₂＝u_i+1,j，v_i,j指第i行、第j列网格点对应的齿面v参数，u_i,j指第i行、第j列网格点对应的齿面u参数，u_i+1,j第i+1行、第j列网格点对应的齿面u参数，[u₁,u₂]指齿顶交点13对应参数化环面蜗杆齿面u参数所在区间。迭代公式u＝u₂-(u₂-u₁)/(h₂-h₁)*h₂；h₂、h₁指网格单元顶点对应的交点判别函数值，可由式(1)、(2)、(3)计算得到，将u赋值给u₂构成新的u参数区间进行迭代。当u₂-u₁<ε时，迭代终止，ε指迭代收敛精度。取u＝(u₁+u₂)/2，v＝v_i,j即所求齿顶交点13对应的参数化环面蜗杆齿面参数，根据参数化环面蜗杆齿面方程获取对应的齿顶交点13及参数化环面蜗杆齿面法矢量。

步骤2、计算飞边轨迹12：

步骤2.1、结合图4(a)、(b)，确定飞边区域。结合图5-图6，首先确定飞边起点与飞边终点，飞边的起点为蜗杆左齿面齿顶交线4和蜗杆右齿面齿顶交线5上的绝对值最大点，飞边终点11为自定义的飞边终止平面与蜗杆左齿面齿顶交线4和蜗杆右齿面齿顶交线5的齿顶交点13，且与飞边起点10在同侧齿顶交线上。

取飞边终止平面与坐标x轴的夹角为λ，定义交点判别函数为：

f₄＝x_In_px+y_In_py+z_In_pz (4)

其中x_I、y_I、z_I分别指蜗杆左齿面齿顶交线4和蜗杆右齿面齿顶交线5上点的x轴坐标值、y轴坐标值和z轴坐标值，n_px、n_py、n_pz分别指飞边终止平面的x轴方向、y轴方向和z轴方向法矢量；

再根据步骤1中所述迭代方法求得蜗杆左齿面齿顶交线4和蜗杆右齿面齿顶交线5与飞边终止平面的齿顶交点13，即飞边终点11。以蜗杆左齿面齿顶交线4和蜗杆右齿面齿顶交线5上绝对值最大的点为飞边起点10，取相同齿侧的飞边终点11构成飞边螺旋线，飞边螺旋线为一条空间曲线，径向和轴向空间点均发生变化，径向为二维阿基米德螺旋线，轴向为等距螺旋线。飞边轴向宽度范围为飞边终止平面与蜗杆左齿面齿顶交线4和蜗杆右齿面齿顶交线5齿顶交点13的轴向距离。飞边起点10与飞边终点11的半径之差为飞边径向范围。

2.2、根据切槽车刀宽度、飞边轴向宽度范围、飞边径向范围以及飞边螺旋线规划出均匀的飞边轨迹12。

根据飞边起点10坐标(x_o,y_o,z_o)和终点坐标(x_t,y_t,z_t)建立飞边螺旋线方程：

θ_F为螺旋线变量，θ_F∈(θ_o,θ_t)，x_F、y_F、z_F分别指飞边螺旋线轨迹x轴、y轴、z轴坐标值。将飞边螺旋线沿轴向、径向在飞边轴向范围和飞边径向范围内分层铺开即可得到飞边轨迹12。p_F指螺旋线转过单位角度其沿轴线方向移动的距离，b指螺旋线转过单位角度其半径增加的数值。

步骤3、飞边车削数控代码输出：加工时采用切槽车刀，取切槽车刀对称线与切削刃交点为刀位点，将螺旋轨迹空间点坐标(x_F,y_F,z_F)转化为极坐标(r_F,θ_F,z_F)形式，

θ_F＝a tan(y_F/x_F)。再根据均匀分布的螺旋轨迹离散点极坐标，根据锥螺纹车削指令，生成车削飞边数控代码。

以FANUC系统为例：

G32 X(2*r_F(i+1))Z(z_F(i+1))F(max(r_F(i+1)-r_F(i),z_F(i+1)-z_F(i))/(θ_F(i+1)-θ_F(i))*2π)，下标(i+1)和(i)指飞边轨迹12线上的第i+1和第i个点，G32指锥螺纹车削指令，X、Z指车床运动轴指令，F指螺距指令。

步骤4、飞边曲面9与圆台面3和参数化环面蜗杆齿面8的迭代求交，将所求齿顶交点13与蜗杆左齿面齿顶交线4和蜗杆右齿面齿顶交线5拼接起来构成新蜗杆左齿面齿顶交线6和新蜗杆右齿面齿顶交线7，如图7所示。

首先针对飞边曲面9与参数化环面蜗杆齿面8和圆台面3的求交，分别定义交点判别函数：

其中，f₅、f₆分别指飞边曲面9与参数化环面蜗杆齿面8以及圆台面3的交点判别函数。x_w、y_w分别指齿面网格点x轴和y轴坐标值，x_cone、y_cone分别指圆台面3网格点x轴和y轴坐标值，R_spir指对应网格点的飞边曲面9曲率半径。

再根据步骤1所述方法确定齿顶交点13所在网格单元并采用上述迭代方法计算出齿顶交点13的参数值，代入参数化环面蜗杆齿面和圆台面方程即可得到飞边后的齿顶交点13。

然后将所求齿顶交点13与蜗杆左齿面齿顶交线4和蜗杆右齿面齿顶交线5拼接起来构成新蜗杆左齿面齿顶交线6和新蜗杆右齿面齿顶交线7。

步骤5、倒棱轨迹计算：

结合图8a、图8b、图9：通过新蜗杆左齿面齿顶交线6和新蜗杆右齿面齿顶交线7上离散点的z坐标值判断新蜗杆左齿面齿顶交线6和新蜗杆右齿面齿顶交线7上离散点相邻曲面特征：参数化环面蜗杆齿面8、圆弧环面1、圆柱面2、圆台面3或者飞边曲面9。

将离散点Q_xyzd＝(x_d,y_d,z_d)^T的相邻两曲面切矢量v_xyz1＝(v_x1,v_y1,v_z1)^T和v_xyz2＝(v_x2,v_y2,vz₂)^T代入式(8)投影到过离散点及蜗杆轴线的平面上，获得两投影切矢量14pv_xyz1＝(pv_x1,pv_y1,pv_z1)^T和pv_xyz2＝(pv_x2,pv_y2,pvz₂)^T。

其中，Mt指投影矩阵，

θ_d＝atan(y_d/x_d)，v_axyz1和v_axyz2指投影中间变量，v_axyz1(1)和v_axyz1(3)分别指v_axyz1矢量的第一个和第三个元素，v_axyz2(1)和v_axyz2(3)分别指v_axyz2矢量的第一个和第三个元素。

倒棱直线特征的两个端点坐标P_end1和P_end2可由式(9)计算得到：

其中Q_xyzd指新蜗杆左齿面齿顶交线6和新蜗杆右齿面齿顶交线7上的离散点，pv_xyz1和pv_xyz2指两投影切矢量14，B_d指倒棱宽度，θ_a指两切矢量之间的夹角。

根据倒棱特征17(等腰三角形底边倒角宽度或以宽度为弦的圆弧特征)的两个端点P_end1、P_end2可给出倒棱特征17参数化方程式(10)，从而获得倒棱特征17上的均匀离散点P_t，沿蜗杆轴向连接对应的离散点即可得到倒棱轨迹16。

P_t＝P_end1+t*(P_end2-P_end1) (10)

t为插值变量，t∈(0,1)

步骤6、车削倒棱数控代码输出：加工时采用切槽刀，取切槽刀两侧刀尖圆弧中心为刀位点。将均匀分布的倒棱轨迹离散点坐标(x_D,y_D,z_D)转化为极坐标(r_D,θ_D,z_D)形式，

θ_D＝a tan(y_D/x_D)，将倒棱轨迹离散点处的法矢量15由投影矩阵Mt投影到车削XZ平面，再将倒棱轨迹离散点极坐标沿车削XZ平面的投影法矢量偏置刀尖圆弧半径以获得车削倒棱轨迹刀位点。根据锥螺纹车削指令，生成车削倒棱数控代码。

以FANUC系统为例：

G32X(2*r_D(i+1))Z(z_D(i+1))F(max(r_D(i+1)-r_D(i),z_D(i+1)-z_D(i))/(θ_D(i+1)-θ_D(i))*2π)，下标(i+1)和(i)指飞边轨迹12线上的第i+1和第i个点，G32指锥螺纹车削指令，X、Z指车床运动轴指令，F指螺距指令。

结合图10，本发明所述的渐开面包络环面蜗杆数控车削飞边和倒棱方法，倒棱和飞边均匀。本发明所述的渐开面包络环面蜗杆数控车削飞边和倒棱方法，使用普通数控车床即能满足动作要求，易于与环面蜗杆数控车削加工相集成，通用性强、效率高、成本低，可避免毛刺、飞边刮伤蜗杆副，提高传动平稳性。

Claims (5)

1.一种渐开面包络环面蜗杆的数控车削飞边和倒棱方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、参数化环面蜗杆齿面与蜗杆外轮廓表面迭代求交：定义交点判别函数，根据交点判别函数确定齿顶交点所在齿面网格单元，再通过数值迭代方法迭代计算出齿顶交点所对应的齿面参数值，得到蜗杆左齿面齿顶交线和蜗杆右齿面齿顶交线；

步骤2、计算飞边轨迹：首先确定飞边起点与飞边终点；根据同侧齿的飞边起点和飞边终点定义飞边螺旋线；飞边轴向宽度范围为飞边终止平面与蜗杆左齿面齿顶交线和蜗杆右齿面齿顶交线交点的轴向距离；飞边起点与飞边终点的半径之差为飞边径向范围；根据切槽车刀宽度、飞边轴向宽度范围、飞边径向范围以及飞边螺旋线规划出均匀的飞边轨迹；

步骤3、车削飞边数控代码输出：加工时采用切槽车刀，取切槽车刀对称线与切削刃交点为刀位点，将螺旋轨迹离散点坐标转化为极坐标形式，再根据均匀分布的螺旋轨迹离散点极坐标，根据锥螺纹车削指令，生成车削飞边数控代码；

步骤4、飞边曲面与圆台面和参数化环面蜗杆齿面的迭代求交，将所求齿顶交点与蜗杆左齿面齿顶交线和蜗杆右齿面齿顶交线拼接起来构成新蜗杆左齿面齿顶交线和新蜗杆右齿面齿顶交线；

步骤5、倒棱轨迹计算：通过新蜗杆左齿面齿顶交线和新蜗杆右齿面齿顶交线上离散点的z坐标值判断新蜗杆左齿面齿顶交线和新蜗杆右齿面齿顶交线上离散点相邻曲面特征：参数化环面蜗杆齿面、圆弧环面、圆柱面、圆台面或者飞边曲面；将离散点的相邻两曲面切矢量投影到过离散点及蜗杆轴线的平面上，获得两投影切矢量；根据倒棱特征以及投影切矢量建立倒棱特征的参数化方程，连接新蜗杆左齿面齿顶交线和新蜗杆右齿面齿顶交线各离散点处的倒棱特征离散点构造出倒棱轨迹；

步骤6、车削倒棱数控代码输出：加工时采用切槽刀，取切槽刀两侧刀尖圆弧中心为刀位点；将均匀分布的倒棱轨迹离散点坐标转化为极坐标形式，将倒棱轨迹离散点处的法矢量投影到车削XZ平面，再将倒棱轨迹离散点极坐标沿车削XZ平面的投影法矢量偏置刀尖圆弧半径以获得车削倒棱轨迹刀位点；最后根据锥螺纹车削指令，生成车削倒棱数控代码。

2.根据权利要求1所述的渐开面包络环面蜗杆的数控车削飞边和倒棱方法，其特征在于，步骤1参数化环面蜗杆齿面与蜗杆外轮廓表面迭代求交的具体方法为：

针对参数化环面蜗杆齿面与圆弧环面、圆柱面以及圆台面的求交分别定义交点判别函数：

其中x_w、y_w、z_w分别指参数化环面蜗杆齿面网格点对应的x轴坐标值、y轴坐标值和z轴坐标值，a指渐开面包络环面蜗杆副的中心距，R_a指环面蜗杆的齿顶圆半径，R_cy指圆柱半径，L_cy指圆柱与圆台交线距坐标原点的距离，γ指圆台母线与轴线的夹角；

根据参数化环面蜗杆齿面方程计算得到参数化环面蜗杆齿面离散网格点矩阵Q；若uv_i,j*uv_i+1,j<0，则在顶点Q_i,j与Q_i+1,j之间存在交点；

其中uv_i,j指第i行、第j列网格点的特征变量值，uv_i+1,j指第i+1行、第j列网格点的特征变量值，Q_i,j指第i行、第j列网格点，Q_i+1,j指第i+1行、第j列网格点；

采用牛顿迭代法计算曲面网格单元边与圆弧环面、圆柱面以及圆台面的齿顶交点参数，根据参数化环面蜗杆齿面方程获取对应的齿顶交点及参数化环面蜗杆齿面法矢量。

3.根据权利要求1所述的渐开面包络环面蜗杆的数控车削飞边和倒棱方法，其特征在于，步骤2计算飞边轨迹，具体包括以下步骤：

步骤2.1、首先确定飞边起点与飞边终点，飞边起点为蜗杆左齿面齿顶交线(4)和蜗杆右齿面齿顶交线(5)上的绝对值最大点，飞边终点为自定义的飞边终止平面与蜗杆左齿面齿顶交线和蜗杆右齿面齿顶交线的齿顶交点；

2.2、根据切槽车刀宽度、飞边轴向宽度范围、飞边径向范围以及飞边螺旋线规划出均匀的飞边轨迹(12)：

根据飞边起点(10)坐标(x_o,y_o,z_o)和终点坐标(x_t,y_t,z_t)建立飞边螺旋线方程：

θ_F为螺旋线变量，θ_F∈(θ_o,θ_t)，x_F、y_F、z_F分别指飞边螺旋线轨迹x轴、y轴、z轴坐标值；a指渐开面包络环面蜗杆副的中心距；将飞边螺旋线沿轴向、径向在飞边轴向宽度范围和飞边径向范围内分层铺开即可得到飞边轨迹，p_F指螺旋线转过单位角度其沿轴线方向移动的距离，b指螺旋线转过单位角度其半径增加的数值。

4.根据权利要求1所述的渐开面包络环面蜗杆的数控车削飞边和倒棱方法，其特征在于，步骤4飞边曲面与圆台面和参数化环面蜗杆齿面的迭代求交，具体步骤如下：

步骤4.1、针对飞边曲面与参数化环面蜗杆齿面和圆台面的求交，分别定义交点判别函数：

其中，f₅、f₆分别指飞边曲面与参数化环面蜗杆齿面以及圆台面求交的交点判别函数；x_w、y_w分别指齿面网格点x轴和y轴坐标值，x_cone、y_cone分别指圆台面(3)网格点x轴和y轴坐标值，R_spir指对应网格点的飞边曲面曲率半径；

步骤4.2、确定齿顶交点所在网格单元并采用迭代方法计算出齿顶交点的参数值，代入参数化环面蜗杆齿面方程和圆台面参数化方程即可得到数控车削飞边后的齿顶交点。

5.根据权利要求1所述的渐开面包络环面蜗杆的数控车削飞边和倒棱方法，其特征在于，步骤5倒棱轨迹计算，具体方法如下：

将离散点Q_xyzd＝(x_d,y_d,z_d)^T的相邻两曲面切矢量v_xyz1＝(v_x1,v_y1,v_z1)^T和v_xyz2＝(v_x2,v_y2,vz₂)^T代入式(8)投影到过离散点及蜗杆轴线的平面上，获得两投影切矢量pv_xyz1＝(pv_x1,pv_y1,pv_z1)^T和pv_xyz2＝(pv_x2,pv_y2,pvz₂)^T；

其中Mt指投影矩阵，v_axyz1和v_axyz2指投影中间变量，v_axyz1(1)和v_axyz1(3)分别指v_axyz1矢量的第一个和第三个元素，v_axyz2(1)和v_axyz2(3)分别指v_axyz2矢量的第一个和第三个元素；

倒棱直线特征的两个端点坐标P_end1和P_end2可由式(9)计算得到：

其中Q_xyzd指新蜗杆左齿面齿顶交线和新蜗杆右齿面齿顶交线上的离散点，pv_xyz1和pv_xyz2指两投影切矢量(14)，B_d指倒棱宽度，θ_a指两投影切矢量之间的夹角；根据倒棱特征的两个端点P_end1、P_end2可给出倒棱特征参数化方程，P_t＝P_end1+t*(P_end2-P_end1)，t为插值变量，从而获得倒棱特征上的均匀离散点P_t，沿蜗杆轴向连接对应的离散点即可得到倒棱轨迹。

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