CN110716493B - 一种五轴微线段加工路径光顺方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种五轴微线段加工路径光顺方法，包括如下步骤：读入五轴加工路径代码，得到一系列的刀尖点坐标P_i(X_i，Y_i，Z_i),i＝1、2、3…k，和对应的刀轴点坐标P_oi(X_oi，Y_oi，Z_oi),i＝1、2、3…k；建立四次B样条曲线数学模型；步骤2，依次选取三个相邻的刀尖点，对三个相邻的刀尖点采用四次B样条曲线数学模型进行加工路径光顺；依次选取三个相邻的刀轴点，对三个相邻的刀轴点采用四次B样条曲线数学模型进行加工路径光顺。本发明在应用中采用外过渡的形式，能够使得过渡曲线获得更小的曲率极值，本发明降低了刀尖点过渡曲线的曲率极大值，使加工路径更加光顺。

Description

一种五轴微线段加工路径光顺方法

技术领域

本发明涉及一种机械制造技术中的光顺方法，特别涉及一种五轴微线段加工路径光顺方法。

背景技术

目前，五轴数控机床因其具有装夹简便、生产高效、灵活性强等特点，在高速高精加工领域，如模具制作、复杂曲面加工等，被广泛应用。针对五轴的现代工业产品造型设计中，参数曲线得到越来越多的应用，但是由于大多数用于产生数控加工代码的CAM软件，不能直接生成参数曲线，因此大多场合下使用大量的微线段来逼近设计中使用的参数化曲面，从而实现五轴复杂工件的生产加工。但是采用微线段进行曲线曲面加工的方法，会带来程序量大，加工速度慢，速度波动大、加工表面质量不足等缺点，这已成为现代加工中实现高速、高精的瓶颈。为解决微线段加工存在的问题，从而实现高速高精度加工，一般使用全局光顺和局部光顺两种方法。由于全局光顺存在误差控制困难、算法复杂耗时难以实现实时计算，而局部光顺算法相对简单，易于控制误差，并可实现实时运算，因此被广泛研究。

针对现有的技术进行总结发现，“局部最优小线段路径解析光顺的实时前瞻插补方法及系统(ZL 201610404868.7)”等文献中，针对两轴或者三轴数控机床进行局部过渡算法的研究，但是此类算法无法直接应用在五轴机床上。文献“一种几何精度及衔接速度最优化的五轴联动平滑插补方法(ZL 201611195898.8)”，“Huang J,Du X,Zhu L M,Real-timelocal smoothing for five-axis linear toolpath considering smoothing errorconstraints,International Journal of Machine Tools and Manufacture.124(2018),67–79”等文献，针对五轴加工的特点采用基于圆弧或者B样条曲线的内过渡光顺方法实现刀尖点和刀轴旋转的平滑过渡，其中内过渡光顺指过渡曲线的控制点全部落在两个直线段上或者其组成的夹角内。与此方法类似，基于其他参数曲线(如贝塞尔曲线、NURBS曲线等)的内过渡方法是目前使用最多的方法，但是此方法存在着一些不足之处。如文献“Xu F andSun Y,A circumscribed corner rounding method based on double cubic B-splinesfor a five-axis linear tool path,International Journal of AdvancedManufacturing Technology.94(2018),451-462”指出内过渡的光顺方法局限了光顺的效果，采用外过渡的方式，会进一步降低曲率极值，提高加工的效率，该文献便采用基于三次B样条曲线采用外过渡的方式，来实现五轴微线段加工的光顺。但是文献中并没有给出外过渡曲线最大曲率的解析解，这会增加后期插补中的计算难度，并且采用完全对称的过渡曲线，在对于一般情况过渡的时候，仍有刀轴不连续的情况出现。

发明内容

本发明为解决公知技术中存在的技术问题而提供一种五轴微线段加工路径光顺方法。

本发明为解决公知技术中存在的技术问题所采取的技术方案是：一种五轴微线段加工路径光顺方法，包括如下步骤：

步骤1，读入五轴加工路径代码，得到一系列的刀尖点坐标P_i(X_i，Y_i，Z_i),i＝1、2、3…k，和对应的刀轴点坐标P_oi(X_oi，Y_oi，Z_oi),i＝1、2、3…k；建立四次B样条曲线数学模型；

步骤2，依次选取三个相邻的刀尖点，P_i(X_i，Y_i，Z_i)、P_i+1(X_i+1，Y_i+1，Z_i+1),P_i+2(X_i+2，Y_i+2，Z_i+2),i＝1、2、3…k-2，对三个相邻的刀尖点采用四次B样条曲线数学模型进行加工路径光顺；依次选取三个相邻的刀轴点，P_oi(X_oi，Y_oi，Z_oi)、P_i+1(X_oi+1，Y_oi+1，Z_oi+1),P_oi+2(X_oi+2，Y_oi+2，Z_oi+2),i＝1、2、3…k-2，对三个相邻的刀轴点采用四次B样条曲线数学模型进行加工路径光顺。

进一步地，步骤1中，读入指定五轴加工路径的代码：X、Y、Z、A、C，其中X、Y、Z分别对应表示刀尖点的X轴、Y轴、Z轴的坐标，A、C分别对应表示旋转轴A轴和旋转轴C轴的旋转坐标，通过如下公式1和公式2，得到刀尖点所对应的刀轴点的坐标(X_o，Y_o，Z_o)；

进一步地，步骤1中，四次B样条曲线数学模型的建模方法包括如下步骤：

步骤1-1，首先建立一条四次的B样条曲线模型，其表达式为：

式中：p＝4，{Q_i}为控制点，n为控制点数量，N_i,p(u)为基函数；

其中，基函数N_i,p(u)的计算如下：

式中：p＝4，i＝0,1,2,…，n；n为控制点数量，{u₀,u₁,u₂,…,u_n+p+1}为节点矢量，其长度m＝n+p+1，u为曲线参数,u∈[0,1]，并且规定0/0＝0；

步骤1-2，对该曲线进行一阶求导，其一阶导数如下：

式中：p＝4，{Q_i}为控制点，n为控制点数量，C'(u)为曲线的一阶导数，N'_i,p(u)为基函数N_i,p(u)的一阶导数；

将公式4转化为如下的公式5：

式中：p＝4，i＝0,1,2,…，n；n为控制点数量，{u₀,u₁,u₂,…,u_n+p+1}为节点矢量，其长度m＝n+p+1，u为曲线参数,u∈[0,1]，并且规定0/0＝0；N'_i,p(u)为基函数N_i,p(u)的一阶导数；

步骤1-3，对该曲线进行二阶求导，其二阶导数如下：

式中：p＝4，{Q_i}为控制点，n为控制点数量，C"(u)为曲线的二阶导数，N"_i,p(u)为基函数N_i,p(u)的二阶导数；

将公式6转化为如下的公式7：

式中：p＝4，i＝0,1,2,…，n；n为控制点数量，{u₀,u₁,u₂,…,u_n+p+1}为节点矢量，其长度m＝n+p+1，u为曲线参数,u∈[0,1]，并且规定0/0＝0；N'_i,p(u)为基函数N_i,p(u)的一阶导数，N"_i,p(u)为基函数N_i,p(u)的二阶导数；

步骤1-4，设节点矢量U为{0,0,0,0,0,0.25,0.5,0.5,0.75,1,1,1,1,1}，分别对三个相邻的刀尖点及其对应的三个相邻的刀轴点各构造9个控制点，完成对加工路径的光顺。

进一步地，对刀尖点进行加工路径光顺时，采用部分控制点相对B样条曲线的中心线对称的方法过渡。

进一步地，对刀尖点进行加工路径光顺时，采用外过渡光顺方法。

进一步地，对刀尖点进行加工路径光顺的具体方法为：

步骤a-1，设三个相邻的刀尖点分别为P_a、P_b、P_c，构造一条通过P_a、P_c的B样条曲线L，并使P_b位于该B样条曲线L外侧的中心线上；设9个控制点依次表示为{P₀，P₁，P₂，P₃，P₄，P₅，P₆，P₇，P₈}，其中，P₀与P₈、P₁与P₇、P₂与P₆、P₃与P₅均相对该B样条曲线L的中心线对称；其中，设P₄与P_b重合，使控制点P₀、P₁、P₂位于线段P_aP_b上，控制点P₆、P₇、P₈位于线段P_bP_c上；除了P₃、P₄与P₅位于该B样条曲线L的外侧外，其余各控制点均位于该B样条曲线L上或位于其内侧；

步骤a-2，设a为线段P₀P₁和P₇P₈的长度，b为线段P₃P₄和P₄P₅的长度，c为线段P₄P₂和线段P₄P₆的长度，设

分别对应为直线P_bP_a、P_bP_c、P₄P₃、P₄P₅的单位向量；设a＝b，c＝2b，则得到如下求解控制点坐标的方程：

式中：

为直线P_bP_a的单位向量；

为直线P_bP_c的单位向量；

为直线P₄P₃的单位向量；

为直线P₄P₅的单位向量；

b为线段P₃P₄和P₄P₅的长度；

P₀…P₈为刀尖点光顺曲线的第0至第8个控制点；

步骤a-3，结合给定的节点矢量U＝{0,0,0,0,0,0.25,0.5,0.5,0.75,1,1,1,1,1}，得到三个相邻的刀尖点P_a、P_b、P_c的四次B样条曲线。

进一步地，对刀轴点进行加工路径光顺时，采用部分控制点不对称的方法过渡。

进一步地，对刀轴点进行加工路径光顺时，采用外过渡光顺方法。

进一步地，对刀轴点进行加工路径光顺的具体方法为：

步骤b-1，设三个相邻的刀轴点分别为P_Oa、P_Ob、P_Oc，构造一条通过P_Oa、P_Oc的B样条曲线M，并使P_Ob位于该B样条曲线M的外侧，且不位于该B样条曲线M的中心线上；设9个控制点依次表示为{P_O0，P_O1，P_O2，P_O3，P_O4，P_O5，P_O6，P_O7，P_O8}，其中，设P_O4与P_Ob重合，使控制点P_O0、P_O1、P_O2位于线段P_OaP_Ob上，控制点P_O6、P_O7、P_O8位于线段P_ObP_Oc上；除了P_O3、P_O4与P_O5位于该B样条曲线M的外侧外，其余各控制点均位于该B样条曲线M上或位于其内侧；

步骤b-2，设a_O1为线段P_O0P_O1的长度，a_O2为线段P_O7P_O8的长度，b_O1为线段P_O3P_O4的长度，b_O2为线段P_O4P_O5的长度，c_O1为线段P_O4P_O2的长度，c_O2为线段P_O4P_O6的长度，设

分别对应为直线P_ObP_Oa、P_ObP_Oc、P_O4P_O3、P_O4P_O5的单位向量；

步骤b-2，设a_O1＝b_O1，c_O1＝2b_O1，a_O2＝b_O2，c_O2＝2b_O2，得到如下求解控制点坐标的方程：

式中：

设

为直线P_ObP_Oa的单位向量；

设

为直线P_ObP_Oc的单位向量；

设

为直线P_O4P_O3的单位向量；

设

为直线P_O4P_O5的单位向量；

a_O1为线段P_O0P_O1的长度，

a_O2为线段P_O7P_O8的长度，

b_O1为线段P_O3P_O4的长度，

b_O2为线段P_O4P_O5的长度，

c_O1为线段P_O4P_O2的长度，

c_O2为线段P_O4P_O6的长度

P_o0…P_o8为刀轴点光顺曲线的第0至第8个控制点；

步骤b-3，结合给定的节点矢量U＝{0,0,0,0,0,0.25,0.5,0.5,0.75,1,1,1,1,1}，得到三个相邻的刀轴点P_Oa、P_Ob、P_Oc的外过渡四次B样条曲线。

本发明具有的优点和积极效果是：本发明构建的五轴微线段加工的外过渡光顺方法，能够保证五轴运动的刀尖点轨迹和刀轴点轨迹在光顺后的各自运动轨迹是G2连续的，并且保证转接处刀轴点依附刀尖点的运动也是G2连续的，从而避免刀尖点和刀轴点在微线段连接处由于几何不连续性导致的加速度突变。与传统内过渡的方法不同，本发明在应用中采用外过渡的形式，能够使得过渡曲线获得更小的曲率极值，并且给出了该极值的解析解。在同样的过渡误差下，其曲率极值相对于文献“Zhao H,Zhu L,Ding H.A real-timelook-ahead interpolation methodology with curvature-continuous B-splinetransition scheme for CNC machining of short line segments.InternationalJournal of Machine Tools and Manufacture,65((2013)):88-98.”中的方法至少降低36.7％，比文献“Zhang Y,Ye P,Zhang H,et al.A local and analytical curvature-smooth method with jerk-continuous feedrate scheduling along lineartoolpath.International Journalof Precise Engineering and Manufacture19(10)(2018),1529-1538”中的方法至少降低16.6％，为速度规划阶段以更高的速度完成过渡奠定了基础。

本发明提出的针对五轴微线段加工的外过渡光顺方法，解决了传统采用微线段直接进行五轴加工，而导致的连接处仅仅G0连续的问题。与传统内过渡光顺方法比，降低了刀尖点过渡曲线的曲率极大值，使加工路径更加光顺。

附图说明

图1为本发明工作流程图；

图2为刀尖点、刀轴点过渡示意图；

图3为刀尖点过渡示意图；

图4为刀轴点过渡示意图；

图5为五轴微线段光顺前示意图；

图6为五轴微线段光顺前后对比示意图；

图7为五轴微线段光顺前后对比局部放大示意图。

具体实施方式

为能进一步了解本发明的发明内容、特点及功效，兹列举以下实施例，并配合附图详细说明如下：

请参见图1至图7，一种五轴微线段加工路径光顺方法，包括如下步骤：

步骤1，读入五轴加工路径代码，得到一系列的刀尖点坐标P_i(X_i，Y_i，Z_i),i＝1、2、3…k，和对应的刀轴点坐标P_oi(X_oi，Y_oi，Z_oi),i＝1、2、3…k；建立四次B样条曲线数学模型；

步骤2，依次选取三个相邻的刀尖点，P_i(X_i，Y_i，Z_i)、P_i+1(X_i+1，Y_i+1，Z_i+1),P_i+2(X_i+2，Y_i+2，Z_i+2),i＝1、2、3…k-2，对三个相邻的刀尖点采用四次B样条曲线数学模型进行加工路径光顺；依次选取三个相邻的刀轴点，P_oi(X_oi，Y_oi，Z_oi)、P_i+1(X_oi+1，Y_oi+1，Z_oi+1),P_oi+2(X_oi+2，Y_oi+2，Z_oi+2),i＝1、2、3…k-2，对三个相邻的刀轴点采用四次B样条曲线数学模型进行加工路径光顺。

其中，刀尖点：用来描述刀具所在空间的位置点，即刀具中心点要达到的目标位置点。刀轴点：以刀尖点为起点，沿刀轴方向上的任意一点，本发明中刀轴点指沿刀轴方向，与刀尖点距离为1个单位值的点。

上述步骤1中，可读入指定五轴加工路径的代码：X、Y、Z、A、C，其中X、Y、Z可分别对应表示刀尖点的X轴、Y轴、Z轴的坐标，A、C可分别对应表示旋转轴A轴和旋转轴C轴的旋转坐标，可通过如下公式1和公式2，得到刀尖点所对应的刀轴点的坐标(X_o，Y_o，Z_o)；

优选地，步骤1中，四次B样条曲线数学模型的建模方法可包括如下步骤：

步骤1-1，可首先建立一条四次的B样条曲线模型，其表达式可为：

式中：p＝4，{Q_i}为控制点，n为控制点数量，N_i,p(u)为基函数；

其中，基函数N_i,p(u)的值可按如下公式计算：

式中：p＝4，i＝0,1,2,…，n；n可为控制点数量，{u₀,u₁,u₂,…,u_n+p+1}可为节点矢量，其长度可为m＝n+p+1，u可为曲线参数,u∈[0,1]，并且可规定0/0＝0；

步骤1-2，可对该曲线进行一阶求导，其一阶导数如下：

式中：p＝4，{Q_i}为控制点，n为控制点数量，C'(u)为曲线的一阶导数，N'_i,p(u)为基函数N_i,p(u)的一阶导数；

可将公式4转化为如下的公式5：

式中：p＝4，i＝0,1,2,…，n；n可为控制点数量，{u₀,u₁,u₂,…,u_n+p+1}可为节点矢量，其长度可为m＝n+p+1，u可为曲线参数,u∈[0,1]，并且可规定0/0＝0；N'_i,p(u)为基函数N_i,p(u)的一阶导数；

步骤1-3，可对该曲线进行二阶求导，其二阶导数如下：

式中：p＝4，{Q_i}为控制点，n为控制点数量，C"(u)为曲线的二阶导数，N"_i,p(u)为基函数N_i,p(u)的二阶导数；

可将公式6转化为如下的公式7：

式中：p＝4，i＝0,1,2,…，n；n为控制点数量，{u₀,u₁,u₂,…,u_n+p+1}可为节点矢量，其长度可为m＝n+p+1，u可为曲线参数,u∈[0,1]，并且可规定0/0＝0；N'_i,p(u)为基函数N_i,p(u)的一阶导数，N"_i,p(u)为基函数N_i,p(u)的二阶导数；

步骤1-4，可设节点矢量U为{0,0,0,0,0,0.25,0.5,0.5,0.75,1,1,1,1,1}，可分别对三个相邻的刀尖点及其对应的三个相邻的刀轴点各构造9个控制点，完成对加工路径的光顺。

优选地，对刀尖点进行加工路径光顺时，可采用部分控制点相对B样条曲线的中心线对称的方法过渡。

优选地，对三个相邻的刀尖点采用四次B样条曲线数学模型进行加工路径光顺时，可采用外过渡光顺方法。即：过渡曲线的控制点中，有一部分在由三个相邻的刀尖点依次连接构成的夹角的外部；并非全部落在由三个相邻的刀尖点依次连接的直线上，或者由三个相邻的刀尖点依次连接构成的夹角内。

进一步地，对刀尖点进行加工路径光顺的具体方法可如下：

步骤a-1，可设三个相邻的刀尖点分别为P_a、P_b、P_c，可构造一条通过P_a、P_c的B样条曲线L，并可使P_b位于该B样条曲线L外侧的中心线上；可设9个控制点依次表示为{P₀，P₁，P₂，P₃，P₄，P₅，P₆，P₇，P₈}，其中，P₀与P₈、P₁与P₇、P₂与P₆、P₃与P₅均可相对该B样条曲线L的中心线对称；其中，可设P₄与P_b重合，可使控制点P₀、P₁、P₂位于线段P_aP_b上，控制点P₆、P₇、P₈可位于线段P_bP_c上；除了P₃、P₄与P₅位于该B样条曲线L的外侧外，其余各控制点均可位于该B样条曲线L上或位于其内侧；

步骤a-2，可设a为线段P₀P₁和P₇P₈的长度，b为线段P₃P₄和P₄P₅的长度，c为线段P₄P₂和线段P₄P₆的长度，设

可分别对应为直线P_bP_a、P_bP_c、P₄P₃、P₄P₅的单位向量；设a＝b，c＝2b，则可得到如下求解控制点坐标的方程：

式中：

为直线P_bP_a的单位向量；

为直线P_bP_c的单位向量；

为直线P₄P₃的单位向量；

为直线P₄P₅的单位向量；

b为线段P₃P₄和P₄P₅的长度；

P₀…P₈为刀尖点光顺曲线的第0至第8个控制点；

步骤a-3，可结合给定的节点矢量U＝{0,0,0,0,0,0.25,0.5,0.5,0.75,1,1,1,1,1}，可得到三个相邻的刀尖点P_a、P_b、P_c的四次B样条曲线。

优选地，对刀轴点进行加工路径光顺时，可采用部分控制点不对称的方法过渡，即一些控制点相对不对称。

优选地，对三个相邻的刀轴点采用四次B样条曲线数学模型进行加工路径光顺时，可采用外过渡光顺方法。即：过渡曲线的控制点中，有一部分在由三个相邻的刀轴点依次连接构成的夹角的外部；并非全部落在由三个相邻的刀轴点依次连接的直线上，或者由三个相邻的刀轴点依次连接构成的夹角内。

进一步地，对刀轴点进行加工路径光顺的具体方法可如下：

步骤b-1，可设三个相邻的刀轴点分别为P_Oa、P_Ob、P_Oc，可构造一条通过P_Oa、P_Oc的B样条曲线M，并可使P_Ob位于该B样条曲线M的外侧，且不位于该B样条曲线M的中心线上；可设9个控制点依次表示为{P_O0，P_O1，P_O2，P_O3，P_O4，P_O5，P_O6，P_O7，P_O8}，其中，可设P_O4与P_Ob重合，可使控制点P_O0、P_O1、P_O2位于线段P_OaP_Ob上，控制点P_O6、P_O7、P_O8位于线段P_ObP_Oc上；除了P_O3、P_O4与P_O5位于该B样条曲线M的外侧外，其余各控制点均可位于该B样条曲线M上或位于其内侧；

步骤b-2，可设a_O1为线段P_O0P_O1的长度，a_O2为线段P_O7P_O8的长度，b_O1为线段P_O3P_O4的长度，b_O2为线段P_O4P_O5的长度，c_O1为线段P_O4P_O2的长度，c_O2为线段P_O4P_O6的长度，可设

分别对应为直线P_ObP_Oa、P_ObP_Oc、P_O4P_O3、P_O4P_O5的单位向量；

步骤b-2，可设a_O1＝b_O1，c_O1＝2b_O1，a_O2＝b_O2，c_O2＝2b_O2，得到如下求解控制点坐标的方程：

可将a_O1＝b_O1，c_O1＝2b_O1，a_O2＝b_O2，c_O2＝2b_O2代入，公式可进一步简化为：

式中：

设

为直线P_ObP_Oa的单位向量；

设

为直线P_ObP_Oc的单位向量；

设

为直线P_O4P_O3的单位向量；

设

为直线P_O4P_O5的单位向量；

a_O1为线段P_O0P_O1的长度，

a_O2为线段P_O7P_O8的长度，

b_O1为线段P_O3P_O4的长度，

b_O2为线段P_O4P_O5的长度，

c_O1为线段P_O4P_O2的长度，

c_O2为线段P_O4P_O6的长度

P_o0…P_o8为刀轴点光顺曲线的第0至第8个控制点；

步骤b-3，可结合给定的节点矢量U＝{0,0,0,0,0,0.25,0.5,0.5,0.75,1,1,1,1,1}，可得到三个相邻的刀轴点P_Oa、P_Ob、P_Oc的外过渡四次B样条曲线。

下面结合本发明的一个优选实施例进一步说明本发明的工作原理：

步骤A、读入指定五轴加工路径的代码(X，Y，Z，A，C)，其中(X，Y，Z)指刀尖点的坐标，(A，C)指两个旋转轴A轴和C轴的旋转坐标，根据公式1和公式2，便可以求解刀轴点的坐标(X_o，Y_o，Z_o)。至此一系列的刀尖点坐标P_a(X_a，Y_a，Z_a)--P_n(X_n，Y_n，Z_n)和对应的刀轴点坐标P_oa＝(X_oa，Y_oa，Z_oa)--P_on＝(X_on，Y_on，Z_on)均被获得。

下面我们将将以三个刀尖点P_a，P_b，P_c和其对应的三个刀轴点P_oa，P_ob，P_oc为例介绍整个五轴外过渡光顺的过程，其过渡形式如图2所示。

步骤B、建立四次B样条曲线模型，一条四次的B样条曲线，其表达式为：

式中：p＝4；i＝0,1,2,3，…，n；{Q_i}为控制点，n为控制点数量，N_i,p(u)为基函数。

其中，基函数的计算如下：

{u₀,u₁,u₂,…,u_n+p+1}为节点矢量，其长度m＝n+p+1，u为曲线参数,u∈[0,1],并且规定“0/0＝0”。

其一阶导数求解如下：

其中，C'(u)为曲线的一阶导数，N'_i,p(u)为基函数N_i,p(u)的一阶导数，可按照下式计算。

其二阶导数求解如下：

其中，C"(u)为曲线的二阶导数，N"_i,p(u)为基函数N_i,p(u)的二阶导数，可按照下式计算。

将节点矢量U设为{0,0,0,0,0,0.25,0.5,0.5,0.75,1,1,1,1,1}，又因为m＝n+p+1,其中m为节点矢量的长度，m＝13，p＝4，因此n＝8，即为了构造一条完成的四次B样条曲线，需要构造9个控制点，它们分别是{P₀，P₁，P₂，P₃，P₄，P₅，P₆，P₇，P₈}。也就是为了完成针对刀尖点和刀轴点的过渡，我们需要分别对刀尖点相邻轨迹和对应的刀轴点相邻轨迹构造9个控制点，如图2所示，从而完成外过渡曲线的构造。

步骤C，首先针对三个刀尖点P_a，P_b，P_c，采用对称的B样条曲线进行过渡，假设刀尖点对应的过渡曲线为C_p(u)，构造曲线如图3所示。

其中a为线段P₀P₁和P₇P₈的长度，b为线段P₃P₄和P₄P₅的长度，c为线段P₄P₂和线段P₄P₆的长度，

分别为直线P_bP_a，P_bP_c，P₄P₃,P₄P₅对应的单位向量。为保证过渡的光顺性，我们需要保证转接处(P₀，P₈)的G2连续性，也就是点位、一阶导数和二阶导数的连续性。若保证(P₀，P₁，P₂)位于线段P_aP_b上，(P₆，P₇，P₈)位于线段P_bP_c上,那么转接曲线和剩余直线之间，点位和一阶导数的连续性便可以得到保证。对于直线段，其二阶导数为0。对于外过渡光顺使用的四次B样条曲线，根据公式3，公式4，公式6，可以求得转接处的二阶导数如下，

其中在点P₀处有：

C″_p(0)＝2P₀-3P₁+P₂ (公式8)；

在点P8处有：

C″_p(1)＝P₆-3P₇+2P₈ (公式9)；

为满足G2连续性，外过渡光顺使用的四次B样条曲线在转接处的二阶导数应该为0。

因此可以得到：

借鉴文献“Xu F and Sun Y,A circumscribed corner rounding method basedon double cubic B-splines for a five-axis linear tool path,InternationalJournal of Advanced Manufacturing Technology.94(2018),451-462”中的方法，可以得到下面的式子：

其中e_max为设定的最大过渡误差，θ为线段P_bP_a和P_bP_c之间的夹角，α为线段P₄P₃和P₄P₅之间的夹角。

根据公式11和公式12便可以求解出：

那么根据公式11，公式12和公式13，公式14便可以求解出直线P₄P₃,P₄P₅对应的单位向量

进一步我们规定a＝b，c＝2b，那么结合公式10，我们便可以求解出所有的9个控制点，其表达式如下：

其中，P₄与刀尖点P_b重合。

至此，针对刀尖点的外过渡四次B样条曲线C_p(u)的所有控制点均被求解出来，结合给定的节点矢量U＝{0,0,0,0,0,0.25,0.5,0.5,0.75,1,1,1,1,1}，便可以得到该外过渡四次B样条曲线。根据公式4，公式6，结合如下公式16，便可以实现曲率求解。

本发明使用Matlab进行曲线曲率的求解，可以得出其曲率极大值出现在过渡曲线中间，对应解析解为：

结合公式13可以证明，

该曲率比文献“Zhao H,Zhu L,Ding H.A real-time look-ahead interpolationmethodology with curvature-continuous B-spline transition scheme for CNCmachining of short line segments.International Journal of Machine Tools andManufacture,65((2013)):88-98.”及“Zhang Y,Ye P,Zhang H,et al.A local andanalytical curvature-smooth method with jerk-continuous feedrate schedulingalong linear toolpath.International Journalof Precise Engineering andManufacture 19(10)(2018),1529-1538”等构造的曲线的曲率极大值均要小，也就是说在进一步的数控系统插补中，可以获得更快的速度，进一步提高加工效率。

其中，文献“Zhao H,Zhu L,Ding H.A real-time look-ahead interpolationmethodology with curvature-continuous B-spline transition scheme for CNCmachining of short line segments.International Journal of Machine Tools andManufacture,65((2013)):88-98.”中曲率极值为：

文献“Zhang Y,Ye P,Zhang H,et al.A local and analytical curvature-smooth method with jerk-continuous feedrate scheduling along lineartoolpath.International Journalof Precise Engineering and Manufacture 19(10)(2018),1529-1538”中曲率极值为：

步骤D、针对三个刀轴点P_oa，P_ob，P_oc采用“非”对称的B样条曲线进行过渡。此处的“非”对称曲线，并非指一定不对称的曲线，而是指为了满足旋转轴光顺的条件，可能被构造成非对称的曲线。假设刀轴点对应的过渡曲线为C_o(u)，在步骤C所述的方法中，我们已经完成了工件坐标系下刀尖点的过渡，也就是完成了对工件坐标系下，线性轴(X，Y，Z)的光顺。此部分我们将详细介绍如何对刀轴点进行过渡，来保证旋转轴的的光顺。

刀轴点的构造曲线如图4所示：

其中P_o0，P_o1，P_o2，P_o3，P_o4，P_o5，P_o6，P_o7，P_o8为拟定构造的控制点。a_o1为线段P_o0P_o1的长度，a_o2为线段P_o7P_o8的长度，b_o1为线段P₀₃P₀₄的长度，b_o2为线段P₄P₅的长度，c_o1为线段P_o4P_o2的，c_o2线段P₄P₆的长度，

分别为直线P_obP_oa，P_obP_oc，P_o4P_o3,P_o4P_o5对应的单位向量。

同构造刀尖点的光顺曲线一样，若保证(P_o0，P_o1，P_o2)位于线段P_oaP_ob上，(P_o6，P_o7，P_o8)位于线段P_obP_oc上,那么转接曲线和剩余直线之间，点位和一阶导数的连续性便可以得到保证。

其中在点P_o0处有：

C″_o(0)＝2P_o0-3P_o1+P_o2 (公式21)；

在点P_o8处有：

C″_o(1)＝P_o6-3P_o7+2P_o8 (公式22)；

为满足G2连续性，刀轴点外过渡光顺使用的四次B样条曲线在转接处的二阶导数应该为0。因此可以得到：

即，令a_o1＝b_o1，c_o1＝2b_o1，a_o2＝b_o2，c_o2＝2b_o2；

那么按照如下方式可计算刀轴点的控制点：

将a_O1＝b_O1，c_O1＝2b_O1，a_O2＝b_O2，c_O2＝2b_O2代入，公式可进一步简化为：

上述公式中，b_o1，b_o2以及单位向量

都是未知的，也就是当这些未知量求解出来，那么这些控制点便可以求解出来。

b_o1，b_o2以及单位向量

的求解过程可如下：

步骤D-1，求解b_o1，b_o2的数值。下面我们先推导一下，如何调整刀轴点的构造曲线来满足旋转轴的光顺，从而获取b_o1，b_o2的数值。

假设五轴过渡中，刀尖点对应的过渡曲线为C_p(u),刀轴点对应的过渡曲线为C_o(u)。过渡后原刀尖点线段和刀轴点线段剩余的部分分别为L_p(u)和L_o(u)，旋转对应的参数曲线方程为Φ(u)，则根据刀轴矢量的定义可得：

对于过渡曲线部分，

同样对于剩余的直线部分，

若保证几何连续性，则应该满足，以进入点P_o0为例：

其中，

其中，对于过渡段，

对于直线段，

根据过渡时为保证连续性的条件可知，

L″_p(u)＝C″_p(u)＝0 (公式32)；

因此根据剩余直线特点，结合公式31，公式32，可得：

同样根据过渡曲线特点结合公式30，公式32，可得：

根据公式28,公式33,公式34可得，

其中，根据公式33，公式34可知，公式36恒成立。

公式35可转化为，

又因为P_a,P₀,P₁共线，P_oa,P_o0,P_o1共线，所以，

所以公式37可变为：

其中，

所以，

又因为a_o1＝b_o1，所以

因此

其中a为刀尖点光顺曲线控制点中P₀P₁的长度，a_o1为刀轴点光顺曲线控制点中P_o0P_o1的长度。

同理在转接结束点P_o8处，为满足旋转轴的连续性，下面的式子也成立：

其中a为刀尖点光顺曲线控制点中P₇P₈的长度，a_o2为刀轴点光顺曲线控制点中P_o7P_o8的长度。因此，当刀尖点被构造成对称的曲线，刀轴点需要在构造时，采用满足公式38，公式39的“非”对称的曲线才能保证转角的连续性。

前面我们已经构造出了刀尖点的光顺曲线，所以a是已知的，而且线段P_aP_b，P_oaP_ob，P_bP_c以及P_obP_oc的长度是已知的，由公式38，公式39容易求解b_o1和b_o2.

步骤D-2，求解方向单位向量

根据刀尖点推导过程中的公式13，便可以类似得出在刀轴点过渡中：

其中e_max为设定的最大过渡误差，θ_o为线段P_obP_oa和P_obP_oc之间的夹角，α_o为线段P_o4P_o3和P_o4P_o5之间的夹角。

那么根据单位向量

以及角度α_o，便可以根据向量关系求解出单位向量

步骤D-3，至此未知量b_o1，b_o2以及

均可以被求解出来，那么根据公式25，便可以得到刀轴点光顺曲线所有的9个控制点。

上述步骤C，求得了刀尖点外过渡光顺曲线的9个控制点，步骤D求得了刀轴点外过渡光顺曲线的9个控制点。我们已知光顺使用的四次B样条曲线节点矢量U＝{0,0,0,0,0,0.25,0.5,0.5,0.75,1,1,1,1,1}，节点矢量长度m＝13，曲线阶次p＝4，那么结合求解出来的刀尖点过渡光顺对应的9个控制点和刀轴点过渡光顺对应的9个控制点，便可以根据步骤B中介绍的四次B样条曲线公式，求解出刀尖点和刀轴点对应的光顺曲线，从而获取由剩余直线和光顺曲线组成的混合曲线。

如图5所示的路径，其五轴轨迹加工代码为：G01X0Y0Z0 A8.4638C0,G01X10.3092Y27.1021Z0A17.5251 C2.0562,G01X30 Y0 Z0 A13.8104 C6.1669,最大过渡误差e_max设定为0.5mm(该数值设定是为方便观察光顺结果，实际一般设定在0.1mm以下)。

光顺使用的B样条曲线参数设定为：

节点矢量U＝{0,0,0,0,0,0.25,0.5,0.5,0.75,1,1,1,1,1}，节点矢量的长度m＝13，曲线阶次p＝4。

首先根据刀尖点的坐标(X，Y，Z)和旋转轴的坐标(A，C)，结合公式1和公式2，求解这三个位置对应的刀尖点坐标和刀轴点坐标为：

P_a(0,0,0)，P_oa(0,-0.1472,0.9891)；

P_b(10.3092,27.1021,0)，P_ob(10.3200,26.811,0.9536)；

P_c(30,0,0)，P_oc(30.0256,-0.2373,0.9711)；

其次针对刀尖点P_a，P_b，P_c按照步骤C中的方法，求解各参数，然后根据公式15计算出9个控制点，计算结果如下：

P₀(6.6859,17.5769,0)，P₁(7.4105,19.4819,0)，P₂(8.8598,23.2919,0)，

P₃(9.1394,25.4330,0)，P₄(10.3091,27.1020,0)，P₅(11.8751,25.7974,0)，

P₆(12.7052,23.8041,0)，P₇(15.1013,20.5062,0)，P₈(16.2993,18.8573,0)

再针对刀轴点P_oa，P_ob，P_oc按照步骤D中的方法，求解各参数，然后根据公式25计算出9个控制点，计算结果如下：

P_o0(6.6929,17.3300,0.9661)，

P_o1(7.4184,19.2241,0.9636)，

P_o2(8.8692,23.0127,0.9586)，

P_o3(9.1527,25.1423,0.9561)，

P_o4(10.3200,26.8011,0.9536)，

P_o5(11.8854,25.4999,0.9541)，

P_o6(12.7179,23.511,0.9557)，

P_o7(15.1157,20.2208,0.9578)，

P_o8(16.3147,18.5758,0.9589)

最后，根据光顺使用的B样条曲线参数设定值，节点矢量长度m＝13，曲线阶次p＝4，求解出来的刀尖点过渡光顺对应的9个控制点，和刀轴点过渡光顺对应的9个控制点，得到刀尖点和刀轴点对应的光顺曲线，光顺后，由剩余直线和过渡曲线形成的刀尖点轨迹和刀轴点轨迹如图6和图7所示。

针对本示例中的图形，根据公式17可求得该过渡曲线的曲率极大值为1.7723(mm^-1)，根据文献1“Zhao H,Zhu L,Ding H.A real-time look-ahead interpolationmethodology with curvature-continuous B-spline transition scheme for CNCmachining of short line segments.International Journal of Machine Tools andManufacture,65((2013)):88-98.”中的方法可求得其曲率极大值为4.5557(mm^-1)，文献2“Zhang Y,Ye P,Zhang H,et al.A local and analytical curvature-smooth methodwith jerk-continuous feedrate scheduling along linear toolpath.InternationalJournalof Precise Engineering and Manufacture 19(10)(2018),1529-1538”中的方法可求得其曲率为3.4578(mm^-1)。对于此图形，使用本发明提出的方法得到的曲率极大值，相比文献1中的方法减低了61.1％，比文献2中的方法降低了48.7％。

以上所述的实施例仅用于说明本发明的技术思想及特点，其目的在于使本领域内的技术人员能够理解本发明的内容并据以实施，不能仅以本实施例来限定本发明的专利范围，即凡本发明所揭示的精神所作的同等变化或修饰，仍落在本发明的专利范围内。

Claims (5)

1.一种五轴微线段加工路径光顺方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1，读入五轴加工路径代码，得到一系列的刀尖点坐标P_i(X_i，Y_i，Z_i),i＝1、2、3…k，和对应的刀轴点坐标P_oi(X_oi，Y_oi，Z_oi),i＝1、2、3…k；建立四次B样条曲线数学模型；

步骤2，依次选取三个相邻的刀尖点，P_i(X_i，Y_i，Z_i)、P_i+1(X_i+1，Y_i+1，Z_i+1),P_i+2(X_i+2，Y_i+2，Z_i+2),i＝1、2、3…k-2，对三个相邻的刀尖点采用四次B样条曲线数学模型进行加工路径光顺；依次选取三个相邻的刀轴点，P_oi(X_oi，Y_oi，Z_oi)、P_i+1(X_oi+1，Y_oi+1，Z_oi+1),P_oi+2(X_oi+2，Y_oi+2，Z_oi+2),i＝1、2、3…k-2，对三个相邻的刀轴点采用四次B样条曲线数学模型进行加工路径光顺；

步骤1中，四次B样条曲线数学模型的建模方法包括如下步骤：

步骤1-1，首先建立一条四次的B样条曲线模型，其表达式为：

其中，N_i,p(u)为基函数；基函数N_i,p(u)的计算如下：

步骤1-2，对该曲线进行一阶求导，其一阶导数如下：

将公式4转化为如下的公式5：

步骤1-3，对该曲线进行二阶求导，其二阶导数如下：

将公式6转化为如下的公式7：

步骤1-4，设节点矢量U为{0,0,0,0,0,0.25,0.5,0.5,0.75,1,1,1,1,1}，分别对三个相邻的刀尖点及其对应的三个相邻的刀轴点各构造9个控制点，完成对加工路径的光顺；

式中：p＝4，{Q_i}为控制点，n为控制点数量，i＝0,1,2,…，n；n为控制点数量；

{u₀,u₁,u₂,…,u_n+p+1}为节点矢量，其长度m＝n+p+1，u为曲线参数,u∈[0,1]，并且规定0/0＝0；

C'(u)为曲线的一阶导数，N'_i,p(u)为基函数N_i,p(u)的一阶导数；

C"(u)为曲线的二阶导数，N"_i,p(u)为基函数N_i,p(u)的二阶导数；

对刀尖点进行加工路径光顺时，采用部分控制点相对B样条曲线的中心线对称的方法过渡；

对刀尖点进行加工路径光顺时，采用外过渡光顺方法；

对刀尖点进行加工路径光顺的具体方法为：

步骤a-1，设三个相邻的刀尖点分别为P_a、P_b、P_c，构造一条通过P_a、P_c的B样条曲线L，并使P_b位于该B样条曲线L外侧的中心线上；设9个控制点依次表示为{P₀，P₁，P₂，P₃，P₄，P₅，P₆，P₇，P₈}，其中，P₀与P₈、P₁与P₇、P₂与P₆、P₃与P₅均相对该B样条曲线L的中心线对称；其中，设P₄与P_b重合，使控制点P₀、P₁、P₂位于线段P_aP_b上，控制点P₆、P₇、P₈位于线段P_bP_c上；除了P₃、P₄与P₅位于该B样条曲线L的外侧外，其余各控制点均位于该B样条曲线L上或位于其内侧；

步骤a-2，设a为线段P₀P₁和P₇P₈的长度，b为线段P₃P₄和P₄P₅的长度，c为线段P₄P₂和线段P₄P₆的长度，设

分别对应为直线P_bP_a、P_bP_c、P₄P₃、P₄P₅的单位向量；设a＝b，c＝2b，则得到如下求解控制点坐标的方程：

式中：

为直线P_bP_a的单位向量；

为直线P_bP_c的单位向量；

为直线P₄P₃的单位向量；

为直线P₄P₅的单位向量；

b为线段P₃P₄和P₄P₅的长度；

P₀…P₈为刀尖点光顺曲线的第0至第8个控制点；

步骤a-3，结合给定的节点矢量U＝{0,0,0,0,0,0.25,0.5,0.5,0.75,1,1,1,1,1}，得到三个相邻的刀尖点P_a、P_b、P_c的四次B样条曲线。

2.根据权利要求1所述的五轴微线段加工路径光顺方法，其特征在于，步骤1中，读入指定五轴加工路径的代码：X、Y、Z、A、C，其中X、Y、Z分别对应表示刀尖点的X轴、Y轴、Z轴的坐标，A、C分别对应表示旋转轴A轴和旋转轴C轴的旋转坐标，通过如下公式1和公式2，得到刀尖点所对应的刀轴点的坐标(X_o，Y_o，Z_o)；

3.根据权利要求1所述的五轴微线段加工路径光顺方法，其特征在于，对刀轴点进行加工路径光顺时，采用部分控制点不对称的方法过渡。

4.根据权利要求3所述的五轴微线段加工路径光顺方法，其特征在于，对刀轴点进行加工路径光顺时，采用外过渡光顺方法。

5.根据权利要求4所述的五轴微线段加工路径光顺方法，其特征在于，对刀轴点进行加工路径光顺的具体方法为：

步骤b-1，设三个相邻的刀轴点分别为P_Oa、P_Ob、P_Oc，构造一条通过P_Oa、P_Oc的B样条曲线M，并使P_Ob位于该B样条曲线M的外侧，且不位于该B样条曲线M的中心线上；设9个控制点依次表示为{P_O0，P_O1，P_O2，P_O3，P_O4，P_O5，P_O6，P_O7，P_O8}，其中，设P_O4与P_Ob重合，使控制点P_O0、P_O1、P_O2位于线段P_OaP_Ob上，控制点P_O6、P_O7、P_O8位于线段P_ObP_Oc上；除了P_O3、P_O4与P_O5位于该B样条曲线M的外侧外，其余各控制点均位于该B样条曲线M上或位于其内侧；

步骤b-2，设a_O1为线段P_O0P_O1的长度，a_O2为线段P_O7P_O8的长度，b_O1为线段P_O3P_O4的长度，b_O2为线段P_O4P_O5的长度，c_O1为线段P_O4P_O2的长度，c_O2为线段P_O4P_O6的长度，设

分别对应为直线P_ObP_Oa、P_ObP_Oc、P_O4P_O3、P_O4P_O5的单位向量；

步骤b-3，设a_O1＝b_O1，c_O1＝2b_O1，a_O2＝b_O2，c_O2＝2b_O2，得到如下求解控制点坐标的方程：

式中：

设

为直线P_ObP_Oa的单位向量；

设

为直线P_ObP_Oc的单位向量；

设

为直线P_O4P_O3的单位向量；

设

为直线P_O4P_O5的单位向量；

a_O1为线段P_O0P_O1的长度，

a_O2为线段P_O7P_O8的长度，

b_O1为线段P_O3P_O4的长度，

b_O2为线段P_O4P_O5的长度，

c_O1为线段P_O4P_O2的长度，

c_O2为线段P_O4P_O6的长度

P_o0…P_o8为刀轴点光顺曲线的第0至第8个控制点；

步骤b-4，结合给定的节点矢量U＝{0,0,0,0,0,0.25,0.5,0.5,0.75,1,1,1,1,1}，得到三个相邻的刀轴点P_Oa、P_Ob、P_Oc的外过渡四次B样条曲线。

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