CN112305495A - 一种基于原子范数最小的互质阵列协方差矩阵重构方法 - Google Patents

一种基于原子范数最小的互质阵列协方差矩阵重构方法 Download PDF

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CN112305495A CN202011151661.6A CN202011151661A CN112305495A CN 112305495 A CN112305495 A CN 112305495A CN 202011151661 A CN202011151661 A CN 202011151661A CN 112305495 A CN112305495 A CN 112305495A
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Abstract

本发明涉及阵列信号处理中的DOA估计领域，具体涉及一种基于原子范数最小的互质阵列协方差矩阵重构方法，首先利用广义增广法得到互质阵列的非完备虚拟阵列协方差矩阵，并利用截断的均值奇异值门限法填充虚拟阵列协方差矩阵，再对其进行原子范数最小化求解，实现稳健的正定Toeplitz协方差矩阵重构。本发明充分利用互质阵列中协方差项信息及互质阵列孔径及自由度，提高了互质阵列DOA估计的稳定性，降低计算复杂度。

Description

一种基于原子范数最小的互质阵列协方差矩阵重构方法
发明领域
本发明涉及稀疏阵列信号处理中的DOA估计领域，具体涉及一种基于原子范数最小的互质阵列协方差矩阵重构方法。
背景发明
DOA(Direction of arrival,DOA)估计是阵列信号处理的主要问题，其应用领域包括雷达、声纳、语音和无线通信等。阵列孔径直接决定了信号波达方向(DOA)估计和自适应波束形成的性能，由空域采样定理可知，扩大均匀阵列孔径使得信号处理计算复杂度和成本快速增加。因此常采用稀疏阵列方式降低计算复杂度与成本，但稀疏阵列的流形模糊，使得信号空间谱估计不唯一。
最小冗余阵列(Minimum Redundancy Array，MRA)、互质(Coprime)阵列和嵌套(Nested)阵列等稀疏阵列在同孔径条件下，较均匀阵列有更小的硬件规模，为提高分辨率，可通过其差分伴随阵构造增强虚拟阵，充分利用其自由度(DOF)进行DOA估计，实现多于阵元数的信源估计。
现有的一种无网格DOA估计方法通过核范数最小化求解互质阵列协方差矩阵，并在此基础上完成虚拟阵列协方差矩阵所需的最少阵元。虽然以上核范数最小化算法是无正则化的，但协方差矩阵的估计是基于矩阵填充理论。由于虚拟相关项是从样本协方差矩阵中获得的，有限快拍数会影响协方差矩阵的估计精度。基于原子范数的内插虚拟阵列重构的DOA方法，在分辨率、估计精度、计算精度有一定的优越性，但由于引入了二值矩阵与内插阵元，大大增加计算复杂度。
发明内容
针对基于虚拟阵列插值的互质阵列DOA估计算法未完全利用协方差矩阵信息的问题，本发明将互质阵列协方差矩阵重构转换为低秩矩阵填充与原子范数优化，提出一种基于原子范数最小的互质阵列协方差矩阵重构方法，充分利用互质阵列中协方差项信息及互质阵列孔径，提高了互质阵列DOA估计的稳定性，降低计算复杂度。
为实现上述目的，本发明采取的发明方案为：
一种基于原子范数最小的互质阵列协方差矩阵重构方法，首先利用广义增广法得到互质阵列的非完备的虚拟阵列协方差矩阵，并利用截断的均值奇异值门限法填充虚拟阵列协方差矩阵，再对其进行原子范数最小化求解，实现稳健的正定Toeplitz协方差矩阵重构。
具体包括如下步骤：
S1、将直接数据协方差矩阵(DDC,Direct Data Covariance)的相关项冗余平均后得到协方差相关项，即
Figure BDA0002736803670000021
其中Φs为二阶差分阵，Ma＝maxΦs为互质阵列孔径，然后将缺失项补零后得到相关矢量
Figure BDA0002736803670000022
再将相关矢量Toeplitz化后得到增广厄密对称Toeplitz矩阵
Figure BDA0002736803670000023
若能根据Toeplitz的厄密对称性，即
Figure BDA0002736803670000024
T(·)表示Toeplitz化算子。
设缺失项为
Figure BDA0002736803670000025
则互质阵列的虚拟阵列协方差矩阵可表示为完备的Toeplitz矩阵为
Figure BDA0002736803670000026
E+和E-为前向和后向移位矩阵，
Figure BDA0002736803670000031
S2、结合Toeplitz矩阵的结构，利用截断的均值SVT算法保留奇异值分解后大于阈值的奇异值，将缺失对角线元素均值化作为初值，再通过迭代逼近
Figure BDA0002736803670000032
的最优值；
因Toeplitz矩阵厄密对称，奇异值分解即特征值分解，设
Figure BDA0002736803670000033
的特征值分解为
Figure BDA0002736803670000034
式中diag(·)表示矩阵对角化；
设门限τ＞0，定义特征值门限算子(Shrinkage Operator)
Figure BDA0002736803670000035
为
Figure BDA0002736803670000036
其中符号函数
Figure BDA0002736803670000037
由Toeplitz矩阵性质及门限算子
Figure BDA0002736803670000038
可得Toeplitz矩阵中的缺失相关项
Figure BDA0002736803670000039
及
Figure BDA00027368036700000310
的迭代值分别为
Figure BDA00027368036700000311
Figure BDA00027368036700000312
式中mean(·)为对角线求平均值。因此，可通过迭代法将
Figure BDA00027368036700000313
作为下一次迭代对象，获得新的
Figure BDA00027368036700000314
与
Figure BDA00027368036700000315
直至满足迭代截止条件，设迭代后虚拟阵列协方差矩阵为Tc。
S3、根据Toeplitz矩阵的范德蒙(Vandemonde)分解定理，存在向量z满足
Figure BDA00027368036700000316
其中pk为特征值，rk为特征向量。当半正定厄密Toeplitz矩阵T(z)为接收阵列的协方差矩阵时，特征向量rk即为阵列导向矢量r(θk)，向量z为协方差矩阵的首列，其原子分解可表示为
Figure BDA0002736803670000041
式中Ar＝r(θ)|θ∈[-90°,90°]。本发明以均值截断SVT法得到的虚拟阵列协方差矩阵Tc作为初值，利用原子分解法将互质阵列的虚拟阵列协方差矩阵重构问题表示为
Figure BDA0002736803670000042
其中μ为正则系数。
因原子分解类似于矩阵的秩，是非凸的，难以求解，故对其凸松弛后得到原子范数最小问题，即
Figure BDA0002736803670000043
上式中原子范数||z||A定义为
Figure BDA0002736803670000044
由Vandermonde分解定理可知，低秩Teoplitz矩阵T(z)0可唯一分解为
Figure BDA0002736803670000045
又因矩阵T(z)的迹满足
Figure BDA0002736803670000046
再由原子范数的定义可知，原子范数项等效为
||z||A＝Tr(T(z))/(Ma+1) (15)
由矩阵填充理论，基于原子范数最小的协方差矩阵填充问题可表示为
Figure BDA0002736803670000051
其中τ＝μ/Ma+1。本发明从协方差矩阵的相关项出发，将非完备协方差矩阵重构问题转换为低秩矩阵填充与原子范数优化问题。由于直接利用互质阵列的协方差矩阵进行最小原子分解是非凸的，因此对其进行原子范数凸松弛。互质阵列的相关项信息缺失，可利用基于核范数最小的矩阵填充方法对互质阵列的虚拟阵列协方差矩阵填充，再利用原子范数对其优化重构。本发明利用重构的协方差矩阵进行DOA估计，充分利用了互质阵列的差分伴随阵信息，实现了多于阵元数的目标分辨，具有计算简单，稳定高效，实时性高等特点。
与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：
该发明能使用稀疏阵元实现多于阵元数的多目标角度估计，有效提高阵列自由度；
该发明对于两个相近目标，能产生较好MUSIC伪谱图，降低旁瓣深度，加强分辨深度，能实现高效精准DOA估计；
该发明实现简单，算法复杂度较其他算法有显著提升，相较最大熵法，计算复杂度大幅度下降；
该发明在多次试验后呈现较高稳定性，随信噪比增加，算法精度上升，证明算法稳健；
该发明对各维度互质阵列均有效，表明该技术的普适性。
附图说明
图1为本发明实施例一种基于原子范数最小的互质阵列协方差矩阵重构方法的流程图。
图2为本发明实施例中的多目标MUSIC伪谱图。
图3为本发明实施例中的多算法MUSIC伪谱图。
图4为本发明实施例中的不同SNR下的RMSE图。
图5为本发明实施例中的协方差矩阵重构过程图。
图6为本发明实施例中的基于原子范数的填充算法分辨成功概率。
图7为本发明实施例中的基于原子范数的填充算法的分辨性能。
具体实施方式
下面结合具体实施例对本发明进行详细说明。以下实施例将有助于本领域的发明人员进一步理解本发明，但不以任何形式限制本发明。应当指出的是，对本领域的普通发明人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进。这些都属于本发明的保护范围。首先利用广义增广法得到互质阵列的非完备的虚拟阵列协方差矩阵，并利用截断的均值奇异值门限法填充虚拟阵列协方差矩阵，再对其进行原子范数最小化求解，实现稳健的正定Toeplitz协方差矩阵重构。
如图1所示，本发明实施例提供了一种基于原子范数最小的互质阵列协方差矩阵重构方法，首先利用广义增广法得到互质阵列的非完备的虚拟阵列协方差矩阵，并利用截断的均值奇异值门限法填充虚拟阵列协方差矩阵，再对其进行原子范数最小化求解，实现稳健的正定Toeplitz协方差矩阵重构，具体包括如下步骤：
S1、将直接数据协方差矩阵(DDC,Direct Data Covariance)的相关项冗余平均后得到协方差相关项，即
Figure BDA0002736803670000061
其中Φs为二阶差分阵，Ma＝maxs为互质阵列孔径，然后将缺失项补零后得到相关矢量
Figure BDA0002736803670000062
再将相关矢量Toeplitz化后得到增广厄密对称Toeplitz矩阵
Figure BDA0002736803670000063
若能根据Toeplitz的厄密对称性，即
Figure BDA0002736803670000064
T(·)表示Toeplitz化算子。
设缺失项为
Figure BDA0002736803670000071
Figure BDA0002736803670000072
则互质阵列的虚拟阵列协方差矩阵可表示为完备的Toeplitz矩阵为
Figure BDA0002736803670000073
E+和E-为前向和后向移位矩阵，
Figure BDA0002736803670000074
S2、结合Toeplitz矩阵的结构，利用截断的均值SVT算法保留奇异值分解后大于阈值的奇异值，将缺失对角线元素均值化作为初值，再通过迭代逼近
Figure BDA0002736803670000075
的最优值；
因Toeplitz矩阵厄密对称，奇异值分解即特征值分解，设
Figure BDA0002736803670000076
的特征值分解为
Figure BDA0002736803670000077
式中diag(·)表示矩阵对角化；
设门限τ＞0，定义特征值门限算子(Shrinkage Operator)
Figure BDA0002736803670000078
为
Figure BDA0002736803670000079
其中符号函数
Figure BDA00027368036700000710
由Toeplitz矩阵性质及门限算子
Figure BDA00027368036700000711
可得Toeplitz矩阵中的缺失相关项
Figure BDA00027368036700000712
及
Figure BDA00027368036700000713
的迭代值分别为
Figure BDA00027368036700000714
Figure BDA00027368036700000715
式中mean(·)为对角线求平均值。因此，可通过迭代法将
Figure BDA00027368036700000716
作为下一次迭代对象，获得新的
Figure BDA00027368036700000717
与
Figure BDA00027368036700000718
直至满足迭代截止条件，设迭代后虚拟阵列协方差矩阵为Tc。
S3、根据Toeplitz矩阵的范德蒙(Vandemonde)分解定理，存在向量z满足
Figure BDA0002736803670000081
其中pk为特征值，rk为特征向量。当半正定Hermitian Toeplitz矩阵T(z)为接收阵列的协方差矩阵时，特征向量rk即为阵列导向矢量r(θk)，向量z为协方差矩阵的首列，其原子分解可表示为
Figure BDA0002736803670000082
式中Ar＝r(θ)|θ∈[-90°,90°]。本发明以均值截断SVT法得到的虚拟阵列协方差矩阵Tc作为初值，利用原子分解法将互质阵列的虚拟阵列协方差矩阵重构问题表示为
Figure BDA0002736803670000083
其中μ为正则系数。
因原子分解类似于矩阵的秩，是非凸的，难以求解，故对其凸松弛后得到原子范数最小问题，即
Figure BDA0002736803670000084
上式中原子范数||z||A定义为
Figure BDA0002736803670000085
由Vandermonde分解定理可知，低秩Teoplitz矩阵T(z)≥0可唯一分解为
Figure BDA0002736803670000086
又因矩阵T(z)的迹满足
Figure BDA0002736803670000091
再由原子范数的定义可知，原子范数项等效为
||z||A＝Tr(T(z))/(Ma+1) (15)
由矩阵填充理论，基于原子范数最小的协方差矩阵填充问题可表示为
Figure BDA0002736803670000092
其中τ＝μ/Ma+1。
该问题为典型凸优化问题，相较内插阵元法，不需引入多个参数对虚拟阵列与真实阵列进行区分计算，降低计算复杂度，可通过最优化技术的内点法求解。
实施例
N＝5,M＝3的互质阵列，d＝0.5λ，其位置S＝[0,3,5,6,9,10,12]d，与13阵元ULA孔径相等，缺失项差分集
Figure BDA0002736803670000093
SNR为阵元信噪比，N＝100，迭代终止条件ε＝10-4，每个数据点做300次Mon Carlo试验。
分析本发明的多目标分辨性能。设K＝9个等功率不相干信号，入射角θ＝[-60°,-45°,-30°,-15°,0°,15°,30°,45°,60°]，SNR＝5dB。图2利用本发明进行DOA估计的MUSIC伪谱图，本发明基于7阵元互质阵列可靠分辨9个目标，充分说明其有效性与正确性，理论上该互质阵列可分辨12个目标，远多于阵元数。
分析本发明的解模糊性能。设三个等功率不相干相近目标入射角为θ＝[-8° 0°8°]，SNR＝0dB。由图3的MUSIC伪谱图可知，互质阵列的直接协方差矩阵得到的MUSIC伪谱图无明显伪峰，但DOA估计性能较差。而KR积法只选择部分连续完备差分集
Figure BDA0002736803670000094
相当于8阵元的ULA阵列，使得估计精度不高，产生较大角度偏差。直接原子范数优化法无明显估计偏差，且分辨深度高于13阵元的均匀阵列，证明了原子范数优化的有效性。本发明结合低秩矩阵填充及原子范数优化理论，实现低计算复杂度下的稳定且高分辨力的DOA估计。
分析本发明的DOA估计精度。设两个等功率不相干目标入射角为θ＝[1.5° 1.5°]，与13阵元均匀线阵及KR积法进行比较，DOA估计方法采用MUSIC法。图4给出角度均方根误差(RMSE)
Figure BDA0002736803670000101
为信号源个数；J为蒙特卡洛次数；
Figure BDA0002736803670000102
θi,j分别第i个信号入射角的估计值与真实值。在低信噪比情况下较均匀阵列的估计精度，本发明有明显优势，随信噪比的增加，在SNR＝-1dB处，两种方法的估计精度开始逼近，整体表明本发明中基于原子范数的互质阵列协方差矩阵重构算法是稳健的。
分析本发明的快速收敛性。设2个等功率不相干目标入射角为θ＝[-5° 5°]，SNR分别为-5dB、0dB、5dB。图5给出核范数与归一化均方误差(NMSE)的迭代过程，其中NMSE定义为NMSE＝||Tk+1-Tk||F/||Tk||F，Tk表示第k次迭代Toeplitz矩阵。显然，本发明中的基于截断均值核范数最小的协方差矩阵重构算法是快速收敛的，仅需迭代2-3次即可基本逼近终止条件，实现了协方差矩阵的优化重构。
分析本发明对多目标的目标分辨性能，仿真条件同上，图6为SNR＝5dB，Δθ从0.5°至10°的分辨成功率，图7给出Δθ＝2°时两目标的MUSIC分辨成功概率，分辨准则为当两目标角度误差都小于半波束宽度时认为目标是已分辨的，分辨门限约为2dB。由图6-7可以看出，本发明分辨性能略低于同孔径均匀阵列，而远优于KR积法，说明本发明提出的协方差矩阵重构方法具有较高的分辨性能。
以上对本发明的具体实施例进行了描述。需要理解的是，本发明并不局限于上述特定实施方式，本领域发明人员可以在权利要求的范围内做出各种变化或修改，这并不影响本发明的实质内容。在不冲突的情况下，本申请的实施例和实施例中的特征可以任意相互组合。

Claims (2)

1.一种基于原子范数最小的互质阵列协方差矩阵重构方法，其特征在于：首先利用广义增广法得到部分完备的互质阵列虚拟协方差矩阵，并转换为Toeplitz矩阵填充问题，然后利用截断的均值奇异值门限法得到虚拟协方差矩阵初值，再对其进行原子范数最小化求解，实现稳健的正定Toeplitz协方差矩阵重构。
2.如权利要求1所述的一种基于原子范数最小的互质阵列协方差矩阵重构方法，具体包括如下步骤：
S1、将直接数据协方差矩阵(DDC，Direct Data Covariance)的相关项冗余平均后得到协方差相关项，即
Figure FDA0002736803660000011
其中Φs为二阶差分阵，Ma＝maxΦs为互质阵列孔径，然后将缺失项补零后得到相关矢量
Figure FDA0002736803660000012
再将相关矢量Toeplitz化后得到增广厄密对称Toeplitz矩阵
Figure FDA0002736803660000013
若能根据Toeplitz的厄密对称性，即
Figure FDA0002736803660000014
T(·)表示Toeplitz化算子；
设缺失项为
Figure FDA0002736803660000015
Figure FDA0002736803660000016
则互质阵列的虚拟阵列协方差矩阵可表示为完备的Toeplitz矩阵为
Figure FDA0002736803660000017
E+和E-为前向和后向移位矩阵，
Figure FDA0002736803660000018
S2、结合Toeplitz矩阵的结构，利用截断的均值SVT算法保留奇异值分解后大于阈值的奇异值，将缺失对角线元素均值化作为初值，再通过迭代逼近
Figure FDA0002736803660000021
的最优值；
因Toeplitz矩阵厄密对称，奇异值分解即特征值分解，设
Figure FDA0002736803660000022
的特征值分解为
Figure FDA0002736803660000023
式中diag(·)表示矩阵对角化；
设门限τ＞0，定义特征值门限算子
Figure FDA0002736803660000024
为
Figure FDA0002736803660000025
其中符号函数
Figure FDA0002736803660000026
由Toeplitz矩阵性质及门限算子
Figure FDA0002736803660000027
可得Toeplitz矩阵中的缺失相关项
Figure FDA0002736803660000028
及
Figure FDA0002736803660000029
的迭代值分别为
Figure FDA00027368036600000210
Figure FDA00027368036600000211
式中mean(·)为对角线求平均值；因此，可通过迭代法将
Figure FDA00027368036600000212
作为下一次迭代对象，获得新的
Figure FDA00027368036600000213
与
Figure FDA00027368036600000214
直至满足迭代截止条件，设迭代后虚拟阵列协方差矩阵为Tc；
S3、根据Toeplitz矩阵的范德蒙(Vandemonde)分解定理，存在向量z满足
Figure FDA00027368036600000215
其中pk为特征值，rk为特征向量；当半正定Hermitian Toeplitz矩阵T(z)为接收阵列的协方差矩阵时，特征向量rk即为阵列导向矢量r(θk)，向量z为协方差矩阵的首列，其原子分解可表示为
Figure FDA00027368036600000216
式中Ar＝r(θ)|θ∈[-90°，90°]；本发明以均值截断SVT法得到的虚拟阵列协方差矩阵Tc作为初值，利用原子分解法将互质阵列的虚拟阵列协方差矩阵重构问题表示为
Figure FDA0002736803660000031
其中μ为正则系数；
因原子分解类似于矩阵的秩，是非凸的，难以求解，故对其凸松弛后得到原子范数最小问题，即
Figure FDA0002736803660000032
上式中原子范数||z||A定义为
Figure FDA0002736803660000033
由Vandermonde分解定理可知，低秩Teoplitz矩阵T(z)≥0可唯一分解为
Figure FDA0002736803660000034
又因矩阵Y(z)的迹满足
Figure FDA0002736803660000035
再由原子范数的定义可知，原子范数项等效为
||z||A＝Tr(T(z))/(Ma+1) (15)
由矩阵填充理论，基于原子范数最小的协方差矩阵填充问题可表示为
Figure FDA0002736803660000036
其中τ＝μ/Ma+1。
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