CN107329110B - 基于稀疏阵列直接内插的波达方向估计方法 - Google Patents

基于稀疏阵列直接内插的波达方向估计方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于稀疏阵列直接内插的波达方向估计方法，主要解决现有技术中基于虚拟域等价信号处理所导致的信息损失和性能衰减等问题。其实现步骤是：接收端使用稀疏阵列接收信号并建模；通过虚拟阵元内插将稀疏阵列转变为均匀线性阵列并进行接收信号建模；内插稀疏阵列投影向量定义；设计基于矩阵秩最小化的优化问题并求解，以重建内插稀疏阵列协方差矩阵；根据重建的内插稀疏阵列协方差矩阵进行波达方向估计。本发明提高了波达方向估计的自由度及估计准确度，可用于无源定位和目标探测。

Description

基于稀疏阵列直接内插的波达方向估计方法
技术领域
本发明属于信号处理技术领域，尤其涉及对雷达信号、声学信号及电磁信号的波达方向估计，具体是一种基于稀疏阵列直接内插的波达方向估计方法，可用于无源定位和目标探测。
背景技术
波达方向(Direction-of-Arrival,DOA)估计是阵列信号处理领域的一个重要分支，它是指利用阵列天线接收空域信号，并通过现代信号处理技术和各类优化方法实现对接收信号统计量的有效处理，从而实现信号的DOA估计，在雷达、声呐、语音、无线通信等领域均有着重要的应用价值。
均匀线性阵列是传统波达方向估计方法中最为常用的一个阵列结构，因为其满足奈奎斯特采样定理，从而能够实现有效的DOA估计。但是，阵列孔径和DOA估计的自由度受限于均匀线性阵列中物理阵元的个数，从而导致了算法性能与计算效率之间的权衡问题。为了缓解这一矛盾，稀疏阵列开始受到学术界的关注，相关基于稀疏阵列的波达方向估计方法陆续被提出，用于获取在相同物理阵元情况下更大的阵列孔径和更好的分辨率性能，从而探究超出奈奎斯特采样频率情况下的DOA估计性能。
由于稀疏阵列通常为非均匀或稀疏均匀结构，不满足奈奎斯特采样定理。现有方法通常将稀疏阵列接收信号进行虚拟域统计信号处理，得到高阶统计量，并根据高阶统计量所对应的虚拟阵列实现DOA估计。但是，基于虚拟域的统计信号处理存在一定的局限：一方面，虚拟阵列通常情况下是非均匀的，为了在虚拟域上寻找一个等价均匀线性阵列，一个常见的做法是将其中非连续的虚拟阵元去除而仅保留连续虚拟阵元部分所形成的虚拟子阵列，从而导致了信息的损失；另一方面，虚拟域中高阶统计量存在采样快拍个数不足的问题，从而导致相关的矩阵操作存在秩亏现象，而为了克服此类问题所引入的空间平滑等技术在一定程度上造成了DOA估计的性能衰减。
发明内容
本发明的目的在于针对上述现有技术存在的不足，提出一种基于稀疏阵列直接内插的波达方向估计方法，充分利用了稀疏阵列所接收的全部信号信息，从而提高了DOA估计的自由度与准确度。
本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：一种基于稀疏阵列直接内插的波达方向估计方法，包含以下步骤：
(1)接收端使用一个包含L个物理阵元的稀疏阵列接收入射信号，假设有K个来自θ1,θ2,…,θK方向的远场窄带非相干信号源，则L×1维稀疏阵列接收信号x(t)可建模为：
其中，sk(t)为信号波形，n(t)为与各信号源相互独立的噪声分量，a(θk)为θk方向的稀疏阵列导引矢量，表示为：
其中，S＝{0,u2d,…,uLd}为包含稀疏阵列中各物理阵元实际位置的集合，且稀疏阵列的第一个物理阵元置于零位，即u1＝0；d为入射窄带信号波长λ的一半，即d＝λ/2；[·]T表示转置操作；
(2)通过阵元内插的方式，将虚拟阵元直接内插入稀疏阵列，以形成一个包含个阵元、阵元间距为d、且阵列孔径与原始稀疏阵列相同的均匀线性阵列，各阵元的位置可表示为：内插稀疏阵列的接收信号可建模为：
其中，<·>l表示位于l位置上的阵元所接收到的信号；相应地，内插稀疏阵列的采样协方差矩阵可表示为：
其中，T为采样快拍的个数，(·)H表示共轭转置；
(3)定义一个维内插稀疏阵列投影向量p，该向量为二值向量，且与内插稀疏阵列中各阵元的状态一一对应：若内插稀疏阵列中某个位置上的阵元为物理阵元，则p中相应位置上的元素为1；若内插稀疏阵列中某个位置上的阵元为虚拟阵元，则p中相应位置上的元素为0；
(4)设计基于矩阵秩最小化的内插稀疏阵列协方差矩阵重建优化问题并求解：以内插稀疏阵列采样协方差矩阵作为参考，可构建如下以矢量z为变量的优化问题以重建内插稀疏阵列协方差矩阵：
其中，表示以矢量z为第一列的厄米特对称Toeplitz矩阵；P为维投影矩阵，可计算为P＝ppT；∈为阈值常数，用于约束内插稀疏阵列协方差矩阵的重建误差；保证了重建的内插稀疏阵列协方差矩阵满足半正定的条件；°表示Hadamard积，即矩阵中各元素一一点乘；||·||F表示Frobenius范数，rank(·)表示矩阵的秩；求解上述优化问题可得到最优化值相应地，重建的维Toeplitz矩阵为内插稀疏阵列协方差矩阵；
(5)根据重建的内插稀疏阵列协方差矩阵进行波达方向估计。
进一步地，步骤(4)中所构建的非凸优化问题可通过凸松弛技术，将优化问题目标函数中的矩阵秩最小化操作替换为矩阵求迹最小化操作，得到以下以矢量z为变量的凸优化问题：
其中，Tr(·)表示矩阵的迹。
进一步地，步骤(4)中所构建的非凸优化问题可转化为如下以矢量z为变量的凸优化问题以求解：
其中μ为正则化参数，用于权衡矩阵的重建误差和矩阵的迹。
进一步地，步骤(5)中的波达方向估计，可采用以下方法：多重信号分类方法、旋转不变子空间方法、求根多重信号分类方法、协方差矩阵稀疏重建方法等。
进一步地，步骤(5)中，可通过多重信号分类方法进行波达方向估计，具体为：画出内插稀疏阵列空间功率谱PMUSIC(θ)：
其中d(θ)是维内插稀疏阵列导引矢量，其相应的各阵元位置包含于集合En是维矩阵，表示内插稀疏阵列协方差矩阵的噪声子空间；θ是假定的信号波达方向；通过谱峰搜索寻找空间功率谱PMUSIC(θ)上的峰值，并将这些峰值所对应的响应值从大到小排列，取前K个峰值所对应的角度方向，即为波达方向估计结果。
本发明与现有技术相比具有以下优点：
(1)本发明避免了在虚拟域中进行统计信号处理，而是直接在稀疏阵列上实现虚拟阵元的内插，并将稀疏阵列转变为一个等价均匀线性阵列以实现满足奈奎斯特采样定理条件的波达方向估计，无需计算高阶统计量，能够完全利用稀疏阵列接收到的全部信号信息；
(2)本发明在内插稀疏阵列协方差矩阵重建的优化问题设计中引入了协方差矩阵的Toeplitz结构作为先验信息，以保证重建结果与理论值的接近程度，在增加自由度的同时提升了波达方向估计的准确度。
附图说明
图1是本发明的方法总体流程框图。
图2是用于体现本发明所提方法自由度性能的空间功率谱示意图。
图3是本发明所提方法在不同稀疏阵列结构情况下的波达方向估计均方根误差与信噪比之间的性能对比示意图，采样快拍数T＝500。
具体实施方式
以下参照附图，对本发明的技术方案和效果作进一步的详细说明。
对于DOA估计方法在实际系统中的应用，稀疏阵列能够在使用相同物理阵元个数的情况下获得比均匀线性阵列更大的阵列孔径和更多的自由度，因而在阵列信号处理领域受到了极大的关注。现有方法通常将稀疏阵列推导至虚拟域，并通过等价虚拟阵列信号统计量的处理实现波达方向的估计。但是，基于虚拟域的统计信号处理存在信息损失和性能衰减等问题。为了充分利用稀疏阵列的大孔径优势及其接收到的全部信号信息，本发明提供了一种基于稀疏阵列直接内插的波达方向估计方法，参照图1，本发明的实现步骤如下：
步骤一：接收端使用稀疏阵列接收信号并建模。假设有K个来自θ1,θ2,…,θK方向的远场窄带非相干信号源，使用一个包含L个物理阵元的稀疏阵列接收入射信号，则该稀疏阵列的接收信号x(t)为L×1维向量，可建模为：
其中，sk(t)为信号波形，n(t)为与各信号源相互独立的噪声分量，a(θk)为θk方向的稀疏阵列导引矢量，表示为
其中，S＝{0,u2d,…,uLd}为包含稀疏阵列中各物理阵元实际位置的集合，且稀疏阵列的第一个物理阵元置于零位，即u1＝0；d为入射窄带信号波长λ的一半，即d＝λ/2；[·]T表示转置操作。
步骤二：通过虚拟阵元内插将稀疏阵列转变为均匀线性阵列并进行接收信号建模。通过阵元内插的方式，将虚拟阵元直接内插入稀疏阵列，以形成一个包含个阵元、阵元间距为d、且阵列孔径与原始稀疏阵列相同的均匀线性阵列，各阵元的位置可表示为：由于内插的虚拟阵元并非实际存在，实际中无法接收信号，故内插稀疏阵列的接收信号可建模为：
其中，<·>l表示位于l位置上的阵元所接收到的信号；相应地，内插稀疏阵列的采样协方差矩阵可表示为：
其中，T为采样快拍的个数，(·)H表示共轭转置。
步骤三：内插稀疏阵列投影向量定义。内插稀疏阵列投影向量p为维二值向量，且与内插稀疏阵列中各阵元的状态一一对应：若内插稀疏阵列中某个位置上的阵元为物理阵元，则p中相应位置上的元素为1；若内插稀疏阵列中某个位置上的阵元为虚拟阵元，则p中相应位置上的元素为0。
步骤四：设计基于矩阵秩最小化的内插稀疏阵列协方差矩阵重建优化问题并求解。以内插稀疏阵列采样协方差矩阵作为参考，可构建如下以矢量z为变量的优化问题以重建内插稀疏阵列协方差矩阵：
其中，表示以矢量z为第一列的厄米特对称Toeplitz矩阵；P为维投影矩阵，可计算为P＝ppT；∈为阈值常数，用于约束内插稀疏阵列协方差矩阵的重建误差；保证了重建的内插稀疏阵列协方差矩阵满足半正定的条件；°表示Hadamard积，即矩阵中各元素一一点乘；||·||F表示Frobenius范数，rank(·)表示矩阵的秩。求解上述优化问题可得到最优化值由于上述优化问题包含求解矩阵的秩最小化这一非凸项，这将导致求解困难；为了获得优化解，我们考虑引入凸松弛技术，将上述优化问题目标函数中矩阵秩最小化操作替换为矩阵求迹最小化操作，得到以下以矢量z为变量的凸优化问题：
其中Tr(·)表示矩阵的迹。上述凸优化问题可等价写为以下以矢量z为变量的凸优化问题：
其中μ为正则化参数，用于权衡矩阵的重建误差和矩阵的迹。求解上述凸优化问题可得到最优化值相应地，重建的维Toeplitz矩阵为内插稀疏阵列协方差矩阵。
步骤五：根据重建的内插稀疏阵列协方差矩阵进行波达方向估计。通过引入经典的方法，如多重信号分类方法、旋转不变子空间方法、求根多重信号分类方法、协方差矩阵稀疏重建方法等，可以求得波达方向估计结果。以多重信号分类方法为例，画出内插稀疏阵列空间功率谱PMUSIC(θ)
其中d(θ)是维内插稀疏阵列导引矢量，其相应的各阵元位置包含于集合En是维矩阵，表示内插稀疏阵列协方差矩阵的噪声子空间；θ是假定的信号波达方向；通过谱峰搜索寻找空间功率谱PMUSIC(θ)上的峰值，并将这些峰值所对应的响应值从大到小排列，取前K个峰值所对应的角度方向，即为波达方向估计结果。
本发明通过虚拟阵元直接内插的方式将稀疏阵列转变为均匀线性阵列并建模，无需等价虚拟阵列接收信号的推导即可实现满足奈奎斯特采样定理条件的统计信号处理；此外，本发明通过内插稀疏阵列协方差矩阵重建的方式实现了内插稀疏阵列采样协方差矩阵中空缺元素的填充，有效地利用了稀疏阵列的大阵列孔径优势及其全部接收信号的信息，增加了波达方向估计的自由度和准确度。
下面结合仿真实例对本发明的效果做进一步的描述。
仿真实例1：接收端使用7个物理阵元架构稀疏阵列，各物理阵元的位置分别为0,3d,5d,6d,9d,10d,12d；假定入射窄带信号个数为11，且入射方向均匀分布于-50°至50°这一空间角度域范围内；信噪比设置为0dB，采样快拍数T＝500；正则化参数μ设置为0.25。
本发明所提出的基于稀疏阵列直接内插的波达方向估计方法空间功率谱如图2所示，其中垂直虚线代表入射信号源的实际方向。可以看出，本发明所提方法仅通过7个物理阵元即可有效分辨这11个入射信号源。而对于传统采用均匀线性阵列的方法，利用7个物理天线阵元最多只能分辨6个入射信号，以上结果体现了本发明所提方法在自由度性能上的优势。
仿真实例2：分别考虑三种不同的稀疏阵列结构，即：最小冗余阵列、嵌套阵列和随机阵列；各阵列均包含7个物理阵元，则最小冗余阵列的物理阵元位置为0,d,8d,11d,13d,15d,17d；嵌套阵列的物理阵元位置为0,d,2d,3d,7d,11d,15d；随机阵列的物理阵元位置随机产生，为了保证阵列孔径的固定，其中两个物理阵元的位置固定为0与12d；假定入射窄带随机信号的方向满足均值为0°、方差为1°的随机分布，本发明所提方法在不同阵列结构情况下的均方根误差性能随信噪比的变化如图3所示，采样快拍数T＝500；与此同时，相应的克拉美罗界也在图3中标出以作为参考。由图3所示的性能对比结果可以看出，本发明所提方法对于不同结构的稀疏阵列具有普适性，且在信噪比大于-10dB的情况下均方根误差性能与克拉美罗界基本重合，体现了本方法优越的波达方向估计准确度。
综上所述，本发明所提方法充分利用了稀疏阵列大阵列孔径的优势，能够充分利用稀疏阵列接收到的全部信息，提升了波达方向估计的准确度；并通过虚拟阵元直接内插的方式提升波达方向估计的自由度，实现在信号源个数大于等于物理阵元个数情况下的波达方向有效估计。此外，与传统采用均匀线性阵列的方法相比，本发明所提方法在实际应用中所需的物理天线阵元及射频模块也能够相应减少，体现了经济性和高效性。

Claims (5)

1.一种基于稀疏阵列直接内插的波达方向估计方法，其特征在于，包含以下步骤：
(1)接收端使用一个包含L个物理阵元的稀疏阵列接收入射信号，假设有K个来自θ1,θ2,…,θK方向的远场窄带非相干信号源，则L×1维稀疏阵列接收信号x(t)可建模为：
其中，sk(t)为信号波形，n(t)为与各信号源相互独立的噪声分量，a(θk)为θk方向的稀疏阵列导引矢量，表示为：
其中，S＝{0,u2d,…,uLd}为包含稀疏阵列中各物理阵元实际位置的集合，且稀疏阵列的第一个物理阵元置于零位，即u1＝0；d为入射窄带信号波长λ的一半，即d＝λ/2；[·]T表示转置操作；
(2)通过阵元内插的方式，将虚拟阵元直接内插入稀疏阵列，以形成一个包含个阵元、阵元间距为d、且阵列孔径与原始稀疏阵列相同的均匀线性阵列，各阵元的位置可表示为：内插稀疏阵列的接收信号可建模为：
其中，<·>l表示位于l位置上的阵元所接收到的信号；相应地，内插稀疏阵列的采样协方差矩阵可表示为：
其中，T为采样快拍的个数，(·)H表示共轭转置；
(3)定义一个维内插稀疏阵列投影向量p，该向量为二值向量，且与内插稀疏阵列中各阵元的状态一一对应：若内插稀疏阵列中某个位置上的阵元为物理阵元，则p中相应位置上的元素为1；若内插稀疏阵列中某个位置上的阵元为虚拟阵元，则p中相应位置上的元素为0；
(4)设计基于矩阵秩最小化的内插稀疏阵列协方差矩阵重建优化问题并求解：以内插稀疏阵列采样协方差矩阵作为参考，可构建如下以矢量z为变量的优化问题以重建内插稀疏阵列协方差矩阵：
其中，表示以矢量z为第一列的厄米特对称Toeplitz矩阵；P为维投影矩阵，可计算为P＝ppT；∈为阈值常数，用于约束内插稀疏阵列协方差矩阵的重建误差；保证重建的内插稀疏阵列协方差矩阵满足半正定的条件；°表示Hadamard积，即矩阵中各元素一一点乘；‖·‖F表示Frobenius范数，rank(·)表示矩阵的秩；求解优化问题可得到最优化值相应地，重建的维Toeplitz矩阵为内插稀疏阵列协方差矩阵；
(5)根据重建的内插稀疏阵列协方差矩阵进行波达方向估计。
2.根据权利要求1所述的基于稀疏阵列直接内插的波达方向估计方法，其特征在于：步骤(4)中所构建的非凸优化问题可通过凸松弛技术，将优化问题目标函数中的矩阵秩最小化操作替换为矩阵求迹最小化操作，得到以下以矢量z为变量的凸优化问题：
其中，Tr(·)表示矩阵的迹。
3.根据权利要求1所述的基于稀疏阵列直接内插的波达方向估计方法，其特征在于：步骤(4)中所构建的非凸优化问题可转化为如下以矢量z为变量的凸优化问题以求解：
其中μ为正则化参数，用于权衡矩阵的重建误差和矩阵的迹。
4.根据权利要求1所述的基于稀疏阵列直接内插的波达方向估计方法，其特征在于：步骤(5)中的波达方向估计，可采用以下方法之一：多重信号分类方法、旋转不变子空间方法、求根多重信号分类方法、协方差矩阵稀疏重建方法。
5.根据权利要求1所述的基于稀疏阵列直接内插的波达方向估计方法，其特征在于：步骤(5)中，可通过多重信号分类方法进行波达方向估计，具体为：画出内插稀疏阵列空间功率谱PMUSIC(θ)：
其中d(θ)是维内插稀疏阵列导引矢量，其相应的各阵元位置包含于集合En是维矩阵，表示重建的内插稀疏阵列协方差矩阵的噪声子空间；θ是假定的信号波达方向；通过谱峰搜索寻找空间功率谱PMUSIC(θ)上的峰值，并将这些峰值所对应的响应值从大到小排列，取前K个峰值所对应的角度方向，即为波达方向估计结果。
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