CN105403856B - 基于嵌套式最小冗余阵列的波达方向估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于嵌套式最小冗余阵列的波达方向估计方法，主要解决现有技术在目标个数大于阵元数时波达方向估计分辨率低的问题。其实现过程是：1给定总阵元数构造嵌套式最小冗余阵列NMRA；2根据NMRA得到NMRA的接收数据X(t)；3根据X(t)估计NMRA的协方差矩阵R_XX，向量化R_XX并去除重复元素得到差分合成阵列接收数据z_c；4将z_c划分为多个子阵接收数据，计算每个子阵接收数据的协方差矩阵并进行前后向平滑平均得到秩恢复数据协方差矩阵R_SS；5对R_SS进行特征值分解，得到波达方向估计角度。本发明在同等条件下具有孔径大，自由度高，波达方向估计测角性能好的优点，可用于雷达目标信号检测或功率估值。

Description

基于嵌套式最小冗余阵列的波达方向估计方法

本发明属于信号处理技术领域，特别涉及一种嵌套式最小冗余阵列结构，用于估计目标个数大于阵元数情况下的波达方向，提高测角精度。

背景技术

波达方向DOA估计是雷达、声纳信号处理中的一个重要研究方向。众所周知，对于一个具有N个阵元的均匀线性阵列，采用传统的波达方向估计方法，如MUSIC，ESPRIT等所能分辨的最大目标个数为N-1个。而欠定波达方向估计问题，即目标个数大于阵元数的DOA估计经常出现并引起广泛的研究兴趣。解决该问题的其中一种有效方法是利用一个等效的虚拟阵列来提高波达方向估计的自由度，该虚拟阵列是通过对一个特殊设计的非均匀线性阵列接收信号的协方差矩阵向量化来构造的。最小冗余阵列MRA就是这样一类阵列，它在给定阵元数N及虚拟阵列为均匀线性阵列的情况下，可以获得最大的阵列孔径。然而，最小冗余阵列的阵元位置及能够获得的自由度都没有明确的闭式解。虽然已有文献，如美国H.L.VanTrees教授的Optimum array processing:part IV of detection,estimation,andmodulation通过穷搜的方法获得了阵元数小于等于17的最小冗余阵列，但却没有简单的方法来预测更大的最小冗余阵列MRA。

最近P.Pal等提出了一种新的嵌套式阵列NA结构，该阵列的阵元位置具有闭式解，并且通过利用接收数据的二阶统计信息，使用N个阵元就可以获得O(N²)的自由度。嵌套式阵列是由两个或多个具有不同阵元间隔的均匀线性子阵组成，它的缺点是第一个子阵的阵元间距通常较小，这可能会引起阵元间的互耦问题。P.P.Vaidyanathan等后来提出的互质阵列CA可以通过增大阵元间距来减小阵元间的互耦问题。互质阵列是由两个阵元数目分别是M、N的均匀线性子阵构成其中M、N为互质的整数，它能够获得多于阵元数目的自由度，但是由它构造的虚拟阵列并不是一个完全填充的均匀线性阵列，即在某些位置上没有虚拟阵元。通过利用虚拟阵列而不是原始阵列来进行DOA估计，这样由互质阵列获得的自由度就可以用来实现目标个数大于阵元数的DOA估计。但是在通过阵列接收信号的协方差矩阵构造虚拟阵列时，虚拟阵列中等效信源被实际信源的功率所替代，因此这些等效信源就表现为完全相干的信号。P.P.Vaidyanathan等提出采用一种基于空间平滑的MUSIC算法来解相干。然而由于基于空间平滑的估计算法一般只适用于均匀线阵，DOA估计时就只能利用互质阵列构造的虚拟阵列的一部分，这就会带来自由度和阵列孔径的降低。

综上，现有的几种阵列虽然均能获得多于阵元数目的自由度，但都存在一定的局限，因此需要设计新的综合性能更优的阵列。

发明内容

本发明的目的在于克服上述已有阵列的不足，提出一种基于嵌套式最小冗余阵列的波达方向估计方法，以减少阵元间的互耦问题，形成完全填充的均匀线性虚拟阵列，获得较高的自由度和阵列孔径，提高波达方向DOA的估计精度。

本发明的技术思路是:根据总阵元数选择子阵数目及子阵内阵元数，利用现有文献结果得到相应的最小冗余子阵结构；通过计算子阵间的单元间距，构造嵌套式最小冗余阵列NMRA；计算NMRA虚拟阵列以获得差分合成阵列，计算嵌套式最小冗余阵列NMRA的自由度；对差分合成阵列进行进行波达方向DOA估计。其实现方案包括如下：

1)构造嵌套式最小冗余阵列

1a)给定总阵元数S，对S进行因式分解得到子阵数目N及子阵内阵元数M，得到M阵元最小冗余阵列位置矢量u_M，M阵元最小冗余阵列的自由度F_M；

u_M＝[m₁,m₂,…m_i…m_M]·d 1≤i≤M

F_M＝2*m_M+1

其中d为入射信号的半波长，m₁,m₂,…m_i…m_M为整数,且m₁＝0，m_i表示子阵内第i个阵元位置系数；

1b)计算子阵间的单元间距D＝F_M·d，得到N阵元最小冗余子阵位置矢量u_N和N阵元最小冗余子阵的自由度F_N；

u_N＝[n₁,n₂,…n_j…n_N]·D 1≤j≤N

F_N＝2*n_N+1

其中：n₁,n₂,…n_j…n_N为整数且n₁＝0，n_j表示第j个子阵位置系数；

1c)用上述参数u_N、u_M、D和F_M、F_N计算嵌套式最小冗余阵列位置矢量v和嵌套式最小冗余阵列的自由度F_v：

F_v＝F_M·F_N

其中符号表示交叉求和；S＝M·N表示嵌套式最小冗余阵列NMRA的总阵元数；p_k表示套式最小冗余阵列NMRA第k个阵元的位置系数；

1d)根据嵌套式最小冗余阵列位置矢量v，得到第k个阵元距离参考阵元的间距p_k·d，从而确定嵌套式最小冗余阵列NMRA所有共S个阵元的位置，得到嵌套式最小冗余阵列NMRA。

2)根据嵌套式最小冗余阵列NMRA，得到嵌套式最小冗余阵列的接收数据X(t)；

3)根据阵列接收数据X(t)估计嵌套式最小冗余阵列的协方差矩阵R_XX，向量化该协方差矩阵R_XX得到向量化接收数据z_ct，去除z_ct中重复的元素，得到虚拟的差分合成阵列接收数据z_c；

R_XX＝E[X(t)X^H(t)]，z_ct＝vec(R_XX)，z_c＝Dis(z_ct)

其中E表示求数学期望；X^H(t)表示X(t)的共轭转置；vec表示矩阵的向量化操作；Dis表示去除向量中重复元素的操作，t:表示采样时间t＝1,2...,T，T:表示快拍数；

4)将差分合成阵列接收数据z_c划分为l_c个子阵接收数据，第i个子阵接收数据表示为z_ci，i＝1,2,...l_c，计算第i个子阵的协方差矩阵R_i，并对该R_i进行前后向平滑平均，得到秩恢复的数据协方差矩阵R_SS，其中l_c表示子阵的个数，F_v表示嵌套式最小冗余阵列的自由度；

5)根据R_SS估计出空间谱函数S(θ)，计算S(θ)中Q个极大值S(θ_q)，S(θ_q)对应的角度θ_q即为波达方向。其中，θ_q表示第q个入射信号的入射角，q＝1,2…Q，Q表示入射信号的总个数。

本发明与现有阵列结构相比具有以下优点：

1)能获得孔径更大的阵列

最小冗余阵列的阵元位置及可用自由度都没有闭式解，其设计往往需要复杂的计算机穷搜；而本发明阵列的阵元位置及可用自由度可利用已知的最小冗余阵列的参数预测获得，实现简单，易于获得孔径更大的阵列。

2)更高的自由度

嵌套式阵列NA的第一个子阵存在较严重的互耦问题，而本发明阵列的阵元间距较大，能够降低互耦问题的影响，并且在同样物理阵元数情况下可获得更大的阵列孔径和更高的自由度。

3)测角性能好

现有互质阵列CA构造的虚拟差分合成阵列由于不是完全填充的均匀线阵，会降低DOA估计可用的自由度及测角精度；而本发明阵列构造的差分合成阵列为完全填充的均匀线阵，不仅在同样物理阵元数情况下可获得比CA更大的阵列孔径和更高的自由度，而且能估计更多的目标，具有更好的测角性能。

附图说明

图1是本发明的实现流程图；

图2是本发明仿真使用的12阵元嵌套式最小冗余阵列NMRA的几何结构示意图；

图3是嵌套式最小冗余阵列NMRA、最小冗余阵列MRA、嵌套式阵列NA、互质阵列CA四种阵列的自由度与总阵元数的关系比较图；

图4是嵌套式最小冗余阵列NMRA、最小冗余阵列MRA、嵌套式阵列NA、互质阵列CA四种阵列的有效孔径与总阵元数的关系比较图；

图5是嵌套式最小冗余阵列NMRA、嵌套式阵列NA两种阵列阵元对个数与总阵元数的关系比较图；

图6是用嵌套式最小冗余阵列NMRA估计多个目标的空间谱函数谱图；

图7是用嵌套式最小冗余阵列NMRA、最小冗余阵列MRA、互质阵列CA三种阵列的波达方向DOA估计均方根误差与信噪比关系的比较图；

图8是用嵌套式最小冗余阵列NMRA、最小冗余阵列MRA、互质阵列CA三种阵列的波达方向DOA估计均方根误差与快拍数关系比较图；

图9是嵌套式最小冗余阵列NMRA、最小冗余阵列MRA、互质阵列CA三种阵列的DOA估计角度间隔分辨概率比较图。

具体实施方式

以下参照附图对本发明的实施例和技术效果作进一步说明：

参照图1，本发明的具体实现步骤如下：

步骤1，给定总阵元数S构造子阵结构及子阵内阵元结构；

现有技术中，最小冗余阵列MRA的构造是根据总阵元数S得到最小冗余序列和最小冗余阵列MRA的阵列结构；嵌套式阵列NA，是根据总阵元数S得到阵列的嵌套级数，然后根据嵌套级数确定每一级上的阵元数目，从而得到嵌套式阵列NA的阵列结构；互质阵列CA根据总阵元数S得到两个子阵的阵元数目，从而得到互质阵列CA的阵列结构；本发明中采用如下方式确定子阵结构及子阵内阵元结构；

1a)给定总阵元数S，对S进行因式分解，得到子阵数目N及子阵内阵元数M，根据该M计算M阵元最小冗余阵列位置矢量u_M和最小冗余阵列的自由度F_M：

计算M阵元最小冗余阵列位置矢量u_M和最小冗余阵列的自由度F_M的方法，采用H.L.Van Trees著，清华大学出版社2008年1月出版的《最优阵列处理技术》中给出的最小冗余序列算法。在子阵内阵元数M已知条件下，按如下公式计算这两个参数：

u_M＝[m₁,m₂,…m_i…m_M]·d 1≤i≤M

F_M＝2*m_M+1

其中d为入射信号的半波长，m₁,m₂,…m_i…m_M为整数,且m₁＝0，m_i表示子阵内第i个阵元位置系数；

1b)计算子阵间的单元间距D＝F_M·d，根据N计算N阵元最小冗余子阵位置矢量和最小冗余阵列的自由度F_N；

计算N子阵最小冗余子阵位置矢量u_N和最小冗余子阵的自由度F_N的方法，采用H.L.Van Trees著，清华大学出版社2008年1月出版的《最优阵列处理技术》中给出的最小冗余序列算法。在子阵数目N已知条件下，按如下公式计算这两个参数：

u_N＝[n₁,n₂,…n_j…n_N]·D 1≤j≤N

F_N＝2*n_N+1

其中：n₁,n₂,…n_j…n_N为整数且n₁＝0，n_j表示第j个子阵位置系数；

1c)用上述参数u_N、u_M、D和F_M、F_N计算嵌套式最小冗余阵列位置矢量v和嵌套式最小冗余阵列的自由度F_v：

F_v＝F_M·F_N

其中符号表示交叉求和；S＝M·N表示嵌套式最小冗余阵列NMRA的总阵元数；p_k表示套式最小冗余阵列NMRA第k个阵元的位置系数；

1d)根据嵌套式最小冗余阵列位置矢量v，得到第k个阵元距离参考阵元的间距p_k·d，从而确定嵌套式最小冗余阵列NMRA所有共S个阵元的位置，得到嵌套式最小冗余阵列NMRA，其结构示意图为图2。

步骤2，根据嵌套式最小冗余阵列位置矢量v，得到嵌套式最小冗余阵列的接收数据X(t)。

2a)根据嵌套式最小冗余阵列位置矢量v，计算第q个入射信号的导向矢量a(θ_q)：

其中，表示第q个入射信号在第k个阵元处的旋转因子，Q表示入射信号的总个数；

2b)根据入射信号的导向矢量a(θ_q)，构造导向矢量矩阵A：

A＝[a(θ₁),a(θ₂),...a(θ_q),...a(θ_Q)]，

2c)根据导向矢量矩阵A，入射信号S(t)，复高斯白噪声n(t)，得到嵌套式最小冗余阵列的接收数据X(t)。

X(t)＝AS(t)+n(t)

其中，S(t)＝[s₁(t),s₂(t),...s_q(t),...s_Q(t)]^T，s_q(t)表示第q个入射信号，(·)^T:表示向量的转置，n(t)表示均值为0，方差为的复高斯白噪声，并且与入射信号不相关，t:表示采样时间t＝1,2...,T，T:表示快拍数。

步骤3，根据嵌套式最小冗余阵列的接收数据X(t)估计阵列协方差矩阵R_XX，得到虚拟的差分合成阵列接收数据z_c；

3a)根据嵌套式最小冗余阵列的接收数据X(t)估计阵列协方差矩R_XX

其中，其中E表示求数学期望；(·)^H表示共轭转置；I_s表示S×S的单位矩阵，表示第q个入射信号的功率；

3b)根据阵列协方差矩R_XX，计算向量化接收数据z_ct

vec表示矩阵的向量化操作；B表示虚拟的差分合成阵列的方位矢量矩阵， 表示Kronecker积，(·)^*表示取共轭，e_i表示长度为S,第i个元素为1，其他元素全为0的行向量，(·)^T表示转置，表示入射信号的功率矢量；

3c)根据向量化接收数据z_ct，得到虚拟的差分合成阵列接收数据z_c；

z_c＝Dis(z_ct)

其中，Dis表示去除向量中重复元素的操作。

步骤4，根据虚拟的差分合成阵列接收数据z_c，得到子阵接收数据z_ci，计算每个子阵的协方差矩阵R_i，计算秩恢复的数据协方差矩阵R_SS。

4a)根据虚拟的差分合成阵列接收数据z_c，得到子阵接收数据z_ci，即取差分合成阵列接收数据z_c中位于(i+n-1)处的l_c个数据构成子阵接收数据z_ci，n＝1,2,...l_c,i＝1,2,...l_c，

其中，l_c表示子阵的个数，F_v表示嵌套式最小冗余阵列的自由度；

4b)根据子阵接收数据z_ci，计算第i个子阵的协方差矩阵R_i：

4c)根据第i子阵的协方差矩阵R_i，计算前向平滑的协方差矩阵R^f：

4d)根据子阵接收数据z_ci计算第i个子阵的后向接收数据y_ci；

y_ci＝Trans(z_ci)

其中，Trans(·)左右翻转并取共轭；

4e)根据第i个子阵的后向接收数据y_ci；计算第i个子阵的后向协方差矩阵R_i ^b：

4f)根据第i个子阵的后向协方差矩阵R_i ^b，计算后向平滑的协方差矩阵R^b：

4g)根据前向平滑的协方差矩阵R^f和后向平滑的协方差矩阵R^b，计算秩恢复的数据协方差矩阵R_SS：

步骤5，根据R_SS估计出空间谱函数S(θ)，计算S(θ)中Q个极大值S(θ_q)，S(θ_q)对应的角度θ_q即为波达方向。

现有技术中利R_SS估计出空间谱函数S(θ)有最大似然算法ML，加权子空间拟合法WSF，波束成形法DBF，基于特征空间的多重信号分类法MUSIC，旋转因子不变法ESPRIT，本发明中采用基于特征空间的多重信号分类法MUSIC，其具体实现如下：

5a)对R_SS进行特征值分解：

其中，λ_t表示矩阵R_SS的特征值，V_t表示矩阵R_SS对应于λ_t的特征矢量，t表示采样时间，T:表示快拍数，Q表示入射信号的总个数；

5b)根据V_t，计算空间谱函数S(θ)：

其中，a(θ)表示入射角度为θ的入射信号的导向矢量， 表示第q个入射信号在第k个阵元处的旋转因子，S＝M·N表示嵌套式最小冗余阵列NMRA的总阵元数；p_k表示套式最小冗余阵列NMRA第k个阵元的位置系数；

5c)根据空间谱函数S(θ)，计算S(θ)中Q个极大值S(θ_q)，S(θ_q)对应的角度θ_q即为波达方向。

本发明的效果通过以下计算仿真进一步说明：

仿真1：对差分合成阵列的自由度、有效孔径与总阵元数的关系进行仿真。

1.1)仿真条件：总阵元数为9～36间的一些整数，阵元配置参数见表1

表1：阵元配置参数

1.2)仿真内容与结果

1.2a)在上述1.1仿真条件下，对嵌套式最小冗余阵列NMRA、最小冗余阵列MRA、嵌套式阵列NA、互质阵列CA阵列四种阵列的自由度与总阵元数的关系进行仿真，结果如图3所示。

1.2b)在上述1.1仿真条件下，对嵌套式最小冗余阵列NMRA、最小冗余阵列MRA、嵌套式阵列NA、互质阵列CA阵列四种阵列的有效孔径与总阵元数的关系进行仿真，结果如图4所示。

从图3可以看出，当阵元数目相同时，嵌套式最小冗余阵列NMRA具有最高的自由度。由于现有文献未给出总阵元数大于17的最小冗余阵列MRA，因此本仿真中最小冗余阵列MRA的最大阵元数为17。

从图4可以看出，当阵元数目相同时，嵌套式最小冗余阵列NMRA具有最大的阵列有效孔径。由于现有文献未给出总阵元数大于17的最小冗余阵列MRA，因此本仿真中最小冗余阵列MRA的最大阵元数为17。

仿真2：对嵌套式最小冗余阵列NMRA、嵌套式阵列NA两种阵列的阵元对个数与总阵元数之间的关系进行仿真

2.1)仿真条件：总阵元数目S分别为9、12、16、18、20、24、27、30、32、36。

2.2)仿真内容与结果：

在上述2.1仿真条件下，对嵌套式最小冗余阵列NMRA、嵌套式阵列NA两种阵列的阵元对个数与总阵元数关系进行仿真，结果如图5所示。

从图5可以看出，本发明阵列在相同阵元数条件下，阵元对个数小于嵌套式阵列(NA),说明其阵元间距较大，能够降低互耦问题的影响。

仿真3：对嵌套式最小冗余阵列NMRA的DOA估计MUSIC算法进行仿真

3.1)仿真条件：12阵元的NMRA，子阵内阵元数目M＝3，子阵数目N＝4，自由度为91，信源数Q＝37，快拍数T＝1000.

3.2)仿真内容与结果：

在上述3.1仿真条件下对嵌套式最小冗余阵列NMRA的DOA估计MUSIC算法进行仿真，结果如图6所示。

从图6可以看出，本发明阵列可以分辨出全部的37个信源，说明其能够分辨远大于阵元数目的目标。

仿真4：对嵌套式最小冗余阵列NMRA，嵌套式阵列NA，互质阵列CA三种阵列的波达方向DOA估计角度均方根误差与信噪比关系进行仿真

4.1)仿真条件：阵元数S＝24，嵌套式最小冗余阵列NMRA阵列的子阵内阵元数目M＝6，子阵数目N＝4；嵌套式阵列NA阵列的子阵1阵元数目M₁＝12，子阵2阵元数目N₁＝12；互质阵列CA阵列的阵1阵元数目M₂＝14，子阵2阵元数目N₂＝11，子阵内阵元间距p＝7。信源数Q＝16，探测角度θ，-70°≤θ≤70°快拍数T＝100,500次Monte-Carlo实验

4.2)仿真内容与结果：

在上述4.1仿真条件下对嵌套式最小冗余阵列NMRA，嵌套式阵列NA，互质阵列CA三种阵列的波达方向DOA估计角度均方根误差与信噪比关系进行仿真，结果如图7所示。

从图7可以看出，DOA估计性能随着信噪比的提高而提高，嵌套式最小冗余阵列NMRA具有最小的DOA估计均方根误差。

仿真5：对嵌套式最小冗余阵列NMRA，嵌套式阵列NA，互质阵列CA三种阵列的波达方向DOA估计角度均方根误差与快拍数关系进行仿真

5.1)仿真条件：设阵元数S＝24，嵌套式最小冗余阵列NMRA阵列的子阵内阵元数目M＝6，子阵数目N＝4；嵌套式阵列NA阵列的子阵1阵元数目M₁＝12，子阵2阵元数目N₁＝12；互质阵列CA阵列的子阵1阵元数目M₂＝14，子阵2阵元数目N₂＝11，子阵内阵元间距p＝7。信源数Q＝16，探测角度θ，-70°≤θ≤70°，信噪比SNR＝-10dB，,500次Monte-Carlo实验。

5.2)仿真内容与结果：

在上述5.1仿真条件下，对嵌套式最小冗余阵列NMRA，嵌套式阵列NA，互质阵列CA三种阵列的波达方向DOA估计角度均方根误差与快拍数关系进行仿真，结果如图8所示。

从图8可以看出，DOA估计性能随着快拍数的增加而提高，NMRA具有最小的DOA估计均方根误差。

仿真6：对嵌套式最小冗余阵列NMRA，嵌套式阵列NA，互质阵列CA三种阵列的波达方向DOA估计分辨概率进行仿真

6.1)仿真条件：

设阵元数S＝24，嵌套式最小冗余阵列NMRA阵列的子阵内阵元数目M＝6，子阵数目N＝4；嵌套式阵列NA阵列的子阵1阵元数目M₁＝12子阵2阵元数目N₁＝12；互质阵列CA阵列的子阵1阵元数目M₂＝14，子阵2阵元数目N₂＝11，子阵内阵元间距p＝7。快拍数T＝100，信噪比SNR＝0dB，1000次Monte-Carlo实验。

6.2)仿真内容与结果：

在上述6.1仿真条件下，对嵌套式最小冗余阵列NMRA，嵌套式阵列NA，互质阵列CA三种阵列的波达方向DOA估计分辨概率进行仿真，结果如图9所示。

从图9可以看出：

1)角度可分辨概率随着分辨角度的增加而增加，当分辨角度大于0.4°时，三种阵列的分辨概率都能达到1；

2)在分辨角度介于0.13°到0.35°之间时，嵌套式最小冗余阵列NMRA由于具有最大的有效孔径，比嵌套式阵列NA、互质阵列CA拥有更高的DOA估计角度分辨概率；

3)嵌套式最小冗余阵列NMRA、嵌套式阵列NA、互质阵列CA的分辨率门限分别为0.25°、0.32°、0.4°。

因此，嵌套式最小冗余阵列NMRA拥有最高的DOA估计角度分辨率。

综上，相比于现有嵌套式阵列NA，最小冗余阵列MRA，互质阵列CA，本发明嵌套式最小冗余阵列NMRA在同等条件下具有更大的有效孔径，更高的自由度，更好的波达方向DOA估计测角性能。

Claims (4)

1.一种基于嵌套式最小冗余阵列的波达方向估计方法，包括

1)构造嵌套式最小冗余阵列

1a)给定总阵元数K，对K进行因式分解得到子阵数目N及子阵内阵元数M，得到M阵元最小冗余阵列位置矢量u_M，M阵元最小冗余阵列的自由度F_M；

u_M＝[m₁,m₂,…m_i…m_M]·d 1≤i≤M

F_M＝2*m_M+1

其中d为入射信号的半波长，m₁,m₂,…m_i…m_M为整数,且m₁＝0，m_i表示子阵内第i个阵元位置系数；

1b)计算子阵间的单元间距D＝F_M·d，得到N阵元最小冗余子阵位置矢量u_N和N阵元最小冗余子阵的自由度F_N；

u_N＝[n₁,n₂,…n_j…n_N]·D 1≤j≤N

F_N＝2*n_N+1

其中：n₁,n₂,…n_j…n_N为整数且n₁＝0，n_j表示第j个子阵位置系数；

1c)用上述参数u_N、u_M、D和F_M、F_N计算嵌套式最小冗余阵列位置矢量v和嵌套式最小冗余阵列的自由度F_v：

F_v＝F_M·F_N

其中符号表示交叉求和；S＝M·N表示嵌套式最小冗余阵列NMRA的总阵元数；p_k表示套式最小冗余阵列NMRA第k个阵元的位置系数；

1d)根据嵌套式最小冗余阵列位置矢量v，得到第k个阵元距离参考阵元的间距p_k·d，从而确定嵌套式最小冗余阵列NMRA所有共S个阵元的位置，得到嵌套式最小冗余阵列NMRA；

2)根据嵌套式最小冗余阵列NMRA，得到嵌套式最小冗余阵列的接收数据X(t)；

3)根据阵列接收数据X(t)估计嵌套式最小冗余阵列的协方差矩阵R_XX，向量化该协方差矩阵R_XX得到向量化接收数据z_ct，去除z_ct中重复的元素，得到虚拟的差分合成阵列接收数据z_c；

R_XX＝E[X(t)X^H(t)]，z_ct＝vec(R_XX)，z_c＝Dis(z_ct)

其中E表示求数学期望；(·)^H表示共轭转置；vec表示矩阵的向量化操作；Dis表示去除向量中重复元素的操作，t表示采样时间t＝1,2...,T，T表示快拍数；

4)将差分合成阵列接收数据z_c划分为l_c个子阵接收数据，第i个子阵接收数据表示为z_ci，i＝1,2,...l_c，计算第i个子阵的协方差矩阵R_i，并对该R_i进行前后向平滑平均，得到秩恢复的数据协方差矩阵R_SS，其中l_c表示子阵的个数，F_v表示嵌套式最小冗余阵列的自由度；

5)根据R_SS估计出空间谱函数S(θ)，计算S(θ)中Q个极大值S(θ_q)，S(θ_q)对应的角度θ_q即为波达方向；其中，θ_q表示第q个入射信号的入射角，q＝1,2…Q，Q表示入射信号的总个数。

2.根据权利要求1所述的基于嵌套式最小冗余阵列的波达方向估计方法，其中步骤2)中根据嵌套式最小冗余阵列NMRA，得到嵌套式最小冗余阵列的接收数据X(t)，其表示如下：

X(t)＝AS(t)+n(t)

其中A为导向矢量矩阵，A＝[a(θ₁),a(θ₂),...a(θ_q),...a(θ_Q)]，a(θ_q)表示第q个入射信号的导向矢量， 表示第q个入射信号在第k个阵元处的旋转因子，Q表示入射信号的总个数，S(t)表示入射信号；

S(t)＝[s₁(t),s₂(t),...s_q(t),...s_Q(t)]^T，s_q(t)表示第q个入射信号，(·)^T表示向量的转置，n(t)表示均值为0，方差为的复高斯白噪声，并且与入射信号不相关。

3.根据权利要求1所述的基于嵌套式最小冗余阵列的波达方向估计方法，其中步骤4)中计算每个子阵的协方差矩阵R_i，其计算如下：

其中，z_ci表示第i个子阵接收数据，z_ci由z_c中(i+n-1)处的l_c个数据构成，n＝1,2,...l_c。

4.根据权利要求1所述的基于嵌套式最小冗余阵列的波达方向估计方法，其中步骤4)中秩恢复的数据协方差矩阵R_SS，按如下步骤计算：

4.1)计算前向平滑的协方差矩阵R^f：

其中，R_i表示第i个子阵的协方差矩阵，l_c表示子阵的个数；

4.2)计算后向平滑的协方差矩阵R^b：

其中，R_i ^b表示第i个子阵的后向协方差矩阵，y_ci表示第i个子阵的后向接收数据，y_ci由z_ci经过左右翻转并取共轭得到；

4.3)根据前向平滑的协方差矩阵R^f和后向平滑的协方差矩阵R^b，计算秩恢复的数据协方差矩阵R_SS：