CN111766889B - 基于输出反馈的四旋翼自适应动态面滑模控制器 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于输出反馈的四旋翼自适应动态面滑模控制器，步骤如下：1)构造含模型参数不确定性的四旋翼系统模型；2)引入误差性能函数，将四旋翼系统的跟踪误差转换为新的误差约束变量，确保系统实现预定的追踪性能；3)设计模糊逻辑系统逼近器，用于逼近四旋翼飞行器中存在的复杂且不确定的未知项，并通过估计权值的范数来代替估计权值向量的每一项；4)设计非线性状态观测器来估计四旋翼飞行器不可测的角速度状态；5)将动态面与滑模控制相结合，设计出基于输出反馈的四旋翼自适应模糊动态面滑模控制器。本发明所设计的控制器能够保证四旋翼飞行品质，提高系统鲁棒性，实现跟踪效果满足预设条件。

Description

基于输出反馈的四旋翼自适应动态面滑模控制器

技术领域

本发明属于四旋翼飞行器控制系统领域，尤其涉及智能控制算法方面，即基于输出反馈的四旋翼自适应动态面滑模控制器。

背景技术

四旋翼飞行器(UAV)作为小型无人机领域的一类新产品，已经成为全世界科研人员和学者的研究热点。四旋翼飞行器的主要优点是：可以任意方向飞行、垂直起降、以理想的姿态悬停等，这使得四旋翼飞行器在很多领域有着广泛的应用，例如提供医疗援助、运输特殊资源、灾难监测和农业绘图等。然而，由于四旋翼飞行器系统存在多变量、非线性、欠驱动和强耦合等特点，使得设计一种有效的鲁棒飞行控制器变得非常困难。

近些年，各种各样的控制方法被应用于四旋翼飞行器的位置和姿态控制来实现稳定或自主飞行，例如自适应PID控制，线性二次型(LQR)控制，基于线性不等式(LMI)的线性控制和H无穷控制等。随着智能控制理论的发展，将线性控制方法与智能控理论相结合的先进控制方法被大量应用于四旋翼飞行器系统，例如反馈线性化控制，模型预测控制，自适应反步法控制，自适应滑模控制，容错控制，动态面控制和自适应模糊控制等。

在以上所提的控制方法中，反步法由于结构简单，设计思路清晰而被广泛应用于非线性系统控制器设计。然而，反步法一个显著的缺点是，在每步控制器设计过程中需要对虚拟控制律重复求导，造成“微分爆炸”问题。解决系统参数不确定性以及模型未知参数的一种有效方法是利用模糊逻辑系统或神经网络的万能逼近能力。模糊逻辑系统或神经网络可用来逼近非线性系统中的未知不确定函数。在控制系统中，自适应律的数量的多少通常取决于模糊规则数或神经网络权值向量维数，换句话说，随着模糊规则数或神经网络权指向量维数的增加，自适应律的数目也会增加，造成计算负担增大。此外，在四旋翼飞行器控制器设计过程中另一个需要考虑的重要问题是确保轨迹跟踪性能。然而，针对以上所提的四旋翼飞行器控制器设计问题目前难以形成有效的解决方案。

发明内容

为了解决现有技术中的不足，本发明针对四旋翼飞行器系统中存在的模型参数不确定性问题，旨在提供一种鲁棒性好，能够满足预设跟踪性能的自适应输出反馈模糊动态面滑模控制器。

为达到上述目的，本发明提供以下技术方案：

基于输出反馈的四旋翼自适应动态面滑模控制器，所述控制器是基于以下步骤实现的：

1)构造含模型参数不确定性的四旋翼飞行器系统模型；

2)引入误差性能函数，将四旋翼飞行器系统的跟踪误差转换为新的误差约束变量，确保系统实现预定的追踪性能；

3)设计模糊逻辑系统逼近器，用于逼近四旋翼飞行器中存在的复杂且不确定的未知项，通过估计权值向量的范数来代替估计权值向量的每一项；

4)引入非线性状态观测器来估计四旋翼飞行器不可测的角速度状态；

5)将动态面控制策略与滑模控制方法相结合，设计出基于输出反馈的四旋翼自适应动态面滑模控制器。

步骤1)构造含模型参数不确定性的四旋翼飞行器系统模型如公式1所示：

所考虑的四旋翼飞行器具有如下所示非线性形式：

其中，

为状态变量，符号φ,θ,ψ表示翻滚角、俯仰角和偏航角。符号x,y,z表示相对地面坐标系的水平位置和高度。U＝[U₁,U₂,U₃,U₄]^T为四旋翼的控制输入信号，函数f和函数g表示非线性光滑函数。为了便于对位置子系统和姿态子系统进行控制器设计，可将其写成状态空间形式：

其中g是重力加速度，U_i(i＝1,...,4)是控制输入，并如下定义：

在这里主要考虑转动惯量的不确定性，即考虑参数a_i的不确定性，将参数a_i分为已知部分a_iN和未知部分Δa_i.已知参数部分定义如下：

其中，符号J_xx，J_yy和J_zz是四旋翼飞行器绕各个机体坐标轴的转动惯量，J_R是四旋翼直流无刷电机的转动惯量，d_x，d_y和d_z是对应的气动阻力系数，d_φ，d_θ和d_ψ是对应的气动阻力力矩系数。原方程中由未知参数产生的非线性项由模糊逻辑系统进行逼近。

步骤2)引入误差性能函数：

21)定义跟踪误差为：

e_i＝y_i-y_id， (6)

其中，y_id为参考信号，y_i为实际信号；

22)定义一个误差性能函数p_i(t)，使其对于所有的时间t≥0，满足

其中，0＜κ＜1,p_i(t)是递减的，且满足

23)误差转换函数，将误差性能函数转为一个等价无约束函数：

e_i(t)＝p_i(t)Υ_i(S_i), (8)

其中，S_i是转化误差，Υ_i(S_i)是光滑严格增函数，具有以下两条性质：

及

为保证预设的跟踪性能，只需保证S_i有界。Υ_i(S_i)的逆可以被标识为

步骤3)设计模糊逻辑系统逼近器为：

y(x)＝W^Tξ(x), (12)

其中，W^T＝[W₁,W₂,...,W_N]为可调权值向量，ξ(x)＝[ξ₁(x),ξ₂(x),...,ξ_N(x)]^T为模糊基函数向量，定义模糊基函数：

选用高斯基函数作为模糊隶属度函数；则模糊逻辑系统逼近器可以逼近在紧集

内的任意连续函数，

其中|σ^*|≤ε,W^*是权值向量的理想值，σ^*是逼近误差，ε是最大逼近误差。

步骤4)引入非线性状态观测器来估计四旋翼飞行器不可测状态，所设计观测器为：

其中，

其中，

为状态x的估计值，K为观测器增益值，选择K值使A-KC^T特征多项式为严格胡尔维茨矩阵，因此，给定一个矩阵Q₁＝Q₁ ^T＞0，存在一个正定矩阵P，满足A^TP+PA＝-Q₁.函数

为状态f(x)的估计值，使用模糊逻辑系统逼近器对f(x)进行逼近。可得到观测器误差为

其中，

步骤5)包含如下步骤：

首先是位置轨迹跟踪控制器设计：

第一步：引入误差性能函数，则S₁可写为

其中e₁(t)是跟踪误差，Θ₁ ^-1(S₁)为具有公式(9)特点的单调递增函数，p₁(t)是引入的误差性能函数。利用状态观测器的输出

其中，k₁，k₂为观测器增益，χ₁为待确定的未知函数(虚拟控制量)，对S₁求导得

选取虚拟控制信号

其中c₁是一个正常数。将虚拟控制信号通过一阶滤波器，可得到新的状态变量x_2d：

其中τ₂是滤波器的时间常数。定义下一个误差面：

对S₂求导得

其中

这里，利用FLSs逼近未知项F₁(X₁)

其中W₁ ^*是最优权值向量，定义θ₁＝||W₁ ^*||²，因为θ₁是未知的，定义θ₁的估计值

因此估计误差

选择滑模面σ_s1＝S₂。选择李雅普诺夫函数：

则对Γ₁求导得：

利用杨氏不等式可证得：

其中，ε₁是任意小正常数。将公式(27)代入到公式(26)，可得到

其中χ₁是待设计的虚拟控制律。为了保证上式非正性，虚拟控制律设计如下：

其中c₂,μ₁是正实数，sgn(·)是符号函数。参数自适应律

定义如下：

其中λ₁是可选正参数。

第二步：引入误差性能函数，则S₃可写为

其中e₃(t)是跟踪误差，Θ₃ ^-1(S₃)为具有公式(9)特点的单调递增函数，p₁(t)是引入的误差性能函数。结合状态观测器的输出

其中，k₁，k₂为观测器增益，χ₂为待确定的未知函数(虚拟控制量)，对S₃求导得

选取虚拟控制信号

其中c₃是一个正常数。将虚拟控制信号通过一阶滤波器，可得到新的状态变量x_4d：

其中τ₄是滤波器的时间常数。定义误差面：

对S₄求导得

其中

这里，利用FLSs逼近未知项F₂(X₂)

其中W₂ ^*是最优权值向量，定义θ₂＝||W₂ ^*||²，因为θ₂是未知的，定义θ₂的估计值

因此估计误差

选择滑模面σ_s2＝S₄。选择李雅普诺夫函数：

则对Γ₂求导得：

利用杨氏不等式可证得：

其中，ε₂是任意小正常数。将公式(41)代入到公式(40)，可得到

其中χ₂是待设计的虚拟控制律。为了保证上式非正性，虚拟控制律设计如下：

其中c₄,μ₂是可选正实数，sgn(·)是符号函数。自适应律

定义如下：

其中λ₂是可选正参数。

第三步：引入误差性能函数，则S₅可写为

其中e₅(t)是跟踪误差，Θ₅ ^-1(S₅)为具有公式(9)特点的单调递增函数，p₂(t)是引入的误差性能函数。结合状态观测器的输出

其中，k₁，k₂为观测器增益，χ₃为待确定的未知函数(虚拟控制量)，对S₅求导得

选取虚拟控制信号

其中c₅是一个正常数。将虚拟控制信号通过一阶滤波器，可得到新的状态变量x_6d：

其中τ₆是滤波器的时间常数。定义误差面：

对S₆求导得

其中

这里，利用FLSs逼近未知项F₃(X₃)

其中W₃ ^*是最优权值向量，定义θ₃＝||W₃ ^*||²，因为θ₃是未知的，定义θ₃的估计值

因此估计误差

选择滑模面σ_s3＝S₆。选择李雅普诺夫函数：

则对Γ₃求导得：

利用杨氏不等式可证得：

其中，ε₃是任意小正常数。代入(54)可得到

其中χ₃是待设计的虚拟控制律。为了保证上式非正性，虚拟控制律设计如下：

其中c₆,μ₃是可选正实数，sgn(·)是符号函数。自适应律

定义如下：

其中λ₃是可选正参数。

为了获得四旋翼系统的实际控制律，结合式(29)、式(43)、式(57)可以得到

观察可以看出，上式中包含四个量，即三个姿态角(x₇,x₉,x₁₁)和实际控制量U₁。在实际对四旋翼飞行器控制时，通常会给定偏航角参考信号x_11d，因此在下一部分通过动态面滑模控制器设计相应控制律U₄，实现偏航角对参考轨迹的快速跟踪。因此将x₁₁视为已知的，并用x_11d进行代替。这样上式减少一个自由度，相应剩下的三个自由度进行算术求解，可得

其中，U₁就是系统实际的一个控制信号，另外，α＝cos(x_11d),β＝sin(x_11d)。将x_7d,x_9d虚拟控制信号通过一阶滤波器，可得到新的状态变量x_7d,x_9d：

需要指出的是，通过将偏航角轨迹限制在(-π/2,π/2)，可以对控制律U₁进行有界控制，使其能够限制在一定范围内。

对于姿态角子系统控制，利用上式得到的姿态角参考轨迹(x_7d,x_9d,x_11d)，控制律设计也包含三步。具体的设计步骤如下：

第四步：引入误差性能函数，则S₇可写为

其中e₇(t)是跟踪误差，Θ₇ ^-1(S₇)为具有公式(9)特点的单调递增函数，p_ψ(t)是引入的误差性能函数。结合状态观测器的输出

其中，k₁，k₂为观测器增益，

对S₇求导得

选取虚拟控制信号

其中c₇是一个正常数。将虚拟控制信号通过一阶滤波器，可得到新的状态变量x_8d：

其中τ₈是滤波器的时间常数。定义误差面：

对S₈求导得

其中

这里，利用FLSs逼近未知项F₄(X₄)

其中W₄ ^*是最优权值向量，定义θ₄＝||W₄ ^*||²，因为θ₄是未知的，定义θ₄的估计值

因此估计误差

选择滑模面σ_s4＝S₈。选择李雅普诺夫函数：

则对Γ₄求导得：

利用杨氏不等式可证得：

其中，ε₄是任意小正常数。将公式(72)代入到公式(71)，可得到

其中U₂是待设计的实际控制律。为了保证上式非正性，实际控制律设计如下：

其中c₈,μ₄是可选正实数，sgn(·)是符号函数。自适应律

定义如下：

其中λ₄是可选正参数。

第五步：引入误差性能函数，则S₉可写为

其中e₉(t)是跟踪误差，Θ₉ ^-1(S₉)为具有公式(9)特点的单调递增函数，p_ψ(t)是引入的误差性能函数。结合状态观测器的输出

其中，k₁，k₂为观测器增益，

对S₉求导得

选取虚拟控制信号

其中c₉是一个正常数。将虚拟控制信号通过一阶滤波器，可得到新的状态变量x_10d：

其中τ₁₀是滤波器的时间常数。定义误差面：

对S₁₀求导得

其中

这里，利用FLSs逼近未知项F₅(X₅)

其中W₅ ^*是最优权值向量，定义θ₅＝||W₅ ^*||²，因为θ₅是未知的，定义θ₅的估计值

因此估计误差

选择滑模面σ_s5＝S₁₀。选择李雅普诺夫函数：

则对Γ₅求导得：

利用杨氏不等式可证得：

其中，ε₅是任意小正常数。将公式(86)代入到公式(85)，可得到

其中U₃是待设计的实际控制律。为了保证上式非正性，实际控制律设计如下：

其中c₁₀,μ₅是可选正实数，sgn(·)是符号函数。自适应律

定义如下：

其中λ₅是可选正参数。

第六步：引入误差性能函数，则S₁₁可写为

其中e₁₁(t)是跟踪误差，Θ₁₁ ^-1(S₁₁)为具有公式(9)特点的单调递增函数，p_ψ(t)是引入的误差性能函数。结合状态观测器的输出

其中k₁，k₂为观测器增益，

对S₁₁求导得

选取虚拟控制信号

其中c₁₁是一个正常数。将虚拟控制信号通过一阶滤波器，可得到新的状态变量x_12d：

其中τ₁₂是滤波器的时间常数。定义误差面：

对S₁₂求导得

其中

这里，利用FLSs逼近未知项F₅(X₅)

其中W₆ ^*是最优权值向量，定义θ₆＝||W₆ ^*||²，因为θ₆是未知的，定义θ₆的估计值

因此估计误差

选择滑模面σ_s6＝S₁₂。选择李雅普诺夫函数：

则对Γ₆求导得：

利用杨氏不等式可证得：

其中，ε₆是任意小正常数。将公式(100)代入到公式(99)，可得到

其中U₄是待设计的实际控制律。为了保证上式非正性，实际控制律设计如下：

其中c₁₂,μ₆是可选正实数，sgn(·)是符号函数。自适应律

定义如下：

其中λ₆是可选正参数。

本发明具有的有益效果为：

1、本发明为四旋翼飞行器设计了基于输出反馈的自适应动态面滑模控制器，对于模型存在的参数不确定性问题，将其划为已知部分与未知部分，利用模糊逻辑系统的逼近性能处理未知项。

2、利用范数估计的方法，在每步控制律设计过程中只需要更新一个参数，大大减少了计算负担。通过引入误差性能函数，得到一个新的约束变量，能够实现跟踪轨迹满足预设条件。

3、本发明所设计控制方案将动态面控制法与滑模控制方法相结合，不仅消除了传统反步法存在的“微分爆炸”问题，而且提高了系统的鲁棒性。通过李雅普诺夫稳定性理论证明了四旋翼控制系统的稳定性。

附图说明

图1为四旋翼飞行器系统示意图；

图2为实验系统结构；

图3为正常情况下自适应动态面滑模控制三维效果图；

图4为水平位置x的追踪效果以及追踪误差；

图5为水平位置y的追踪效果以及追踪误差

图6为高度z的追踪效果以及追踪误差；

图7为偏航角追踪效果以及追踪误差；

图8为控制信号；

图9为翻滚角和俯仰角变化趋势；

图10为自适应参数

图11为自适应参数

图12为状态x₂,x₄,x₆的实际值与估计值；

图13为状态x₈,x₁₀,x₁₂的实际值与估计值；

图14为正常情况下与存在15％、30％、50％参数不确定情况下三维效果图；

图15为三种不同模型参数不确定性与正常情况下的追踪误差。

具体实施方式

下面利用附图1-15和半实物仿真实验对发明作进一步说明。基于输出反馈的四旋翼自适应动态面滑模控制器，包含以下步骤：

步骤1)构造含模型参数不确定性的四旋翼飞行器系统模型如公式1所示：

所考虑的四旋翼飞行器具有如下所示非线性形式：

其中，

为状态变量，符号φ,θ,ψ表示翻滚角、俯仰角和偏航角。符号x,y,z表示相对地面坐标系的水平位置和高度。U＝[U₁,U₂,U₃,U₄]^T为四旋翼的控制输入信号，函数f和函数g表示非线性光滑函数。为了便于对位置子系统和姿态子系统进行控制器设计，可将其写成状态空间形式：

其中g是重力加速度，U_i(i＝1,...,4)是控制输入，并如下定义：

在这里主要考虑转动惯量的不确定性，即考虑参数a_i的不确定性，将参数a_i分为已知部分a_iN和未知部分Δa_i.已知参数部分定义如下：

其中，符号J_xx，J_yy和J_zz是四旋翼飞行器绕各个机体坐标轴的转动惯量，J_R是四旋翼直流无刷电机的转动惯量，d_x，d_y和d_z是对应的气动阻力系数，d_φ，d_θ和d_ψ是对应的气动阻力力矩系数。原方程中由未知参数产生的非线性项由模糊逻辑系统进行逼近。

2)引入误差性能函数，将四旋翼飞行器系统的跟踪误差转换为新的误差约束变量，确保系统实现预定的追踪性能。

本步骤包含以下步骤：

21)定义跟踪误差为：

e_i＝y_i-y_id， (6)

其中，y_id为参考信号，y_i为实际信号；

22)定义一个误差性能函数p_i(t)，使其对于所有的时间t≥0，满足

其中，0＜κ＜1,p_i(t)是递减的，且满足

23)误差转换函数，将误差性能函数转为一个等价无约束函数：

e_i(t)＝p_i(t)Υ_i(S_i), (8)

其中，S_i是转化误差，Υ_i(S_i)是光滑严格增函数，具有以下两条性质：

及

为保证预设的跟踪性能，只需保证S_i有界。Υ_i(S_i)的逆可以被标识为

3)设计模糊逻辑系统逼近器，用于逼近四旋翼飞行器系统模型内不确定的未知项；

模糊逻辑系统主要包含四个部分：模糊规则、模糊化、推理机和去模糊，模糊规则集包含以下形式的模糊“IF-THEN”规则组成：

其中，y和x＝[x₁,...,x_n]^T∈U分别是模糊逻辑系统的输出和输入；N为规则数；模糊集

G^l分别与模糊隶属度函数

相关。通过单值模糊、中心去模糊以及乘积推理，模糊逻辑系统可以写成

y(x)＝W^Tξ(x), (12)

其中，W^T＝[W₁,W₂,...,W_N]为可调权值向量，ξ(x)＝[ξ₁(x),ξ₂(x),...,ξ_N(x)]^T为模糊基函数向量，定义模糊基函数：

选用高斯基函数作为模糊隶属度函数；其形式如下：

模糊逻辑系统逼近器可以在紧集内以较小误差逼近任意连续函数，可以表述为

其中非线性连续函数

是一个紧集，W^Tξ(x)是一个模糊逻辑系统，ε＞0是逼近误差。由此，F(x)可以表述为

其中最小逼近误差|σ^*|≤ε,W^*是权值向量的理想值，有如下定义：

4)引入非线性状态观测器来估计四旋翼飞行器不可测状态；

对于一类具有(A₀,C)型的非线性方程，表示如下：

其中，

其中，x∈Rⁿ,y∈R,u∈R,b_i∈Rⁿ(i≥2),f(x)是一个未知光滑函数。向量b是一般型，非严格限制。假设只有输出y可测。对于不确定系统，建立如下的非线性状态观测器：

其中，

其中，

为状态x的估计值，K为观测器增益值，选择K值使A-KC^T特征多项式为严格胡尔维茨矩阵，因此，给定一个矩阵

存在一个正定矩阵P，满足A^TP+PA＝-Q₁。函数

为状态f(x)的估计值，使用模糊逻辑系统逼近器对f(x)进行逼近。可得到观测器误差为

其中，

5)将动态面控制策略与滑模控制方法相结合，设计出针对四旋翼系统基于输出反馈的自适应模糊动态面滑模控制器。包含如下步骤：

首先是位置轨迹跟踪控制器设计：

第一步：引入误差性能函数，则S₁可写为

其中e₁(t)是跟踪误差，Θ₁ ^-1(S₁)为具有公式(9)特点的单调递增函数，p₁(t)是引入的误差性能函数。利用状态观测器的输出

其中，k₁，k₂为观测器增益，χ₁为待确定的未知函数(虚拟控制量)，对S₁求导得

选取虚拟控制信号

其中c₁是一个正常数。将虚拟控制信号通过一阶滤波器，可得到新的状态变量x_2d：

其中τ₂是滤波器的时间常数。定义下一个误差面：

对S₂求导得

其中

这里，利用FLSs逼近未知项F₁(X₁)

其中W₁ ^*是最优权值向量，定义θ₁＝||W₁ ^*||²，因为θ₁是未知的，定义θ₁的估计值

因此估计误差

选择滑模面σ_s1＝S₂。选择李雅普诺夫函数：

则对Γ₁求导得：

利用杨氏不等式可证得：

其中，ε₁是任意小正常数。将公式(31)代入到公式(30)，可得到

其中χ₁是待设计的虚拟控制律。为了保证上式非正性，虚拟控制律设计如下：

其中c₂,μ₁是可选正实数，sgn(·)是符号函数。自适应律

定义如下：

其中λ₁是可选正参数。

第二步：引入误差性能函数，则S₃可写为

其中e₃(t)是跟踪误差，Θ₃ ^-1(S₃)为具有公式(9)特点的单调递增函数，p₁(t)是引入的误差性能函数。结合状态观测器的输出

其中，k₁，k₂为观测器增益，χ₂为待确定的未知函数(虚拟控制量)，对S₃求导得

选取虚拟控制信号

其中c₃是一个正常数。将虚拟控制信号通过一阶滤波器，可得到新的状态变量x_4d：

其中τ₄是滤波器的时间常数。定义误差面：

对S₄求导得

其中

这里，利用FLSs逼近未知项F₂(X₂)

其中W₂ ^*是最优权值向量，定义θ₂＝||W₂ ^*||²，因为θ₂是未知的，定义θ₂的估计值

因此估计误差

选择滑模面σ_s2＝S₄。选择李雅普诺夫函数：

则对Γ₂求导得：

利用杨氏不等式可证得：

其中，ε₂是任意小正常数。将公式(45)代入到公式(44)，可得到

其中χ₂是待设计的虚拟控制律。为了保证上式非正性，虚拟控制律设计如下：

其中c₄,μ₂是可选正实数，sgn(·)是符号函数。参数自适应律

定义如下：

其中λ₂是可选正参数。

第三步：引入误差性能函数，则S₅可写为

其中e₅(t)是跟踪误差，Θ₅ ^-1(S₅)为具有公式(9)特点的单调递增函数，p₂(t)是引入的误差性能函数。结合状态观测器的输出

其中，k₁，k₂为观测器增益，χ₃为待确定的未知函数(虚拟控制量)，对S₅求导得

选取虚拟控制信号

其中c₅是一个正常数。将虚拟控制信号通过一阶滤波器，可得到新的状态变量x_6d：

其中τ₆是滤波器的时间常数。定义误差面：

对S₆求导得

其中

这里，利用FLSs逼近未知项F₃(X₃)

其中W₃ ^*是最优权值向量，定义θ₃＝||W₃ ^*||²，因为θ₃是未知的，定义θ₃的估计值

因此估计误差

选择滑模面σ_s3＝S₆。选择李雅普诺夫函数：

则对Γ₃求导得：

利用杨氏不等式可证得：

其中，ε₃是任意小正常数。

代入可得到

其中χ₃是待设计的虚拟控制律。为了保证上式非正性，虚拟控制律设计如下：

其中c₆,μ₃是可选正实数，sgn(·)是符号函数。自适应律

定义如下：

其中λ₃是可选正参数。

为了获得四旋翼系统的实际控制律，结合式(29)、式(43)、式(57)可以得到

观察可以看出，上式中包含四个量，即三个姿态角(x₇,x₉,x₁₁)和实际控制量U₁。在实际对四旋翼飞行器控制时，通常会给定偏航角参考信号x_11d，因此在下一部分通过动态面滑模控制器设计相应控制律U₄，实现偏航角对参考轨迹的快速跟踪。因此将x₁₁视为已知的，并用x_11d进行代替。这样上式减少一个自由度，相应剩下的三个自由度进行算术求解，可得

其中，U₁就是系统实际的一个控制信号，另外，α＝cos(x_11d),β＝sin(x_11d)。将x_7d,x_9d虚拟控制信号通过一阶滤波器，可得到新的状态变量x_7d,x_9d：

需要指出的是，通过将偏航角轨迹限制在(-π/2,π/2)，可以对控制律U₁进行有界控制，使其能够限制在一定范围内。

对于姿态角子系统控制，利用上式得到的姿态角参考轨迹(x_7d,x_9d,x_11d)，控制律设计也包含三步。具体的设计步骤如下：

第四步：引入误差性能函数，则S₇可写为

其中e₇(t)是跟踪误差，Θ₇ ^-1(S₇)为具有公式(9)特点的单调递增函数，p_ψ(t)是引入的误差性能函数。结合状态观测器的输出

其中，k₁，k₂为观测器增益，

对S₇求导得

选取虚拟控制信号

其中c₇是一个正常数。将虚拟控制信号通过一阶滤波器，可得到新的状态变量x_8d：

其中τ₈是滤波器的时间常数。定义误差面：

对S₈求导得

其中

这里，利用FLSs逼近未知项F₄(X₄)

其中W₄ ^*是最优权值向量，定义θ₄＝||W₄ ^*||²，因为θ₄是未知的，定义θ₄的估计值

因此估计误差

选择滑模面σ_s4＝S₈。选择李雅普诺夫函数：

则对Γ₄求导得：

利用杨氏不等式可证得：

其中，ε₄是任意小正常数。

将公式(76)代入到公式(75)，可得到

其中U₂是待设计的实际控制律。为了保证上式非正性，实际控制律设计如下：

其中c₈,μ₄是可选正实数，sgn(·)是符号函数。自适应律

定义如下：

其中λ₄是可选正参数。

第五步：引入误差性能函数，则S₉可写为

其中e₉(t)是跟踪误差，Θ₉ ^-1(S₉)为具有公式(9)特点的单调递增函数，p_ψ(t)是引入的误差性能函数。结合状态观测器的输出

其中，k₁，k₂为观测器增益，

对S₉求导得

选取虚拟控制信号

其中c₉是一个正常数。将虚拟控制信号通过一阶滤波器，可得到新的状态变量x_10d：

其中τ₁₀是滤波器的时间常数。定义误差面：

对S₁₀求导得

其中

这里，利用FLSs逼近未知项F₅(X₅)

其中W₅ ^*是最优权值向量，定义θ₅＝||W₅ ^*||²，因为θ₅是未知的，定义θ₅的估计值

因此估计误差

选择滑模面σ_s5＝S₁₀。选择李雅普诺夫函数：

则对Γ₅求导得：

利用杨氏不等式可证得：

其中，ε₅是任意小正常数。

将公式(90)代入到公式(89)，可得到

其中U₃是待设计的实际控制律。为了保证上式非正性，实际控制律设计如下：

其中c₁₀,μ₅是可选正实数，sgn(·)是符号函数。自适应律

定义如下：

其中λ₅是可选正参数。

第六步：引入误差性能函数，则S₁₁可写为

其中e₁₁(t)是跟踪误差，Θ₁₁ ^-1(S₁₁)为具有公式(9)特点的单调递增函数，p_ψ(t)是引入的误差性能函数。结合状态观测器的输出

其中k₁，k₂为观测器增益，

对S₁₁求导得

选取虚拟控制信号

其中c₁₁是一个正常数。将虚拟控制信号通过一阶滤波器，可得到新的状态变量x_12d：

其中τ₁₂是滤波器的时间常数。定义误差面：

对S₁₂求导得

其中

这里，利用FLSs逼近未知项F₅(X₅)

其中W₆ ^*是最优权值向量，定义θ₆＝||W₆ ^*||²，因为θ₆是未知的，定义θ₆的估计值

因此估计误差

选择滑模面σ_s6＝S₁₂。选择李雅普诺夫函数：

则对Γ₆求导得：

利用杨氏不等式可证得：

其中，ε₆是任意小正常数。将公式(104)代入到公式(103)，可得到

其中U₄是待设计的实际控制律。为了保证上式非正性，实际控制律设计如下：

其中c₁₂,μ₆是可选正实数，sgn(·)是符号函数。自适应律

定义如下：

其中λ₆是可选正参数。

下面通过李亚普诺稳定性分析，证明系统的稳定性。

首先，定义滤波误差为：

根据公式(25),公式(39),公式(53),公式(65),公式(70),公式(84),公式(98)得,

对其中滤波误差求导得：

可以写为：

总结为下列形式：

其中B_i(·),i＝2,4,6,7,8,9,10,12是非负连续函数，且具有如下关系：

定义如下李雅普诺夫函数：

定理1考虑对于四旋翼系统公式(3)，状态观测器公式(19)，自适应律公式(34)、公式(48)、公式(62)、公式(79)、公式(93)、公式(107)以及控制器公式(64)、公式(78)、公式(92)、公式(106)，考虑李雅普诺夫函数(114)。如果闭环系统的初始环境满足Γ(0)≤P,(P≥0)，那么，通过调节设计参数c_i,(i＝1,...,12),λ_j,μ_j,(j＝1,...,6)和滤波器时间常数τ₂,τ₄,τ₆,τ₇,τ₈,τ₉,τ₁₀,τ₁₂闭环系统中的所有信号最终半全局一致有界。另外，位置和姿态角追踪误差可以收敛于任意的残差集内，并且误差始终保持在预设曲线内。

证明：对Γ_i,(i＝1,...,6)求导，并结合式(113)得

考虑定义紧集：

则Υ₁×Υ₂也是一个紧集。因此，连续函数B_2*i,(i＝1,...,6),B₇,B₉在紧集Υ₁×Υ₂上有最大值。于是可以得到

考虑下列不等式，

结合式(115)可以得到

其中，ε＝[0,ε₁,0,ε₂,0,ε₃,0,ε₄,0,ε₅,0,ε₆]^T。λ_min(Q₁)是矩阵Q₁的最小特征值。利用杨氏不等式ab≤(a²+b²)/2,以及

可得到下列等式

其中，

λ_max(P)是矩阵P的最大特征值。

利用杨氏不等式

将式(120)和式(121)代入到式(119)，可得

其中

选取下列合适的设计参数使得μ₁＞0且满足

其中r是一个正常数。因此得到

显然，闭环系统中所有信号都在紧集内有界。意味着可以通过选取参数，使得位置和姿态角追踪误差收敛于任意的残差集内，并且误差始终保持在预设曲线内，从而保证了系统的预设跟踪性能。

半实物仿真：

为了验证所设计控制器的实时有效性，利用半实物仿真平台进行实验验证。四旋翼飞行器系统结构图如图1所示。实验系统结构图2所示，该半实物仿真平台主要有四部分组成：

1.实时仿真机箱(RTS)：支持用simulink搭建的四旋翼系统在机箱进行FPGA硬件实时仿真，该设备接收控制信号并将得到的被控对象响应信号输出到控制机箱。该实时仿真机箱型号为PXIe-1082，配有Kintex-7 325T FPGA芯片，16位同步模拟I/O，数据传输速率为1MS/s。

2.控制机箱(RCP)：用于快速运行所设计的控制算法，并发送控制信号对运行在实时仿真机箱里的四旋翼系统进行控制，从而构成闭环的实验系统。该控制机箱型号为PXIe-1071,带有16个模拟I/O,数据传输速率为1MS/s。

3.实验转接板：用于实现在控制机箱与实时仿真机箱间的信号连接。控制机箱、实时仿真机箱以及转接板构成一个闭环试验系统。

4.电脑主机：使用StarSim RCP软件分别将MATLAB/Simulink四旋翼系统模型和控制算法下载到RTS和RCP中。

控制机箱、实时仿真机箱以及转接板构成一个闭环试验系统。实时仿真机箱接收控制信号并将得到的被控对象响应信号输出到控制机箱。控制机箱用于快速运行所设计的控制算法，并发送控制信号对运行在实时仿真机箱里的四旋翼系统进行控制。

通过半实物仿真平台来验证所设计的基于输出反馈的自适应动态面滑模控制器的有效性。实验针对不同的情况下进行了仿真，包括正常情况与存在模型参数不确定情况，来验证所设计控制器的鲁棒性。四旋翼飞行器的模型参数如表1所示。

表1四旋翼飞行器的模型参数

符号	情景一	情景二	情景三	情景四	单位
						m	1.4	1.4	1.4	1.4	kg
k	2.98	2.98	2.98	2.98	10<sup>-6</sup>N·s<sup>2</sup>·rad<sup>-2</sup>
						l	0.2	0.2	0.2	0.2	m
τ	1.14	1.14	1.14	1.14	10<sup>-7</sup>N·s<sup>2</sup>·rad<sup>-2</sup>
						d<sub>φ</sub>,d<sub>θ</sub>,d<sub>ψ</sub>	1.2	1.2	1.2	1.2	10<sup>-2</sup>N·s·rad<sup>-1</sup>
J<sub>xx</sub>	1.80	1.80	1.80	1.80	N·s<sup>2</sup>·rad<sup>-1</sup>
						J<sub>yy</sub>	1.80	1.80	1.80	1.80	N·s<sup>2</sup>·rad<sup>-1</sup>
J<sub>zz</sub>	2.40	2.76	3.12	3.60	N·s<sup>2</sup>·rad<sup>-1</sup>

实验中，参考轨迹{x_d(t),y_d(t),z_d(t),ψ_d(t)}为{cos(t),sin(t),0.5(t),sin(0.5t)}，误差性能函数选择为p₁(t)＝(p₁₀-p_1∞)e^-lt+p_1∞,p₂(t)＝0.6*e^-t+0.075,p_ψ(t)＝0.6*e^-t+0.04,其中参数选取为p₁₀＝1.5,p_1∞＝0.055,l＝1,κ₁＝β₁＝1。虚拟控制律以及最终控制律的设计参数为c₁＝c₂＝c₃＝c₄＝0.6,c₅＝c₆＝0.55,c₇＝c₈＝c₉＝c₁₀＝0.6,c₁₁＝c₁₂＝0.6。

自适应律参数为λ₁＝λ₂＝0.02，λ₃＝λ₄＝λ₅＝λ₆＝0.03，一价低通滤波器中的时间常数选为τ_i＝0.005,(i＝2,4,6,7,8,9,10,12)。模糊隶属度函数隶属度函数选为

其中l＝1,...,5,k＝2,6,8,10,12。

情况一：正常情况，假设模型中不存在参数不确定情况以及所有参数都是正常的。初始值设为{x₀(t),y₀(t),z₀(t),ψ₀(t)}＝{1,0,0,0}，但在实验过程中牵扯到时间差问题，需要进行录波处理，于是实验过程加了10秒延迟，这样可以对信号进行完整录波，得到完整的数据，所以水平位置x的实际输出信号从0开始。

情况二、三、四：在仿真过程中，验证了四旋翼飞行器在存在模型参数不确定情况下所设计控制器的控制效果。分别是偏航坐标轴的转动惯量存在15％、30％以及50％的模型参数不确定性。

在图3中，实线表示参考轨迹，虚线表示系统的实际跟踪轨迹；图4到图7，则分别表示位置和偏航角的跟踪轨迹，其下图的实线表示追踪误差，并且画出了所加误差性能函数的误差边界，误差性能函数的加入保证了误差始终在预设范围内变化。从图中可以看出，在正常情况下，所设计的控制器能够满足预设性能的要求，实现位置轨迹和偏航角轨迹的跟踪控制，从而保证飞行品质。图8是四个控制输入；图9表示翻滚角和俯仰角的变化趋势；图10到图11显示了6个自适应参数变化，图12到图13分别是6个变量输出值和观测器估计值；

图14表示在考虑模型参数不确定情况下的实际位置空间图，分别是15％，30％和50％模型参数不确定性存在于偏航旋转轴。图15则是四种不同情况下位置和偏航角追踪误差的对比图。从图3到图15可以得出，所设计的控制方案可以保证所有变量都是有界的，具有追踪误差小的特点，针对不同情况的模型参数不确定性具有良好的鲁棒性。此外，跟踪误差一直限制在预设的范围内。

根据实验数据，计算出系统在不同情况下达到稳定状态后(t>5s)的最大追踪误差和均方根误差，并绘表作了比较，如表2所示：

表2稳定状态后最大追踪误差与均方根误差

由表中可知，达到稳定状态后，随着加在偏航旋转轴上不确定性的增加，系统的最大误差与均方根误差均不同程度的增加，当偏航旋转轴上有50％模型参数不确定性时，此时的最大误差与均方根误差均达到最大，与设想一样。

综上，所设计的自适应动态面滑模控制器能够保证跟踪性能满足预设条件，针对不同情况的模型参数不确定性具有良好的鲁棒性。

Claims (1)

1.基于输出反馈的四旋翼自适应动态面滑模控制器，其特征在于：所述控制器是基于以下步骤实现的：

1)构造含模型参数不确定性的四旋翼飞行器系统模型；

2)引入误差性能函数，将四旋翼飞行器系统的跟踪误差转换为新的误差约束变量，确保系统实现预定的追踪性能；

3)设计模糊逻辑系统逼近器，用于逼近四旋翼飞行器中存在的复杂且不确定的未知项，通过估计权值向量的范数来代替估计权值向量的每一项；

4)引入非线性状态观测器来估计四旋翼飞行器不可测的角速度状态；

5)将动态面控制策略与滑模控制方法相结合，设计出基于输出反馈的四旋翼自适应动态面滑模控制器；

步骤1)所述的构造含模型参数不确定性的四旋翼飞行器系统模型如公式1所示：

所考虑的四旋翼飞行器具有如下所示非线性形式：

其中，

为状态变量，符号φ，θ，ψ表示翻滚角、俯仰角和偏航角；符号x，y，z表示相对地面坐标系的水平位置和高度；U＝[U₁，U₂，U₃，U₄]^T为四旋翼的控制输入信号，函数f和函数g表示非线性光滑函数；为了便于对位置子系统和姿态子系统进行控制器设计，可将其写成状态空间形式：

其中g是重力加速度，a_i的定义如公式(5)，其中i＝1，2，...，11；U_i是控制输入，其中i＝1，...，4，并如下定义：

控制器设计过程中，主要考虑转动惯量的不确定性，即考虑参数a_i的不确定性，将参数a_i分为已知部分a_iN和未知部分Δa_i；已知部分为系统参数初始时刻状态：

其中，符号J_xx，J_yy和J_zz是四旋翼飞行器绕各个机体坐标轴的转动惯量，J_R是四旋翼直流无刷电机的转动惯量，d_x，d_y和d_z是对应的气动阻力系数，d_φ，d_θ和d_ψ是对应的气动阻力力矩系数；C_(·)和S_(·)分别表示cos(·)和sin(·)，Ω_i代表每个电机的转速，其中i＝1，...，4，且Ω＝Ω₁-Ω₂+Ω₃-Ω₄，m为四旋翼机体质量，l为四旋翼飞行器中心到电机的长度，τ为反扭矩系数，k是一个常数；原方程中由未知参数产生的非线性项由模糊逻辑系统进行逼近；

步骤2)包含以下具体步骤：

21)定义跟踪误差为：

e_i＝y_i-y_id， (6)

其中，y_id为参考信号，y_i为实际信号；

22)定义一个误差性能函数p_i(t)，使其对于所有的时间t≥0，满足

其中，0＜κ＜1，p_i(t)是递减的，且满足

23)误差转换函数，将误差性能函数转为一个等价无约束函数：

e_i(t)＝p_i(t)γ_i(S_i)， (8)

其中，S_i是转化误差，γ_i(S_i)是光滑严格增函数，具有以下两条性质：

及

为保证预设的跟踪性能，只需保证S_i有界；定义

Υ_i(S_i)的逆可以被标识为：

步骤3)所述的模糊逻辑系统逼近器为：

y(x)＝W^Tξ(x)， (12)

其中，W^T＝[W₁，W₂，...，W_N]为可调权值向量，ξ(x)＝[ξ₁(x)，ξ₂(x)，...，ξ_N(x)]^T为模糊基函数向量，定义模糊基函数：

选用高斯基函数作为模糊隶属度函数；则模糊逻辑系统逼近器可以逼近在紧集

内的任意连续函数，

其中|σ^*|≤ε，W^*是权值向量的理想值，σ^*是逼近误差，ε是最大逼近误差；

步骤4)所设计状态观测器为：

其中，

为状态x的估计值，K为观测器增益值，选择K值使A-KC^T特征多项式为严格胡尔维茨矩阵，因此，给定一个矩阵

存在一个正定矩阵P，满足A^TP+PA＝-Q₁.函数

为状态f(x)的估计值，使用模糊逻辑系统逼近器对f(x)进行逼近；可得到观测器误差为：

其中，

步骤5)包含如下步骤：

首先是位置轨迹跟踪控制器设计：

第一步：引入误差性能函数，则S₁可写为：

其中e₁(t)是跟踪误差，Θ₁ ^-1(S₁)为具有公式(9)特点的单调递增函数，p₁(t)是引入的误差性能函数；利用状态观测器的输出：

其中，k₁，k₂为观测器增益，χ₁为待确定的未知函数，对S₁求导得：

选取虚拟控制信号：

其中c₁是一个正常数，将虚拟控制信号通过一阶滤波器，可得到新的状态变量x_2d：

其中τ₂是滤波器的时间常数；

定义下一个误差面：

对S₂求导得：

其中

这里，利用FLSs逼近未知项F₁(X₁)：

其中W₁ ^*是最优权值向量，定义θ₁＝||W₁ ^*||²，因为θ₁是未知的，定义θ₁的估计值

因此估计误差

选择滑模面σ_s1＝S₂，选择李雅普诺夫函数：

则对Γ₁求导得：

利用杨氏不等式可证得：

其中，ε₁是任意小正常数；

将公式(27)代入到公式(26)，可得到

其中χ₁是待设计的虚拟控制律；为了保证上式非正性，虚拟控制律设计如下：

其中c₂，μ₁是可选正实数，sgn(·)是符号函数；参数自适应律

定义如下：

其中λ₁是可选正参数；

第二步：引入误差性能函数，则S₃可写为：

其中e₃(t)是跟踪误差，Θ₃ ^-1(S₃)为具有公式(9)特点的单调递增函数，p₁(t)是引入的误差性能函数；结合状态观测器的输出：

其中，k₁，k₂为观测器增益，χ₂为待确定的未知函数，虚拟控制量，对S₃求导得：

选取虚拟控制信号：

其中c₃是一个正常数；将虚拟控制信号通过一阶滤波器，可得到新的状态变量x_4d：

其中τ₄是滤波器的时间常数；

定义误差面：

对S₄求导得：

其中

这里，利用FLSs逼近未知项F₂(X₂)：

其中

是最优权值向量，定义

因为θ₂是未知的，定义θ₂的估计值

因此估计误差

选择滑模面σ_s2＝S₄，选择李雅普诺夫函数：

则对Γ₂求导得：

利用杨氏不等式可证得：

其中，ε₂是任意小正常数；

将公式(41)代入到公式(40)，可得到

其中χ₂是待设计的虚拟控制律；为了保证上式非正性，虚拟控制律设计如下：

其中c₄，μ₂是可选正实数，sgn(·)是符号函数；参数自适应律

定义如下：

其中λ₂是可选正参数；

第三步：引入误差性能函数，则S₅可写为：

其中e₅(t)是跟踪误差，Θ₅ ^-1(S₅)为具有公式(9)特点的单调递增函数，p₂(t)是引入的误差性能函数；结合状态观测器的输出：

其中，k₁，k₂为观测器增益，χ₃为待确定的未知函数，虚拟控制量，对S₅求导得：

选取虚拟控制信号：

其中c₅是一个正常数；将虚拟控制信号通过一阶滤波器，可得到新的状态变量x_6d：

其中τ₆是滤波器的时间常数；

定义误差面：

对S₆求导得：

其中

这里，利用FLSs逼近未知项F₃(X₃)：

其中

是最优权值向量，定义

因为θ₃是未知的，定义θ₃的估计值

因此估计误差

选择滑模面σ_s3＝S₆，选择李雅普诺夫函数：

则对Γ₃求导得：

利用杨氏不等式可证得：

其中，ε₃是任意小正常数；

代入可得到

其中χ₃是待设计的虚拟控制律；为了保证上式非正性，虚拟控制律设计如下：

其中c₆，μ₃是可选正实数，sgn(·)是符号函数；参数自适应律

定义如下：

其中λ₃是可选正参数；

为了获得四旋翼系统的实际控制律，结合式(29)、式(43)、式(57)可以得到：

观察可以看出，上式中包含四个量，即三个姿态角(x₇，x₉，x₁₁)和实际控制量U₁；在实际对四旋翼飞行器控制时，通常会给定偏航角参考信号x_11d，因此在下一部分通过动态面滑模控制器设计相应控制律U₄，实现偏航角对参考轨迹的快速跟踪；因此将x₁₁视为已知的，并用x_11d进行代替；这样上式减少一个自由度，相应剩下的三个自由度进行算术求解，可得：

其中，U₁就是系统实际的一个控制信号，另外，α＝cos(x_11d)，β＝sin(x_11d)；将x_7d，x_9d虚拟控制信号通过一阶滤波器，可得到新的状态变量x_7d，x_9d：

需要指出的是，通过将偏航角轨迹限制在(-π/2，π/2)，可以对控制律U₁进行有界控制，使其能够限制在一定范围内；

对于姿态角子系统控制，利用上式得到的姿态角参考轨迹(x_7d，x_9d，x_11d)，控制律设计也包含三步；具体的设计步骤如下：

第四步：引入误差性能函数，则S₇可写为：

其中e₇(t)是跟踪误差，Θ₇ ^-1(S₇)为具有公式(9)特点的单调递增函数，p_ψ(t)是引入的误差性能函数；结合状态观测器的输出：

其中，k₁，k₂为观测器增益，

对S₇求导得：

选取虚拟控制信号：

其中c₇是一个正常数；将虚拟控制信号通过一阶滤波器，可得到新的状态变量x_8d：

其中τ₈是滤波器的时间常数；

定义误差面：

对S₈求导得：

其中

这里，利用FLSs逼近未知项F₄(X₄)：

其中

是最优权值向量，定义

因为θ₄是未知的，定义θ₄的估计值

因此估计误差

选择滑模面σ_s4＝S₈；选择李雅普诺夫函数：

则对Γ₄求导得：

利用杨氏不等式可证得：

其中，ε₄是任意小正常数；

将公式(72)代入到公式(71)，可得到：

其中U₂是待设计的实际控制律；为了保证上式非正性，实际控制律设计如下：

其中c₈，μ₄是可选正实数，sgn(·)是符号函数；参数自适应律

定义如下：

其中λ₄是可选正参数；

第五步：引入误差性能函数，则S₉可写为：

其中e₉(t)是跟踪误差，Θ₉ ^-1(S₉)为具有公式(9)特点的单调递增函数，p_ψ(t)是引入的误差性能函数；结合状态观测器的输出：

其中，k₁，k₂为观测器增益，

对S₉求导得：

选取虚拟控制信号：

其中c₉是一个正常数；将虚拟控制信号通过一阶滤波器，可得到新的状态变量x_10d：

其中τ₁₀是滤波器的时间常数；

定义误差面：

对S₁₀求导得：

其中

这里，利用FLSs逼近未知项F₅(X₅)：

其中

是最优权值向量，定义

因为θ₅是未知的，定义θ₅的估计值

因此估计误差

选择滑模面σ_s5＝S₁₀，选择李雅普诺夫函数：

则对Γ₅求导得：

利用杨氏不等式可证得：

其中，ε₅是任意小正常数；

将公式(86)代入到公式(85)，可得到

其中U₃是待设计的实际控制律；为了保证上式非正性，实际控制律设计如下：

其中c₁₀，μ₅是可选正实数，sgn(·)是符号函数；参数自适应律

定义如下：

其中λ₅是可选正参数；

第六步：引入误差性能函数，则S₁₁可写为：

其中e₁₁(t)是跟踪误差，Θ₁₁ ^-1(S₁₁)为具有公式(9)特点的单调递增函数，p_ψ(t)是引入的误差性能函数；结合状态观测器的输出：

其中，k₁，k₂为观测器增益，

对S₁₁求导得：

选取虚拟控制信号：

其中c₁₁是一个正常数；将虚拟控制信号通过一阶滤波器，可得到新的状态变量x_12d：

其中τ₁₂是滤波器的时间常数；

定义误差面：

对S₁₂求导得：

其中

这里，利用FLSs逼近未知项F₅(X₅)

其中

是最优权值向量，定义

因为θ₆是未知的，定义θ₆的估计值

因此估计误差

选择滑模面σ_s6＝S₁₂，选择李雅普诺夫函数：

则对Γ₆求导得：

利用杨氏不等式可证得：

其中，ε₆是任意小正常数；

将公式(100)代入到公式(99)，可得到：

其中U₄是待设计的实际控制律；为了保证上式非正性，实际控制律设计如下：

其中c₁₂，μ₆是可选正实数，sgn(·)是符号函数；参数自适应律

定义如下：

其中λ₆是可选正参数。

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