CN107688295B - 一种基于快速终端滑模的四旋翼飞行器有限时间自适应控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于快速终端滑模的四旋翼飞行器有限时间自适应控制方法，适用于带有惯性不确定性以及外部扰动的四旋翼飞行器系统。发明综合考虑线性滑动模态与快速终端滑动模态，在系统滑动模态中既引入了终端吸引子，使得系统状态在有限时间收敛，又保留了线性滑模在接近平衡态时的快速性，从而可以实现系统状态在有限时间快速收敛到平衡态。发明应用了一种快速终端滑动模态对四旋翼飞行器提出了一种快速终端滑模有限时间自适应控制方法，避免了系统奇异性问题，有效抑制了抖振，对四旋翼飞行器系统存在的外部扰动和不确定具有良好的鲁棒性，并且使得系统能快速有限时间收敛。

Description

一种基于快速终端滑模的四旋翼飞行器有限时间自适应控制 方法

技术领域

本发明涉及一种基于快速终端滑模的四旋翼飞行器有限时间自适应控制方法，尤其适用于带有惯性不确定性以及外部扰动的四旋翼飞行器系统。

背景技术

四旋翼飞行器是一种拥有6个自由度能够垂直起降、定点悬停的飞行器，有4个螺旋桨且螺旋桨呈十字形或是X形。相对的旋翼具有相同的旋转方向，可分为两组，其旋转方向不同，其通过控制四个旋翼转速来实现起飞、悬停、降落等动作。由于四旋翼飞行器结构简单、机动性好、体积小且重量轻，已经广泛应用于民用事业、国防军事以及科学研究等领域。四旋翼飞行器控制系统包括位置控制系统和姿态控制系统，姿态控制系统一般设计更复杂、性能要求更高。四旋翼飞行器飞行中易受到空气等外部干扰，如何实现对四旋翼无人机的高性能运动控制已经成为一个热点问题。目前常用的控制算法有滑模控制、反步控制、线性二次型最优控制、PID控制、H∞控制、自抗扰控制、鲁棒自适应控制等。

其中滑模控制是一种特殊的非线性控制，其具有快速响应、算法简单、对系统不确定和外部干扰具有良好鲁棒性等优点。对于四旋翼飞行器系统，从系统收敛时间考虑，如果能够使飞行器姿态、位置在有限的较短时间内收敛到期望值具有重要意义。传统的滑模控制通常选择一个线性滑模面，系统到达滑模面后，跟踪误差渐近收敛到零的速度可以通过调整滑模面参数实现，但却永远不会有限时间内收敛到零。而终端滑模控制通过引入非线性函数构造终端滑模面，可以使滑模面上跟踪误差在指定有限时间内收敛到零，但系统不能避免奇异点的出现。

发明内容

为了克服现有四旋翼飞行器控制方法的无法避免了系统奇异性问题，无法有效抑制了抖振，鲁棒性较差、实时性较差的不足，本发明综合考虑线性滑动模态与快速终端滑动模态，应用了一种快速终端滑动模态对四旋翼飞行器提出了一种快速终端滑模有限时间自适应控制方法，避免了系统奇异性问题，有效抑制了抖振，对四旋翼飞行器系统存在的外部扰动和不确定具有良好的鲁棒性，并且使得系统快速有限时间收敛。系统滑动模态中既引入了终端吸引子，使得系统状态在有限时间收敛，又保留了线性滑模在接近平衡态时的快速性，从而可以实现系统状态在有限时间内快速收敛到平衡态。

为了解决上述技术问题提出的技术方案如下：

一种基于快速终端滑模的四旋翼飞行器有限时间自适应控制方法，包括以下步骤：

步骤1，分析四旋翼飞行器系统，建立四旋翼飞行器的动力学模型，初始化系统状态、采样时间和控制参数，过程如下：

1.1在建立动力学模型前，我们建立两种坐标系：地面坐标系E和机体坐标系B；定义姿态角：φ、θ、ψ分别代表横滚角、俯仰角、偏航角，即机体坐标系B相对地面坐标系E分别绕x、y、z轴旋转的角度；假设飞行器是刚性的、结构完全对称的，飞行器的重心与机体坐标系原点重合，定义从机体坐标系到地面坐标系的转换矩阵如下：

其中，s_ψ＝sinψ,s_θ＝sinθ,s_φ＝sinφ,c_ψ＝cosψ,c_θ＝cosθ,c_φ＝cosφ；

1.2采用牛顿-欧拉法，对飞行器进行受力分析得四旋翼飞行器位置运动方程：

其中,x,y,z分别表示四旋翼飞行器在地面坐标系下各轴上的位置，分别表示四旋翼飞行器在地面坐标系下各轴上的线加速度，m为飞行器的质量，U_F表示四个旋翼产生的升力，mg为无人机所受的重力，g是重力加速度；

将式(1)代入式(2)式得

1.3四旋翼飞行器的姿态运动方程如下

其中，J＝[I_x I_y I_z]^T表示飞行器机体坐标系下的转动惯量，I_x,I_yI_z分别代表机体坐标系各轴上转动惯量分量，×表示叉乘，τ为作用在机体上的力矩；定义Ω＝[p q r]^T为机体坐标系下的角速度，p,q,r分别为机体坐标系下x、y、z轴的角速度，

为地面坐标系下欧拉角速度；由坐标旋转有如下关系：

式(4)展开得：

其中，τ_x,τ_y,τ_z分别为机体坐标轴各轴上的力矩分量，由于四旋翼无人机一般处于低速飞行或悬停状态，姿态角变化较小，则认为

此时，式(6)改写成：

其中，

四旋翼飞行器的直接控制输入量为四旋翼电机转速ω_k,k＝1,2,3,4，通过调节旋翼的转速实现四旋翼控制，旋翼升力和控制力矩与四个旋翼的转速有直接关系，如式(8)所描述：

其中，b为升力系数，d是扭矩系数；

1.4考虑实际四旋翼飞行器系统会受到空气阻力等外界干扰影响且存在惯性不确定性，建立四旋翼飞行器的动力学模型如下：

其中，U_x,U_y,U_z分别为地面坐标系下x、y、z轴上的控制力矩分量，Δf_x,Δf_y,Δf_z,Δf_φ,Δf_θ,Δf_ψ为系统未建模项，d_x,d_y,d_z,d_φ,d_θ,d_ψ为不确定干扰项；

令

假定给定偏航角期望值ψ_d，式(10)进行解耦计算得：

其中，φ_d,θ_d分别为翻滚角、俯仰角期望值；

将式(9)写成

其中X＝[x,y,z,φ,θ,ψ]^T,U＝[U_x,U_y,U_z,τ_x,τ_y,τ_z]^T，

B＝diag{1,1,1,b₁,b₂,b₃},diag{a,b,c…}表示对角矩阵(即指除主对角线外的元素均为零的方阵),D(t)＝[d_x,d_y,d_z,d_φ,d_θ,d_ψ]^T，Δf(X)＝[Δf_x,Δf_y,Δf_z,Δf_φ,Δf_θ,Δf_ψ]^T；

步骤2，计算系统跟踪误差变量，设计快速终端滑模面，过程如下：

2.1对系统误差状态变量进行如下定义：

e＝X-X_d (13)

其中，X_d＝[x_d,y_d,z_d,φ_d,θ_d,ψ_d]^T代表状态X的期望值矩阵，(x_d,y_d,z_d)代表位置期望值；

2.2根据2.1对系统误差状态变量的定义，设计一种快速终端滑模面如下：

其中，i＝1,2,3,4,5,6，α_i,β_i为正的常数，ε＞0为e_i的某个很小的领域，q_i,p_i为正的奇数，且0＜q_i/p_i＜1，

定义

使

定义系统不确定项为：

N＝Δf(X)+D(t)＝[N₁,N₂,N₃,N₄,N₅,N₆]^T (16)

假定系统不确定项有上界ρ，即||N||_∞≤ρ,ρ＞0；

步骤3，考虑四旋翼飞行器动力学模型，基于快速终端滑模面设计控制器并进行稳定性证明，过程如下：

3.1设计如下李雅普诺夫函数

则

由式(12)-(16)和(18)计算得：

(1)若|e_i|≥ε，则

(2)若|e_i|＜ε，则

考虑系统稳定性，设计控制器如下：

U＝U_eq+U_re (21)

其中，ε₁＞0为s_i的某个很小的领域，σ＞0；

将式(21)-(23)代入式(19)、(20)有

表明系统是稳定的；

步骤4，引入自适应法对四旋翼飞行器系统中存在的外界干扰和不确定性进行估计，并在控制器设计时对其进行补偿，从而达到更好的控制性能，过程如下：

4.1重新假定不确定项上界，即

其中，c₁、c₂、c₃为正常数，

表示ρ的估计值，分别表示c₁、c₂、c₃的估计值；

4.2重新设计控制器为：

U₁＝U_eq1+U_re1 (27)

其中，

表示的估计值，自适应更新律如下：

其中,o₁,o₂,o₃＞0；δ₁,δ₂,δ₃＞0；

重新设计新的李雅普诺夫函数

其中，

由式(12)-(16)和(34)计算得：

(1)若|s_i|≥ε₁，则

将式(27)-(29)代入式(35)，有：

将式(30)代入式(36),有：

将式(31)-(33)代入式(37),有：

利用不等式

则式(38)改写成：

其中

表示最小值，假定当|s_i|≥ε₁，s_i最终收敛域为

则

(2)若|s_i|＜ε₁，则

由式(34)、式(12)-(16)和式(27)-(33)计算得：

其中，假定当|s_i|＜ε₁，s_i最终收敛域为

则

由以上推导可知，当

s_i将会有限时间收敛到某个小的领域内，保持稳定。

本发明基于快速终端滑模和自适应控制法，设计四旋翼飞行器系统的快速终端滑模有限时间自适应控制方法，避免了终端滑模控制出现的奇异现象，削弱了系统的抖振现象，对外界干扰和不确定性具有较好的鲁棒性，有效实现了系统快速有限时间收敛。

本发明的技术构思为：针对四旋翼飞行器的动力学系统，应用快速终端滑模控制方法，再引入自适应控制，设计一种基于快速终端滑模的四旋翼飞行器有限时间自适应控制方法。快速终端滑模的设计是为了实现系统快速有限时间收敛，消除终端滑模控制存在的奇异性问题。引入自适应法来估计系统的惯性不确定性和外部干扰，使控制实时性更好，控制精度更高。

本发明的有益效果为：避免了奇异性问题，对系统存在的惯性不确定性及外部扰动具有较好的鲁棒性，实现系统快速有限时间收敛。

附图说明

图1为本发明的位置滑模面效果示意图。

图2为本发明的位置跟踪效果示意图。

图3为本发明的位置控制器输入示意图。

图4为本发明的位置干扰边界参数估计示意图。

图5为本发明的姿态角滑模面效果示意图。

图6为本发明的姿态角跟踪效果示意图。

图7为本发明的姿态角控制器输入示意图。

图8为本发明的姿态角干扰边界参数估计示意图。

图9为本发明的系统惯性不确定性估计示意图。

图10为本发明的控制流程示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步说明。

参照图1-图10，一种基于快速终端滑模的四旋翼飞行器有限时间自适应控制方法，包括以下步骤：

步骤1，分析四旋翼飞行器系统，建立四旋翼飞行器的动力学模型，初始化系统状态、采样时间和控制参数，过程如下：

1.1在建立动力学模型前，我们建立两种坐标系：地面坐标系E和机体坐标系B；定义姿态角：φ、θ、ψ分别代表横滚角、俯仰角、偏航角，即机体坐标系B相对地面坐标系E分别绕x、y、z轴旋转的角度；假设飞行器是刚性的、结构完全对称的，飞行器的重心与机体坐标系原点重合，定义从机体坐标系到地面坐标系的转换矩阵如下：

其中，s_ψ＝sinψ,s_θ＝sinθ,s_φ＝sinφ,c_ψ＝cosψ,c_θ＝cosθ,c_φ＝cosφ；

1.2采用牛顿-欧拉法，对飞行器进行受力分析得四旋翼飞行器位置运动方程：

其中,x,y,z分别表示四旋翼飞行器在地面坐标系下各轴上的位置，

分别表示四旋翼飞行器在地面坐标系下各轴上的线加速度，m为飞行器的质量，U_F表示四个旋翼产生的升力，mg为无人机所受的重力，g是重力加速度；

将式(1)代入式(2)式得

1.3四旋翼飞行器的姿态运动方程如下

其中，J＝[I_x I_y I_z]^T表示飞行器机体坐标系下的转动惯量，I_x,I_yI_z分别代表机体坐标系各轴上转动惯量分量，×表示叉乘，τ为作用在机体上的力矩；定义Ω＝[p q r]^T为机体坐标系下的角速度，p,q,r分别为机体坐标系下x、y、z轴的角速度，

为地面坐标系下欧拉角速度；由坐标旋转有如下关系：

式(4)展开得：

其中，τ_x,τ_y,τ_z分别为机体坐标轴各轴上的力矩分量，由于四旋翼无人机一般处于低速飞行或悬停状态，姿态角变化较小，则认为

此时，式(6)改写成：

其中，

四旋翼飞行器的直接控制输入量为四旋翼电机转速ω_k,k＝1,2,3,4，通过调节旋翼的转速实现四旋翼控制，旋翼升力和控制力矩与四个旋翼的转速有直接关系，如式(8)所描述：

其中，b为升力系数，d是扭矩系数；

1.4考虑实际四旋翼飞行器系统会受到空气阻力等外界干扰影响且存在惯性不确定性，建立四旋翼飞行器的动力学模型如下：

其中，U_x,U_y,U_z分别为地面坐标系下x、y、z轴上的控制力矩分量，Δf_x,Δf_y,Δf_z,Δf_φ,Δf_θ,Δf_ψ为系统未建模项，d_x,d_y,d_z,d_φ,d_θ,d_ψ为不确定干扰项；

令

假定给定偏航角期望值ψ_d，式(10)进行解耦计算得：

其中，φ_d,θ_d分别为翻滚角、俯仰角期望值；

将式(9)写成

其中X＝[x,y,z,φ,θ,ψ]^T,

U＝[U_x,U_y,U_z,τ_x,τ_y,τ_z]^T，

B＝diag{1,1,1,b₁,b₂,b₃},diag{a,b,c…}表示对角矩阵(即指除主对角线外的元素均为零的方阵),D(t)＝[d_x,d_y,d_z,d_φ,d_θ,d_ψ]^T，Δf(X)＝[Δf_x,Δf_y,Δf_z,Δf_φ,Δf_θ,Δf_ψ]^T；

步骤2，计算系统跟踪误差变量，设计快速终端滑模面，过程如下：

2.1对系统误差状态变量进行如下定义：

e＝X-X_d (13)

其中，X_d＝[x_d,y_d,z_d,φ_d,θ_d,ψ_d]^T代表状态X的期望值矩阵，(x_d,y_d,z_d)代表位置期望值；

2.2根据2.1对系统误差状态变量的定义，为避免奇异问题、提高收敛速度，设计一种快速终端滑模面如下：

其中，i＝1,2,3,4,5,6，α_i,β_i为正的常数，ε＞0为e_i的某个很小的领域，q_i,p_i为正的奇数，且0＜q_i/p_i＜1，

定义

使

定义系统不确定项为：

N＝Δf(X)+D(t)＝[N₁,N₂,N₃,N₄,N₅,N₆]^T (16)

假定系统不确定项有上界ρ，即||N||_∞≤ρ,ρ＞0；

步骤3，考虑四旋翼飞行器动力学模型，基于快速终端滑模面设计控制器并进行稳定性证明，过程如下：

3.1设计如下李雅普诺夫函数

则

由式(12)-(16)和(18)计算得：

(1)若|e_i|≥ε，则

(2)若|e_i|＜ε，则

考虑系统稳定性，设计控制器如下：

U＝U_eq+U_re (21)

其中，ε₁＞0为s_i的某个很小的领域，σ＞0；

将式(21)-(23)代入式(19)、(20)有

表明系统是稳定的；

步骤4，引入自适应法对四旋翼飞行器系统中存在的外界干扰和不确定性进行估计，并在控制器设计时对其进行补偿，从而达到更好的控制性能，过程如下：

4.1重新假定不确定项上界，即

其中，c₁、c₂、c₃为正常数，

表示ρ的估计值，

分别表示c₁、c₂、c₃的估计值；

4.2重新设计控制器为：

U₁＝U_eq1+U_re1 (27)

其中，表示

的估计值，自适应更新律如下：

其中,o₁,o₂,o₃＞0；δ₁,δ₂,δ₃＞0；

重新设计新的李雅普诺夫函数

其中，

由式(12)-(16)和(34)计算得：

(1)若|s_i|≥ε₁，则

将式(27)-(29)代入式(35)，有：

将式(30)代入式(36),有：

将式(31)-(33)代入式(37),有：

利用不等式

则式(38)改写成：

其中表示最小值，假定当|s_i|≥ε₁，s_i最终收敛域为

则

(2)若|s_i|＜ε₁，则

由式(34)、式(12)-(16)和式(27)-(33)计算得：

其中，假定当|s_i|＜ε₁，s_i最终收敛域为

则

由以上推导可知，当

s_i将会有限时间收敛到某个小的领域内，保持稳定。

为了验证所提方法的可行性，本发明给出了该控制方法在MATLAB平台上的仿真结果：

参数给定如下：式(3)中m＝0.625kg，g＝10；式(6)中I_x＝2.3×10^-3kg·m²，I_y＝2.4×10^-3kg·m²，I_z＝2.6×10^-3kg·m²；式(13)中x_d＝1,y_d＝1,z_d＝1,ψ_d＝0.5；式(14)中α_i＝8,β_i＝1(i＝1,2,3,4,5,6)；式(15)中ε＝0.009,q_i＝3,p_i＝5；式(25)中c₁＝0.1,c₂＝0.1,c₃＝0.1；式(29)中γ₁＝0.5,λ₁＝2,λ₂＝0.01；式(31)～(33)中对于位置控制o₁＝1,o₂＝8,o₃＝1,δ₁＝0.55,δ₂＝0.55,δ₃＝0.55，对于姿态角控制o₁＝5,o₂＝5,o₃＝1,δ₁＝0.25,δ₂＝0.25,δ₃＝20；(22)、(28)、(29)中ε₁＝0.009；干扰信号给定为强度为0.1的高斯白噪声。

为了削弱系统的抖振问题，将系统中用到的所有符号函数sign()用饱和函数sat()代替，饱和函数如下定义：

其中取μ＝0.1。

从图2和图6跟踪效果图可以看出，系统具有良好的跟踪性能，系统状态变量可在较短有限时间内到达期望值。从图3和图7控制输入图中明显可以看出，系统明显削弱了抖振现象。从图4、8、9可以看出，系统的自适应估计律最终趋于稳定，估计参数趋于某个常值，而且反应时间较短，反应速率较快。

综上所述，本发明提出的快速终端滑模有限时间自适应控制方法，避免了奇异现象，削弱了系统的抖振现象，且对外界干扰和不确定性具有较好的鲁棒性，有效地实现了四旋翼飞行器系统快速有限时间收敛。

以上阐述的是本发明给出的一个实施例表现出的优良优化效果，显然本发明不只是限于上述实施例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。

Claims (1)

1.一种基于快速终端滑模的四旋翼飞行器有限时间自适应控制方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1，分析四旋翼飞行器系统，建立四旋翼飞行器的动力学模型，初始化系统状态、采样时间和控制参数，过程如下：

1.1在建立动力学模型前，我们建立两种坐标系：地面坐标系E和机体坐标系B；定义姿态角：φ、θ、ψ分别代表横滚角、俯仰角、偏航角，即机体坐标系B相对地面坐标系E分别绕x、y、z轴旋转的角度；假设飞行器是刚性的、结构完全对称的，飞行器的重心与机体坐标系原点重合，定义从机体坐标系到地面坐标系的转换矩阵如下：

其中，s_ψ＝sinψ,s_θ＝sinθ,s_φ＝sinφ,c_ψ＝cosψ,c_θ＝cosθ,c_φ＝cosφ；

1.2采用牛顿-欧拉法，对飞行器进行受力分析得四旋翼飞行器位置运动方程：

其中,x,y,z分别表示四旋翼飞行器在地面坐标系下各轴上的位置，分别表示四旋翼飞行器在地面坐标系下各轴上的线加速度，m为飞行器的质量，U_F表示四个旋翼产生的升力，mg为无人机所受的重力，g是重力加速度；

将式(1)代入式(2)式得

1.3四旋翼飞行器的姿态运动方程如下

其中，J＝[I_x I_y I_z]^T表示飞行器机体坐标系下的转动惯量，I_x,I_y,I_z分别代表机体坐标系各轴上转动惯量分量，×表示叉乘，τ为作用在机体上的力矩；定义Ω＝[p q r]^T为机体坐标系下的角速度，p,q,r分别为机体坐标系下x、y、z轴的角速度，为地面坐标系下欧拉角速度；由坐标旋转有如下关系：

式(4)展开得：

其中，τ_x,τ_y,τ_z分别为机体坐标轴各轴上的力矩分量，由于四旋翼无人机一般处于低速飞行或悬停状态，姿态角变化较小，则认为

此时，式(6)改写成：

其中，

四旋翼飞行器的直接控制输入量为四旋翼电机转速ω_k,k＝1,2,3,4，通过调节旋翼的转速实现四旋翼控制，旋翼升力和控制力矩与四个旋翼的转速有直接关系，如式(8)所描述：

其中，b为升力系数，d是扭矩系数；

1.4考虑实际四旋翼飞行器系统会受到包括空气阻力的外界干扰影响且存在惯性不确定性，建立四旋翼飞行器的动力学模型如下：

其中，U_x,U_y,U_z分别为地面坐标系下x、y、z轴上的控制力矩分量，Δf_x,Δf_y,Δf_z,Δf_φ,Δf_θ,Δf_ψ为系统未建模项，d_x,d_y,d_z,d_φ,d_θ,d_ψ为不确定干扰项；

令

假定给定偏航角期望值ψ_d，式(10)进行解耦计算得：

其中，φ_d,θ_d分别为翻滚角、俯仰角期望值；

将式(9)写成

其中X＝[x,y,z,φ,θ,ψ]^T,

U＝[U_x,U_y,U_z,τ_x,τ_y,τ_z]^T，

B＝diag{1,1,1,b₁,b₂,b₃},diag{a,b,c…}表示对角矩阵，即指除主对角线外的元素均为零的方阵,D(t)＝[d_x,d_y,d_z,d_φ,d_θ,d_ψ]^T，Δf(X)＝[Δf_x,Δf_y,Δf_z,Δf_φ,Δf_θ,Δf_ψ]^T；

步骤2，计算系统跟踪误差变量，设计快速终端滑模面，过程如下：

2.1对系统误差状态变量进行如下定义：

e＝X-X_d (13)

其中，X_d＝[x_d,y_d,z_d,φ_d,θ_d,ψ_d]^T代表状态X的期望值矩阵，(x_d,y_d,z_d)代表位置期望值；

2.2根据2.1对系统误差状态变量的定义，设计一种快速终端滑模面如下：

其中，i＝1,2,3,4,5,6，α_i,β_i为正的常数，ε＞0为e_i的某个很小的领域，q_i,p_i为正的奇数，且0＜q_i/p_i＜1，

定义使

定义系统不确定项为：

N＝Δf(X)+D(t)＝[N₁,N₂,N₃,N₄,N₅,N₆]^T (16)

假定系统不确定项有上界ρ，即||N||_∞≤ρ,ρ＞0；

步骤3，考虑四旋翼飞行器动力学模型，基于快速终端滑模面设计控制器并进行稳定性证明，过程如下：

3.1设计如下李雅普诺夫函数

则

由式(12)-(16)和(18)计算得：

1)若|e_i|≥ε，则

2)若|e_i|＜ε，则

考虑系统稳定性，设计控制器如下：

U＝U_eq+U_re (21)

其中，ε₁＞0为s_i的某个很小的领域，σ＞0；

将式(21)-(23)代入式(19)、(20)有

表明系统是稳定的；

步骤4，引入自适应法对四旋翼飞行器系统中存在的外界干扰和不确定性进行估计，并在控制器设计时对其进行补偿，从而达到更好的控制性能，过程如下：

4.1重新假定不确定项上界，即

其中，c₁、c₂、c₃为正常数，

表示ρ的估计值，

分别表示c₁、c₂、c₃的估计值；

4.2重新设计控制器为：

U₁＝U_eq1+U_re1 (27)

其中，

表示

的估计值，自适应更新律如下：

其中,ο₁,ο₂,ο₃＞0；δ₁,δ₂,δ₃＞0；

重新设计新的李雅普诺夫函数

其中，

由式(12)-(16)和(34)计算得：

1)若|s_i|≥ε₁，则

将式(27)-(29)代入式(35)，有：

将式(30)代入式(36),有：

将式(31)-(33)代入式(37),有：

利用不等式

则式(38)改写成：

其中

min{·}表示最小值，假定当|s_i|≥ε₁，s_i最终收敛域为则

2)若|s_i|＜ε₁，则

由式(34)、式(12)-(16)和式(27)-(33)计算得：

其中，假定当|s_i|＜ε₁，s_i最终收敛域为

则

由以上推导可知，当

s_i将会有限时间收敛到某个小的领域内，保持稳定。

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