CN108037662A - 一种基于积分滑模障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器输出受限反步控制方法 - Google Patents

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Abstract

一种基于积分滑模障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器输出受限反步控制方法，针对四旋翼飞行器的动力学系统，选择一种积分滑模障碍李雅普诺夫函数，设计一种基于积分滑模障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器输出受限反步控制方法。积分滑模障碍李雅普诺夫函数的设计是为了保证系统的输出能够限制在一定的范围内，避免过大的超调，同时还能减少到达时间。从而改善四旋翼飞行器系统的动态响应性能。本发明提供一种基于积分滑模障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器输出受限反步控制方法，使系统具有较好的动态响应过程。

Description

一种基于积分滑模障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器输出 受限反步控制方法
技术领域
本发明涉及一种基于积分滑模障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器输出受限反步控制方法，使四旋翼飞行器系统有较好的动态响应过程。
背景技术
四旋翼飞行器作为旋翼式飞行器的一种,以其体积小、机动性能好、设计简单、制造成本低廉等优点,吸引了国内外大学、研究机构、公司的广泛关注。然而，由于四旋翼飞行器体积小且重量轻，飞行中易受到外部干扰，如何实现对四旋翼飞行器的高性能运动控制已经成为一个热点问题。针对四旋翼飞行器的控制问题，存在很多控制方法，例如PID控制、自抗扰控制、滑模控制、反步控制等。
其中反步控制已经广泛应用于非线性系统，其优点包括响应速度快、实施方便、对系统不确定和外部干扰的鲁棒性等。传统的反步控制，只是考虑了四旋翼飞行器的稳态性能，并没有过多地关注其瞬态响应性能。因此，传统的反步控制方法使得四旋翼飞行器系统在实际情况中的应用有很大阻碍。为解决这一问题，基于障碍李雅普诺夫函数的反步控制方法被提出，这种方法在实际情况中能够有效地改善四旋翼飞行器系统的瞬态性能。
发明内容
为了改善四旋翼飞行器系统瞬态性能，本发明提供了一种基于积分滑模障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器输出受限步控制方法，减少了超调量和超调时间，使四旋翼飞行器系统具有一个良好的动态响应性能。
为了解决上述技术问题提出的技术方案如下：
一种基于积分滑模障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器输出受限反步控制方法，包括以下步骤：
步骤1，建立四旋翼飞行器系统的动态模型，设定系统的初始值、采样时间以及相关控制参数，过程如下：
1.1确定从基于四旋翼飞行器系统的机体坐标系到基于地球的惯性坐标的转移矩阵T：
其中φ,θ,ψ分别是四旋翼飞行器的翻滚角、俯仰角、偏航角，表示无人机依次绕惯性坐标系的各坐标轴旋转的角度；
1.2四旋翼飞行器平动过程中的动态模型如下：
其中x,y,z分别表示四旋翼飞行器在惯性坐标系下的三个位置，Uf表示四旋翼飞行器的输入力矩，m为四旋翼飞行器的质量，g表示重力加速度，
将式(1)代入式(2)得：
1.3四旋翼飞行器转动过程中的动态模型为：
其中τx,τy,τz分别代表机体坐标系上各个轴的力矩分量，Ixx,Iyy,Izz分别表示机体坐标系下的各个轴的转动惯量的分量，×表示叉乘，ωp表示翻滚角速度，ωq表示俯仰角速度，ωr表示偏航角速度，表示翻滚角加速度，表示俯仰角加速度，表示偏航角加速度；
考虑到无人机处于低速飞行或者悬停状态，姿态角变化较小，认为因此式(4)改写为：
联立式(3)和式(5)，得到四旋翼飞行器的动力学模型为：
其中ux＝cosφsinθcosψ+sinφsinψ,uy＝cosφsinθsinψ-sinφcosψ；
1.4根据式(6)，定义φ,θ的期望值为：
其中φd为φ的期望信号值，θd为θ期望信号值，arcsin为反正弦函数；
步骤2，在每一个采样时刻，计算位置跟踪误差及其一阶导数；计算姿态角跟踪误差及其一阶导数；设计位置和姿态角控制器，过程如下：
2.1定义z跟踪误差及其一阶导数：
其中zd表示z的期望信号；
2.2定义滑模面s1：
其中ρ1为正常数；
2.3设计障碍李雅普诺夫函数并求解其一阶导数：
其中Kb1为s1的边界，满足Kb1>|s1|max，|s1|max为|s1|的最大值,α1为虚拟控制量，其表达式为:
其中k11为正常数，
将式(11)代入式(10)，得：
2.4设计李雅普诺夫函数V12：
求解式(13)的一阶导数，得：
其中
将式(15)和式(6)代入式(14)，得：
2.5设计Uf：
其中k12为正常数；
2.6定义x,y跟踪误差分别为e2,e3,则有：
其中xd,yd分别表示x,y的期望信号；
2.7定义滑模面s2,s3：
其中ρ2,ρ3为正常数；
2.8设计障碍李雅普诺夫函数分别求解其一阶导数，得：
其中Kb2为e2的边界，满足Kb2>|s2|max，|s2|max为|s2|的最大值；Kb3为s3的边界，满足Kb3>|s3|max，|s3|max为|s3|的最大值；α2,α3为虚拟控制量，其表达式为:
其中k21,k31为正常数；
将式(21)代入式(20)，得:
2.9设计李雅普诺夫函数V22,V32：
求解式(23)的一阶导数，得：
其中
将式(25)，(6)代入式(24)，分别得：
2.10通过式(26)，(27)分别设计ux,uy：
其中k22,k32为正常数；
2.11定义姿态角跟踪误差及其一阶导数：
其中j＝4,5,6，x4＝φ,x5＝θ,x6＝ψ，x4d表示φ的期望值，x5d表示θ的期望值，x6d表示ψ的期望值，e4表示φ的跟踪误差，e5表示θ的跟踪误差，e6表示ψ的跟踪误差；
2.12定义滑模面sj：
其中ρj为正常数；
2.13设计障碍李雅普诺夫函数并求解其一阶导数：
其中Kbj为sj的边界，满足Kbj>|sj|max，|sj|max为|sj|的最大值；αj为姿态角的虚拟控制量，其表达式为:
其中kj1为正常数；
将式(32)代入式(31)，得：
2.14设计障碍李雅普诺夫函数Vj2：
求解式(31)的一阶导数，得：
其中
将式(36)和式(6)代入式(35)，分别得：
2.15通过式(37)，(38)，(39)分别设计τx,τy,τz：
其中k42,k52,k62为正常数。
进一步，所述方法还包括以下步骤：
步骤3，验证四旋翼飞行器系统的稳定性；
3.1将式(17)代入式(16)，得：
3.2将式(28)代入式(26)、(27)，得：
3.3把式(40)代入式(37)、(38)、(39)，得
3.4通过(41)，(42)，(43)可知四旋翼飞行器系统是稳定的。
本发明基于积分滑模障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器输出受限反步控制方法，改善了系统的瞬态性能，减少了超调量和到达时间。
本发明的技术构思为：针对四旋翼飞行器的动力学系统，设计一种基于积分滑模障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器输出受限反步控制方法。积分滑模障碍李雅普诺夫函数的设计是为了保证系统的输出能够限制在一定的范围内，避免过大的超调，同时还能减少到达时间。从而改善四旋翼飞行器系统的动态响应性能。
本发明优点为：降低超调量，减少到达时间，改善瞬态性能。
附图说明
图1为本发明的位置跟踪效果示意图。
图2为本发明的姿态角跟踪效果示意图。
图3为本发明的位置控制器输入示意图。
图4为本发明的姿态角控制器输入示意图。
图5为本发明的控制流程示意图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明做进一步说明。
参照图1-图5，一种基于积分滑模障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器输出受限反步控制方法，包括以下步骤：
步骤1，建立四旋翼飞行器系统的动态模型，设定系统的初始值、采样时间以及相关控制参数，过程如下：
1.1确定从基于四旋翼飞行器系统的机体坐标系到基于地球的惯性坐标的转移矩阵T：
其中φ,θ,ψ分别是四旋翼飞行器的翻滚角、俯仰角、偏航角，表示无人机依次绕惯性坐标系的各坐标轴旋转的角度；
1.2四旋翼飞行器平动过程中的动态模型如下：
其中x,y,z分别表示四旋翼飞行器在惯性坐标系下的三个位置，Uf表示四旋翼飞行器的输入力矩，m为四旋翼飞行器的质量，g表示重力加速度，
将式(1)代入式(2)得：
1.3四旋翼飞行器转动过程中的动态模型为：
其中τx,τy,τz分别代表机体坐标系上各个轴的力矩分量，Ixx,Iyy,Izz分别表示机体坐标系下的各个轴的转动惯量的分量，×表示叉乘，ωp表示翻滚角速度，ωq表示俯仰角速度，ωr表示偏航角速度，表示翻滚角加速度，表示俯仰角加速度，表示偏航角加速度；
考虑到无人机一般处于低速飞行或者悬停状态，姿态角变化较小，认为因此式(4)改写为：
联立式(3)和式(5)，得到四旋翼飞行器的动力学模型为：
其中ux＝cosφsinθcosψ+sinφsinψ,uy＝cosφsinθsinψ-sinφcosψ；
1.4根据式(6)，定义φ,θ的期望值为：
其中φd为φ的期望信号值，θd为θ期望信号值，arcsin为反正弦函数；
步骤2，在每一个采样时刻，计算位置跟踪误差及其一阶导数；计算姿态角跟踪误差及其一阶导数；设计位置和姿态角控制器，过程如下：
2.1定义z跟踪误差及其一阶导数：
其中zd表示z的期望信号；
2.2定义滑模面s1：
其中ρ1为正常数；
2.3设计障碍李雅普诺夫函数并求解其一阶导数：
其中Kb1为s1的边界，满足Kb1>|s1|max，|s1|max为|s1|的最大值,α1为虚拟控制量，其表达式为:
其中k11为正常数，
将式(11)代入式(10)，得：
2.4设计李雅普诺夫函数V12：
求解式(13)的一阶导数，得：
其中
将式(15)和式(6)代入式(14)，得：
2.5设计Uf：
其中k12为正常数；
2.6定义x,y跟踪误差分别为e2,e3,则有：
其中xd,yd分别表示x,y的期望信号；
2.7定义滑模面s2,s3：
其中ρ2,ρ3为正常数；
2.8设计障碍李雅普诺夫函数分别求解其一阶导数，得：
其中Kb2为e2的边界，满足Kb2>|s2|max，|s2|max为|s2|的最大值；Kb3为s3的边界，满足Kb3>|s3|max，|s3|max为|s2|的最大值；α2,α3为虚拟控制量，其表达式为:
其中k21,k31为正常数；
将式(21)代入式(20)，得:
2.9设计李雅普诺夫函数V22,V32：
求解式(23)的一阶导数，得：
其中
将式(25)，(6)代入式(24)，分别得：
2.10通过式(26)，(27)分别设计ux,uy：
其中k22,k32为正常数；
2.11定义姿态角跟踪误差及其一阶导数：
其中j＝4,5,6，x4＝φ,x5＝θ,x6＝ψ，x4d表示φ的期望值，x5d表示θ的期望值，x6d表示ψ的期望值，e4表示φ的跟踪误差，e5表示θ的跟踪误差，e6表示的跟踪误差；
2.12定义滑模面sj：
其中ρj为正常数；
2.13设计障碍李雅普诺夫函数并求解其一阶导数：
其中Kbj为sj的边界，满足Kbj>|sj|max，|sj|max为|sj|的最大值；αj为姿态角的虚拟控制量，其表达式为:
其中kj1为正常数；
将式(32)代入式(31)，得：
2.14设计障碍李雅普诺夫函数Vj2：
求解式(31)的一阶导数，得：
其中
将式(36)和式(6)代入式(35)，分别得：
2.15通过式(37)，(38)，(39)分别设计τx,τy,τz：
其中k42,k52,k62为正常数；
步骤3，验证四旋翼飞行器系统的稳定性；
3.1将式(17)代入式(16)，得：
3.2将式(28)代入式(26)、(27)，得：
3.3把式(40)代入式(37)、(38)、(39)，得
3.4通过(41)，(42)，(43)可知四旋翼飞行器系统是稳定的。
为了验证所提方法的可行性，本发明给出了该控制方法在MATLAB平台上的仿真结果：
参数给定如下：式(2)中m＝1.1kg，g＝9.81N/kg；式(4)中，Ixx＝1.22kg·m2，Iyy＝1.22kg·m2，Izz＝2.2kg·m2；式(8),式(18)和式(29)中zd＝0.5，xd＝0.5，yd＝0.5，ψd＝0.5；式(11),式(21)和式(32)中k11＝0.225,k21＝0.225,k31＝0.225,k41＝0.225,k51＝0.225,k61＝0.225；式(17),式(28)和式(40)中k12＝1,k22＝1,k32＝1,k42＝1,k52＝1,k62＝1；式(10),式(20)和式(31)kb1＝8,kb2＝8,kb3＝8,kb4＝5,kb5＝5,kb6＝5；式(9),式(19)和式(30)ρ1＝1,ρ2＝1,ρ3＝1,ρ4＝1,ρ5＝1,ρ6＝1。
从图1和2可知，系统具有良好的瞬态特性，到达时间为7.29秒，超调量为0.0761。
综上所述，基于积分滑模障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器输出受限反步控制方法能有效地改善四旋翼飞行器系统的瞬态性能。
以上阐述的是本发明给出的一个实施例表现出的优良优化效果，显然本发明不只是限于上述实施例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。

Claims (2)

1.一种基于积分滑模障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器输出受限反步控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1，建立四旋翼飞行器系统的动态模型，设定系统的初始值、采样时间以及相关控制参数，过程如下：
1.1确定从基于四旋翼飞行器系统的机体坐标系到基于地球的惯性坐标的转移矩阵T：
<mrow> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>sin</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>-</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>+</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>sin</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>+</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>sin</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中φ,θ,ψ分别是四旋翼飞行器的翻滚角、俯仰角、偏航角，表示无人机依次绕惯性坐标系的各坐标轴旋转的角度；
1.2四旋翼飞行器平动过程中的动态模型如下：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>m</mi> <mi>g</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mi>T</mi> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>U</mi> <mi>f</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中x,y,z分别表示四旋翼飞行器在惯性坐标系下的三个位置，Uf表示四旋翼飞行器的输入力矩，m为四旋翼飞行器的质量，g表示重力加速度，
将式(1)代入式(2)得：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>f</mi> </msub> <mrow> <mi>m</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>+</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>f</mi> </msub> <mrow> <mi>m</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>f</mi> </msub> <mi>m</mi> </mfrac> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>-</mo> <mi>g</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
1.3四旋翼飞行器转动过程中的动态模型为：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>x</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>y</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>z</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>p</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>q</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>r</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>p</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>q</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&amp;times;</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>p</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>q</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中τx,τy,τz分别代表机体坐标系上各个轴的力矩分量，Ixx,Iyy,Izz分别表示机体坐标系下的各个轴的转动惯量的分量，×表示叉乘，ωp表示翻滚角速度，ωq表示俯仰角速度，ωr表示偏航角速度，表示翻滚角加速度，表示俯仰角加速度，表示偏航角加速度；
考虑到无人机处于低速飞行或者悬停状态，姿态角变化较小，认为因此式(4)改写为：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>x</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>y</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>z</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&amp;times;</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
联立式(3)和式(5)，得到四旋翼飞行器的动力学模型为：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>f</mi> </msub> <mi>m</mi> </mfrac> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>-</mo> <mi>g</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>f</mi> </msub> <mi>m</mi> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>f</mi> </msub> <mi>m</mi> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mover> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mover> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>y</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中ux＝cosφsinθcosψ+sinφsinψ,uy＝cosφsinθsinψ-sinφcosψ；
1.4根据式(6)，定义φ,θ的期望值为：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>arcsin</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>arcsin</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>sin</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </mrow> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中φd为φ的期望信号值，θd为θ期望信号值，arcsin为反正弦函数；
步骤2，在每一个采样时刻，计算位置跟踪误差及其一阶导数；计算姿态角跟踪误差及其一阶导数；设计位置和姿态角控制器，过程如下：
2.1定义z跟踪误差及其一阶导数：
<mrow> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中zd表示z的期望信号；
2.2定义滑模面s1：
<mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <mi>t</mi> </msubsup> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中ρ1为正常数；
2.3设计障碍李雅普诺夫函数并求解其一阶导数：
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>11</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中Kb1为s1的边界，满足Kb1>|s1|max，|s1|max为|s1|的最大值,α1为虚拟控制量，其表达式为:
<mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>11</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>S</mi> <mi>G</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中k11为正常数，
将式(11)代入式(10)，得：
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>11</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>11</mn> </msub> <mi>S</mi> <mi>G</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
2.4设计李雅普诺夫函数V12：
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>12</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>11</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <msub> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
求解式(13)的一阶导数，得：
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>12</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>11</mn> </msub> <mi>S</mi> <mi>G</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中
<mrow> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(15)和式(6)代入式(14)，得：
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>12</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>11</mn> </msub> <mi>S</mi> <mi>G</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>f</mi> </msub> <mi>m</mi> </mfrac> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>-</mo> <mi>g</mi> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
2.5设计Uf：
<mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>m</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>g</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>12</mn> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中k12为正常数；
2.6定义x,y跟踪误差分别为e2,e3,则有：
<mrow> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>;</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中xd,yd分别表示x,y的期望信号；
2.7定义滑模面s2,s3：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <mi>t</mi> </msubsup> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <mi>t</mi> </msubsup> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中ρ2,ρ3为正常数；
2.8设计障碍李雅普诺夫函数分别求解其一阶导数，得：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>21</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>31</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中Kb2为e2的边界，满足Kb2>|s2|max，|s2|max为|s2|的最大值；Kb3为s3的边界，满足Kb3>|s3|max，|S3|max为|s3|的最大值；α2,α3为虚拟控制量，其表达式为:
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>21</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>S</mi> <mi>G</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>31</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>S</mi> <mi>G</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中k21,k31为正常数；
将式(21)代入式(20)，得:
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>21</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>21</mn> </msub> <mi>S</mi> <mi>G</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>31</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>31</mn> </msub> <mi>S</mi> <mi>G</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
2.9设计李雅普诺夫函数V22,V32：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>22</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>21</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <msub> <mi>v</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>32</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>31</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <msub> <mi>v</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
求解式(23)的一阶导数，得：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>22</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>21</mn> </msub> <mi>S</mi> <mi>G</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>32</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>31</mn> </msub> <mi>S</mi> <mi>G</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(25)，(6)代入式(24)，分别得：
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>22</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>21</mn> </msub> <mi>S</mi> <mi>G</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>f</mi> </msub> <mi>m</mi> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>26</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>32</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>31</mn> </msub> <mi>S</mi> <mi>G</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>f</mi> </msub> <mi>m</mi> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
2.10通过式(26)，(27)分别设计ux,uy：
<mrow> <mo>{</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>m</mi> <msub> <mi>U</mi> <mi>f</mi> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>22</mn> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>m</mi> <msub> <mi>U</mi> <mi>f</mi> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>32</mn> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>28</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中k22,k32为正常数；
2.11定义姿态角跟踪误差及其一阶导数：
<mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>j</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>29</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中j＝4,5,6，x4＝φ,x5＝θ,x6＝ψ，x4d表示φ的期望值，x5d表示θ的期望值，x6d表示ψ的期望值，e4表示φ的跟踪误差，e5表示θ的跟踪误差，e6表示ψ的跟踪误差；
2.12定义滑模面sj：
<mrow> <msub> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mi>j</mi> </msub> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <mi>t</mi> </msubsup> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>30</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中ρj为正常数；
2.13设计障碍李雅普诺夫函数并求解其一阶导数：
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>j</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mi>j</mi> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>31</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中Kbj为sj的边界，满足Kbj>|sj|max，|sj|max为|sj|的最大值；αj为姿态角的虚拟控制量，其表达式为:
<mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>j</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>S</mi> <mi>G</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mi>j</mi> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>32</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中kj1为正常数；
将式(32)代入式(31)，得：
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>S</mi> <mi>G</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>33</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
2.14设计障碍李雅普诺夫函数Vj2：
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <msub> <mi>v</mi> <mi>j</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>34</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
求解式(31)的一阶导数，得：
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>j</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>S</mi> <mi>G</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>35</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中
将式(36)和式(6)代入式(35)，分别得：
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>42</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>41</mn> </msub> <mi>S</mi> <mi>G</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>4</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>s</mi> <mn>4</mn> </msub> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>4</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mover> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>37</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>52</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>51</mn> </msub> <mi>S</mi> <mi>G</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>s</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>5</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mover> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>5</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>38</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>62</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>61</mn> </msub> <mi>S</mi> <mi>G</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>6</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>s</mi> <mn>6</mn> </msub> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>6</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>6</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>39</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
2.15通过式(37)，(38)，(39)分别设计τx,τy,τz：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mover> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>42</mn> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>s</mi> <mn>4</mn> </msub> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>4</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mover> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>52</mn> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>5</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>s</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>5</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>62</mn> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>6</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>s</mi> <mn>6</mn> </msub> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>6</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>40</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中k42,k52,k62为正常数。
2.如权利要求1所述的一种基于积分滑模障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器输出受限反步控制方法，其特征在于，所述方法还包括以下步骤：
步骤3，验证四旋翼飞行器系统的稳定性；
3.1将式(17)代入式(16)，得：
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>12</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>11</mn> </msub> <mi>S</mi> <mi>G</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>12</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>41</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
3.2将式(28)代入式(26)、(27)，得：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>22</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>21</mn> </msub> <mi>S</mi> <mi>G</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>22</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>v</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>32</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>31</mn> </msub> <mi>S</mi> <mi>G</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>32</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>v</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>42</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
3.3把式(40)代入式(37)、(38)、(39)，得
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>42</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>41</mn> </msub> <mi>S</mi> <mi>G</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>42</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>v</mi> <mn>4</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>52</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>51</mn> </msub> <mi>S</mi> <mi>G</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>52</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>v</mi> <mn>5</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>62</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>61</mn> </msub> <mi>S</mi> <mi>G</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>62</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>v</mi> <mn>6</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>43</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
3.4通过(41)，(42)，(43)可知四旋翼飞行器系统是稳定的。
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Assignee: Zhejiang puyun Technology Co.,Ltd.

Assignor: JIANG University OF TECHNOLOGY

Contract record no.: X2023980037549

Denomination of invention: A Output Constrained Backstepping Control Method for Quadrotor Aircraft Based on Integral Sliding Mode Barrier Lyapunov Function

Granted publication date: 20191108

License type: Common License

Record date: 20230705

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