CN107817818B - 一种模型不确定飞艇航迹跟踪有限时间控制方法 - Google Patents

Abstract

针对模型不确定条件下飞艇的航迹跟踪问题，本发明提供一种模型不确定飞艇航迹跟踪有限时间控制方法。该方法建立了飞艇空间运动的数学模型；以此模型为受控对象，设计有限时间控制律，考虑实际飞行过程中飞艇模型的不确定性，采用模糊逻辑系统在线逼近飞艇模型的不确定项，在此基础上设计航迹跟踪控制律。由该方法控制的飞艇能够在有限时间内稳定跟踪指令航迹，且具有良好的控制精度，为模型不确定飞艇航迹跟踪控制的工程实现提供了有效方案,控制工程师可以按照该方案实现模型不确定飞艇的三维航迹跟踪控制。

Description

一种模型不确定飞艇航迹跟踪有限时间控制方法

技术领域

本发明涉及一种飞艇控制方法，它为模型不确定飞艇三维航迹跟踪提供一种控制方法，属于自动控制技术领域。

背景技术

飞艇是一种依靠内充浮升气体(氦气)提供静升力、可实现巡航机动和定点驻 留的浮空器。相比于无人机，飞艇具有能耗低、留空时间长、可重复使用等优点， 特别适合于作为承载平台，通过搭载不同载荷执行对地观测、侦察监视、环境监测、 通信中继等任务，具有重要的应用价值和广阔的应用前景。

完成上述飞行任务，通常要求飞艇按照预定的航迹飞行，即要求高精度的航迹 跟踪。航迹跟踪是指飞艇从任意给定的初始状态出发，逐渐趋于并稳定跟踪指令航 迹。飞艇的空间运动具有非线性、通道耦合、不确定、易受外界扰动等特点，因此， 航迹跟踪控制成为飞艇应用的关键技术之一。工程技术人员针对飞艇的航迹跟踪问 题，提出了PID控制、反馈控制、滑模控制、反步控制等一系列控制方法，为飞艇 航迹跟踪控制提供了可供参考借鉴的技术方案。但是，上述控制律都是基于“飞艇 模型精确已知”这一假设进行设计的，而实际飞行过程中，飞艇模型通常是未知的 或不确定的。因此，须考虑模型不确定条件下飞艇的航迹跟踪控制问题。

发明内容

针对现有技术存在的不足，本发明的目的是提供一种模型不确定飞艇航迹跟踪有限时间控制方法。

本发明针对模型不确定条件下飞艇的航迹跟踪问题，建立了其空间运动的数学模型；以此模型为受控对象，设计有限时间控制律，考虑实际飞行过程中飞艇模型 的不确定性，采用模糊逻辑系统在线逼近飞艇模型的不确定项，在此基础上设计航 迹跟踪控制律。由该方法控制的飞艇能够在有限时间内稳定跟踪指令航迹，且具有 良好的控制精度，为模型不确定飞艇航迹跟踪控制的工程实现提供了有效方案,控制 工程师可以按照该方案实现模型不确定飞艇的三维航迹跟踪控制。

本发明的技术方案是：

一种模型不确定飞艇航迹跟踪有限时间控制方法，包括以下步骤：

步骤一：给定指令航迹：η_d＝[x_d,y_d,z_d,θ_d,ψ_d,φ_d]^T；

其中：所述的指令航迹为广义坐标η_d＝[x_d,y_d,z_d,θ_d,ψ_d,φ_d]^T，x_d、y_d、z_d、θ_d、 ψ_d和φ_d分别为指令x坐标、指令y坐标、指令z坐标、指令俯仰角、指令偏航角和 指令滚转角，上标T表示向量或矩阵的转置。

步骤二：计算指令航迹与实际航迹之间的误差量e；

指令航迹与实际航迹之间的误差量e的计算方法为：

e＝η_d-η＝[x_d-x,y_d-y,z_d-z,θ_d-θ,ψ_d-ψ,φ_d-φ]^T (1)

其中：η＝[x,y,z,θ,ψ,φ]^T为实际航迹，x、y、z、θ、ψ、φ分别为实际航迹 的x坐标、y坐标、z坐标、俯仰角、偏航角和滚转角。

步骤三：有限时间控制律设计：构造终端滑模函数，设计有限时间控制律，计 算有限时间控制量τ；

步骤四：航迹跟踪控制律设计：构造模糊逻辑系统在线逼近飞艇模型的不确定项，设计航迹跟踪控制律，计算航迹跟踪控制量

步骤三，具体包括以下步骤：

1)建立飞艇空间运动的数学模型

飞艇空间运动的坐标系及运动参数定义如下：

如图2所示，采用地面坐标系o_ex_ey_ez_e和载体坐标系o_bx_by_bz_b对飞艇的空间运动 进行描述，CV为浮心，CG为重心，浮心到重心的矢量为r_G＝[x_G,y_G,z_G]^T。

运动参数定义：位置P＝[x,y,z]^T，x、y、z分别为轴向、侧向和竖直方向的位移； 姿态角Ω＝[θ,ψ,φ]^T，θ、ψ、φ分别为俯仰角、偏航角和滚转角；速度v＝[u,v,w]^T， u、v、w分别为载体坐标系中轴向、侧向和垂直方向的速度；角速度ω＝[p,q,r]^T， p、q、r分别为滚转、俯仰和偏航角速度。记广义坐标η＝[x,y,z,θ,ψ,φ]^T，广义速度 为V＝[u,v,w,p,q,r]^T。

飞艇的动力学模型描述如下：

式中

M_η＝R^TMR (6)

G_η＝-R^T(N+G) (8)

其中，

R＝J^-1(η) (9)

N＝[N_u,N_v,N_w,N_p,N_q,N_r]^T (12)

其中

式中，m为飞艇质量，m_u、m_v、m_w为附加质量,I_p、I_q、I_r为附加惯量；Λ为飞 艇体积；Q为动压，α为迎角，β为侧滑角，C_X、C_Y、C_Z、C_l、C_m、C_n为气动 系数；I_x、I_y、I_z分别为绕o_bx_b、o_by_b、o_bz_b的主惯量；I_xy、I_xz、I_yz分别为关于 平面o_bx_by_b、o_bx_bz_b、o_by_bz_b的惯量积。τ＝[τ_u,τ_v,τ_w,τ_p,τ_q,τ_r]^T为飞艇航迹跟踪控制 量，τ_u为轴向控制力、τ_v为侧向控制力、τ_w为垂直方向控制力、τ_p为滚转控制力 矩、τ_q俯仰控制力矩、τ_r为偏航控制力矩。

以式(3)所描述的数学模型为被控对象，设计有限时间控制律。

2)有限时间控制律设计

根据指令航迹与实际航迹之间的误差量e，设计如下终端滑模函数：

其中，1＜p/q＜2，

e₁，e₂，e₃，e₄，e₅，e₆分别表示的航迹x坐标误差、航迹y坐标误差、航迹z坐标误差、俯仰角误差、偏航角 误差和滚转角误差，

表示的航迹x坐标误差一阶导数的 p/q次幂、航迹y坐标误差一阶导数的p/q次幂、航迹z坐标误差一阶导数的p/q次幂、俯 仰角误差一阶导数的p/q次幂、偏航角误差一阶导数的p/q次幂和滚转角误差一阶导数 的p/q次幂，λ＝diag(λ₁,λ₂,λ₃,λ₄,λ₅,λ₆)，λ₁,λ₂,λ₃,λ₄,λ₅,λ₆分别表示航迹x坐标误差一 阶导数的p/q次幂的增益、航迹y坐标误差一阶导数的p/q次幂的增益、航迹z坐标误差 一阶导数的p/q次幂的增益、俯仰角误差一阶导数的p/q次幂的增益、偏航角误差一阶 导数的p/q次幂的增益和滚转角误差一阶导数的p/q次幂的增益，λ₁,λ₂,λ₃,λ₄,λ₅,λ₆均 为正实数，s＝[s₁,s₂,s₃,s₄,s₅,s₆]^T，s₁,s₂,s₃,s₄,s₅,s₆分别为对应于航迹x坐标误差、航 迹y坐标误差、航迹z坐标误差、俯仰角误差、偏航角误差和滚转角误差的终端滑模函 数。

式(19)定义的终端滑模函数对时间的一阶导数为：

式(1)定义的指令航迹与实际航迹之间的误差量对时间微分并将式(3)代入，可得：

其中，I_6×6为单位矩阵。

式(21)可写为：

其中，

其中，f＝[f₁,f₂,f₃,f₄,f₅,f₆]^T。

设计如下有限时间控制律，计算有限时间控制量：

其中，sign(s)表示s的符号函数，k＝diag(k₁,k₂,k₃,k₄,k₅,k₆)，k₁,k₂,k₃,k₄,k₅,k₆分别表 示对应于航迹x坐标误差的终端滑模函数的符号函数的增益、航迹y坐标误差的终端 滑模函数的符号函数的增益、航迹z坐标误差的终端滑模函数的符号函数的增益、俯 仰角误差的终端滑模函数的符号函数的增益、偏航角误差的终端滑模函数的符号函 数的增益和滚转角误差的终端滑模函数的符号函数的增益，k₁,k₂,k₃,k₄,k₅,k₆均为正 实数。

在步骤四中，构造模糊逻辑系统在线逼近飞艇模型的不确定项，设计航迹跟踪 控制律，计算航迹跟踪控制量

，其方法为：

1)构造模糊逻辑系统

实际飞行过程中，飞艇模型是不确定的，即式(23)描述的非线性向量函数是不确定的，因此，采用模糊逻辑系统在线逼近飞艇模型的不确定项。

构造如下模糊逻辑系统：

其中，

是f的在线逼近值，

e^T表示指令航迹与 实际航迹之间的误差量的转置，

表示指令航迹与实际航迹之间的误差量一阶导数 的转置，η^T表示实际航迹的转置，

表示实际航迹一阶导数的转置，

表示实际航 迹二阶导数的转置，

是权重系数向量，

分别表示对应于非线性函数f₁,f₂,f₃,f₄,f₅,f₆的权重系数，

是基函数向量，

分别表示对应于非线性函数 f₁,f₂,f₃,f₄,f₅,f₆的基函数，

l＝1,2…,c，i＝1,2…,6，

为隶属度函数，取为高斯函数。x_j∈x，c表示l 的取值，取c＝5，n表示向量x的元素个数，取值为n＝30。

最优权重系数向量定义如下：

其中，

是f的在线逼近值。

对于最优权重系数向量，存在以下式子：

f＝Θ^*Tζ_f(x)+ε (27)

其中，ε为逼近误差，ε为一个正实数，且为一个小量。

2)设计航迹跟踪控制律

根据上述式(19)中所设计的终端滑模函数和式(25)所设计的模糊逻辑系统， 设计如下航迹跟踪控制律，计算航迹跟踪控制量：

选取如下自适应律：

其中，设计参数β_W＞0，γ_W为对角矩阵且矩阵元素大于零。

还包括航迹跟踪控制律其稳定性证明，方法如下：

选取如下Lyapunov函数

其中，

式(30)对时间求导，并将式(21)、式(28)和式(25)代入，可得：

其中，ε为逼近误差，ε为一个正实数，且为一个小量。

将自适应律式(28)代入式(31)，可得：

其中，tr(·)表示求迹运算。

对式(32)等号右边的第三项，有以下不等式成立：

其中，||·||_F表示求Frobenius范数，

是

的Frobenius范数的最大值。

令

则式(32)可表示为：

选取增益δ、a和b满足以下不等式

δ≥a+b (38)

则可保证

即证航迹跟踪控制律的稳定性。

本发明的有益技术效果：

该方法适应于模型不确定飞艇航迹跟踪的有限时间控制，解决了模型不确定条件下飞艇的航迹跟踪控制问题。

控制工程师在应用过程中可以根据实际飞艇给定任意指令航迹，并将由该方法得到的控制量传输至执行机构实现航迹跟踪控制功能。

附图说明

图1为本发明的流程图。

图2为本发明所述飞艇坐标系及运动参数定义。

图3为本发明所述飞艇航迹跟踪控制结果。

图4为本发明所述飞艇航迹跟踪控制误差。

图5为本发明所述飞艇航迹跟踪控制量。

图中符号说明如下：

ηη＝[x,y,z,θ,ψ,φ]^T为飞艇航迹，其中，x、y、z、θ、ψ、φ分别为实际航迹 的x坐标、y坐标、z坐标、俯仰角、偏航角和滚转角；

η_dη_d＝[x_d,y_d,z_d,θ_d,ψ_d,φ_d]^T为指令航迹，其中x_d、y_d、z_d、θ_d、ψ_d和φ_d分别为 指令x坐标、指令y坐标、指令z坐标、指令俯仰角、指令偏航角和指令滚转角；

V V＝[u,v,w,p,q,r]^T为飞艇速度，其中，u、v、w分别为体坐标系中轴向、侧向 和垂直方向的速度，p、q、r分别为滚转、俯仰和偏航角速度；

o_exyz o_exyz表示地面坐标系；

o_bx_by_bz_b o_bx_by_bz_b表示飞艇体坐标系；

CV CV为飞艇的浮心；

CG CG为飞艇的重心；

r_G r_G＝[x_G,y_G,z_G]^T为浮心到重心的矢量；

e e＝[x_e,y_e,z_e,θ_e,ψ_e,φ_e]^T为航迹跟踪控制误差，x_e、y_e、z_e、θ_e、ψ_e和φ_e分别为 航迹跟踪控制的x坐标误差、y坐标误差、z坐标误差、俯仰角误差、偏航角误差和 滚转角误差；

ττ＝[τ_u,τ_v,τ_w,τ_p,τ_q,τ_r]^T为飞艇航迹跟踪控制量，τ_u为轴向控制力、τ_v为侧向 控制力、τ_w为垂直方向控制力、τ_p为滚转控制力矩、τ_q俯仰控制力矩、τ_r为偏航 控制力矩。

具体实施方案

下面结合附图，对本发明中的设计方法作进一步的说明：

参照图1，本发明,一种模型不确定飞艇航迹跟踪有限时间控制方法，其具体步骤如下：

步骤一：给定指令航迹

给定指令航迹为：

η_d＝[5sin(0.02t)m,5cos(0.01t)m,2+sin(0.01t)+cos(0.01t)m,0rad,0rad,0rad]^T， x_d、y_d、z_d、θ_d、ψ_d和φ_d分别为指令x坐标、指令y坐标、指令z坐标、指令俯 仰角、指令偏航角和指令滚转角；

步骤二：误差量计算

计算指令航迹与实际航迹之间的误差量：

e＝η-η_d＝[x-x_d,y-y_d,z-z_d,θ-θ_d,ψ-ψ_d,φ-φ_d]^T， (1)

其中，η＝[x,y,z,θ,ψ,φ]^T为实际航迹，x、y、z、θ、ψ、φ分别为实际航迹 的x坐标、y坐标、z坐标、俯仰角、偏航角和滚转角，为连续变化值。

初始航迹为：

η₀＝[-2m,-1m,1m,0.001rad,0.001rad,0.001rad]^T，

初始速度：

V₀＝[2m/s,0.5m/s,0.2m/s,0rad/s,0rad/s,0rad/s]^T。

步骤三：设计有限时间控制律

1)建立飞艇空间运动的数学模型

如图2所示，采用地面坐标系o_ex_ey_ez_e和载体坐标系o_bx_by_bz_b对飞艇的空间运动 进行描述，CV为浮心，CG为重心，浮心到重心的矢量为r_G＝[x_G,y_G,z_G]^T。

运动参数定义：位置P＝[x,y,z]^T，x、y、z分别为轴向、侧向和竖直方向的位移； 姿态角Ω＝[θ,ψ,φ]^T，θ、ψ、φ分别为俯仰角、偏航角和滚转角；速度v＝[u,v,w]^T， u、v、w分别为载体坐标系中轴向、侧向和垂直方向的速度；角速度ω＝[p,q,r]^T， p、q、r分别为滚转、俯仰和偏航角速度。记广义坐标η＝[x,y,z,θ,ψ,φ]^T，广义速度 为V＝[u,v,w,p,q,r]^T。

飞艇空间运动的数学模型可表示为：

式中

M_η＝R^TMR (6)

G_η＝-R^T(N+G) (8)

其中，

R＝J^-1(η) (9)

N＝[N_u,N_v,N_w,N_p,N_q,N_r]^T (12)

其中

式中，m为飞艇质量，m_u、m_v、m_w为附加质量,I_p、I_q、I_r为附加惯量；Λ 为飞艇体积；Q为动压，α为迎角，β为侧滑角，C_X、C_Y、C_Z、C_l、C_m、C_n为 气动系数；I_x、I_y、I_z分别为绕o_bx_b、o_by_b、o_bz_b的主惯量；I_xy、I_xz、I_yz分别为 关于平面o_bx_by_b、o_bx_bz_b、o_by_bz_b的惯量积。τ＝[τ_u,τ_v,τ_w,τ_p,τ_q,τ_r]^T为飞艇航迹跟踪 控制量，τ_u为轴向控制力、τ_v为侧向控制力、τ_w为垂直方向控制力、τ_p为滚转控 制力矩、τ_q俯仰控制力矩、τ_r为偏航控制力矩。

本实施例中的飞艇参数见表1。飞艇模型不确定项设计各参数存在20％的随机 误差。

表1飞艇参数

2)设计如下有限时间控制律

其中，p＝5,q＝3，λ＝diag(80,80,80,50,50,50)，k＝diag(150,150,150,300,500,300)， diag(·)表示对角矩阵。

在步骤四：设计航迹跟踪控制律，计算航迹跟踪控制量

1)构造模糊逻辑系统

构造如下模糊逻辑系统：

其中，

是f的在线逼近值，

是权重系数向量，

是基函数向量，

为隶属度函数，选取为下列高斯隶属度函数

2)设计航迹跟踪控制律

根据上述所设计的终端滑模函数和所设计的模糊逻辑系统，设计如下航迹跟踪控制律

其中，p＝5，q＝3，λ＝diag(80,80,80,50,50,50)，k＝diag(150,150,150,300,500,300)， γ＝diag(3,3,3,3,3,3)，diag(·)表示对角矩阵。

选取如下自适应律

其中，β_W＝2，γ_W＝diag(3,3,3,3,3,3)。

实施例中的飞艇三维航迹跟踪控制结果如图3-图5所示。图3给出了飞艇航迹 跟踪控制结果，由图3可得：飞艇能够准确地跟踪指令航迹，验证了本发明所提出 的航迹跟踪控制方法的有效性；图4给出了航迹跟踪控制误差，由图4可得：航迹 跟踪控制误差能够在有限时间内收敛至零，具有良好的控制精度。图5给出了航迹 跟踪控制量随时间的变化曲线，由图5可得，控制量能够满足航迹跟踪的需求。

以上包含了本发明优选实施例的说明，这是为了详细说明本发明的技术特征， 并不是想要将发明内容限制在实施例所描述的具体形式中，依据本发明内容主旨进 行的其他修改和变型也受本专利保护。本发明内容的主旨是由权利要求书所界定， 而非由实施例的具体描述所界定。

Claims (1)

1.一种模型不确定飞艇航迹跟踪有限时间控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一 给定指令航迹；

给定指令航迹为广义坐标η_d＝[x_d,y_d,z_d,θ_d,ψ_d,φ_d]^T，x_d、y_d、z_d、θ_d、ψ_d和φ_d分别为指令x坐标、指令y坐标、指令z坐标、指令俯仰角、指令偏航角和指令滚转角，上标T表示向量或矩阵的转置；

步骤二 计算指令航迹与实际航迹之间的误差量e；

e＝η_d-η＝[x_d-x，y_d-y，z_d-z，θ_d-θ，ψ_d-ψ，φ_d-φ]^T (1)

其中：η＝[x,y,z,θ,ψ,φ]^T为实际航迹，x、y、z、θ、ψ、φ分别为实际航迹的x坐标、y坐标、z坐标、俯仰角、偏航角和滚转角；

步骤三 有限时间控制律设计：构造终端滑模函数，设计有限时间控制律，计算有限时间控制量τ；

1)建立飞艇空间运动的数学模型

飞艇空间运动的坐标系及运动参数定义如下：

采用地面坐标系o_ex_ey_ez_e和载体坐标系o_bx_by_bz_b对飞艇的空间运动进行描述，CV为浮心，CG为重心，浮心到重心的矢量为r_G＝[x_G,y_G,z_G]^T；

运动参数定义：位置P＝[x,y,z]^T，x、y、z分别为轴向、侧向和竖直方向的位移；姿态角Ω＝[θ,ψ,φ]^T，θ、ψ、φ分别为俯仰角、偏航角和滚转角；速度v＝[u,v,w]^T，u、v、w分别为载体坐标系中轴向、侧向和垂直方向的速度；角速度ω＝[p,q,r]^T，p、q、r分别为滚转、俯仰和偏航角速度；记广义坐标η＝[x,y,z,θ,ψ,φ]^T，广义速度为V=[u,v,w,p,q,r]^T；

飞艇的动力学模型描述如下：

式中

M_η＝R^TMR (6)

G_η＝-R^T(N+G) (8)

其中，

R＝J^-1(η) (9)

N＝[N_u,N_v,N_w,N_p,N_q,N_r]^T (12)

其中

式中，m为飞艇质量，m_u、m_v、m_w为附加质量,I_p、I_q、I_r为附加惯量；Λ为飞艇体积；Q为动压，α为迎角，β为侧滑角，C_X、C_Y、C_Z、C_l、C_m、C_n为气动系数；I_x、I_y、I_z分别为绕o_bx_b、o_by_b、o_bz_b的主惯量；I_xy、I_xz、I_yz分别为关于平面o_bx_by_b、o_bx_bz_b、o_by_bz_b的惯量积；τ＝[τ_u,τ_v,τ_w,τ_p,τ_q,τ_r]^T为飞艇航迹跟踪控制量，τ_u为轴向控制力、τ_v为侧向控制力、τ_w为垂直方向控制力、τ_p为滚转控制力矩、τ_q俯仰控制力矩、τ_r为偏航控制力矩；

以式(3)所描述的数学模型为被控对象，设计有限时间控制律；

2)有限时间控制律设计

根据指令航迹与实际航迹之间的误差量e，设计如下终端滑模函数：

其中，1＜p/q＜2，

e₁，e₂，e₃，e₄，e₅，e₆分别表示的航迹x坐标误差、航迹y坐标误差、航迹z坐标误差、俯仰角误差、偏航角误差和滚转角误差，

表示的航迹x坐标误差一阶导数的p/q次幂、航迹y坐标误差一阶导数的p/q次幂、航迹z坐标误差一阶导数的p/q次幂、俯仰角误差一阶导数的p/q次幂、偏航角误差一阶导数的p/q次幂和滚转角误差一阶导数的p/q次幂，λ＝diag(λ₁,λ₂,λ₃,λ₄,λ₅,λ₆)，λ₁,λ₂,λ₃,λ₄,λ₅,λ₆分别表示航迹x坐标误差一阶导数的p/q次幂的增益、航迹y坐标误差一阶导数的p/q次幂的增益、航迹z坐标误差一阶导数的p/q次幂的增益、俯仰角误差一阶导数的p/q次幂的增益、偏航角误差一阶导数的p/q次幂的增益和滚转角误差一阶导数的p/q次幂的增益，λ₁,λ₂,λ₃,λ₄,λ₅,λ₆均为正实数，s＝[s₁,s₂,s₃,s₄,s₅,s₆]^T，s₁,s₂,s₃,s₄,s₅,s₆分别为对应于航迹x坐标误差、航迹y坐标误差、航迹z坐标误差、俯仰角误差、偏航角误差和滚转角误差的终端滑模函数；

式(19)定义的终端滑模函数对时间的一阶导数为：

式(1)定义的指令航迹与实际航迹之间的误差量对时间微分并将式(3)代入，可得：

其中，I_6×6为单位矩阵；

式(21)可写为：

其中，

设计如下有限时间控制律，计算有限时间控制量：

其中，sign(s)表示s的符号函数，k＝diag(k₁,k₂,k₃,k₄,k₅,k₆)，k₁,k₂,k₃,k₄,k₅,k₆分别表示对应于航迹x坐标误差的终端滑模函数的符号函数的增益、航迹y坐标误差的终端滑模函数的符号函数的增益、航迹z坐标误差的终端滑模函数的符号函数的增益、俯仰角误差的终端滑模函数的符号函数的增益、偏航角误差的终端滑模函数的符号函数的增益和滚转角误差的终端滑模函数的符号函数的增益，k₁,k₂,k₃,k₄,k₅,k₆均为正实数；

步骤四 航迹跟踪控制律设计：构造模糊逻辑系统在线逼近飞艇模型的不确定项，设计航迹跟踪控制律，计算航迹跟踪控制量

1)构造模糊逻辑系统

构造如下模糊逻辑系统：

其中，

是f的在线逼近值，

e^T表示指令航迹与实际航迹之间的误差量的转置，

表示指令航迹与实际航迹之间的误差量一阶导数的转置，η^T表示实际航迹的转置，

表示实际航迹一阶导数的转置，

表示实际航迹二阶导数的转置，

是权重系数向量，

分别表示对应于非线性函数f₁,f₂,f₃,f₄,f₅,f₆的权重系数，

是基函数向量，

分别表示对应于非线性函数f₁,f₂,f₃,f₄,f₅,f₆的基函数，

为隶属度函数，取为高斯函数；x_j∈x，c表示l的取值，取c＝5；n表示向量x的元素个数；

最优权重系数向量定义如下：

其中，

是f的在线逼近值；f(x)＝f；

对于最优权重系数向量，存在以下式子：

f＝Θ^*Tζ_f(x)+ε (27)

其中，ε为逼近误差，ε为一个正实数；

2)设计航迹跟踪控制律

根据上述式(19)中所设计的终端滑模函数和式(25)所设计的模糊逻辑系统，设计如下航迹跟踪控制律，计算航迹跟踪控制量：

选取如下自适应律：

其中，设计参数β_W＞0，γ_W为对角矩阵且矩阵元素大于零。

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