CN104360686B - 一种飞艇非奇异终端滑模航迹控制方法 - Google Patents

Abstract

一种飞艇非奇异终端滑模航迹控制方法，首先由给定的指令航迹和实际航迹计算误差量，然后通过选取终端滑模函数，采用非奇异终端滑模控制方法设计航迹控制律，并应用Lyapunov稳定性理论证明控制系统的稳定性。实际应用中，飞艇航迹由组合导航系统测量得到，将由该方法计算得到的控制量传输至执行机构即可实现航迹控制功能。本发明针对无人飞艇的航迹跟踪问题，建立了其空间运动的数学模型；以此模型为受控对象，采用非奇异终端滑模控制方法设计航迹控制律，通过选取终端滑模函数使得姿态控制误差在有限时间内收敛至零，提高了系统的响应速度和控制精度。

Description

一种飞艇非奇异终端滑模航迹控制方法

技术领域

本发明涉及一种航天航空领域的飞行控制方法，它为飞艇空间运动提供一种非奇异终端滑模控制方法，属于自动控制技术领域。

背景技术

飞艇是一种依靠轻于空气的气体(如氦气、氢气等)产生静浮力升空，依靠自动飞行控制系统实现定点驻留和低速机动的飞行器，具有留空时间长、载荷量大、能耗低、效费比高等优点，广泛应用于环境监测、国土测绘、灾情感知、侦察监视、等领域，具有重要应用价值和广阔的应用前景，当前已成为航空领域的研究热点。航迹控制是指操控飞艇按照指令航迹飞行，以完成预定的飞行任务。飞艇的空间运动具有非线性、通道耦合、不确定、易受外界扰动等特点，因此，航迹控制成为飞艇飞行控制的关键技术之一。已有文献对飞艇航迹控制方法的研究大都基于线性化动力学模型，未考虑非线性因素以及纵向和横侧向运动之间的耦合作用，仅在平衡态附近有效。滑模控制方法对模型不确定项和外界干扰具有强鲁棒性，为飞艇航迹控制提供了一种有效手段。但是，滑模控制通常采用线性滑模，系统到达滑模面后，状态跟踪误差渐近收敛至零，无法在有限时间内收敛。

发明内容

为解决上述问题，本发明提出一种飞艇非奇异终端滑模航迹控制方法，本发明针对无人飞艇的航迹跟踪问题，建立了其空间运动的数学模型；以此模型为受控对象，采用非奇异终端滑模控制方法设计航迹控制律，通过选取终端滑模函数使得姿态控制误差在有限时间内收敛至零，提高了系统的响应速度和控制精度。由该方法控制的闭环系统能够稳定跟踪指令航迹，且具有强鲁棒性和高控制精度，为飞艇航迹控制的工程实现提供了有效方案。

本发明一种飞艇非奇异终端滑模航迹控制方法，首先由给定的指令航迹和实际航迹计算误差量，然后通过选取终端滑模函数，采用非奇异终端滑模控制方法设计航迹控制律，并应用Lyapunov稳定性理论证明控制系统的稳定性。实际应用中，飞艇航迹由组合导航系统测量得到，将由该方法计算得到的控制量传输至执行机构即可实现航迹控制功能。

一种飞艇非奇异终端滑模航迹控制方法，其具体步骤如下：

步骤一：给定指令航迹：η_d＝[x_d,y_d,z_d,θ_d,ψ_d,φ_d]^T；其中：x_d、y_d、z_d、θ_d、ψ_d和φ_d分别为指令x坐标、指令y坐标、指令z坐标、指令俯仰角、指令偏航角和指令滚转角，上标T表示向量或矩阵的转置；

步骤二：误差量计算：计算指令航迹与实际航迹之间的误差量e，其计算方法如下：

e＝η-η_d＝[x-x_d,y-y_d,z-z_d,θ-θ_d,ψ-ψ_d,φ-φ_d]^T   (1)

η＝[x,y,z,θ,ψ,φ]^T为实际航迹，x、y、z、θ、ψ、φ分别为实际航迹的x坐标、y坐标、z坐标、俯仰角、偏航角和滚转角；

步骤三：滑模控制律设计：选取终端滑模函数，采用非奇异终端滑模控制方法设计航迹控制律，计算航迹控制量u，并应用Lyapunov稳定性理论证明控制系统的稳定性；其方法为：

1)建立飞艇空间运动的数学模型

飞艇空间运动的坐标系及运动参数定义如下：采用地面坐标系O_eX_eY_eZ_e和体坐标系o_bx_by_bz_b对飞艇的空间运动进行描述，CV为浮心，CG为重心，浮心到重心的矢量为r_G＝[x_G,y_G,z_G]^T；运动参数定义：位置P＝[x,y,z]^T，x、y、z分别为轴向、侧向和竖直方向的位移；姿态角Ω＝[θ,ψ,φ]^T，θ、ψ、φ分别为俯仰角、偏航角和滚转角；速度v＝[u,v,w]^T，u、v、w分别为体坐标系中轴向、侧向和垂直方向的速度；角速度ω＝[p,q,r]^T，p、q、r分别为滚转、俯仰和偏航角速度；记广义坐标η＝[x,y,z,θ,ψ,φ]^T，广义速度为V＝[u,v,w,p,q,r]^T；

飞艇空间运动的数学模型描述如下：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}=J\left(\mathrm{\η}\right)=\left[\begin{array}{cc}{J}_1& 0_{3\×3}\\ 0_{3\×3}& J_2\end{array}\right]V---\left(2\right)$

$M\stackrel{\·}{V}=\stackrel{\‾}{N}+\stackrel{\‾}{G}+\mathrm{\τ}---\left(3\right)$

式中

$J_1=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}-\sin \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\φ}& \cos \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}+\sin \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\φ}\\ \sin \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}+\cos \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\φ}& \sin \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}-\cos \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\φ}\\ -\sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}& \cos \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}\end{array}\right]---\left(4\right)$

$J_2=\left[\begin{array}{ccc}0& \cos \mathrm{\φ}& -\sin \mathrm{\φ}\\ 0& \sec \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}& \sec \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}\\ 1& \tan \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}& \tan \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}\end{array}\right]---\left(5\right)$

$M=\left[\begin{array}{cccccc}m+m_{11}& 0& 0& 0& {\mathrm{mz}}_G& -{\mathrm{my}}_G\\ 0& m+m_{22}& 0& -{\mathrm{mz}}_G& 0& {\mathrm{mx}}_G\\ 0& 0& m+m_{33}& {\mathrm{my}}_G& -{\mathrm{mx}}_G& 0\\ 0& -{\mathrm{mz}}_G& {\mathrm{my}}_G& I_x+I_{11}& 0& 0\\ {\mathrm{mz}}_G& 0& -{\mathrm{mx}}_G& 0& I_x+I_{22}& 0\\ 0& {\mathrm{mx}}_G& 0& -I_{\mathrm{xz}}& 0& I_x+I_{33}\end{array}\right]---\left(6\right)$

$\stackrel{\‾}{G}=\left[\begin{array}{c}(B-G)\sin \mathrm{\θ}\\ (G-B)\cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}\\ (G-B)\cos \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}\\ y_{G}G\cos \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}-z_{G}G\cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}\\ -x_{G}G\cos \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}-z_{G}G\sin \mathrm{\θ}\\ x_{G}G\cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}+y_{G}G\sin \mathrm{\θ}\end{array}\right]---\left(7\right)$

$\mathrm{\τ}=\left[\begin{array}{c}T\cos \mathrm{\μ}\cos \mathrm{\υ}\\ T\sin \mathrm{\μ}\\ T\cos \mathrm{\μ}\sin \mathrm{\υ}\\ T\sin \mathrm{\υ}{l}_y\\ T\cos \mathrm{\υ}{l}_z-T\sin \mathrm{\υ}{l}_x\\ T\cos \mathrm{\υ}{l}_z-T\sin \mathrm{\υ}{l}_x\end{array}\right]---\left(8\right)$

$\stackrel{\‾}{N}={[N_u,N_v,N_w,N_p,N_q,N_r]}^T---\left(9\right)$

其中

N_u＝(m+m₂₂)vr-(m+m₃₃)wq+m[x_G(p²+r²)-y_Gpq-z_Gpr]   (10)

+QV^2/3(-C_Xcosαcosβ+C_Ycosαsinβ+C_Zsinα)

N_v＝(m+m₃₃)wp-(m+m₁₁)ur-m[x_Gpq-y_G(p²+r²)+z_Gqr]   (11)

+QV^2/3(C_Xsinβ+C_Ycosβ)

N_w＝(m+m₂₂)vp-(m+m₁₁)uq-m[x_Gpr+y_Gqr-z_G(p²+q²)]   (12)

+QV^2/3(-C_Xsinαsinβ+C_Ysinαcosβ-C_Zcosα)

N_p＝[(I_y+m₅₅)-(I_z+I₆₆)]qr+I_xzpq-I_xypr-I_yz(r²-q²)+   (13)

[mz_G(ur-wp)+y_G(uq-vp)]+QVC_l

N_q＝[(I_z+m₆₆)-(I_x+I₄₄)]pr+I_xyqr-I_yzpq-I_xz(p²-r²)   (14)

+m[x_G(vp-uq)-z_G(wp-vr)]+QVC_m

N_r＝[(I_y+m₅₅)-(I_x+I₄₄)]pq-I_xzqr-I_xy(q²-p²)+I_yzpr   (15)

+m[y_G(wq-vr)-x_G(ur-wp)]+QVC_n

式中，m为飞艇质量，m₁₁、m₂₂、m₃₃为附加质量,I₁₁、I₂₂、I₃₃为附加惯量；Q为动压，α为迎角,β为侧滑角，C_X、C_Y、C_Z、C_l、C_m、C_n为气动系数；I_x、I_y、I_z分别为绕o_bx_b、o_by_b、o_bz_b的主惯量；I_xy、I_xz、I_yz分别为关于平面o_bx_by_b、o_bx_bz_b、o_by_bz_b的惯量积；T为推力大小，μ为推力矢量与o_bx_bz_b面之间的夹角，规定其在o_bx_bz_b面之左为正，υ为推力矢量在o_bx_bz_b面的投影与o_bx_b轴之间的夹角，规定其投影在o_bx_b轴之下为正；l_x、l_y、l_z表示推力作用点距原点o_b的距离；

式(3)为关于广义速度V的表达式，需要将其变换为关于广义坐标η的表达式；

由式(1)可得：

$V=J^{-1}\left(\mathrm{\η}\right)\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}=R\left(\mathrm{\η}\right)\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}=\left[\begin{array}{cc}A& 0_{3\×3}\\ 0_{3\×3}& B\end{array}\right]\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}---\left(16\right)$

式中J^-1(η)为J(η)的逆矩阵；

$A=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\\ \cos \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}-\sin \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\φ}& \sin \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}+\cos \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\φ}& \cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}\\ \cos \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}+\sin \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\φ}& \sin \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}-\cos \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\φ}& \cos \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}\end{array}\right]---\left(17\right)$

$B=\left[\begin{array}{ccc}0& -\sin \mathrm{\θ}& 1\\ \cos \mathrm{\φ}& \cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}& 0\\ -\sin \mathrm{\φ}& \cos \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}& 0\end{array}\right]---\left(18\right)$

对式(16)微分，可得

$\stackrel{\·}{V}=\stackrel{\·}{R}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+R\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}---\left(19\right)$

式中

$\stackrel{\·}{R}=\left[\begin{array}{cc}\stackrel{\·}{A}& 0_{3\×3}\\ 0_{3\×3}& \stackrel{\·}{B}\end{array}\right]---\left(20\right)$

式(19)左乘可得

$R^{T}M\stackrel{\·}{V}=R^{T}M\stackrel{\·}{R}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+R^T\mathrm{MR}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}---\left(21\right)$

综合式(3)、式(19)以及式(21)可得:

$M_{\mathrm{\η}}\left(\mathrm{\η}\right)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+N_{\mathrm{\η}}(\mathrm{\η},\stackrel{\·}{\mathrm{\η}})\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+G_{\mathrm{\η}}=\stackrel{\‾}{\mathrm{\τ}}---\left(22\right)$

式中

M_η(η)＝R^TMR   (23)

$N_{\mathrm{\η}}(\mathrm{\η},\stackrel{\·}{\mathrm{\η}})=R^{T}M\stackrel{\·}{R}---\left(24\right)$

$G_{\mathrm{\η}}\left(\mathrm{\η}\right)=-R^T(\stackrel{\‾}{N}+\stackrel{\‾}{G})---\left(25\right)$

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\τ}}=R^T\mathrm{\τ}---\left(26\right)$

以式(22)所描述的数学模型为被控对象，采用非奇异终端滑模控制方法设计航迹控制律；

2)滑模面设计

设计非奇异终端滑模面为：

$s=e+\mathrm{\λ}{\stackrel{\·}{e}}^{p/q}---\left(27\right)$

其中，e＝[e₁,e₂,e₃,e₄,e₅,e₆]^T，s＝[s₁,s₂,s₃,s₄,s₅,s₆]^T，λ＝diag(λ₁,λ₂,λ₃,λ₄,λ₅,λ₆),diag(·)表示对角矩阵，λ为正定矩阵，p、q为正实数且满足1＜p/q＜2；

3)设计非奇异终端滑模控制律，航迹控制量为：

$\begin{array}{c}u=M_{\mathrm{\η}}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}}_d+N_{\mathrm{\η}}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+G_{\mathrm{\η}}-\frac{q}{p}{M}_{\mathrm{\η}}{\mathrm{\λ}}^{-1}\mathrm{diag}\left({\stackrel{\·}{e}}^{2-p/q}\right)-\\ \frac{{\left[s^T\mathrm{\λdiag}\left({\stackrel{\·}{e}}^{p/q-1}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}\right]}^T}{{\left|\right|s^T\mathrm{\λdiag}\left({\stackrel{\·}{e}}^{p/q-1}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}\left|\right|}^2}\·\mathrm{\γ}\left|\right|s\left|\right|\left|\right|\mathrm{\λdiag}\left({\stackrel{\·}{e}}^{p/q-1}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}\left|\right|\end{array}---\left(28\right)$

式中，λ^-1表示λ的逆矩阵，表示M_η的逆矩阵，||·||表示欧几里德范数，γ为正实数；

4)稳定性证明

定义如下Lyapunov函数

$V=\frac{1}{2}{s}^{T}s---\left(29\right)$

对式(29)微分并利用式(27)，可得：

$\stackrel{\·}{V}=s^T\stackrel{\·}{s}=s^T[\stackrel{\·}{e}+\frac{p}{q}\mathrm{\λdiag}\left({\stackrel{\·}{e}}^{p/q-1}\right)\stackrel{\·\·}{e}]---\left(30\right)$

对式(1)求二阶导数并利用式(22)和式(28)，可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{e}=\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}}_c=M_{\mathrm{\η}}^{-1}(\stackrel{\‾}{\mathrm{\τ}}-N_{\mathrm{\η}}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}{-G}_{\mathrm{\η}})=M_{\mathrm{\η}}^{-1}[-\frac{q}{p}{M}_{\mathrm{\η}}{\mathrm{\λ}}^{-1}\mathrm{diag}\left({\stackrel{\·}{e}}^{2-p/q}\right)]+\\ M_{\mathrm{\η}}^{-1}[-\frac{{\left[s^T\mathrm{\λdiag}\left({\stackrel{\·}{e}}^{p/q-1}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}\right]}^T}{{\left|\right|s^T\mathrm{\λdiag}\left({\stackrel{\·}{e}}^{p/q-1}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}\left|\right|}^2}\·\mathrm{\γ}|\left|s\right|\left|\right|\left|\mathrm{\λdiag}\left({\stackrel{\·}{e}}^{p/q-1}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}\right|\left|\right]\end{array}---\left(31\right)$

将式(31)代入式(30)，可得：

$\stackrel{\·}{V}=-\frac{p}{q}\mathrm{\γ}\left|\right|s\left|\right|\left|\right|\mathrm{\λdiag}\left({\stackrel{\·}{e}}^{p/q-1}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}\left|\right|---\left(32\right)$

因为γ为正实数，所以有下式成立：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=-\frac{p}{q}\mathrm{\&gamma;}\left|\right|s\left|\right|\left|\right|\mathrm{\&lambda;diag}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^{p/q-1}\right)M_{\mathrm{\&eta;}}^{-1}\left|\right|<0---\left(33\right)$

式(33)即证非奇异终端滑模控制系统的稳定性。

与现有技术相比，本发明的优点在于：

1)该方法直接基于飞艇空间运动的非线性动力学模型设计，考虑了各项非线性因素以及纵向和横侧向运动之间的耦合作用，克服了线性化模型仅适于平衡态的局限性，拓宽了系统的工作点变化范围。

2)对参数摄动和外界扰动具有强鲁棒性。

3)终端滑模控制通过选取终端滑模函数使得姿态控制误差在有限时间内收敛至零，具有动态响应速度快、有限时间收敛、稳态跟踪精度高等优点。

控制工程师在应用过程中可以根据实际飞艇给定任意指令航迹，并将由该方法得到的控制量传输至执行机构实现航迹控制功能。

附图说明

图1为本发明所述飞艇航迹控制系统结构图

图2为本发明所述飞艇航迹控制方法步骤流程图

图3为本发明所述飞艇坐标系及运动参数定义

图4为本发明所述飞艇航迹控制结果

图5为本发明所述飞艇航迹控制误差

图6为本发明所述飞艇航迹控制量

图中符号说明如下：

η η＝[x,y,z,θ,ψ,φ]^T为飞艇航迹，其中x、y、z、θ、ψ、φ分别为实际航迹的x坐标、y坐标、z坐标、俯仰角、偏航角和滚转角；

η_d η_d＝[x_d,y_d,z_d,θ_d,ψ_d,φ_d]^T为指令航迹，其中x_d、y_d、z_d、θ_d、ψ_d和φ_d分别为指令x坐标、指令y坐标、指令z坐标、指令俯仰角、指令偏航角和指令滚转角；

o_ex_ey_ez_e o_ex_ey_ez_e表示地面坐标系；

o_bx_by_bz_b o_bx_by_bz_b表示飞艇体坐标系；

e e＝[x_e,y_e,z_e,θ_e,ψ_e,φ_e]^T为航迹控制误差，x_e、y_e、z_e、θ_e、ψ_e和φ_e分别为航迹控制的x坐标误差、y坐标误差、z坐标误差、俯仰角误差、偏航角误差和滚转角误差；

uu＝[τ_u,τ_v,τ_w,τ_l,τ_m,τ_n]^T为系统控制量，τ_u为轴向控制力、τ_v为侧向控制力、τ_w为垂直方向控制力、τ_l为滚转控制力矩、τ_m俯仰控制力矩、τ_n为偏航控制力矩。

以下将结合附图和具体实施例对本发明作进一步详细说明。

具体实施方式

参照附图，详细介绍本发明一种飞艇非奇异终端滑模航迹控制方法，其具体步骤如下：

步骤一：给定指令航迹

给定指令航迹为：

η_d＝[x_d,y_d,z_d,θ_d,ψ_d,φ_d]^T＝[(1.5t)m,200sin(0.005t)m,10m,0rad,0.02rad,0rad]^T，x_d、y_d、z_d、θ_d、ψ_d和φ_d分别为指令x坐标、指令y坐标、指令z坐标、指令俯仰角、指令偏航角和指令滚转角；

步骤二：误差量计算

计算指令航迹与实际航迹之间的误差量：

e＝η-η_d＝[x-x_d,y-y_d,z-z_d,θ-θ_d,ψ-ψ_d,φ-φ_d]^T，

其中，η＝[x,y,z,θ,ψ,φ]^T为实际航迹，x、y、z、θ、ψ、φ分别为实际航迹的x坐标、y坐标、z坐标、俯仰角、偏航角和滚转角，为连续变化值。

初始航迹为：

η₀＝[x₀,y₀,z₀,θ₀,ψ₀,φ₀]^T＝[50m,-100m,8m,0.01rad,0.01rad,0.01rad]^T。

初始速度：

V₀＝[u₀,v₀,w₀,p₀,q₀,r₀]^T＝[5m/s,2.5m/s,0m/s,0rad/s,0rad/s,0rad/s]^T

步骤三：设计航迹控制律：

1)建立飞艇空间运动的数学模型

飞艇空间运动的数学模型可表示为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}=J\left(\mathrm{\&eta;}\right)=\left[\begin{array}{cc}{J}_1& 0_{3\&times;3}\\ 0_{3\&times;3}& J_2\end{array}\right]V---\left(40\right)$

$M\stackrel{\&CenterDot;}{V}=\stackrel{\&OverBar;}{N}+\stackrel{\&OverBar;}{G}+\mathrm{\&tau;}---\left(41\right)$

式中

$J_1=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\&psi;}\cos \mathrm{\&theta;}& \cos \mathrm{\&psi;}\sin \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}-\sin \mathrm{\&psi;}\cos \mathrm{\&phi;}& \cos \mathrm{\&psi;}\sin \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}+\sin \mathrm{\&psi;}\sin \mathrm{\&phi;}\\ \sin \mathrm{\&psi;}\cos \mathrm{\&theta;}& \sin \mathrm{\&psi;}\sin \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}+\cos \mathrm{\&psi;}\cos \mathrm{\&phi;}& \sin \mathrm{\&psi;}\sin \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}-\cos \mathrm{\&psi;}\sin \mathrm{\&phi;}\\ -\sin \mathrm{\&theta;}& \cos \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}& \cos \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}\end{array}\right]---\left(42\right)$

$J_2=\left[\begin{array}{ccc}0& \cos \mathrm{\&phi;}& -\sin \mathrm{\&phi;}\\ 0& \sec \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}& \sec \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}\\ 1& \tan \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}& \tan \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}\end{array}\right]---\left(43\right)$

$M=\left[\begin{array}{cccccc}m+m_{11}& 0& 0& 0& {\mathrm{mz}}_G& -{\mathrm{my}}_G\\ 0& m+m_{22}& 0& -{\mathrm{mz}}_G& 0& {\mathrm{mx}}_G\\ 0& 0& m+m_{33}& {\mathrm{my}}_G& -{\mathrm{mx}}_G& 0\\ 0& -{\mathrm{mz}}_G& {\mathrm{my}}_G& I_x+I_{11}& 0& 0\\ {\mathrm{mz}}_G& 0& -{\mathrm{mx}}_G& 0& I_x+I_{22}& 0\\ 0& {\mathrm{mx}}_G& 0& -I_{\mathrm{xz}}& 0& I_x+I_{33}\end{array}\right]---\left(44\right)$

$\stackrel{\&OverBar;}{G}=\left[\begin{array}{c}(B-G)\sin \mathrm{\&theta;}\\ (G-B)\cos \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}\\ (G-B)\cos \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}\\ y_{G}G\cos \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}-z_{G}G\cos \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}\\ -x_{G}G\cos \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}-z_{G}G\sin \mathrm{\&theta;}\\ x_{G}G\cos \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}+y_{G}G\sin \mathrm{\&theta;}\end{array}\right]---\left(45\right)$

$\mathrm{\&tau;}=\left[\begin{array}{c}T\cos \mathrm{\&mu;}\cos \mathrm{\&upsi;}\\ T\sin \mathrm{\&mu;}\\ T\cos \mathrm{\&mu;}\sin \mathrm{\&upsi;}\\ T\sin \mathrm{\&upsi;}{l}_y\\ T\cos \mathrm{\&upsi;}{l}_z-T\sin \mathrm{\&upsi;}{l}_x\\ T\cos \mathrm{\&upsi;}{l}_z-T\sin \mathrm{\&upsi;}{l}_x\end{array}\right]---\left(46\right)$

$\stackrel{\&OverBar;}{N}={[N_u,N_v,N_w,N_p,N_q,N_r]}^T---\left(47\right)$

其中

N_u＝(m+m₂₂)vr-(m+m₃₃)wq+m[x_G(p²+r²)-y_Gpq-z_Gpr]   (48)

+QV^2/3(-C_Xcosαcosβ+C_Ycosαsinβ+C_Zsinα)

N_v＝(m+m₃₃)wp-(m+m₁₁)ur-m[x_Gpq-y_G(p²+r²)+z_Gqr]   (49)

+QV^2/3(C_Xsinβ+C_Ycosβ)

N_w＝(m+m₂₂)vp-(m+m₁₁)uq-m[x_Gpr+y_Gqr-z_G(p²+q²)]   (50)

+QV^2/3(-C_Xsinαsinβ+C_Ysinαcosβ-C_Zcosα)

N_p＝[(I_y+m₅₅)-(I_z+I₆₆)]qr+I_xzpq-I_xypr-I_yz(r²-q²)+   (51)

[mz_G(ur-wp)+y_G(uq-vp)]+QVC_l

N_q＝[(I_z+m₆₆)-(I_x+I₄₄)]pr+I_xyqr-I_yzpq-I_xz(p²-r²)   (52)

+m[x_G(vp-uq)-z_G(wp-vr)]+QVC_m

N_r＝[(I_y+m₅₅)-(I_x+I₄₄)]pq-I_xzqr-I_xy(q²-p²)+I_yzpr   (53)

+m[y_G(wq-vr)-x_G(ur-wp)]+QVC_n

式中，m为飞艇质量，m₁₁、m₂₂、m₃₃为附加质量,I₁₁、I₂₂、I₃₃为附加惯量；Q为动压，α为迎角,β为侧滑角，C_X、C_Y、C_Z、C_l、C_m、C_n为气动系数；I_x、I_y、I_z分别为绕o_bx_b、o_by_b、o_bz_b的主惯量；I_xy、I_xz、I_yz分别为关于平面o_bx_by_b、o_bx_bz_b、o_by_bz_b的惯量积；T为推力大小，μ为推力矢量与o_bx_bz_b面之间的夹角，规定其在o_bx_bz_b面之左为正，υ为推力矢量在o_bx_bz_b面的投影与o_bx_b轴之间的夹角，规定其投影在o_bx_b轴之下为正；l_x、l_y、l_z表示推力作用点距原点o_b的距离。

式(41)为关于广义速度V的表达式，需要将其变换为关于广义坐标η的表达式。

由式(40)可得：

$V=J^{-1}\left(\mathrm{\&eta;}\right)\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}=R\left(\mathrm{\&eta;}\right)\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}=\left[\begin{array}{cc}A& 0_{3\&times;3}\\ 0_{3\&times;3}& B\end{array}\right]\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}---\left(54\right)$

式中，J^-1(η)为J(η)的逆矩阵，

$A=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\&psi;}\cos \mathrm{\&theta;}& \sin \mathrm{\&psi;}\cos \mathrm{\&theta;}& -\sin \mathrm{\&theta;}\\ \cos \mathrm{\&psi;}\sin \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}-\sin \mathrm{\&psi;}\cos \mathrm{\&phi;}& \sin \mathrm{\&psi;}\sin \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}+\cos \mathrm{\&psi;}\cos \mathrm{\&phi;}& \cos \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}\\ \cos \mathrm{\&psi;}\sin \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}+\sin \mathrm{\&psi;}\sin \mathrm{\&phi;}& \sin \mathrm{\&psi;}\sin \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}-\cos \mathrm{\&psi;}\sin \mathrm{\&phi;}& \cos \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}\end{array}\right]---\left(55\right)$

$B=\left[\begin{array}{ccc}0& -\sin \mathrm{\&theta;}& 1\\ \cos \mathrm{\&phi;}& \cos \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}& 0\\ -\sin \mathrm{\&phi;}& \cos \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}& 0\end{array}\right]---\left(56\right)$

对式(54)微分，可得

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=\stackrel{\&CenterDot;}{R}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}+R\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}---\left(57\right)$

式中

$\stackrel{\&CenterDot;}{R}=\left[\begin{array}{cc}\stackrel{\&CenterDot;}{A}& 0_{3\&times;3}\\ 0_{3\&times;3}& \stackrel{\&CenterDot;}{B}\end{array}\right]---\left(58\right)$

式(57)左乘可得

$R^{T}M\stackrel{\&CenterDot;}{V}=R^{T}M\stackrel{\&CenterDot;}{R}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}+R^T\mathrm{MR}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}---\left(59\right)$

综合式(41)、式(57)以及式(59)可得:

$M_{\mathrm{\&eta;}}\left(\mathrm{\&eta;}\right)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}+N_{\mathrm{\&eta;}}(\mathrm{\&eta;},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}})\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}+G_{\mathrm{\&eta;}}=\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}---\left(60\right)$

式中

M_η(η)＝R^TMR   (61)

$N_{\mathrm{\&eta;}}(\mathrm{\&eta;},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}})=R^{T}M\stackrel{\&CenterDot;}{R}---\left(62\right)$

$G_{\mathrm{\&eta;}}\left(\mathrm{\&eta;}\right)=-R^T(\stackrel{\&OverBar;}{N}+\stackrel{\&OverBar;}{G})---\left(63\right)$

$\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}=R^T\mathrm{\&tau;}---\left(64\right)$

本实施例中的飞艇参数见下表。

飞艇参数

2)滑模面设计

设计非奇异终端滑模面为：

$s=e+\mathrm{\&lambda;}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^{p/q}---\left(65\right)$

其中，diag(2,2,2,2,2,2),diag(·)表示对角矩阵，p＝5、q＝3。

3)设计非奇异终端滑模控制律，航迹控制量为：

$\begin{array}{c}u=M_{\mathrm{\&eta;}}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_d+N_{\mathrm{\&eta;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}+G_{\mathrm{\&eta;}}-\frac{q}{p}{M}_{\mathrm{\&eta;}}{\mathrm{\&lambda;}}^{-1}\mathrm{diag}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^{2-p/q}\right)-\\ \frac{{\left[s^T\mathrm{\&lambda;diag}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^{p/q-1}\right)M_{\mathrm{\&eta;}}^{-1}\right]}^T}{{\left|\right|s^T\mathrm{\&lambda;diag}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^{p/q-1}\right)M_{\mathrm{\&eta;}}^{-1}\left|\right|}^2}\&CenterDot;\mathrm{\&gamma;}\left|\right|s\left|\right|\left|\right|\mathrm{\&lambda;diag}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^{p/q-1}\right)M_{\mathrm{\&eta;}}^{-1}\left|\right|\end{array}---\left(66\right)$

其中，γ＝120。

实施例中的飞艇三维航迹跟踪结果如图4-图6所示。图4给出了飞艇航迹控制结果，由图4可得：飞艇能够准确地跟踪指令航迹，验证了本发明所提出的航迹控制方法的有效性；图5给出了航迹控制误差，由图5可得：飞艇能够以零稳态误差跟踪指令航迹，具有较高的控制精度。图6给出了航迹控制量随时间的变化曲线，由图6可得，控制量能够满足航迹跟踪的需求，且无大幅度抖振情况，具有良好的动态性能。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，本发明的保护范围并不仅局限于上述实施例，凡属于本发明思路下的技术方案均属于本发明的保护范围。应该提出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理前提下的改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种飞艇非奇异终端滑模航迹控制方法，首先由给定的指令航迹和实际航迹计算误差量，然后通过选取终端滑模函数，采用非奇异终端滑模控制方法设计航迹控制律，并应用Lyapunov稳定性理论证明控制系统的稳定性，其特征在于其具体步骤如下，

步骤一：给定指令航迹：η_d＝[x_d,y_d,z_d,θ_d,ψ_d,φ_d]^T；其中：x_d、y_d、z_d、θ_d、ψ_d和φ_d分别为指令x坐标、指令y坐标、指令z坐标、指令俯仰角、指令偏航角和指令滚转角，上标T表示向量或矩阵的转置；

步骤二：误差量计算：计算指令航迹与实际航迹之间的误差量e，其计算方法如下：

e＝η-η_d＝[x-x_d,y-y_d,z-z_d,θ-θ_d,ψ-ψ_d,φ-φ_d]^T      (1)

η＝[x,y,z,θ,ψ,φ]^T为实际航迹，x、y、z、θ、ψ、φ分别为实际航迹的x坐标、y坐标、z坐标、俯仰角、偏航角和滚转角；

步骤三：滑模控制律设计：选取终端滑模函数，采用非奇异终端滑模控制方法设计航迹控制律，计算航迹控制量u，并应用Lyapunov稳定性理论证明控制系统的稳定性；其方法为：

1)建立飞艇空间运动的数学模型

飞艇空间运动的坐标系及运动参数定义如下：采用地面坐标系O_eX_eY_eZ_e和体坐标系o_bx_by_bz_b对飞艇的空间运动进行描述，CV为浮心，CG为重心，浮心到重心的矢量为r_G＝[x_G,y_G,z_G]^T；运动参数定义：位置P＝[x,y,z]^T，x、y、z分别为轴向、侧向和竖直方向的位移；姿态角Ω＝[θ,ψ,φ]^T，θ、ψ、φ分别为俯仰角、偏航角和滚转角；速度v＝[u,v,w]^T，u、v、w分别为体坐标系中轴向、侧向和垂直方向的速度；角速度ω＝[p,q,r]^T，p、q、r分别为滚转、俯仰和偏航角速度；记广义坐标η＝[x,y,z,θ,ψ,φ]^T，广义速度为V＝[u,v,w,p,q,r]^T；

飞艇空间运动的数学模型描述如下：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}=J\left(\mathrm{\&eta;}\right)=\left[\begin{array}{cc}{J}_1& 0_{3\&times;3}\\ 0_{3\&times;3}& J_2\end{array}\right]V---\left(2\right)$

$M\stackrel{\&CenterDot;}{V}=\stackrel{\&OverBar;}{N}+\stackrel{\&OverBar;}{G}+\mathrm{\&tau;}---\left(3\right)$

式中

$J_1=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\&psi;}\cos \mathrm{\&theta;}& \cos \mathrm{\&psi;}\sin \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}-\sin \mathrm{\&psi;}\cos \mathrm{\&theta;}& \cos \mathrm{\&psi;}\sin \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}+\sin \mathrm{\&psi;}\sin \mathrm{\&phi;}\\ \sin \mathrm{\&psi;}\cos \mathrm{\&theta;}& \sin \mathrm{\&psi;}\sin \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}+\cos \mathrm{\&psi;}\cos \mathrm{\&phi;}& \sin \mathrm{\&psi;}\sin \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}-\cos \mathrm{\&psi;}\sin \mathrm{\&phi;}\\ -\sin \mathrm{\&theta;}& \cos \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}& \cos \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}\end{array}\right]---\left(4\right)$

$J_2=\left[\begin{array}{ccc}0& \cos \mathrm{\&phi;}& -\sin \mathrm{\&phi;}\\ 0& \sec \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}& \sec \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}\\ 1& \tan \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}& \tan \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}\end{array}\right]---\left(5\right)$

$M=\left[\begin{array}{cccccc}m+m_{11}& 0& 0& 0& {\mathrm{mz}}_G& -m{y}_G\\ 0& m+m_{22}& 0& -m{z}_G& 0& m{x}_G\\ 0& 0& m+m_{33}& m{y}_G& -m{x}_G& 0\\ 0& -m{z}_G& m{y}_G& I_x+I_{11}& 0& 0\\ m{z}_G& 0& -m{x}_G& 0& I_x+I_{22}& 0\\ 0& m{x}_G& 0& -I_{\mathrm{xz}}& 0& I_x+I_{33}\end{array}\right]---\left(6\right)$

$\stackrel{\&OverBar;}{G}=\left[\begin{array}{c}(B-G)\sin \mathrm{\&theta;}\\ (G-B)\cos \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}\\ (G-B)\cos \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}\\ y_{G}G\cos \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}-z_{G}G\cos \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}\\ -x_{G}G\cos \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}-z_{G}G\sin \mathrm{\&theta;}\\ x_{G}G\cos \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}+y_{G}G\sin \mathrm{\&theta;}\end{array}\right]---\left(7\right)$

$\mathrm{\&tau;}=\left[\begin{array}{c}T\cos \mathrm{\&mu;}\cos \mathrm{\&upsi;}\\ T\sin \mathrm{\&mu;}\\ T\cos \mathrm{\&mu;}\sin \mathrm{\&upsi;}\\ T\sin \mathrm{\&upsi;}{l}_y\\ T\cos \mathrm{\&upsi;}{l}_z-T\sin \mathrm{\&upsi;}{l}_x\\ T\cos \mathrm{\&upsi;}{l}_z-T\sin \mathrm{\&upsi;}{l}_x\end{array}\right]---\left(8\right)$

$\stackrel{\&OverBar;}{N}={[N_u,N_v,N_w,N_p,N_q,N_r]}^T---\left(9\right)$

其中

N_u＝(m+m₂₂)vr-(m+m₃₃)wq+m[x_G(p²+r²)-y_Gpq-z_Gpr]

+QV^2/3(-C_Xcosαcosβ+C_Ycosαsinβ+C_Zsinα)         (10)

N_v＝(m+m₃₃)wp-(m+m₁₁)ur-m[x_Gpq-y_G(p²+r²)+z_Gqr]

+QV^2/3(C_Xsinβ+C_Ycosβ)               (11)

N_w＝(m+m₂₂)vp-(m+m₁₁)uq-m[x_Gpr+y_Gqr-z_G(p²+q²)]

+QV^2/3(-C_Xsinαsinβ+C_Ysinαcosβ-C_Zcosα)           (12)

N_p＝[(I_y+m₅₅)-(I_z+I₆₆)]qr+I_xzpq-I_xypr-I_yz(r²-q²)+

[mz_G(ur-wp)+y_G(uq-vp)]+QVC_l            (13)

N_q＝[(I_z+m₆₆)-(I_x+I₄₄)]pr+I_xyqr-I_yzpq-I_xz(p²-r²)

+m[x_G(vp-uq)-z_G(wp-vr)]+QVC_m          (14)

N_r＝[(I_y+m₅₅)-(I_x+I₄₄)]pq-I_xzqr-I_xy(q²-p²)+I_yzpr

+m[y_G(wq-vr)-x_G(ur-wp)]+QVC_n             (15)

式中，m为飞艇质量，m₁₁、m₂₂、m₃₃为附加质量,I₁₁、I₂₂、I₃₃为附加惯量；Q为动压，α为迎角,β为侧滑角，C_X、C_Y、C_Z、C_l、C_m、C_n为气动系数；I_x、I_y、I_z分别为绕o_bx_b、o_by_b、o_bz_b的主惯量；I_xy、I_xz、I_yz分别为关于平面o_bx_by_b、o_bx_bz_b、o_by_bz_b的惯量积；T为推力大小，μ为推力矢量与o_bx_bz_b面之间的夹角，规定其在o_bx_bz_b面之左为正，υ为推力矢量在o_bx_bz_b面的投影与o_bx_b轴之间的夹角，规定其投影在o_bx_b轴之下为正；l_x、l_y、l_z表示推力作用点距原点o_b的距离；

式(3)为关于广义速度V的表达式，需要将其变换为关于广义坐标η的表达式；

由式(1)可得：

$V=J^{-1}\left(\mathrm{\&eta;}\right)\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}=R\left(\mathrm{\&eta;}\right)\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}=\left[\begin{array}{cc}A& 0_{3\&times;3}\\ 0_{3\&times;3}& B\end{array}\right]\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}---\left(16\right)$

式中J^-1(η)为J(η)的逆矩阵；

$A=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\&psi;}\cos \mathrm{\&theta;}& \sin \mathrm{\&psi;}\cos \mathrm{\&theta;}& -\sin \mathrm{\&theta;}\\ \cos \mathrm{\&psi;}\sin \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}-\sin \mathrm{\&psi;}\cos \mathrm{\&phi;}& \sin \mathrm{\&psi;}\sin \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}+\cos \mathrm{\&psi;}\cos \mathrm{\&phi;}& \cos \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}\\ \cos \mathrm{\&psi;}\sin \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}+\sin \mathrm{\&psi;}\sin \mathrm{\&phi;}& \sin \mathrm{\&psi;}\sin \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}-\cos \mathrm{\&psi;}\sin \mathrm{\&phi;}& \cos \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}\end{array}\right]---\left(17\right)$

$B=\left[\begin{array}{ccc}0& -\sin \mathrm{\&theta;}& 1\\ \cos \mathrm{\&phi;}& \cos \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}& 0\\ -\sin \mathrm{\&phi;}& \cos \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}& 0\end{array}\right]---\left(18\right)$

对式(16)微分，可得

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=\stackrel{\&CenterDot;}{R}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}+R\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}---\left(19\right)$

式中

$\stackrel{\&CenterDot;}{R}=\left[\begin{array}{cc}\stackrel{\&CenterDot;}{A}& 0_{3\&times;3}\\ 0_{3\&times;3}& \stackrel{\&CenterDot;}{B}\end{array}\right]---\left(20\right)$

式(19)左乘可得

$R^{T}M\stackrel{\&CenterDot;}{V}=R^{T}M\stackrel{\&CenterDot;}{R}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}+R^T\mathrm{MR}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}---\left(21\right)$

综合式(3)、式(19)以及式(21)可得:

$M_{\mathrm{\&eta;}}\left(\mathrm{\&eta;}\right)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}+N_{\mathrm{\&eta;}}(\mathrm{\&eta;},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}})\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}+G_{\mathrm{\&eta;}}\left(\mathrm{\&eta;}\right)=\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}---\left(22\right)$

式中

M_η(η)＝R^TMR            (23)

$N_{\mathrm{\&eta;}}(\mathrm{\&eta;},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}})=R^{T}M\stackrel{\&CenterDot;}{R}---\left(24\right)$

$G_{\mathrm{\&eta;}}\left(\mathrm{\&eta;}\right)=-R^T(\stackrel{\&OverBar;}{N}+\stackrel{\&OverBar;}{G})---\left(25\right)$

$\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}=R^T\mathrm{\&tau;}---\left(26\right)$

以式(22)所描述的数学模型为被控对象，采用非奇异终端滑模控制方法设计航迹控制律；

2)滑模面设计

设计非奇异终端滑模面为：

$s=e+\mathrm{\&lambda;}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^{p/q}---\left(27\right)$

其中，e＝[e₁,e₂,e₃,e₄,e₅,e₆]^T，s＝[s₁,s₂,s₃,s₄,s₅,s₆]^T，λ＝diag(λ₁,λ₂,λ₃,λ₄,λ₅,λ₆),diag(·)表示对角矩阵，λ为正定矩阵，p、q为正实数且满足1＜p/q＜2；

3)设计非奇异终端滑模控制律，航迹控制量为：

$\begin{array}{c}u=M_{\mathrm{\&eta;}}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_d+N_{\mathrm{\&eta;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}+G_{\mathrm{\&eta;}}-\frac{q}{p}{M}_{\mathrm{\&eta;}}{\mathrm{\&lambda;}}^{-1}\mathrm{diag}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^{2-p/q}\right)-\\ \frac{{\left[s^T\mathrm{\&lambda;diag}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^{p/q-1}\right)M_{\mathrm{\&eta;}}^{-1}\right]}^T}{{\left|\right|s^T\mathrm{\&lambda;diag}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^{p/q-1}\right)M_{\mathrm{\&eta;}}^{-1}\left|\right|}^2}\&CenterDot;\mathrm{\&gamma;}\left|\right|s\left|\right|\left|\right|\mathrm{\&lambda;diag}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^{p/q-1}\right)M_{\mathrm{\&eta;}}^{-1}\left|\right|\end{array}---\left(28\right)$

式中，λ^-1表示λ的逆矩阵，表示M_η的逆矩阵，||·||表示欧几里德范数，γ为正实数；

4)稳定性证明

定义如下Lyapunov函数

$V=\frac{1}{2}{s}^{T}s---\left(29\right)$

对式(29)微分并利用式(27)，可得：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=s^T\stackrel{\&CenterDot;}{s}=s^T[\stackrel{\&CenterDot;}{e}+\frac{p}{q}\mathrm{\&lambda;diag}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^{p/q-1}\right)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}]---\left(30\right)$

对式(1)求二阶导数并利用式(22)和式(28)，可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}=\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_c=M_{\mathrm{\&eta;}}^{-1}(\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}-N_{\mathrm{\&eta;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}-G_{\mathrm{\&eta;}})=M_{\mathrm{\&eta;}}^{-1}[-\frac{q}{p}{M}_{\mathrm{\&eta;}}{\mathrm{\&lambda;}}^{-1}\mathrm{diag}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^{2-p/q}\right)]+\\ M_{\mathrm{\&eta;}}^{-1}[-\frac{{\left[s^T\mathrm{\&lambda;diag}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^{p/q-1}\right)M_{\mathrm{\&eta;}}^{-1}\right]}^T}{{\left|\right|s^T\mathrm{\&lambda;diag}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^{p/q-1}\right)M_{\mathrm{\&eta;}}^{-1}\left|\right|}^2}\&CenterDot;\mathrm{\&gamma;}|\left|s\right|\left|\right|\left|\mathrm{\&lambda;diag}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^{p/q-1}\right)M_{\mathrm{\&eta;}}^{-1}\right|\left|\right]\end{array}---\left(31\right)$

将式(31)代入式(30)，可得：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=-\frac{p}{q}\mathrm{\&gamma;}\left|\right|s\left|\right|\left|\right|\mathrm{\&lambda;diag}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^{p/q-1}\right)M_{\mathrm{\&eta;}}^{-1}\left|\right|---\left(32\right)$

因为γ为正实数，所以有下式成立：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=-\frac{p}{q}\mathrm{\&gamma;}\left|\right|s\left|\right|\left|\right|\mathrm{\&lambda;diag}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^{p/q-1}\right)M_{\mathrm{\&eta;}}^{-1}\left|\right|<0---\left(33\right)$

式(33)即证非奇异终端滑模控制系统的稳定性。