CN104950901A

CN104950901A - 无人直升机姿态误差有限时间收敛非线性鲁棒控制方法

Info

Publication number: CN104950901A
Application number: CN201510388507.3A
Authority: CN
Inventors: 鲜斌; 周海雷
Original assignee: Tianjin University
Current assignee: Tianjin University
Priority date: 2015-07-03
Filing date: 2015-07-03
Publication date: 2015-09-30
Anticipated expiration: 2035-07-03
Also published as: CN104950901B

Abstract

本发明属于小型单旋翼无人直升机飞行控制领域。为实现能够使无人直升机姿态跟踪控制可以在有限时间内收敛。为此，本发明采取的技术方案是，无人直升机姿态误差有限时间收敛非线性鲁棒控制方法，包括下列步骤：一、确定小型无人直升机动力学模型二、小型无人直升机姿态控制定义η_d(t)＝[φ_d(t),θ_d(t),ψ_d(t)]^T为姿态角的参考给定向量，其中φ_d(t)、θ_d(t)、ψ_d(t)分别为滚转角给定、俯仰角给定、偏航角给定，且有L_∞代表有界数列空间，是对η_d(t)求一阶时间导数，是对η_d(t)求二阶时间导数；为了书写方便，变量不带时间t，如将η_d(t)直接写为η_d；定义姿态跟踪误差为：e＝η_d-η。本发明主要应用于小型单旋翼无人直升机飞行控制。

Description

无人直升机姿态误差有限时间收敛非线性鲁棒控制方法

技术领域

本发明属于小型单旋翼无人直升机飞行控制研究领域。具体讲，涉及无人直升机姿态误差有限时间收敛非线性鲁棒控制方法。

背景技术

小型无人直升机一种装备了必要的数据处理单元、传感器、自动控制器以及通信系统的飞行器，能够在无人干预的情况下完成自主飞行任务。由于体积小、重量轻、造价低等特点，使得其在军用和民用上得到了广泛应用。但是小型无人直升机是典型的非线性系统，模型具有较高的非线性、不确定和强耦合等特点，使得对无人直升机的动力学特性分析和控制设计较困难。

近年来，小型无人无人直升机的动力学分析和飞行控制设计受到了国内外学者的广泛关注。线性控制如PID(比例-积分-微分控制:Proportion-Integration-Differentiation)(期刊：IEEETransactions on Robotics；著者：Paul E.I.Pounds,Aaron M.Dollar；出版年月：2014年；文章题目：Stability of helicopters in compliant contact under PD/PID control；页码：1472-1486)、LQR(线性调节控制:Linear Quadratic Regulator)(会议：Proceedings of the IEEE InternationalConference on Automation and Logistics；著者：Guowei Cai,Alvin K.Cai,Ben M.Chen,Tong H.Lee；出版年月：2008年；文章题目：Construction,modeling and control of a miniautonomous UAV helicopter；页码：449-454)等应用于无人直升机控制中，但线性算法忽略了无人直升机的特点，只能保证无人直升机在设定的平衡点处的飞行性能，一旦偏离平衡点，控制性能大大降低。为了克服线性控制的不足，很多非线性控制方法应用于无人机控制领域中。

针对小型无人直升机的姿态非线性控制问题，Hongwu Guo等针对无人直升机的非线性模型，利用模糊控制实现了无人直升机的姿态镇定，但是，模糊控制存在模糊规则库难以建立和更新，且难以进行稳定性分析，因此文中仅进行了数值仿真，而无实际飞行验证(会议：Proceedings of the 25th Chinese Control and Decision Conference；著者：Jianbin YE,ShuaiTANG,Li ZHANG,Hongwu Guo；出版年月：2013；文章题目：Fuzzy control of small-scaleunmanned helicopter；页码：3040-3045)。王赓等基于期望相应轨迹设计控制器，实现了无人直升机的连续曲线轨迹跟踪控制，然而，在控制器设计中未考虑未建模动态和外界扰动，只是进行了单一模态的飞行实验，既无稳定性分析也没有相应的鲁棒性验证实验(期刊：航空学报；著者：王赓,盛焕烨,吕恬生,王东,胡飞；出版年月：2008；文章题目：天行者小型无人直升机自飞行控制系统设计；页码：170-177)。Kimon P.Valavanis等利用反步法设计控制器，可以有效的抑制扰动，但是反步法的使用引入了系统状态的多次微分，增大了系统的运算量，因此文中仅有数值仿真而无实际飞行控制实验(期刊：IEEE Transacactions on ControlSystems Technology；著者：Ioannis A.Raptis,Kimon P.Valavanis,George J.Vachtse vanos；出版年月：2012；文章题目：Linear tracking control for small-scale unmanned helicopters；页码：995-1010)。Gabriel Abba等考虑到了飞行过程中可能遭受到不确定干扰,但是设计控制器时忽略了旋翼的挥舞动力学特性,导致其实验效果不太明显(期刊：IEEE Transacactions on ControlSystems Technology；著者：Francois Leonard,Adnan Martini,Gabriel Abba；出版年月：2012；文章题目：Robust nonlinear controls of model-scale helicopters under lateral and vertical windgusts；页码：154-163)。

发明内容

为克服现有技术的不足，实现能够使无人直升机姿态跟踪控制可以在有限时间内收敛。为此，本发明采取的技术方案是，无人直升机姿态误差有限时间收敛非线性鲁棒控制方法，包括下列步骤：

一、确定小型无人直升机动力学模型

小型无人直升机在飞行过程中，本身可以完成俯仰、滚转以及偏航三个方向的转动，因此涉及大地坐标系{O_I,x_I,y_I,z_I}和机体坐标系{O_B,x_B,y_B,z_B}，I’代表惯性坐标系,B代表机体坐标系，原点O_I固连于地面任意一点，x_I指向地理北极，y_I指向地理东方，z_I满足右手定则，沿其法线方向向下；原点O_B是直升机中心，x_B位于直升机纵向对称面内，指向机头，z_B位于直升机纵向对称面内，指向机腹，y_B指向机身右侧，与x_B、z_B坐标轴构成右手系；从机体坐标系{B}到大地坐标系{I}的旋转矩阵R和集总矩阵S为：

R = [\begin{matrix} c θ c ψ & s φ s θ c ψ - c φ s ψ & c ψ s θ c φ + s φ s ψ \\ c θ s ψ & s θ s φ s ψ + c φ c ψ & c φ s θ s ψ - s φ c ψ \\ - s θ & s φ c θ & c φ c θ \end{matrix}],

S = [\begin{matrix} 1 & s i n (φ) t a n (θ) & c o s (φ) t a n (θ) \\ 0 & \cos (φ) & - s i n (φ) \\ 0 & \sin (φ) / c o s (θ) & c o s (φ) / \cos (θ) \end{matrix}],

其中正、余弦函数cos(*),sin(*)可以简写为c*,s*，tan(*)为正切函数，*代表任意的欧拉角，为φ、ψ、θ中的任意的一个，为了避免直升机特技飞行和保证S矩阵非奇异，假设：

条件1:欧拉角满足:|φ|<π/2,|θ|<π/2，其中||为绝对值符号。

当挥舞角a、b很小时有:sina≈a,sinb≈b,cosa≈1,cosb≈1成立，动力学模型具体表达

M (η) \overset{\cdot\cdot}{η} + C (η, \overset{\cdot}{η}) \overset{\cdot}{η} + τ_{d}^{I} = S^{- T} [A (T_{M}) D δ + B (T_{M})], - - - (1)

其中，M(η)∈R^3×3代表惯性矩阵，′∈′代表‘属于’关系，R^3×3代表3行3列的实数空间，代表科氏力矩阵，代表在大地坐标系下时变的扰动，R^3×1代表3行1列的实数空间，且满足为常数；η＝[φ,θ,ψ]^T为姿态角，φ、θ、ψ分别为滚转角、俯仰角、偏航角，为机体轴系角速度向量，分别为对滚转角φ求一阶时间导数得到的滚转角速度、对俯仰角θ求一阶时间导数得到的俯仰角速度、对偏航角ψ求一阶时间导数得到的偏航角速度，δ＝[δ_lon,δ_lat,δ_ped]^T代表控制输入向量，δ_lat、δ_lon、δ_ped为标准化横滚、俯仰舵机输入、偏航角速率反馈控制输入；T_M＝mg,T_M为主旋翼产生的推力，下标′M′表示与主旋翼桨叶有关，m为直升机质量，g为重力加速度；A(T_M)∈R^3×3、B(T_M)∈R^3×1与无人直升机旋翼动力学特性相关，且有：B(T_M)＝[0,0,Q_M]^T,T^1.5 _M表示对主旋翼推力T_M求1.5的阶数幂，

A (T_{M}) = [\begin{matrix} - Q_{M} & K_{β} + H_{M} T_{M} & - H_{T} \\ K_{β} + H_{M} T_{M} & Q_{M} & 0 \\ 0 & 0 & D_{T} \end{matrix}],

H_M为主旋翼桨毂在直升机重心上方位置，D_T、H_T为尾桨桨毂在直升机重心后方和上方位置，下标′T′表示与尾桨桨叶有关，K_β是主旋翼刚度系数，C^M、D^M是与反扭矩相关系数，上标‘M’表示与主旋翼桨叶有关，C^M为主旋翼桨叶升力曲线斜率，D^M为主旋翼桨叶的净垂向空速；矩阵D是与无人机旋翼挥舞动力学相关的常数矩阵，其为：D＝diag(A_cC_lon+A_lon,B_dD_lat+B_lat,K_ped)，A_c表示旋翼挥舞动力学纵向耦合效应系数、C_lon表示稳定杆纵向周期桨距偏转角对δ_lon的比值、A_lon表示主旋翼纵向周期桨距偏转角对δ_lon的比值，B_d表示旋翼挥舞动力学横向耦合效应系数、D_lat表示稳定杆横向周期桨距偏转角对δ_lat的比值、B_lat表示主旋翼横向周期桨距偏转角对δ_lat的比值，K_ped为偏航方向比例系数，S^-T为集总矩阵S的逆再求转置矩阵，上标‘-T’写为‘-1’与‘T’的乘积形式，‘-1’为求矩阵的逆矩阵，‘T’为求矩阵的转置；进一步的惯性矩阵M(η)∈R^3×3具体形式为：

M (η) = [\begin{matrix} J_{x} & 0 & - {sθJ}_{x} \\ 0 & J_{y} c^{2} φ + J_{z} s^{2} φ & J_{y} s φ c φ c θ - J_{z} s φ c φ c θ \\ - {sθJ}_{x} & J_{y} s φ c φ c θ - J_{z} s φ c φ c θ & J_{x} s^{2} θ + J_{y} s^{2} {φc}^{2} θ + J_{z} s^{2} {φc}^{2} θ \end{matrix}]

科氏力矩阵为；

C (η, \overset{\cdot}{η}) = [\begin{matrix} 0 & C_{1, 2} & C_{1, 3} \\ C_{2, 1} & C_{2, 2} & C 2.3 \\ C_{3, 1} & C_{3, 2} & C_{3, 3} \end{matrix}]

其中：C_1，2为矩阵的第一行第二列元素，具体为；

C_{1, 2} = \overset{\cdot}{θ} (J_{y} - J_{z}) s φ c φ + \overset{\cdot}{ψ} (J_{z} - J_{y}) (- s^{2} {φc}^{2} θ + c φ c θ) - \overset{\cdot}{ψ} J_{x} c θ,

C_1，3为矩阵的第一行第三列元素，具体为；

C_{1, 3} = \overset{\cdot}{ψ} (J_{z} - J_{y}) s φ c φ c θ,

C_2，1为矩阵的第二行第一列元素，具体为；

C_{2, 1} = \overset{\cdot}{θ} (J_{z} - J_{y}) s φ c φ + \overset{\cdot}{ψ} (J_{x} c θ - J_{y} s^{2} θ c θ + J_{y} c^{2} φ c θ - J_{z} c^{2} φ c θ + J_{z} s^{2} φ c θ),

C_2，2为矩阵的第二行第二列元素，具体为；

C_{2, 2} = \overset{\cdot}{φ} (J_{z} - J_{y}) c φ s φ,

C_2，3为矩阵的第二行第三列元素，具体为；

C_{2, 3} = \overset{\cdot}{ψ} (J_{x} c θ s θ + J_{z} {sθc}^{2} φ c θ + J_{y} {sθc}^{2} φ c θ),

C_3，1为矩阵的第三行第一列元素，具体为；

C_{3, 1} = - \overset{\cdot}{θ} J_{x} c θ + \overset{\cdot}{ψ} (J_{y} - J_{z}) {sφcφc}^{2} θ,

C_3，2为矩阵的第三行第二列元素，具体为；

\begin{matrix} C_{3, 2} = \overset{\cdot}{ψ} (J_{z} - J_{y}) s φ c φ s θ + \overset{\cdot}{φ} (J_{z} s^{2} φ c θ - J_{z} c^{2} φ c θ + J_{y} c^{2} φ c θ - J_{y} s^{2} θ c θ) \\ + \overset{\cdot}{ψ} (J_{x} s θ c θ - J_{y} s^{2} φ c θ s θ - J_{z} c^{2} φ s θ c θ), \end{matrix}

C_3，3为矩阵的第三行第三列元素，具体为；

C_{3, 3} = \overset{\cdot}{φ} (J_{y} - J_{z}) {sφcφc}^{2} θ + \overset{\cdot}{θ} (J_{x} s θ c θ - J_{y} s^{2} φ s θ c θ - J_{z} c^{2} φ s θ c θ),

J_x为滚转方向转动惯量，J_y为俯仰方向转动惯量，J_z为偏航方向转动惯量；

同时，此动力学模型具有如下性质：

性质1：惯性矩阵M(η)是正定对称的，且满足:

m_{1} {|| ξ ||}^{2} \leq ξ^{T} M (η) ξ \leq m_{2} {|| ξ ||}^{2}, &ForAll; ξ &Element; R^{3 \times 1},

其中，m₁和m₂为正常数，|| ||是2范数符号，是‘任意’的意思；

二、小型无人直升机姿态控制

定义η_d(t)＝[φ_d(t),θ_d(t),ψ_d(t)]^T为姿态角的参考给定向量，其中φ_d(t)、θ_d(t)、ψ_d(t)分别为滚转角给定、俯仰角给定、偏航角给定，且有L_∞代表有界数列空间，是对η_d(t)求一阶时间导数，是对η_d(t)求二阶时间导数；为了书写方便，变量不带时间t，如将η_d(t)直接写为η_d；定义姿态跟踪误差为：

e＝η_d-η, (2)

其中，η＝[φ,θ,ψ]^T为姿态角，e＝[e_φ,e_θ,e_ψ]^T为姿态跟踪误差向量，e_φ为滚转方向误差，e_θ为俯仰方向误差，e_ψ为偏航方向误差，e_i＝i_d-i,i＝φ、θ、ψ为欧拉角中的一个，用e_i表示滚转、俯仰、偏航通道误差；定义滤波误差向量s(t)：

s = \overset{\cdot}{e} + k e, - - - (3)

其中，k＝diag(k_φ,k_θ,k_ψ),k_i>0，diag()代表对角阵的意思，k_φ为滚转方向增益，k_θ为俯仰方向增益，k_ψ为偏航方向增益，为姿态跟踪误差向量，e＝[e_φ,e_θ,e_ψ]^T的一阶时间导数，滤波误差向量s＝[s_φ,s_θ,s_ψ]^T，s_φ为滚转方向滤波误差，s_θ为俯仰方向滤波误差，s_ψ为偏航方向滤波误差，用s_i表示滚转、俯仰、偏航通道滤波误差，根据式(3)的结构可知，s(t)与e(t)具有相同的收敛性；利用性质1，并对其求一阶时间导数可得：

\overset{\cdot}{s} = ({\overset{\cdot\cdot}{η}}_{d} + k \overset{\cdot}{e}) + M {(η)}^{- 1} C (η, \overset{\cdot}{η}) \overset{\cdot}{η} + w (t) - M {(η)}^{- 1} S^{- T} A D δ - M {(η)}^{- 1} S^{- T} B, - - - (4)

其中，w(t)＝[w_φ(t),w_θ(t),w_ψ(t)]^T，M(η)^-1为矩阵M(η)的逆矩阵，上标‘-1’代表矩阵的逆，w_φ(t)为运算后滚转方向扰动，w_θ(t)为运算后俯仰方向扰动，w_ψ(t)为运算后偏航方向扰动，用w_i(t)表示滚转、俯仰、偏航通道扰动，并做如下假设：

条件2：

w_{i} (t), {\overset{\cdot}{w}}_{i} (t) &Element; L_{\infty},

且|w_i(t)|≤δ_i1,

| {\overset{\cdot}{w}}_{i} (t) | \leq δ_{i_{2}}, δ_{i_{1}}, δ_{i_{2}}

为常数；

基于式(4)的开环动态方程，设计控制器为：

δ = D^{- 1} A^{- 1} S^{T} M (η) (α {| s |}^{\frac{1}{2}} s i g n (s) - M {(η)}^{- 1} S^{- T} B + {\overset{\cdot\cdot}{η}}_{d} + k \overset{\cdot}{e} + {&Integral;}_{0}^{t} \frac{β}{2} s i g n (s (τ)) d τ + M {(η)}^{- 1} C (η, \overset{\cdot}{η}) \overset{\cdot}{η}) - - - (5)

其中，sign(x)为标准符号函数，将式(5)代入式(4)中，即可得到如下闭环系统：

\overset{\cdot}{s} = w (t) - α {| s |}^{\frac{1}{2}} s i g n (s) - {&Integral;}_{0}^{t} \frac{β}{2} s i g n (s (τ)) d τ - - - (6)

上述中，β＝diag(β_φ,β_θ,β_ψ)，β_φ为滚转方向自适应律，β_θ为俯仰方向自适应律，β_ψ为偏航方向自适应律，用β_i表示滚转、俯仰、偏航通道方向自适应律，α＝diag(α_φ,α_θ,α_ψ)，α_φ为滚转方向律，α_θ为俯仰方向律，α_ψ为偏航方向律，用α_i表示滚转、俯仰、偏航任一通道自适应律，sign(s)＝[sign(s_φ),sign(s_θ),sign(s_ψ)]^T，sign(s_φ)为滚转方向滤波误差符号函数，sign(s_θ)为俯仰方向滤波误差符号函数，sign(s_ψ)为偏航方向滤波误差符号函数，

{| s |}^{\frac{1}{2}} s i g n (s) = {[{| s_{φ} |}^{\frac{1}{2}} s i g n (s_{φ}), {| s_{θ} |}^{\frac{1}{2}} s i g n (s_{θ}), {| s_{ψ} |}^{\frac{1}{2}} s i g n (s_{ψ})]}^{T};

设计自适应律为：

{\overset{\cdot}{α}}_{i} (t) = \{\begin{matrix} ω_{i_{1}} \sqrt{\frac{γ i 1}{2}} s i g n (| s_{i} | - μ_{i}), & i f & α_{i} (t) > a_{i m} \\ γ_{i 0}, & i f & α_{i} (t) \leq α_{i_{m}} \end{matrix} - - - (7)

β_i(t)＝2ε_iα_i(t),

其中，ω_i1,γ_i1,γ_i0,μ_i,ε_i,α_im为正的自适应律增益，均为常数。引入μ_i是构造一个观测器，当|s_i|≤μ_i，α_i,β_i减小，直到系统|s_i|>μ_i，然后α_i,β_i增大，迫使其回到μ_i内，依此循环；自适应律α_i(t),β_i(t)是有界的，并且有|α_i|≤α_i ^*、|β_i|≤β_i ^*、α_i ^*,β_i ^*是正常数。

小型无人直升机姿态控制器稳定性证明步骤

对于系统(1)中的滚转、俯仰及偏航任一通道，稳定性分析结果给出如下：

对于系统(3),设计式(5)的控制器，对于任意初始状态,使得闭环系统中所有信号均在有限时间内收敛于域λ_i1,λ_i2是任意小的正数，且有：α_i(0)>α_im,λ_i2>0,λ_i1≥μ_i，用W_i表示最后的收敛域，α_i(0)为自适应律α_i(t)在t＝0时刻的初始值。

证明为方便稳定性分析，定义新的状态变量z＝[z₁,z₂]^T：

z_{1} = {| s_{i} |}^{\frac{1}{2}} s i g n (s_{i}), z_{2} = - {&Integral;}_{0}^{t} \frac{β}{2} s i g n (s_{i} (τ)) d τ + w_{i} (t) . - - - (8)

其中，z为新的状态矢量表示，z₁z₂均为相应变量的符号表示。由式(8)可以看出：z₁,z₂与s_i具有相同的收敛性，对式(8)中的z₁,z₂分别求一阶时间导数有：

{\overset{\cdot}{z}}_{1} = \frac{1}{2 | z_{1} |} (- α_{i} z_{1} + z_{2}), - - - (9)

{\overset{\cdot}{z}}_{2} = - \frac{β_{i}}{2} s i g n (s_{i}) + {\overset{\cdot}{w}}_{i} (t) = - \frac{β_{i}}{2} \frac{z_{1}}{| z_{1} |} + {\overset{\cdot}{w}}_{i} (t) . - - - (10)

进一步利用性质1和假设2有：

{\overset{\cdot}{w}}_{i} (t) = \frac{ρ_{i 1} (η, t)}{2} \frac{z_{1}}{| z_{1} |}, - - - (11)

其中，引入ρ_i1(η,t)可以用来表示扰动的大小，其满足0<ρ_i1(η,t)≤2δ_i2；综合式(9)、(10)、(11)有：

[\begin{matrix} {\overset{\cdot}{z}}_{1} \\ {\overset{\cdot}{z}}_{2} \end{matrix}] = \frac{1}{2 | z_{1} |} [\begin{matrix} - α_{i} & 1 \\ - β_{i} + ρ_{i_{1}} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} z_{1} \\ z_{2} \end{matrix}] = \overset{&OverBar;}{A} (z) z - - - (12)

其中,记号表示为:

\overset{&OverBar;}{A} (z) = \frac{1}{2 | z_{1} |} [\begin{matrix} - α_{i} & 1 \\ - β_{i} + ρ_{i_{1}} & 0 \end{matrix}]

选取Lyapunov候选函数为：

V = V_{0} + \frac{1}{2 γ_{i 1}} {(α_{i} - {α_{i}}^{*})}^{2} + \frac{1}{2 γ_{i 2}} {(β_{i} - {β_{i}}^{*})}^{2}, - - - (13)

其中，V表示Lyapunov候选函数，V₀为表示符号，其为:γ_i2>0；其中矩阵P可以写为:

P = [\begin{matrix} λ_{i} + 4 {ϵ_{i}}^{2} & - 2 ϵ_{i} \\ - 2 ϵ_{i} & 1 \end{matrix}]

只要满足常数λ_i>0，ε_i为任意正数，矩阵P就是正定的。对V₀求一阶时间导数有：

{\overset{\cdot}{V}}_{0} = z^{T} ({\overset{&OverBar;}{A}}^{T} P + P \overset{&OverBar;}{A}) z = - \frac{1}{2 | z_{1} |} z^{T} Q z, - - - (14)

其中，

矩阵变量

Q = [\begin{matrix} Q_{11} & Q_{12} \\ Q_{21} & 4 ϵ \end{matrix}],

变量Q₁₁＝2α_i(λ_i+4ε_i ²)+4ε_i(ρ_i1-β_i)，变量Q₂₁＝Q₁₂＝-λ_i-4ε_i ²-2ε_iα_i-ρ_i1+β_i；令自适应律β_i＝2ε_iα_i，若自适应律α_i的选取满足以下条件：

α_{i} &GreaterEqual; \frac{ϵ_{i} + 4 ϵ_{i} δ_{i 2}}{λ_{i}} + \frac{{[λ_{i} + 4 {ϵ_{i}}^{2} + 2 δ_{i_{2}}]}^{2}}{4 λ_{i} ϵ_{i}} - - - (15)

时，矩阵Q的最小特征值λ_min(Q)≥2ε_i。λ_min()表示任一矩阵的最小特征值，λ_max()表示任一矩阵的最大特征值；且有：

λ_min(P)||z||²≤z^TPz≤λ_max(P)||z||², (16)

其中：

{|| z ||}^{2} = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = | s_{i} | + z_{2}^{2},

| z_{1} | = {| s_{i} |}^{\frac{1}{2}} \leq || z || \leq V_{0}^{\frac{1}{2}} / λ_{\min}^{\frac{1}{2}} (P) \cdot

基于式(14)可得：

{\overset{\cdot}{V}}_{0} \leq - \frac{ϵ_{i}}{| z_{1} |} {|| z ||}^{2} \leq - r_{i} V_{0}^{\frac{1}{2}}, r_{i} = \frac{ϵ_{i} λ_{m i n}^{\frac{1}{2}} (P)}{λ_{\max} (P)} - - - (17)

考虑自适应律α_i,β_i的影响，对式(13)两边求一阶时间导数有：

\overset{\cdot}{V} \leq - r_{i} V_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{ω_{i 1}}{\sqrt{2 γ_{i 1}}} | ϵ_{i α} | - \frac{ω_{i 2}}{\sqrt{2 γ_{i 2}}} | ϵ_{i β} | + \frac{1}{γ_{i 1}} ϵ_{i α} {\overset{\cdot}{α}}_{i} + \frac{1}{γ_{i 2}} ϵ_{i β} {\overset{\cdot}{β}}_{i} + \frac{ω_{i 1}}{\sqrt{2 γ_{i 1}}} | ϵ_{i α} | + \frac{ω_{i 2}}{\sqrt{2 γ_{i 2}}} | ϵ_{i β} |, - - - (18)

其中，变量ε_iα＝(α_i-α_i ^*),ε_iβ＝(β_i-β_i ^*),ω_i2为正常数。且有：

- r_{i} V_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{ω_{i 1}}{\sqrt{2 γ_{i 1}}} | ϵ_{i α} | - \frac{ω_{i 2}}{\sqrt{2 γ_{i 2}}} | ϵ_{i β} | \leq - η_{i 0} V^{\frac{1}{2}} - - - (19)

成立，其中变量η_i0＝min(r_i,ω_i1,ω_i2)，min()为求其中的最小值。

由引理1知，ε_iα≤0,ε_iβ≤0，式(18)可以化为：

\overset{\cdot}{V} \leq - η_{i 0} V^{\frac{1}{2}} + ξ_{i}, - - - (20)

其中，记号

ξ_{i} = - | ϵ_{i α} | (\frac{1}{γ_{i 1}} {\overset{\cdot}{α}}_{i} - \frac{ω_{i 1}}{\sqrt{2 γ_{i 1}}}) - | ϵ_{i β} | (\frac{1}{γ_{i 2}} {\overset{\cdot}{β}}_{i} - \frac{ω_{i 2}}{\sqrt{2 γ_{i 2}}});

此时，随着s_i不同，ξ_i也是不确定的，所以分类讨论具有：

A、当|s_i|>μ_i,α_i>α_im，由式(7)可得：

{\overset{\cdot}{α}}_{i} = ω_{i 1} \sqrt{\frac{γ_{i 1}}{2}}, β_{i} = 2 ϵ_{i} α_{i} - - - (21)

若令：

ϵ_{i} = \frac{ω_{i 2}}{2 ω_{i 1}} \sqrt{\frac{γ_{i 2}}{γ_{i_{1}}}},

有：

ξ_{i} = 0, \overset{\cdot}{V} \leq - η_{i 0} V^{\frac{1}{2}} . - - - (22)

B、当|s_i|≤μ_i时，由式(7)可得：

{\overset{\cdot}{α}}_{i} = \{\begin{matrix} - ω_{i 1} \sqrt{\frac{γ_{i 1}}{2}}, & i f & α_{i} > α_{i m} \\ γ_{i 0}, & i f & α_{i} \leq α_{i m} \end{matrix}, - - - (23)

将式(23)代入ξ_i中有：

ξ_{i} = \{\begin{matrix} 2 | α_{i} - {α_{i}}^{*} | \frac{ω_{i 1}}{\sqrt{2 γ_{i 1}}}, & i f & α_{i} > α_{i m} \\ B_{i}, & i f & α_{i} \leq α_{i m} \end{matrix}, - - - (24)

其中，记号当α_i≤α_im时，ξ_i是在有限时间内成立；综合考虑式(20)、(22)、(24)可以看到此时是不确定的；

综合A、B，当|s_i|>μ_i时，系统s_i在自适应律α_i,β_i增大的作用下有限时间内收敛，当进入|s_i|≤μ_i域中，增益α_i,β_i减少，迫使其离开域μ_i，因此，可以假设有一个更大的域使得|s_i|≤λ_i1,λ_i1>μ_i。对于有限时间收敛特性进行以下分析：

(1)、当|s_i|≤μ_i时，利用式(8)、(9)估计出

| {\overset{\cdot}{s}}_{i} | \leq α_{i} (t_{1}) {| μ_{i} |}^{\frac{1}{2}} + (α_{i} (t_{1}) + δ_{i 2}) (t_{2} - t_{1}) = {\overset{&OverBar;}{λ}}_{i 2}, - - - (25)

其中，t₁是进入|s_i|≤μ_i时间，t₂是离开|s_i|≤μ_i时间。

(2)、当μ_i<|s_i|≤λ_i1时，可以估计为：

| {\overset{\cdot}{s}}_{i} | \leq (α_{i} (t_{2}) + ω_{i 1} \sqrt{\frac{γ_{i 1}}{2}} (t_{3} - t_{2})) (ϵ_{i} (t_{3} - t_{2}) + δ_{i 2}) = {\tilde{λ}}_{i 2}, - - - (26)

其中，t₂是离开|s_i|≤μ_i时间，t₃是再次进入|s_i|≤μ_i时间。综合式(25)、(26)有：

| {\overset{\cdot}{s}}_{i} | \leq m a x ({\overset{&OverBar;}{λ}}_{i 2}, {\tilde{λ}}_{i 2}) = λ_{i 2}, - - - (27)

其中，max()为求其最大值。因此，滑模面存在有界性，且为：

W_{i} = {s_{i}, {\overset{\cdot}{s}}_{i} : | s_{i} | \leq λ_{i 1}, | {\overset{\cdot}{s}}_{i} | \leq λ_{i 2}, λ_{i 1} > μ_{i} .} - - - (28)

假设μ_i＝0，此时有限收敛时间为：

t_{r i} \leq \frac{2 V^{\frac{1}{2}} (t_{0})}{η_{i 0}} - - - (29)

t_ri估计收敛时间而当μ_i≥0时，自适应律α_i,β_i动态变化，因此存在有限时间t_Fi≤t_ri，有s_i,t_Fi为实际收敛时间。

与已有技术相比，本发明的技术特点与效果：

1)本发明设计控制器时充分考虑了旋翼动力学和旋翼挥舞动力学特性，利用非线性动力学模型直接针对横向、纵向周期变矩以及尾桨总矩进行控制器设计，便于实际控制实现。而现有的成果中，或者直接将动力学模型线性化，或者利用难以测量的挥舞角作为控制输入，或者直接忽略旋翼动力学和旋翼挥舞动力学特性而进行控制器设计。

2)本发明通过设计自适应增益，对无人直升机的不确定性进行了部分补偿，减轻了滑模控制中符号函数带来的抖振现象，并且结合二阶滑模控制，进一步降低了抖振，避免了利用饱和函数代替符号函数而带来的对闭环系统的稳定性分析的影响、自适应参数无限估计的缺陷和传统滑模控制器需要知道内外扰动以及不确定性界的弊端。

3)本发明设计的ASTW(Adaptive gain super-twisting)控制器可实现无人直升机姿态的有限时间收敛跟踪控制，而现有成果中，基于无人直升机姿态控制算法中，稳定性分析大多得到的是渐近稳定或者半全局收敛的结果。

附图说明

图1是无人机大地坐标系{O_I}和机体坐标系{O_B}以及各个分量方向表示；

图2是无风扰下，利用本发明提出的新型非线性鲁棒姿态控制算法跟踪控制实验，姿态角曲线；

图3是无风扰下，利用本发明提出的新型非线性鲁棒姿态控制算法跟踪控制实验，偏航角跟踪误差曲线；

图4是无风扰下，利用本发明提出的新型非线性鲁棒姿态控制算法跟踪控制实验，正则化后的控制输入曲线；

图5是无风扰下，利用本发明提出的新型非线性鲁棒姿态控制算法跟踪控制实验，偏航方向的自适应参数α_ψ的变化曲线；

图6是对比抗风扰实验，基于H∞控制算法的姿态角曲线；

图7是对比抗风扰实验，基于H∞控制算法的正则化后的控制输入曲线；

图8是抗风扰实验，利用本发明提出的新型非线性鲁棒姿态控制算法的姿态角曲线；

图9是抗风扰实验，利用本发明提出的新型非线性鲁棒姿态控制算法的正则化后的控制输入曲线；

具体实施方式

本发明针对前述无人直升机姿态控制的不足，分析了此类无人直升机的动态特性，在此基础上了，设计了一种新型的基于自适应滑模的非线性鲁棒姿态控制方法，利用基于Lyapunov稳定性分析方法证明了设计的控制器能够使无人直升机姿态跟踪控制可以在有限时间内收敛，最后给出其实时飞行控制实验。

一、小型无人直升机动力学模型

小型无人直升机在飞行过程中，本身可以完成俯仰、滚转以及偏航三个方向的转动，因此涉及大地坐标系{O_I,x_I,y_I,z_I}和机体坐标系{O_B,x_B,y_B,z_B}’I’代表惯性坐标系,’B’代表机体坐标系，原点O_I固连于地面任意一点，x_I指向地理北极，y_I指向地理东方，z_I满足右手定则，沿其法线方向向下；原点O_B是直升机中心，x_B位于直升机纵向对称面内，指向机头，z_B位于直升机纵向对称面内，指向机腹，y_B指向机身右侧，与x_B、z_B坐标轴构成右手系。各个分量方向定义见图1所示。

从机体坐标系{B}到大地坐标系{I}的旋转矩阵R和集总矩阵S为：

R = [\begin{matrix} c θ c ψ & s φ s θ c ψ - c φ s ψ & c ψ s θ c φ + s φ s ψ \\ c θ s ψ & s θ s φ s ψ + c φ c ψ & c φ s θ s ψ - s φ c ψ \\ - s θ & s φ c θ & c φ c θ \end{matrix}],

S = [\begin{matrix} 1 & \sin (φ) \tan (θ) & \cos (φ) \tan (θ) \\ 0 & \cos (φ) & - \sin (φ) \\ 0 & \sin (φ) / \cos (θ) & \cos (φ) / \cos (θ) \end{matrix}],

其中，cos(*),sin(*)可以简写为c*,s*，tan(*)为正切函数，*代表任意的欧拉角，为φ、ψ、θ中的任意的一个。为了避免直升机特技飞行和保证S矩阵非奇异，可以假设：

条件1:欧拉角满足:|φ|<π/2,|θ|<π/2，其中||为绝对值符号。

本发明采用Gabriel Abba等人得出的无人直升机姿态动力学模型，在此基础上，充分考虑了无人直升机的旋翼动力学特性和旋翼挥舞动力学特性。当挥舞角a、b很小时有:sina≈a,

sinb≈b,cosa≈1,cosb≈1成立，动力学模型具体表达式如下：

M (η) \overset{\cdot\cdot}{η} + C (η, \overset{\cdot}{η}) \overset{\cdot}{η} + τ_{d}^{I} = S^{- T} [A (T_{M}) D δ + B (T_{M})], - - - (1)

其中，M(η)∈R^3×3代表惯性矩阵，'∈'代表‘属于’关系，R^3×3代表3行3列的实数空间，下同，代表科氏力矩阵，代表在大地坐标系下时变的扰动，R^3×1代表3行1列的实数空间，下同，且满足为常数；η＝[φ,θ,ψ]^T为姿态角，φ、θ、ψ分别为滚转角、俯仰角、偏航角，为机体轴系角速度向量，分别为对滚转角φ求一阶时间导数得到的滚转角速度、对俯仰角θ求一阶时间导数得到的俯仰角速度、对偏航角ψ求一阶时间导数得到的偏航角速度，δ＝[δ_lon,δ_lat,δ_ped]^T，δ代表控制输入向量，δ_lat、δ_lon、δ_ped为标准化横滚、俯仰舵机输入、偏航角速率反馈控制输入；T_M＝mg,T_M为主旋翼产生的推力，下标'M'表示与主旋翼桨叶有关，下同，m为直升机质量，g为重力加速度；A(T_M)∈R^3×3、B(T_M)∈R^3×1与无人直升机旋翼动力学特性相关，且有：B(T_M)＝[0,0,Q_M]^T,

表示对主旋翼推力T_M求1.5的阶数幂，

A (T_{M}) = [\begin{matrix} - Q_{M} & K_{β} + H_{M} T_{M} & - H_{T} \\ K_{β} + H_{M} T_{M} & Q_{M} & 0 \\ 0 & 0 & D_{T} \end{matrix}],

H_M为主旋翼桨毂在直升机重心上方位置，D_T、H_T为尾桨桨毂在直升机重心后方和上方位置，下标′T′表示与尾桨桨叶有关，下同，K_β是主旋翼刚度系数，C^M、D^M是与反扭矩相关系数；矩阵D是与无人机旋翼挥舞动力学相关的常数矩阵，其为：D＝diag(A_cC_lon+A_lon,B_dD_lat+B_lat,K_ped)，A_c、C_lon、A_lon、B_d、D_lat、B_lat为主旋翼挥舞动力学模型参数，K_ped为偏航方向比例系数。S^-T为集总矩阵S的逆再求转置矩阵，上标‘-T’可以写为‘-1’与‘T’的乘积形式，‘-1’为求矩阵的逆矩阵，‘T’为求矩阵的转置，下同。同时，此动力学模型具有如下性质：

性质1：矩阵M(η)是正定对称的，且满足:

m_{1} {|| ξ ||}^{2} \leq ξ^{T} M (η) ξ \leq m_{2} {|| ξ ||}^{2}, &ForAll; ξ &Element; R^{3 \times 1},

其中，m₁和m₂为未知的正常数，|| ||是2范数符号，是‘任意’的意思，下同。

二、小型无人直升机姿态控制设计

定义η_d(t)＝[φ_d(t),θ_d(t),ψ_d(t)]^T为姿态角的参考给定向量，其中φ_d(t)、θ_d(t)、ψ_d(t)分别为滚转角给定、俯仰角给定、偏航角给定，且有η_d(t),L_∞代表有界数列空间，是对η_d(t)求一阶时间导数，是对η_d(t)求二阶时间导数，同时，带有上下标的变量看为一个整体，如η_d就是姿态参考给定向量，而不是姿态角向量η；再如e_φ为滚转方向误差，而不是姿态跟踪误差向量e。定义姿态跟踪误差为：

e＝η_d-η, (2)

其中，η＝[φ,θ,ψ]^T为姿态角，e＝[e_φ,e_θ,e_ψ]^T为姿态跟踪误差向量，e_φ为滚转方向误差，e_θ为俯仰方向误差，e_ψ为偏航方向误差，e_i＝i_d-i,i＝φ、θ、ψ为欧拉角中的一个，用e_i表示滚转、俯仰、偏航通道误差。定义滤波误差向量s(t)：

s = \overset{\cdot}{e} + k e, - - - (3)

其中，k＝diag(k_φ,k_θ,k_ψ),k_i>0，diag()代表对角阵的意思，k_φ为滚转方向增益，k_θ为俯仰方向增益，k_ψ为偏航方向增益，为姿态跟踪误差向量e＝[e_φ,e_θ,e_ψ]^T的一阶时间导数，s＝[s_φ,s_θ,s_ψ]^T为滤波误差向量，s_φ为滚转方向滤波误差，s_θ为俯仰方向滤波误差，s_ψ为偏航方向滤波误差，用s_i表示滚转、俯仰、偏航通道滤波误差。根据式(3)的结构可知，s(t)与e(t)具有相同的收敛性；利用性质1，并对其求一阶时间导数可得：

\overset{\cdot}{s} = ({\overset{\cdot\cdot}{η}}_{d} + k \overset{\cdot}{e}) + M {(η)}^{- 1} C (η, \overset{\cdot}{η}) \overset{\cdot}{η} + w (t) - M {(η)}^{- 1} S^{- T} A D δ - M {(η)}^{- 1} S^{- T} B, - - - (4)

其中，w(t)＝[w_φ(t),w_θ(t),w_ψ(t)]^T。M(η)^-1为矩阵M(η)的逆矩阵，上标‘-1’代表矩阵的逆，w_φ(t)为运算后滚转方向扰动，w_θ(t)为运算后俯仰方向扰动，w_ψ(t)为运算后偏航方向扰动，用w_i(t)表示滚转、俯仰、偏航通道扰动，并做如下假设：

条件2：w_i(t),且|w_i(t)|≤δ_i1,为未知存在常数。

基于式(4)的开环动态方程，设计控制器为：

δ = D^{- 1} A^{- 1} S^{T} M (η) (α {| s |}^{\frac{1}{2}} s i g n (s) - M {(η)}^{- 1} S^{- T} B + {\overset{\cdot\cdot}{η}}_{d} + k \overset{\cdot}{e} + {&Integral;}_{0}^{t} \frac{β}{2} s i g n (s (τ)) d τ + M {(η)}^{- 1} C (η, \overset{\cdot}{η}) \overset{\cdot}{η}) - - - (5)

\overset{\cdot}{s} = w (t) - α {| s |}^{\frac{1}{2}} s i g n (s) - {&Integral;}_{0}^{t} \frac{β}{2} s i g n (s (τ)) d τ . - - - (6)

上述中，β＝diag(β_φ,β_θ,β_ψ)，β_φ为滚转方向自适应律，β_θ为俯仰方向自适应律，β_ψ为偏航方向自适应律，用β_i表示滚转、俯仰、偏航通道方向自适应律，α＝diag(α_φ,α_θ,α_ψ)，α_φ为滚转方向律，α_θ为俯仰方向律，α_ψ为偏航方向律，用α_i表示滚转、俯仰、偏航通道自适应律，sign(s)＝[sign(s_φ),sign(s_θ),sign(s_ψ)]^T，sign(s_φ)为滚转方向滤波误差符号函数，sign(s_θ)为俯仰方向滤波误差符号函数，sign(s_ψ)为偏航方向滤波误差符号函数，

{| s |}^{\frac{1}{2}} s i g n (s) = {[{| s_{φ} |}^{\frac{1}{2}} s i g n (s_{φ}), {| s_{θ} |}^{\frac{1}{2}} s i g n (s_{θ}), {| s_{ψ} |}^{\frac{1}{2}} s i g n (s_{ψ})]}^{T} .

设计自适应律为：

{\overset{\cdot}{α}}_{i} (t) = \{\begin{matrix} ω_{i_{1}} \sqrt{\frac{γ_{i 1}}{2}} s i g n (| s_{i} | - μ_{i}), & i f & α_{i} (t) > a_{i m} \\ γ_{i 0}, & i f & α_{i} (t) \leq α_{i m} \end{matrix}, - - - (7)

β_i(t)＝2ε_iα_i(t),

其中，ω_i1,γ_i1,γ_i0,μ_i,ε_i,α_im为正的自适应律增益。引入μ_i是构造一个观测器，当|s_i|≤μ_i，α_i,β_i减小，直到系统|s_i|>μ_i，然后α_i,β_i增大，迫使其回到μ_i内，依此循环。

引理1自适应律α_i(t),β_i(t)是有界的，并且有|α_i|≤α_i ^*、|β_i|≤β_i ^*、α_i ^*，β_i ^*是存在未知正常数。

注:引理1的证明参见文(期刊：International Journal of Control；著者：F.Plestan,Y.Shtessel,V.Bregeault,A.Poznyak；出版年月：2010年；文章题目：New methodologies foradaptive sliding mode control；页码：1907-1919)。

三、小型无人直升机姿态控制器稳定性证明

对于系统(1)中的滚转、俯仰及偏航任一通道，稳定性分析结果由以下定理给出。

定理1对于系统(3),设计式(5)的控制器，对于任意初始状态,使得闭环系统中所有信号均在有限时间内收敛于域λ_i1,λ_i2是任意小的正数，且有：α_i(0)>α_im,λ_i2>0,λ_i1≥μ_i。

证明定义状态变量z＝[z₁,z₂]^T：

z_{1} = {| s_{i} |}^{\frac{1}{2}} s i g n (s_{i}), z_{2} = - {&Integral;}_{0}^{t} \frac{β}{2} s i g n (s_{i} (τ)) d τ + w_{i} (t) . - - - (8)

由式(8)可以看出：z₁,z₂与s_i具有相同的收敛性。对式(8)中的z₁,z₂分别求一阶时间导数有：

{\overset{\cdot}{z}}_{1} = \frac{1}{2 | z_{1} |} (- α_{i} z_{1} + z_{2}), - - - (9)

{\overset{\cdot}{z}}_{2} = - \frac{β_{i}}{2} s i g n (s_{i}) + {\overset{\cdot}{w}}_{i} (t) = - \frac{β_{i}}{2} \frac{z_{1}}{| z_{1} |} + {\overset{\cdot}{w}}_{i} (t) . - - - (10)

进一步利用性质1和假设2有：

{\overset{\cdot}{w}}_{i} (t) = \frac{ρ_{i 1} (η, t)}{2} \frac{z_{1}}{| z_{1} |}, - - - (11)

其中，0<ρ_i1(η,t)≤2δ_i2。综合式(9)、(10)、(11)有：

[\begin{matrix} {\overset{\cdot}{z}}_{1} \\ {\overset{\cdot}{z}}_{2} \end{matrix}] = \frac{1}{2 | z_{1} |} [\begin{matrix} - α_{i} & 1 \\ - β_{i} + ρ_{i_{1}} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} z_{1} \\ z_{2} \end{matrix}] = \overset{&OverBar;}{A} (z) z - - - (12)

选取Lyapunov函数为：

V = V_{0} + \frac{1}{2 γ_{i 1}} {(α_{i} - {α_{i}}^{*})}^{2} + \frac{1}{2 γ_{i 2}} {(β_{i} - {β_{i}}^{*})}^{2}, - - - (13)

其中，γ_i2>0。只要满足λ_i>0，ε_i为任意正数，P就是正定的。对V₀求一阶时间导数有：

{\overset{\cdot}{V}}_{0} = z^{T} ({\overset{&OverBar;}{A}}^{T} P + P \overset{&OverBar;}{A}) z = - \frac{1}{2 | z_{1} |} z^{T} Q z, - - - (14)

其中，

Q = [\begin{matrix} Q_{11} & Q_{12} \\ Q_{21} & 4 ϵ \end{matrix}],

Q₁₁＝2α_i(λ_i+4ε_i ²)+4ε_i(ρ_i1-β_i)，Q₂₁＝Q₁₂＝-λ_i-4ε_i ²-2ε_iα_i-ρ_i1+β_i。令β_i＝2ε_iα_i，若α_i的选取满足以下条件：

α_{i} &GreaterEqual; \frac{ϵ_{i} + 4 ϵ_{i} δ_{i 2}}{λ_{i}} + \frac{{[λ_{i} + 4 {ϵ_{i}}^{2} + 2 δ_{i 2}]}^{2}}{4 λ_{i} ϵ_{i}} - - - (15)

时，矩阵Q的最小特征值λ_min(Q)≥2ε_i。且有：

λ_min(P)||z||²≤z^TPz≤λ_max(P)||z||², (16)

其中：

{|| z ||}^{2} = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = | s_{i} | + z_{2}^{2},

| z_{1} | = {| s_{i} |}^{\frac{1}{2}} \leq || z || \leq V_{0}^{\frac{1}{2}} / λ_{\min}^{\frac{1}{2}} (P) .

基于式(14)可得：

{\overset{\cdot}{V}}_{0} \leq - \frac{ϵ_{i}}{| z_{1} |} {|| z ||}^{2} \leq - r_{i} V_{0}^{\frac{1}{2}}, r_{i} = \frac{ϵ_{i} λ_{m i n}^{\frac{1}{2}} (P)}{λ_{\max} (P)} - - - (17)

\overset{\cdot}{V} \leq - r_{i} V_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{ω_{i 1}}{\sqrt{2 γ_{i 1}}} | ϵ_{i α} | - \frac{ω_{i 2}}{\sqrt{2 γ_{i 2}}} | ϵ_{i β} | + \frac{1}{γ_{i 1}} ϵ_{i α} {\overset{\cdot}{α}}_{i} + \frac{1}{γ_{i 2}} ϵ_{i β} {\overset{\cdot}{β}}_{i} + \frac{ω_{i 1}}{\sqrt{2 γ_{i 1}}} | ϵ_{i α} | + \frac{ω_{i 2}}{\sqrt{2 γ_{i 2}}} | ϵ_{i β} |, - - - (18)

其中，ε_iα＝(α_i-α_i ^*),ε_iβ＝(β_i-β_i ^*),ω_i2为正常数。且有：

- r_{i} V_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{ω_{i 1}}{\sqrt{2 γ_{i 1}}} | ϵ_{i α} | - \frac{ω_{i 2}}{\sqrt{2 γ_{i 2}}} | ϵ_{i β} | \leq - η_{i 0} V^{\frac{1}{2}} - - - (19)

成立，其中η_i0＝min(r_i,ω_i1,ω_i2)。

由引理1知，ε_iα≤0,ε_iβ≤0，式(18)可以化为：

\overset{\cdot}{V} \leq - η_{i 0} V^{\frac{1}{2}} + ξ_{i}, - - - (20)

其中，

ξ_{i} = - | ϵ_{i α} | (\frac{1}{γ_{i 1}} {\overset{\cdot}{α}}_{i} - \frac{ω_{i 1}}{\sqrt{2 γ_{i 1}}}) - | ϵ_{i β} | (\frac{1}{γ_{i 2}} {\overset{\cdot}{β}}_{i} - \frac{ω_{i 2}}{\sqrt{2 γ_{i 2}}}) .

此时，随着s_i不同，ξ_i也是不确定的，所以分类讨论具有：

A、当|s_i|>μ_i,α_i>α_im，由式(7)可得：

{\overset{\cdot}{α}}_{i} = ω_{i 1} \sqrt{\frac{γ_{i 1}}{2}}, β_{i} = 2 ϵ_{i} α_{i} - - - (21)

若令：

ϵ_{i} = \frac{ω_{i 2}}{2 ω_{i 1}} \sqrt{\frac{γ_{i 2}}{γ_{i_{1}}}},

有：

ξ_{i} = 0, \overset{\cdot}{V} \leq - η_{i 0} V^{\frac{1}{2}} . - - - (22)

B、当|s_i|≤μ_i时，由式(7)可得：

{\overset{\cdot}{α}}_{i} = \{\begin{matrix} - ω_{i 1} \sqrt{\frac{γ_{i 1}}{2}}, & i f & α_{i} > α_{i m} \\ γ_{i 0}, & i f & α_{i} \leq α_{i m} \end{matrix}, - - - (23)

将式(23)代入ξ_i中有：

ξ_{i} = \{\begin{matrix} 2 | α_{i} - {α_{i}}^{*} | \frac{ω_{i 1}}{\sqrt{2 γ_{i 1}}}, & i f & α_{i} > α_{i m} \\ B_{i}, & i f & α_{i} \leq α_{i m} \end{matrix}, - - - (24)

其中，当α_i≤α_im时，ξ_i是在有限时间内成立。综合考虑式(20)、(22)、(24)可以看到此时是不确定的。

综合A、B，当|s_i|>μ_i时，系统s_i在自适应律α_i,β_i增大的作用下有限时间内收敛，当进入|s_i|≤μ_i域中，增益α_i,β_i减少，迫使其离开域μ_i，因此，可以假设有一个更大的域使得|s_i|≤λ_i1,λ_i1>μ_i。对于有限时间收敛特性可进行以下分析：

(1)、当|s_i|≤μ_i时，利用式(8)、(9)估计出s：

| {\overset{\cdot}{s}}_{i} | \leq α_{i} (t_{1}) {| μ_{i} |}^{\frac{1}{2}} + (α_{i} (t_{1}) + δ_{i 2}) (t_{2} - t_{1}) = {\overset{&OverBar;}{λ}}_{i 2}, - - - (25)

其中，t₁是进入|s_i|≤μ_i时间，t₂是离开|s_i|≤μ_i时间。

(2)、当μ_i<|s_i|≤λ_i1时，可以估计为：

| {\overset{\cdot}{s}}_{i} | \leq (α_{i} (t_{2}) + ω_{i 1} \sqrt{\frac{γ_{i 1}}{2}} (t_{3} - t_{2})) (ϵ_{i} (t_{3} - t_{2}) + δ_{i 2}) = {\tilde{λ}}_{i 2}, - - - (26)

| {\overset{\cdot}{s}}_{i} | \leq m a x ({\overset{&OverBar;}{λ}}_{i 2}, {\tilde{λ}}_{i 2}) = λ_{i 2}, - - - (27)

因此，滑模面存在有界性，且为：

W_{i} = {s_{i}, {\overset{\cdot}{s}}_{i} : | s_{i} | \leq λ_{i 1}, | {\overset{\cdot}{s}}_{i} | \leq λ_{i 2}, λ_{i 1} > μ_{i} .} - - - (28)

假设μ_i＝0，此时有限收敛时间为：

t_{r i} \leq \frac{2 V^{\frac{1}{2}} (t_{0})}{η_{i 0}} - - - (29)

而当μ_i≥0时，自适应律α_i,β_i动态变化，因此存在有限时间t_Fi≤t_ri，有s_i,证毕。

注：Ω₁,Ω₂等未知常数的界到底是多少，只需知道其存在即可，具体实施时可以通过自适应律去消除其影响。

下面结合附图和具体实例进一步详细说明本发明。

一、实验平台

利用本研究组自主设计的3-DOF无人直升机姿态测试平台进行控制实验，机载传感器采用本研究组自主设计的基于ARM Cortex-M3内核作为惯性导航测量系统，其融合了气压计、磁力计、陀螺仪和加速度计等传感器，最高更新频率可达500Hz，可以提供3轴角速度及3轴姿态角等信息，其中俯仰角和滚转角测量精度为±0.2度，偏航角测量精度为±0.5度，底层控制器采用基于TI TMS320F28335数字信号处理器作为微控制器，完成直升机舵机伺服控制以及手自动切换等。主控制器系统框架主要由数据采集模块、飞行控制模块和数据通信模块三部分组成，数据采集模块主要负责机载传感器的数据采集和处理，飞行控制模块主要负责复杂控制算法的运算，数据通讯模块主要负责主控制器与底层控制器之间的数据通讯和传输。实验过程中，操作人员可以通过遥控器的切换通道实现手动状态和自动飞行状态的飞行切换。由于无人直升机受到球头的约束，其俯仰和滚装角度最大可达到20度，偏航方向为360度。

二、姿态跟踪控制实验

为了验证所设计的控制器的控制效果，设计无人直升机的姿态给定为：

η_d(t)＝[0,0,30°sin(0.1πt)]^T (30)

控制器参数为k＝diag(100,150,30),μ_φ＝μ_θ＝150,γ_φ1＝γ_θ1＝γ_ψ1＝2,ε_φ＝0.6,ε_θ＝0.6,ε_ψ＝0.7,γ_φ0＝γ_θ0＝γ_ψ0＝0.001,ω_φ1＝0.007,ω_θ1＝0.005,ω_ψ1＝0.0012,μ_ψ＝25,α_φm＝0.12,α_θm＝0.08,α_ψm＝0.015，α_φ(0)＝0.15,α_θ(0)＝0.01,α_ψ(0)＝0.02。

模型参数为:m＝8.75，重力加速度g＝9.8，H_M＝0.29，D_T＝0.87，H_T＝0.12，K_β＝25.23，C^M＝0.004，D^M＝0.63，A_c＝0.152，C_lon＝1.58，A_lon＝0.19，B_d＝0.136，D_lat＝1.02，B_lat＝0.17，K_ped＝1，J_x＝0.19，J_y＝0.34，J_z＝0.3。

实验结果如图2-图5所示。从图2-图3可以看出，跟踪过程中，滚转角和俯仰角的误差在±1度以内，偏航角的跟踪误差在±2.5度以内。图4为正则化后的控制输入。图5是跟踪过程中偏航方向的自适应增益α_ψ的变化曲线，其保持在一个很小的范围内，没有出现参数估计过分增大的情况。

三、抗风扰性能对比实验

H_∞控制技术是一种常见的将系统的稳定性和鲁棒性综合考虑的线性控制技术。Chen BM等将阵风作为姿态动力学特性的干扰输入，设计了H_∞控制器,并将其应用于无人直升机实时飞行控制中(期刊：Automatica；著者：Chen BM,Lin Z,Liu K；出版年月：2002年；文章题目：Robust and perfect tracking of discrete time systems；页码：293-299)。采用类似的方法设计H_∞控制器，与本文的ASTW算法进行抗风扰性能对比。实验中，首先在无风情况下，两种控制器的镇定实验；然后在40s左右加入阵风，达到在某一方向持续阵风的效果。图6、图8分别为姿态角曲线，图7、图9分别为正则化后的控制输入。

从实验结果可以看出,在无风状态下，两种算法均能使无人直升机达到镇定。其中H_∞控制器的控制精度为±3度，明显低于ASTW算法的±1度。同时，从图6可以看出，H_∞控制算法在偏航方向具有稳态误差。

在40s左右，人为的加入侧面阵风干扰，其风速大小为3-5m/s。在此阵风的影响下，H_∞控制器的控制精度在±5度以内，而ASTW算法的控制精度在±1.5度以内，其控制精度和抗扰性能明显优于H_∞控制器。

从整个过程中，引入均方根(Root Mean Square,RMS)进行控制误差对比，结果如表1所示。

表2 抗风扰性能综合对比

从表1中可以看出，采用ASTW算法得到的姿态角误差的均方根约为H_∞算法的40％～60％，明显优于H_∞算法的实验结果。

Claims

1.一种无人直升机姿态误差有限时间收敛非线性鲁棒控制方法，其特征是，包括下列步骤：

一、确定小型无人直升机动力学模型

R = [\begin{matrix} c θ c ψ & s φ s θ c ψ - c φ s ψ & c ψ s θ c φ + s φ s ψ \\ c θ s ψ & s θ s φ s ψ + c φ c ψ & c φ s θ s ψ - s φ c ψ \\ - s θ & s φ c θ & c φ c θ \end{matrix}],

S = [\begin{matrix} 1 & \sin (φ) \tan (θ) & \cos (φ) \tan (θ) \\ 0 & \cos (φ) & - \sin (φ) \\ 0 & \sin (φ) / \cos (θ) & \cos (φ) / \cos (θ) \end{matrix}],

条件1:欧拉角满足:|φ|<π/2,|θ|<π/2，其中||为绝对值符号；

当挥舞角a、b很小时有:sina≈a,sinb≈b,cosa≈1,cosb≈1成立，动力学模型具体表达式如下：

M (η) \overset{\cdot\cdot}{η} + C (η, \overset{\cdot}{η}) \overset{\cdot}{η} + τ_{d}^{I} = S^{- T} [A (T_{M}) D δ + B (T_{M})], - - - (1)

其中，M(η)∈R^3×3代表惯性矩阵，'∈'代表‘属于’关系，R^3×3代表3行3列的实数空间，代表科氏力矩阵，代表在大地坐标系下时变的扰动，R^3×1代表3行1列的实数空间，且满足为常数；η＝[φ,θ,ψ]^T为姿态角，φ、θ、ψ分别为滚转角、俯仰角、偏航角，为机体轴系角速度向量，分别为对滚转角φ求一阶时间导数得到的滚转角速度、对俯仰角θ求一阶时间导数得到的俯仰角速度、对偏航角ψ求一阶时间导数得到的偏航角速度，δ＝[δ_lon,δ_lat,δ_ped]^T代表控制输入向量，δ_lat、δ_lon、δ_ped为标准化横滚、俯仰舵机输入、偏航角速率反馈控制输入；T_M＝mg,T_M为主旋翼产生的推力，下标'M'表示与主旋翼桨叶有关，m为直升机质量，g为重力加速度；A(T_M)∈R^3×3、B(T_M)∈R^3×1与无人直升机旋翼动力学特性相关，且有：B(T_M)＝[0,0,Q_M]^T,T^1.5 _M表示对主旋翼推力T_M求1.5的阶数幂，

A (T_{M}) = [\begin{matrix} - Q_{M} & K_{β} + H_{M} T_{M} & - H_{T} \\ K_{β} + H_{M} T_{M} & Q_{M} & 0 \\ 0 & 0 & D_{T} \end{matrix}],

H_M为主旋翼桨毂在直升机重心上方位置，D_T、H_T为尾桨桨毂在直升机重心后方和上方位置，下标'T'表示与尾桨桨叶有关，K_β是主旋翼刚度系数，C^M、D^M是与反扭矩相关系数，上标‘M’表示与主旋翼桨叶有关，C^M为主旋翼桨叶升力曲线斜率，D^M为主旋翼桨叶的净垂向空速；矩阵D是与无人机旋翼挥舞动力学相关的常数矩阵，其为：D＝diag(A_cC_lon+A_lon,B_dD_lat+B_lat,K_ped)，A_c表示旋翼挥舞动力学纵向耦合效应系数、C_lon表示稳定杆纵向周期桨距偏转角对δ_lon的比值、A_lon表示主旋翼纵向周期桨距偏转角对δ_lon的比值，B_d表示旋翼挥舞动力学横向耦合效应系数、D_lat表示稳定杆横向周期桨距偏转角对δ_lat的比值、B_lat表示主旋翼横向周期桨距偏转角对δ_lat的比值，K_ped为偏航方向比例系数，S^-T为集总矩阵S的逆再求转置矩阵，上标‘-T’写为‘-1’与‘T’的乘积形式，‘-1’为求矩阵的逆矩阵，‘T’为求矩阵的转置；进一步的惯性矩阵M(η)∈R^3×3具体形式为：

M (η) = [\begin{matrix} J_{x} & 0 & - {sθJ}_{x} \\ 0 & J_{y} c^{2} φ + J_{z} s^{2} φ & J_{y} s φ c φ c θ - J_{z} s φ c φ c θ \\ - {sθJ}_{x} & J_{y} s φ c φ θ - J_{z} s φ c φ c θ & J_{y} s^{2} θ + J_{y} s^{2} {φc}^{2} θ + J_{z} s^{2} {φc}^{2} θ \end{matrix}]

科氏力矩阵为；

C (η, \overset{\cdot}{η}) = [\begin{matrix} 0 & C_{1, 2} & C_{1, 3} \\ C_{2, 1} & C_{2, 2} & C 2, 3 \\ C_{3, 1} & C_{3, 2} & C_{3, 3} \end{matrix}]

其中：C_1，2为矩阵的第一行第二列元素，具体为；

C_{1, 2} = \overset{\cdot}{θ} (J_{y} - J_{z}) s φ c φ + \overset{\cdot}{ψ} (J_{z} - J_{y}) (- s^{2} {φc}^{2} θ + c φ c θ) - \overset{\cdot}{ψ} J_{x} c θ,

C_1，3为矩阵的第一行第三列元素，具体为；

C_{1, 3} = \overset{\cdot}{ψ} (J_{z} - J_{y}) s φ c φ c θ,

C_2，1为矩阵的第二行第一列元素，具体为；

C_{2, 1} = \overset{\cdot}{θ} (J_{z} - J_{y}) s φ c φ + \overset{\cdot}{ψ} (J_{x} c θ - J_{y} s^{2} θ c θ + J_{y} c^{2} φ c θ - J_{z} c^{2} φ c θ + J_{z} s^{2} φ c θ),

C_2，2为矩阵的第二行第二列元素，具体为；

C_{2, 2} = \overset{\cdot}{φ} (J_{z} - J_{y}) c φ s φ,

C_2，3为矩阵的第二行第三列元素，具体为；

C_{2, 3} = \overset{\cdot}{ψ} (J_{x} c θ s θ + J_{z} {sθc}^{2} φ c θ + J_{y} {sθc}^{2} φ c θ),

C_3，1为矩阵的第三行第一列元素，具体为；

C_{3, 1} = - \overset{\cdot}{θ} J_{x} c θ + \overset{\cdot}{ψ} (J_{y} - J_{z}) {sφcφc}^{2} θ,

C_3，2为矩阵的第三行第二列元素，具体为；

\begin{matrix} C_{3, 2} = \overset{\cdot}{ψ} (J_{z} - J_{y}) s φ c φ s θ + \overset{\cdot}{φ} (J_{z} s^{2} φ c θ - J_{z} c^{2} φ c θ + J_{y} c^{2} φ c θ - J_{y} s^{2} θ c θ) \\ + \overset{\cdot}{ψ} (J_{x} s θ c θ - J_{y} s^{2} φ c θ s θ - J_{z} c^{2} φ s θ c θ), \end{matrix}

C_3，3为矩阵的第三行第三列元素，具体为；

C_{3, 3} = \overset{\cdot}{φ} (J_{y} - J_{z}) {sφcφc}^{2} θ + \overset{\cdot}{θ} (J_{x} s θ c θ - J_{y} s^{2} φ s θ c θ - J_{z} c^{2} φ s θ c θ),

同时，此动力学模型具有如下性质：

性质1：惯性矩阵M(η)是正定对称的，且满足:

m_{1} {|| ξ ||}^{2} \leq ξ^{T} M (η) ξ \leq m_{2} {|| ξ ||}^{2}, &ForAll; ξ &Element; R^{3 \times 1},

二、小型无人直升机姿态控制

e＝η_d-η, (2)

s = \overset{\cdot}{e} + k e, - - - (3)

\overset{\cdot}{s} = ({\overset{\cdot\cdot}{η}}_{d} + k \overset{\cdot}{e}) + M {(η)}^{- 1} C (η, \overset{\cdot}{η}) \overset{\cdot}{η} + w (t) - M {(η)}^{- 1} S^{- T} A D δ - M {(η)}^{- 1} S^{- T} B, - - - (4)

条件2：

w_{i} (t), {\overset{\cdot}{w}}_{i} (t) &Element; L_{\infty},

且|w_i(t)|≤δ_i1,

| {\overset{\cdot}{w}}_{i} (t) | \leq δ_{i 2}, δ_{i 1}, δ_{i 2}

为常数；

基于式(4)的开环动态方程，设计控制器为：

δ = D^{- 1} A^{- 1} S^{T} M (η) (α {| s |}^{\frac{1}{2}} s i g n (s) - M {(η)}^{- 1} S^{- T} B + {\overset{\cdot \cdot}{η}}_{d} + k \overset{\cdot}{e} + f_{0}^{t} \frac{β}{2} s i g n (s (τ)) d τ + M {(η)}^{- 1} C (η, \overset{\cdot}{η}) \overset{\cdot}{η}) - - - (5)

\overset{\cdot}{s} = w (t) - α {| s |}^{\frac{1}{2}} s i g n (s) - {&Integral;}_{0}^{t} \frac{β}{2} s i g n (s (τ)) d τ - - - (6)

{| s |}^{\frac{1}{2}} s i g n (s) = {[{| s_{φ} |}^{\frac{1}{2}} s i g n (s_{φ}), {| s_{θ} |}^{\frac{1}{2}} s i g n (s_{θ}), {| s_{ψ} |}^{\frac{1}{2}} s i g n (s_{ψ})]}^{T};

设计自适应律为：

{\overset{\cdot}{α}}_{i} (t) = \{\begin{matrix} ω_{i 1} \sqrt{\frac{γ i 1}{2}} s i g n (| s_{i} | - μ_{i}), & i f & α_{i} (t) > a_{i m} \\ γ_{i 0}, & i f & α_{i} (t) \leq α_{i m} \end{matrix} - - - (7)

β_i(t)＝2ε_iα_i(t),

其中，ω_i1,γ_i1,γ_i0,μ_i,ε_i,α_im为正的自适应律增益，均为常数，引入μ_i是构造一个观测器，当|s_i|≤μ_i，α_i,β_i减小，直到系统|s_i|>μ_i，然后α_i,β_i增大，迫使其回到μ_i内，依此循环；自适应律α_i(t),β_i(t)是有界的，并且有|α_i|≤α_i ^*、|β_i|≤β_i ^*、α_i ^*,β_i ^*是正常数。

2.如权利要求1所述的无人直升机姿态误差有限时间收敛非线性鲁棒控制方法，其特征是，还包括小型无人直升机姿态控制器稳定性证明步骤：

对于系统(3),设计式(5)的控制器，对于任意初始状态,使得闭环系统中所有信号均在有限时间内收敛于域λ_i1,λ_i2是任意小的正数，且有：α_i(0)>α_im,λ_i2>0,λ_i1≥μ_i，用W_i表示最后的收敛域，α_i(0)为自适应律α_i(t)在t＝0时刻的初始值；证明为方便稳定性分析，定义新的状态变量z＝[z₁,z₂]^T：

z_{1} = {| s_{i} |}^{\frac{1}{2}} s i g n (s_{i}), z_{2} = - {&Integral;}_{0}^{t} \frac{β}{2} s i g n ((s_{i})) d τ + w_{i} (t) \cdot - - - (8)

其中，z为新的状态矢量表示，z₁z₂均为相应变量的符号表示，由式(8)可以看出：z₁,z₂与s_i具有相同的收敛性，对式(8)中的z₁,z₂分别求一阶时间导数有：

{\overset{\cdot}{z}}_{1} = \frac{1}{2 | z_{1} |} (- α_{i} z_{1} + z_{2}), - - - (9)

{\overset{\cdot}{z}}_{2} = - \frac{β_{i}}{2} s i g n (s_{i}) + {\overset{\cdot}{w}}_{i} (t) = - \frac{β_{i}}{2} \frac{z_{1}}{| z_{1} |} + {\overset{\cdot}{w}}_{i} (t) . - - - (10)

进一步利用性质1和假设2有：

{\overset{\cdot}{w}}_{i} (t) = \frac{ρ_{i 1} (η, t)}{2} \frac{z_{1}}{| z_{1} |}, - - - (11)

[\begin{matrix} {\overset{\cdot}{z}}_{1} \\ {\overset{\cdot}{z}}_{2} \end{matrix}] = \frac{1}{2 | z_{1} |} [\begin{matrix} - α_{i} & 1 \\ - β_{i} + ρ_{i 1} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} z_{1} \\ z_{2} \end{matrix}] = \overset{&OverBar;}{A} (z) z - - - (12)

其中,记号表示为:

\overset{&OverBar;}{A} (z) = \frac{1}{2 | z_{1} |} [\begin{matrix} - α_{i} & 1 \\ - β_{i} + ρ_{i 1} & 0 \end{matrix}]

选取Lyapunov候选函数为：

V = V_{0} + \frac{1}{2 γ_{i 1}} {(α_{i} - {α_{i}}^{*})}^{2} + \frac{1}{2 γ_{i 2}} {(β_{i} - {β_{i}}^{*})}^{2}, - - - (13)

P = [\begin{matrix} λ_{i} + 4 {ϵ_{i}}^{2} & - 2 ϵ_{i} \\ - 2 ϵ_{i} & 1 \end{matrix}]

只要满足常数λ_i>0，ε_i为任意正数，矩阵P就是正定的；对V₀求一阶时间导数有：

{\overset{\cdot}{V}}_{0} = z^{T} ({\overset{&OverBar;}{A}}^{T} P + P \overset{&OverBar;}{A}) z = - \frac{1}{2 | z_{1} |} z^{T} Q z, - - - (14)

其中，

矩阵变量

Q = [\begin{matrix} Q_{11} & Q_{12} \\ Q_{21} & 4 ϵ \end{matrix}],

α_{i} &GreaterEqual; \frac{ϵ_{i} + 4 ϵ_{i} δ_{i 2}}{λ_{i}} + \frac{{[λ_{i} + 4 ϵ_{i}^{2} + 2 δ_{i 2}]}^{2}}{4 λ_{i} ϵ_{i}} - - - (15)

时，矩阵Q的最小特征值λ_min(Q)≥2ε_i，λ_min()表示任一矩阵的最小特征值，λ_max()表示任一矩阵的最大特征值；且有：

λ_min(P)||z||²≤z^TPz≤λ_max(P)||z||², (16)

其中：

{|| z ||}^{2} = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = | s_{i} | + z_{2}^{2},

| z_{1} | = {| s_{i} |}^{\frac{1}{2}} \leq | | z | | \leq {V_{0}}^{\frac{1}{2}} / λ_{\min}^{\frac{1}{2}} (P) \cdot

基于式(14)可得：

{\overset{\cdot}{V}}_{0} \leq - \frac{ϵ_{i}}{| z_{1} |} {|| z ||}^{2} \leq - r_{i} {V_{0}}^{\frac{1}{2}}, r_{i} = \frac{ϵ_{i} λ_{m i n}^{\frac{1}{2}} (P)}{λ_{\max} (P)} - - - (17)

\overset{\cdot}{V} \leq - r_{i} {V_{0}}^{\frac{1}{2}} - \frac{ω_{i 1}}{\sqrt{2 γ_{i 1}}} | ϵ_{i α} | - \frac{ω_{i 2}}{\sqrt{2 γ_{i 2}}} | ϵ_{i β} | + \frac{1}{γ_{i 1}} ϵ_{i α} {\overset{\cdot}{α}}_{i} + \frac{1}{γ_{i 2}} ϵ_{i β} {\overset{\cdot}{β}}_{i} + \frac{ω_{i 1}}{\sqrt{2 γ_{i 1}}} | ϵ_{i α} | + \frac{ω_{i 2}}{\sqrt{2 γ_{i 2}}} | ϵ_{i β} |, - - - (18)

其中，变量ε_iα＝(α_i-α_i ^*),ε_iβ＝(β_i-β_i ^*),ω_i2为正常数，且有：

- r_{i} {V_{0}}^{\frac{1}{2}} - \frac{ω_{i 1}}{\sqrt{2 γ_{i 1}}} | ϵ_{i α} | - \frac{ω_{i 2}}{\sqrt{2 γ_{i 2}}} | ϵ_{i β} | \leq - η_{i 0} V^{\frac{1}{2}} - - - (19)

成立，其中变量η_i0＝min(r_i,ω_i1,ω_i2)，min()为求其中的最小值；

由引理1知，ε_iα≤0,ε_iβ≤0，式(18)可以化为：

\overset{\cdot}{V} \leq - η_{i 0} V^{\frac{1}{2}} + ξ_{i}, - - - (20)

其中，记号此时，随着s_i不同，ξ_i也是不确定的，所以分类讨论具有：

A、当|s_i|>μ_i,α_i>α_im，由式(7)可得：

{\overset{\cdot}{α}}_{i} = ω_{i 1} \sqrt{\frac{γ_{i 1}}{2}}, β_{i} = 2 ϵ_{i} α_{i} - - - (21)

若令：

ϵ_{i} = \frac{ω_{i 2}}{2 ω_{i 1}} \sqrt{\frac{γ_{i 2}}{γ_{i 1}}},

有：

ξ_{i} = 0, \overset{\cdot}{V} \leq - η_{i 0} V^{\frac{1}{2}} . - - - (22)

B、当|s_i|≤μ_i时，由式(7)可得：

{\overset{\cdot}{α}}_{i} = {\begin{matrix} - ω_{i 1} \sqrt{\frac{γ_{i 1}}{2}}, & i f & α_{i} > α_{i m} \\ γ_{i 0}, & i f & α_{i} \leq α_{i m} \end{matrix}, - - - (23)

将式(23)代入ξ_i中有：

ξ_{i} = \{\begin{matrix} 2 | α_{i} - {α_{i}}^{*} | \frac{ω_{i 1}}{\sqrt{2 γ_{i 1}}}, & i f & α_{i} > α_{i m} \\ B_{i}, & i f & α_{i} \leq α_{i m} \end{matrix}, - - - (24)

综合A、B，当|s_i|>μ_i时，系统s_i在自适应律α_i,β_i增大的作用下有限时间内收敛，当进入|s_i|≤μ_i域中，增益α_i,β_i减少，迫使其离开域μ_i，因此，可以假设有一个更大的域使得|s_i|≤λ_i1,λ_i1>μ_i，对于有限时间收敛特性进行以下分析：

(1)、当|s_i|≤μ_i时，利用式(8)、(9)估计出

| {\overset{\cdot}{s}}_{i} | \leq α_{i} (t_{1}) {| μ_{i} |}^{\frac{1}{2}} + (α_{i} (t_{1}) + δ_{i 2}) (t_{2} - t_{1}) = {\overset{&OverBar;}{λ_{i}}}_{2}, - - - (25)

其中，t₁是进入|s_i|≤μ_i时间，t₂是离开|s_i|≤μ_i时间；

(2)、当μ_i<|s_i|≤λ_i1时，可以估计为：

| {\overset{\cdot}{s}}_{i} | \leq (α_{i} (t_{2}) + ω_{i 1} \sqrt{\frac{γ_{i 1}}{2}} (t_{3} - t_{2})) (ϵ_{i} (t_{3} - t_{2}) + δ_{2}) = {\tilde{λ}}_{i 2}, - - - (26)

其中，t₂是离开|s_i|≤μ_i时间，t₃是再次进入|s_i|≤μ_i时间，综合式(25)、(26)有：

| {\overset{\cdot}{s}}_{i} | \leq m a x ({\overset{&OverBar;}{λ_{i}}}_{2}, {\tilde{λ}}_{i 2}) = λ_{i 2}, - - - (27)

其中，max()为求其最大值，因此，滑模面存在有界性，且为：

W_{i} = {s_{i}, {\overset{\cdot}{s}}_{i} : | s_{i} | \leq λ_{i 1}, | {\overset{\cdot}{s}}_{i} | \leq λ_{i 2}, λ_{i 1} > μ_{i} .} - - - (28)

假设μ_i＝0，此时有限收敛时间为：

t_{r i} \leq \frac{2 V^{\frac{1}{2}} (t_{0})}{η_{i 0}} - - - (29)

t_ri估计收敛时间而当μ_i≥0时，自适应律α_i,β_i动态变化，因此存在有限时间t_Fi≤t_ri，有t_Fi为实际收敛时间。