CN103760906A - 神经网络与非线性连续无人直升机姿态控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于小型旋翼式无人飞行器自主飞行控制研究领域，为提供一种无人机控制方法，使无人直升机实现快速、准确的镇定控制，并且对系统的不确定性具有良好的鲁棒性，为此，本发明采用的技术方案是，神经网络与非线性连续无人直升机姿态控制方法，包括如下步骤：一、小型无人直升机动力学模型分析首先给出如下的刚体动力学模型：

二、无人直升机姿态控制得到如下闭环系统：

其中

且

本发明主要应用于小型旋翼式无人飞行器的设计制造。

Description

神经网络与非线性连续无人直升机姿态控制方法

技术领域

本发明属于小型旋翼式无人飞行器自主飞行控制研究领域，主要针对一种单旋翼无人飞行器的控制算法设计，包括非线性鲁棒姿态控制律的设计和姿态飞行控制实验，具体讲，涉及基于神经网络与非线性连续鲁棒控制的无人直升机姿态控制方法。

背景技术

无人驾驶飞机简称无人机，是指可以通过无线遥控或程序控制来操纵的不载人飞机。无人机诞生于20世纪20年代，从50年代开始得到了迅速的发展。无人机具有灵活、低成本、易携带和多次使用的特点，通过给无人机装载自动飞行控制系统,并集成各类机载传感器、图像采集设备以及无线通信设备等，可以使其完成载人飞机难以完成的危险任务，因此无人机在军事和民用方面有着广泛的应用和广阔的发展前景。进入21世纪以来，无人机的技术日益成熟，在一定程度上反映了一个国家的航空技术和智能技术的发展程度。

近年来，我国各高校在无人机领域取得了许多研究成果并且发展迅速。如针对单一的控制方法往往难以满足飞行控制性能的问题，设计基于单神经元的PID速度控制，不仅保持了经典控制器结构简单、易实现的特点，又通过神经元在线调节控制增益，以适应无人机飞行状态的变化，提高了无人机在阵风干扰下的自主悬停能力（会议：第二十七届中国控制会议；著者：吴建德,万舟,熊新；出版年月：2008年；文章题目：一种基于单神经元的无人直升机复合PID速度控制；页码：295-299）。又如针对无人机悬停状态下的动力学模型，提出一种基于最小二乘法和遗传算法的辨识方法，克服了遗传算法收敛过快的不足，并且在Mettler等人提出的模型基础上进一步简化了无人机悬停状态时的动力学模型，在实际工程应用中取得了很好的应用成果（期刊：机器人；著者：杜玉虎,房建成,盛蔚；出版年月：2012年；文章题目：基于最小二乘与自适应免疫遗传算法的小型无人直升机系统辨识；页码：72-77）。

另一方面，世界各国军方和院校在小型无人直升机的控制方面也取得了一定的成果。如佐治亚理工学院的直升机研究组利用基于神经网络的自适应控制器设计，可以通过在线训练的神经网络校正模型误差，并引入了Pseudo Control Hedging方法减少外环位置模型和内环姿态模型的适应误差，最终在GTmax无人机上实现了精确的位置控制。（期刊：Journal ofGuidance,Control,and Dynamics;著者：Johnson E N,Kannan S K；出版年月：2005年；文章题目：Adaptive trajectory control for autonomous helicopters;页码：524–538）。土耳其海峡大学的无人直升机科研组，设计了基于模糊逻辑的控制器，包括三个模糊模块，分别用来调节无人机的姿态角、速度和高度，最后通过MATLAB和AerosimAeronautical Simulation Block Set中的Aerosonde UAV模型仿真验证了多种飞行状态下的控制效果，获得了很好的仿真结果（期刊：Journal of Intelligent and RoboticSystems;著者：Kurnaz S,Cetin O,Kaynak O；出版年月：2009年；文章题目：Fuzzy logic based approach to design of fight control and navigation tasks forautonomous unmanned aerial vehicles；页码：229–244）。

从控制方法来讲，上述科研机构及高校都针对无人直升机提出了较好的解决方案。但是大多停留在仿真实验中，并且对系统模型的依赖程度较高，对于实际飞行是否可用仍然未知。

发明内容

本发明旨在解决克服现有技术的不足，为提供一种无人机控制方法，使无人直升机实现快速、准确的镇定控制，并且对系统的不确定性具有良好的鲁棒性，为此，本发明采用的技术方案是，神经网络与非线性连续无人直升机姿态控制方法，包括如下步骤：

一、小型无人直升机动力学模型分析

首先给出如下的刚体动力学模型：

$M\left(\mathrm{\η}\right)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+C(\mathrm{\η},\stackrel{\·}{\mathrm{\η}})\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+G\left(\mathrm{\η}\right)={\mathrm{\τ}}^I,---\left(1\right)$

其中η=[φ θ ψ]^T表示滚转角、俯仰角和偏航角三个欧拉角向量，

和

表示η的一阶和二阶导数，M(η)∈R^3×3表示惯性矩阵，

表示科氏力矩阵，G(η)∈R³表示保守力矩阵，τ^I(t)∈R³表示转矩输入向量，R表示实数集,上标T表示转置；

（1）中的刚体动力学模型有如下三个性质

性质1：惯性矩阵M(η)是一个对称正定的矩阵，并满足下面的不等式，

$m_1{\left|\right|\mathrm{\ξ}\left|\right|}^2\≤{\mathrm{\ξ}}^{T}M\left(\mathrm{\η}\right)\mathrm{\ξ}\≤m_2{\left|\right|\mathrm{\ξ}\left|\right|}^2,\∀\mathrm{\ξ}\∈R^3,---\left(2\right)$

其中m₁和m₂是有界正常数，ξ表示向量；

性质2：（1）式中的科氏力矩阵和保守力矩阵满足下面的不等式，

$\left|\right|C(\mathrm{\η},\stackrel{\·}{\mathrm{\η}})\left|\right|\≤{\mathrm{\ζ}}_c\×\left|\right|\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}\left|\right|,\left|\right|G\left(\mathrm{\η}\right)\left|\right|{\mathrm{\ζ}}_g,---\left(3\right)$

其中ζ_c和ζ_g是有界正常数；

性质3：科氏力矩阵满足下面的等式关系，

$C(\mathrm{\η},\mathrm{\ξ})\mathrm{\υ}=C(\mathrm{\η},\mathrm{\υ})\mathrm{\ξ},\∀\mathrm{\ξ},\mathrm{\υ}\∈R^3.---\left(4\right)$

其中ξ和υ表示向量。

无人直升机的转矩输入τ^I是通过挥舞角a(t)、b(t)∈R和尾桨推力T_T∈R表示的，因此给出如下的旋翼动力学模型：

τ^I=S^-T(Aυ_c+B),             (5)

其中υ_c=[a b T_T]^T，A∈R^3×3是可逆矩阵，B∈R³是主旋翼推力的分量向量，S表示从体坐标系到惯性坐标系的平移矩阵，其表达式如下：

$S=\left[\begin{array}{ccc}1& \frac{s_{\mathrm{\φ}}{s}_{\mathrm{\θ}}}{c_{\mathrm{\θ}}}& \frac{c_{\mathrm{\φ}}{s}_{\mathrm{\θ}}}{c_{\mathrm{\θ}}}\\ 0& c_{\mathrm{\φ}}& -s_{\mathrm{\φ}}\\ 0& \frac{s_{\mathrm{\φ}}}{c_{\mathrm{\θ}}}& \frac{c_{\mathrm{\φ}}}{c_{\mathrm{\θ}}}\end{array}\right].---\left(6\right)$

其中，s_φ表示sinφ，s_θ表示sinθ，c_φ表示cosφ，c_θ表示cosθ；

挥舞角和尾桨的动力学模型如下所示：

$\stackrel{\·}{a}=-\frac{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{mr}}+K_{\mathrm{sb}}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{sb}}}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{mr}}+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{sb}}}q-\frac{1}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{mr}}+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{sb}}}a+\frac{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{mr}}{A}_b}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{mr}}+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{sb}}}b+\frac{A_{\mathrm{lon}}+K_{\mathrm{sb}}{C}_{\mathrm{lon}}}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{mr}}+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{sb}}}{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{lon}},---\left(6\right)$

$\stackrel{\·}{b}=-\frac{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{mr}}+K_{\mathrm{sb}}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{sb}}}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{mr}}+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{sb}}}p+\frac{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{mr}}{B}_a}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{mr}}+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{sb}}}a-\frac{1}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{mr}}+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{sb}}}b+\frac{B_{\mathrm{lat}}+K_{\mathrm{sb}}{D}_{\mathrm{lat}}}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{mr}}+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{sb}}}{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{lat}},---\left(7\right)$

${\stackrel{\·}{T}}_T=B_{\mathrm{ped}}+K_{\mathrm{ped}}{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ped}},---\left(8\right)$

其中a表示螺旋桨纵向挥舞角，

表示a的一阶导数，b表示螺旋桨横向挥舞角，

表示b的一阶导数，T_T表示尾桨推力，

表示T_T的一阶导数，p表示俯仰角速度，

表示p的一阶导数，q表示滚转角速度，

表示q的一阶导数，δ_lon表示控制输入纵向周期变矩，δ_lat表示控制输入横向周期变矩，δ_ped表示控制输入尾桨矩，τ_mr表示主旋翼挥舞时间常数，τ_sb表示副翼挥舞时间常数，A_b表示主旋翼纵向伺服输入比例系数，B_a表示主旋翼横向伺服输入比例系数，C_lon表示副翼纵向伺服输入比例系数，D_lat表示副翼横向伺服输入比例系数，K_sb表示主旋翼与副翼伺服输入比值，B_ped表示尾桨输入常数，K_ped表示尾桨伺服输入比例系数；

在悬停状态下，挥舞角和尾桨的模型可以简化成下面的形式，

a=A_bb-A_lonδ_lon,                 (9)

b=-B_aa+B_latδ_lat,              (10)

T_T=K_ped0δ_ped.           (11)

其中A_lon、B_lat和K_ped0为简化后常数；

将（9）（10）（11）带入（5），可以得到如下简化的旋翼动力学模型表达式：

τ^I=S^-T(ACδ+B),            (12)

其中δ=[δ_lat δ_lon δ_ped]^T是实际的控制输入，分别表示横向周期变距、纵向周期变距和尾桨总距，常数阵C∈R^3×3定义如下，

$C=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{A_{\mathrm{lon}}}{A_b{B}_a+1}& \frac{A_b{B}_{\mathrm{lat}}}{A_b{B}_a+1}& 0\\ \frac{B_{\mathrm{lat}}}{A_b{B}_a+1}& \frac{B_a{A}_{\mathrm{lon}}}{A_b{B}_a+1}& 0\\ 0& 0& K_{\mathrm{ped}0}\end{array}\right].---\left(13\right)$

二、无人直升机姿态控制

定义η_d=[φ _dθ_d ψ_d]^T∈R³为参考轨迹，其中φ_d、θ_d和ψ_d分别表示滚转角、俯仰角和偏航角参考轨迹，η_d、

则无人直升机的姿态跟踪误差定义为e₁：

e₁=η_d-η.               (14)

为了方便后续控制器的设计，引入如下滤波误差信号e₂和r：

$e_2={\stackrel{\·}{e}}_1+e_1,---\left(15\right)$

$r={\stackrel{\·}{e}}_2+\mathrm{\α}{e}_2,---\left(16\right)$

其中α∈R^3×3是正定对角常数阵。对（16）求一阶导数，在等式的两边分别左乘惯性矩阵M(η)并带入（1），得到如下等式：

$M\left(\mathrm{\η}\right)\stackrel{\·}{r}=-\frac{1}{2}\stackrel{\·}{M}\left(\mathrm{\η}\right)r-e_2+N-S^{-T}\mathrm{AC}\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}},---\left(17\right)$

其中辅助函数N(·)定义为，

$\begin{array}{c}N=M\left(\mathrm{\η}\right)({\stackrel{\·\·\·}{\mathrm{\η}}}_d+{\stackrel{\·\·}{e}}_1+\mathrm{\α}{\stackrel{\·}{e}}_2)+\stackrel{\·}{M}\left(\mathrm{\η}\right)(\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+\frac{1}{2}r)+\\ e_2+\stackrel{\·}{C}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+C\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+\stackrel{\·}{G}-{\stackrel{\·}{S}}^{-T}{S}^T(M\left(\mathrm{\η}\right)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+C\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+G).\end{array}---\left(18\right)$

为简化后续控制设计，引入辅助函数

且满足N_d(t)、

在（17）右边加上和减去N_d(t)，得到如下的开环误差系统：

$M\left(\mathrm{\η}\right)\stackrel{\·}{r}=-\frac{1}{2}\stackrel{\·}{M}\left(\mathrm{\η}\right)r-e_2+\tilde{N}+N_d-S^{-T}\mathrm{AC}\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}},---\left(19\right)$

其中且满足下列不等式，

$\left|\right|\tilde{N}\left|\right|\≤\mathrm{\ρ}\left(\right|\left|z\right|\left|\right)\left|\right|z\left|\right|,---\left(20\right)$

其中令ρ:R_≥0→R_≥0并且可逆、非递减，z=[e₁ e₂ r]^T；

根据开环误差系统（19），控制器输入如下，

$\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}\left(t\right)=C^{-1}{A}^{-1}{S}^T(u+\hat{n}),---\left(21\right)$

其中

是一个神经网络反馈项，用来补偿系统不确定性，u是一个非线性鲁邦反馈项，表达式如下，

u=(K_s+I_3×3)r+βSgn(e₂),             (22)

其中K_s、β∈R^3×3是对角正定矩阵，I_3×3∈R^3×3是单位矩阵，Sgn(·)∈R³定义如下，

Sgn(ξ)=[sgn(ξ₁) sgn(ξ₂) sgn(ξ₃)]^T,       (23)

其中sgn为标准的符号函数，开环误差系统（19）中的未知函数N_d可用一个理想的三层神经网进行逼近，其表达式为：

N_d=W^Tσ(V^Tχ)+ε(χ),            (24)

其中

是神经网络的有界输入，W∈R^10×3为输出层理想权值，V∈R^10×10为输入层理想权值，σ(·)∈R¹⁰为神经网络激励函数，ε(·)∈R³为估计值与真实值的偏差，而实际的基于神经网络的前馈设计为，

$\hat{n}={\hat{W}}^T\mathrm{\σ}\left({\stackrel{\‾}{V}}^T\mathrm{\χ}\right),---\left(25\right)$

其中

是对W的估计，

可选取为一个常数矩阵，并选取神经网络的激励函数为 $\mathrm{\σ}\left(z\right)=\frac{1}{1+\exp \left(z\right)},$

更新律可设计为，

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{W}=-{\mathrm{\φ}}_1\hat{W}+\mathrm{T\σ}\left({\stackrel{\‾}{V}}^T\mathrm{\χ}\right){\mathrm{Sat}}^T(e_1+{\mathrm{\ω}}_1)\\ {\mathrm{\ω}}_1=\frac{1}{{\mathrm{\φ}}_2}(-{\mathrm{\ω}}_2+e_1)\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_2=\frac{1}{{\mathrm{\φ}}_2}(-{\mathrm{\ω}}_2+e_1)\end{array}\right.,---\left(26\right)$

其中ω₁(t)、ω₂(t)∈R³是辅助滤波信号，φ₁，φ₂∈R是正常数，T∈R^10×10是对角正定增益矩阵，Sat(·)∈R³定义如下，

Sat(ξ)=[sat(ξ₁) sat(ξ₂) sat(ξ₃)]^T,       (27)

其中sat(ξ_i)∈R是饱和函数，定义如下 $\mathrm{sat}\left({\mathrm{\ξ}}_i\right)=\left\{\begin{array}{c}-{\mathrm{\ξ}}_{\min }({\mathrm{\ξ}}_i\≤-{\mathrm{\ξ}}_{\min })\\ {\mathrm{\ξ}}_i(-{\mathrm{\ξ}}_{\min }\≤{\mathrm{\ξ}}_i\≤{\mathrm{\ξ}}_{\max }),\\ {\mathrm{\ξ}}_{\max }({\mathrm{\ξ}}_i\≥{\mathrm{\ξ}}_{\max })\end{array}\right.$ ξ_min，ξ_max∈R为正常数；由（26）可知

故有

将(21)(22)(25)带入开环误差系统，即可得到如下闭环系统：

$M\left(\mathrm{\η}\right)\stackrel{\·}{r}=-\frac{1}{2}\stackrel{\·}{M}\left(\mathrm{\η}\right)r-e_2+\tilde{N}+{\tilde{N}}_d-(K_s+I_{3\×3})r-\mathrm{\βSgn}\left(e_2\right),---\left(28\right)$

其中 ${\tilde{N}}_d=N_d-\hat{n},$ 且

${\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{N}}_d\∈L_{\∞}.$

本发明针对小型单旋翼无人直升机的姿态控制问题，提出了一套可行的实施方案。其所具有的优点和有益效果如下：

1、根据无人直升机在平衡点的刚体特性，将不可测量的挥舞角状态量进行化简;

2、设计了一种基于神经网络前馈的非线性连续鲁棒控制器，通过神经网络对系统的不确定性进行补偿，从而也减轻了由符号函数造成的抖震现象;

3、考虑到以往设计的控制算法往往局限于数值仿真，本实验组自主开发了三自由度飞行平台，设计了相应的硬件在环飞行实验以及在有风扰动下，与PID控制方法的对比实验。

附图说明

图1:本发明提出的控制器姿态镇定实验结果，姿态角θ(t)、ψ(t)。

图2:本发明提出的控制器姿态镇定实验结果局部放大图，姿态角

θ(t)、ψ(t)

图3:本发明提出的控制器姿态镇定实验结果，控制量δ_lat(t)、δ_lon(t)、δ_ped(t)。

图4:PID姿态镇定实验结果，姿态角

θ(t)、ψ(t)。

图5:PID姿态镇定实验结果局部放大图，姿态角θ(t)、ψ(t)。

图6:PID姿态镇定实验结果，控制量δ_lat(t)、δ_lon(t)、δ_ped(t)。

图7:本发明提出的控制器抗风实验结果，姿态角θ(t)、ψ(t)。

图8:本发明提出的控制器抗风实验结果，控制量δ_lat(t)、δ_lon(t)、δ_ped(t)。

图9:PID控制器抗风实验结果，姿态角

θ(t)、ψ(t)。

图10:PID控制器抗风实验结果，控制量δ_lat(t)、δ_lon(t)、δ_ped(t)。

图11:本发明控制流程图。

具体实施方式

针对无人直升机的姿态控制问题，首先分析了无人直升机的姿态动力学模型。然后设计了基于神经网络前馈补偿的非线性连续鲁棒控制算法，并进行了基于Lyapunov方法的稳定性分析，证明了设计的控制器能够实现无人直升机姿态的半全局渐进跟踪控制。姿态控制飞行实验结果表明，本发明可以使无人直升机实现快速、准确的镇定控制，并且对系统的不确定性具有良好的鲁棒性。

本发明提出了一种新颖的基于神经网络前馈与非线性连续鲁棒的小型无人直升机姿态控制方法。该方法对于系统模型的不确定性以及环境的干扰具有很强的适应性，可显著提高小型无人直升机的姿态控制精度，缩小误差范围。

一、小型无人直升机动力学模型分析

在进行无人直升机控制设计时，需要一个被控对象的动力学模型。首先给出如下的刚体动力学模型（专著：Non-linear control for underactuated mechanical systems；著者：Fantoni,Isabelle,Rogelio Lozano；出版年月：2001年）。

$M\left(\mathrm{\η}\right)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+C(\mathrm{\η},\stackrel{\·}{\mathrm{\η}})\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+G\left(\mathrm{\η}\right)={\mathrm{\τ}}^I,---\left(1\right)$

其中η=[φ θ ψ]^T表示滚转角、俯仰角和偏航角三个欧拉角向量，

和

表示η的一阶和二阶导数，M(η)∈R^3×3表示惯性矩阵，

表示科氏力矩阵，G(η)∈R³表示保守力矩阵，τ^I(t)∈R³表示转矩输入向量，R表示实数集,上标T表示转置；

（1）中的刚体动力学模型有如下三个性质（专著：Lyapunov based control of mechanicalsystems；著者：De Queiroz,Marcio S；出版年月：2000年）。

性质1：惯性矩阵M(η)是一个对称正定的矩阵，并满足下面的不等式，

$m_1{\left|\right|\mathrm{\ξ}\left|\right|}^2\≤{\mathrm{\ξ}}^{T}M\left(\mathrm{\η}\right)\mathrm{\ξ}\≤m_2{\left|\right|\mathrm{\ξ}\left|\right|}^2,\∀\mathrm{\ξ}\∈R^3,---\left(2\right)$

其中m₁和m₂是有界正常数，ξ表示向量；

性质2：（1）式中的科氏力矩阵和保守力矩阵满足下面的不等式，

$\left|\right|C(\mathrm{\η},\stackrel{\·}{\mathrm{\η}})\left|\right|\≤{\mathrm{\ς}}_c\×\left|\right|\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}\left|\right|,\left|\right|G\left(\mathrm{\η}\right)\left|\right|\≤{\mathrm{\ζ}}_g,---\left(3\right)$

其中ζ_c和ζ_g是有界正常数；

性质3：科氏力矩阵满足下面的等式关系，

$C(\mathrm{\η},\mathrm{\ξ})\mathrm{\υ}=C(\mathrm{\η},\mathrm{\υ})\mathrm{\ξ},\∀\mathrm{\ξ},\mathrm{\υ}\∈R^3.---\left(4\right)$

其中ξ和υ表示向量。

无人直升机的转矩输入τ^I是通过挥舞角a(t)、b(t)∈R和尾桨推力T_T∈R表示的，因此给出如下的旋翼动力学模型：

τ^I=S^-T(Aυ_c+B),              (5)

其中υ_c=[a b T_T]^T，A∈R^3×3是可逆矩阵，B∈R³是主旋翼推力的分量向量，S表示从体坐标系到惯性坐标系的平移矩阵，其表达式如下：

$S=\left[\begin{array}{ccc}1& \frac{s_{\mathrm{\φ}}{s}_{\mathrm{\θ}}}{c_{\mathrm{\θ}}}& \frac{c_{\mathrm{\φ}}{s}_{\mathrm{\θ}}}{c_{\mathrm{\θ}}}\\ 0& c_{\mathrm{\φ}}& -s_{\mathrm{\φ}}\\ 0& \frac{s_{\mathrm{\φ}}}{c_{\mathrm{\θ}}}& \frac{c_{\mathrm{\φ}}}{c_{\mathrm{\θ}}}\end{array}\right].$

其中，s_φ表示sinφ，s_θ表示sinθ，c_φ表示cosφ，c_θ表示cosθ；

挥舞角和尾桨的动力学模型如下所示：

$\stackrel{\·}{a}=-\frac{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{mr}}+K_{\mathrm{sb}}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{sb}}}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{mr}}+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{sb}}}q-\frac{1}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{mr}}+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{sb}}}a+\frac{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{mr}}{A}_b}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{mr}}+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{sb}}}b+\frac{A_{\mathrm{lon}}+K_{\mathrm{sb}}{C}_{\mathrm{lon}}}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{mr}}+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{sb}}}{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{lon}},---\left(6\right)$

$\stackrel{\·}{b}=-\frac{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{mr}}+K_{\mathrm{sb}}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{sb}}}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{mr}}+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{sb}}}p+\frac{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{mr}}{B}_a}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{mr}}+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{sb}}}a-\frac{1}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{mr}}+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{sb}}}b+\frac{B_{\mathrm{lat}}+K_{\mathrm{sb}}{D}_{\mathrm{lat}}}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{mr}}+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{sb}}}{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{lat}},---\left(7\right)$

${\stackrel{\·}{T}}_T=B_{\mathrm{ped}}+K_{\mathrm{ped}}{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ped}},---\left(8\right)$

其中a表示螺旋桨纵向挥舞角，表示a的一阶导数，b表示螺旋桨横向挥舞角，表示b的一阶导数，T_T表示尾桨推力，

表示T_T的一阶导数，p表示俯仰角速度，

表示p的一阶导数，q表示滚转角速度，

表示q的一阶导数，δ_lon表示控制输入纵向周期变矩，δ_lat表示控制输入横向周期变矩，δ_ped表示控制输入尾桨矩，τ_mr表示主旋翼挥舞时间常数，τ_sb表示副翼挥舞时间常数，A_b表示主旋翼纵向伺服输入比例系数，B_a表示主旋翼横向伺服输入比例系数，C_lon表示副翼纵向伺服输入比例系数，D_lat表示副翼横向伺服输入比例系数，K_sb表示主旋翼与副翼伺服输入比值，B_ped表示尾桨输入常数，K_ped表示尾桨伺服输入比例系数；

在悬停状态下，挥舞角和尾桨的模型可以简化成下面的形式，

a=A_bb-A_lonδ_lon,           (9)

b=-B_aa+B_latδ_lat,           (10)

T_T=K_ped0δ_ped.            (11)

其中A_lon、B_lat和K_ped0为简化后常数；

将（9）（10）（11）带入（5），可以得到如下简化的旋翼动力学模型表达式：

τ^I=S^-T(ACδ+B),           (12)

其中δ=[δ_lat δ_lon δ_ped]^T是实际的控制输入，分别表示横向周期变距、纵向周期变距和尾桨总距，常数阵C∈R^3×3定义如下，

$C=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{A_{\mathrm{lon}}}{A_b{B}_a+1}& \frac{A_b{B}_{\mathrm{lat}}}{A_b{B}_a+1}& 0\\ \frac{B_{\mathrm{lat}}}{A_b{B}_a+1}& \frac{B_a{A}_{\mathrm{lon}}}{A_b{B}_a+1}& 0\\ 0& 0& K_{\mathrm{ped}0}\end{array}\right].---\left(13\right)$

二、无人直升机姿态控制

定义η_d=[φ_d θ_d ψ_d]^T∈R³为参考轨迹，其中φ_d、θ_d和ψ_d分别表示滚转角、俯仰角和偏航角参考轨迹，η_d、

则无人直升机的姿态跟踪误差定义为e₁：

e₁=η_d-η.                  (14)

为了方便后续控制器的设计，引入如下滤波误差信号e₂和r：

$e_2={\stackrel{\·}{e}}_1+e_1,---\left(15\right)$

$r={\stackrel{\·}{e}}_2+\mathrm{\α}{e}_2,---\left(16\right)$

其中α∈R^3×3是正定对角常数阵。对（16）求一阶导数，在等式的两边分别左乘惯性矩阵M(η)并带入（1），可以得到如下等式：

$M\left(\mathrm{\η}\right)\stackrel{\·}{r}=-\frac{1}{2}\stackrel{\·}{M}\left(\mathrm{\η}\right)r-e_2+N-S^{-T}\mathrm{AC}\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}},---\left(17\right)$

其中辅助函数N(·)定义为，

$\begin{array}{c}N=M\left(\mathrm{\η}\right)({\stackrel{\·\·\·}{\mathrm{\η}}}_d+{\stackrel{\·\·}{e}}_1+\mathrm{\α}{\stackrel{\·}{e}}_2)+\stackrel{\·}{M}\left(\mathrm{\η}\right)(\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+\frac{1}{2}r)+\\ e_2+\stackrel{\·}{C}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+C\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+\stackrel{\·}{G}-{\stackrel{\·}{S}}^{-T}{S}^T(M\left(\mathrm{\η}\right)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+C\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+G).\end{array}---\left(18\right)$

为简化后续控制设计，引入辅助函数且满足N_d(t)、

在（17）右边加上和减去N_d(t)，得到如下的开环误差系统：

$M\left(\mathrm{\η}\right)\stackrel{\·}{r}=-\frac{1}{2}\stackrel{\·}{M}\left(\mathrm{\η}\right)r-e_2+\tilde{N}+N_d-S^{-T}\mathrm{AC}\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}},---\left(19\right)$

其中

且满足下列不等式（期刊：Automatic Control.IEEE Transactions on；著者：Xian B，Dawson D M，De Queiroz M S.et all；出版年月：2004年；文章题目：A continuous asymptotic tracking control strategy for uncertain nonlinearsystems；页码:1206-1211），

$\left|\right|\tilde{N}\left|\right|\≤\mathrm{\ρ}\left(\right|\left|z\right|\left|\right)\left|\right|z\left|\right|,---\left(20\right)$

其中令ρ:R_≥0→R_≥0并且可逆、非递减，z=[e₁ e₂ r]^T；

根据开环误差系统（19），本发明设计的控制器输入

如下，

$\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}\left(t\right)=C^{-1}{A}^{-1}{S}^T(u+\hat{n}),---\left(21\right)$

其中

是一个神经网络反馈项，用来补偿系统不确定性，u是一个非线性鲁邦反馈项，表达式如下，

u=(K_s+I_3×3)r+βSgn(e₂),                (22)

其中K_s、β∈R^3×3是对角正定矩阵，I_3×3∈R^3×3是单位矩阵，Sgn(·)∈R³定义如下，

Sgn(ξ)=[sgn(ξ₁) sgn(ξ₂) sgn(ξ₃)]^T,     (23)

其中sgn为标准的符号函数。开环误差系统（19）中的未知函数N_d可用一个理想的三层神经网进行逼近，其表达式为（专著：society for Industrial and Applied mathematics；著者：Lewis F L，Campos J，Selmic R；出版年月：1987年；文章题目：Neuro-fuzzy controlof industrial systems with actuator nonlinearities）：

N_d=W^Tσ(V^Tχ)+ε(χ),        (24)

其中是神经网络的有界输入，W∈R^10×3为输出层理想权值，V∈R^10×10为输入层理想权值，σ(·)∈R¹⁰为神经网络激励函数，ε(·)∈R³为估计值与真实值的偏差。而实际的基于神经网络的前馈可设计为（会议：Prof of the17th InternationalFederation of Automatic Control World Congress；著者：Xian B，Cui C J，Huang M，et al.；出版年月：2008年；文章题目：Neural network based ontrol for a class of uncertainrobot manipulator with exteranl disturbance；页码:12769-12775），（期刊：AutomaticControl.IEEE Transactions on；著者：Patre P M，Mackunis W，Kaiser K，et al；出版年月：2008年；文章题目：Asymptotic tracking for uncertain dynamic systems via amultilayer neural network feedforward and RISEfeedback control structure.页码:2180-2185），

$\hat{n}={\hat{W}}^T\mathrm{\σ}\left({\stackrel{\‾}{V}}^T\mathrm{\χ}\right),---\left(25\right)$

其中

是对W的估计，

可选取为一个常数矩阵，并选取神经网络的激励函数为 $\mathrm{\σ}\left(z\right)=\frac{1}{1+\exp \left(z\right)},$

更新律可设计为，

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{W}=-{\mathrm{\φ}}_1\hat{W}+\mathrm{T\σ}\left({\stackrel{\‾}{V}}^T\mathrm{\χ}\right){\mathrm{Sat}}^T(e_1+{\mathrm{\ω}}_1)\\ {\mathrm{\ω}}_1=\frac{1}{{\mathrm{\φ}}_2}(-{\mathrm{\ω}}_2+e_1)\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_2=\frac{1}{{\mathrm{\φ}}_2}(-{\mathrm{\ω}}_2+e_1)\end{array}\right.,---\left(26\right)$

其中ω₁(t)、ω₂(t)∈R³是辅助滤波信号，φ₁，φ₂∈R是正常数，T∈R^10×10是对角正定增益矩阵，Sat(·)∈R³定义如下，

Sat(ξ)=[sat(ξ₁) sat(ξ₂) sat(ξ₃)]^T,       (27)

其中sat(ξ_i)∈R是饱和函数，定义如下 $\mathrm{sat}\left({\mathrm{\ξ}}_i\right)=\left\{\begin{array}{c}-{\mathrm{\ξ}}_{\min }({\mathrm{\ξ}}_i\≤-{\mathrm{\ξ}}_{\min })\\ {\mathrm{\ξ}}_i(-{\mathrm{\ξ}}_{\min }\≤{\mathrm{\ξ}}_i\≤{\mathrm{\ξ}}_{\max }),\\ {\mathrm{\ξ}}_{\max }({\mathrm{\ξ}}_i\≥{\mathrm{\ξ}}_{\max })\end{array}\right.$ ξ_min，ξ_max∈R为正常数。由（26）可知

故有

将(21)(22)(25)带入开环误差系统，即可得到如下闭环系统：

$M\left(\mathrm{\η}\right)\stackrel{\·}{r}=-\frac{1}{2}\stackrel{\·}{M}\left(\mathrm{\η}\right)r-e_2+\tilde{N}+{\tilde{N}}_d-(K_s+I_{3\×3})r-\mathrm{\βSgn}\left(e_2\right),---\left(28\right)$

其中 ${\tilde{N}}_d=N_d-\hat{n},$ 且

${\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{N}}_d\∈L_{\∞}.$

三、本发明的理论支持

在给出稳定性分析结果前，本发明将不加证明的介绍两个引理（期刊：Automatic Control.IEEE Transactions on；著者：Xian B,Dawson D M,de Queiroz M S；出版年月：2004年；文章题目：A continuous asymptotic tracking control strategy for uncertainnonlinear systems.页码:1206–1211）。

引理1：定义辅助函数L(t)∈R如下：

$L=r^T({\tilde{N}}_d-\mathrm{\βSgn}\left(e_1\right)),---\left(29\right)$

其中r^T表示r的转置，控制增益α、β如（16）（22）定义，并满足下面的条件，

${\mathrm{\λ}}_{\min }\left\{\mathrm{\α}\right\}{\mathrm{\λ}}_{\min }\left\{\mathrm{\β}\right\}\≥\left|\right|\mathrm{\α}\left|\right|\left|\right|{\tilde{N}}_d\left(t\right)\left|\right|+\left|\right|{\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{N}}_d\left(t\right)\left|\right|,---\left(30\right)$

那么有下式成立，

${\∫}_0^{t}L\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{d\τ}\≤{\mathrm{\ζ}}_b,---\left(31\right)$

其中正常数ζ_b定义如下，

${\mathrm{\ζ}}_b=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\left({\mathrm{\β}}_i\right|e_{2i}\left(0\right)|-|e_{2i}\left(0\right)\left|{\tilde{N}}_{\mathrm{di}}\left(0\right)\right).---\left(32\right)$

引理2：对于系统f:R^m×R_≥0→R^m，存在解。定义区域D={y∈R^m|||y||<ε}，ε是正常数，令V:D×R_≥0→R^m连续可微，并满足如下条件，

W₁(y)≤V(y,t)≤W₂(y),               (33)

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}(y,t)\&le;-W\left(y\right),---\left(34\right)$

其中

W₁(y)，W₂(y)是连续正定函数，W(y)是一致连续半正定函数。只要成立，且y(0)∈S，则有下式成立，

W(y(t))→0,t→∞,          (35)

其中吸引域S定义如下，

$S=\{y\&Element;D|W_2\left(y\right)\&le;\mathrm{\&delta;}\},\mathrm{\&delta;}<\underset{\left|\right|\mathrm{\&xi;}\left|\right|=\mathrm{\&epsiv;}}{\min }{W}_1\left(y\right),---\left(36\right)$

其中δ是正常数。

本发明的稳定性分析主要结果可由下列定理给出。

定理1:如果控制增益α、β满足（30），并且控制增益K_s足够大，则本发明所设计的控制器输入能够保证闭环系统的信号有界并使得姿态角半全局渐进稳定，即：

e₁(t)→0,当t→∞.

证明：为了分析控制器的稳定性，这里引入一个辅助函数P(t)∈R，

$P\left(t\right)={\mathrm{\&zeta;}}_b-{\&Integral;}_0^{t}L\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}---\left(37\right)$

其中ζ_b和L(t)如引理1定义。有引理1可以知道P(t)≥0。定义如下非负函数V：

$V(y,t)=\frac{1}{2}(e_1^T{e}_1+e_2^T{e}_2)+\frac{1}{2}{r}^{T}M\left(\mathrm{\&eta;}\right)r+P---\left(38\right)$

其中y(t)定义如下，

$y\left(t\right)={\left[z^T\sqrt{P}\right]}^T---\left(39\right)$

其中z如（20）定义。由模型的性质1，对（38）放缩可得：

λ₁||y||²≤V≤λ₂||y||²                   (40)

其中

对（38）求导，带入（15）（16）（28），可得如下等式：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=-e_1^T{e}_1-e_2^T{\mathrm{\&alpha;}}^T{e}_2+e_1^T{e}_2-r^{T}r+r^T\tilde{N}-r^T{K}_{s}r---\left(41\right)$

利用对上式放缩，可得，

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;-{\mathrm{\&lambda;}}_3{\left|\right|z\left|\right|}^2+\left|\right|r\left|\right|\mathrm{\&rho;}\left(\right|\left|z\right|\left|\right)\left|\right|z\left|\right|-{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left\{K_s\right\}{\left|\right|r\left|\right|}^2---\left(42\right)$

利用（20）进一步放缩最终可得，

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;-({\mathrm{\&lambda;}}_3-\frac{{\mathrm{\&rho;}}^2\left(\right|\left|z\right|\left|\right)}{4{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left\{K_s\right\}}){\left|\right|z\left|\right|}^2---\left(43\right)$

其中 ${\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left\{\mathrm{\&alpha;}\right\}>1/2,{\mathrm{\&lambda;}}_3=\min \{1/2,{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\{\mathrm{\&alpha;}\},-1/2\}.$ （43）可以写成如下形式：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;-\mathrm{\&gamma;}{\left|\right|z\left|\right|}^2---\left(44\right)$

其中γ是正常数，且 ${\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left\{K_s\right\}>\frac{1}{4{\mathrm{\&lambda;}}_3}{\mathrm{\&rho;}}^2\left(\right|\left|z\right|\left|\right)$ 或 $\left|\right|z\left|\right|<{\mathrm{\&rho;}}^{-1}\left(2\sqrt{{\mathrm{\&lambda;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left\{K_s\right\}}\right).$

对（40）到（44）应用引理2，可得如下的上下界函数：

W₁(y)=λ||₁y||²,W₂(y)=λ₂||y||²,W(y)=γ||z||²   (45)

由（44）定义区域，

$D=\{y\&Element;R^3\&times;R_{\&GreaterEqual;0}I|\left|y\right||<{\mathrm{\&rho;}}^{-1}\left(2\sqrt{{\mathrm{\&lambda;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left\{K_s\right\}}\right)---\left(46\right)$

由于V(y(t),t)∈L_∞，因此e₁(t),e₂(t),r(t)∈L_∞，所以

可知

则有W(y(t))一致连续。定义如下吸引域S：

$S=\{y\&Element;D|W_2\left(y\right)<{\mathrm{\&lambda;}}_1{\left({\mathrm{\&rho;}}^{-1}\left(2\sqrt{{\mathrm{\&lambda;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left\{K_s\right\}}\right)\right)}^2\}---\left(47\right)$

则有引理2可得，

||z||²→0，当t→∞，y(0)∈S

进一步可得，

e₁(t)→0，当t→∞，y(0)∈S

当控制增益K_s足够大时，吸引域S可以大到包含更多的初始状态，进而得到一个半全局稳定性的结论。经过计算可得K_s满足如下的条件，

$W_2\left(y\left(0\right)\right)<{\mathrm{\&lambda;}}_1{\left({\mathrm{\&rho;}}^{-1}\left(2\sqrt{{\mathrm{\&lambda;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left\{K_s\right\}}\right)\right)}^2\&DoubleRightArrow;\left|\right|y\left(0\right)\left|\right|<\sqrt{\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_1}{{\mathrm{\&lambda;}}_2\left(\right|\left|y\left(0\right)\right|\left|\right)}}{\mathrm{\&rho;}}^{-1}\left(2\sqrt{{\mathrm{\&lambda;}}_3{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left\{K_s\right\}}\right)$ 即

${\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left\{K_s\right\}>\frac{1}{4{\mathrm{\&lambda;}}_3}{\mathrm{\&rho;}}^2\left(\sqrt{\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_2\left(\right|\left|y\left(0\right)\right|\left|\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_1}\left|\right|y\left(0\right)\left|\right|}\right).$

下面结合附图和具体实施方式进一步详细说明本发明。

一、系统硬件连接及配置

为了验证控制算法的实用性，本研究组自主设计了相应的无人直升机硬件在环飞行实验平台。机身本体选用TREX-450小型电动遥控直升机，该小型航模直升机机身长640mm，主桨长度为710mm，飞机总重约638g，有效负载约为500g。机载传感器选用Xsens公司生产的MTI姿态航向参考系统，该传感器最高更新频率为120Hz，提供三轴角速度及三轴姿态角，其中俯仰角和滚转角精度为±0.5°，偏航角精度为±1°。该平台选用PC/104作为上位机主控制器，用于复杂控制算法的计算。其采样频率最高可达100kHZ，足以保证控制系统的实时性。主控制器PC/104主要分为三个模块:数据采集模块，该模块负责惯性导航单元的数据采集与处理；飞行控制模块，该模块负责控制器算法的运行；数据通讯模块，该模块负责主控制器与底层控制器之间的数据传输，如控制量等。

此外，本研究组自主设计开发了基于DSP(型号为TMS320F28335)处理器的底层控制器，该底层控制器控制器配有主控模块、数据采集模块、通讯模块及手自动切换模块。其中，主控模块负责控制算法的运算，数据采集模块负责传感器MTi的数据采集，通讯模块负责DSP与上位机信息交互，手自动切换模块负责接收机PPM信号捕捉和舵机PWM信号输出。

二、硬件在环飞行实验

在设计硬件在环飞行实验时，给定角度初值为η=[0° 0° -100°]^T。其中控制器的主要参数设为:

α=diag{0.9 0.9 0.6}，β=diag{0.12 0.12 0.02}，ξ_min=-100，ξ_max=100

K_s=diag{2.24 2.36 0.5}，φ₁=400，φ₂=100

T=diag{45 45 30 45 45 45 45 39 48 45}。

通过编写的通讯模块下载到PC/104控制器中，进行TREX-450型小型无人直升机实物飞行实验。在实验中，操控人员通过遥控器中的一路切换通道即可完成对手动飞行状态和自动飞行状态的转换。在飞行中，无人直升机仅受平台中球头的约束，使其在俯仰和滚转角度最大达到15°，偏航方向为360°，垂直方向无运动。

从无人直升机硬件在环飞行实验可以看出:在起飞20秒时，操控人员通过切块手动/自动通道完成无人直升机悬停的状态转换。随即俯仰、滚转和偏航方向均在1秒到2秒内达到平衡。达到稳态后，滚转方向控制精度保持在±1°以内，俯仰方向控制精度保持在±1°以内，偏航方向控制精度保持在±2°以内。图2显示的为其中20秒到160秒三个通道姿态角的数据信息。

控制参数在无人直升机姿态控制中的作用分别体现在不同的方面。控制参数K_s用来保证系统的快速性，控制参数α用来保证系统的稳定性并改善动态性能，控制参数β增强了系统的抗扰动能力，控制参数ξ_min、ξ_max、φ₁、φ₂和T是神经网络的结构参数，实现了对系统的有界不确定性的补偿。

三、抗风扰性能对比实验

设计了相应的PID控制器，并且在有侧风的情况下，与本发明提出的基于神经网络前馈的非线性连续鲁棒控制器算法进行硬件在环对比实验。实验中，首先完成在无风的情况下，两种控制器的姿态镇定实验。基于神经网络前馈的非线性连续鲁棒控制器对应的飞行效果如图1-3；PID控制器对应的飞行效果如图4-6。然后加入侧面阵风，达到加入某一方向持续阵风的效果。基于神经网络前馈的非线性连续鲁棒控制器对应的飞行效果如图7-8；PID控制器对应的飞行效果如图9-10。

从抗风对比实验中可以看出，在起初无风状态下，两种控制算法均可以使无人直升机达到镇定效果。其中PID控制器的控制精度为±2°，明显低于基于神经网络前馈的滑模控制算法控制精度。在60秒左右，人为加入侧面阵风干扰，其风速大小为4m/s-6.5m/s。在此阵风的影响下，PID与本发明设计的控制器均可以使得无人直升机保持姿态的相对镇定。其中PID仅仅达到滚转和俯仰角度±5°以内，偏航方向角度为±2°以内。而本发明提出的基于神经网络前馈的滑模控制器可以达到滚转、俯仰和偏航角度±2°以内，其抗风控制效果远远好于PID控制器。

Claims (1)

1.一种神经网络与非线性连续无人直升机姿态控制方法，其特征是，包括如下步骤：

一、小型无人直升机动力学模型分析

首先给出如下的刚体动力学模型：

$M\left(\mathrm{\&eta;}\right)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}+C(\mathrm{\&eta;},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}})\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}+G\left(\mathrm{\&eta;}\right)={\mathrm{\&tau;}}^I,---\left(1\right)$

其中η=[φ θ ψ]^T表示滚转角、俯仰角和偏航角三个欧拉角向量，

和表示η的一阶和二阶导数，M(η)∈R^3×3表示惯性矩阵，

表示科氏力矩阵，G(η)∈R³表示保守力矩阵，τ^I(t)∈R³表示转矩输入向量，R表示实数集,上标T表示转置；

（1）中的刚体动力学模型有如下三个性质

性质1：惯性矩阵M(η)是一个对称正定的矩阵，并满足下面的不等式，

$m_1{\left|\right|\mathrm{\&xi;}\left|\right|}^2\&le;{\mathrm{\&xi;}}^{T}M\left(\mathrm{\&eta;}\right)\mathrm{\&xi;}\&le;m_2{\left|\right|\mathrm{\&xi;}\left|\right|}^2,\&ForAll;\mathrm{\&xi;}\&Element;R^3,---\left(2\right)$

其中m₁和m₂是有界正常数，ξ表示向量；

性质2：（1）式中的科氏力矩阵和保守力矩阵满足下面的不等式，

$\left|\right|C(\mathrm{\&eta;},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}})\left|\right|\&le;{\mathrm{\&sigmav;}}_c\&times;\left|\right|\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}\left|\right|,\left|\right|G\left(\mathrm{\&eta;}\right)\left|\right|\&le;{\mathrm{\&zeta;}}_g,---\left(3\right)$

其中ζ_c和ζ_g是有界正常数；

性质3：科氏力矩阵满足下面的等式关系，

$C(\mathrm{\&eta;},\mathrm{\&xi;})\mathrm{\&upsi;}=C(\mathrm{\&eta;},\mathrm{\&upsi;})\mathrm{\&xi;},\&ForAll;\mathrm{\&xi;},\mathrm{\&upsi;}\&Element;R^3.---\left(4\right)$

其中ξ和υ表示向量。

无人直升机的转矩输入τ^I是通过挥舞角a(t)、b(t)∈R和尾桨推力T_T∈R表示的，因此给出如下的旋翼动力学模型：

τ^I=S^-T(Aυ_c+B),             (5)

其中υ_c=[a b T_T]^T，A∈R^3×3是可逆矩阵，B∈R³是主旋翼推力的分量向量，S表示从体坐标系到惯性坐标系的平移矩阵，其表达式如下：

$S=\left[\begin{array}{ccc}1& \frac{s_{\mathrm{\&phi;}}{s}_{\mathrm{\&theta;}}}{c_{\mathrm{\&theta;}}}& \frac{c_{\mathrm{\&phi;}}{s}_{\mathrm{\&theta;}}}{c_{\mathrm{\&theta;}}}\\ 0& c_{\mathrm{\&phi;}}& -s_{\mathrm{\&phi;}}\\ 0& \frac{s_{\mathrm{\&phi;}}}{c_{\mathrm{\&theta;}}}& \frac{c_{\mathrm{\&phi;}}}{c_{\mathrm{\&theta;}}}\end{array}\right].---\left(6\right)$

其中，s_φ表示sinφ，s_θ表示sinθ，c_φ表示cosφ，c_θ表示cosθ；

挥舞角和尾桨的动力学模型如下所示：

$\stackrel{\&CenterDot;}{a}=-\frac{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mr}}+K_{\mathrm{sb}}{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{sb}}}{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mr}}+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{sb}}}q-\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mr}}+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{sb}}}a+\frac{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mr}}{A}_b}{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mr}}+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{sb}}}b+\frac{A_{\mathrm{lon}}+K_{\mathrm{sb}}{C}_{\mathrm{lon}}}{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mr}}+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{sb}}}{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{lon}},---\left(6\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{b}=-\frac{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mr}}+K_{\mathrm{sb}}{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{sb}}}{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mr}}+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{sb}}}p+\frac{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mr}}{B}_a}{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mr}}+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{sb}}}a-\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mr}}+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{sb}}}b+\frac{B_{\mathrm{lat}}+K_{\mathrm{sb}}{D}_{\mathrm{lat}}}{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mr}}+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{sb}}}{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{lat}},---\left(7\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{T}}_T=B_{\mathrm{ped}}+K_{\mathrm{ped}}{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{ped}},---\left(8\right)$ 其中a表示螺旋桨纵向挥舞角，

表示a的一阶导数，b表示螺旋桨横向挥舞角，

表示b的一阶导数，T_T表示尾桨推力，表示T_T的一阶导数，p表示俯仰角速度，

表示p的一阶导数，q表示滚转角速度，

表示q的一阶导数，δ_lon表示控制输入纵向周期变矩，δ_lat表示控制输入横向周期变矩，δ_ped表示控制输入尾桨矩，τ_mr表示主旋翼挥舞时间常数，τ_sb表示副翼挥舞时间常数，A_b表示主旋翼纵向伺服输入比例系数，B_a表示主旋翼横向伺服输入比例系数，C_lon表示副翼纵向伺服输入比例系数，D_lat表示副翼横向伺服输入比例系数，K_sb表示主旋翼与副翼伺服输入比值，B_ped表示尾桨输入常数，K_ped表示尾桨伺服输入比例系数；

在悬停状态下，挥舞角和尾桨的模型可以简化成下面的形式，

a=A_bb-A_lonδ_lon,                    (9)

b=-B_aa+B_latδ_lat,                   (10)

T_T=K_ped0δ_ped.                  (11)

其中A_lon、B_lat和K_ped0为简化后常数；

将（9）（10）（11）带入（5），可以得到如下简化的旋翼动力学模型表达式：

τ^I=S^-T(ACδ+B),                    (12)

其中δ=[δ_lat δ_lon δ_ped]^T是实际的控制输入，分别表示横向周期变距、纵向周期变距和尾桨总距，常数阵C∈R^3×3定义如下，

$C=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{A_{\mathrm{lon}}}{A_b{B}_a+1}& \frac{A_b{B}_{\mathrm{lat}}}{A_b{B}_a+1}& 0\\ \frac{B_{\mathrm{lat}}}{A_b{B}_a+1}& \frac{B_a{A}_{\mathrm{lon}}}{A_b{B}_a+1}& 0\\ 0& 0& K_{\mathrm{ped}0}\end{array}\right].---\left(13\right)$

二、无人直升机姿态控制

定义η_d=[φ_d θ_d ψ_d]^T∈R³为参考轨迹，其中φ_d、θ_d和ψ_d分别表示滚转角、俯仰角和偏航角参考轨迹，η_d、

则无人直升机的姿态跟踪误差定义为e₁：

e₁=η_d-η.                             (14)

为了方便后续控制器的设计，引入如下滤波误差信号e₂和r：

$e_2={\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1+e_1,---\left(15\right)$

$r={\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2+\mathrm{\&alpha;}{e}_2,---\left(16\right)$

其中α∈R^3×3是正定对角常数阵。对（16）求一阶导数，在等式的两边分别左乘惯性矩阵M(η)并带入（1），得到如下等式：

$M\left(\mathrm{\&eta;}\right)\stackrel{\&CenterDot;}{r}=-\frac{1}{2}\stackrel{\&CenterDot;}{M}\left(\mathrm{\&eta;}\right)r-e_2+N-S^{-T}\mathrm{AC}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}},---\left(17\right)$

其中辅助函数N(·)定义为，

$\begin{array}{c}N=M\left(\mathrm{\&eta;}\right)({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_d+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}}_1+\mathrm{\&alpha;}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2)+\stackrel{\&CenterDot;}{M}\left(\mathrm{\&eta;}\right)(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}+\frac{1}{2}r)+\\ e_2+\stackrel{\&CenterDot;}{C}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}+C\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}+\stackrel{\&CenterDot;}{G}-{\stackrel{\&CenterDot;}{S}}^{-T}{S}^T(M\left(\mathrm{\&eta;}\right)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}+C\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}+G).\end{array}---\left(18\right)$

为简化后续控制设计，引入辅助函数

且满足N_d(t)、

在（17）右边加上和减去N_d(t)，得到如下的开环误差系统：

$M\left(\mathrm{\&eta;}\right)\stackrel{\&CenterDot;}{r}=-\frac{1}{2}\stackrel{\&CenterDot;}{M}\left(\mathrm{\&eta;}\right)r-e_2+\tilde{N}+N_d-S^{-T}\mathrm{AC}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}},---\left(19\right)$

其中且满足下列不等式，

$\left|\right|\tilde{N}\left|\right|\&le;\mathrm{\&rho;}\left(\right|\left|z\right|\left|\right)\left|\right|z\left|\right|,---\left(20\right)$

其中令ρ:R_≥0→R_≥0并且可逆、非递减，z=[e₁ e₂ r]^T；

根据开环误差系统（19），控制器输入

如下，

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}\left(t\right)=C^{-1}{A}^{-1}{S}^T(u+\hat{n}),---\left(21\right)$

其中

是一个神经网络反馈项，用来补偿系统不确定性，u是一个非线性鲁邦反馈项，表达式如下，

u=(K_s+I_3×3)r+βSgn(e₂),             (22)

其中K_s、β∈R^3×3是对角正定矩阵，I_3×3∈R^3×3是单位矩阵，Sgn(·)∈R³定义如下，

Sgn(ξ)=[sgn(ξ₁) sgn(ξ₂) sgn(ξ₃)]^T,       (23)

其中sgn为标准的符号函数，开环误差系统（19）中的未知函数N_d可用一个理想的三层神经网进行逼近，其表达式为：

N_d=W^Tσ(V^Tχ)+ε(χ),               (24)

其中

是神经网络的有界输入，W∈R^10×3为输出层理想权值，V∈R^10×10为输入层理想权值，σ(·)∈R¹⁰为神经网络激励函数，ε(·)∈R³为估计值与真实值的偏差，而实际的基于神经网络的前馈设计为，

$\hat{n}={\hat{W}}^T\mathrm{\&sigma;}\left({\stackrel{\&OverBar;}{V}}^T\mathrm{\&chi;}\right),---\left(25\right)$

其中

是对W的估计，

可选取为一个常数矩阵，并选取神经网络的激励函数为 $\mathrm{\&sigma;}\left(z\right)=\frac{1}{1+\exp \left(z\right)},$

更新律可设计为，

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{^}}{W}=-{\mathrm{\&phi;}}_1\hat{W}+\mathrm{T\&sigma;}\left({\stackrel{\&OverBar;}{V}}^T\mathrm{\&chi;}\right){\mathrm{Sat}}^T(e_1+{\mathrm{\&omega;}}_1)\\ {\mathrm{\&omega;}}_1=\frac{1}{{\mathrm{\&phi;}}_2}(-{\mathrm{\&omega;}}_2+e_1)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_2=\frac{1}{{\mathrm{\&phi;}}_2}(-{\mathrm{\&omega;}}_2+e_1)\end{array}\right.,---\left(26\right)$

其中ω₁(t)、ω₂(t)∈R³是辅助滤波信号，φ₁，φ₂∈R是正常数，T∈R^10×10是对角正定增益矩阵，Sat(·)∈R³定义如下，

Sat(ξ)=[sat(ξ₁) sat(ξ₂) sat(ξ₃)]^T,      (27)

其中sat(ξ_i)∈R是饱和函数，定义如下 $\mathrm{sat}\left({\mathrm{\&xi;}}_i\right)=\left\{\begin{array}{c}-{\mathrm{\&xi;}}_{\min }({\mathrm{\&xi;}}_i\&le;-{\mathrm{\&xi;}}_{\min })\\ {\mathrm{\&xi;}}_i(-{\mathrm{\&xi;}}_{\min }\&le;{\mathrm{\&xi;}}_i\&le;{\mathrm{\&xi;}}_{\max }),\\ {\mathrm{\&xi;}}_{\max }({\mathrm{\&xi;}}_i\&GreaterEqual;{\mathrm{\&xi;}}_{\max })\end{array}\right.$ ξ_min，ξ_max∈R为正常数；由（26）可知

故有

将(21)(22)(25)带入开环误差系统，即可得到如下闭环系统：

$M\left(\mathrm{\&eta;}\right)\stackrel{\&CenterDot;}{r}=-\frac{1}{2}\stackrel{\&CenterDot;}{M}\left(\mathrm{\&eta;}\right)r-e_2+\tilde{N}+{\tilde{N}}_d-(K_s+I_{3\&times;3})r-\mathrm{\&beta;Sgn}\left(e_2\right),---\left(28\right)$

其中 ${\tilde{N}}_d=N_d-\hat{n},$ 且

${\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{~}}{N}}_d\&Element;L_{\&infin;}.$

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