CN107368089A - 一种基于双指数型函数的四旋翼飞行器非线性滑模位姿控制方法 - Google Patents
一种基于双指数型函数的四旋翼飞行器非线性滑模位姿控制方法 Download PDFInfo
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Abstract
一种基于双指数型函数的四旋翼飞行器非线性滑模位姿控制方法，针对含有动态执行机构的四旋翼无人机系统，利用非线性滑模控制方法，设计一种四旋翼无人机系统非线性滑模位姿控制方法。滑模面的设计是为了保证系统的快速稳定收敛。另外，采用非线性函数设计滑模面可以提高系统的鲁棒性以及跟踪精度。本发明提供一种基于双指数型函数的四旋翼飞行器非线性滑模位姿控制方法，实现系统的快速稳定控制。
Description
技术领域
本发明涉及一种基于双指数型函数的四旋翼飞行器非线性滑模位姿控制方法，以满足四旋翼无人机对参考输入快速准确跟踪的性能要求。
背景技术
无人机(Unmanned Aerial Vehicle,UAV)是通过远程遥控或基于无人机自身传感器实现自主飞行的飞行器。随着其技术的不断成熟,已被应用于民用、军用的很多领域。无人机可以分为固定翼和旋翼两种,固定翼无人机的优点是能量效率高，因此飞行距离和时间都较长，小型滑翔机在风速不大时也比较容易控制，但是它们被设计为无人形式时，操作性较差。相比而言，旋翼无人机则具有很强的可操作性，且机动性强，能够很方便地完成起飞与降落等动作，对工作环境的要求也比较低。四旋翼无人机作为旋翼式无人机的一种,以其体积小、机动性能好、设计简单、制造成本低廉等优点,吸引了国内外大学、研究机构、公司的广泛关注。旋翼无人机非常适合用于监视、侦察等民用和军用领域。在民用领域,旋翼无人机主要被应用于抗灾救险、地面监测、高空航拍等；由于其隐蔽性髙,可靠性好,也被用于战场监控、军事侦察等军用领域。在国外无人机研究也是一大热点，其中美国航空航天局(NASA)已经研制出了十旋翼的无人驾驶飞机用于战略探测及科学研究，还开发出了可使大型无人机与有人驾驶航空器一同在国家空域内安全飞行的技术；在国内无人机研究也受到高度重视，在“十三五”规划的第五部分高端装备，第18条内容中提到：推进干支线飞机、直升机、通用飞机和无人机产业化。因此对无人机的研究具有极高的战略、科研及商业价值。
滑模控制在解决系统不确定性和外部扰动方面被认为是一个有效的鲁棒控制方法。滑模控制方法具有算法简单、响应速度快、对外界噪声干扰和参数摄动鲁棒性强等优点。因此，滑模控制方法被广泛应用于各个领域。对比传统线性滑模控制,非线性滑模控制的优越性在于他在满足快速跟踪的性能要求的同时兼具有更高的同步控制精度，系统的鲁棒性也较高。所以利用非线性滑模来控制四旋翼无人机系统，具有重要的理论和实际意义。
发明内容
为了满足四旋翼无人机对参考输入快速跟踪的性能要求，同时兼具更高的同步控制精度，使系统具有更高的鲁棒性，本发明提供一种基于双指数型函数的四旋翼飞行器非线性滑模位姿控制方法，增强了系统的鲁棒性能以及同步控制精度，且保证系统快速稳定收敛。
为了解决上述技术问题提出的技术方案如下：
一种基于双指数型函数的四旋翼飞行器非线性滑模位姿控制方法，包括以下步骤：
步骤1，建立四旋翼无人机系统的动态模型，初始化系统状态、采样时间以及控制参数，过程如下：
1.1四旋翼无人机系统的动力学模型表达形式为：
其中，x、y、z分别表示无人机在惯性坐标系下三个坐标轴的位置，m表示无人机的质量，F表示作用在无人机上的合外力，包括无人机所受重力mg和四个旋翼产生的合力UF，T是从机体坐标系到惯性坐标系的转移矩阵，表达形式为：
T＝[T1 T2 T3] (2)
1.2无人机转动过程中的力矩平衡方程为：
其中τx、τy、τz分别代表机体坐标系上的各轴力矩分量，Ιxx、Ιyy、Ιzz分别代表机体坐标系上的各轴转动惯量分量，×表示叉乘，l、m、n分别代表机体坐标系上的各轴姿态角速度分量，分别代表机体坐标系上的各轴姿态角加速度分量；
考虑到无人机一般处于低速飞行或者悬停状态下，姿态角变化较小可设定由于存在测量噪声，电源变化以及外部干扰的影响，式(1)和式(3)中的系统参数和状态并不能准确的获得，因此联立式(1)～(3)，无人机的动力学模型表达为:
其中 分别代表模型不确定和外部干扰项；
1.3根据式(4)，可以对位置姿态关系进行解耦计算，结果如下：
其中，arcsin为反正弦函数，arctan为反正切函数；分别是θ1，θ2，θ3的期望值；
经解耦计算后，位置与姿态角分别独立，分为两个子系统分别设计位置控制器和姿态角控制器，为控制策略提供了清晰的思路；
考虑到位置和姿态角方程都属于二阶多输入多输出非线性系统，且姿态角方程更为复杂，因此为了便于控制器的设计与阐述，式(4)表示为以下形式：
其中，
X1＝[x y z θ1 θ2 θ3]T,B(X)＝[11 1 b1 b2 b3]T,U＝[Ux Uy Uz τx τy τz]T,根据飞行器的模型对应的A11＝06*6，A12＝I6*6，
即式(6)等价于
步骤2，基于带有未知参数的四旋翼无人机系统，设计所需的滑模面，过程如下：
定义系统状态跟踪误差为：
e＝Xd-X(8)
其中表示为可导期望信号，表示为可导实际信号，那么式(8)的一阶微分和二阶微分表示为：
定义非线性滑模面为：
其中，F选取的是使(A11-A12 TF)有稳定的特征值和阻尼较小的极点的常数；Ψ(y)是依赖输出变化的非线性函数，用来改变系统的阻尼，它的取值范围为[-β，0]，其中β为正常数，因此，其中Ψ(y)取为以下双指数形式：
y0是初始输出状态，r是期望输出状态，P为正定阵并满足：
P(A11-A12 TF)T+(A11-A12 TF)P＝-W (13)
其中W是正定阵；
当滑模面s＝0时，根据式(11)得到：
联立式(7a)和式(14)结合滑模面模型写出以下系统：
为了证明滑模面的稳定性，需要证明式(15)的稳定性，对式(15)设计李雅普诺夫函数：
定义则
因为Ψ(y)<0，所以
因为W>0，则得到所以式(15)表示的系统是稳定的；
步骤3，基于四旋翼无人机系统，根据滑模控制理论和非线性双指数型函数，设计非线性滑模控制器，过程如下：
3.1考虑式(7),非线性滑模控制器被设计为：
K为一正常数，决定滑模面的收敛速度
3.2设计李雅普诺夫函数：
对式(11)进行求导得：
对式(21)进行求导并将式(22)代入得到：
根据式(8)知
其中因为设置期望值为常数所以其导数为零；所以
将式(20)代入式(25)得到
则判定系统是稳定的。
本发明基于非线性函数和滑模控制，设计一种基于双指数型函数的四旋翼飞行器非线性滑模位姿控制方法，实现系统稳定控制，增强滑模控制的精度，保证系统快速稳定收敛。
本发明的技术构思为：针对含有动态执行机构的四旋翼无人机系统，利用非线性滑模控制方法，设计一种基于双指数型函数的四旋翼飞行器非线性滑模位姿控制方法。滑模面的设计是为了保证系统的快速稳定收敛。另外，采用非线性函数设计滑模面可以提高系统的鲁棒性以及跟踪精度。本发明提供一种基于双指数型函数的四旋翼飞行器非线性滑模位姿控制方法，实现系统的快速稳定控制。
本发明的优点为：满足快速跟踪的性能要求的同时兼具有更高的同步控制精度，系统的鲁棒性也较高，补偿系统未动态参数以及内外部不确定扰动项，实现快速稳定收敛。
附图说明
图1为本发明位置滑模面k1＝1，姿态角滑模面k2＝10时的位置跟踪效果示意图，x表示x轴的位置，y表示y轴的位置，z表示z轴的位置，其中，(a)表示线性滑模面，(b)表示非线性滑模面；
图2为本发明位置滑模面k1＝1，姿态角滑模面k2＝10时的翻滚角、俯仰角和偏航角三个姿态角跟踪效果示意图，其中，(a)表示线性滑模面，(b)表示非线性滑模面；
图3为本发明位置滑模面k1＝1，姿态角滑模面k2＝10时的力矩跟踪示意图，τx表示x轴的力矩，τy表示y轴的力矩,τz表示z轴的力矩，其中，(a)表示线性滑模面，(b)表示非线性滑模面；
图4为本发明位置滑模面k1＝1，姿态角滑模面k2＝10时的控制器输入示意图，x表示控制器在x轴的输入，y表示控制器在y轴的输入，z控制器在z轴的输入，其中，(a)表示线性滑模面，(b)表示非线性滑模面；
图5为本发明的控制流程示意图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明做进一步说明。
参照图1-图5，一种基于双指数型函数的四旋翼飞行器非线性滑模位姿控制方法，包括以下步骤：
步骤1，建立四旋翼无人机系统的动态模型，初始化系统状态、采样时间以及控制参数，过程如下：
1.1四旋翼无人机系统的动力学模型表达形式为：
其中，x、y、z分别表示无人机在惯性坐标系下三个坐标轴的位置，m表示无人机的质量，F表示作用在无人机上的合外力，包括无人机所受重力mg和四个旋翼产生的合力UF，T是从机体坐标系到惯性坐标系的转移矩阵，表达形式为：
T＝[T1 T2 T3] (2)
1.2无人机转动过程中的力矩平衡方程为：
其中τx、τy、τz分别代表机体坐标系上的各轴力矩分量，Ιxx、Ιyy、Ιzz分别代表机体坐标系上的各轴转动惯量分量，×表示叉乘，l、m、n分别代表机体坐标系上的各轴姿态角速度分量，分别代表机体坐标系上的各轴姿态角加速度分量；
考虑到无人机一般处于低速飞行或者悬停状态下，姿态角变化较小可设定由于存在测量噪声，电源变化以及外部干扰的影响，式(1)和式(3)中的系统参数和状态并不能准确的获得，因此联立式(1)～(3)，无人机的动力学模型表达为:
其中 分别代表模型不确定和外部干扰项；
1.3根据式(4)，对位置姿态关系进行解耦计算，结果如下：
其中，arcsin为反正弦函数，arctan为反正切函数；分别是θ1，θ2，θ3的期望值；
经解耦计算后，位置与姿态角分别独立，分为两个子系统分别设计位置控制器和姿态角控制器，为控制策略提供了清晰的思路；
考虑到位置和姿态角方程都属于二阶多输入多输出非线性系统，且姿态角方程更为复杂，因此为了便于控制器的设计与阐述，式(4)表示为以下形式：
其中，
X1＝[x y z θ1 θ2 θ3]T,B(X)＝[11 1 b1 b2 b3]T,U＝[Ux Uy Uz τx τy τz]T,根据飞行器的模型对应的A11＝06*6，A12＝I6*6，
即式(6)等价于
步骤2，基于带有未知参数的四旋翼无人机系统，设计所需的滑模面，过程如下：
定义系统状态跟踪误差为：
e＝Xd-X (8)
其中表示为可导期望信号，表示为可导实际信号，那么式(8)的一阶微分和二阶微分表示为：
定义非线性滑模面为：
其中，F选取的是使(A11-A12 TF)有稳定的特征值和阻尼较小的极点的常数；Ψ(y)是依赖输出变化的非线性函数，用来改变系统的阻尼，它的取值范围为[-β，0]，其中β为正常数，因此，其中Ψ(y)取为以下双指数形式：
y0是初始输出状态，r是期望输出状态，P为正定阵并满足：
P(A11-A12 TF)T+(A11-A12 TF)P＝-W (13)
其中W是正定阵；
当滑模面s＝0时，根据式(11)得到：
联立式(7a)和式(14)结合滑模面模型写出以下系统：
为了证明滑模面的稳定性，需要证明式(15)的稳定性，对式(15)设计李雅普诺夫函数：
定义则
因为Ψ(y)<0，所以
因为W>0，则得到所以式(15)表示的系统是稳定的；
步骤3，基于四旋翼无人机系统，根据滑模控制理论和非线性双指数型函数，设计非线性滑模控制器，过程如下：
3.1考虑式(7),非线性滑模控制器被设计为：
K为一正常数，决定滑模面的收敛速度
3.2设计李雅普诺夫函数：
对式(11)进行求导得：
对式(21)进行求导并将式(22)代入得到：
根据式(8)知
其中因为设置期望值为常数所以其导数为零；所以
将式(20)代入式(25)得到
则判定系统是稳定的。
为验证所提方法的有效性，本发明给出了线性滑模面(Linear sliding surface,LSS)控制方法和非线性滑模面(Non-linear sliding surface,NLSS)控制方法的对比：
为了更有效的进行对比，系统所有参数都是一致的，表1给出了系统模型参数(式(3)-(5)中的参数设置)，同时系统初始状态均设为0，位置参考值给定为xd＝2m，yd＝2m，zd＝2m；偏航角参考值给定为θ3d＝0.5rad。非线性函数参数β＝2，P＝1，F＝1。在位置滑模面中k1＝1，在姿态滑模面中k2＝10。
表1
在相同参数控制相等情况下对两种控制方法进行对比，我们可以发现两种方法都可以保证系统收敛，且具有一定的控制精度，但NLSS方法相比LSS方法具有更好的快速性，在位置和姿态角的控制上都能更快地控制到达期望值，保证了系统的快速稳定收敛。
综上所述，对比LSS方法，NLSS方法具有更好的位置跟踪精度，且控制器幅值更小。
以上阐述的是本发明给出的一个实施例表现出的优良优化效果，显然本发明不只是限于上述实施例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。
Claims (1)
1.一种基于双指数型函数的四旋翼飞行器非线性滑模位姿控制方法，其特征在于：包括以下步骤：
步骤1，建立四旋翼无人机系统的动态模型，初始化系统状态、采样时间以及控制参数，过程如下：
1.1四旋翼无人机系统的动力学模型表达形式为：
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其中，x、y、z分别表示无人机在惯性坐标系下三个坐标轴的位置，m表示无人机的质量，F表示作用在无人机上的合外力，包括无人机所受重力mg和四个旋翼产生的合力UF，T是从机体坐标系到惯性坐标系的转移矩阵，表达形式为：
T＝[T1 T2 T3] (2)
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<mi>x</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<msub>
<mi>I</mi>
<mrow>
<mi>y</mi>
<mi>y</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<msub>
<mi>I</mi>
<mrow>
<mi>z</mi>
<mi>z</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mover>
<mi>l</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mover>
<mi>m</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mover>
<mi>n</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>+</mo>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mi>l</mi>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mi>m</mi>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mi>n</mi>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>&times;</mo>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>I</mi>
<mrow>
<mi>x</mi>
<mi>x</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<msub>
<mi>I</mi>
<mrow>
<mi>y</mi>
<mi>y</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<msub>
<mi>I</mi>
<mrow>
<mi>z</mi>
<mi>z</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mi>l</mi>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mi>m</mi>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mi>n</mi>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>3</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，τx、τy、τz分别代表机体坐标系上的各轴力矩分量，Ιxx、Ιyy、Ιzz分别代表机体坐标系上的各轴转动惯量分量，×表示叉乘，l、m、n分别代表机体坐标系上的各轴姿态角速度分量，分别代表机体坐标系上的各轴姿态角加速度分量；
设定联立式(1)～(3)，无人机的动力学模型表达为:
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>U</mi>
<mi>x</mi>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mover>
<mi>y</mi>
<mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>U</mi>
<mi>y</mi>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mover>
<mi>z</mi>
<mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>U</mi>
<mi>z</mi>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>a</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mover>
<mi>&Psi;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>b</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mi>&tau;</mi>
<mi>x</mi>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>a</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mover>
<mi>&Psi;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>b</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<msub>
<mi>&tau;</mi>
<mi>y</mi>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>a</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mover>
<mi>&Psi;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>b</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<msub>
<mi>&tau;</mi>
<mi>z</mi>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>4</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中 分别代表模型不确定和外部干扰项；
1.3根据式(4)，对位置姿态关系进行解耦计算，结果如下：
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>U</mi>
<mi>F</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<mi>m</mi>
<msqrt>
<mrow>
<msubsup>
<mi>U</mi>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>+</mo>
<msubsup>
<mi>U</mi>
<mi>y</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>+</mo>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>U</mi>
<mi>z</mi>
</msub>
<mo>+</mo>
<mi>g</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<msub>
<mn>1</mn>
<mi>d</mi>
</msub>
</msub>
<mo>=</mo>
<mi>arcsin</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<mi>m</mi>
<msub>
<mi>U</mi>
<mi>F</mi>
</msub>
</mfrac>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>U</mi>
<mi>x</mi>
</msub>
<msub>
<mi>sin&theta;</mi>
<msub>
<mn>3</mn>
<mi>d</mi>
</msub>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>U</mi>
<mi>y</mi>
</msub>
<msub>
<mi>cos&theta;</mi>
<msub>
<mn>3</mn>
<mi>d</mi>
</msub>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<msub>
<mn>2</mn>
<mi>d</mi>
</msub>
</msub>
<mo>=</mo>
<mi>arctan</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow>
<msub>
<mi>U</mi>
<mi>z</mi>
</msub>
<mo>+</mo>
<mi>g</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>U</mi>
<mi>x</mi>
</msub>
<msub>
<mi>cos&theta;</mi>
<msub>
<mn>3</mn>
<mi>d</mi>
</msub>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>U</mi>
<mi>y</mi>
</msub>
<msub>
<mi>sin&theta;</mi>
<msub>
<mn>3</mn>
<mi>d</mi>
</msub>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>5</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中arcsin为反正弦函数，arctan为反正切函数；分别是θ1，θ2，θ3的期望值；
经解耦计算后，位置与姿态角分别独立，分为两个子系统分别设计位置控制器和姿态角控制器；
式(4)表示为以下形式：
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>X</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>A</mi>
<mn>11</mn>
</msub>
<msub>
<mi>X</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>A</mi>
<mn>12</mn>
</msub>
<msub>
<mi>X</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>X</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>A</mi>
<mn>21</mn>
</msub>
<msub>
<mi>X</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>A</mi>
<mn>22</mn>
</msub>
<msub>
<mi>X</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<mi>B</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>X</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>U</mi>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>Y</mi>
<mo>=</mo>
<mi>X</mi>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>6</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，
X1＝[x y z θ1 θ2 θ3]T,
<mrow>
<mi>f</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>X</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<msup>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>a</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<msub>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>3</mn>
</msub>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>a</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<msub>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>3</mn>
</msub>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>a</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<msub>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mi>T</mi>
</msup>
<mo>,</mo>
</mrow>
B(X)＝[1 1 1 b1 b2 b3]T,U＝[Ux Uy Uz τx τy τz]T,根据飞行器的模型对应的A11＝06*6，A12＝I6*6，A21＝06*6,
即式(6)等价于
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>X</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>X</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>7</mn>
<mi>a</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>X</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mi>B</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>X</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>U</mi>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>7</mn>
<mi>b</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>Y</mi>
<mo>=</mo>
<mi>X</mi>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>7</mn>
<mi>c</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
步骤2，基于带有未知参数的四旋翼无人机系统，设计所需的滑模面，过程如下：
定义系统状态跟踪误差为：
e＝Xd-X (8)
其中表示为可导期望信号，表示为可导实际信号，那么式(8)的一阶微分和二阶微分可以表示为：
<mrow>
<mover>
<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<msub>
<mover>
<mi>X</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mi>d</mi>
</msub>
<mo>-</mo>
<mover>
<mi>X</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>9</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mrow>
<mover>
<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<msub>
<mover>
<mi>X</mi>
<mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo>
</mover>
<mi>d</mi>
</msub>
<mo>-</mo>
<mover>
<mi>X</mi>
<mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>10</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
2
定义非线性滑模面为：
<mrow>
<mi>s</mi>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>C</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>e</mi>
<mo>=</mo>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>F</mi>
<mo>-</mo>
<mi>&Psi;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>y</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msup>
<msub>
<mi>A</mi>
<mn>12</mn>
</msub>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>P</mi>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mn>1</mn>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>e</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>e</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>11</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，F选取的是使(A11-A12 TF)有稳定的特征值和阻尼较小的极点的常数；Ψ(y)是依赖输出变化的非线性函数，用来改变系统的阻尼，它的取值范围为[-β，0]，其中β为正常数，因此，其中Ψ(y)取为以下双指数形式：
<mrow>
<mi>&Psi;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>y</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<mi>&beta;</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow>
<mo>-</mo>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>-</mo>
<mo>(</mo>
<mi>y</mi>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>y</mi>
<mn>0</mn>
</msub>
<mo>)</mo>
<mo>/</mo>
<mo>(</mo>
<mi>r</mi>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>y</mi>
<mn>0</mn>
</msub>
<mo>)</mo>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</msup>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>12</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
y0是初始输出状态，r是期望输出状态，P为正定阵并满足：
P(A11-A12 TF)T+(A11-A12 TF)P＝-W (13)
其中W是正定阵；
当滑模面s＝0时，根据式(11)得到：
<mrow>
<msub>
<mi>e</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>Fe</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<mi>&Psi;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>y</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msubsup>
<mi>A</mi>
<mn>12</mn>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<msub>
<mi>Pe</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>14</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
联立式(7a)和式(14)结合滑模面模型写出以下系统：
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>X</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mover>
<mi>X</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mi>d</mi>
</mrow>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>=</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>e</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>X</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>d</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<msub>
<mover>
<mi>X</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mi>d</mi>
</mrow>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>Fe</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<mi>&Psi;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>y</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msubsup>
<mi>A</mi>
<mn>12</mn>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<msub>
<mi>Pe</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>X</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>d</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mover>
<mi>X</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mi>d</mi>
</mrow>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>15</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
对式(15)设计李雅普诺夫函数：
<mrow>
<mi>V</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>e</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mi>e</mi>
<mn>1</mn>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<msub>
<mi>Pe</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>16</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mover>
<mi>V</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
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<mo>=</mo>
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<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
<mi>T</mi>
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<mi>Pe</mi>
<mn>1</mn>
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<mo>+</mo>
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<mi>e</mi>
<mn>1</mn>
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<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
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</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>=</mo>
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<mi>e</mi>
<mn>1</mn>
<mi>T</mi>
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<msup>
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<mo>(</mo>
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<mi>A</mi>
<mn>11</mn>
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<mi>A</mi>
<mn>12</mn>
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<mi>Pe</mi>
<mn>1</mn>
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<mo>+</mo>
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<mi>e</mi>
<mn>1</mn>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<mi>P</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
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<mi>A</mi>
<mn>11</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
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<mi>A</mi>
<mn>12</mn>
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<mi>F</mi>
<mo>)</mo>
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<mn>1</mn>
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<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
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<mi>e</mi>
<mn>1</mn>
<mi>T</mi>
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<mn>12</mn>
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<mo>(</mo>
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</mrow>
<msubsup>
<mi>A</mi>
<mn>12</mn>
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<mi>Pe</mi>
<mn>1</mn>
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</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>=</mo>
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<mi>e</mi>
<mn>1</mn>
<mi>T</mi>
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<mo>{</mo>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>A</mi>
<mn>11</mn>
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<mo>-</mo>
<msub>
<mi>A</mi>
<mn>12</mn>
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<mi>F</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>P</mi>
<mo>+</mo>
<mi>P</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>A</mi>
<mn>11</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>A</mi>
<mn>12</mn>
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<mi>F</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
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<mn>12</mn>
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<mrow>
<mo>(</mo>
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</mrow>
<msubsup>
<mi>A</mi>
<mn>12</mn>
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<mi>P</mi>
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<mn>1</mn>
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<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mi>e</mi>
<mn>1</mn>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<mo>{</mo>
<mo>-</mo>
<mi>W</mi>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
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<mi>PA</mi>
<mn>12</mn>
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<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>y</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msubsup>
<mi>A</mi>
<mn>12</mn>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<mi>P</mi>
<mo>}</mo>
<msub>
<mi>e</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>17</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
定义则
<mrow>
<mover>
<mi>V</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>e</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
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<mn>1</mn>
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<msub>
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<mn>1</mn>
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<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<mi>M</mi>
<mi>&Psi;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>y</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msup>
<mi>M</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>18</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
因为Ψ(y)<0，所以
<mrow>
<mover>
<mi>V</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mo>(</mo>
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<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&le;</mo>
<mo>-</mo>
<msubsup>
<mi>e</mi>
<mn>1</mn>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<msub>
<mi>We</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>19</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
因为W>0，则得到所以式(15)表示的系统是稳定的；
步骤3，基于四旋翼无人机系统，根据滑模控制理论和非线性双指数型函数，设计非线性滑模控制器，过程如下：
3.1考虑式(7),非线性滑模控制器被设计为：
<mrow>
<mi>u</mi>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<mi>B</mi>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>X</mi>
<mo>)</mo>
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<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>K</mi>
<mi>s</mi>
<mo>+</mo>
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<mn>2</mn>
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<mo>-</mo>
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<mi>A</mi>
<mn>12</mn>
<mi>T</mi>
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<msub>
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<mn>2</mn>
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<mo>-</mo>
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<mi>&Psi;</mi>
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<mi>y</mi>
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</mrow>
</mrow>
<mrow>
<mi>d</mi>
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</mrow>
</mfrac>
<msubsup>
<mi>A</mi>
<mn>12</mn>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<msub>
<mi>Pe</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>20</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
K为一正常数，决定滑模面的收敛速度
3.2设计李雅普诺夫函数：
<mrow>
<mi>V</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<msup>
<mi>s</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>s</mi>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>21</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
对式(11)进行求导得：
<mrow>
<mover>
<mi>s</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<mi>F</mi>
<msub>
<mover>
<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
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<mrow>
<mi>d</mi>
<mi>&Psi;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>y</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mrow>
<mi>d</mi>
<mi>t</mi>
</mrow>
</mfrac>
<msup>
<msub>
<mi>A</mi>
<mn>12</mn>
</msub>
<mi>T</mi>
</msup>
<msub>
<mi>Pe</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mi>&Psi;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>y</mi>
<mo>)</mo>
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<msup>
<msub>
<mi>A</mi>
<mn>12</mn>
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<mi>T</mi>
</msup>
<mi>P</mi>
<msub>
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<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
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<mo>+</mo>
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<mover>
<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>22</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
对式(21)进行求导并将式(22)代入得到：
<mrow>
<mover>
<mi>V</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mi>s</mi>
<mover>
<mi>s</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<mi>s</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>F</mi>
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<mover>
<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
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<mo>-</mo>
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<mrow>
<mi>d</mi>
<mi>&Psi;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>y</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mrow>
<mi>d</mi>
<mi>t</mi>
</mrow>
</mfrac>
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<mi>A</mi>
<mn>12</mn>
</msub>
<mi>T</mi>
</msup>
<msub>
<mi>Pe</mi>
<mn>1</mn>
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<mo>-</mo>
<mi>&Psi;</mi>
<mo>(</mo>
<mi>y</mi>
<mo>)</mo>
<msup>
<msub>
<mi>A</mi>
<mn>12</mn>
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<mi>T</mi>
</msup>
<mi>P</mi>
<msub>
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<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
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<mo>+</mo>
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<mover>
<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>23</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
根据式(8)知
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mover>
<mi>X</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
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<mo>-</mo>
<msub>
<mover>
<mi>X</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mi>d</mi>
</mrow>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mover>
<mi>X</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mover>
<mi>X</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>d</mi>
</mrow>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>24</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中因为设置期望值为常数所以其导数为零；所以
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mover>
<mi>V</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mi>s</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>F</mi>
<msub>
<mover>
<mi>X</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
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<mn>1</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>d</mi>
<mi>&Psi;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>y</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mrow>
<mi>d</mi>
<mi>t</mi>
</mrow>
</mfrac>
<msup>
<msub>
<mi>A</mi>
<mn>12</mn>
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<mi>T</mi>
</msup>
<msub>
<mi>Pe</mi>
<mn>1</mn>
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<mo>-</mo>
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<mo>(</mo>
<mi>y</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msup>
<msub>
<mi>A</mi>
<mn>12</mn>
</msub>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>P</mi>
<msub>
<mover>
<mi>X</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
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<mo>+</mo>
<msub>
<mover>
<mi>X</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
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<mo>)</mo>
</mrow>
</mtd>
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<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>=</mo>
<mi>s</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>FX</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>d</mi>
<mi>&Psi;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>y</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mrow>
<mi>d</mi>
<mi>t</mi>
</mrow>
</mfrac>
<msup>
<msub>
<mi>A</mi>
<mn>12</mn>
</msub>
<mi>T</mi>
</msup>
<msub>
<mi>Pe</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mi>&Psi;</mi>
<mo>(</mo>
<mi>y</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msup>
<msub>
<mi>A</mi>
<mn>12</mn>
</msub>
<mi>T</mi>
</msup>
<msub>
<mi>PX</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<mi>B</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>X</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>U</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>25</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
将式(20)代入式(25)得到
<mrow>
<mover>
<mi>V</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mi>s</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mo>-</mo>
<mi>k</mi>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&le;</mo>
<mn>0</mn>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>26</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
则判定系统是稳定的。
Priority Applications (1)
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|---|---|---|---|
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| 王大伟等: "四旋翼无人机滑模轨迹跟踪控制器设计", 《电光与控制》 * |
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| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
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| CN111736550B (zh) * | 2019-06-15 | 2024-04-05 | 沈阳工业大学 | 一种植保机单钟摆喷杆悬架系统的非线性控制方法 |
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