CN106647783A - 倾转式三旋翼无人机姿态与高度自适应鲁棒控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及倾转式三旋翼无人机动力学模型建立与其姿态与高度控制，为针对尾舵倾角可独立控制的倾转式三旋翼无人机，设计一种鲁棒性较好，同时可以弥补动力学系统不确定性的自适应律与非线性控制器。本发明采用的技术方案是，倾转式三旋翼无人机姿态与高度自适应鲁棒控制方法，步骤如下：1)建立倾转式三旋翼无人机相关的坐标系：2)建立以旋翼电机转速与尾舵倾角的倾转式三旋翼无人机动力学模型：3)设计非线性控制器与自适应律。本发明主要应用于倾转式三旋翼无人机设计制造场合。

Description

倾转式三旋翼无人机姿态与高度自适应鲁棒控制方法

技术领域

本发明涉及倾转式三旋翼无人机动力学模型建立与其姿态与高度控制。

背景技术

近年来，多旋翼飞行器的导航和控制得到了长足的发展，成为了相关研究的热点。多旋翼飞行器的续航时间与其自重和结构有着密切的关系，相比与市面上常见的四旋翼、六旋翼无人机等，同等级的倾转式三旋翼无人机具有较轻的起飞重量，较低的飞行功耗，结构更为紧凑等特点，可以进一步增加续航时间，提高悬停效率，增强飞行机动性能。

倾转式三旋翼无人飞行器融合了多旋翼直升机与倾转式飞行器二者的优势，在保持多旋翼直升机垂直起降，便于操作的特点的基础上，在尾舵增加了舵机，改善了动力机构，因而也具备倾转式飞行器机动性能强，有效载荷大等优点，具备一定的研究潜力和研究价值。

法国的贡比涅技术大学的研究人员在忽略尾舵产生的侧向力的情况下，建立了三旋翼无人机姿态与位置的力学模型，并结合了饱和函数和比例微分控制器，设计关于三旋翼无人机的姿态和位置控制器，其位置的控制精度在0.1m以内，滚转角和俯仰角的控制精度在2°以内，偏航角的控制精度在5°以内(期刊：Control Engineering Practice；著者：Salazar-Cruz S,Lozano R,J，出版年月：2009年；文章题目：Stabilization andnonlinear control for a novel trirotor mini-aircraft，页码：886-894)(期刊：IEEETransactions on Aerospace&Electronic Systems；著者：Salazar-Cruz S,Kendoul F,Lozano R，出版年月：2008年；文章题目：Real-time stabilization of a small three-rotor aircraft，页码：783-794)。

印度理工大学(Indian Institute of Technology,Madras)的研究人员在倾转式双轴无人飞行器研究基础上，将其与倾转式三旋翼无人机的研究相结合[13][14]。通过对三旋翼无人机的受力分析与能量分析，建立了欧拉-拉格朗日形式(Euler-LagrangeFormalism)的倾转式三旋翼无人机的动力学模型。并在此基础上结合反馈线性化，应用反步法(Back stepping)设计出了针对三旋翼无人机位置以及姿态的比例微分(PD)控制器，该控制器也可应用到倾转式双轴无人机的飞行控制中。(会议：Chinese Control andDecision Conference；著者：Kulhare A,Chowdhury A B,Raina G；出版年月：2012年；文章题目：A Back-stepping Control Strategy for the Tri-rotor UAV；页码：3481-3486)。

法国国立巴黎高等矿业学校在三旋翼无人机各轴的直流无刷电机下方均安装舵机，使每个电机旋转轴的倾角可独立调节，因此这种三旋翼无人机具备了较强的机动性能。研究人员分析了此类无人机的受力情况，推导出了姿态与位置的动力学模型，并在此基础上，针对三旋翼无人机的轨迹跟踪问题设计了一种基于平面度的控制方案，并完成了圆形轨迹跟踪飞行实验，参考轨迹的直径约为2m，控制精度在0.2m以内(会议：theInternational Conference on Unmanned Aircraft Systems；著者：Servais E,D'Andrea-Novel B,Mounier H；出版年月：2015年；文章题目：Ground control of a hybridtricopter；页码：945-950)(会议：International Conference on Methods and MODELSin Automation and Robotics；著者：Servais E,D'Andrea-Novel B,Mounier H；出版年月：2015年；文章题目：Trajectory tracking of trirotor UAV with pendulum load；页码：517-522)。

发明内容

为克服现有技术的不足，本发明旨在针对尾舵倾角可独立控制的倾转式三旋翼无人机，设计一种鲁棒性较好，同时可以弥补动力学系统不确定性的自适应律与非线性控制器。本发明采用的技术方案是，倾转式三旋翼无人机姿态与高度自适应鲁棒控制方法，步骤如下：

1)建立倾转式三旋翼无人机相关的坐标系：

为了便于非线性控制器与自适应律的设计，设定如下定义：

两个坐标系，分别为惯性坐标系{I}和体坐标系{B}，二者均满足右手定则，惯性坐标系{I}原点位于地面，体坐标系{B}原点位于三旋翼无人机的质心，{x_I y_I z_I}和{x_B y_Bz_B}分别表示惯性坐标系{I}和体坐标系{B}对应的三个主轴；

2)建立以旋翼电机转速与尾舵倾角的倾转式三旋翼无人机动力学模型：

倾转式旋翼无人机的飞行的执行单元，即是其各旋翼电机与尾舵舵机，以各旋翼电机转速与尾舵倾角作为控制输入，使控制方案更为直接简洁，避免了选择控制输入时，其他因素的影响，倾转式三旋翼无人机动力学模型表示为下式：

其中d＝[d_φ d_θ d_ψ d_h]^T，q＝diag{M^-1Ψ^T,cosφcosθ}，g表示重力加速度，u为该动力学模型的控制输入向量，式中d_φ、d_θ、d_ψ、d_h分别表示各通道受到的外界扰动，Ψ表示角速度转换矩阵，M表示惯性矩阵，C表示向心力与科里奥利力矩阵，η₁＝[φ θ ψ]^T表示无人机姿态向量，其中φ、θ、ψ分别表示该无人机的滚转角，偏航角和俯仰角，η₂＝[φ θ ψ h]^T表示该三旋翼无人机的状态变量向量，h表示该三旋翼无人机的飞行高度；

3)设计非线性控制器与自适应律

采用前述动力学模型时，在模型中存在未知常参数升力系数b与反力矩系数c，同时在倾转式三旋翼无人机的飞行过程中，会受到各姿态通道与高度方向的扰动力矩和力，为实现倾转式三旋翼无人机姿态与高度的控制目标，定义跟踪误差为：

e＝η₂-η_d

其中e＝[e_φ e_θ e_ψ e_h]^T，e_φ、e_θ、e_ψ、e_h分别表示滚转角、俯仰角、偏航角和高度的跟踪误差。对e求关于时间的一阶导数和二阶导数，可得：

此处可构造一种滑模面s为：

其中η_d＝[φ_d θ_d ψ_d h_d]^T表示该倾转式三旋翼无人机目标轨迹，其中φ_d、θ_d、ψ_d、h_d分别表示目标滚转角、俯仰角、偏航角和高度，s＝[s_φ s_θ s_ψ s_h]^T，s_φ、s_θ、s_ψ、s_h分别为 该三旋翼无人机滚转、俯仰、偏航和高度通道的滑模面，Λ为一正对角常系数矩阵，表示为Λ＝diag{λ₁,λ₂,λ₃,λ₄}

设计控制输入设计u为：

其中，sign为符号函数，将升力系数b和反扭矩系数c之积表示为一未知参数r，Φ为一参数矩阵，l₁、l₂、l₃来表示各旋翼到该无人机质心的力臂，m表示倾转式三旋翼无人机的质量，则：

为未知参数矩阵Φ的估计，与分别为未知参数b和r的估计，表示为：

K_{i,i＝1,2,3,4}为对角正系数矩阵，表示为：

K_{i,i＝1,2,3,4}＝diag{k_i1,k_i2,k_i3,k_i4}

v为控制器中所设计的一中间向量，定义v＝[v_φ v_θ v_ψ v_h]^T且满足关系：

当该无人机姿态与高度通道的不可测扰动有界时，各姿态通道的扰动力矩τ_d和高度通道的绕动力f_d满足关系τ_d<|δ₁|，δ₁为一未知正常数，表示各姿态通道扰动扭矩的上界；δ₂为一未知正常数，表示各姿态通道扰动扭矩导数的上界；f_d<|δ₃|，δ₃也为一未知正常数，表示高度通道扰动力的上界；

其中Ρ为一正实对角矩阵，定义为Ρ＝diag{ρ₁,ρ₂,ρ₃,ρ₄}，定义一正实对角矩阵表示为为便于参数估计值与的设计，定义中间变量N和L，并定义该三旋翼无人机的转动惯量为J＝diag{j₁,j₂,j₃}，j₁、j₂、j₃分别为无人机在滚转、俯仰和偏航通道的转动惯量，则有以下关系成立：

易知参数矩阵非奇异时，所设计的控制器u有界，因此在自适应律的设计中引入投影算子，确保升力系数估计值有界，故模型参数估计值的相应自适应律和设计为：

上式中Γ₁、Γ₂、b_d、b_u和ε均为正实系数，且满足b_d≤b≤b_u，

本发明的特点及有益效果是：

本发明针对倾转式三旋翼无人机姿态及高度控制，建立了一种以电机转速与尾舵倾角为输入的动力学模型，设计了一种非线性控制器与自适应律，能够有效弥补模型参数不确定性，抵抗飞行过程中的外界不可测扰动。

附图说明：

图1是本发明采用倾转式三旋翼无人机的示意图；

图2采用控制方案后无人机镇定飞行过程的曲线示意图。

a是采用该控制方案后无人机镇定飞行过程的滚转角曲线；

b是采用该控制方案后无人机镇定飞行过程的俯仰角曲线；

c是采用该控制方案后无人机镇定飞行过程的偏航角曲线；

d是采用该控制方案后无人机镇定飞行过程的高度曲线。

具体实施方式

本发明所要解决的技术问题是，针对尾舵倾角可独立控制的倾转式三旋翼无人机，设计一种鲁棒性较好，同时可以弥补动力学系统不确定性的自适应律与非线性控制器。

本发明采用的技术方案是：建立一种以电机转速与尾舵倾角为控制输入的动力学模型，并设计相应的自适应律和非线性控制器，包括如下步骤：

首先完成如下定义：定义两个坐标系，分别为惯性坐标系{I}和体坐标系{B}。惯性坐标系{I}原点位于地面，体坐标系{B}原点位于三旋翼无人机的质心，二者均满足右手定则。定义在惯性坐标系下，倾转式三旋翼无人机的姿态角表示为η₁＝[φ θ ψ]^T，其中φ、θ、ψ分别表示该无人机的滚转角，偏航角和俯仰角。在惯性坐标系{I}下，倾转式三旋翼无人机的状态变量向量表示为η₂＝[φ θ ψ h]^T，其中h表示该三旋翼无人机的飞行高度。在惯性坐标系{I}下，倾转式三旋翼无人机目标轨迹定义为η_d＝[φ_d θ_d ψ_d h_d]^T，其中φ_d、θ_d、ψ_d、h_d分别表示目标滚转角、俯仰角、偏航角和高度。且该目标轨迹及其关于时间的导数有界。在体坐标系{B}下，倾转式三旋翼无人机，该无人机各姿态通道的角速度表示为Ω。

同时J表示该三旋翼无人机的转动惯量矩阵，j₁、j₂、j₃分别为无人机在滚转、俯仰和偏航通道的转动惯量，表示为：J＝diag{j₁,j₂,j₃}，Ψ为角速度转换矩阵，其表达式为：

对倾转式三旋翼无人机进行相应的手里分析，利用整体力矩分析的方法建立起以无人机动力矩为控制输入的动力学模型：

其中，τ＝[τ_φ τ_θ τ_ψ]表示倾转式三旋翼无人机的动力矩，τ_φ，τ_φ，τ_φ分别为无人机滚转、俯仰、偏航通道的动力矩。M表示惯性矩阵，其定义为M＝Ψ^TJΨ为一正定对称矩阵，C表示科里奥利力与向心力矩阵，其定义τ_d＝[τ_dφ τ_dθ τ_dψ]^T表示该三旋翼无人机滚转、俯仰、偏航通道上的未知外部扰动力矩。以l₁、l₂、l₃来表示各旋翼到该无人机质心的力臂，c表示反力矩系数，此时倾转式三旋翼无人机的各姿态通道动力矩可以表示为：

另外，以m表示倾转式三旋翼无人机的质量，以g表示重力加速度，通过对倾转式三旋翼无人机在竖直方向上的受力分析，可得以总升力为输入的该无人机高度动力学模型：

上述倾转式三旋翼无人机的动力学模型是以各姿态通道的扭矩以及竖直方向的总升力作为模型的控制输入，为了进一步简化倾转式三旋翼无人机的控制流程，改善控制效果，实现控制该三旋翼无人机电机与尾舵舵机进而直接控制姿态与高度的目的。定义倾转式三旋翼无人机直流无刷电机的转速为ω_{i,i＝1,2,3,4}，且电机转速与各旋翼的升力满足关系f_i＝bω² _{i,i＝1,2,3,4}，其中b表示升力系数。定义控制输入向量u，表示为：

因此，在惯性坐标系{I}下，以u作为控制输入时，倾转式三旋翼无人机姿态与高度通道动力学模型可以表示为：

其中d＝[d_φ d_θ d_ψ d_h]^T，d_φ、d_θ、d_ψ、d_h分别表示各通道受到的外界扰动，q＝diag{M^-1Ψ^T,cosφcosθ}。同时为了方便设计自适应律，将升力系数b和反扭矩系数c之积表示为一未知参数r，Φ为一参数矩阵，可以写作：

通常无人机旋翼的升力系数b与反力矩系数c难以测量，在大量的多旋翼无人机研究中将其作为未知常量。本发明通过设计的非线性鲁棒控制器与自适应律，在b和c未知的情况下，通过控制输入u使倾转式三旋翼无人机的姿态与高度收敛于给定的参考轨迹。

为实现倾转式三旋翼无人机姿态与高度的控制目标，定义跟踪误差为：

e＝η₂-η_d

其中e＝[e_φ e_θ e_ψ e_h]^T，e_φ、e_θ、e_ψ、e_h分别表示滚转角、俯仰角、偏航角和高度的跟踪误差。对e求关于时间的一阶导数和二阶导数，可得：

此处可构造一种滑模面s为：

其中s＝[s_φ s_θ s_ψ s_h]^T，s_φ、s_θ、s_ψ、s_h分别为该三旋翼无人机滚转、俯仰、偏航和高度通道的滑模面，Λ为一正对角常系数矩阵，表示为Λ＝diag{λ₁,λ₂,λ₃,λ₄}，因此可得系统动态特性如下式所示：

针对上式得倾转式三旋翼无人机动力学特性，设计控制输入设计u为：

其中，sign为符号函数，为未知参数矩阵Φ的估计，与分别为未知参数b和r的估计，可表示为：

K_{i,i＝1,2,3,4}为对角正系数矩阵，可表示为：

K_{i,i＝1,2,3,4}＝diag{k_i1,k_i2,k_i3,k_i4}

v为控制器中所设计的一中间向量，定义为v＝[v_φ v_θ v_ψ v_h]^T且其一阶导数满足：

当该无人机姿态与高度通道的不可测扰动有界时，扰动力矩和力满足关系τ_d<|δ₁|，δ₁为一未知正常数，表示各姿态通道扰动扭矩的上界；δ₂为一未知正常数，表示各姿态通道扰动扭矩导数的上界；f_d<|δ₃|，δ₃也为一未知正常数，表示高度通道扰动力的上界，因此上式中的d可表示为：

其中Ρ为一正实对角矩阵，定义为Ρ＝diag{ρ₁,ρ₂,ρ₃,ρ₄}，为后文表述方便,定义一正实对角矩阵表示为为便于参数估计值与的设计，定义中间变量N和L，分别为：

易知参数矩阵非奇异时，所设计的控制器u有界，因此在自适应律的设计中引入投影算子，确保升力系数估计值有界。故模型参数估计值的相应自适应律和可设计为：

上式中Γ₁、Γ₂、b_d、b_u和ε均为正实系数，且满足b_d≤b≤b_u，

针对倾转式三旋翼无人机的鲁棒非线性控制器与自适应律设计完毕。

下面结合实推导和附图对本发明的动力学模型的建立以及非线性控制器与自适应律的设计做以叙述。

本发明综合针对倾转式三旋翼无人机飞行姿态和高度控制问题，为了简化其控制流程，实现对该无人机的直接控制，对传统的多旋翼无人机的动力学模型进行了改造，设计出一种非线性鲁棒控制器与自适应律，可以有效的弥补模型中的参数不确定性，同时又有较强的鲁棒性。

本发明设计了一种倾转式三旋翼无人机的姿态与高度非线性控制器，包括以下步骤：

1)建立倾转式三旋翼无人机相关的坐标系：

为了便于非线性控制器与自适应律的设计，本发明定义了如图1所示的定义

两个坐标系，分别为惯性坐标系{I}和体坐标系{B}，二者均满足右手定则。惯性坐标系{I}原点位于地面，体坐标系{B}原点位于三旋翼无人机的质心，{x_I y_I z_I}和{x_B y_Bz_B}分别表示惯性坐标系{I}和体坐标系{B}对应的三个主轴。

2)建立以旋翼电机转速与尾舵倾角的倾转式三旋翼无人机动力学模型：

倾转式旋翼无人机的飞行的执行单元，即是其各旋翼电机与尾舵舵机，以各旋翼电机转速与尾舵倾角作为控制输入，使控制方案更为直接简洁，避免了选择控制输入时，其他因素的影响，倾转式三旋翼无人机动力学模型可表示为下式：

其中d＝[d_φ d_θ d_ψ d_h]^T，q＝diag{M^-1Ψ^T,cosφcosθ}，g表示重力加速度，u为该动力学模型的控制输入向量，式中d_φ、d_θ、d_ψ、d_h分别表示各通道受到的外界扰动，Ψ表示角速度转换矩阵，M表示惯性矩阵，C表示向心力与科里奥利力矩阵。η₁＝[φ θ ψ]^T表示无人机姿态向量，其中φ、θ、ψ分别表示该无人机的滚转角，偏航角和俯仰角，η₂＝[φ θ ψ h]^T表示该三旋翼无人机的状态变量向量，除上述定义的姿态角φ、θ、ψ外，h表示该三旋翼无人机的飞行高度。

3)设计非线性控制器与自适应律

采用上文所述的姿态与高度的动力学模型，设计如图2所设的闭环控制系统，且在模型中存在未知常参数升力系数b与反力矩系数c，同时在倾转式三旋翼无人机的飞行过程中，会受到各姿态通道与高度方向的扰动力矩和力，因此所设计的控制器应具有一定的鲁棒性。

可设计控制输入设计u为：

其中，sign为符号函数，为未知参数矩阵Φ的估计，与分别为未知参数b和r的估计，可表示为：

K_{i,i＝1,2,3,4}为对角正系数矩阵，可表示为：

K_{i,i＝1,2,3,4}＝diag{k_i1,k_i2,k_i3,k_i4}

v为控制器中所设计的一中间向量，可定义v＝[v_φ v_θ v_ψ v_h]^T且其关于时间的一阶导数满足关系：

当该无人机姿态与高度通道的不可测扰动有界时，扰动力矩和力满足关系τ_d<|δ₁|，δ₁为一未知正常数，表示各姿态通道扰动扭矩的上界；δ₂为一未知正常数，表示各姿态通道扰动扭矩导数的上界；f_d<|δ₃|，δ₃也为一未知正常数，表示高度通道扰动力的上界，因此上式中的d可表示为：

其中Ρ为一正实对角矩阵，定义为Ρ＝diag{ρ₁,ρ₂,ρ₃,ρ₄}，可定义一正实对角矩阵表示为为便于参数估计值与的设计，定义中间变量N和L，分别为：

易知参数估计矩阵非奇异时，所设计的控制器u有界，因此在自适应律的设计中引入投影算子，确保升力系数估计值有界。故模型参数估计值的相应自适应律和可设计为：

上式中Γ₁、Γ₂、b_d、b_u和ε均为正实系数，且满足b_d≤b≤b_u，上文中所设计的控制器与自适应律，可使闭环动力学系统的误差e及其导数渐进收敛于0。

下面给出具体的实例：

一、半实物仿真平台介绍

本文利用课题组自主搭建的倾转式三旋翼无人机半实物仿真平台验证文中所设计的非线性控制器与自适应律的效果。该平台采用PC/104嵌入式计算机作为处理器，基于MATLABRTW工具箱的xPC系统作为半实物仿真的环境，采用自主设计的电路板及惯性测量传感器通过滤波环节获取倾转式三旋翼无人机的姿态角与相应各通道的角加速度，结合无人机的动力学模型及姿态信息，计算出了虚拟的高度信息。实验平台的俯仰角与滚转角测量精度为约为1°，偏航角测量精度约为2°。实验平台系统控制频率500Hz。

二、飞行实验结果

为了验证文中所提非线性控制算法与自适应律的有效性与可实现性，在上文所述的半实物实验平台上进行了约120秒倾转式三旋翼无人机的姿态与高度镇定飞行实验。

通过图2a-图2d可知，该三旋翼无人机在实验开始后约17秒实现镇定飞行，滚转角和俯仰角的控制精度在±1°以内，偏航角控制精度在以±2°内；在约后12秒收敛于0附近，镇定飞行后，该三旋翼无人机高度方向上升力维持在4.8N附近。

Claims (1)

1.一种倾转式三旋翼无人机姿态与高度自适应鲁棒控制方法，其特征是，步骤如下：

1)建立倾转式三旋翼无人机相关的坐标系：

为了便于非线性控制器与自适应律的设计，设定如下定义：

两个坐标系，分别为惯性坐标系{I}和体坐标系{B}，二者均满足右手定则，惯性坐标系{I}原点位于地面，体坐标系{B}原点位于三旋翼无人机的质心，{x_I y_I z_I}和{x_B y_B z_B}分别表示惯性坐标系{I}和体坐标系{B}对应的三个主轴；

2)建立以旋翼电机转速与尾舵倾角的倾转式三旋翼无人机动力学模型：

倾转式旋翼无人机的飞行的执行单元，即是其各旋翼电机与尾舵舵机，以各旋翼电机转速与尾舵倾角作为控制输入，使控制方案更为直接简洁，避免了选择控制输入时，其他因素的影响，倾转式三旋翼无人机动力学模型表示为下式：

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2=\&Pi;+q\mathrm{\&Phi;}u+d$

其中d＝[d_φ d_θ d_ψ d_h]^T，q＝diag{M^-1Ψ^T,cosφcosθ}，g表示重力加速度，u为该动力学模型的控制输入向量，式中d_φ、d_θ、d_ψ、d_h分别表示各通道受到的外界扰动，Ψ表示角速度转换矩阵，M表示惯性矩阵，C表示向心力与科里奥利力矩阵，η₁＝[φ θψ]^T表示无人机姿态向量，其中φ、θ、ψ分别表示该无人机的滚转角，偏航角和俯仰角，η₂＝[φ θ ψ h]^T表示该三旋翼无人机的状态变量向量，h表示该三旋翼无人机的飞行高度；

3)设计非线性控制器与自适应律

采用前述动力学模型时，在模型中存在未知常参数升力系数b与反力矩系数c，同时在倾转式三旋翼无人机的飞行过程中，会受到各姿态通道与高度方向的扰动力矩和力，为实现倾转式三旋翼无人机姿态与高度的控制目标，定义跟踪误差为：

e＝η₂-η_d

其中e＝[e_φ e_θ e_ψ e_h]^T，e_φ、e_θ、e_ψ、e_h分别表示滚转角、俯仰角、偏航角和高度的跟踪误差。对e求关于时间的一阶导数和二阶导数，可得：

$\stackrel{\&CenterDot;}{e}={\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_d,\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_d$

此处可构造一种滑模面s为：

$s=\stackrel{\&CenterDot;}{e}+\mathrm{\&Lambda;}e$

其中η_d＝[φ_dθ_dψ_d h_d]^T表示该倾转式三旋翼无人机目标轨迹，其中φ_d、θ_d、ψ_d、h_d分别表示目标滚转角、俯仰角、偏航角和高度，s＝[s_φ s_θ s_ψ s_h]^T，s_φ、s_θ、s_ψ、s_h分别为该三旋翼无人机滚转、俯仰、偏航和高度通道的滑模面，Λ为一正对角常系数矩阵，表示为Λ＝diag{λ₁,λ₂,λ₃,λ₄}

设计控制输入设计u为：

$u={\widehat{\mathrm{\&Phi;}}}^{-1}{q}^{-1}(-K_1|s{|}^{\frac{1}{2}}sign\left(s\right)-K_{2}s+v-\&Pi;+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_d-\mathrm{\&Lambda;}\stackrel{\&CenterDot;}{e})$

其中，sign为符号函数，将升力系数b和反扭矩系数c之积表示为一未知参数r，Φ为一参数矩阵，l₁、l₂、l₃来表示各旋翼到该无人机质心的力臂，m表示倾转式三旋翼无人机的质量，则：

$\mathrm{\&Phi;}=\left[\begin{array}{cccc}-{\mathrm{bl}}_2& {\mathrm{bl}}_2& 0& 0\\ {\mathrm{bl}}_3& {\mathrm{bl}}_3& 0& -{\mathrm{bl}}_1\\ -r& -r& {\mathrm{bl}}_1& r\\ \frac{b}{m}& \frac{b}{m}& 0& \frac{b}{m}\end{array}\right]$

为未知参数矩阵Φ的估计，与分别为未知参数b和r的估计，表示为：

$\widehat{\mathrm{\&Phi;}}=\left[\begin{array}{cccc}-\hat{b}{l}_2& \hat{b}{l}_2& 0& 0\\ \hat{b}{l}_3& \hat{b}{l}_3& 0& -\hat{b}{l}_1\\ -\hat{r}& -\hat{r}& \hat{b}{l}_1& \hat{r}\\ \frac{\hat{b}}{m}& \frac{\hat{b}}{m}& 0& \frac{\hat{b}}{m}\end{array}\right]$

K_{i,i＝1,2,3,4}为对角正系数矩阵，表示为：

K_{i,i＝1,2,3,4}＝diag{k_i1,k_i2,k_i3,k_i4}

v为控制器中所设计的一中间向量，定义v＝[v_φ v_θ v_ψ v_h]^T且满足关系：

$\stackrel{\&CenterDot;}{v}=-K_{3}sign\left(s\right)-K_{4}s$

当该无人机姿态与高度通道的不可测扰动有界时，各姿态通道的扰动力矩τ_d和高度通道的绕动力f_d满足关系τ_d<|δ₁|，δ₁为一未知正常数，表示各姿态通道扰动扭矩的上界；δ₂为一未知正常数，表示各姿态通道扰动扭矩导数的上界；f_d<|δ₃|，δ₃也为一未知正常数，表示高度通道扰动力的上界；

$d=\left|P\right|s,P\&le;{\mathrm{\&delta;}}_1,\frac{P}{m}\&le;{\mathrm{\&delta;}}_3$

其中Ρ为一正实对角矩阵，定义为Ρ＝diag{ρ1,ρ2,ρ3,ρ4}，定义一正实对角矩阵表示为为便于参数估计值与的设计，定义中间变量N和L，并定义该三旋翼无人机的转动惯量为J＝diag{j₁,j₂,j₃}，j₁、j₂、j₃分别为无人机在滚转、俯仰和偏航通道的转动惯量，则有以下关系成立：

$\left\{\begin{array}{c}{N}_1=(4k_{31}+k_{11}^2)|s_{\mathrm{\&phi;}}{|}^{\frac{1}{2}}sign\left(s_{\mathrm{\&phi;}}\right)+\\ 3k_{11}{\tilde{k}}_{21}{s}_{\mathrm{\&phi;}}+2(2k_{41}+{\tilde{k}}_{21}^2)|s_{\mathrm{\&phi;}}{|}^{\frac{3}{2}}sign\left(s_{\mathrm{\&phi;}}\right)\\ -\left(2\right|s_{\mathrm{\&phi;}}{|}^{\frac{1}{2}}{\tilde{k}}_{21}+k_{11})v_{\mathrm{\&phi;}}\\ N_2=(4k_{32}+k_{12}^2)|s_{\mathrm{\&theta;}}{|}^{\frac{1}{2}}sign\left(s_{\mathrm{\&theta;}}\right)\\ +3k_{12}{\tilde{k}}_{22}{s}_{\mathrm{\&theta;}}+2(2k_{42}+{\tilde{k}}_{22}^2)|s_{\mathrm{\&theta;}}{|}^{\frac{3}{2}}sign\left(s_{\mathrm{\&theta;}}\right)\\ -\left(2\right|s_{\mathrm{\&theta;}}{|}^{\frac{1}{2}}{\tilde{k}}_{22}+k_{12})v_{\mathrm{\&theta;}}\\ N_3=(4k_{33}+k_{13}^2)|s_{\mathrm{\&psi;}}{|}^{\frac{1}{2}}sign\left(s_{\mathrm{\&psi;}}\right)+\\ 3k_{13}{\tilde{k}}_{23}{s}_{\mathrm{\&psi;}}+2(2k_{43}+{\tilde{k}}_{23}^2)|s_{\mathrm{\&psi;}}{|}^{\frac{3}{2}}sign\left(s_{\mathrm{\&psi;}}\right)\\ -\left(2\right|s_{\mathrm{\&psi;}}{|}^{\frac{1}{2}}{\tilde{k}}_{23}+k_{13})v_{\mathrm{\&psi;}}\\ N_4=(4k_{34}+k_{14}^2)|s_h{|}^{\frac{1}{2}}sign\left(s_h\right)+\\ 3k_{14}{\tilde{k}}_{24}{s}_h+2(2k_{44}+{\tilde{k}}_{24}^2)|s_h{|}^{\frac{3}{2}}sign\left(s_h\right)\\ -\left(2\right|s_h{|}^{\frac{1}{2}}{\tilde{k}}_{24}+k_{14})v_h,\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}{L}_1=(\frac{l_2(u_2-u_1)}{j_1}-\frac{l_1{u}_3\sin \mathrm{\&theta;}}{j_3})\\ L_2=(\frac{\cos \mathrm{\&phi;}(l_3{u}_1+l_3{u}_2-l_1{u}_4)}{j_2}+\frac{l_1{u}_3\cos \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}}{j_3})\\ L_3=(\frac{l_1{u}_3\cos \mathrm{\&phi;}\cos \mathrm{\&theta;}}{j_3}-\frac{\sin \mathrm{\&phi;}(l_3{u}_1+l_3{u}_2-l_1{u}_4)}{j_2})\\ L_4=\frac{(u_1+u_2+u_4)}{m}\cos \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;},\end{array}\right.$

易知参数矩阵非奇异时，所设计的控制器u有界，因此在自适应律的设计中引入投影算子，确保升力系数估计值有界，故模型参数估计值的相应自适应律和设计为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{b}}=proj\left(\frac{\mathrm{\&mu;}}{{\mathrm{\&Gamma;}}_1}\right)\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\hat{r}}=\frac{({\mathrm{sin\&theta;N}}_1+{\mathrm{cos\&theta;sin\&phi;N}}_2+{\mathrm{cos\&phi;cos\&theta;N}}_3)(u_4-u_2-u_1)}{{\mathrm{\&Gamma;}}_2{j}_3}\\ \mathrm{\&mu;}=(L_1{N}_1+L_2{N}_2+L_3{N}_3+L_4{N}_4)\end{array}\right.$

$\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{b}}=\left\{\begin{array}{cc}\max (0,\frac{\mathrm{\&epsiv;}-(b_d-\hat{b})}{\mathrm{\&epsiv;}})\frac{\mathrm{\&mu;}}{{\mathrm{\&Gamma;}}_1}& \hat{b}\&le;b_{d}and\mathrm{\&mu;}\&le;0\\ \frac{\mathrm{\&mu;}}{{\mathrm{\&Gamma;}}_1}& \hat{b}\&le;b_{d}and\mathrm{\&mu;}>0\\ \frac{\mathrm{\&mu;}}{{\mathrm{\&Gamma;}}_1}& b_d\&le;\hat{b}\&le;b_u\\ \frac{\mathrm{\&mu;}}{{\mathrm{\&Gamma;}}_1}& \hat{b}\&GreaterEqual;b_{u}and\mathrm{\&mu;}<0\\ \max (0,\frac{\mathrm{\&epsiv;}-(\hat{b}-b_u)}{\mathrm{\&epsiv;}})\frac{\mathrm{\&mu;}}{{\mathrm{\&Gamma;}}_1}& \hat{b}\&GreaterEqual;b_{u}and\mathrm{\&mu;}>0\end{array}\right.$

上式中Γ₁、Γ₂、b_d、b_u和ε均为正实系数，且满足b_d≤b≤b_u，