CN107479371A - 一种基于快速非奇异终端滑模的四旋翼无人机有限时间自适应控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于快速非奇异终端滑模的四旋翼无人机有限时间自适应控制方法，针对带有惯性不确定因素以及外部扰动的四旋翼无人机系统。根据四旋翼无人机的动力学系统，利用快速非奇异终端滑模控制方法，再结合自适应控制，设计一种基于快速非奇异终端滑模的四旋翼无人机自适应控制方法。快速非奇异终端滑模的设计是为了保证系统的有限时间收敛特性和较快的收敛速度，并且避免了终端滑模控制存在的奇异性问题，有效削弱了抖振问题。另外，自适应控制是用来处理系统的惯性不确定性和外部干扰的。本发明提供了一种能消除滑模面奇异性问题，并且能有效抑制和补偿系统存在的惯性不确定性及外部干扰的控制方法，保证系统的有限时间收敛特性。

Description

一种基于快速非奇异终端滑模的四旋翼无人机有限时间自适 应控制方法

技术领域

本发明涉及一种基于快速非奇异终端滑模的四旋翼无人机有限时间自适应控制方法，特别是带有惯性不确定因素以及外部扰动的四旋翼无人机系统控制方法。

背景技术

四旋翼无人机作为旋翼飞行器的一种，通过控制四个旋翼转速实现的飞行控制能够方便的完成起飞与降落等动作，被大量应用于航空摄影、地质勘查、抢险救灾、环境评估等领域。由于四旋翼无人机体积小且重量轻，飞行中易受到外部干扰，如何实现对四旋翼无人机的高性能运动控制已经成为一个热点问题。针对四旋翼无人机的控制问题，存在很多控制方法，例如PID控制、自抗扰控制、滑模控制等。

其中滑模控制已经广泛应用于非线性系统，其优点包括响应速度快、实施方便、对系统不确定和外部干扰的鲁棒性等。对比传统的滑模控制，终端滑模控制能实现有限时间收敛，但系统存在奇异点，其在本质上的不连续开关特性将会引起系统的抖振，对系统在实际情况中的应用有很大阻碍。为解决这一问题，非奇异终端滑模控制被提出，这种方法在实际情况中有效地解决了系统的奇异性问题，且保证了系统有限时间收敛特性与较强的鲁棒性。而快速非奇异终端滑模在非奇异终端滑模的基础上，进一步解决了终端滑模收敛速度慢的特点。

对具有惯性不确定性的四旋翼无人机动力学系统，存在外部干扰及参数不确定性。外部干扰带来的气动干扰、陀螺力矩干扰、参数摄动等问题会影响四旋翼无人机飞行控制的灵敏度和稳定性。因此，在滑模控制的基础上可应用自适应法来估计干扰和系统参数，设计估计律使得系统有更好的稳态性能。

发明内容

为了克服四旋翼无人机系统存在的外部干扰和惯性不确定性问题以及终端滑模控制的奇异性问题的不足，本发明提供了一种具有自适应控制的四旋翼无人机快速非奇异终端滑模控制方法，消除了系统奇异性问题，有效抑制了抖振现象，同时对系统存在的扰动进行抑制和补偿，保证系统的有限时间收敛特性且提高了系统的收敛速度。

为了解决上述技术问题提出的技术方案如下：

一种基于快速非奇异终端滑模的四旋翼无人机有限时间自适应控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立四旋翼无人机的动力学模型，初始化系统状态、采样时间和系统参数，过程如下：

1.1假设无人机是刚性完全对称的，且其中心与机体坐标系原点重合，对四旋翼无人机系统进行受力分析，建立坐标系，一个是基于地球的惯性坐标系，由坐标轴X_E、Y_E、Z_E确定，另一个是基于四旋翼无人机的机体坐标系，由坐标轴X_B、Y_B、Z_B确定，从机体坐标系到惯性坐标系的转移矩阵M为:

其中，ψ、θ、φ分别称为无人机的偏航角、俯仰角、翻滚角，表示惯性坐标系绕其各坐标轴的旋转角度；

1.2根据牛顿欧拉公式分析动力学模型，平动状态下有：

其中x、y、z分别表示四旋翼无人机在惯性坐标系下的位置，m为无人机的质量，U_F表示四个旋翼产生的升力，mg为无人机所受的重力，g是重力加速度，U_F和mg之和表示作用在无人机上的合外力F；

将式(1)代入式(2)得：

1.3在机体坐标系下，根据欧拉公式，转动状态下有：

其中τ_x、τ_y、τ_z分别表示机体坐标系各轴力矩，I_xx、I_yy、I_zz分别表示机体坐标系各轴转动惯量，ω_x、ω_y、ω_z分别表示机体坐标系上的各轴姿态角速度， 分别表示机体坐标系上的各轴姿态角加速度；

由式(4)得：

四旋翼无人机是通过调节旋翼的转速实现飞行控制的，其控制力矩和旋翼升力与旋翼的转速有直接关系，如式(6)所示：

其中L表示四旋翼无人机的质心到各旋翼轴线的距离，k_F表示升力系数，k_M表示扭矩系数，ω₁、ω₂、ω₃、ω₄分别表示各旋翼的转速；

1.4考虑实际环境下外界对系统产生干扰，建立四旋翼无人机的动力学模型，四旋翼无人机一般处于低速飞行或悬停状态，姿态角变化较小，认为 如式(6)所示：

其中

d_x、d_y、d_z、d_φ、d_θ、d_ψ代表模型的外部干扰；

式(7)属于二阶多输入多输出非线性系统，为便于控制器的设计，式(7)表示为如下形式：

其中状态变量X＝(x,y,x,φ,θ,ψ)^T，对角矩阵B(X)＝diag{1,1,1,b₁,b₂,b₃}，输入U＝(U_x,U_y,U_z,τ_x,τ_y,τ_z)^T，外部干扰D(t)＝(d_x,d_y,d_z,d_φ,d_θ,d_ψ)^T，且满足下列条件：

其中||D(t)||_∞为D(t)的无穷范数，c、k₁、k₂是未知边界，由于实际控制系统中不确定性的复杂结构而不容易获取；

步骤2，计算控制系统跟踪误差，设计快速非奇异终端滑模面，过程如下：

2.1定义系统跟踪误差为：

e＝X-X_d (10)

其中X_d为可导期望信号，X_d＝(x_d,y_d,z_d,φ_d,θ_d,ψ_d)^T，x_d、y_d、z_d、φ_d、θ_d、ψ_d分别为对应的位置和姿态角的期望值；

式(10)的一阶微分和二阶微分表示如下：

2.2定义快速非奇异终端滑模面为：

其中S＝(s₁,s₂,s₃,s₄,s₅,s₆)^T，α^-1＝diag{α₁ ^-1,α₂ ^-1,α₃ ^-1,α₄ ^-1,α₅ ^-1,α₆ ^-1}，β^-1＝diag{β₁ ^-1，β₂ ^-1，β₃ ^-1，β₄ ^-1，β₅ ^-1，β₆ ^-1}为正定矩阵，1＜p/q＜2且p、q为正奇数，λ＞p/q，sig^λ(e)＝(|e₁|^λsign(e₁),|e₂|^λsign(e₂),…|e₆|^λsign(e₆))^T，s_i、e_i、α_i、β_i分别表示对应的x、y、z、ψ、θ、φ的滑模变量、误差一阶导数、常值系数，i＝1,2,3,4,5,6，sign()为符号函数；

步骤3，基于四旋翼无人机的动力学系统，根据快速非奇异终端滑模，设计自适应控制器，过程如下：

3.1基于式(8)，快速非奇异终端滑模自适应控制器被设计为：

U＝U_eq+U_re (14)

其中，常数η>0，sig^λ-1(e)＝diag{|e₁|^λ-1,|e₂|^λ-1,…,|e₆|^λ-1}， 是γ的估计；分别是c、k₁、k₂的估计；

3.2估计参数的更新律分别被设计为：

其中，p₀＞0，p₁＞0，p₂＞0，ε₀＞0，ε₁＞0，ε₂＞0是设计参数；

3.3设计李雅普诺夫函数

其中

对式(13)进行求导得

对式(22)进行求导，再将式(23)代入得到

将(14)～(16)代入式(24)得

将式(18)代入式(25)得

由式(26)得

将式(17)、(19)～(21)代入式(27)得；

将式(9)代入

若要满足则则有其中δ＝ε₀c²+ε₁k₁ ²+ε₂k₂ ²， 表示取其中元素的最小项；V_sa的减小驱使闭环系统的轨迹为因此闭环系统的轨迹最终被界定为

本发明基于快速非奇异终端滑模和自适应控制，设计四旋翼无人机系统的快速非奇异终端滑模自适应控制方法，实现了系统的有限时间收敛特性，提高了系统的收敛速度，消除了终端滑模控制的非奇异问题，同时削弱了系统的抖振影响，提高了系统的鲁棒性。

本发明的技术构思为：针对四旋翼无人机的动力学系统，利用快速非奇异终端滑模控制方法，再结合自适应控制，设计一种基于快速非奇异终端滑模的四旋翼无人机有限时间自适应控制方法。快速非奇异终端滑模的设计是为了保证系统的有限时间收敛特性和较快的收敛速度，并且避免了终端滑模控制存在的奇异性问题，有效削弱了抖振问题。另外，自适应控制是用来处理系统的惯性不确定性和外部干扰的。本发明提供了一种能消除滑模面奇异性问题，并且能有效抑制和补偿系统存在的惯性不确定性及外部干扰的控制方法，保证系统的有限时间收敛特性。

本发明优点为：解决奇异性问题，削弱抖振，抑制和补偿系统存在的惯性不确定性及外部干扰，实现有限时间收敛，提高收敛速度。

附图说明

图1为本发明的位置跟踪效果示意图。

图2为本发明的姿态角跟踪效果示意图。

图3为本发明的位置控制器输入示意图。

图4为本发明的姿态角控制器输入示意图。

图5为本发明的位置干扰边界参数估计示意图。

图6为本发明的位置干扰与其估计边界示意图。

图7为本发明的姿态角干扰边界参数估计示意图。

图8为本发明的姿态角干扰与其估计边界估计示意图。

图9为本发明的系统惯性不确定性估计示意图。

图10为本发明的控制流程示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步说明。

参照图1-图10，一种基于快速非奇异终端滑模的四旋翼无人机有限时间自适应控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立四旋翼无人机的动力学模型，初始化系统状态、采样时间和系统参数，过程如下：

1.1假设无人机是刚性完全对称的，且其中心与机体坐标系原点重合，对四旋翼无人机系统进行受力分析，建立坐标系，一个是基于地球的惯性坐标系，由坐标轴X_E、Y_E、Z_E确定，另一个是基于四旋翼无人机的机体坐标系，由坐标轴X_B、Y_B、Z_B确定，从机体坐标系到惯性坐标系的转移矩阵M为:

其中，ψ、θ、φ分别称为无人机的偏航角、俯仰角、翻滚角，表示惯性坐标系绕其各坐标轴的旋转角度；

1.2根据牛顿欧拉公式分析动力学模型，平动状态下有：

其中x、y、z分别表示四旋翼无人机在惯性坐标系下的位置，m为无人机的质量，U_F表示四个旋翼产生的升力，mg为无人机所受的重力，g是重力加速度，U_F和mg之和表示作用在无人机上的合外力F；

将式(1)代入式(2)得：

1.3在机体坐标系下，根据欧拉公式，转动状态下有：

其中τ_x、τ_y、τ_z分别表示机体坐标系各轴力矩，I_xx、I_yy、I_zz分别表示机体坐标系各轴转动惯量，ω_x、ω_y、ω_z分别表示机体坐标系上的各轴姿态角速度， 分别表示机体坐标系上的各轴姿态角加速度；

由式(4)得：

四旋翼无人机是通过调节旋翼的转速实现飞行控制的，其控制力矩和旋翼升力与旋翼的转速有直接关系，如式(6)所示：

其中L表示四旋翼无人机的质心到各旋翼轴线的距离，k_F表示升力系数，k_M表示扭矩系数，ω₁、ω₂、ω₃、ω₄分别表示各旋翼的转速；

1.4考虑实际环境下外界对系统产生干扰，建立四旋翼无人机的动力学模型，四旋翼无人机一般处于低速飞行或悬停状态，姿态角变化较小，认为 如下式(7)：

其中

d_x、d_y、d_z、d_φ、d_θ、d_ψ代表模型的外部干扰；

式(7)属于二阶多输入多输出非线性系统，为便于控制器的设计，式(7)表示为如下形式：

其中状态变量X＝(x,y,x,φ,θ,ψ)^T，对角矩阵B(X)＝diag{1,1,1,b₁,b₂,b₃}，输入U＝(U_x,U_y,U_z,τ_x,τ_y,τ_z)^T，外部干扰D(t)＝(d_x,d_y,d_z,d_φ,d_θ,d_ψ)^T，且满足下列条件：

其中||D(t)||_∞为D(t)的无穷范数，c、k₁、k₂是未知边界，由于实际控制系统中不确定性的复杂结构而不容易获取；

步骤2，计算控制系统跟踪误差，设计快速非奇异终端滑模面，过程如下：

2.1定义系统跟踪误差为：

e＝X-X_d (10)

其中X_d为可导期望信号，X_d＝(x_d,y_d,z_d,φ_d,θ_d,ψ_d)^T，x_d、y_d、z_d、φ_d、θ_d、ψ_d分别为对应的位置和姿态角的期望值；

式(10)的一阶微分和二阶微分表示如下：

2.2定义快速非奇异终端滑模面为：

其中S＝(s₁,s₂,s₃,s₄,s₅,s₆)^T，α^-1＝diag{α₁ ^-1,α₂ ^-1,α₃ ^-1,α₄ ^-1,α₅ ^-1,α₆ ^-1}，β^-1＝diag{β₁ ^-1，β₂ ^-1，β₃ ^-1，β₄ ^-1，β₅ ^-1，β₆ ^-1}为正定矩阵，1＜p/q＜2且p、q为正奇数，λ＞p/q，sig^λ(e)＝(|e₁|^λsign(e₁),|e₂|^λsign(e₂),…|e₆|^λsign(e₆))^T，s_i、e_i、α_i、β_i分别表示对应的x、y、z、ψ、θ、φ的滑模变量、误差一阶导数、常值系数，i＝1,2,3,4,5,6，sign()为符号函数；

步骤3，基于四旋翼无人机的动力学系统，根据快速非奇异终端滑模，设计自适应控制器，过程如下：

3.1基于式(8)，快速非奇异终端滑模自适应控制器被设计为：

U＝U_eq+U_re (14)

其中，常数η>0，sig^λ-1(e)＝diag{|e₁|^λ-1,|e₂|^λ-1,…,|e₆|^λ-1}， 是γ的估计；分别是c、k₁、k₂的估计；

3.2估计参数的更新律分别被设计为：

其中，p₀＞0，p₁＞0，p₂＞0，ε₀＞0，ε₁＞0，ε₂＞0是设计参数；

3.3设计李雅普诺夫函数

其中

对式(13)进行求导得

对式(22)进行求导，再将式(23)代入可得到

将(14)～(16)代入式(24)得

将式(18)代入式(25)得

由式(26)得

将式(17)、(19)～(21)代入式(27)得；

将式(9)代入

若要满足则则有其中δ＝ε₀c²+ε₁k₁ ²+ε₂k₂ ²， 表示取其中元素的最小项；V_sa的减小驱使闭环系统的轨迹为因此闭环系统的轨迹最终被界定为

可将U_x、U_y、U_z看做位置控制器的输入，将τ_x、τ_y、τ_z看做姿态角控制器的输入，根据式(24)～(27)给出控制器的设计。

位置期望值x_d、y_d、z_d以及姿态角期望值ψ_d由参考轨迹直接给出，姿态角期望值φ_x、θ_d由位置姿态关系解耦得，如式(29)所示：

其中arcsin()为反正弦函数，arctan()为反正切函数。

为了验证所提方法的可行性，本发明给出了该控制方法在MATLAB平台上的仿真结果：

参数给定如下：式(3)中m＝0.625kg，g＝10；式(5)中I_xx＝2.3×10^-3kg·m²，I_yy＝2.4×10^-3kg·m²，I_zz＝2.6×10^-3kg·m²；式(6)中k_F＝2.103×10^-6N/(rad·s^-2)，k_M＝2.091×10^-8N/(rad·s^-2)，L＝0.1275m；式(10)中x_d＝1，y_d＝1，z_d＝1，ψ_d＝0.5；式(13)中α_i＝10，β_i＝1(i＝1,2,3,4,5,6)，p＝5，q＝3，λ＝3；式(9)中c＝1，k₁＝0.1，k₂＝0.1；式(16)中η＝0.1；式(19)～(21)中p₀＝0.1，p₀＝0.1，p₀＝0.1，ε₀＝0.5，ε₁＝0.5，ε₂＝0.5；干扰信号给定为强度为0.01的高斯白噪声。

由于四旋翼无人机系统有六个自由度，所以我们跟踪三个位置和三个姿态角的动态特性。为了进一步削弱系统的抖振现象，在式(14)～(16)中我们用饱和函数sat()代替符号函数sign()：

其中取μ＝0.1。

从图1和图2可以看出，系统具有良好的到达性能，且在较短时间到达了平衡位置。从图3和图4明显可以看出，系统明显削弱了抖振现象。从图5～图9可以看出，系统的估计律最终趋于稳定，估计参数最终收敛到常数。

综上所述，快速非奇异终端滑模有限时间自适应控制方法显然能有效地解决非奇异问题且削弱抖振的影响，提高了系统的收敛速度，保证系统在有限时间收敛，并具有很好的鲁棒性。

以上阐述的是本发明给出的一个实施例表现出的优良优化效果，显然本发明不只是限于上述实施例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。

Claims (1)

1.一种基于快速非奇异终端滑模的四旋翼无人机有限时间自适应控制方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1，建立四旋翼无人机的动力学模型，初始化系统状态、采样时间和系统参数，过程如下：

1.1假设无人机是刚性完全对称的，且其中心与机体坐标系原点重合，对四旋翼无人机系统进行受力分析，建立坐标系，一个是基于地球的惯性坐标系，由坐标轴X_E、Y_E、Z_E确定，另一个是基于四旋翼无人机的机体坐标系，由坐标轴X_B、Y_B、Z_B确定，从机体坐标系到惯性坐标系的转移矩阵M为:

<mrow> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>+</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;phi;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>sin</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>+</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>sin</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>+</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;phi;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>+</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;phi;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，ψ、θ、φ分别称为无人机的偏航角、俯仰角、翻滚角，表示惯性坐标系绕其各坐标轴的旋转角度；

1.2根据牛顿欧拉公式分析动力学模型，平动状态下有：

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>m</mi> <mi>g</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mi>M</mi> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>U</mi> <mi>F</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中x、y、z分别表示四旋翼无人机在惯性坐标系下的位置，m为无人机的质量，U_F表示四个旋翼产生的升力，mg为无人机所受的重力，g是重力加速度，U_F和mg之和表示作用在无人机上的合外力F；

将式(1)代入式(2)得：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>F</mi> </msub> <mi>m</mi> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>+</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>F</mi> </msub> <mi>m</mi> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>g</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>F</mi> </msub> <mi>m</mi> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

1.3在机体坐标系下，根据欧拉公式，转动状态下有：

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>x</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>y</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>z</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>y</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>z</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>x</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>y</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>z</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&amp;times;</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>x</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>y</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>z</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中τ_x、τ_y、τ_z分别表示机体坐标系各轴力矩，I_xx、I_yy、I_zz分别表示机体坐标系各轴转动惯量，ω_x、ω_y、ω_z分别表示机体坐标系上的各轴姿态角速度， 分别表示机体坐标系上的各轴姿态角加速度；

由式(4)得：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>y</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>z</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

四旋翼无人机是通过调节旋翼的转速实现飞行控制的，其控制力矩和旋翼升力与旋翼的转速有直接关系，如式(6)所示：

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>U</mi> <mi>F</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>x</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>y</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>z</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>k</mi> <mi>F</mi> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>k</mi> <mi>F</mi> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>k</mi> <mi>F</mi> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>k</mi> <mi>F</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mi>F</mi> </msub> <mi>L</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>F</mi> </msub> <mi>L</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>F</mi> </msub> <mi>L</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mi>F</mi> </msub> <mi>L</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>k</mi> <mi>M</mi> </msub> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>M</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <msub> <mi>k</mi> <mi>M</mi> </msub> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>M</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中L表示四旋翼无人机的质心到各旋翼轴线的距离，k_F表示升力系数，k_M表示扭矩系数，ω₁、ω₂、ω₃、ω₄分别表示各旋翼的转速；

1.4考虑实际环境下外界对系统产生干扰，建立四旋翼无人机的动力学模型，四旋翼无人机一般处于低速飞行或悬停状态，姿态角变化较小，认为 如下式(7)：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>y</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mover> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>&amp;phi;</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mover> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中

<mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>F</mi> </msub> <mi>m</mi> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>g</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>F</mi> </msub> <mi>m</mi> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

d_x、d_y、d_z、d_φ、d_θ、d_ψ代表模型的外部干扰；

式(7)属于二阶多输入多输出非线性系统，为便于控制器的设计，式(7)表示为如下形式：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>U</mi> <mo>+</mo> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>Y</mi> <mo>=</mo> <mi>X</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中状态变量X＝(x,y,x,φ,θ,ψ)^T，对角矩阵B(X)＝diag{1,1,1,b₁,b₂,b₃}，输入U＝(U_x,U_y,U_z,τ_x,τ_y,τ_z)^T，外部干扰D(t)＝(d_x,d_y,d_z,d_φ,d_θ,d_ψ)^T，且满足下列条件：

<mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mi>&amp;infin;</mi> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mi>c</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>X</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中||D(t)||_∞为D(t)的无穷范数，c、k₁、k₂是未知边界，由于实际控制系统中不确定性的复杂结构而不容易获取；

步骤2，计算控制系统跟踪误差，设计快速非奇异终端滑模面，过程如下：

2.1定义系统跟踪误差为：

e＝X-X_d (10)

其中X_d为可导期望信号，X_d＝(x_d,y_d,z_d,φ_d,θ_d,ψ_d)^T，x_d、y_d、z_d、φ_d、θ_d、ψ_d分别为对应的位置和姿态角的期望值；

式(10)的一阶微分和二阶微分表示如下：

<mrow> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

2.2定义快速非奇异终端滑模面为：

<mrow> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <mi>e</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>sig</mi> <mi>&amp;lambda;</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>e</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>sig</mi> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中S＝(s₁,s₂,s₃,s₄,s₅,s₆)^T，α^-1＝diag{α₁ ^-1,α₂ ^-1,α₃ ^-1,α₄ ^-1,α₅ ^-1,α₆ ^-1}，β^-1＝diag{β₁ ^-1，β₂ ^-1，β₃ ^-1，β₄ ^-1，β₅ ^-1，β₆ ^-1}为正定矩阵，1＜p/q＜2且p、q为正奇数，λ＞p/q，

sig^λ(e)＝(|e₁|^λsign(e₁),|e₂|^λsign(e₂),…|e₆|^λsign(e₆))^T，s_i、e_i、α_i、β_i分别表示对应的x、y、z、ψ、θ、φ的滑模变量、误差一阶导数、常值系数，i＝1,2,3,4,5,6，sign()为符号函数；

步骤3，基于四旋翼无人机的动力学系统，根据快速非奇异终端滑模，设计自适应控制器，过程如下：

3.1基于式(8)，快速非奇异终端滑模自适应控制器被设计为：

U＝U_eq+U_re (14)

<mrow> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mfrac> <mi>q</mi> <mi>p</mi> </mfrac> <msup> <mi>sig</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>&amp;lambda;sig</mi> <mrow> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>e</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;beta;</mi> <mfrac> <mi>q</mi> <mi>p</mi> </mfrac> <msup> <mi>sig</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>&amp;eta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>S</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mover> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>=</mo> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>X</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> 3

其中，常数η>0，sig^λ-1(e)＝diag{|e₁|^λ-1,|e₂|^λ-1,…,|e₆|^λ-1}， 是γ的估计；分别是c、k₁、k₂的估计；

3.2估计参数的更新律分别被设计为：

<mrow> <mover> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msup> <mi>S</mi> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>3</mn> </msup> <mo>{</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;lambda;&amp;alpha;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <msup> <mi>sig</mi> <mrow> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>e</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <msup> <mi>sig</mi> <mrow> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;eta;</mi> <mo>+</mo> <mover> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>S</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mover> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>{</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>6</mn> </munderover> <mo>{</mo> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <msup> <mi>sig</mi> <mrow> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>{</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>6</mn> </munderover> <mo>{</mo> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <msup> <mi>sig</mi> <mrow> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>}</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>X</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>{</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>6</mn> </munderover> <mo>{</mo> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <msup> <mi>sig</mi> <mrow> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>}</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，p₀＞0，p₁＞0，p₂＞0，ε₀＞0，ε₁＞0，ε₂＞0是设计参数；

3.3设计李雅普诺夫函数

<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mi>S</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>S</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>p</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <msup> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <msup> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <msup> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中

对式(13)进行求导得

<mrow> <mover> <mi>S</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;lambda;&amp;alpha;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <msup> <mi>sig</mi> <mrow> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>e</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <msup> <mi>sig</mi> <mrow> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>U</mi> <mo>+</mo> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

对式(22)进行求导，再将式(23)代入得到

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>s</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>S</mi> <mi>T</mi> </msup> <mo>{</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;lambda;&amp;alpha;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <msup> <mi>sig</mi> <mrow> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>e</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <msup> <mi>sig</mi> <mrow> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>U</mi> <mo>+</mo> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>p</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mover> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msup> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mover> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

将(14)～(16)代入式(24)得

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>s</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>S</mi> <mi>T</mi> </msup> <mo>{</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;lambda;&amp;alpha;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <msup> <mi>sig</mi> <mrow> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>e</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <msup> <mi>sig</mi> <mrow> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <msup> <mi>sig</mi> <mrow> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mo>+</mo> <mover> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>S</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>p</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mover> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msup> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mover> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> 4

将式(18)代入式(25)得

<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>s</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>S</mi> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <msup> <mi>sig</mi> <mrow> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;eta;</mi> <mo>+</mo> <mover> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>S</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>p</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mover> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>26</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

由式(26)得

<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>s</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>6</mn> </munderover> <mo>{</mo> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <msup> <mi>sig</mi> <mrow> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mi>&amp;infin;</mi> </msub> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;eta;</mi> <mo>+</mo> <mover> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>p</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mover> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

将式(17)、(19)～(21)代入式(27)得；

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>s</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>6</mn> </munderover> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <msup> <mi>sig</mi> <mrow> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mi>&amp;infin;</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>&amp;eta;</mi> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>x</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>p</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mover> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>6</mn> </munderover> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <msup> <mi>sig</mi> <mrow> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mi>&amp;infin;</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>&amp;eta;</mi> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>x</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>6</mn> </munderover> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <msup> <mi>sig</mi> <mrow> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>6</mn> </munderover> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <msup> <mi>sig</mi> <mrow> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>x</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>6</mn> </munderover> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <msup> <mi>sig</mi> <mrow> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>28</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

将式(9)代入

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>s</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;eta;</mi> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>6</mn> </munderover> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <msup> <mi>sig</mi> <mrow> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;eta;</mi> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>6</mn> </munderover> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <msup> <mi>sig</mi> <mrow> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>0</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mi>c</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>0</mn> </msub> <msup> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;eta;</mi> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>6</mn> </munderover> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <msup> <mi>sig</mi> <mrow> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>0</mn> </msub> <msup> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>29</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

若要满足则则有其中δ＝ε₀c²+ε₁k₁ ²+ε₂k₂ ²， 表示取其中元素的最小项；V_sa的减小驱使闭环系统的轨迹为因此闭环系统的轨迹最终被界定为