CN111736600A - 一种时滞非对称时变全状态约束下的水面无人艇轨迹跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

一种时滞非对称时变全状态约束下的水面无人艇轨迹跟踪控制方法，属于控制技术领域。本发明为了解决现有的USV的轨迹跟踪控制方法并没有考虑时滞约束而导致的控制效果不佳的问题。本发明通过利用一种移位函数，实现对水面无人艇系统的误差变量进行移位转换，同时还设计了一种非对称障碍Lyapunov函数，设计相应的控制律和自适应律，保证无论初始条件如何，都可以实现最终一致有界的跟踪控制效果，而且时滞不对称时变约束可以在有限时间之后实现。主要用于水面无人艇的轨迹跟踪控制。

Description

一种时滞非对称时变全状态约束下的水面无人艇轨迹跟踪控 制方法

技术领域

本发明属于控制技术领域，具体涉及一种水面无人艇的跟踪控制方法。

背景技术

随着科学技术的进步，对于海上无人载具的研究得到了快速发展，涌现出多种不同的控制策略。例如，G.C.Zhang,H.Huang等人的《A novel adaptive second ordersliding mode path following control for a portable AUV》、X.Liang等人的《Three-dimensional path following of an underactuated AUV based on fuzzybackstepping sliding mode control》以及Z.H.Peng等人的《Output-feedback path-following control of autonomous underwater vehicles based on an extendedstate observer and projection neural networks》分别研究了自主式水下机器人(AUV)的路径跟踪控制。W.Xing等人《Convergence analysis on multi-auv systems withleader-follower architecture》提出了一种多AUV协同导航算法。N.Wang等人的《Nussbaum-based adaptive fuzzy tracking control of unmanned surface vehicleswith fully unknown dynamics and complex input nonlinearities》设计了水面无人艇(USV)的跟踪控制策略。其中，USV一直是军事和民用领域的研究热点。它具有监测海洋环境、开发海洋资源和执行巡逻任务的能力。因此，它可以为海洋工程、海洋运输、海洋石油工业等许多领域做出巨大贡献。

目前对USV的轨迹跟踪控制方法中，已经考虑了诸多实际问题，比如输入饱和问题、不确定性问题、外界干扰问题等等，但对于时滞约束控制还没有进行深入的研究，由于没有对时滞约束进行考虑，从而导致的控制效果不佳。

发明内容

本发明为了解决现有的USV的轨迹跟踪控制方法并没有考虑时滞约束而导致的控制效果不佳的问题。进而提出一种时滞非对称时变全状态约束下的水面无人艇轨迹跟踪控制方法。

一种时滞非对称时变全状态约束下的水面无人艇轨迹跟踪控制方法，包括以下步骤：

S1、根据3自由度的水面无人艇的的动力学模型建立水面无人艇的闭环系统；包括以下步骤：

S1.1、针对3自由度的水面无人艇的的动力学模型，利用x₁表示位置和航向角对应的向量η，利用x₂表示速度向量ν，对水面无人艇的动力学模型进行表示；

位置和航向角对应的向量

包括大地坐标系下的位置(η_x,η_y)和航向角(η_ψ)；

包括纵荡的速度v_x、横荡的速度v_y、艏摇的速度v_ψ；

S1.2、根据实际需求确定期望轨迹x_d＝[x_d1(t),x_d2(t),x_d3(t)]^T；

x_d1(t)表示无人艇x方向的期望位移，x_d2(t)表示无人艇y方向的期望位移，x_d3(t)表示无人艇期望的转向角度；

S1.3、设计虚拟控制函数

其中，J为水面无人艇的的动力学模型对应的随体坐标系到地面坐标系的非奇异转换矩阵；C₁为对角线元素均为正常数的对角阵；

为移位函数；Z₁＝[k₁₁z₁₁,k₁₂z₁₂,k₁₃z₁₃]^T；A₂＝[η₁₁ζ₁₁,η₁₂ζ₁₂,η₁₃ζ₁₃]，

USV有两个系统状态量x₁、x₂，为了简单表示，下标1的是针对x₁对应的参数，下标2的是针对x₂对应的参数；下标i＝1,2,3表示三个自由度对应的参数；当下标同时出现1、2和i时表示x₁、x₂对应自由度i时的参数，k_2i为对应的设计参数；ζ_1i为对应的z_1i移位变化后的误差变量；k_1i、k_2i为控制参数；F_11i＝k _c1i(t)-x _di(t),

k _c1i(t)、

为边界条件，满足

x _di(t)、

为x_di(t)的边界条件；

根据误差变量的定义有：

z₁＝[z₁₁,z₁₂,z₁₃]^T＝x₁-x_d

z₂＝[z₂₁,z₂₂,z₂₃]^T＝x₂-α

结合水面无人艇的动力学模型、z₁和z₂，初步建立起水面无人艇的闭环系统：

其中，M是一个对称正定的惯性矩阵；τ为期望控制输入；C代表向心力和科氏力扭矩，D为阻尼矩阵，g代表由重力、海流和浮力引起的回复力，w为外界干扰；

S2、期望控制输入的饱和特性处理：

期望控制输入τ的饱和函数sat(τ)如下：

sat(τ)＝[sat(τ₁),sat(τ₂),sat(τ₃)]^T

其中，sat(τ_i)＝sgn(τ_i)min{τ_imax,|τ_i|}，i＝1,2,3，τ_imax为饱和函数幅值；

期望控制输入和实际控制输入之间的差值为Δτ：

Δτ＝sat(τ)-τ

根据sat(τ)和Δτ，则水面无人艇的闭环系统表示如下：

为了消除输入饱和对系统的影响，设计如下的饱和补偿辅助系统：

其中，C₁,C₂为对角线元素均为正常数的对角阵，λ₁＝[λ₁₁,λ₁₂,λ₁₃]^T，λ₂＝[λ₂₁,λ₂₂,λ₂₃]^T是辅助系统的输出；依据饱和补偿辅助系统，重新定义误差变量z₁和z₂为：

建立最终的闭环系统为：

S3、设计移位函数：

其中，t表示时间，T＞0是一个预先规定的有限安定时间，n是系统阶数或是系统状态变量的数量；

根据移位函数将误差变量进行移位转换：

其中，j＝1,2；

S4、根据移位转换后的误差变量设计非对称障碍Lyapunov函数：

其中，F₁(t)和F₂(t)为正的障碍函数；

根据非对称障碍Lyapunov函数确定相应的控制律和自适应律，对水面无人艇进行轨迹跟踪控制。

进一步地，根据非对称障碍Lyapunov函数确定相应的控制律和自适应律如下：

其中，

为输入向量；θ为估计误差，

为θ、W_i自适应估计值；

γ₀、γ₁、δ分别为大于零的常数；a₁、a₂、K₃为正的常数；Γ_i为增益矩阵；C₂为对角线元素均为正常数的对角阵；(z₂ ^T)⁺为z₂ ^T的伪逆；

进一步地，在控制过程中令

为未确定项，利用神经网络法对f进行逼近。

进一步地，所述的3自由度的水面无人艇动力学模型表示如下：

其中，

包括大地坐标系下的位置(η_x,η_y)和航向角(η_ψ)；

包括纵荡的速度v_x、横荡的速度v_y、艏摇的速度v_ψ；

是一个对称正定的惯性矩阵，

代表向心力和科氏力扭矩，

为阻尼矩阵，g(η)代表由重力、海流和浮力引起的回复力；τ为期望控制输入，w为外界干扰；J(η)为非奇异的转换矩阵；

进一步地，所述的非奇异转换矩阵J(η)如下：

进一步地，利用x₁表示位置和航向角对应的向量η，利用x₂表示速度向量ν，对水面无人艇的动力学模型进行表示，具体如下：

其中，x₁＝η,x₂＝ν。

有益效果：

本发明通过利用一种移位函数，实现对水面无人艇系统的误差变量进行移位转换，同时还设计了一种非对称障碍Lyapunov函数，设计相应的控制律和自适应律，保证无论初始条件如何，都可以实现最终一致有界的跟踪控制效果，而且时滞不对称时变约束可以在有限时间之后实现。本发明对时滞影响进行了设计，有效的解决了时滞约束的问题，从而进一步提高轨迹跟踪的控制效果。通过实施例能够看出本发明能够实现较好的轨迹跟踪控制效果。

附图说明

图1为x₁与x_1d轨迹比较图；

图2为x₂与x_2d轨迹比较图；

图3为追踪误差z₁轨迹图；

图4为追踪误差z₂轨迹图；

图5为控制输入sat(τ)图。

具体实施方式

为了实现水面无人艇在时滞非对称时变约束下的轨迹跟踪控制方法，本发明通过利用一种移位函数，实现对水面无人艇系统的误差变量进行移位转换，同时还设计了一种非对称障碍Lyapunov函数。设计相应的控制律和自适应律，保证无论初始条件如何，都可以实现最终一致有界的跟踪控制效果，而且时滞不对称时变约束可以在有限时间之后实现。在说明本实施方式之前，首先对本发明的术语和主要参数进行一下说明。

地面坐标系(O-XY)：坐标原点O位于系泊线和系泊终端的连接处，XY轴所在的平面与地面平行。

随体坐标系(o-xy):坐标原点o位于水面无人艇的重心处，x轴沿中纵轴线从船尾指向船首，y轴指向左舷。

轨迹跟踪控制方法：预先设定好水面无人艇的航行路线，并控制水面无人艇按此轨迹路线航行。

移位函数：一种用于处理始跟踪条件的未知问题的函数，不仅可以帮助将非零且有界(可能未知)的变量初始值转移至零，还可以解决原始状态量的时滞约束。

非对称障碍Lyapunov函数：一种基于势函数思想建立的状态约束控制方法，其通过保证在闭环系统中障碍Lyapunov函数的有界性，从而来确保状态不会超过约束条件。其非对称的形式可以使得约束条件的上下界不需要完全对称。

主要参数：η_x,η_y,η_ψ——目标水面无人艇相对于地面坐标系的位置分量和航向；v_x,ν_y,ν_ψ——目标水面无人艇的纵荡、横荡和艏摇速度；M——对称正定惯性矩阵；C(ν)——向心力和科氏力矩阵；D(ν)——阻尼矩阵；g(η)——由重力、海流和浮力引起的恢复力；w——外界干扰；w_M——外界干扰的边界；J(η)——从随体坐标系到地面坐标系的非奇异转换矩阵；τ——期望控制输入；sat(τ)——实际控制输入；Δτ——实际控制输入和期望控制输入之间的差值；x_d——位置的期望轨迹；x_2d——速度的期望轨迹；z₁——关于位置的误差变量；z₂——关于速度的误差变量；α——虚拟控制函数；γ₀，γ₁，δ——大于零的常数；

——自适应估计值；θ，W_i——被自适应估计的真实值；

——自适应估计误差；C₁,C₂——对角线元素均为正常数的对角阵；λ₁，λ₂——饱和补偿辅助系统的输出；

x_di——系统状态量的预设约束界限；F_11i，F_12i——约束函数；

——神经网络中的未确定项；

—简化符号；

——简化符号；

——简化符号；A₂＝[η₁₁ζ₁₁,η₁₂ζ₁₂,η₁₃ζ₁₃]——简化符号。

具体实施方式一：

本实施方式为一种时滞非对称时变全状态约束下的水面无人艇轨迹跟踪控制方法，包括以下步骤：

1、建立水面无人艇的闭环系统：

一个存在多输入多输出的3自由度的水面无人艇动力学模型表示如下：

其中，

包括大地坐标系下的位置(η_x,η_y)和航向角(η_ψ)。

包括纵荡的速度v_x、横荡的速度v_y、艏摇的速度v_ψ。

是一个对称正定的惯性矩阵，

代表向心力和科氏力扭矩，

为阻尼矩阵，g(η)代表由重力、海流和浮力引起的回复力，w为外界干扰。J(η)为非奇异的转换矩阵，从随体坐标系到地面坐标系的非奇异转换矩阵J(η)：

由实际需求，建立期望轨迹x_d＝[x_d1(t),x_d2(t),x_d3(t)]^T；

令x₁＝η,x₂＝ν，可建立起其水面无人艇的动力学模型：

设计虚拟控制函数α，根据误差变量的定义，可得：

z₁＝[z₁₁,z₁₂,z₁₃]^T＝x₁-x_d (2)

z₂＝[z₂₁,z₂₂,z₂₃]^T＝x₂-α (3)

结合式(1)、式(2)和式(3)，初步建立起所需的闭环系统：

2、期望控制输入的饱和特性处理：

在实际应用中，由于在USV上的执行机构能够提供的控制力和控制力矩通常是有限的，所以在对控制器设计时有必要考虑输入饱和对控制性能的影响。饱和函数sat(τ)可以表达为如下形式：

sat(τ)＝[sat(τ₁),sat(τ₂),sat(τ₃)]^T (5)

其中，sat(τ_i)＝sgn(τ_i)min{τ_imax,|τ_i|},i＝1,2,3，τ_imax为饱和函数幅值。由于期望控制输入τ有可能比执行机构实际上能提供的控制输入sat(τ)大，所以在期望控制输入和实际控制输入之间会存在一个差值Δτ，表示为：

Δτ＝sat(τ)-τ (6)

根据输入饱和性(5)和(6)，则USV系统(1)可以表示如下：

为了消除输入饱和对系统的影响，设计如下的饱和补偿辅助系统：

其中，C₁,C₂为对角线元素均为正常数的对角阵，λ₁＝[λ₁₁,λ₁₂,λ₁₃]^T，λ₂＝[λ₂₁,λ₂₂,λ₂₃]^T是辅助系统的输出。则可以重新定义误差变量z₁和z₂为：

可得闭环系统为：

3、设计移位函数：

为了处理初始跟踪条件的未知问题，本发明引入如下的移位函数

其中，T＞0是一个预先规定的有限安定时间，并且n是系统阶数或是系统状态变量的数量。

由移位函数式(11)可得：(a)

(b)当t≥T时有

如果对其进行合适的使用，特性(a)可以帮助将非零且有界(可能未知)的变量初始值转移至零；特征(b)可以解决原始状态量的时滞约束。

关于安定时间T，由于安全或可靠性原因，预先定义的边界条件

i＝1,2,...,n，具体到USV系统i＝1,2,3。在t＝T_c前都能保持住，其中T_c是实际应用施加的时间。因此，有限安定时间T应为0＜T≤T_c，并且T必须大于最小时间周期T_m。所以0＜T_m≤T≤T_c。另外，T越小收敛越快，但是这会导致更大的控制影响，尤其是在初始阶段。因此在实际应用中，通常需要在收敛速度和控制力之间进行权衡。

引理1：本发明中的移位函数式(5)有如下特性：

(1)

是严格的增加的在t∈[0,T)且

并且对所有t≥0有

(2)

在t＝T时达到它的最大值1，并且在t≥T时保持这个值；

(3)对于i＝0,1,...,n+1，对于

是复数集合C^n+1-i且有界。

根据移位函数将误差变量进行移位转换：

由引理1中

的性质，可得

4、非对称障碍Lyapunov函数的提出：

现有研究中大多采用障碍Lyapunov函数处理状态约束的问题，而所谓障碍Lyapunov函数其实是基于势函数思想建立的一种状态约束控制方法，它可以通过保证在闭环系统中界限Lyapunov函数的有界性来确保状态不会超过约束条件。

在本发明中为了令约束条件更贴合实际情况，使其约束条件的上界和下界可以为非对称形式，设计了一种非对称障碍Lyapunov函数，其具体形式为：

其中，

边界条件

5、不确定性问题的处理：

由于USV系统的参数M、C(x₂)、D(x₂)、g(x₁)在实际中也许是未知的，因此本发明同时还使用神经网络法处理这些未知参数。令

为未确定项。利用神经网络法对f进行逼近，可得

f＝W^TS(Z)+ε (13)

其中，W为理想权矩阵，

为输入向量，ε为估计误差。

由于W是未知的，因此利用自适应法对其进行估计，其中用

表示W的估计值，

表示f的估计值，由此可得

6、控制律和自适应律的确定：

根据上述几个步骤的设计处理，可将轨迹跟踪控制律以及自适应律设计如下：

根据确定的控制律τ和自适应律

对水面无人艇进行轨迹跟踪控制。

USV有两个系统状态量x₁、x₂，简单来说下标1的是针对x₁对应的参数，下标2的是针对x₂对应的参数；而i＝1,2,3表示三个自由度对应的参数；当下标同时出现1、2和i时表示x₁、x₂对应i的参数。

利用本发明能够实现水面无人艇的轨迹跟踪控制，以及本发明的控制律和自适应律的确定过程如下：

1)水面无人艇的动力学模型

单点系泊系统的运动和状态变量的定义和测量由地面坐标系和随体坐标系决定。随体坐标系o-xy的坐标原点o位于水面无人艇的重心处，x轴沿中纵轴线从船尾指向船首，y轴指向左舷；地面坐标系O-XY的坐标原点O位于系泊线和系泊终端的连接处，X、Y轴与随体坐标系的x、y轴在同一平面内。

3自由度并且是多输入多输出的水面无人艇的动力学模型如下：

其中

包括USV在大地坐标系下的位置(η_x,η_y)和航向角(η_ψ)。

包括USV纵荡的速度v_x、横荡的速度v_y、艏摇的速度v_ψ。

是一个对称正定的惯性矩阵，

代表向心力和科氏力扭矩，

为阻尼矩阵，g(η)代表由重力、海流和浮力引起的回复力，w为外界干扰。

对称正定的惯性矩阵M，向心力和科氏力矩阵C(ν)，以及阻尼矩阵D(ν)如下：

其中，m为目标的质量，X_du为纵向力关于x轴方向运动的加速度系数，Y_dv为横向力关于y轴方向运动的加速度系数，Y_dr为横向力关于z轴方向转动的加速度系数，x_g为重心纵向位置，N_dr为偏航力矩关于z轴方向转动的加速度系数，X_u为纵向力关于x轴方向运动的速度系数，X_uu为纵向力关于x轴方向运动的二阶速度系数，X_uuu为在x轴方向的关于x轴方向运动的三阶速度系数；Y_v为横向力关于y轴方向运动的速度系数，Y_vv为横向力关于y轴方向运动的二阶速度系数，Y_r为横向力关于z轴方向转动的速度系数，Y_rr为横向力关于z轴方向转动的二阶速度系数，Y_rv为横向力关于z轴方向转动和y轴方向运动的耦合系数，Y_vr为横向力关于y轴方向运动和z轴方向转动的耦合系数；N_v为偏航力矩关于y轴方向运动的速度系数，N_vv为偏航力矩关于y轴方向运动的二阶速度系数，N_r为偏航力矩关于z轴方向转动的速度系数，N_rr为偏航力矩关于z轴方向转动的二阶速度系数，N_rv为偏航力矩关于z轴方向转动和y轴方向运动的耦合系数，N_vr为偏航力矩关于y轴方向运动和z轴方向转动的耦合系数。由此根据目标水面无人艇的自身性质及水动力参数，可确定上述的M、C(ν)、D(ν)并根据相应情况建立恢复力g(η)和未知干扰w。

J(η)为非奇异的转换矩阵，其定义如下：

2)移位函数的建立

为了处理初始跟踪条件的未知问题，本发明引入了如下的移位函数

其中，T＞0是一个预先规定的有限安定时间，并且n是系统阶数或是系统状态变量的数量。

备注1：由移位函数式(19)可得：(a)

(b)当t≥T时有

如果对其进行合适的使用，特性(a)可以帮助将非零且有界(可能未知)的变量初始值转移至零；特征(b)可以解决原始状态量的时滞约束。

备注2：关于安定时间T，由于安全或可靠性原因，预先定义的边界条件

在t＝T_c前都能保持住，其中T_c是实际应用施加的时间。因此，有限安定时间T应为0＜T≤T_c，并且T必须大于最小时间周期T_m。所以0＜T_m≤T≤T_c。另外，T越小收敛越快，但是这会导致更大的控制影响，尤其是在初始阶段。因此在实际应用中，通常需要在收敛速度和控制力之间进行某种权衡。

引理1：本发明中的移位函数式(19)有如下特性：

(1)

是严格的增加的在t∈[0,T)且

并且对所有t≥0有

(2)

在t＝T时达到它的最大值1，并且在t≥T时保持这个值；

(3)对于i＝0,1,...,n+1，对于

是复数集合C^n+1-i且有界。

3)饱和系统的建立

在实际应用中，由于在USV上的执行机构能够提供的控制力和控制力矩通常是有限的，所以在对控制器设计时有必要考虑输入饱和对控制性能的影响。饱和函数sat(τ)一般可以表达为如下形式：

sat(τ)＝[sat(τ₁),sat(τ₂),sat(τ₃)]^T (20)

其中，sat(τ_i)＝sgn(τ_i)min{τ_imax,|τ_i|},i＝1,2,3，τ_imax为饱和函数幅值。由于期望控制输入τ有可能比执行机构实际上能提供的控制输入sat(τ)大，所以在期望控制输入和实际控制输入之间会存在一个差值Δτ，表示为：

Δτ＝sat(τ)-τ (21)

根据输入饱和性(20)和(21)，则USV系统(18)可以表示如下：

为了消除输入饱和对系统的影响，设计如下的饱和补偿辅助系统：

其中，C₁,C₂为对角线元素均为正常数的对角阵，λ₁＝[λ₁₁,λ₁₂,λ₁₃]^T，λ₂＝[λ₂₁,λ₂₂,λ₂₃]^T是辅助系统的输出。则可以重新定义误差变量z₁和z₂为：

其中，α为待设计的虚拟控制函数；

可得闭环系统为：

4)非对称障碍Lyapunov函数的建立

通过对移位函数

的利用，我们对误差变量进行了移位转换：

由引理1中

的性质，可得

备注3：由式(22)中可以看出，通过式(21)转换，任何可能未知的非零且初始值有界的误差变量z_j(t)可以转化为一个初始值为零的新误差变量ζ_j(t)，并且随着t≥T，ζ_j(t)可以恢复回原来的误差变量z_j(t)。这种特性克服了常规BLF方法中初始跟踪条件不确定所带来的技术困难。

由此，本发明设计了一种非对称BLF：

其中，F₁(t)和F₂(t)为正的障碍函数，V在集合Ω_ζ:＝{-F₁(t)＜ζ(t)＜F₂(t)}中有效。如果初始条件满足-F₁(0)＜ζ(0)＜F₂(0)，并且V对所有t∈[0,∞)定义明确，那么当且仅当ζ(t)→-F₁(t)或ζ(t)→F₂(t)时存在V→∞。因此，我们只需保证

从而满足在t＞0时ζ(t)∈Ω_ζ。

为了简化符号，接下来的公式中有时会省略函数参数。

根据式(25)和(27)，可得

为了解决x₁上的延时不对称时变约束，我们构造了以下的不对称BLF

为了确保在预先设定的有限时间T后的边界条件

选择合适的k _c1i(t)和

其中F_11i＝k _c1i(t)-x _di(t),

5)神经网络法的应用

然而由于USV系统的参数M、C(x₂)、D(x₂)、g(x₁)在实际中也许是未知的，为此，本发明使用神经网络法处理这些未知参数。令

为未确定项。

径向基函数神经网络能够很好的近似非线性函数。对于一个非线性函数f(Z)，存在

f(Z)＝W^TS(Z)+ε (32)

其中，

W表示理想常数权值矩阵，ε表示估计误差。S(Z)＝[S₁(Z),...,S_r(Z)]^T代表以高斯函数为候选的激活函数：

其中，c_i和σ_i分别代表高斯函数的中心和宽度，r为神经元的数量。

假设4：对于所有Z∈Ω_Z，存在一个正的常数ε_M，即||ε||≤ε_M。

利用神经网络法对f进行逼近，可得

f＝W^TS(Z)+ε (34)

其中，W为理想权矩阵，

为输入向量，ε为估计误差。

由于W是未知的，因此利用自适应法对其进行估计，其中用

表示W的估计值，

表示f的估计值，由此可得

6)控制律和自适应律的确立

由此设计的控制律和自适应律为：

7)最终一致有界稳定的证明

对(31)关于时间求导，可得

为了简化，定义

USV有两个系统状态量x₁、x₂，简单来说下标1的是针对x₁对应的参数，下标2的是针对x₂对应的参数。因此下标2的参数和下标1的参数的定义差不多，只是1变成了2而已，例如有

那么

定义

和

根据(25)可将(40)转化为

设计虚拟控制函数为

其中，Z₁＝[k₁₁z₁₁,k₁₂z₁₂,k₁₃z₁₃]^T。

将式(42)代入式(41)，可得

进一步的对BLF进行设计

对式(44)关于时间求导，可得

其中，

此外，由于USV系统的参数M、C(x₂)、D(x₂)、g(x₁)在实际中也许是未知的，因此本发明同时还使用神经网络法处理这些未知参数。令

为未确定项。利用神经网络法对f进行逼近，可得

f＝W^TS(Z)+ε (46)

其中，W为理想权矩阵，

为输入向量，ε为估计误差。

由于W是未知的，因此利用自适应法对其进行估计，其中用

表示W的估计值，

表示f的估计值，由此可得

接下来设计BLF函数为

对(48)关于时间求导，可得

利用以下不等式

以及

可得

由此设计的控制律和自适应律为：

引理2：对于自适应律(53)，存在一个紧集

其中||S_i(Z)||≤s_i且φ_i＞0，即

如若

定理1：对于存在输入饱和以及时滞非对称时变全状态约束的USV系统，在利用假设1-4的情况下，轨迹跟踪控制律被设计成(51)-(53)。同样证明控制方案的在任意初始条件下的UUB，以及在有限时间T_c之后能够实现时滞不对称时变约束。

证明：将式(51)-(53)代入式(50)中，可得

继续设计BLF候选函数为

对(53)关于时间求导，得

设定

其中，

由引理2可得

因为

所以2F₁F₂-F₁ζ+F₂ζ≥0即

将(58)代入(57)，并根据(59)可得

其中，

进一步，由(60)可得

根据《Tracking control of uncertain nonlinear systems withdeferredasymmetric time-varying full state constraints,Automatica》的理论证明，式(61)可转化为

可以清楚看出在集合-F₁₁＜ζ₁＜F₁₂中

那么根据(62)，可以轻松得到

随着t→∞，

由此可以看出与任何其他UUB结果一样，通过正确选择设计参数，可以使ζ1变小。t∈[0,T)时z₁(t)有界，而且t≥T时z₁(t)＝ζ₁(t)，因此跟踪误差z₁也是UUB的。

进一步的，随着F_j1和F_j2已经证明为有界，那么我们表示F_j1+F_j2的最大值为

由于在集合

中，

那么根据(60)，我们可以进一步得到

其中，

为了方便，令ζ＝[ζ₁₁,ζ₁₂,ζ₁₃,ζ₂₁,ζ₂₂,ζ₂₃]^T和z＝[z₁₁,z₁₂,z₁₃,z₂₁,z₂₂,z₂₃]^T，则(63)可表示为

令

易知Θ是有界的。

对(64)进行积分并利用V₂和Θ有界，可得

由于已经证明z是有界的，而且当

时有z＝ζ，因此

同样的，我们还得到

由(65)-(67)，我们可进一步得到

这意味着均方跟踪误差和虚拟跟踪误差是O(υ)的阶数，即如果C调整得足够小，z_i可以调整得更小。

随着

我们可以得到z_i(t)＝ζ_i(t),

并满足于-F_i1(t)＜z_i(t)＜F_i2(t),

因为x₁＝z₁+x_d，x₂＝z₂+α，那么有

和

这意味着

和

随着F₁₁(t)＝k _c1-x _d，

F₂₁(t)＝k _c2-α，

因此，在预先设定的有限时间T后，得以满足系统的状态约束

在T≤T_c时，可以得出结论在有限时间T_c后时变非对称状态约束可以实现。此结果适用于任何有界初始条件。

实施例

为了验证本发明提出的半全局一致有界的控制方法，以及有限时间控制方法的有效性，利用具体实施方式一的方案进行仿真模拟。

本发明采用的是Cybership II的模型船，这是一个由挪威科技大学的海洋控制实验室建造的测量船的1:70的复制品。

选择的期望轨迹如下：

x_1d(t)＝[x_1xd(t),x_1yd(t),x_1ψd(t)]^T

外界干扰假定如下：

w(t)＝[w₁(t),w₂(t),w₃(t)]^T

对称正定的惯性矩阵M，向心力和科氏力扭矩C(ν)，以及阻尼矩阵D(ν)如下：

本发明中相应的水动力参数如下：m＝23.8，I_z＝1.76，x_g＝0.046，X_u＝-0.7225，X_uu＝-1.3274，X_uuu＝-5.8664，Y_v＝-0.8612，Y_vv＝-36.2823，Y_r＝0.1079，N_v＝0.1052，N_vv＝5.0437，X_du＝-2.0，Y_dv＝-10.0，Y_dr＝-0，N_dv＝0，N_dr＝-1.0，Y_rv＝2，Y_vr＝1，Y_rr＝3，N_rv＝5，N_r＝4，N_vr＝0.5，N_rr＝0.8。

其相应的状态初始值为x₁(0)＝[0.01,1,-0.012]^T,x₂(0)＝[0.8,0.8,-0.1]^T；控制参数K₁₁＝16，K₁₂＝20，K₁₃＝6，K₂₁＝3，K₂₂＝30，K₂₃＝0.5，K₃＝160，n＝2，T＝10，a₁＝a₂＝1，γ₀＝0.1，γ₁＝0.01，δ＝5。

时变函数F_11i＝1+0.2sin(0.2t)，F_12i＝1.5+0.2cos(0.4t)，F_21i＝5+10e^-0.1t，F₂₂₁＝4+15e^-0.1t，F₂₂₂＝4+35e^-0.2t，F₂₂₃＝4+15e^-0.1t；

接着，我们进一步对控制算法加入Anti-windup补偿器和神经网络，进而尝试提高控制性能。其中，饱和补偿辅助系数C₁＝diag[0.2,0.2,0.2]，C₂＝diag[4,4,4]；饱和输入限制τ_imax＝500,i＝1,2,3；选择了11个神经网络节点，即

S(Z)＝[S₁(Z),...,S₁₁(Z)]^T

其中，

选择高斯函数的中心平均分布在[-5,5]×[-0.5,0.5]，高斯函数的宽度选为σ_i＝1,i＝1,...,11，

的初始值为

其仿真结果如图1至图5所示，尽管初始时刻未进行约束处理，图1-图2中的x₁和x₂仍能实现较好的轨迹跟踪控制效果。图3-图4中误差z₁和z₂的某型变量尽管初始较大，但它们都迅速向0收敛，所有的变量都能保证在约束限制之内。而且，通过输入饱和处理，图5中的控制输入sat(τ)也更小更容易实现。

本发明与现有技术方案的比较

A、自适应全状态约束轨迹跟踪控制

此方法针对具有全状态约束和动力学不确定性的水面无人艇，提出了一种轨迹跟踪控制方法(Z.Yin,W.He,C.G.Yang.等人的《Tracking control of a marine surfacevessel withfull-state constraints,International Journal of Systems Science》)。基于障碍Lyapunov函数，进而防止状态变量违反约束约束。所提出的控制律能够补偿全状态约束的影响，同时保证闭环系统中的信号是半全局一致有界的，并实现了渐近跟踪。但这种方法的约束条件是从刚开始就起效，并且约束上下界必须是对称的。与之相比，本发明算法的约束条件更加灵活多变，不仅可以在预设时间后才开始对状态量进行约束，而且约束界限可以是不对称形态，更能满足实际需求。

B、基于观测器的有限时间轨迹跟踪控制

针对具有未知死区和未知干扰的水面无人艇，提出了一种有限时间轨迹跟踪控制方法(Y.Gao,N.Wang,W.D.Zhang.等人的《Disturbance observer based finite-timetrajectory tracking control of unmanned surface vehicles with unknown dead-zones,in:32nd Youth Academic Annual Conference of Chinese Association ofAutomatio》)。利用具有有限时间收敛性的鲁棒齐次微分器，从而精确地观测到外部扰动，同时基于死区斜率的界信息，将时变输入系数视为系统不确定性。但这种方法只处理了水面无人艇的不确定性问题。而且是与本发明算法相比，没有考虑执行机构的饱和性以及性能约束的问题。

需要注意的是，具体实施方式仅仅是对本发明技术方案的解释和说明，不能以此限定权利保护范围。凡根据本发明权利要求书和说明书所做的仅仅是局部改变的，仍应落入本发明的保护范围内。

Claims (6)

1.一种时滞非对称时变全状态约束下的水面无人艇轨迹跟踪控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、根据3自由度的水面无人艇的的动力学模型建立水面无人艇的闭环系统；包括以下步骤：

S1.1、针对3自由度的水面无人艇的的动力学模型，利用x₁表示位置和航向角对应的向量η，利用x₂表示速度向量ν，对水面无人艇的动力学模型进行表示；

位置和航向角对应的向量

包括大地坐标系下的位置(η_x,η_y)和航向角(η_ψ)；

包括纵荡的速度v_x、横荡的速度v_y、艏摇的速度v_ψ；

S1.2、根据实际需求确定期望轨迹x_d＝[x_d1(t),x_d2(t),x_d3(t)]^T；

x_d1(t)表示无人艇x方向的期望位移，x_d2(t)表示无人艇y方向的期望位移，x_d3(t)表示无人艇期望的转向角度；

S1.3、设计虚拟控制函数

其中，J为水面无人艇的的动力学模型对应的随体坐标系到地面坐标系的非奇异转换矩阵；C₁为对角线元素均为正常数的对角阵；

为移位函数；Z₁＝[k₁₁z₁₁,k₁₂z₁₂,k₁₃z₁₃]^T；A₂＝[η₁₁ζ₁₁,η₁₂ζ₁₂,η₁₃ζ₁₃]，

USV有两个系统状态量x₁、x₂，为了简单表示，下标1的是针对x₁对应的参数，下标2的是针对x₂对应的参数；下标i＝1,2,3表示三个自由度对应的参数；当下标同时出现1、2和i时表示x₁、x₂对应自由度i时的参数，k_2i为对应的设计参数；ζ_1i为对应的移位变化后的误差变量；k_1i、k_2i为对应的设计参数；F_11i＝k _c1i(t)-x _di(t),

k _c1i(t)、

为边界条件，满足

x _di(t)、

为x_di(t)的边界条件；

根据误差变量的定义有：

z₁＝[z₁₁,z₁₂,z₁₃]^T＝x₁-x_d

z₂＝[z₂₁,z₂₂,z₂₃]^T＝x₂-α

结合水面无人艇的动力学模型、z₁和z₂，初步建立起水面无人艇的闭环系统：

其中，M是一个对称正定的惯性矩阵；τ为期望控制输入；C代表向心力和科氏力扭矩，D为阻尼矩阵，g代表由重力、海流和浮力引起的回复力，w为外界干扰；

S2、期望控制输入的饱和特性处理：

期望控制输入τ的饱和函数sat(τ)如下：

sat(τ)＝[sat(τ₁),sat(τ₂),sat(τ₃)]^T

其中，sat(τ_i)＝sgn(τ_i)min{τ_imax,|τ_i|}，i＝1,2,3，τ_imax为饱和函数幅值；

期望控制输入和实际控制输入之间的差值为Δτ：

Δτ＝sat(τ)-τ

根据sat(τ)和Δτ，则水面无人艇的闭环系统表示如下：

为了消除输入饱和对系统的影响，设计如下的饱和补偿辅助系统：

其中，C₁,C₂为对角线元素均为正常数的对角阵，λ₁＝[λ₁₁,λ₁₂,λ₁₃]^T，λ₂＝[λ₂₁,λ₂₂,λ₂₃]^T是辅助系统的输出；重新定义误差变量z₁和z₂为：

最终可得闭环系统为：

S3、设计移位函数：

其中，t表示时间，T＞0是一个预先规定的有限安定时间，n是系统阶数或是系统状态变量的数量；

根据移位函数将误差变量进行移位转换：

其中，j＝1,2；

S4、根据移位转换后的误差变量设计非对称障碍Lyapunov函数：

其中，F₁(t)和F₂(t)为正的障碍函数；

根据非对称障碍Lyapunov函数确定相应的控制律和自适应律，对水面无人艇进行轨迹跟踪控制。

2.根据权利要求1所述的一种时滞非对称时变全状态约束下的水面无人艇轨迹跟踪控制方法，其特征在于，根据非对称障碍Lyapunov函数确定相应的控制律和自适应律如下：

其中，

为输入向量；θ为估计误差，

为θ、W_i自适应估计值；

γ₀、γ₁、δ分别为大于零的常数；a₁、a₂、K₃为正的常数；Γ_i为增益矩阵；C₂为对角线元素均为正常数的对角阵；(z₂ ^T)⁺为z₂ ^T的伪逆；

3.根据权利要求2所述的一种时滞非对称时变全状态约束下的水面无人艇轨迹跟踪控制方法，其特征在于，在控制过程中令

为未确定项，利用神经网络法对f进行逼近。

4.根据权利要求1、2或3所述的一种时滞非对称时变全状态约束下的水面无人艇轨迹跟踪控制方法，其特征在于，所述的3自由度的水面无人艇动力学模型表示如下：

其中，

包括大地坐标系下的位置(η_x,η_y)和航向角(η_ψ)；

包括纵荡的速度v_x、横荡的速度v_y、艏摇的速度v_ψ；

是一个对称正定的惯性矩阵，

代表向心力和科氏力扭矩，

为阻尼矩阵，g(η)代表由重力、海流和浮力引起的回复力；τ为期望控制输入，w为外界干扰；J(η)为非奇异的转换矩阵。

5.根据权利要求4所述的一种时滞非对称时变全状态约束下的水面无人艇轨迹跟踪控制方法，其特征在于，所述的非奇异转换矩阵J(η)如下：

6.根据权利要求5所述的一种时滞非对称时变全状态约束下的水面无人艇轨迹跟踪控制方法，其特征在于，利用x₁表示位置和航向角对应的向量η，利用x₂表示速度向量ν，对水面无人艇的动力学模型进行表示，具体如下：

其中，x₁＝η,x₂＝ν。

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