CN113110527A - 一种自主水下航行器有限时间路径跟踪的级联控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种自主水下航行器有限时间路径跟踪的级联控制方法，属于水下航行器跟踪控制技术领域，该方法包括以下步骤：建立自主水下航行器的动力学方程和运动学方程；根据自主水下航行器的运动学方程，建立路径跟踪误差动态方程；设计虚拟导向和运动学等价控制器，将路径跟踪误差动态方程转化成新型级联系统；分别通过速度误差子系统和航向误差子系统进行自主水下航行器的速度及航向的有限控制，利用障碍李雅普诺夫函数及有限时间控制方法镇定级联扰动子系统，然后对级联系统的全局有限时间稳定的充分条件进行验证，保证闭环信号的全局有限时间稳定。

Description

一种自主水下航行器有限时间路径跟踪的级联控制方法

技术领域

本发明涉及水下航行器跟踪控制技术领域，尤其涉及一种自主水下航行器有限时间路径跟踪的级联控制方法。

背景技术

近年来，水面船及水下航行器的路径跟踪和轨迹跟踪控制问题，已经成为海洋工程技术与装备的两个重要研究方向，受到学者们的广泛关注。但路径跟踪由于不受严格的时间约束，且参考路径可以通过自主路径规划生成，更加便于工程应用。

非线性级联系统是一类重要的非线性系统,很多非线性系统可以通过状态反馈或控制设计转化为级联形式。典型的级联系统是由两个独立子系统及关联项组成,两个子系统一个称为受扰动系统，一个称为扰动系统,控制输入只作用于扰动系统,而扰动级联系统最初应用于轮式移动机器人轨迹跟踪控制中，分别实现了全局一致渐近稳定和全局指数稳定控制。与移动机器人路径跟随最大的不同是水下航行器和水面船的合速度方向与运动方向存在漂角，且控制器设计不仅要依靠运动学，还需要扩展到动力学，由于自身存在时变非线性，耦合的流体力学等特性增加了控制器设计难度。有学者将路径跟踪误差运动学方程转换为一种新的级联形式，实现了输入受限下级联系统的一致最终有界稳定,但由于受持续激励条件限制，无法实现直线跟踪。也有学者将三维运动解耦为水平面和垂直面运动，应用级联系统实现了全局K指数稳定控制。但是针对直线路径跟踪问题进行了研究。相比于常规采用整体构造李雅普诺夫函数进行迭代求解的路径跟踪控制方法，级联系统解耦了控制器的设计过程。

有限时间稳定性的提出对现代非线性控制的发展起到着重要的影响,跟踪过程的收敛速度反映了控制系统的响应特性,相比于渐近稳定或指数稳定的结果,有限时间稳定具有更大的优势,由于工程中的控制目标总是要求在有限时间内完成,这使得对有限时间稳定的研究具有重要的工程应用价值，有限时间控制已经在移动机器人、水下航行器、再入飞行器和航天器控制中获得广泛应用。

现有研究成果未涉及到水下航行器的路径跟踪有限时间级联控制。

发明内容

根据现有技术存在的问题，本发明公开了一种自主水下航行器有限时间路径跟踪的级联控制方法，其特征在于：包括以下步骤：

根据自主水下航行器的运动学方程，建立路径跟踪误差动态方程；

设计虚拟导向和运动学等价控制器，将路径跟踪误差动态方程转化成新型级联系统；

分别通过速度误差子系统和航向误差子系统进行自主水下航行器的速度及航向的有限控制，利用障碍李雅普诺夫函数及有限时间控制方法镇定级联扰动子系统；

对级联系统的全局有限时间稳定的充分条件进行验证，保证闭环信号的全局有限时间稳定。

进一步地，所述级联系统表达式如下：

所述级联系统包括级联名义子系统和扰动子系统；

所述级联名义子系统定义为：

关联项为g(t,x₁,x₂)；

所述级联系统的扰动子系统:

由z_1,1和z_2,1的动态特性表示为：

其中，τ＝[τ₁,τ₂]^T为控制向量，t为时间，x₁,x₂为状态变量。

进一步地，构造所述速度误差子系统的障碍李雅普诺夫函数V_1,1为：

其中，

为误差信号界限，z_1,1为误差信号。

进一步地，所述级联系统的稳定性验证过程如下：

为验证级联名义子系统的稳定性，构造李雅普诺夫能量函数

的表达式如下：

对上式求导得:

其中，l₁,l₂为设计系数，γ为分数阶参数；

为验证扰动子系统

为全局一致有限时间稳定，构造李雅普诺夫能量函数

为：

其中，i＝1,2,j＝1,2,3，z_1,i为航向跟踪误差，z_2,j为速度跟踪误差；

对上式求导得：

其中，λ_1,1,λ_2,1,λ_1,2,λ_2,2为设计参数。

对级联子系统Σ₁性质进行验证:

其中:

β₄为非负函数，β₁为K_∞类函数，β₂为K_∞类函数；

内联函数g(t,x₁,x₂)边界条件验证:由于水下航行器合速度

假设v_t≤v_tmax；则

||g(t,x₁,x₂)||＝γ₁(||x₂||)β₅(||x₁||) (39)

其中，v_tmax为速度最大值，x₁,x₂状态变量，β₅为连续函数，γ₁为非递减连续函数；

选择参数β₅(s)＝1,

γ₁(s)＝2s+1，则β₆满足以下条件：

其中，β₆为非递减函数。

综上得到：根据建立的级联系统闭环所有信号的全局一致有限时间稳定。

由于采用了上述技术方案，本发明提供的一种自主水下航行器有限时间路径跟踪的级联控制方法，基于路径坐标系和虚拟向导建立跟踪误差动态方程，并设计运动学等价控制器将水下航行器的跟踪误差动态方程转化成一种新的级联系统的形式，因此将原系统的控制问题进一步转化为级联系统的控制问题，利用障碍李雅普诺夫函数及有限时间控制方法镇定扰动子系统，然后对级联系统的全局有限时间稳定的充分条件进行验证,保证闭环信号的全局有限时间稳定。

附图说明

为了更清楚地说明本申请实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本申请中记载的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为AUV路径曲线跟踪示意图；

图2为AUV曲线路径跟踪轨迹图；

图3(a)为{F}坐标系下纵向路径跟踪误差曲线图；(b)为{I}坐标系下纵向路径跟踪误差曲线图，(c)为{F}坐标系下横向路径跟踪误差曲线图，(d)为{I}坐标系下纵向路径跟踪误差曲线图；

图4(a)为纵向速度跟踪曲线图；(b)为横向速度跟踪曲线图，(c)为航向角跟踪曲线图，(d)为艏摇角速度跟踪曲线图；

图5(a)为跟踪误差z_1,1曲线图；(b)为跟踪误差z_1,2曲线图，(c)为纵向推力响应曲线图，(d)为转艏力矩响应曲线图；

具体实施方式

为使本发明的技术方案和优点更加清楚，下面结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚完整的描述：

一种自主水下航行器有限时间路径跟踪的级联控制方法，包括以下步骤：

S1:根据自主水下航行器的运动学方程，建立路径跟踪误差动态方程；

S2:设计运动学等价控制器，将路径跟踪误差动态方程转化成新型级联系统；

S3:分别通过速度误差子系统和航向误差子系统进行自主水下航行器的速度及航向的有限控制，利用障碍李雅普诺夫函数及有限时间控制方法镇定级联扰动子系统；

S4:对级联系统的全局有限时间稳定的充分条件进行验证，保证闭环信号的全局有限时间稳定。

进一步地，基于欠驱动AUV数学模型忽略横摇运动对水平面运动的影响,建立如下三自由度水平面运模型，AUV的动力学方程表示为:

其中，m₁,m₂,m₃,为水下航行器的附加质量参数，d₁,d₂,d₃为非线性阻尼项，m表示为水下航行器的质量；I_z为水下航行器绕z轴的转动惯量，u、v和r分别表示载体坐标系下纵向速度、横向速度和艏摇角速度；c_i,i＝1,2表示执行机构机电时间常数,控制输入τ₁和τ₂分别表示纵向推力和转艏力矩。

水下航行器的运动学方程表示为:

其中：x和y为水下航行器固定坐标系下的位置坐标，v_t为合速度定义为

ψ_w＝ψ+β,ψ表示为AUV的艏向,漂角β为水下航行器的纵向速度u与合速v_t间的夹角，定义为

图1为水下航行器路径曲线跟踪示意图；图1中给出了水下航行器路径跟随坐标系定义，{I}、{B}和{F}分别表示固定坐标系、载体坐标系和路径坐标系；Q点为水下航行器的质心位置，P为期望路径上的虚拟向导点，以P为原点的路径坐标系{F}定义为将坐标系{I}绕z轴旋转ψ_F角度，然后平移坐标系使得O点与P点重合，给定期望路径上P点坐标为x_d(μ)和y_d(μ),μ∈R为路径参数，旋转角度定义为：

其中

定义期望上虚拟向导点P在固定坐标系{I}下的位置向量为

其中：

为期望的位置向量，x_d(μ)为期望的纵向位移，y_d(μ)期望的侧向位移；

水下航行器当前位置点Q在坐标系{I}下的位置向量为ηⁿ＝[x,y]^T,Q点相对P点的偏差既可以在固定坐标系{I}下表示为

也可以在{F}坐标系下表示为ε＝[ε₁,ε₂]^T,两者的转换关系为：

其中，

为固定坐标系{I}下位移偏差，ε为路径坐标系{F}下位移偏差，

为路径坐标系{F}到固定坐标系{I}的旋转矩阵，定义为：

其中：ψ_F为旋转角度；

对ε求导得：

其中，矩阵S(r_F)定义为：

定义如下跟踪误差信号：

其中：α_1,1为虚拟控制律，α_2,1为虚拟控制律，

设计运动学等价控制器为：

其中,l_1,1>0,l_1,2>0；

定义x₁＝[ε₁,ε₂]^T,x₂＝[z_1,1,z_2,1]^T,则：

其中，转换矩阵

式中

名义函数，g关联函数，名义矩阵K表示为

式中，r_F旋转角速度，

v_t为合速度，l_1,1>0,l_2,1>0比例增益参数，l_1,2>0,l_2,2>0分数阶增益参数，ε₁,ε₂位置偏差，0<γ<1分数阶参数。

所述级联系统表达式如下：

其中，名义子系统为

关联项为g(t,x₁,x₂)；扰动子系统为f₂(t,x₂,τ)。

由z_1,1和z_2,1的动态特性可以表示为

其中，τ＝[τ₁,τ₂]^T为控制向量，τ₁为纵向推力和τ₂转艏力矩；

根据动力学方程,扰动系统∑₂可进一步展开为如下Σ_2,1和Σ_2,2两个独立的子系统:

速度误差子系统Σ_2,1为:

其中，

为虚拟控制律导数，u为纵向速度，c₁为执行机构机电时间常数，m₁为附加质量参数，

为速度非线性函数，u₁为纵向推力输入；

航向误差子系统Σ_2,2为:

其中，

f_r为角速度非线性函数，r_d为期望角速度，m₃为附加质量参数，u₂为艏向转矩输入，r为角速度，c₂为执行机构机电时间常数；

进一步地，对有限时间控制器进行设计如下：

(1)速度误差子系统镇定：针对级联系统∑₂中的速度误差子系统设计有限时间控制器；

构造障碍李雅普诺夫函数V_1,1为：

其中，

为误差信号界限，为保证误差信号z_1,1快速收敛性,设计如下的有限时间时变性能约束函数：

其中，ρ_i0≥0,ρ_if≥0,0<T<∞，始条件为

为稳态误差，ρ_i(t)为有限时间时变性能约束函数，ρ_i0为初始值,T_if为调节时间,ρ_if为稳态值；

因此对误差信号z_1,1的约束可以通过如下不等式表示:

其中，

ρ₁(t)为有限时间时变性能约束函数；

定义虚拟控制误差信号z_1,2为：z_1,2＝u₁-α_1,2 (25)其中，u₁为纵向推力输入；

设计虚拟控制量α_1,2为：

其中，k_1,1>0,

k_1,1为比例控制增益,k_1，2分数阶控制增益,γ分数阶设计参数；

构造李雅普诺夫函数V_1,2为：

设计控制信号：

其中，设计参数

则：

其中，设计参数λ_1,1＝2min{k_1,1,k_1,3},λ_1,2＝2min{k_1,2,k_1,4}。

(2)航向误差子系统镇定

构造障碍李雅普诺夫函数V_2,1为：

其中，

ρ₂(t)满足有限时间时变性能约束函数，其中：ρ₂(t)为有限时间时变性能约束函数，

为误差界限；

定义虚拟控制误差信号为：

其中：r为艏摇角速度，u₂为转艏力矩输入；

设计虚拟控制量α_2,2,α_2,3和控制输入τ₂为：

其中，k_2,1>0,k_2,2>0,k_2,3>0,

构造李雅普诺夫能量函数V_2,3为：

则：

其中：z_2,2为艏摇角跟踪误差,z_2,3为控制律跟踪误差，设计参数λ_2,1,λ_2,2。

(3)级联系统稳定性验证

1)为子系统Σ1稳定性验证:构造李雅普诺夫能量函数

为：

对上式(32)求导得：

其中：l₁,l₂,γ为设计参数；

2)为子系统Σ2稳定性验证:构造李雅普诺夫能量函数

为：

其中，i＝1,2,j＝1,2,3，z_2,j为航向跟踪误差，z_1,i为速度跟踪误差。

对上式(34)求导得：

其中，设计参数λ_1,2,λ_2,1,λ_1,2,λ_2,2。

3)子系统V_Σ1性质验证：

其中：β₄为非负函数，β₁为K_∞类函数，β₂为K_∞类函数。

4)内联函数g(t,x₁,x₂)边界条件验证:由于水下航行器合速度

所以假设v_t≤v_tmax，则

||g(t,x₁,x₂)||＝γ₁(||x₂||)β₅(||x₁||) (39)

其中：v_tmax为速度最大值，x₁,x₂状态变量，β₅为连续函数，γ₁为非递减连续函数；

选择参数

β₄(s)＝2s²，β₅(s)＝1，

γ₁(s)＝2s+1，则β₆满足以下条件：

其中：β₆为非递减函数。

综上，根据建立的级联系统闭环所有信号的全局一致有限时间稳定。

为验证级联控制器的有效性,下面分别对光滑路径跟踪进行仿真验证。

规划期望曲线路径为:(单位:m)

通过仿真实验验证了本文提出算法的有效性能够实现对曲线路径的跟踪：

选取AUV的初始位置为x＝10(m),y＝5(m),初始艏向为

AUV初始速度为u＝0.1(m/s),v＝0(m/s),r＝0(rad/s)；初始路径跟踪误差为ε₁＝10(m),ε₂＝5(m),初始航向角误差为

期望速度u_d＝1(m/s),路径参数初始值为μ＝0,s＝0；

图2为AUV曲线路径跟踪轨迹图；图3(a)为{F}坐标系下纵向路径跟踪误差曲线图；(b)为{I}坐标系下纵向路径跟踪误差曲线图，(c)为{F}坐标系下横向路径跟踪误差曲线图，(d)为{I}坐标系下纵向路径跟踪误差曲线图；图4(a)为纵向速度跟踪曲线图；(b)为横向速度跟踪曲线图，(c)为航向角跟踪曲线图，(d)为艏摇角速度跟踪曲线图；图5(a)为跟踪误差z_1,1曲线图；(b)为跟踪误差z_1,2曲线图，(c)为纵向推力响应曲线图，(d)为转艏力矩响应曲线图；图2～图5中给出了两种不同方法下的曲线路径跟踪对比曲线图；图2中给出了水平面路径跟踪过程中AUV的跟踪轨迹,可以看出在一定初始偏差下,不同算法均能保证AUV收敛到期望曲线路径并实现精确跟踪；图3分别给出了路径坐标系{F}和固定坐标系{I}下的位置跟踪误差对比曲线,有限时间级联控制相比于渐近收敛的级联控制方法具有较快的收敛速度；图4给出了系统的状态响应曲线，图5中给出了系统受约束状态及控制输入的响应曲线；

以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，根据本发明的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种自主水下航行器有限时间路径跟踪的级联控制方法，其特征在于：包括以下步骤：

根据自主水下航行器的运动学方程，建立路径跟踪误差动态方程；

设计运动学等价控制器，将路径跟踪误差动态方程转化成新型级联系统；

分别通过速度误差子系统和航向误差子系统进行自主水下航行器的速度及航向的有限控制，利用障碍李雅普诺夫函数及有限时间控制方法镇定级联扰动子系统；

对级联系统的全局有限时间稳定的充分条件进行验证，保证闭环信号的全局有限时间稳定。

2.根据权利要求1所述的一种自主水下航行器有限时间路径跟踪的级联控制方法，其特征还在于：所述级联系统表达式如下：

所述级联系统包括级联名义子系统和扰动子系统；

所述级联名义子系统定义为：

关联项为g(t,x₁,x₂)；

所述级联系统的扰动子系统:∑₂:

由z_1,1和z_2,1的动态特性表示为：

其中，τ＝[τ₁,τ₂]^T为控制向量，t为时间，x₁,x₂为状态变量。

3.根据权利要求1所述的一种自主水下航行器有限时间路径跟踪的级联控制方法，其特征还在于：构造所述速度误差子系统的障碍李雅普诺夫函数V_1,1为：

其中：

为误差信号界限，z_1,1为误差信号。

4.根据权利要求1所述的一种自主水下航行器有限时间路径跟踪的级联控制方法，其特征还在于：所述级联系统的稳定性验证过程如下：

为验证级联名义子系统的稳定性，构造李雅普诺夫能量函数

的表达式如下：

对上式求导得:

其中，l₁,l₂为设计系数，γ为分数阶参数；

为验证扰动子系统∑₂:

为全局一致有限时间稳定，构造李雅普诺夫能量函数

为：

其中，i＝1,2,j＝1,2,3，z_1,i为航向跟踪误差，z_2,j为速度跟踪误差；

对上式求导得：

其中，λ_1,1,λ_2,1,λ_1,2,λ_2,2为设计参数。

对级联子系统Σ₁性质进行验证:

其中:

β₂(s)＝s²,

β₄(s)＝2s²；β₄为非负函数，β₁为K_∞类函数，β₂为K_∞类函数；

内联函数g(t,x₁,x₂)边界条件验证:水下自主航行器合速度

满足假设v_t≤v_tmax；则：

||g(t,x₁,x₂)||＝γ₁(||x₂||)β₅(||x₁||) (39)

其中：v_tmax为速度最大值，x₁,x₂为状态变量，β₅为连续函数，γ₁为非递减连续函数；

选择参数β₅(s)＝1,

γ₁(s)＝2s+1，则β₆满足以下条件：

其中：β₆为非递减函数；

综上得到：根据建立的级联系统闭环所有信号的全局一致有限时间稳定。

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