CN107918284A - 非线性倒立摆系统基于事件触发策略的模糊控制方法 - Google Patents

非线性倒立摆系统基于事件触发策略的模糊控制方法 Download PDF

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苏晓杰
夏凤琴
刘鑫鑫
杨荣妮
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Chongqing University
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    • G—PHYSICS
    • G05—CONTROLLING; REGULATING
    • G05B—CONTROL OR REGULATING SYSTEMS IN GENERAL; FUNCTIONAL ELEMENTS OF SUCH SYSTEMS; MONITORING OR TESTING ARRANGEMENTS FOR SUCH SYSTEMS OR ELEMENTS
    • G05B13/00—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion
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    • G05B13/042—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric involving the use of models or simulators in which a parameter or coefficient is automatically adjusted to optimise the performance
    • G—PHYSICS
    • G05—CONTROLLING; REGULATING
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Abstract

本发明公开了一种非线性的倒立摆系统基于事件触发策略的模糊控制方法，包括：步骤一、建立带有延迟谐振器的倒立摆系统的动态数学模型；步骤二、设定倒立摆系统的事件触发策略，构造带有延迟谐振器的倒立摆系统的模糊控制器；骤三、模糊控制器u(k)将控制指令经过事件触发机制发送给倒立摆系统的执行器，实现控制目标。本发明对系统参数和外部干扰的变化具有完全的鲁棒性，消除了抖振，保证系统具有较好的稳定性，又由于使用事件触发机制，使得倒立摆系统有效抑制了时变时滞特性、并且有效的减轻了通信负担，节省了带宽资源。

Description

非线性倒立摆系统基于事件触发策略的模糊控制方法
技术领域
本发明涉及非线性系统控制技术领域，特别涉及一类非线性倒立摆系统的控制方法。
背景技术
倒立摆系统是一个典型的非线性，多变量，不稳定的动态系统。使用一般的线性控制理论很难控制其稳定性，尽管基于各种经典线性控制理论和先进控制理论方法已经提出，但由于倒立摆系统的内部多状态特性，以及系统中存在模型参数的不确定性(时变时滞情况)及运行环境不断变化等问题，设计一个固定控制器来解决倒立摆系统的稳定性问题可能不再合适。因此先进控制理论(包括模糊控制、神经网络、预测控制和自适应控制等)逐渐成为倒立摆系统研究热点。同时，倒立摆系统可以用来验证新的控制方法具有处理非线性和不稳定性问题的能力，为控制理论理论与工程实践提供了桥梁。
模糊系统控制由于其对系统中存在的不确定性具有极强的鲁棒性、算法简单、抗干扰性能好以及容易在线实现等优点而被广泛应用。其中Takagi-Sugeno(T-S)模糊建模已被证明是研究这些复杂动态系统的一种有效方法，通过使用IF-THEN规则，动态非线性系统被近似为局部线性输入-输出关系，并且通过平滑地混合局部线性模型和模糊分段隶属函数的紧密集合来获得整个模糊模型。因此，传统线性系统提出的稳定性条件和综合结果可以很容易地扩展到动态非线性系统。另外，如果倒立摆系统通过无线网络连接实现，一个需要考虑的问题就是在网络控制系统中是否有足够的带宽资源，将信息反馈到控制器上然后将控制命令发送到执行器和对象上。事件触发控制策略能显著减少一些不必要的数据传输，以减轻网络带宽占有率的负担，降低网络节点的功率消耗。因此，基于事件触发机制的研究具有重要的理论意义和实际价值。另外实际倒立摆系统中时变时滞情况是不可避免，目前处理该时滞时变问题主要有时滞相关方法和非时滞相关方法，其中相较于非时滞相关方法，时滞相关方法能够有效的减少系统的保守性，但时滞相关方法也会导致优化过程中增加计算的复杂性。因此如何有效的保证满意的计算复杂度和保守性，又能更少占用带宽，这就需要设计更有效的控制器。而且基于事件触发的模糊控制应用于倒立摆系统问题目前几乎没有。
发明内容
有鉴于此，本发明的目的一种非线性倒立摆系统基于事件触发策略的模糊控制方法，以实现对系统参数和外部干扰的变化具有完全的鲁棒性，能保证系统具有较好的稳定性，并有效减轻通信负担、节省带宽资源。
本发明非线性的倒立摆系统基于事件触发模糊控制的方法，包括以下步骤：
非线性倒立摆系统基于事件触发策略的模糊控制方法，其特征在于：包括以下步骤：
步骤一、建立带有延迟谐振器的倒立摆系统的动态数学模型为：
所述倒立摆系统包括小车、铰接于小车顶部上的摆杆和对小车运动施加阻力的延迟谐振器；上式中，M为小车质量，m为摆杆质量，l为摆杆长度，g为重力加速度，θ为摆杆从直立位置的摆动角度，y为小车的位移，d为时间延迟，u为作用在小车上的驱动力，Fr为小车运动的摩擦阻力；
基于T-S模糊控制方法，将上述倒立摆系统的动态数学模型近似为：
x(k+1)＝Aix(k)+Adix(k-d(k))+Biu(k)，i＝1，2，
其中：
xT(k)＝[x1 x2 x3 x4]，dM＝3，dm＝1，
式中，x(k)是状态向量，d(k)为时变时滞，满足0<dm≤d(k)≤dM<∞，表示初始条件，u(k)是控制输入向量，Ai，Adi，Bi是适当维数的系统矩阵，并且是已知的常数矩阵，gr为延迟谐振器的系数，cr为调阻尼器系数，T为采样时间，|γ|＝0.52弧度，α＝cosγ，β＝(sinγ)/γ；
步骤二、设定倒立摆系统的事件触发策略，构造带有延迟谐振器的倒立摆系统的模糊控制器；
1)事件触发策略如下：
[x(k)-x(kt)]TΩ[x(k)-x(kt)]≤εixT(kt)Ωx(kt)，
其中：Ω是被设计的正定加权矩阵，εi是给定的常数标量，εi∈[0，1)；kt是触发时刻；
2)由事件触发情况，采用网络数据处理方法，获得误差信号ei(k)；
其中，n＝1，2，…，d-1；
3)基于上述ei(k)的定义和事件触发策略，将初始的事件触发条件转化为以下带有时延的事件触发形式：
相应的，系统状态x(kt)被表示为：
x(kt)＝x(k-d(k))+ei(k),
4)构造如下的模糊控制器：
u(k)＝Kix(k),
其中：Ki是模糊控制器增益矩阵；
最后，结合上述获得的延时状态x(kt)，获得T-S模糊闭环控制系统形式：
x(k+1)＝[Aix(k)+BiKjx(k-d(k))+BiKjei(k)],
其中：
a，设计矩阵E，令Z＝X-T，E＝diag{Z，Z，…，Z}；其中X利用Matlab中的LMI工具箱进行求解获得；
b，在模糊系统控制中，模糊控制律等效于Ki＝GiX-1构成，矩阵Gi和X在稳定性条件设计中满足矩阵不等式条件；也就是说，为保证系统渐进稳定，设计如下的矩阵：
步骤三、模糊控制器u(k)将控制指令经过事件触发机制发送给倒立摆系统的执行器，实现控制目标。
本发明的有益效果：
本发明非线性倒立摆系统基于事件触发策略的模糊控制方法，将系统被近似为一系列的线性输入-输出关系，该控制方法运用模糊线性特性有效的拟合非线性系统，获得具有所希望的动态特性，并且对系统参数和外部干扰的变化具有完全的鲁棒性，消除了抖振，能保证系统具有较好的稳定性，又由于使用事件触发机制，使得倒立摆系统有效抑制了时变时滞特性、并且有效的减轻了通信负担，节省了带宽资源。
附图说明
图1是带有延迟谐振器的倒立摆系统简化示意图；图中：M为小车质量，单位为kg；m为摆杆质量，单位为kg；l为摆杆长度，单位为m；g为重力加速度，单位为m/s2；θ(t)为摆杆从直立位置的摆动角度，单位为rad；y(t)为小车的位移，单位为m；d(t)为时间延迟，单位为sec；u(t)为作用在小车上的驱动力，单位为N；gr为延迟谐振器的系数(kg/s)；cr为调阻尼器系数(kg/s)。
图2是事件触发装置图。从图中可以看出是由系统当前状态和最新状态进行比较，判断是否需要传输最新状态以此来节约网络资源。如果最新状态和当前状态满足触发条件，传输最新状态到控制器，反之，不进行状态传送。
图3是事件触发模糊控制框图。对于所得到的数学模型，采用分布式控制方法，也就是说对于每个控制区分别构造相应的控制器，子系统状态由传感器传送到事件触发装置，由事件发生器判断是否将传感器传送的状态继续传送下去。如果满足事件触发条件，系统状态就会经过网络传送给模糊控制器。同样的，如果满足事件触发条件，控制器指令经过网络传送给传送到执行器，实现控制效果。
图4是当事件触发参数εi＝0时，也就是没有考虑事件触发，倒立摆系统模型状态(x1,x2,x3,x4)的控制响应曲线。
图5是当事件触发参数εi＝0时，原始非线性倒立摆系统的响应曲线。通过图4和图5可以看出，当事件触发参数εi＝0时，实施例中的模糊控制器能够使系统状态收敛到零。
图6是当事件触发参数εi＝0.01时，系统状态传送时刻及传送间隔示意图。
图7是当事件触发参数εi＝0.01时，系统模型状态(x1,x2,x3,x4)的控制响应曲线。
图8是当事件触发参数εi＝0.01时，原始非线性倒立摆系统的控制响应曲线。
通过图4-8可以看出，当事件触发参数不同时，系统状态响应曲线均能趋于稳定，而事件触发次数随着εi的增大而减小。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明作进一步描述。
本实施例中非线性倒立摆系统基于事件触发策略的模糊控制方法，包括以下步骤：
非线性倒立摆系统基于事件触发策略的模糊控制方法，其特征在于：包括以下步骤：
步骤一、建立带有延迟谐振器的倒立摆系统的动态数学模型为：
所述倒立摆系统包括小车、铰接于小车顶部上的摆杆和对小车运动施加阻力的延迟谐振器：上式中，M为小车质量，m为摆杆质量，l为摆杆长度，g为重力加速度，θ为摆杆从直立位置的摆动角度，y为小车的位移，d为时间延迟，u为作用在小车上的驱动力，Fr为小车运动的摩擦阻力；
基于T-S模糊控制方法，将上述倒立摆系统的动态数学模型近似为：
x(k+1)＝Aix(k)+Adix(k-d(k))+Biu(k)，i＝1，2，
其中：
xT(k)＝[x1 x2 x3 x4]，dM＝3，dm＝1，
式中，x(k)是状态向量，d(k)为时变时滞，满足0<dm≤d(k)≤dM<∞，表示初始条件，u(k)是控制输入向量，Ai，Adi，Bi是适当维数的系统矩阵，并且是已知的常数矩阵，gr为延迟谐振器的系数，cr为调阻尼器系数，T为采样时间，|γ|＝0.52弧度，α＝cosγ，β＝(sinγ)/γ；
步骤二、设定倒立摆系统的事件触发策略，构造带有延迟谐振器的倒立摆系统的模糊控制器；
1)事件触发策略如下：
[x(k)-x(kt)]TΩ[x(k)-x(kt)]≤εixT(kt)Ωx(kt)，
其中：Ω是被设计的正定加权矩阵，εi是给定的常数标量，εi∈[0，1)；kt是触发时刻；
2)由事件触发情况，采用网络数据处理方法，获得误差信号ei(k)；
其中，n＝1，2，…，d-1；，其中τm,τM分别为时间延迟的最小值和最大值；
3)基于上述ei(k)的定义和事件触发策略，将初始的事件触发条件转化为以下带有时延的事件触发形式：
相应的，系统状态x(kt)被表示为：
x(kt)＝x(k-d(k))+ei(k),
4)构造如下的模糊控制器：
u(k)＝Kix(k)，
其中：Ki是模糊控制器增益矩阵；
最后，结合上述获得的延时状态x(kt)，获得T-S模糊闭环控制系统形式：
x(k+1)＝[Aix(k)+BiKjx(k-d(k))+BiKjei(k)]，
其中：
a，设计矩阵E，令Z＝X-T，E＝diag{Z，Z，…，Z}；其中X利用Matlab中的LMI工具箱进行求解获得；
b，在模糊系统控制中，模糊控制律等效于Ki＝GiX-1构成，矩阵Gi和X在稳定性条件设计中满足矩阵不等式条件；也就是说，为保证系统渐进稳定，设计如下的矩阵：
步骤三、模糊控制器u(k)将控制指令经过事件触发机制发送给倒立摆系统的执行器，实现控制目标。
本实施例中模糊控制器的设计目标为：保证每个模糊子系统可以在有限时间内收敛到期望的状态并稳定保持状态在这个区域内。另外由于本发明引入事件触发机制，系统状态只在事件触发条件满足时才会送到模糊控制器。
下面利用Matlab进行仿真，以验证本实施例中的模糊控制方法对多级倒立摆系统控制的有效性。
如图1所示的二级倒立摆系统，其中系统参数设定如下：
M＝1.378kg,m＝0.051kg,l＝0.325m,g＝9.8m/s2,T＝0.3s,γ＝0.52rad,
gr＝0.7kg/s,cr＝5.98kg/s,α＝cosγ,β＝(sinγ)/γ,
则系统矩阵可以表示为：
另外，假定时间延迟上下界分别为：dm＝1和dM＝3，初始状态为：现分别讨论当事件触发参数εi＝0及εi＝0.01时的仿真效果，最终得到仿真结果如图4-8所示。从图中可以看出，本实施例中的模糊事件触发控制器不仅能够保证近似的模糊闭环系统的稳定性，而且对于原始非线性系统(倒立摆原始系统)也能够保证其稳定，此外也降低了网络带宽的使用率。其中带宽使用率的多少可以通过调节事件触发参数εi实现，表1列举出了触发参数，触发次数和传输速率的相应关系。
表1
最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (1)

1.非线性倒立摆系统基于事件触发策略的模糊控制方法，其特征在于：包括以下步骤：
步骤一、建立带有延迟谐振器的倒立摆系统的动态数学模型为：
<mrow> <mi>M</mi> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>dt</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <mfrac> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <msup> <mi>dt</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mi>l</mi> <mi> </mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>,</mo> </mrow>
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所述倒立摆系统包括小车、铰接于小车顶部上的摆杆和对小车运动施加阻力的延迟谐振器；上式中，M为小车质量，m为摆杆质量，l为摆杆长度，g为重力加速度，θ为摆杆从直立位置的摆动角度度，y为小车的位移位移，d为时间延迟，u为作用在小车上的驱动力，Fr为小车运动的摩擦阻力；
基于T-S模糊控制方法，将上述倒立摆系统的动态数学模型近似为：
x(k+1)＝Aix(k)+Adix(k-d(k))+Biu(k)，i＝1，2，
其中：
xT(k)＝[x1 x2 x3 x4]，dM＝3，dm＝1，
<mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mi>T</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mi>T</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>T</mi> <mi>m</mi> <mi>g</mi> </mrow> <mi>M</mi> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>Tc</mi> <mi>r</mi> </msub> </mrow> <mi>M</mi> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mi>T</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>M</mi> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>g</mi> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mi>l</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>Tc</mi> <mi>r</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mi>l</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> </mrow>
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式中，x(k)是状态向量，d(k)为时变时滞，满足0<dm≤d(k)≤dM<∞，表示初始条件，u(k)是控制输入向量，Ai，Adi，Bi是适当维数的系统矩阵，并且是已知的常数矩阵，gr为延迟谐振器的系数系数，cr为调阻尼器系数，T为采样时间，|γ|＝0.52弧度，α＝cosγ，β＝(sinγ)/γ；
步骤二、设定倒立摆系统的事件触发策略，构造带有延迟谐振器的倒立摆系统的模糊控制器；
1)事件触发策略如下：
[x(k)-x(kt)]TΩ[x(k)-x(kt)]≤εixT(kt)Ωx(kt)，
其中：Ω是被设计的正定加权矩阵，εi是给定的常数标量，εi∈[0，1)；kt是触发时刻；
2)由事件触发情况，采用网络数据处理方法，获得误差信号ei(k)；
<mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>k</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mi>t</mi> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>k</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>k</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
其中，n＝1，2，…，d-1；其中τm,τM分别为时间延迟的最小值和最大值；
3)基于上述ei(k)的定义和事件触发策略，将初始的事件触发条件转化为以下带有时延的事件触发形式：
<mrow> <msubsup> <mi>e</mi> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;Omega;e</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mi>d</mi> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mi>d</mi> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
相应的，系统状态x(kt)被表示为：
x(kt)＝x(k-d(k))+ei(k),
4)构造如下的模糊控制器：
u(k)＝Kix(k)，
其中：Ki是模糊控制器增益矩阵；
最后，结合上述获得的延时状态x(kt)，获得T-S模糊闭环控制系统形式：
x(k+1)＝[Aix(k)+BiKjx(k-d(k))+BiKjei(k)]，
其中：
a，设计矩阵E，令Z＝X-T，E＝diag{Z，Z，…，Z}；其中X利用Matlab中的LMI工具箱进行求解获得；
b，在模糊系统控制中，模糊控制律等效于Ki＝GiX-1构成，矩阵Gi和X在稳定性条件设计中满足矩阵不等式条件；也就是说，为保证系统渐进稳定，设计如下的矩阵：
<mrow> <msub> <mover> <mi>W</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>A</mi> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>X</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <msub> <mn>0</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>G</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>G</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>X</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>,</mo> </mrow>
步骤三、模糊控制器u(k)将控制指令经过事件触发机制发送给倒立摆系统的执行器，实现控制目标。
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