CN115256386A - 考虑跟踪误差约束的不确定机械臂神经自适应控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种考虑跟踪误差约束的不确定机械臂神经自适应控制方法，该方法建立多关节机械臂非线性动态模型；针对多关节机械臂非线性动态模型产生的跟踪误差，设计约束条件限制其运动轨迹；结合移位函数，利用非线性变换将受限的跟踪误差转换为非受限的变量；采用RBF神经网络逼近多关节机械臂非线性动态模型中的未建模动态，得到未建模动态的估计模型；结合虚拟参数和动态面技术，设计基于神经网络的自适应跟踪控制器。本发明解决未知初始跟踪误差的难点，不需要利用惯性矩阵与离心力和哥氏力矩阵的斜对称特性，实现机械臂的轨迹跟踪误差在约束范围内，提高控制系统的暂态性能和稳态性能，并且控制器结构简单、易于实现。

Description

考虑跟踪误差约束的不确定机械臂神经自适应控制方法

技术领域

本发明属于机械臂自适应控制领域，尤其涉及一种考虑跟踪误差约束的不确定机械臂神经自适应控制方法。

背景技术

随着科技进步，机械臂在国防、医疗以及工业等领域获得了广泛应用，提高机械臂控制系统的轨迹跟踪精度和暂态性能是现阶段研究的热点。机械臂动态模型属于欧拉-拉格朗日型非线性机械系统，在实际运行中往往存在不确定的模型参数和外部干扰，这会影响轨迹跟踪性能，甚至造成控制系统不稳定。因此针对机械臂轨迹跟踪系统，如何设计不依赖模型参数并且跟踪误差在约束条件范围内的智能控制方法是现阶段的研究难点。

针对模型参数不确定问题，可以采用神经网络的万能逼近特性进行处理。现有基于神经网络的机械臂控制方法，需要利用惯性矩阵与离心力和哥氏力矩阵的斜对称特性来处理不确定的惯性矩阵，具有一定的保守性。并且，随着神经网络的层数增加，权重参数调整需要耗费大量计算资源，不利于控制律的在线使用。

现有针对轨迹跟踪误差约束的控制有许多研究成果，例如一种基于神经网络的机械臂系统预设性能控制方法、一种多输入多输出机械系统自适应容错预设性能控制方法、一种基于未知系统动态估计器的柔性关节机械臂预设性能控制方法等。现有成果的基本思想是利用预设性能函数限制跟踪误差的运动轨迹，将受限的跟踪误差转换成非受限的形式。然而上述方法事先需要初始跟踪误差的信息，即初始跟踪误差必须在受限的范围内才能有效，具有局限性。

发明内容

本发明提出一种考虑跟踪误差约束的不确定机械臂神经自适应控制方法，其目的在于该方法可以解决未知初始跟踪误差的难点，不需要利用惯性矩阵与离心力和哥氏力矩阵的斜对称特性，实现机械臂的轨迹跟踪误差在约束范围内，提高控制系统的暂态性能和稳态性能，并且控制器结构简单、易于实现。

本发明为了实现上述目的，采用如下技术方案：

一种考虑跟踪误差约束的不确定机械臂神经自适应控制方法，包括如下步骤：

步骤1.考虑多关节机械臂的外部环境扰动和关节之间摩擦的情况，建立多关节机械臂非线性动态模型；

步骤2.针对多关节机械臂非线性动态模型产生的跟踪误差z₁，设计约束条件限制其运动轨迹；

步骤3.结合移位函数，利用非线性变换将受限的跟踪误差z₁转换为非受限的变量η；

步骤4.采用RBF神经网络逼近多关节机械臂非线性动态模型中的未建模动态，得到未建模动态的估计模型；

步骤5.根据非受限的变量η和未建模动态的估计模型，结合虚拟参数Θ和动态面技术，设计基于神经网络的自适应跟踪控制器u及其自适应律

进一步的，步骤1中多关节机械臂非线性动态模型为：

其中，q∈Rⁿ表示关节角位置状态矢量，

表示关节角速度状态矢量，

表示关节角加速度状态矢量，M(q)∈R^n×n为对称正定惯性矩阵，

为离心力和哥氏力矩阵，G_g(q)∈Rⁿ为重力矢量，

为外部不确定性扰动和关节之间摩擦的矢量。

进一步的，步骤2中跟踪误差为：

z₁＝q-q_d

其中，z₁＝[z₁₁，...，z_1n]^T，q_d＝[q_d1，...，q_dn]^T为期望的关节角位置矢量；

约束条件为：

其中，Ω_ck表示对应跟踪误差z_1k的约束限制，Ω_ck0、Ω_ck∞、κ_k分别表示限制条件Ω_ck的初始值、稳态值和收敛速度。

进一步的，在步骤3中跟踪误差z₁非受限的形式为：

η＝[η₁，...，η_n]^T

其中，η中的元素表示为：

其中，变量

μ_k表示移位函数，其表达式为：

其中，T_k＞0表示时间参数。

进一步的，在步骤4中，未建模动态的估计模型为：

其中，

是可以得到的激励函数向量，ε(Z)是估计误差，并且满足

是一个很小的未知常数，ω∈R^s×n是理想的权值矩阵，

是有界的基函数向量；ω和

可表示为

其中，高斯基函数的表达式为

其中，s为RBF神经网络的节点个数，b_k为第k个节点的高斯基宽度，

为第k个节点的中心矢量。

进一步的，在步骤5中，动态面技术的表达式为：

其中，设计参数a_d为正常数，α为虚拟控制函数，虚拟控制函数的表达式为：

其中，设计参数τ₁，τ₂，c₁为正常数，对于k＝1，2，...，n，中间变量Δ_k，θ_k的表达式分别为

U_θ＝diag(θ₁，...，θ_n)，U_μ＝diag(μ₁，...，μ_m)。

进一步的，在步骤5中，自适应跟踪控制器u及其自适应律

为

其中，设计参数c₂，r_Θ，σ_Θ为正常数，

为虚拟参数

的估计，其初始值为

是

的上界，

z₂为速度误差变量，其表达式为：

其中，α_f是由动态面技术产生的滤波信号。

一种考虑跟踪误差约束的不确定机械臂神经自适应控制方法的稳定性证明方法，该证明方法为：

构造第三个李雅普诺夫函数为

其中，

V₂为第二个李雅普诺夫函数；

对V₃取时间导数得

其中，β₂为正常数。

根据杨氏不等式得

将式子(34)代入(33)得

其中，

由上式可知，η，z₂，y₂，

是有界的，由于η是有界的，故当t≥max{T₁，...，T_n}时，跟踪误差信号z₁满足约束条件|z_1k|＜Ω_ck，其中，k＝1，2，...，n。

本发明与现有技术相比，具有如下优点和有益效果：

1、本发明通过构造新颖的移位函数，解决误差约束控制中未知初始跟踪误差的难点；

2、本发明利用杨氏不等式和李雅普诺夫函数，不需要应用动态模型中惯性矩阵与离心力和哥氏力矩阵的斜对称特性，控制律几乎不依赖模型的参数，具有较强的鲁棒性；

3、本发明应用虚拟参数技术压缩自适应律中的更新参数，设计动态面避免对虚拟控制律取时间导数，使得控制器结构简单、易于实现；

4、本发明实现机械臂的轨迹跟踪误差在约束范围内，提高控制系统的暂态性能和稳态性能。

基于上述理由本发明可在机械臂自适应控制领域广泛推广。

附图说明

图1为本发明的技术路线图；

图2为本发明实施例中二自由度机械臂的模型示意图；

图3为采用不同控制方法后关节1角位置轨迹跟踪效果对比图；

图4为采用不同控制方法后关节2角位置轨迹跟踪效果对比图；

图5为采用不同控制方法后关节1角位置跟踪误差对比图；

图6为采用不同控制方法后关节2角位置跟踪误差对比图；

图7为本发明控制方法的控制力矩图；

图8为本发明控制方法的自适应参数轨迹图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明。

本发明方法针对误差受限的不确定机械臂轨迹跟踪问题，设计约束条件限制跟踪误差的运动轨迹，构造新颖的移位函数处理未知的初始跟踪误差，利用非线性变换将受限的跟踪误差转换为非受限的形式，采用RBF神经网络逼近系统中的未建模动态，解决动态系统中参数不确定问题，同时应用虚拟参数技术压缩自适应律中的更新参数，设计动态面避免对虚拟控制律取时间导数，进而提出基于神经网络的自适应跟踪控制方法。

如图1所示，本发明提供了一种考虑跟踪误差约束的不确定机械臂神经自适应控制方法，包括如下步骤：

步骤1.考虑多关节机械臂的外部环境扰动和关节之间摩擦的情况，建立多关节机械臂非线性动态模型；

所建立带有环境干扰和参数不确定的多关节机械臂非线性动态模型为：

其中，q∈Rⁿ表示关节角位置状态矢量，

表示关节角速度状态矢量，

表示关节角加速度状态矢量，M(q)∈R^n×n为对称正定惯性矩阵，

为离心力和哥氏力矩阵，G_g(q)∈Rⁿ为重力矢量，

为外部环境扰动和关节之间摩擦的矢量，u为作用于关节上的控制力矩。

由于实际应用中的工业机器人不可避免会存在负载变化、外界环节干扰等影响，因此控制方法设计过程考虑M(q)、

G_g(q)和

是未知的情况。

步骤2.针对多关节机械臂非线性动态模型产生的跟踪误差z₁，设计约束条件限制其运动轨迹；

定义跟踪误差为：

z₁＝q-q_d (8)

其中，z₁＝[z₁₁，...，z_1n]^T，q_d＝[q_d1，...，q_dn]^T为期望的关节角位置矢量。设计约束条件为：

其中，Ω_ck表示对应跟踪误差z_1k的约束限制，Ω_ck0、Ω_ck∞、κ_k分别表示限制条件Ω_ck的初始值、稳态值和收敛速度。

步骤3.结合移位函数，利用非线性变换将受限的跟踪误差z₁转换为非受限的变量η；

为处理未知的初始跟踪误差z₁(0)，构造如下移位函数：

其中，k＝1，...n，T_k＞0表示时间参数。从式子(10)可以发现，μ_k(0)＝0和对于t≥T_k，μ_k(t)＝1。将任何有界的信号与μ_k(t)相乘，在t＝0时，其结果都为零；在t≥T_k时，其结果恢复到原信号。故结合位移函数，利用非线性变换将受限的跟踪误差z₁＝[z₁₁，...，z_1n]^T变换为不受限的形式η＝[η₁，...，η_n]^T：

其中，变量χ_k＝μ_kz_1k。

步骤4.采用RBF神经网络逼近多关节机械臂非线性动态模型中的未建模动态，得到未建模动态的估计模型；

根据RBF神经网络万能逼近特性，未建模动态可通过RBF神经网络来估计，

未建模动态的估计模型为：

其中，

是可以得到的激励函数向量，ε(Z)是估计误差，并且满足

是一个很小的未知常数，ω∈R^s×n是理想的权值矩阵，

是有界的基函数向量，ω和

可表示为

其中，高斯基函数的表达式为

其中，s为RBF神经网络的节点个数，b_k为第k个节点的高斯基宽度，

为第k个节点的中心矢量。

步骤5.根据非受限的变量η和未建模动态的估计模型，结合虚拟参数Θ和动态面技术，设计基于神经网络的自适应跟踪控制器u及其自适应律

结合虚拟参数和动态面技术，设计基于神经网络的自适应跟踪控制器u及其自适应律

的方法包括：

定义速度误差变量

其中，α_f是由动态面技术产生的滤波信号，动态面的表达式为

其中，设计参数a_d为正常数，α为接下来需要设计的虚拟控制函数。对η取时间导数得

其中，对于k＝1，2，...，n，中间变量Δ_k，θ_k的表达式分别为

定义

U_θ＝diag(θ₁，...，θ_n)，U_μ＝diag(μ₁，...，μ_n)，式子(17)可变换为

定义第一个李雅普诺夫函数为

它的时间导数为

其中，滤波误差变量y₂＝α_f-α。根据杨氏不等式得

其中，设计参数τ₁，τ₂为正常数，

将式子(20)代入(19)有

设计虚拟控制函数α为

其中，设计参数c₁为正常数。将虚拟控制函数α代入式(21)得

对y₂取时间导数并考虑(16)得

在有界区域内是一个连续函数，故存在正常数

使得

成立。根据杨氏不等式得

将式子(25)代入(23)得

其中，正常数

定义第二个李雅普诺夫函数

它的时间导数为

本发明不需要利用惯性矩阵与离心力和哥氏力矩阵的斜对称特性，即

由于惯性矩阵M(q)是正定的并且外界干扰

是有界的，可以得到

其中，m、

m _G和

为正常数。根据杨氏不等式有

将式子(30)代入(27)得

其中，Θ为虚拟参数，其表达式为

设计实际的控制器u和自适应律

其中，设计参数c₂，r_Θ，σ_Θ为正常数，

为证明闭环控制系统的稳定性，构造第三个李雅普诺夫函数为

其中，变量

对V₃取时间导数得

根据杨氏不等式得

将式子(34)代入(33)得

其中，

由上式可知，η，z₂，y₂，

是有界的，即闭环控制系统是稳定的。由于η是有界的，故当t≥max{T₁，...，T_n}时，跟踪误差信号z₁满足约束条件|z_1k|＜Ω_ck，其中，k＝1，2，...，n。

在虚拟环境下对所设计的考虑跟踪误差约束的不确定机械臂神经自适应控制方法进行对比仿真实验，以验证所提方法的可行性。

二自由度机械臂模型如图2所示，m_k和l_k分别为机械臂第k节连杆的质量和长度，q_k为需要控制的第k个关节角位置，其中，k＝1，2。惯性矩阵M(q)、离心力和哥氏力矩阵

和重力矢量G_g(q)分别为

在仿真实验中，二自由度机械臂的模型参数为：m₁＝m₂＝0.5kg，l₁＝1m，l₂＝0.8m，外部不确定性扰动和关节之间摩擦的矢量

时间设定为20秒。

机械臂初始状态为q₁(0)＝-0.6，q₂(0)＝1.2，

期望的轨迹设定为

控制律和自适应律参数设定为c₁＝2，c₂＝30，a_d＝0.005，τ₁＝0.1，τ₂＝1，T₁＝T₂＝2，s＝6，r_Θ＝0.8，σ_Θ＝2，神经网络中心矢量的每一个元素均匀分布在[-1，1]范围内，高斯基宽度为2.2。

跟踪误差的约束特性由用户根据实际情况设定，在本实施例中，Ω_c10＝Ω_c20＝0.51，Ω_c1∞＝Ω_c2∞＝0.01，κ₁＝κ₂＝1。由此可知，初始跟踪误差不在约束范围内，即|z₁₁(0)|＞Ω_c10，|z₁₂(0)|＞Ω_c20，传统的预设性能控制方法不能应对此种情况。本发明所设计的控制方法同样可适用于多关节机械臂的轨迹跟踪控制。

图3和图4分别为双关节轨迹跟踪对比图，图5和图6分别为双关节轨迹跟踪误差对比图。

由图3-6可知，在初始跟踪误差不在约束范围内的情况下，传统的控制方法(无移位函数)不能实现有效的跟踪控制，并且与传统的控制方法(无约束限制)相比，本发明的控制方法可以迫使跟踪误差在约束范围内，具有较高的跟踪精度。

图7为采用本发明控制方法产生的控制力矩曲线图，从该图可知，控制力矩曲线稳定在有界区域内。

图8为本发明控制方法的自适应参数随时间变化曲线，从该图可知，本发明控制方法只有一个需要调整的参数，并且该参数曲线稳定在有界区域内。

上述仿真实验结果表明，本发明控制方法克服了参数不确定及外界扰动的影响，在未知初始跟踪误差以及不需要利用惯性矩阵与离心力和哥氏力矩阵的斜对称特性的情况下，实现机械臂的轨迹跟踪误差在约束范围内，提高控制系统的暂态性能和稳态性能。

当然，以上说明仅仅为本发明的较佳实施例，本发明并不限于列举上述实施例，应当说明的是，任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下，所做出的所有等同替代、明显变形形式，均落在本说明书的实质范围之内，理应受到本发明的保护。

Claims (8)

1.一种考虑跟踪误差约束的不确定机械臂神经自适应控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1.考虑多关节机械臂的外部环境扰动和关节之间摩擦的情况，建立多关节机械臂非线性动态模型；

步骤2.针对多关节机械臂非线性动态模型产生的跟踪误差z₁，设计约束条件限制其运动轨迹；

步骤3.结合移位函数，利用非线性变换将受限的跟踪误差z₁转换为非受限的变量η；

步骤4.采用RBF神经网络逼近多关节机械臂非线性动态模型中的未建模动态，得到未建模动态的估计模型；

步骤5.根据非受限的变量η和未建模动态的估计模型，结合虚拟参数Θ和动态面技术，设计基于神经网络的自适应跟踪控制器u及其自适应律

2.根据权利要求1所述的考虑跟踪误差约束的不确定机械臂神经自适应控制方法，其特征在于，步骤1中多关节机械臂非线性动态模型为：

其中，q∈Rⁿ表示关节角位置状态矢量，

表示关节角速度状态矢量，

表示关节角加速度状态矢量，M(q)∈R^n×n为对称正定惯性矩阵，

为离心力和哥氏力矩阵，G_g(q)∈Rⁿ为重力矢量，

为外部不确定性扰动和关节之间摩擦的矢量。

3.根据权利要求1所述的考虑跟踪误差约束的不确定机械臂神经自适应控制方法，其特征在于，步骤2中跟踪误差为：

z₁＝q-q_d

其中，z₁＝[z₁₁,...,z_1n]^T，q_d＝[q_d1,…,q_dn]^T为期望的关节角位置矢量；

约束条件为：

其中，Ω_ck表示对应跟踪误差z_1k的约束限制，Ω_ck0、Ω_ck∞、κ_k分别表示限制条件Ω_ck的初始值、稳态值和收敛速度。

4.根据权利要求1所述的考虑跟踪误差约束的不确定机械臂神经自适应控制方法，其特征在于，在步骤3中跟踪误差z₁非受限的形式为：

η＝[η₁,…,η_n]^T

其中，η中的元素表示为：

其中，变量χ_k＝μ_kz_1k，μ_k表示移位函数，其表达式为：

其中，T_k＞0表示时间参数。

5.根据权利要求1所述的考虑跟踪误差约束的不确定机械臂神经自适应控制方法，其特征在于，在步骤4中，未建模动态的估计模型为：

其中，

是可以得到的激励函数向量，ε(Z)是估计误差，并且满足

是一个很小的未知常数，ω∈R^s×n是理想的权值矩阵，

是有界的基函数向量；ω和

可表示为

其中，高斯基函数的表达式为

其中，s为RBF神经网络的节点个数，b_k为第k个节点的高斯基宽度，

为第k个节点的中心矢量。

6.根据权利要求1所述的考虑跟踪误差约束的不确定机械臂神经自适应控制方法，其特征在于，在步骤5中，动态面技术的表达式为：

其中，设计参数a_d为正常数，α为虚拟控制函数，虚拟控制函数的表达式为：

其中，设计参数τ₁,τ₂,c₁为正常数，对于k＝1,2,…,n，中间变量Δ_k,θ_k的表达式分别为

U_θ＝diag(θ₁,...,θ_n)，U_μ＝diag(μ₁,...,μ_n)。

7.根据权利要求1所述的考虑跟踪误差约束的不确定机械臂神经自适应控制方法，其特征在于，在步骤5中，自适应跟踪控制器u及其自适应律

为

其中，设计参数c₂,r_Θ,σ_Θ为正常数，

为虚拟参数

的估计，其初始值为

是

的上界，

z₂为速度误差变量，其表达式为：

其中，α_f是由动态面技术产生的滤波信号。

8.一种如权利要求1所述的考虑跟踪误差约束的不确定机械臂神经自适应控制方法的稳定性证明方法，其特征在于，该证明方法为：

构造第三个李雅普诺夫函数为

其中，

V₂为第二个李雅普诺夫函数；

对V₃取时间导数得

其中，β₂为正常数；

根据杨氏不等式得

将式子(34)代入(33)得

其中，

由上式可知，

是有界的，由于η是有界的，故当t≥max{T₁,...,T_n}时，跟踪误差信号z₁满足约束条件|z_1k|＜Ω_ck，其中，k＝1,2,...,n。

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