CN111130749A - 基于混沌四元数神经网络的图像加密算法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于混沌四元数神经网络的图像加密算法，包括如下步骤：S1.将明文图像转换成m×n的图像矩阵X，其中，X＝(x_ij)_m×n，x_ij为一个纯四元数；S2.对图像矩阵X进行行列变换处理形成图像矩阵Xs；S3.将图像矩阵Xs输入至混沌四元数神经网络中进行加密处理并得到密文图像。本发明的一种基于混沌四元数神经网络的图像加密算法，能够抵抗不同程度的安全攻击，具有更好的并行处理能力，提高了加密计算效率。

Description

基于混沌四元数神经网络的图像加密算法

技术领域

本发明涉及图像加密领域，具体涉及一种基于混沌四元数神经网络的图像加密算法。

背景技术

随着数字图像处理和网络通信的快速发展，作为图像处理的重要组成部分，彩色图像加密变得越来越重要。近年来，随着混沌理论的发展和应用的不断深入，人们提出了许多基于混沌的彩色图像加密算法。然而，在大多数的基于混沌的图像加密算法，在加密方案中使用的加密系统只是Lorenz’s或Chen’s混沌系统，同时，忆阻器的存在、惯性项以及时滞项往往也会导致混沌现象，使得加密过程不够高效，加密的结果稳定性差。

因此，为解决以上问题，需要一种基于混沌四元数神经网络的图像加密算法，能够抵抗不同程度的安全攻击，具有更好的并行处理能力，提高了加密计算效率。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的是克服现有技术中的缺陷，提供基于混沌四元数神经网络的图像加密算法，能够抵抗不同程度的安全攻击，具有更好的并行处理能力，提高了加密计算效率。

本发明的基于混沌四元数神经网络的图像加密算法，包括如下步骤：

S1.将明文图像转换成m×n的图像矩阵X，其中，X＝(x_ij)_m×n，x_ij为一个纯四元数，x_ij表示图像(i，j)处的像素值，m以及n均为正整数；

S2.对图像矩阵X进行行列变换处理形成图像矩阵Xs；

S3.将图像矩阵Xs输入至混沌四元数神经网络中进行加密处理并得到密文图像。

进一步，混沌四元数神经网络结构如下：

其中，二阶导数

为惯性项；A为对角矩阵，A＝diag{a₁，a₂，...，a_n}，对角矩阵A中的元素a_i为正常数，i＝1，2，...，n；B为对角矩阵，B＝diag{b₁，b₂，...，b_n}，对角矩阵B中的元素b_i为正常数，i＝1，2，...，n；n为正整数；x(t)为n维列向量，x(t)＝(x₁(t)，x₂(t)，...，x_i(t)，...，x_n(t))^T，x_i(t)为第i个神经元在t时刻的状态，且

为四元数域；C₁(t)为n阶四元数矩阵，C₁(t)＝(θ_ij(x_j(t)))_n×n，θ_ij(x_j(t))为基于忆阻的反馈连接权，j＝1，2，...，n；D₁(t)为n阶四元数矩阵，D₁(t)＝(v_ij(x_j(t)))_n×n，v_ij(x_j(t))为时滞反馈连接权；I(t)为n维列向量，I(t)＝(I₁(t)，I₂(t)，...，I_i(t)，...，I_n(t))^T，I_i(t)为第i个神经元的外部输入项，且

为n维列向量，

为时滞项，满足条件

为不小于0的实数；f(x(t))为n维列向量，f(x(t))＝(f₁(x₁(t))，f₂(x₂(t))，...，f_j(x_j(t))，...，f_n(x_n(t)))^T，f_j(x_j(t))为激活函数，且

为n维列向量，

为激活函数，

为第j个神经元在

时刻的状态，且

进一步，对图像矩阵X进行行列变换处理形成图像矩阵Xs包括：

S21.设定Logistic-Logistic映射的迭代表达式LL：x_n+1＝u₀×x_n×(1-x_n)×2¹⁴-floor(u₀×x_n×(1-x_n)×2¹⁴)；

其中，u₀为控制参数，floor(a)返回不大于a的最接近a的整数，a＝u₀×x_n×(1-x_n)×2¹⁴；x_n+1以及x_n均为实数；n＝1，2，...，N；a为示例参数；

S22.设置初始值x₀∈(0，1)且u₀∈(0，10]，随机选取一个初始值x₀以及u₀带入迭代表达式LL，对迭代表达式LL进行n次迭代得到序列分布x_n；

S23.根据序列分布x_n，确定控制参数u_n＝floor(x_n×m)+1；

S24.计算控制参数u_n，得到m个不同的控制参数值，将m个不同的控制参数值依次存放到一维向量u_i；其中，i＝1，2，...，m；

S25.根据一维向量u_i＝j，i＝1，2，...，m，j∈{1，2，...，m}，将单位矩阵I_m×m的第i行作为行置换矩阵T_m×m的第j行；

S26.根据步骤S23-S25类推，得到列置换矩阵T_n×n；

S27.对图像矩阵X进行置换处理得到图像矩阵Xs：Xs＝T_m×mX_m×nT_n×n。

进一步，将图像矩阵Xs输入至混沌四元数神经网络中进行加密处理包括：

S31.采用4阶龙格库塔算法迭代神经网络模型P_Γ；其中，迭代次数不少于L＝m×n次，4阶龙格库塔算法的步长选取为0.01；

S32.构建一个长度为L的浮点序列U＝{u(1)，u(2)，...，u(i)，...，u(L)}；其中，u(i)为步骤S31进行第i次迭代得到的第i个四元数；

u^R(i)为第i个四元数的实部；u^I(i)、u^J(i)以及u^K(i)分别为第i个四元数的三个虚部部分；

以及κ均为虚部单位；

S33.基于浮点序列U计算得到用于图像加密的序列U_R、U_G以及U_B；其中，

u_R(i)∈U_R，u_G(i)∈U_G，u_B(i)∈U_B，i＝1，2，...，L；

u_R(i)＝mod((abs(u^I(i))-floor(abs(u^I(i))))×10¹⁴，256)；

u_G(i)＝mod((abs(u^J(i))-floor(abs(u^J(i))))×10¹⁴，256)；

u_B(i)＝mod((abs(u^K(i))-floor(abs(u^K(i))))×10¹⁴，256)；

mod(c，d)返回c除以d的余数；floor(e)返回不大于e且最接近e的整数；abs(f)返回f的绝对值；c、d、e以及f为示例参数；

S34.基于序列U_R、U_G以及U_B计算得到图像的三个加密分量C_R、C_G以及C_B；其中，

C_R＝bitxor(uint8(Xs_R)，reshape(uint8(floor(U_R))，256，256))，

C_G＝bitxor(uint8(Xs_G)，reshape(uint8(floor(U_G))，256，256))，

C_B＝bitxor(uint8(Xs_B)，reshape(uint8(floor(U_B))，256，256))，

bitxor(g，h)返回g和h按位进行异或操作的结果；uint8(l)表示将数据l转化为无符号的占用一个字节的数据；B＝reshape(A，m，n)表示将矩阵A中的元素按列顺序重组成m×n矩阵B；Xs_R为图像矩阵Xs的红色分量矩阵；Xs_G为图像矩阵Xs的绿色分量矩阵；Xs_B为图像矩阵Xs的蓝色分量矩阵；g、h以及l为示例参数。

本发明的有益效果是：本发明公开的一种基于混沌四元数神经网络的图像加密算法，通过Logistic-Logistic映射对已知的图像矩阵进行重洗，得到重洗后的图像，利用IMQVNNs神经网络模型的混沌解对重洗后的图像进行加密处理，该加密过程高效快速，加密后的图像安全性高、稳定性强。

附图说明

下面结合附图和实施例对本发明作进一步描述：

图1为本发明的方法流程图；

图2为本发明的重洗后图像三分量直方图；

图3为本发明的加密图像三分量直方图；

图4为本发明的两个水平相邻像素的测试点分布图；

图5为本发明的两个垂直相邻像素的测试点分布图；

图6为本发明的两个对角相邻像素的测试点分布图；

图7为本发明的解密图像三个分量的直方图。

具体实施方式

以下结合说明书附图对本发明做出进一步的说明，如图所示：

本发明的基于混沌四元数神经网络的图像加密算法，包括如下步骤：

S1.将明文图像转换成m×n的图像矩阵X，其中，X＝(x_ij)_m×n，x_ij为一个纯四元数，x_ij表示图像(i，j)处的像素值，m以及n均为正整数；

S2.对图像矩阵X进行行列变换处理形成图像矩阵Xs；

S3.将图像矩阵Xs输入至混沌四元数神经网络中进行加密处理并得到密文图像。

在本发明中，

和

分别表示实数域、复数域以及四元数域。

和

分别表示各自域的m×n阶矩阵。

表示四元数q的实数部分；M^*、

M^T分别表示矩阵M的共轭转置、共轭以及转置矩阵。对于一个正定的Hermitian矩阵

λ_min(P)和λ_max(P)分别表示矩阵P的最小和最大特征值。

四元数作为一个超复数表示：

其中

三个虚部单位

满足如下的Hamilton规则：

当p^R＝0时，p是一个纯虚四元数。

设两个四元数

和

加法定义为：

基于Hamilton规则，四元数乘法定义为：

显然，四元数乘法不能满足交换律。对于一个四元数

其共轭p^*定义为：

p的模|p|定义为：

对于一个四元数向量

设|r|＝(|r₁|，|r₂|，...，|r_n|)^T是r的模向量，

是r的二范数。对于一个四元数矩阵，

是R的F-范数。

本实施例中，颜色模式是指将图像颜色进行数字化或记录图像颜色的方式。根据不同的记录方式，将颜色模式分为RGB模式、HSB模式、CMYK模式和Lab模式等等。本专利利用RGB模式对彩色图像进行分析。在RGB模式中，用灰度值表示不同程度的亮度，灰度值是定义在0到255之间的整数，每一种颜色是由红色(R)，绿色(G)和蓝色(B)三种基本颜色按照一定的灰度值组合而成。一种颜色可以表示为(r，g，b)，r，g，b∈{0，1，2，...，255}。例如，(0，0，0)、(255，255，255)、(0，255，0)、(0，255，255)和(255，192，203)分别表示为黑色、白色、绿色、青色和粉色。用这种方法，RGB颜色空间{(r，g，b)|r，g，b∈{0，1，2，...，255}}里面的元素可以用纯四元数空间

里面的元素表示。这里，假设彩色原图像G的维数为3×m×n。换句话说，每一个基本颜色矩阵的大小为m×n，然后彩色原图像G可以由一个m×n阶的纯四元数矩阵

进行表示，其中x_ij是一个纯四元数，表示图像(i，j)处的像素值。设

其中，

本实施例中，在加密图像之前，我们首先对已知的原彩色图像矩阵X进行洗牌，即以某种方式更改矩阵X的行和列位置。为了洗牌矩阵X，我们需要一个混沌序列来生成置换矩阵T，其中置换矩阵T的元素由0和1组成且每行每列有且只有一个1。这样的置换矩矩阵具有以下性质：

(1)我们可以通过将矩阵X左乘一个置换矩阵T来重新排列矩阵X的行。即行置换矩阵X_r＝T_m×mX_m×n。同理，列置换矩阵X_c＝X_m×nT_n×n。

(2)置换矩阵的转置矩阵和逆矩阵是相等的，即X^T＝X^-1。然后就有：

为了有一个有效的置换过程，这里代替了常用的生成混沌序列的Logistic映射，采用了Logistic-Logistic映射(LLM)生成混沌序列。

行置换矩阵T_m×m的生成算法表示如下：

S21.设定Logistic-Logistic映射的迭代表达式LL：x_n+1＝u₀×x_n×(1-x_n)×2¹⁴-floor(u₀×x_n×(1-x_n)×2¹⁴)；(20)

其中，u₀为控制参数，floor(a)返回不大于a的最接近a的整数，a＝u₀×x_n×(1-x_n)×2¹⁴；x_n+1以及x_n均为实数；n＝1，2，...，N；

S22.设置初始值x₀∈(0，1)且u₀∈(0，10]，随机选取一个初始值x₀以及u₀带入迭代表达式LL，对迭代表达式LL进行n次迭代得到序列分布x_n；

S23.根据序列分布x_n，确定控制参数u_n＝floor(x_n×m)+1；

S24.计算控制参数u_n，得到m个不同的控制参数值，将m个不同的控制参数值依次存放到一维向量u_i；其中，i＝1，2，...，m；

S25.根据一维向量u_i＝j，i＝1，2，...，m，j∈{1，2，...，m}，将单位矩阵I_m×m的第i行作为行置换矩阵T_m×m的第j行，即可得到行置换矩阵T_m×m。

例如，这里选择m＝4和{u₁＝4，u₂＝2，u₃＝1，u₄＝3}，则将单位矩阵I_m×m的第1行作为行置换矩阵T_m×m的第4行，将单位矩阵I_m×m的第2行作为行置换矩阵T_m×m的第2行，将单位矩阵I_m×m的第3行作为行置换矩阵T_m×m的第1行，将单位矩阵I_m×m的第4行作为行置换矩阵T_m×m的第3行；然后行置换矩阵为：

S26.根据步骤S23-S25类推，得到列置换矩阵T_n×n；

S27.对图像矩阵X进行置换处理得到图像矩阵Xs：Xs＝T_m×mX_m×nT_n×n。其中，Xs为将原图像重洗过后所得到的m×n阶图像矩阵，T_m×m为行置换矩阵，T_n×n为列置换矩阵。

本实施例中，考虑到惯性项、记忆器和时间延迟都会导致混沌现象，我们考虑如下的IMQVNNs(基于忆阻的具有时滞的四元数惯性神经网络，英文全称为：inertialmemristor based quaternion-valued neural networks)模型P_Γ：

其中i，j＝1，2，...，n，n为正整数；

是第i个神经元在t时刻的状态，

为四元数域，x_i(t)的二阶导数表示惯性项；a_i和b_i是两个正值常数；

表示第j个神经元的激活函数；

分别是基于忆阻的反馈连接权和时滞反馈连接权；

是时滞项，满足条件

是第i个神经元的外部输入项。根据忆阻器的特性，有如下定义：

其中，开关T_j＞0，

均为已知常数。

IMQVNNs模型P_Γ的初始条件如下：

其中，i＝1，2，...，n；ψ_i，

都是定义在区间

函数值属于四元数斜域的连续函数，即有

表示自变量取自区间

函数值属于四元数斜域的所有连续函数的集合。

由于IMQVNNs模型P_Γ的基于忆阻的连接权在右侧不连续，因此IMQVNNs模型P_Γ的解不能用微分方程解的经典定义来定义。在这种情况下，对于右端不连续的整数阶微分方程，我们需要考虑Filippov(Filippov意义下的解的概念)所提出的一个新的解的概念。

定义1：考虑如下的微分方程：

其中f：

对x是不连续的，集值映射F：

定义为：

其中

表示一个集合的凸闭包，

是以x₀为中心，δ为半径的球领域，在对所有测度为零的集合N取交集，同时对所有δ＞0取交集，μ(N)表示为集合N的勒贝格测度。如果x(t)在[t₀，T]，T∈[t₀，∞]的任何一个子区间[t₁，t₂]上是完全连续的，且对几乎所有的t∈[t₀，T]满足微分包含：

那么向量值函数x(t)为带初始值条件z(0)＝x₀的微分方程(4)的Filippov意义下的解。

在定义1的基础上，定义下面的集值映射：

其中，K(c_ij(x_j(t)))和K(d_ij(x_j(t)))都是集合，集合中的元素就是其定义的常数。

然后，IMQVNNs模型P_Γ在Filippov意义下的解可以定义为：

定义2：如果函数x(t)＝(x₁(t)，x₂(t)，...，x_n(t))^T在[t₀，T)的任何紧区间上是绝对连续的，且对所有的时刻t＞0满足下面的微分包含：

或者存在θ_ij(x_i(t))∈(c_ij(x_i(t)))，v_ij(x_i(t))∈K(d_ij(x_i(t)))使得：

其中，x(t)表示自变量范围为

函数值属于n的四元数斜域(T∈[t₀，+∞))；x(t)实际上为一个列向量，这里的T表示行向量(x₁(t)，x₂(t)，...，x_n(t))的转置；则称x(t)是IMQVNNs模型P_Г在Filippov意义下的一个解。

则IMQVNNs模型P_r可以被重写成下面的矩阵形式：

其中，二阶导数

为惯性项，它相当于电感，是导致复杂分岔和混沌行为的关键因素；A为对角矩阵，A＝diag{a₁，a₂，...，a_n}，对角矩阵A中的元素a_i为正常数，i＝1，2，...，n；B为对角矩阵，B＝diag{b₁，b₂，...，b_n}，对角矩阵B中的元素b_i为正常数，i＝1，2，...，n；n为正整数；x(t)为n维列向量，x(t)＝(x₁(t)，x₂(t)，...，x_i(t)，...，x_n(t))^T，x_i(t)为第i个神经元在t时刻的状态，且

为四元数域；C₁(t)为n阶四元数矩阵，C₁(t)＝(θ_ij(x_j(t)))_n×n，θ_ij(x_j(t))为基于忆阻的反馈连接权，j＝1，2，...，n；D₁(t)为n阶四元数矩阵，D₁(t)＝(υ_ij(x_j(t)))_n×n，υ_ij(x_j(t))为时滞反馈连接权；I(t)为n维列向量，I(t)＝(I₁(t)，I₂(t)，...，I_i(t)，...，I_n(t))^T，I_i(t)为第i个神经元的外部输入项，且

为n维列向量，

为时滞项，满足条件

为不小于0的实数；f(x(t))为n维列向量，f(x(t))＝(f₁(x₁(t))，f₂(x₂(t))，...，f_j(x_j(t))，...，f_n(x_n(t)))^T，f_j(x_j(t))为激活函数，且

为n维列向量，

为激活函数，

为第j个神经元在

时刻的状态，且

公式(7)的不连续性是由开关项C₁(t)和D₁(t)引起的。如果

则不连续公式(7)将转化为连续系统。

作为一个带有忆阻的二阶时滞模型，与一般的四元数神经网络相比，IMQVNNs具有更加复杂的解，这也是将IMQVNNs用于图像加密的主要的优点。

下面给出基于重写的IMQVNNs模型(公式(7))的图像加密算法如下：

S31.采用经典的4阶龙格库塔算法(一种高精度单步算法)迭代公式(7)不少于L＝m×n次，其中，公式(7)的初始值选取为ψ₁(s)和

4阶龙格库塔算法的步长选取为0.01；其中，初始值ψ₁(s)和

中出现了下标1对应于该加密系统所需要的维数1；

S32.构建一个长度为L的浮点序列U＝{u(1)，u(2)，...，u(i)，...，u(L)}；其中，u(i)为步骤S31进行第i次迭代得到的第i个四元数；

u^R(i)为第i个四元数的实部；u^I(i)、u^J(i)以及u^K(i)分别为第i个四元数的三个虚部部分；

以及k均为虚部单位；浮点序列U为一个数据列，表示公式(7)的解序列，将对重洗图像矩阵Xs里面的信息进行处理，产生加密图像。

S33.基于浮点序列U计算得到用于图像加密的序列U_R、U_G以及U_B；其中，

u_R(i)∈U_R，u_G(i)∈U_G，u_B(i)∈U_B，i＝1，2，...，L；

u_R(i)＝mod((abs(u^I(i))-floor(abs(u^I(i))))×10¹⁴，256)；

u_G(i)＝mod((abs(u^J(i))-floor(abs(u^J(i))))×10¹⁴，256)；

u_B(i)＝mod((abs(u^K(i))-floor(abs(u^K(i)))×10¹⁴，256)

mod(c，d)返回c除以d的余数；floor(e)返回不大于e且最接近e的整数；abs(f)返回f的绝对值；c、d、e以及f为示例参数；

S34.基于序列U_R、U_G以及U_B计算得到图像的三个加密分量C_R、C_G以及C_B；其中，

C_R＝bitxor(uint8(Xs_R)，reshape(uint8(floor(U_R))，256，256))，

C_G＝bitxor(uint8(Xs_G)，reshape(uint8(floor(U_G))，256，256))，

C_B＝bitxor(uint8(Xs_B)，reshape(uint8(floor(U_B))，256，256))，

bitxor(g，h)返回g和h按位进行异或操作的结果；uint8(l)表示将数据l转化为无符号的占用一个字节的数据；B＝reshape(A，m，n)表示将矩阵A中的元素按列顺序重组成m×n矩阵B；Xs_R为图像矩阵Xs的红色分量矩阵；Xs_G为图像矩阵Xs的绿色分量矩阵；Xs_B为图像矩阵Xs的蓝色分量矩阵；g、h以及l为示例参数。

这样一来，原始图像C最终被加密处理成三个基本加密分量C_R，C_G，C_B，到这里已经完成了对原始图像C进行加密的整个过程。

下面将采用密钥空间分析和统计分析等多种安全分析手段对彩色图像按照上述方法加密之后的性能进行分析：

密钥空间分析：

在加密系统中，密钥空间是各种不同密钥的总数。本文所提出的加密算法中，其密钥大致如下：(1)IMQVNNs的初始值

和

(2)LLM(20)的初始值x₀和参数u。(3)IMQNVVs和LLM的迭代次数。为了更好的安全性能以抵御野蛮攻击，加密系统应具有大于2¹⁰⁰的密钥空间，作为一个非线性微分方程，参数和初始值的精度可达10¹⁴，于是此算法的密钥空间至少可达10¹⁴⁰＞＞2¹⁰⁰，这意味着这里提出的加密算法足以抵挡各种暴力攻击。

统计分析：

对于高质量的图像加密算法，需要抵抗各种统计攻击。为了验证加密算法的鲁棒性，我们将通过计算直方图、两个相邻像素之间的相关性、峰值信噪比(PSNR)、熵和原始图像与加密图像的相关性等方法对加密图像和原始图像进行统计分析。

直方图分析：

为了保证原始图像的信息不受统计攻击的影响，原始图像和加密图像之间不存在统计相关性是很重要的。图2和图3分别给出了Lena的重洗图像及其加密图像的直方图，其中，图2中的(a)、(b)、(c)分别为红、绿、蓝部分，(d)、(e)、(f)分别为重洗图像对应于红、绿、蓝部分的直方图；图3中的(a)、(b)、(c)分别为红、绿、蓝部分，(d)、(e)、(f)分别为加密图像对应于红、绿、蓝部分的直方图；从中可以看出加密图像三个分量的直方图是平坦的。因此，从直方图的角度看，该算法足以抵抗统计攻击。

相邻像素之间相关性分析：

无论是从水平方向、垂直方向还是对角线方向去分析，原图像的相邻像素之间都有很强的相关性。为了提高对统计攻击的抵抗力，必须消除相邻像素之间的相关性。对原图像进行提出的加密方法加密，随机选取了2500对相邻的像素，并对水平方向，垂直方向以及对角方向的相邻像素之间的相关性进行了分析。根据下面的方程，可以计算出相关系数：

其中，

a和b是图像中两个相邻像素的像素值。图4、5和6分别示出了Lena的相邻像素在水平、垂直和对角方向上的相关图(其中，三张图中的(a)、(b)、(c)为原图像，(d)、(e)、(f)为加密图像)，在表1中示出了图像Lena原图像和加密图像中的两个相邻像素的相关系数，从中可看出原图像的相关系数接近1，但是加密图像的相关系数的接近于0。这意味着这种加密方法可以有效地去除相邻像素的相关性并且使得在加密图像中的相邻像素之间几乎不相关。如表1：Lena原图像(Plain image)和加密图像(Cipher image)中相邻像素的相关系数。

表1

峰值信噪比：

虽然图像直方图是分析普通图像和密码图像之间距离的一种有用方法，但它没有揭示加密图像中加密值的信息。在这方面，可以使用相似性度量指标，如峰值信噪比(PSNR)。加密图像应该与原图像有很大的不同。PSNR越低表示原图像和加密图像之间的差异越明显。PSNR定义为：

其中，MSE表示原图像与加密图片之间的均方误差，f(i，j)和g(i，j)分别表示原图像与加密图像在(i，j)处的像素灰度值，m和n分别表示测试图像的宽和长。显然，均方误差值越小，加密效果就越好。表2给出了测试图片Lena的PSNR和MSE。

表2

Lena	R	G	B	Average
					PSNR	7.8477	8.5697	9.6492	8.6757
MSE	10674	9038.8	7056	8923

信息熵：

熵作为一种不确定度的度量可以测量图像中灰度值的分布均匀性。灰度值的分布越均匀，熵的值越大。换句话说，加密图像的熵越高，加密的安全性就越好。此外，熵可以用下列公式计算：

其中，2^m表示信息源的总统计量，P(s_i)表示信息源s_i的概率。本文中，s_i∈[0，255]表示图像的灰度值。一个完全随机的图像(RI)应该在s_i∈[0，255]中呈现均匀的像素分布，即对所有的i∈[0，255]有

然后计算出H(RI)＝8，这表明理想随机图像的信息熵值为8位。

Lena加密图像的信息熵如表3所示。我们发现，得到的加密图像的信息熵值非常接近于H(RI)＝8，这意味着加密图像接近随机源，加密过程中的信息泄漏可以忽略。由此，该方法可以安全地避免来自信息熵统计量的攻击。

表3

Lena	Plain image	Cipher image
			R	7.2418	7.9968
G	7.5757	7.9967
			B	6.9171	7.9976

原始图像与加密图像的相关性：

该加密系统的解密质量可以通过PSNR、相关系数(CC)和平均绝对误差(MAE)来测量。原图像和解密图像之间的CC和MAE定义如下：

其中，m和n分别是原图像和解密图像的高度和宽度；P和D分别是普通图像和解密图像；

和

分别是矩阵P和D的元素的均值；良好的解密图像应具有以下属性：大的PSNR，小的MAE以及CC等于或接近1。本文提出的方法可以计算出表4所示的Lena的解密图像和原图像之间的CC、MAE和PSNR。解密图像的直方图如图7所示。从表4和图7中我们可以发现每个解密的图像与相应的原图像相同；其中，表4中的Inf表示无穷大，图7中的(a)、(b)、(c)为解密后图像的三部分分量图像，(d)、(e)、(f)为解密后图像的三个分量的直方图。

表4

Lena	CC	MSE	PSNR
				R	1	0	Inf
G	1	0	Inf
				B	1	0	Inf

本文只需要一个四元数初始值的IMQVNNs来加密图像，这体现了与基于混沌的加密算法相比，本文所提出的基于IMQVNNs图像加密算法具有更好的并行处理能力，同时，也有效地提高了计算效率。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (4)

1.一种基于混沌四元数神经网络的图像加密算法，其特征在于：包括如下步骤：

S1.将明文图像转换成m×n的图像矩阵X，其中，X＝(x_ij)_m×n，x_ij为一个纯四元数，x_ij表示图像(i，j)处的像素值，m以及n均为正整数；

S2.对图像矩阵X进行行列变换处理形成图像矩阵Xs；

S3.将图像矩阵Xs输入至混沌四元数神经网络中进行加密处理并得到密文图像。

2.根据权利要求1所述的基于混沌四元数神经网络的图像加密算法，其特征在于：混沌四元数神经网络结构如下：

其中，二阶导数

为惯性项；A为对角矩阵，A＝diag{a₁，a₂，...，a_n}，对角矩阵A中的元素a_i为正常数，i＝1，2，...，n；B为对角矩阵，B＝diag{b₁，b₂，...，b_n}，对角矩阵B中的元素b_i为正常数，i＝1，2，...，n；n为正整数；x(t)为n维列向量，x(t)＝(x₁(t)，x₂(t)，...，x_i(t)，...，x_n(t))^T，x_i(t)为第i个神经元在t时刻的状态，且

为四元数域；C₁(t)为n阶四元数矩阵，C₁(t)＝(θ_ij(x_j(t)))_n×n，θ_ij(x_j(t))为基于忆阻的反馈连接权，j＝1，2，...，n；D₁(t)为n阶四元数矩阵，D₁(t)＝(v_ij(x_j(t)))_n×n，v_ij(x_j(t))为时滞反馈连接权；I(t)为n维列向量，I(t)＝(I₁(t)，I₂(t)，...，I_i(t)，...，I_n(t))^T，I_i(t)为第i个神经元的外部输入项，且

为n维列向量，

为时滞项，满足条件

为不小于0的实数；f(x(t))为n维列向量，f(x(t))＝(f₁(x₁(t))，f₂(x₂(t))，...，f_j(x_j(t))，...，f_n(x_n(t)))^T，f_j(x_j(t))为激活函数，且

为n维列向量，

为激活函数，

为第j个神经元在

时刻的状态，且

3.根据权利要求1所述的基于混沌四元数神经网络的图像加密算法，其特征在于：对图像矩阵X进行行列变换处理形成图像矩阵Xs包括：

S21.设定Logistic-Logistic映射的迭代表达式LL：x_n+1＝u₀×x_n×(1-x_n)×2¹⁴-floor(u₀×x_n×(1-x_n)×2¹⁴)；

其中，u₀为控制参数，floor(a)返回不大于a的最接近a的整数，a＝u₀×x_n×(1-x_n)×2¹⁴；x_n+1以及x_n均为实数；n＝1，2，...，N；a为示例参数；

S22.设置初始值x₀∈(0，1)且u₀∈(0，10]，随机选取一个初始值x₀以及u₀带入迭代表达式LL，对迭代表达式LL进行n次迭代得到序列分布x_n；

S23.根据序列分布x_n，确定控制参数u_n＝floor(x_n×m)+1；

S24.计算控制参数u_n，得到m个不同的控制参数值，将m个不同的控制参数值依次存放到一维向量u_i；其中，i＝1，2，...，m；

S25.根据一维向量u_i＝j，i＝1，2，...，m，j∈{1，2，...，m}，将单位矩阵I_m×m的第i行作为行置换矩阵T_m×m的第j行；

S26.根据步骤S23-S25类推，得到列置换矩阵T_n×n；

S27.对图像矩阵X进行置换处理得到图像矩阵Xs：Xs＝T_m×mX_m×nT_n×n。

4.根据权利要求1所述的基于混沌四元数神经网络的图像加密算法，其特征在于：将图像矩阵Xs输入至混沌四元数神经网络中进行加密处理包括：

S31.采用4阶龙格库塔算法迭代神经网络模型P_Γ；其中，迭代次数不少于L＝m×n次，4阶龙格库塔算法的步长选取为0.01；

S32.构建一个长度为L的浮点序列U＝{u(1)，u(2)，...，u(i)，...，u(L)}；其中，u(i)为步骤S31进行第i次迭代得到的第i个四元数；u(i)＝u^R(i)+u^I(i)i+u^J(i)j+u^K(i)κ；u^R(i)为第i个四元数的实部；u^I(i)、u^J(i)以及u^K(i)分别为第i个四元数的三个虚部部分；i、j以及κ均为虚部单位；

S33.基于浮点序列U计算得到用于图像加密的序列U_R、U_G以及U_B；其中，

u_R(i)∈U_R，u_G(i)∈U_G，u_B(i)∈U_B，i＝1，2，...，L；

u_R(i)＝mod((abs(u^I(i))-floor(abs(u^I(i))))×10¹⁴，256)；

u_G(i)＝mod((abs(u^J(i))-floor(abs(u^J(i))))×10¹⁴，256)；

u_B(i)＝mod((abs(u^K(i))-floor(abs(u^K(i))))×10¹⁴，256)；

mod(c，d)返回c除以d的余数；floor(e)返回不大于e且最接近e的整数；abs(f)返回f的绝对值；c、d、e以及f为示例参数；

S34.基于序列U_R、U_G以及U_B计算得到图像的三个加密分量C_R、C_G以及C_B；其中，

C_R＝bitxor(uint8(Xs_R)，reshape(uint8(floor(U_R))，256，256))，

C_G＝bitxor(uint8(Xs_G)，reshape(uint8(floor(U_G))，256，256))，

C_B＝bitxor(uint8(Xs_B)，reshape(uint8(floor(U_B))，256，256))，

bitxor(g，h)返回g和h按位进行异或操作的结果；uint8(l)表示将数据l转化为无符号的占用一个字节的数据；B＝reshape(A，m，n)表示将矩阵A中的元素按列顺序重组成m×n矩阵B；Xs_R为图像矩阵Xs的红色分量矩阵；Xs_G为图像矩阵Xs的绿色分量矩阵；Xs_B为图像矩阵Xs的蓝色分量矩阵；g、h以及l为示例参数。

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