CN112260819A - 新型超宽范围忆阻混沌系统与多重图像变形图像加密方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供新型超宽范围忆阻混沌系统与多重图像变形图像加密方法，S1：采用绝对值忆阻器模型，构造超宽范围忆阻混沌系统，产生两种二涡卷吸引子和一种心形吸引子；S2：分析S1所构造的忆阻混沌系统的动力学行为；S3：结合S1所构造的忆阻混沌系统，设计具有多重图像变形的图像加密算法；本发明结合了新兴的忆阻器件来设计混沌系统，得到的新系统的混沌参数范围可达(0,10⁷]，并且能在超大的范围内保持混沌状态的稳定。这种特性使得该系统非常适合用于密码学中；本发明中设计的图像加密算法与明文图像关联极强，有优秀的抗已知明文攻击和选择明文攻击的能力；本发明中设计的图像加密算法可以适用于各种尺寸，各种类型的明文图像，普适性强。

Description

新型超宽范围忆阻混沌系统与多重图像变形图像加密方法

技术领域

本发明涉及一种图像加密方法，尤其涉及一种新型超宽范围忆阻混沌系统与多重图像变 形图像加密方法，属于非线性混沌系统以及图像加密技术领域。

背景技术

得益于现代移动通信超高的传输速度和无线网络的普及，我们的日常生活被大量的多媒 体信息所环绕。然而，这种传输通道是开放的、共享的，因此带来了日益加剧的信息安全问 题，不但涉及到个人隐私，还包括金融、医疗和军事等多种方面。在人们探索如何保护信息 安全的过程中，提出了AES、DES等经典的加密算法。但是随着研究的深入，学者们发现图 像这种高数据量、高冗余性和高像素间相关性的信息载体不适用于传统的加密算法。混沌系 统是一类具有内在随机性的、不可预测并且对初始值的变化极端敏感的非线性系统，这种独 特的性质使混沌系统在密码学中有着广泛的应用。

自2008年HP实验室成功实现了TiO₂物理忆阻器以来，忆阻器件引起了学者的广泛关注。 忆阻器是一种描述电荷量和磁通量之间的关系的带有记忆功能的新型电子元件。由于忆阻器 具有独特的非线性特性，使其可以在电子电路中产生振荡行为，从而开辟了混沌系统研究的 新方向。基于忆阻器件构造的混沌系统，其动力学行为更加复杂且随机行为更难预测，将其 应用到密码学中，可以进一步提高通信的安全性和可靠性。

混沌图像加密算法是一种用混沌系统产生的伪随机序列对图像像素进行置乱和扩散的技 术。现有的算法中采用的混沌系统有着参数和初始值范围小、混沌状态不稳定的缺点，这样 就减弱了密钥空间的扩展性；此外，由于计算机精度的限制，在迭代过程中容易误入非混沌 状态的区域，从而失去混沌系统的初值敏感性的价值。所以，需要设计一种参数范围大的混 沌系统和安全性高的图像加密方案。

发明内容

本发明针对现有的设计缺陷，提供一种新型超宽范围忆阻混沌系统与多重图像变形图像 加密方法，解决了用于密码学中的混沌系统参数范围小且混沌状态不稳定的问题，不仅对明 文图像的细微差异非常敏感，而且具有较高的普适性和安全性。

本发明的目的是这样实现的：

S1：采用绝对值忆阻器模型，构造超宽范围忆阻混沌系统，可以产生两种二涡卷吸引子 和一种心形吸引子。

S2：分析S1所构造的忆阻混沌系统的动力学行为。

S3：结合S1所构造的忆阻混沌系统，设计具有多重图像变形的图像加密算法；加密实现 步骤为：

S31：输入明文图像P，大小为m×n×3。设置密钥为K＝(x₀,y₀,z₀,w₀,N₀)，其中 x₀,y₀,z₀,w₀是S1中忆阻混沌系统的初始值，N₀是为了消除混沌序列的暂态效应而舍弃的元 素的个数。

S32：将明文图像P的分解成P_R、P_G和P_B三个通道图层，并计算每个图层的像素和，以用来处理混沌迭代值。

S33：设置忆阻混沌系统的迭代次数和迭代步长，将S1中的忆阻混沌系统离散化得到混 沌序列x,y,z,w。

S34：用明文图像的像素值干扰x,y,z,w，得到三组用来加密图像的密码。

①分别取序列x、y和z的前G个值，G＝max{m,n,h}，并将得到的序列记为x₁、y₁和z₁。计算获得第一组密码X₁、Y₁、Z₁和W₁。

②分别截取序列x的前m个元素，序列y的前n个元素以及序列z的前3个元素，然后获 得他们按升序排序后的索引值，记为X₂、Y₂和Z₂。

③将x、y、z和w逆序处理，计算获得第三组密码X₃、Y₃、Z₃和W₃。

S35：将明文图像P的所有像素自适应地分成边长为S立方块。

S36：取W₁的前S个元素，然后取得它的索引值W_idx。以序列W_idx的元素为基准生成一个 GF(S)有限域，并在该有限域上自定义加法和乘法。按照自定义的计算方式生成三个拉丁立 方矩阵LC₁、LC₂和LC₃。

S37：通过像素块的下标确定计算方式，用拉丁立方与X₁、Y₁和Z₁对块内的像素进行扩 散。

S38：将像素块重新拼接为大小m×3n的平面图像，并用X₂、Y₂和Z₂进行全局置乱。

S39：将置乱后的图像展开成长度为m×n×3的一维序列，再取X₃的索引值X_idx。分别按 照X_idx、m×n+X_idx和2×m×n+X_idx的顺序将A5抽取为三个一维向量。

S310：分别通过Y₃、Z₃和W₃的值对三个一维向量的元素值进行循环左移计算，在这过程 中三个序列并行处理，提高运行速度。

S311：将三个一维向量的像素分解成8bit二进制数，并组合成大小为m×n×24的位矩阵 A6，对矩阵元素再一次进行洗牌处理。其执行效果如图5所示。

S312：重塑密文图像C并将其输出。(注明：本图像加密方案的解密过程参照加密过程的 逆过程即可)。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：

1、本发明结合了新兴的忆阻器件来设计混沌系统，得到的新系统的混沌参数范围可达 (0,10⁷]，并且能在超大的范围内保持混沌状态的稳定。这种特性使得该系统非常适合用于密 码学中；

2、本发明中设计的图像加密算法与明文图像关联极强，有优秀的抗已知明文攻击和选择 明文攻击的能力；

3、本发明中设计的图像加密算法可以适用于各种尺寸，各种类型的明文图像，普适性强。

附图说明

图1是本发明实施例中图像加密方案的的整体流程；

图2a-i是本发明实施例中构造的忆阻混沌系统在不同参数和初始值下的三种不同的混沌 吸引子相图；其中图2a-c参数为a＝16，b＝9，c＝5，d＝8，初始值为(1,0,0,1)；图2d-f 参数为a＝16，b＝9，c＝30，d＝8，初始值为(1,0,0,1)；图2g-i参数为a＝16，b＝9，c＝5， d＝8，初始值为(1,0,0,40)；

图3a是本发明实施例中构造的忆阻混沌系统随系统参数d的增长而变化的Lyapunov谱 图；

图3b是本发明实施例中构造的忆阻混沌系统随系统参数d的增长而变化的分岔图；

图4a是本发明实施例中构造的忆阻混沌系统随初始值w₀的增长而变化的Lyapunov谱 图；

图4b是本发明实施例中构造的忆阻混沌系统随初始值w₀的增长而变化的分岔图；

图5是本发明实施例中S311中的比特级位置洗牌示意图；

图6a-d是本发明实施例中图像加密算法的实验仿真；其中图6a为Mandrill明文图像； 图6b为明文图像的直方图；图6c为Mandrill密文图像；图6d为密文图像的直方图；

图7a-h本发明实施例中图像加密算法的相邻像素间的相关性分析图；其中图7a-d为 Mandrill明文图像的相邻像素分别在水平方向、垂直方向、正对角方向和反对角方向的相关 性；图7e-h为Mandrill密文图像的相邻像素分别在水平方向、垂直方向、正对角方向和反对 角方向的相关性。

具体实施方式

下面结合附图与具体实施方式对本发明作进一步详细描述。

首先，S1和S2结合图2a-图2i至图4a-图4b说明本发明实施例中新型忆阻混沌系统的 数值方程、动力学参数及其独特的动力学行为。其次，S3结合图1、图5至图7a-图7h说明本发明实施例中具有多种图像变形性质的图像加密算法，并分析其安全性。

具体包括：

S1：采用绝对值忆阻器模型，构造超宽范围忆阻混沌系统，该系统可以产生两种二涡卷 吸引子和一种心形吸引子。

其中，x、y、z和w是混沌系统的状态变量，参数a、b、c和d是实数范围内的常数。忆阻器的忆导函数

内部参数A＝0.6667，B＝1.5。

当参数设为a＝16，b＝9，c＝5，d＝8，初始值设为(1,0,0,1)时，可以产生第一种混沌 吸引子，如图2a-c。

当参数设为a＝16，b＝9，c＝30，d＝8，初始值设为(1,0,0,1)时，可以产生第二种混 沌吸引子，如图2d-f。

当参数设为a＝16，b＝9，c＝5，d＝8，初始值设为(1,0,0,40)时，可以产生第三种混 沌吸引子，如图2g-i。

S2：进一步分析S1所构造的忆阻混沌系统的动力学行为。

(1)耗散性：

系统(1)的耗散性由下面表达式导出：

显然地，当混沌系统的控制参数设置为c＞b-a时，

这说明，系统(1)是耗散的， 并且所有运动轨迹最终会被限制在一个确定的区域内。

(2)平衡点及其稳定性：

系统(1)的平衡点可由式(3)计算得出。

可以看出，式(3)的结果与变量w无关，因此变量w可以是任意一个实数，因而得到如式 (4)所示的线平衡点O，其中ξ代表一个任意常数。

O＝{(x,y,z,w)|x＝y＝z＝0,w＝ξ} (4)

式(3)在平衡点O处的雅克比矩阵J如式(5)所示。

可得到特征方程为：

λ(λ³+μ₁λ²+μ₂λ+μ₃)＝0 (6)

式(6)有一个特征值为零，还有三个特征值分别为μ₁＝a-b+c，μ₂＝-ab+ac-bc， μ₃＝-abc。根据劳斯-赫尔维茨判据，当μ₁＞0，μ₃＞0且μ₁μ₂-μ₃＞0时，平衡点是稳定的。 S1中的参数取值均不满足劳斯-赫尔维茨判据，O是不稳定的平衡点集。

(3)Lyapunov指数谱及分岔图的仿真：

当系统参数为a＝16，b＝9，c＝5，初始值取x₀＝w₀＝1且y₀＝z₀＝0时，状态变量z随参数d在(0,10⁷]范围内变化的Lyapunov指数谱和分岔图分别由图3a和图3b所示。在除了(1.28×10⁶,2.29×10⁶)和(9×10⁶,9.5×10⁶)区域内的其他范围里，Lyapunov指数均为一正一零两 负的混沌状态。

当系统参数设为a＝16，b＝9，c＝5，d＝8，初始值取x₀＝1且y₀＝z₀＝0时，图4a和图4b分别记录了初始值w₀＝[-80,80]范围内系统(1)的状态变化情况。可以看出w₀在(-60,60) 都呈现混沌状态。

S3：结合步骤一所构造的忆阻混沌系统，设计具有多重图像变形的图像加密算法；加密 实现步骤为：

S31：输入明文图像P，大小为m×n×3。设置密钥为K＝(x₀,y₀,z₀,w₀,N₀)，其中 x₀,y₀,z₀,w₀是S1中忆阻混沌系统的初始值，N₀是为了消除混沌序列的暂态效应而舍弃的元 素的个数。

S32：将明文图像P的分解成P_R、P_G和P_B三个通道图层，按照式(7)进行处理。

S33：用密钥K中的参数迭代S1中的忆阻混沌系统M+N₀+1000次，每迭代300次就对初始值w₀进行一个w₀＝w₀+r×sin(x₀)的干扰，其中M＝m×n且r＝0.0001代表迭代步长。舍弃前N₀+1000个元素以消除混沌序列的暂态效应，得到混沌序列x、y、z和w。

S34：用明文图像的像素值干扰x,y,z,w，得到三组用来加密图像的密码。

①分别取序列x、y和z的前G个值，G＝max{m,n,h}，并将得到的序列记为x₁、y₁和z₁。计算获得第一组密码X₁、Y₁、Z₁和W₁，其中

和

是分别将x₁、y₁、z₁和w逆序处 理得到的序列。

其中，i＝1,2,…,G，j＝1,2,…,M。

②分别截取序列x的前m个元素，序列y的前n个元素以及序列z的前3个元素，然后获 得他们按升序排序后的索引值，记为X₂、Y₂和Z₂。

③计算获得第一组密码X₃、Y₃、Z₃和W₃。其中

和

是分别将x、y、z和w 逆序处理得到的序列。

其中，i＝1,2,…,M。

S35：将按照式(10)中的方法计算出像素块的边长S，从明文图像P中分割出一个边长为S的像素立方块。重复进行此步骤，直到将P分割成t个立方块A1_t。

其中，N是明文图像P中所有像素的个数。

S36：取W₁的前S个元素，然后取得它的索引值W_idx。以序列W_idx的元素为基准生成一个 GF(S)有限域，并在该有限域上自定义加法和乘法。按照式(11)在自定义的有限域上生成三个 拉丁立方矩阵LC₁、LC₂和LC₃。

LC_a(i,j,k)＝W_idx(k)+λ_a×W_idx(j)+λ_a ²×W_idx(i)

式中所用的“+”和“×”都按照自定义的计算方式计算，且i,j,k＝1,2,…,S。

S37：通过像素块的下标确定计算方式。当tmod3＝0时，用式(12)进行像素块内扩散； 当tmod3＝1时，用式(13)计算；当tmod3＝2时，则采用式(14)的方式。

其中，i,j,k＝1,2,…,S。

S38：将像素块重新拼接为大小m×3n的平面图像A3，并用X₂、Y₂和Z₂进行全局置乱。

A4(i,j,k)＝A3(X₂(i),Y₂(j),Z₂(k)) (15)

其中，i＝1,2,…,m，j＝1,2,…,n，k＝1,2,3。

S39：将置乱后的图像展开成长度为m×n×3的一维序列A5，再取X₃排序后的索引值 X_idx。分别按照X_idx、m×n+X_idx和2×m×n+X_idx的顺序将A5抽取为三个一维向量A5′，A5″和A5″′。

S310：分别计算h₁(i)＝Y₃(i)mod4、h₂(i)＝Z₃(i)mod4和h₃(i)＝W₃(i)mod4，并根据h₁、 h₂和h₃的值对三个一维向量的元素值进行循环左移计算，在这过程中三个序列并行处理，提 高运行速度。

对于A5′：

对于A5″：

对于A5″′：

其中，⊕代表的是比特级的异或运算，h₁,h₂,h₃＝0,1,2,3，i＝1,2,…,M。

S311：将三个一维向量的像素分解成8bit二进制数，并组合成大小为m×n×24的位矩阵 A6，对矩阵元素再一次进行洗牌处理。其执行效果如图5所示。

首先，将A6看做n个长宽分别为m和24的平面，记为A6′，每4个平面旋转一次。

A6″(4i-3)＝rotation(A6′(4i-3),180°),i＝1,2,…,(m+3)/4 (19)

然后，将A6″视为24个长宽分别为m和n的平面，每个平面依次旋转。

A7(i)＝rotation(A6″(i),i×90°),i＝1,2,…,24 (20)

S312：最后，重塑密文图像C并将其输出。(注明：本图像加密方案的解密过程参照加密 过程的逆过程即可)

S4：实验和检验

S41：当密钥设置为K＝{1,0,0,1,3000}时，用本发明实施例对彩色图像Mandrill进行加密、 解密测试，仿真效果如图6a和图6c所示。加密后的图像无法直观地辨别有用的信息。

S42：本发明实施例共有5个密钥，其中x₀,y₀,z₀,w₀的计算精度为10¹⁵，N₀的取值范围 是[0,10⁶]，可以得到密钥空间为10^15×4×10⁶≈2²¹⁹。

S43：直方图可以反应一副图像中的像素灰度值分布情况。可以看出图6b显示的Mandrill 明文图像的直方图中灰度分布特征明显，而图6d代表的密文图像直方图中的灰度均匀分布在 各灰度级，无法提取明文图像信息。用信息熵(式(21))也可以从数值上直观的看出，密文 图像各通道信息熵都非常接近理想值8，说明所有灰度级出现的概率分布比较均匀，加密效 果较理想。

其中，m_i代表像素值，p(m_i)代表该像素值出现的概率。

表1明文图像及密文图像的各通道信息熵对比

S44：此外，还要对图像的相邻像素间相关性进行分析。以Mandrill图像的R通道为例， 分别随机选取水平、垂直、正对角、反对角四个方向的3000组相邻像素点，对他们的相关性 进行分析，结果显示在图7a-h和下表中。可以看出，图7a-d中显示的明文图像R通道各组 像素在四个方向的相关图非常集中，而图7e-h中显示密文图像相关图散乱分布在0-255的正 方形区域内，说明这些像素对几乎不具有相关性。表2则从数值方面证明了，密文图像各方 向像素对的相关系数趋近于0，说明本发明实施例很好的掩藏了像素信息。

其中，x和y分别是一对相邻像素的像素值。

表2明文图像和密文图像的相邻像素间相关系数对比

S45：图像加密算法对明文像素的敏感性可以由像素改变率NPCR(式(24))和归一化像 素平均值UACI(式(25))来评价，它们由原图像的加密图像和明文图像只改变一个像素的加 密图像比较计算得出，理想值分别为99.6094和33.4635。用本发明实施例进行明文敏感性测 试，从下表所示的数值可以看出测试结果非常接近理想值，说明本发明实施例对明文像素的 变化非常敏感，有较强的抗差分攻击的能力。

其中，M和N分别代表图像的长和宽，C₁是原始图像的密文图像，C₂是随机改变了一个像 素值之后的图像的密文图像。

表3对本方案的明文敏感程度的分析

最后应说明的是：实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述 实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各 实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换；而这些修改或 替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的精神和范围。

Claims (1)

1.新型超宽范围忆阻混沌系统与多重图像变形图像加密方法，其特征在于：包括如下步骤：

S1：采用绝对值忆阻器模型，构造超宽范围忆阻混沌系统，产生两种二涡卷吸引子和一种心形吸引子；

S2：分析S1所构造的忆阻混沌系统的动力学行为；

S3：结合S1所构造的忆阻混沌系统，设计具有多重图像变形的图像加密算法；加密实现步骤为：

S31：输入明文图像P，大小为m×n×3；设置密钥为K＝(x₀,y₀,z₀,w₀,N₀)，其中x₀,y₀,z₀,w₀是S1中忆阻混沌系统的初始值，N₀是为了消除混沌序列的暂态效应而舍弃的元素的个数；

S32：将明文图像P的分解成P_R、P_G和P_B三个通道图层，并计算每个图层的像素和，以用来处理混沌迭代值；

S33：设置忆阻混沌系统的迭代次数和迭代步长，将S1中的忆阻混沌系统离散化得到混沌序列x,y,z,w；

S34：用明文图像的像素值干扰x,y,z,w，得到三组用来加密图像的密码；

①分别取序列x、y和z的前G个值，G＝max{m,n,h}，并将得到的序列记为x₁、y₁和z₁；计算获得第一组密码X₁、Y₁、Z₁和W₁；

②分别截取序列x的前m个元素，序列y的前n个元素以及序列z的前3个元素，然后获得他们按升序排序后的索引值，记为X₂、Y₂和Z₂；

③将x、y、z和w逆序处理，计算获得第三组密码X₃、Y₃、Z₃和W₃；

S35：将明文图像P的所有像素自适应地分成边长为S立方块；

S36：取W₁的前S个元素，然后取得它的索引值W_idx，以序列W_idx的元素为基准生成一个GF(S)有限域，并在该有限域上自定义加法和乘法，按照自定义的计算方式生成三个拉丁立方矩阵LC₁、LC₂和LC₃；

S37：通过像素块的下标确定计算方式，用拉丁立方与X₁、Y₁和Z₁对块内的像素进行扩散；

S38：将像素块重新拼接为大小m×3n的平面图像，并用X₂、Y₂和Z₂进行全局置乱；

S39：将置乱后的图像展开成长度为m×n×3的一维序列，再取X₃的索引值X_idx；分别按照X_idx、m×n+X_idx和2×m×n+X_idx的顺序将A5抽取为三个一维向量；

S310：分别通过Y₃、Z₃和W₃的值对三个一维向量的元素值进行循环左移计算，在这过程中三个序列并行处理，提高运行速度；

S311：将三个一维向量的像素分解成8bit二进制数，并组合成大小为m×n×24的位矩阵A6，对矩阵元素再一次进行洗牌处理；

S312：重塑密文图像C并将其输出，图像加密方案的解密过程参照加密过程的逆过程。

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