CN110578737B - 基于非线性神经网络的液压伺服系统mrac控制方法 - Google Patents

基于非线性神经网络的液压伺服系统mrac控制方法 Download PDF

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CN110578737B CN201910810412.4A CN201910810412A CN110578737B CN 110578737 B CN110578737 B CN 110578737B CN 201910810412 A CN201910810412 A CN 201910810412A CN 110578737 B CN110578737 B CN 110578737B
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Abstract

本发明公开了一种基于非线性神经网络的液压伺服系统MRAC控制方法，针对液压伺服系统中的匹配和不匹配干扰以及参数不确定性，采用非线性神经网络去逼近与状态相关干扰，从而进行前馈补偿，同时，为了进一步提高前馈补偿的精度，在线更新与输入相关的参数。在理论证明方面，将符号函数鲁棒积分控制策略（RISE）与MRAC结合，通过RISE去抑制神经网络的逼近误差，在不利用加速度信号的情况下实现了渐近跟踪，最后通过实验验证了本发明的效果。

Description

基于非线性神经网络的液压伺服系统MRAC控制方法
技术领域
本发明属于液压伺服系统技术，具体涉及一种基于非线性神经网络的液压伺服系统MRAC控制方法。
背景技术
对于液压系统的闭环控制，参数不确定性和非线性扰动是实现高跟踪性能的主要障碍。自适应控制是减轻参数不确定性的不利影响的一种很好的方法，但对非线性干扰几乎没有作用。鲁棒控制能够提高具有高增益反馈的非线性干扰的鲁棒性，但会导致严重的抖动问题。为了提高液压系统的跟踪性能，自适应鲁棒控制方法(ARC)已应用于液压系统。然而，当所考虑的系统含有不匹配和/或匹配的非线性干扰时，ARC不能实现渐近跟踪。基于误差符号积分鲁棒(RISE) 反馈控制方法，基于RISE的自适应控制策略已经针对具有参数不确定性和非线性扰动的液压系统进行了研究，并实现了渐近稳定性。然而，由于系统中存在高频动态等问题，液压系统并未提倡使用高增益反馈工具。总结来说，现有的液压系统控制方法的不足之处主要有以下几点：
一、忽略系统建模不确定性。液压系统的建模不确定性包括非线性摩擦和未建模干扰等。摩擦是液压系统阻尼的主要来源之一，摩擦的存在引起的粘滑运动、极限环振荡等不利因素对系统的性能有重要的影响。另外，实际的液压系统都会受到外负载的干扰，若不加以考虑，会恶化系统跟踪性能；
二、高增益反馈。目前许多控制方法存在高增益反馈的问题，通过提高反馈增益来减小跟踪误差。然而由高增益反馈引起的高频动态将会影响系统跟踪性能。
三、测量噪声。目前许多针对液压系统的控制方法研究都采用加速度信号，但是加速度信号中包含大量的测量噪声，这会严重影响系统的跟踪新能。
发明内容
本发明的目的在于提供一种基于非线性神经网络的液压伺服系统MRAC控制方法，克服了液压伺服系统中的匹配和不匹配干扰以及参数不确定性的问题。
实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于非线性神经网络的液压伺服系统MRAC控制方法，包括以下步骤：
步骤1、建立液压伺服系统的数学模型，转入步骤2；
步骤2、设计非线性神经网络，转入步骤3；
步骤3、设计基于非线性神经网络的液压伺服系统MRAC控制器，转入步骤4；
步骤4、运用李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性证明，并运用中值定理得到液压伺服系统的半全局渐近稳定的结果。
本发明与现有技术相比，其显著优点是：(1)有效地解决了传统鲁棒积分控制方法存在的高增益反馈的问题，获得了更好的跟踪性能。
(2)不适用加速度信号，实验结果验证了其有效性。
附图说明
图1为本发明基于非线性神经网络的液压系统MRAC控制方法原理示意图。
图2为本发明使用的液压伺服系统原理图。
图3为本发明的方法与其他方法跟踪误差对比图。
图4为实施例在10mm-0.5Hz正弦轨迹AMRNNR的
Figure BDA0002184910220000021
NN估计和控制输入曲线图。
具体实施方式
下面结合说明书附图对本发明作进一步描述。
结合图1～2本发明基于非线性神经网络的液压伺服系统MRAC控制方法，包括以下步骤：
步骤1，液压伺服系统的数学模型为
Figure BDA0002184910220000022
式(1)中：m和y分别为运动部件的惯性负载和负载位移；液压缸负载压差 PL＝P1-P2，其中P1和P2分别为液压缸进油腔和回油腔的压力；A为液压缸内腔的有效作用面积；B为有效粘性阻尼系数；
Figure BDA0002184910220000023
为液压伺服系统的未建模干扰，包含未建模摩擦、未建模动态和外干扰，t为时间变量；忽略外部泄漏，液压伺服系统的压力动态方程为：
Figure BDA0002184910220000024
式(2)中，液压缸进油腔的容积V1＝V01+Ay，液压缸回油腔的容积V2＝V02-Ay， V01为液压缸进油腔的控制容积，V02为液压缸回油腔的控制容积；βe为液压缸有效容积液体弹性模数；Ct为液压缸总内泄露系数；Q1为伺服阀进入液压缸进油腔的液压流量，Q2为伺服阀液压缸流出出油腔的液压流量；Qe1和Qe2分别为P1和P2动态方程的模型误差；忽略阀芯动态，则输入控制量u与阀芯位移成正比，则伺服阀的流量方程写成
Figure BDA0002184910220000031
式(3)中，ku为与输入控制量有关的总流量增益，Ps为液压油的进油压力，Pr为液压油的回油压力，指示函数IA(u)定义为
Figure BDA0002184910220000032
定义状态变量：
Figure BDA0002184910220000033
则式(1)运动方程转化为状态方程：
Figure BDA0002184910220000034
公式(5)中，变量U＝(R1/V1+R2/V2)u，变量
Figure BDA0002184910220000035
变量
Figure BDA0002184910220000036
变量
Figure BDA0002184910220000037
变量
Figure BDA0002184910220000038
变量
Figure BDA0002184910220000039
变量
Figure BDA00021849102200000310
变量
Figure BDA00021849102200000311
Figure BDA00021849102200000312
令
Figure BDA00021849102200000313
式 (5)表示为
Figure BDA00021849102200000314
使用基于模型参考的控制结构，则式(6)表示为
Figure BDA00021849102200000315
式(7)中，
Figure BDA00021849102200000316
为可调输出向量，
Figure BDA00021849102200000317
表示不确定状态矩阵，
Figure BDA00021849102200000318
表示不确定输入矩阵， G(x，t)＝{0 d1(x1，x2，x3，t) d2(x1，x2，x3，t)}T表示非线性的未知扰动；一般，需要高反馈增益来抑制G(x，t)中的d1和d2，为了用神经网络补偿扰动，这里的扰动被分为两个部分：一部分是和状态变化有关G(x)，其被随后设计的基于神经网络的估计器补偿，另一部分扰动则与时间变化相关G(t)，即:
Figure BDA0002184910220000041
假设：G(x)与G(t)足够光滑，且
Figure BDA0002184910220000042
式(9)中，v1和v2都是未知常数。
步骤2，设计非线性神经网络，具体如下：
对一个光滑函数
Figure BDA0002184910220000043
表示为
f(x)＝WTσ(VTx)+ε(x) (10)
其中，
Figure BDA0002184910220000044
是一个给定的输入，在式(10)中，
Figure BDA0002184910220000045
为隐藏层互连理想权值向量的输入，
Figure BDA0002184910220000046
为隐藏层互连理想权值向量的输出，其中N1为输入层的神经元数量，N2为隐藏层的神经元数量，n为输出层的神经元数量。式(10)中
Figure BDA0002184910220000047
表示激活函数，ε(x)为近似误差。
假设1：式(10)中的近似误差
Figure BDA0002184910220000048
是有界的，且基于神经网络的通用近似性质，如果隐藏层足够大，那么近似误差无穷小。
基于式(10)，f(x)的神经网络估计器被表示为
Figure BDA0002184910220000049
式中，
Figure BDA00021849102200000410
为式(10)隐藏层互连理想权值向量的输入V的估计，
Figure BDA00021849102200000411
为式(10)中的隐藏层互连理想权值向量的输出W的估计。隐藏层互连理想权值向量的输入V的估计差异
Figure BDA00021849102200000412
和隐藏层互连理想权值向量的输出W的估计
Figure BDA00021849102200000413
表示为
Figure BDA00021849102200000414
隐藏层输出误差
Figure BDA00021849102200000415
表示为
Figure BDA00021849102200000416
其中，
Figure BDA00021849102200000417
为隐藏层激活函数σ输出估计值，基于上述设计，神经网络估计特性的如下：
性质1：σ(VTx)的泰勒展开表达为
Figure BDA00021849102200000418
其中
Figure BDA0002184910220000051
代表更高次项，通过将式(14)带入式(13)得到
Figure BDA0002184910220000052
其中隐藏层激活函数σ输出估计值的导数
Figure BDA0002184910220000053
性质2：权重是有界的，如:
Figure BDA0002184910220000054
其中||·||F和tr(·)分别表示F-范数和矩阵的迹。
步骤3，设计基于非线性神经网络的液压伺服系统MRAC控制器的步骤如下：
液压伺服系统控制所需要达成的目标在于在有非线性扰动和参数不确定性的情况下可以获得良好的跟踪表现，首先，定义跟踪误差
Figure BDA0002184910220000055
e：＝C(x-xm) (64)
其中
Figure BDA0002184910220000056
参考状态
Figure BDA0002184910220000057
来源于以下参考模型：
Figure BDA0002184910220000058
其中
Figure BDA0002184910220000059
为模型状态矩阵，
Figure BDA00021849102200000510
为模型输入矩阵，
Figure BDA00021849102200000511
为参考模型的输入量。
参考量xm和
Figure BDA00021849102200000512
为有界量，辅助误差信号
Figure BDA00021849102200000513
定义为
Figure BDA00021849102200000514
其中，α为正常数，注意到误差信号r(t)式是与
Figure BDA00021849102200000515
有关，所以是不可测量的。
以下通过液压伺服系统的开环误差和闭环误差设计控制器。首先将液压伺服系统的开环误差由式(8)改写成：
Figure BDA00021849102200000516
其中函数S(xm，x)表示为
S(xm，x)＝G(x)-G(xm) (18)
结合辅助误差信号定义，得到
Figure BDA00021849102200000517
其中辅助函数
Figure BDA00021849102200000518
定义为
Figure BDA00021849102200000519
其中
Figure BDA0002184910220000061
为可测量回归方程；
Figure BDA0002184910220000062
为Bo矩阵中的第三个常数，由参数化的方式进行定义：
Figure BDA0002184910220000063
其中，
Figure BDA0002184910220000064
为正控制增益，c为正常数。
在式(19)中，
Figure BDA0002184910220000065
表示参数估计误差，定义为
Figure BDA0002184910220000066
其中
Figure BDA0002184910220000067
表示设计的参数估计常值，
Figure BDA0002184910220000068
为式(7)中的Bo(t)的估计矩阵；函数
Figure BDA0002184910220000069
表示为
Figure BDA00021849102200000610
第二辅助函数
Figure BDA00021849102200000611
定义为
Figure BDA00021849102200000612
定理1：使用中值定理
Figure BDA00021849102200000613
其中
Figure BDA00021849102200000619
表示为
z(t)＝[e r]T (26)
且ρ(||z||)为正全局可逆非递减函数；
基于式(9)，得到下列不等式：
Figure BDA00021849102200000614
其中，ζ1、ζ2都是正常数，用三层神经网络近似ψ：
ψ＝WTσ(VTxf)+ε(xf) (27)
其中，输入
Figure BDA00021849102200000615
闭环误差系统：基于式(19)和式(27)，最终控制输入u设计为
u＝U/(R1/V1+R2/V2) (28)
其中，U定义为
Figure BDA00021849102200000616
其中
Figure BDA00021849102200000617
定义为
Figure BDA00021849102200000618
其中β、ks均为正控制增益，α、c均为正常数；式(29)中的估计
Figure BDA0002184910220000071
表示成向量形式
Figure BDA0002184910220000072
由以下不连续映射自适应率表达：
Figure BDA0002184910220000073
其中γB＞0为调节增益，由于r(t)未知，式(31)中的计算表示如下：
Figure BDA0002184910220000074
T表示矩阵的转置。
式(30)中的神经网络前馈项
Figure BDA0002184910220000075
可表示为
Figure BDA0002184910220000076
式(33)中的神经网络权值估计按以下方式实时更新：
Figure BDA0002184910220000077
其中，
Figure BDA0002184910220000078
和
Figure BDA0002184910220000079
都为正定对称常量矩阵，xf为参考状态。
将式(29)带入式(19)，得
Figure BDA00021849102200000710
结合式(27)和式(33)，上述等式改写为
Figure BDA00021849102200000711
其中，
Nd＝Nd1+Nd2 (37)
Nd2定义为
Figure BDA00021849102200000712
辅助函数Nψ表示为
Figure BDA00021849102200000713
式(39)项由式(34)中的自适应率抵消。
假设
Figure BDA00021849102200000714
其中，ζ5、ζ6为已知正常数；
步骤4，运用李雅普诺夫稳定性理论对所述方法进行稳定性证明，具体过程具体如下：
定义辅助项NB
NB：＝Nd+Nψ (41)
将式(36)改写为
Figure BDA0002184910220000081
结合式(34)和式(40)，得出下列不等式：
Figure BDA0002184910220000082
其中，ξ1、ξ2为已知正常数，基于上述设计，能够证明以下定理：
定理：式(28)-(34)所设计的液压伺服系统控制器能够使得输出跟踪误差满足：
随着t→∞，|e(t)|→0 (44)
当正控制增益ks足够大，β需满足：
Figure BDA0002184910220000083
证明:令
Figure BDA0002184910220000084
为包含ω(t)＝0的域，其中
Figure BDA0002184910220000085
定义为
Figure BDA0002184910220000086
定义辅助函数
Figure BDA0002184910220000087
为
Figure BDA0002184910220000088
式(47)中的函数L(t)表示为
Figure BDA0002184910220000089
由式(45)可得以下不等式：
Figure BDA00021849102200000810
由上式可得，P(t)≥0式(46)中的辅助函数
Figure BDA00021849102200000811
定义为：
Figure BDA00021849102200000812
由于Γ1和Γ2都为常对称正定矩阵且α＞0，可得φ(t)≥0令VL(ω，t)为连续可微正定函数，定义为
Figure BDA00021849102200000813
正定函数V(ω，t)满足下列不等式：
Θ1(ω)≤V(ω，t)≤Θ2(ω) (52)
如果式(45)中的条件满足，则式(52)成立，
Figure BDA0002184910220000091
为连续的正定函数，
Figure BDA0002184910220000092
为连续正定函数，其定义为
Θ1＝η1||ω||2，Θ2＝η2||ω||2 (53)
其中，矩阵η1和η2为
Figure BDA0002184910220000093
Figure BDA0002184910220000094
κmin表示矩阵的最小特征值，κmax表示矩阵的最大特征值。
结合式(66)、式(47)、式(48)和式(50)，
Figure BDA0002184910220000095
转化为
Figure BDA0002184910220000096
使用式(31)和式(34)，为
Figure BDA0002184910220000097
确定上边界
Figure BDA0002184910220000098
参考杨氏不等式，上式被改写为
Figure BDA0002184910220000099
其中常数η3＝min{α，ks}，由式(48)得出下述表达
Figure BDA00021849102200000910
其中，对一些正常数v，Θ(ω)＝v||z||为连续半正定函数，定义以下定义域：
Figure BDA00021849102200000911
通过式(52)-(59)的不等式推导出V(ω，t)∈L∞，所有信号有界且Θ(ω)在
Figure BDA00021849102200000912
中是一致连续的；定义集合
Figure BDA00021849102200000913
如下：
Figure BDA00021849102200000914
结合中值定理，得出下列表达
随着
Figure BDA00021849102200000915
基于z(t)在式(26)中的定义，跟踪误差满足下列表达式：
随着
Figure BDA0002184910220000101
。
实施例
伺服阀为Moog G761-3003，流速为19L/min，承受压强为7兆帕，频率范围为120Hz,双杆液压腔冲程为±44毫米。压力传感器为 MEASUS175-C00002-200BG，精度为1帕，最大负载为30千克。线性编码器为 Heidenhain LC483，精度等级为微米级。测量控制系统由显示软件和实时控制软件组成，A/D卡为Advantech PCI-1716，D/A卡为Advantech PCI-1723，逆向卡为Heidenhain IK-220。所有卡均为16位。采样时间为0.5毫秒。由于是基于模型参考的控制方法，我们选定Am为：
Figure BDA0002184910220000102
Bm选为：
Figure BDA0002184910220000103
Figure BDA0002184910220000104
其中τ＝0.001为时间常数。
以下为实验结果对比，在本实施例中，对比了以下几种控制器。
MRNNR：这是本文中所设计控制器。与所考虑的液压系统有关的参数设置为：m＝30kg,A＝9.05×10-4m2,V01＝V02＝3.98×10-5m3,Ps＝10Mpa,Pr＝ 0.08Mpa.控制增益分别设定为：k1＝50000，k2＝100，k3＝5×10-8，c＝1，β＝130。
Figure BDA0002184910220000105
的初始值设定为βe×Ku＝8.3783，γB＝1.5×10-17。使用的激活函数为tanh函数。
AMRR：这是不使用神经网络的基于RISE的模型参考自适应控制器。输入为u＝U/(R1/V1+R2/V2)其中U(x，u，t)为：
Figure BDA0002184910220000106
Figure BDA0002184910220000107
其中
Figure BDA0002184910220000108
定义为：
Figure BDA0002184910220000109
Figure BDA00021849102200001010
其中所使用的液压系统参数和控制增益与 AMRNNR相同。
MRR：这是基于RISE的模型参考控制器，输入u为u＝U/(R1/V1+R2/V2)其中U(x，u，t)设计为
Figure BDA00021849102200001011
其中
Figure BDA00021849102200001012
为Ω＝CB[(ks+c)αe+βsign(e)]控制增益与AMRNNR相同。
MR：这是基于模型的控制器，输入控制为u＝-CBe/(R1/V1+R2/V2)控制增益与AMRNNR相同。
实验过程：指令δ＝10aarctan(sin(3.14t))[1-exp(-t)]/0.7854mm，图3 体现出各控制器的跟踪误差。从图3可以看出AMRNNR的性能是最好的。从 AMRNNR和AMRR的结果中，我们可以看到神经网络估计项可以降低对高β值的需求。比较AMRR和MRR的表现，我们可以发现
Figure BDA0002184910220000111
的适应可以抵消掉系数不确定的动态影响。图4为
Figure BDA0002184910220000112
的适应，ψ的估计器和控制输入。

Claims (1)

1.一种基于非线性神经网络的液压伺服系统MRAC控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1、建立液压伺服系统的数学模型，转入步骤2；
步骤2、设计非线性神经网络，转入步骤3；
步骤3、设计基于非线性神经网络的液压伺服系统MRAC控制器，转入步骤4；
步骤4、运用李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性证明，并运用中值定理得到液压伺服系统的半全局渐近稳定的结果；
步骤1中，所述液压伺服系统的数学模型为
Figure FDA0002770560920000011
式(1)中：m和y分别为运动部件的惯性负载和负载位移；液压缸负载压差PL＝P1-P2，其中P1和P2分别为液压缸进油腔和回油腔的压力；A为液压缸内腔的有效作用面积；B为有效粘性阻尼系数；
Figure FDA0002770560920000012
为液压伺服系统的未建模干扰，t为时间变量；忽略外部泄漏，液压伺服系统的压力动态方程为：
Figure FDA0002770560920000013
式(2)中，液压缸进油腔的容积V1＝V01+Ay，液压缸回油腔的容积V2＝V02-Ay，V01为液压缸进油腔的控制容积，V02为液压缸回油腔的控制容积；βe为液压缸有效容积液体弹性模数；Ct为液压缸总内泄露系数；Q1为伺服阀进入液压缸进油腔的液压流量，Q2为伺服阀液压缸流出出油腔的液压流量；Qe1和Qe2分别为P1和P2动态方程的模型误差；忽略阀芯动态，则输入控制量u与阀芯位移成正比，则伺服阀的流量方程写成
Figure FDA0002770560920000014
式(3)中，ku为与输入控制量有关的总流量增益，Ps为液压油的进油压力，Pr为液压油的回油压力，指示函数IA(u)定义为
Figure FDA0002770560920000015
定义状态变量：
Figure FDA0002770560920000021
则式(1)运动方程转化为状态方程：
Figure FDA0002770560920000022
公式(5)中，变量U＝(R1/V1+R2/V2)u，变量
Figure FDA0002770560920000023
变量
Figure FDA0002770560920000024
变量
Figure FDA0002770560920000025
变量
Figure FDA0002770560920000026
变量
Figure FDA0002770560920000027
变量
Figure FDA0002770560920000028
变量
Figure FDA0002770560920000029
Figure FDA00027705609200000210
令
Figure FDA00027705609200000211
式(5)表示为
Figure FDA00027705609200000212
使用基于液压伺服系统的数学模型参考的控制结构，则式(6)表示为
Figure FDA00027705609200000213
式(7)中，
Figure FDA00027705609200000214
为可调输出向量，
Figure FDA00027705609200000215
表示不确定状态矩阵，
Figure FDA00027705609200000216
表示不确定输入矩阵，G(x，t)＝{0 d1(x1，x2，x3，t) d2(x1，x2，x3，t)}T表示非线性的未知扰动；一般，需要高反馈增益来抑制G(x，t)中的d1和d2，为了用神经网络补偿扰动，这里的扰动被分为两个部分：一部分是和状态变化有关G(x)，其被随后设计的基于神经网络的估计器补偿，另一部分扰动则与时间变化相关G(t)，即：
Figure FDA00027705609200000217
假设：G(x)与G(t)足够光滑，且
Figure FDA00027705609200000218
式(9)中，v1和v2都是未知常数；
步骤2中，设计非线性神经网络，具体如下：
对一个光滑函数
Figure FDA00027705609200000219
表示为
f(x)＝WTσ(VTx)+ε(x) (10)
其中，
Figure FDA0002770560920000031
是一个给定的输入，在式(10)中，
Figure FDA0002770560920000032
为隐藏层互连理想权值向量的输入，
Figure FDA0002770560920000033
为隐藏层互连理想权值向量的输出，其中N1为输入层的神经元数量，N2为隐藏层的神经元数量，n为输出层的神经元数量；式(10)中
Figure FDA0002770560920000034
表示激活函数，ε(x)为近似误差；
假设1：式(10)中的近似误差
Figure FDA0002770560920000035
是有界的，且基于神经网络的通用近似性质，如果隐藏层足够大，那么近似误差无穷小；
基于式(10)，f(x)的神经网络估计器被表示为
Figure FDA0002770560920000036
式中，
Figure FDA0002770560920000037
为式(10)隐藏层互连理想权值向量的输入V的估计，
Figure FDA0002770560920000038
为式(10)中的隐藏层互连理想权值向量的输出W的估计；隐藏层互连理想权值向量的输入V的估计差异
Figure FDA0002770560920000039
和隐藏层互连理想权值向量的输出W的估计
Figure FDA00027705609200000310
表示为
Figure FDA00027705609200000311
隐藏层输出误差
Figure FDA00027705609200000312
表示为
Figure FDA00027705609200000313
其中，
Figure FDA00027705609200000314
为隐藏层激活函数σ输出估计值，基于上述设计，神经网络估计特性的如下：
性质1：σ(VTx)的泰勒展开表达为
Figure FDA00027705609200000315
其中
Figure FDA00027705609200000316
Figure FDA00027705609200000317
代表更高次项，通过将式(14)带入式(13)得到
Figure FDA00027705609200000318
其中隐藏层激活函数σ输出估计值的导数
Figure FDA00027705609200000319
性质2：权重是有界的，如：
Figure FDA00027705609200000320
其中||·||F和tr(·)分别表示F-范数和矩阵的迹；
步骤3中，设计基于非线性神经网络的液压伺服系统MRAC控制器，具体步骤如下：
液压伺服系统控制所需要达成的目标在于在有非线性扰动和参数不确定性的情况下可以获得良好的跟踪表现，首先，定义跟踪误差
Figure FDA0002770560920000041
e＝C(x-xm) (64)
其中
Figure FDA0002770560920000042
参考状态
Figure FDA0002770560920000043
来源于以下参考模型：
Figure FDA0002770560920000044
其中
Figure FDA0002770560920000045
为模型状态矩阵，
Figure FDA0002770560920000046
为模型输入矩阵，
Figure FDA0002770560920000047
为参考模型的输入量；
参考量xm和
Figure FDA0002770560920000048
为有界量，辅助误差信号
Figure FDA0002770560920000049
定义为
Figure FDA00027705609200000410
其中，α为正常数，注意到误差信号r(t)式是与
Figure FDA00027705609200000411
有关，所以是不可测量的；
以下通过液压系统的开环误差和闭环误差设计控制器：
将液压伺服系统的开环误差由式(8)改写成：
Figure FDA00027705609200000412
其中函数S(xm，x)表示为
S(xm，x)＝G(x)-G(xm) (18)
结合辅助误差信号定义，得到
Figure FDA00027705609200000413
其中辅助函数
Figure FDA00027705609200000414
定义为
Figure FDA00027705609200000415
其中
Figure FDA00027705609200000416
为可测量回归方程；
Figure FDA00027705609200000417
为Bo矩阵中的第三个常数，由参数化的方式进行定义：
Figure FDA00027705609200000418
其中，
Figure FDA00027705609200000419
为正控制增益，c为正常数；
在式(19)中，
Figure FDA00027705609200000420
表示参数估计误差，定义为
Figure FDA00027705609200000421
其中
Figure FDA0002770560920000051
表示设计的参数估计常值，
Figure FDA0002770560920000052
为式(7)中的Bo(t)的估计矩阵；
函数
Figure FDA0002770560920000053
表示为
Figure FDA0002770560920000054
第二辅助函数
Figure FDA0002770560920000055
定义为
Figure FDA0002770560920000056
定理1：使用中值定理
Figure FDA0002770560920000057
其中
Figure FDA0002770560920000058
表示为
z(t)＝[e r]T (26)
且ρ(||z||)为正全局可逆非递减函数；
基于式(9)，得到下列不等式：||Nd1||≤ζ1，
Figure FDA0002770560920000059
其中，ζ1、ζ2都是正常数，用三层神经网络近似ψ：
ψ＝WTσ(VTxf)+ε(xf) (27)
其中，输入
Figure FDA00027705609200000510
N1＝4；
闭环误差系统：基于式(19)和式(27)，最终控制输入u设计为
u＝U/(R1/V1+R2/V2) (28)
其中，U定义为
Figure FDA00027705609200000511
其中
Figure FDA00027705609200000512
定义为
Figure FDA00027705609200000513
其中β、ks均为正控制增益，α、c均为正常数；式(29)中的估计
Figure FDA00027705609200000514
表示成向量形式
Figure FDA00027705609200000515
由以下不连续映射自适应率表达：
Figure FDA00027705609200000516
其中γB＞0为调节增益，由于r(t)未知，式(31)中的计算表示如下：
Figure FDA00027705609200000517
T表示矩阵的转置；
式(30)中的神经网络前馈项
Figure FDA0002770560920000061
表示为
Figure FDA0002770560920000062
式(33)中的神经网络权值估计按以下方式实时更新：
Figure FDA0002770560920000063
其中，
Figure FDA00027705609200000612
和
Figure FDA0002770560920000065
都为正定对称常量矩阵，xf为参考状态；
将式(29)带入式(19)，得
Figure FDA0002770560920000066
结合式(27)和式(33)，上述等式改写为
Figure FDA0002770560920000067
其中，
Nd＝Nd1+Nd2 (37)
Nd2定义为
Figure FDA0002770560920000068
辅助函数Nψ表示为
Figure FDA0002770560920000069
式(39)项由式(34)中的自适应率抵消；
假设
Figure FDA00027705609200000610
其中，ζ5、ζ6为已知正常数；
步骤4中，运用李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性证明，并运用中值定理得到液压伺服系统的半全局渐近稳定的结果，具体过程具体如下：
定义辅助项NB
NB＝Nd+Nψ (41)
将式(36)改写为
Figure FDA00027705609200000611
结合式(34)和式(40)，得出下列不等式：
Figure FDA0002770560920000071
其中，ξ1、ξ2为已知正常数，基于上述设计，能够证明以下定理：
定理：式(28)-(34)所设计的液压伺服系统控制器能够使得输出跟踪误差满足：
随着t→∞，|e(t)|→0 (44)
当正控制增益ks足够大，β需满足：
Figure FDA0002770560920000072
证明：令
Figure FDA0002770560920000073
为包含ω(t)＝0的域，其中
Figure FDA0002770560920000074
定义为
Figure FDA0002770560920000075
定义辅助函数
Figure FDA0002770560920000076
为
Figure FDA0002770560920000077
式(47)中的函数L(t)表示为
Figure FDA0002770560920000078
由式(45)可得以下不等式：
Figure FDA0002770560920000079
由上式可得，P(t)≥0式(46)中的辅助函数
Figure FDA00027705609200000710
定义为：
Figure FDA00027705609200000711
由于Γ1和Γ2都为常对称正定矩阵且α＞0，可得φ(t)≥0令VL(ω，t)为连续可微正定函数，定义为
Figure FDA00027705609200000712
正定函数V(ω，t)满足下列不等式：
Θ1(ω)≤V(ω，t)≤Θ2(ω) (52)
如果式(45)中的条件满足，则式(52)成立，
Figure FDA00027705609200000713
为连续的正定函数，
Figure FDA00027705609200000714
为连续正定函数，其定义为
Θ1＝η1||ω||2，Θ2＝η2||ω||2 (53)
其中，矩阵η1和η2为
Figure FDA0002770560920000081
Figure FDA0002770560920000082
κmin表示矩阵的最小特征值，κmax表示矩阵的最大特征值；
结合式(66)、式(47)、式(48)和式(50)，
Figure FDA0002770560920000083
转化为
Figure FDA0002770560920000084
使用式(31)和式(34)，为
Figure FDA0002770560920000085
确定上边界
Figure FDA0002770560920000086
参考杨氏不等式，上式被改写为
Figure FDA0002770560920000087
其中常数η3＝min{α，ks}，由式(48)得出下述表达
Figure FDA0002770560920000088
其中，对一些正常数v，
Figure FDA00027705609200000816
为连续半正定函数，定义以下定义域：
Figure FDA0002770560920000089
通过式(52)-(59)的不等式推导出V(ω，t)∈L∞，所有信号有界且Θ(ω)在
Figure FDA00027705609200000810
中是一致连续的；定义集合
Figure FDA00027705609200000811
如下：
Figure FDA00027705609200000812
结合中值定理，得出下列表达
Figure FDA00027705609200000813
基于
Figure FDA00027705609200000814
在式(26)中的定义，跟踪误差满足下列表达式：
Figure FDA00027705609200000815
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