CN109630281A - 一种基于误差区间观测器的航空发动机主动容错控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于误差区间观测器的航空发动机主动容错控制方法，属于航空控制技术领域。包括通过误差反馈控制器实现航空发动机对参考模型状态和输出的跟踪；通过虚拟传感器和虚拟执行器实现对存在扰动信号及执行器和传感器故障的航空发动机控制系统的补偿；通过误差区间观测器观测航空发动机故障系统与其参考模型之间的误差，并将该误差反馈至误差反馈控制器；最后，故障系统的参考模型输出与虚拟执行器输出之差作为控制信号，来实现航空发动机的主动容错控制。本发明实现了在航空发动机发生执行器和传感器故障时，即使存在扰动信号，也能在不改变控制器的情况下，保证系统按期望的状态运行，具有较强的容错能力及抗干扰能力。

Description

一种基于误差区间观测器的航空发动机主动容错控制方法

技术领域

本发明涉及一种基于误差区间观测器的航空发动机主动容错控制方法，属于航空控制技术领域，具体来说，是指应用于航空发动机发生执行器和传感器故障，且存在扰动信号时的主动容错控制方法。

背景技术

航空发动机作为飞机唯一的动力装置，直接影响飞机的安全可靠性和经济性。虽然可靠的控制系统设计可降低系统故障发生率，但实际系统结构复杂，高强度运行，系统中可能发生故障的因素大幅增加，故障类型日趋多样，部件发生故障不可避免。执行器作为航空发动机的驱动元件，与系统的状态调整有着密不可分的联系，其工作负荷大，结构复杂，最易发生故障，且其发生故障会使整个系统崩溃，造成严重影响。传感器负责接收与发送航空发动机系统的信息，传感器故障的存在直接影响到系统的安全性及可靠性。因此，提高系统的容错能力，保证故障发生后系统的稳定性和性能指标具有重要的意义。传统的容错控制方法也面临新的挑战。

通常，容错控制研究方法分为两大类，即被动容错控制和主动容错控制。被动容错控制的思想在于根据预判出可能发生的故障来预先设计控制器，是一种基于鲁棒控制技术的控制器设计方法。在故障发生时，调用已设计的控制器，保持整个闭环系统对故障不敏感，从而实现系统的稳定。但随着系统日趋复杂，可能出现的故障种类及数量增加，因此传统的被动容错控制存在很大的局限性，即需要提前考虑全部可能发生的故障情况，导致控制器均有一定的保守性。为了降低控制系统保守性，通过对系统进行重构设计的主动容错控制成为研究热点。主动容错控制的思想在于故障发生后，通过重新调整控制器的参数或对系统进行重构设计来实现在线补偿故障。即无故障时，系统正常运行；一旦发生故障，系统则会自动进行控制律的调整或重构。航空发动机通常可以描述为一种线性参数变化(LPV)系统，现有的研究成果在处理带有执行器和传感器故障的LPV系统主动容错控制时，多采用增益自调度H_∞优化方法，该方法在系统发生故障时重新调整控制器参数，因此增加了系统设计的复杂性。此外，航空发动机控制系统常受到噪声信号干扰，现有方法在处理干扰信号下，针对航空发动机传感器及执行器故障的主动容错控制，尚无理想的解决方法。

发明内容

本发明的技术解决问题是：针对航空发动机发生执行器和传感器故障，同时控制系统受到噪声信号干扰的影响下，为解决现有控制方法的不足，本发明提供了一种基于误差区间观测器的航空发动机主动容错控制方法，能够保证在不改变控制器结构与参数的前提下，航空发动机可实现对参考模型的跟踪，即重构后的系统与原来的无故障系统具有相同的状态和输出，实现期望的控制目标，并使系统具备自主消除故障的能力，提高了航空发动机运行的可靠性，降低了航空发动机的维修成本。

本发明的技术方案：

一种基于误差区间观测器的航空发动机主动容错控制方法，步骤如下：

步骤1.1：建立仿射参数依赖的航空发动机线性变参数(LPV)模型

其中，R^m和R^m×n分别表示m维实数列向量和m行n列实矩阵，状态向量Y_nl和Y_nh分别表示低压和高压涡轮相对换算转速变化量，n_x表示状态变量x的维数，n_y表示输出向量y的维数，n_u表示控制输入u_p的维数，控制输入为油压阶跃信号，输出向量 为已知系统常数矩阵，d_f(t)为扰动变量，航空发动机高压涡轮相对换算转速n_h为调度参数θ∈R^p，系统变量矩阵ΔA(θ)和ΔB(θ)满足和为ΔA(θ)的上界，为ΔB(θ)的上界，且 状态变量初始值x_p(0)满足分别为状态变量初始值x_p(0)的已知上界和下界；为未知扰动d_f(t)的已知上界和下界；传感器噪声v(t)满足|v(t)|＜V，V为已知边界，且V＞0；

步骤1.2：航空发动机无故障系统的参考模型表示为

其中，为无故障系统的参考状态向量，为无故障系统的控制输入，为参考输出向量；根据步骤1.1建立的航空发动机LPV模型，设计航空发动机无故障系统的误差反馈控制器；

步骤1.2.1：定义仿射参数依赖的航空发动机LPV模型与航空发动机无故障系统的参考模型之间的误差e_p(t)＝x_pref(t)-x_p(t)，得到无故障系统的误差状态方程：

其中，Δu_cp(t)＝u_pref(t)-u_p(t)，ε_cp(t)＝y_pref(t)-y_p(t)；

步骤1.2.2：误差向量e_P的上界下界e _p的状态方程为：

其中，分别为误差向量e_P的上界和下界，即 e _p ⁺＝max{0，e _p}，e _p ^-＝e _p ⁺-e _p；为无故障系统的误差增益矩阵，且满足表示n_x维Metzler矩阵的集合；|L|表示将矩阵L所有元素取绝对值；

步骤1.2.3：分别令将公式(4)改写为：

其中

步骤1.2.4：误差反馈控制器输出为：

Δu_cp(t)＝K_ae_pa(t)+K_de_pd(t) (7)

误差反馈控制器增益矩阵令e_x(t)＝e_p(t)-e_pa(t)，-0.5e_pd(t)≤e_x(t)≤0.5e_pd(t)，则有

步骤1.2.5：将式(5)和(8)改写为：

其中，ξ_p(t)＝[e_pd(t)^T,e_pa(t)^T]^T，有

步骤1.2.6：S^m×m表示m维实对称方阵，令矩阵表示E,F中每个元素都大于0，常数λ＞0，得矩阵不等式：

即令G_p ^TE+EG_p+λE+F中每个元素都小于0，求解矩阵不等式(12)，得误差反馈控制器增益矩阵K_d,K_a，从而由(7)得误差反馈控制器；

步骤1.3：将存在扰动及执行器和传感器故障的航空发动机LPV模型，描述为：

其中，为故障系统的状态向量，为故障系统的控制输入，为故障系统的输出向量，B_f(γ(t))和C_f(φ(t))分别为执行器和传感器故障，表示为

其中，0≤γ_i(t)≤1，0≤φ_j(t)≤1分别表示第i个执行器和第j个传感器的失效程度，γ_i＝1和γ_i＝0分别表示第i个执行器完好无损和完全失效，φ_j同理；diag(γ₁,γ₂,…,γ_n)表示对角元素为γ₁,γ₂,…,γ_n的对角矩阵，diag(φ₁,φ₂,…,φ_n)同理；设γ(t)，φ(t)估计值分别为则有

其中，和分别为γ(t)和φ(t)的估计误差；根据执行器和传感器故障分别设计虚拟执行器和虚拟传感器；

步骤1.3.1：设计虚拟传感器为：

其中

其中，是虚拟传感器系统的状态变量，为故障模型与故障参考模型控制输入之差，为虚拟传感器系统的输出向量，Q和P分别为虚拟传感器的参数矩阵；

步骤1.3.2：LMI区域S₁(ρ₁,q₁,r₁,θ₁)是以-ρ₁为边界的左半复平面区域，以r₁为半径，q₁为圆心的圆形区域以及与负实轴夹角为θ₁的扇形区域的交集，将虚拟传感器状态矩阵A_vs表示为多胞体结构，其中θ_j表示第j个顶点θ的取值，A_vsj表示第j个顶点虚拟传感器状态矩阵A_vs的取值，A_vsj的特征值均在S₁(ρ₁,q₁,r₁,θ₁)中的充分必要条件是存在一个对称矩阵X₁＞0，使线性矩阵不等式(18)～(20)成立，从而得到对应顶点的虚拟传感器的参数矩阵Q_j；

选择与θ_j相对应顶点的Q_j作为虚拟传感器的参数矩阵；

步骤1.3.3：虚拟传感器的参数矩阵P为：

其中，代表矩阵的伪逆；

步骤1.3.4：设计虚拟执行器为

其中

其中，是虚拟执行器系统的状态变量，为误差反馈控制器输出，为虚拟执行器系统的输出向量，M和N分别为虚拟执行器的参数矩阵；

步骤1.3.5：LMI区域S₂(ρ₂,q₂,r₂,θ₂)是以-ρ₂为边界的左半复平面区域，以r₂为半径，q₂为圆心的圆形区域以及与负实轴夹角为θ₂的扇形区域的交集，将虚拟执行器状态矩阵A_va表示为多胞体结构，其中θ_j表示第j个顶点θ的取值，A_vaj表示第j个顶点虚拟执行器状态矩阵A_va的取值，A_vaj的特征值均在S₂(ρ₂,q₂,r₂,θ₂)中的充分必要条件是存在一个对称矩阵X₂＞0，使线性矩阵不等式(24)～(26)成立，从而得到的虚拟执行器的参数矩阵M_i：

选择与θ_j相对应顶点的M_j作为虚拟执行器的参数矩阵；

步骤1.3.6：虚拟执行器的参数矩阵N为：

其中，代表矩阵的伪逆；

步骤1.4：根据存在扰动及执行器和传感器故障的航空发动机LPV模型与故障系统的参考模型，设计误差区间观测器；

步骤1.4.1：存在扰动及执行器和传感器故障的航空发动机系统的参考模型表示为：

其中，为存在扰动及执行器和传感器故障系统的参考状态向量，为存在扰动及执行器和传感器故障系统的控制输入，为存在扰动及执行器和传感器故障的参考输出向量；

步骤1.4.2：存在扰动及执行器和传感器故障的航空发动机LPV模型与其参考模型之间的误差e(t)＝x_ref(t)-x_f(t)，得到基于LPV模型的航空发动机故障系统的误差状态方程：

其中，Δu(t)＝u_ref(t)-u_f(t)，ε_c(t)＝y_ref(t)-y_f(t)；

步骤1.4.3：存在扰动及执行器和传感器故障的航空发动机LPV模型与其参考模型之间的误差e的上界和下界e的状态方程为：

其中，e_v为基于LPV模型的航空发动机故障系统的误差状态变量与虚拟执行器的状态变量和虚拟传感器的状态变量之差，e_v的上界为e_v的下界为e _v(t)＝e(t)-x_va(t)-x_vs(t)，且

步骤1.4.4：令由(30)得误差区间观测器：

其中

步骤1.5：将存在扰动及执行器和传感器故障的航空发动机LPV模型的航空发动机状态变量x_f(t)、输出变量y_f(t)、故障系统的参考模型状态变量x_ref(t)、虚拟执行器状态变量x_va(t)和虚拟传感器状态变量x_vs(t)作为误差区间观测器的输入；误差区间观测器输出e_a(t),e_d(t)作为误差反馈控制器的输入；误差反馈控制器输出Δu_c(t)作为虚拟执行器输入；故障系统的参考模型输出u_ref(t)与虚拟执行器输出Δu(t)之差作为控制信号，输入给航空发动机故障系统，从而实现航空发动机的主动容错控制。

本发明设计的一种基于误差区间观测器的航空发动机主动容错控制方法与现有的技术相比优点在于：

(1)在针对带有执行器和传感器故障的LPV系统主动容错控制中，多采用传统的增益自调度H_∞优化方法，该方法在系统发生故障时重新调整控制器参数，增加了系统设计的复杂性。采用本发明提出的主动容错控制方法可重构执行器和传感器同时发生故障的系统，无需重新设计控制器。

(2)本发明所提方法可在系统产生执行器故障和传感器故障时，使得重构后的系统与原来的无故障系统具有相同的状态和输出。

(3)本发明所提方法考虑了控制系统的噪声信号干扰这一实际工程中经常面临的问题，提高了控制系统鲁棒性。

附图说明

图1为系统的整体结构图。

图2(a)和图2(b)分别为H＝0,Ma＝0,n₂＝94％航空发动机LPV模型状态x_p1(t)和x_p2(t)轨迹与无故障参考模型状态x_pref,1(t)和x_pref,2(t)轨迹对比。

图3为误差反馈控制器算法流程图。

图4(a)和图4(b)分别为H＝0,Ma＝0,n₂＝94％航空发动机无故障系统的误差状态e_p1(t)和e_p2(t)及上界状态和下界状态e _p1(t)和e _p2(t)估计曲线。

图5为执行器故障因子γ₁和传感器故障因子φ₁变化曲线。

图6(a)和图6(b)分别为H＝0,Ma＝0,n₂＝94％存在扰动及执行器和传感器故障的航空发动机状态x_f1(t)和x_f2(t)轨迹与无故障参考模型状态x_pref,1(t)和x_pref,2(t)轨迹对比。

图7(a)和图7(b)分别为H＝0,Ma＝0,n₂＝94％存在扰动及执行器和传感器故障的航空发动机误差状态e_pf1(t)和e_pf2(t)及上界状态和下界状态e _p1(t)和e _p2(t)估计曲线。

图8为虚拟传感器算法流程图。

图9为虚拟执行器算法流程图。

图10为误差区间观测器算法流程图。

图11(a)和图11(b)分别为H＝0,Ma＝0,n₂＝94％主动容错控制后航空发动机状态x₁(t)和x₂(t)轨迹与故障参考模型状态x_ref,1(t)和x_ref,2(t)轨迹对比。

图12(a)和图12(b)分别为H＝0,Ma＝0,n₂＝94％主动容错控制后航空发动机误差状态e₁(t)和e₂(t)及误差观测器上界状态和下界状态e ₁(t)和e ₂(t)估计曲线。

具体实施方式

下面结合附图及技术方案对本发明实例做进一步详细说明。

本发明的整体结构如图1所示，具体步骤如下：

步骤1.1：建立仿射参数依赖的航空发动机LPV模型，以航空发动机高压涡轮相对换算转速n₂为变参数θ，将转速n₂＝88％、89％、…、100％作归一化处理，即θ∈[-1,1]，可得模型为

其中

状态变量初值x_p(0)＝[0,0]^T，扰动变量d_f(t)上下界取传感器噪声边界V＝0.01。ΔA(θ)和ΔB(θ)有和成立

步骤1.2：航空发动机无故障系统的参考模型为

其中，参考模型状态向量取常值x_pref(t)＝[4,2]^T。在H＝0，Ma＝0，n₂＝94％条件下，航空发动机LPV模型状态x_p1(t)和x_p2(t)轨迹与无故障参考模型状态x_pref,1(t)和x_pref,2(t)轨迹对比，如图2所示。设计航空发动机无故障系统的误差反馈控制器，其算法流程如图3所示。

步骤1.2.1：仿射参数依赖的航空发动机LPV模型与航空发动机无故障系统的参考模型之间的误差e_p(t)＝x_pref-x_p，其初值e_p(0)＝x_pref(0)-x_p(0)＝[4,2]^T。

步骤1.2.2：误差向量e_P的上界下界e _p的状态方程为

其中e _p(0)＝[-50,-50]^T，在H＝0，Ma＝0，n₂＝94％条件下，航空发动机无故障系统的误差状态e_p1(t)和e_p2(t)及上界和下界e _p1(t)和e _p2(t)估计曲线如图4所示。由可得无故障系统的误差增益矩阵

步骤1.2.3：分别令得到

其中和e _p1(和e _p2)分别表示和e _p的第一个(第二个)元素，e_x,1和e_x,2分别表示e_x的第一个和第二个元素

步骤1.2.4：误差反馈控制器输出为

Δu_cp(t)＝K_ae_pa(t)+K_de_pd(t) (41)

误差反馈控制器增益矩阵令e_x(t)＝e_p(t)-e_pa(t)，-0.5e_pd(t)≤e_x(t)≤0.5e_pd(t)，则有

步骤1.2.5：将(39)和(42)改写为

其中ξ_p(t)＝[e_pd(t)^T，e_pa(t)^T]^T 有

考虑到所有可能的组合形式：(a₁₁,a₁₃)∈{(1,2),(2,0),(1,-2)}，(a₂₂,a₂₄)∈{(1,2),(2,0),(1,-2)}，(a₃₁,a₄₁)∈{(-2.5,10),(2.5,-10)}。

步骤1.2.6：S^m×m表示m维实对称方阵，令矩阵表示E,F中每个元素都大于0，常数λ＞0，可得矩阵不等式：

即令G_p ^TE+EG_p+λE+F中每个元素都小于0，需要将矩阵不等式(46)转化为线性矩阵不等式(LMI)，将式(46)左右同乘E^-1得到

K＝[K_d K_a]

引入W＝KE^-1，则式(46)转化为线性矩阵不等式，利用LMI工具箱可得

步骤1.3：存在扰动及执行器和传感器故障的航空发动机LPV模型为

其中，状态变量初值x_f(0)＝[0,0]^T，B_f(γ(t))和C_f(φ(t))分别为执行器和传感器故障，执行器故障因子γ₁和传感器故障因子φ₁在第5至第6秒从1衰减到0.2，如图5所示。在H＝0，Ma＝0，n₂＝94％条件下，存在扰动及执行器和传感器故障的航空发动机状态x_f1(t)和x_f2(t)轨迹与无故障参考模型状态x_pref,1(t)和x_pref,2(t)轨迹对比，如图6所示。存在扰动及执行器和传感器故障的航空发动机误差状态e_pf1(t)和e_pf2(t)及上界和下界e _p1(t)和e _p2(t)估计曲线，如图7所示。根据执行器和传感器故障分别设计虚拟传感器和虚拟执行器，其算法流程分别为图8和图9。

步骤1.3.1：设计虚拟传感器为

其中

其中是虚拟传感器系统的状态变量，为故障模型与故障参考模型控制输入之差，为虚拟传感器系统的输出向量，Q和P分别为虚拟传感器的参数矩阵；

步骤1.3.2：选取LMI区域S₁(10,-4.5,15,π/6)，求解线性矩阵不等式(53)～(55)

得到对应顶点的虚拟传感器的参数矩阵

步骤1.3.3：虚拟传感器的参数矩阵P为

其中，代表矩阵的伪逆。

步骤1.3.4：设计虚拟执行器为

其中

其中是虚拟执行器系统的状态变量，为误差反馈控制器输出，为虚拟执行器系统的输出向量，M和N分别为虚拟执行器的参数矩阵；

步骤1.3.5：选取LMI区域S₂(1.5,-2,8,π/6)，求解线性矩阵不等式(60)～(62)

得到对应顶点的虚拟执行器的参数矩阵

步骤1.3.6：虚拟执行器矩阵N为

步骤1.4：设计误差区间观测器，其算法流程如图10所示。

步骤1.4.1：存在扰动及执行器和传感器故障的航空发动机系统的参考模型表示为

其中，参考模型状态向量取常值x_ref(t)＝[4,2]^T。

步骤1.4.2：存在扰动及执行器和传感器故障的航空发动机LPV模型与其参考模型之间的误差e(t)＝x_ref-x_f，其初值e(0)＝x_ref(0)-x_f(0)＝[4,2]^T。在H＝0，Ma＝0，n₂＝94％条件下，主动容错控制后航空发动机状态x₁(t)和x₂(t)轨迹与故障参考模型状态x_ref1(t)和x_ref2(t)轨迹对比，如图11所示。

步骤1.4.3：存在扰动及执行器和传感器故障的航空发动机LPV模型与其参考模型之间的误差e的上界和下界e的状态方程为

其中 e _v(0)＝[-50,-50]^T， e _v(t)＝e(t)-x_va(t)-x_vs(t)，观测器增益矩阵L满足

步骤1.4.4：令由(66)可得误差区间观测器

其中

在H＝0，Ma＝0，n₂＝94％条件下，主动容错控制后航空发动机误差状态e₁(t)和e₂(t)及误差观测器上界状态和下界状态e ₁(t)和e ₂(t)估计曲线，如图12所示。

步骤1.5：实现航空发动机的主动容错控制的整体结构如图1所示。

仿真结果表明当航空发动机的执行器和传感器发生故障时，在主动容错控制后其状态和输出会出现一个超调过程但很快恢复到正常状态。这说明基于误差区间观测器的航空发动机主动容错控制方法，能保证重构后的系统与原来的无故障系统有相同的性能指标。

Claims (1)

1.一种基于误差区间观测器的航空发动机主动容错控制方法，其特征在于，步骤如下：

步骤1.1：建立仿射参数依赖的航空发动机线性变参数LPV模型

其中，R^m和R^m×n分别表示m维实数列向量和m行n列实矩阵，状态向量Y_nl和Y_nh分别表示低压和高压涡轮相对换算转速变化量，n_x表示状态变量x的维数，n_y表示输出向量y的维数，n_u表示控制输入u_p的维数，控制输入为油压阶跃信号，输出向量 为已知系统常数矩阵，d_f(t)为扰动变量，航空发动机高压涡轮相对换算转速n_h为调度参数θ∈R^p，系统变量矩阵ΔA(θ)和ΔB(θ)满足和 为ΔA(θ)的上界，为ΔB(θ)的上界，且 状态变量初始值x_p(0)满足 分别为状态变量初始值x_p(0)的已知上界和下界；为未知扰动d_f(t)的已知上界和下界；传感器噪声v(t)满足|v(t)|<V，V为已知边界，且V>0；

步骤1.2：航空发动机无故障系统的参考模型表示为

其中，为无故障系统的参考状态向量，为无故障系统的控制输入，为参考输出向量；根据步骤1.1建立的航空发动机LPV模型，设计航空发动机无故障系统的误差反馈控制器；

步骤1.2.1：定义仿射参数依赖的航空发动机LPV模型与航空发动机无故障系统的参考模型之间的误差e_p(t)＝x_pref(t)-x_p(t)，得到无故障系统的误差状态方程：

其中，Δu_cp(t)＝u_pref(t)-u_p(t)，ε_cp(t)＝y_pref(t)-y_p(t)；

步骤1.2.2：误差向量e_P的上界下界e_p的状态方程为：

其中，分别为误差向量e_P的上界和下界，即 为无故障系统的误差增益矩阵，且满足 表示n_x维Metzler矩阵的集合；|L|表示将矩阵L所有元素取绝对值；

步骤1.2.3：分别令将公式(4)改写为：

其中

步骤1.2.4：误差反馈控制器输出为：

Δu_cp(t)＝K_ae_pa(t)+K_de_pd(t) (7)

误差反馈控制器增益矩阵令e_x(t)＝e_p(t)-e_pa(t)，-0.5e_pd(t)≤e_x(t)≤0.5e_pd(t)，则有

步骤1.2.5：将式(5)和(8)改写为：

其中，ξ_p(t)＝[e_pd(t)^T,e_pa(t)^T]^T，有

步骤1.2.6：S^m×m表示m维实对称方阵，令矩阵E,E,F＞0，表示E,F中每个元素都大于0，常数λ>0，得矩阵不等式：

G_p ^TE+EG_p+λE+F＜0 (12)

即令G_p ^TE+EG_p+λE+F中每个元素都小于0，求解矩阵不等式(12)，得误差反馈控制器增益矩阵K_d,K_a，从而由(7)得误差反馈控制器；

步骤1.3：将存在扰动及执行器和传感器故障的航空发动机LPV模型，描述为：

其中，为故障系统的状态向量，为故障系统的控制输入，为故障系统的输出向量，B_f(γ(t))和C_f(φ(t))分别为执行器和传感器故障，表示为

其中，0≤γ_i(t)≤1，0≤φ_j(t)≤1分别表示第i个执行器和第j个传感器的失效程度，γ_i＝1和γ_i＝0分别表示第i个执行器完好无损和完全失效，φ_j同理；diag(γ₁,γ₂,…,γ_n)表示对角元素为γ₁,γ₂,…,γ_n的对角矩阵，diag(φ₁,φ₂,…,φ_n)同理；设γ(t)，φ(t)估计值分别为则有

其中，和分别为γ(t)和φ(t)的估计误差；根据执行器和传感器故障分别设计虚拟执行器和虚拟传感器；

步骤1.3.1：设计虚拟传感器为：

其中

其中，是虚拟传感器系统的状态变量，为故障模型与故障参考模型控制输入之差，为虚拟传感器系统的输出向量，Q和P分别为虚拟传感器的参数矩阵；

步骤1.3.2：LMI区域S₁(ρ₁,q₁,r₁,θ₁)是以-ρ₁为边界的左半复平面区域，以r₁为半径，q₁为圆心的圆形区域以及与负实轴夹角为θ₁的扇形区域的交集，将虚拟传感器状态矩阵A_vs表示为多胞体结构，其中θ_j表示第j个顶点θ的取值，A_vsj表示第j个顶点虚拟传感器状态矩阵A_vs的取值，A_vsj的特征值均在S₁(ρ₁,q₁,r₁,θ₁)中的充分必要条件是存在一个对称矩阵X₁>0，使线性矩阵不等式(18)～(20)成立，从而得到对应顶点的虚拟传感器的参数矩阵Q_j；

选择与θ_j相对应顶点的Q_j作为虚拟传感器的参数矩阵；

步骤1.3.3：虚拟传感器的参数矩阵P为：

其中，代表矩阵的伪逆；

步骤1.3.4：设计虚拟执行器为

其中

其中，是虚拟执行器系统的状态变量，为误差反馈控制器输出，为虚拟执行器系统的输出向量，M和N分别为虚拟执行器的参数矩阵；

步骤1.3.5：LMI区域S₂(ρ₂,q₂,r₂,θ₂)是以-ρ₂为边界的左半复平面区域，以r₂为半径，q₂为圆心的圆形区域以及与负实轴夹角为θ₂的扇形区域的交集，将虚拟执行器状态矩阵A_va表示为多胞体结构，其中θ_j表示第j个顶点θ的取值，A_vaj表示第j个顶点虚拟执行器状态矩阵A_va的取值，A_vaj的特征值均在S₂(ρ₂,q₂,r₂,θ₂)中的充分必要条件是存在一个对称矩阵X₂>0，使线性矩阵不等式(24)～(26)成立，从而得到的虚拟执行器的参数矩阵M_i：

选择与θ_j相对应顶点的M_j作为虚拟执行器的参数矩阵；

步骤1.3.6：虚拟执行器的参数矩阵N为：

其中，代表矩阵的伪逆；

步骤1.4：根据存在扰动及执行器和传感器故障的航空发动机LPV模型与故障系统的参考模型，设计误差区间观测器；

步骤1.4.1：存在扰动及执行器和传感器故障的航空发动机系统的参考模型表示为：

其中，为存在扰动及执行器和传感器故障系统的参考状态向量，为存在扰动及执行器和传感器故障系统的控制输入，为存在扰动及执行器和传感器故障的参考输出向量；

步骤1.4.2：存在扰动及执行器和传感器故障的航空发动机LPV模型与其参考模型之间的误差e(t)＝x_ref(t)-x_f(t)，得到基于LPV模型的航空发动机故障系统的误差状态方程：

其中，Δu(t)＝u_ref(t)-u_f(t)，ε_c(t)＝y_ref(t)-y_f(t)；

步骤1.4.3：存在扰动及执行器和传感器故障的航空发动机LPV模型与其参考模型之间的误差e的上界和下界e的状态方程为：

其中，e_v为基于LPV模型的航空发动机故障系统的误差状态变量与虚拟执行器的状态变量和虚拟传感器的状态变量之差，e_v的上界为e_v的下界为e _v(t)＝e(t)-x_va(t)-x_vs(t)，且

步骤1.4.4：令由(30)得误差区间观测器：

其中

步骤1.5：将存在扰动及执行器和传感器故障的航空发动机LPV模型的航空发动机状态变量x_f(t)、输出变量y_f(t)、故障系统的参考模型状态变量x_ref(t)、虚拟执行器状态变量x_va(t)和虚拟传感器状态变量x_vs(t)作为误差区间观测器的输入；误差区间观测器输出e_a(t),e_d(t)作为误差反馈控制器的输入；误差反馈控制器输出Δu_c(t)作为虚拟执行器输入；故障系统的参考模型输出u_ref(t)与虚拟执行器输出Δu(t)之差作为控制信号，输入给航空发动机故障系统，从而实现航空发动机的主动容错控制。