CN108984936A - 高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计方法，其包括以下步骤：步骤1，高速双联滚动轴承电主轴转子系统的结构配置设计；步骤2，高速双联滚动轴承电主轴转子结构动力学参数化处理；步骤3，双联滚动轴承5维刚度矩阵特性分析；步骤4，高速双联滚动轴承电主轴转子系统动力学特性分析；步骤5，高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计。采用本发明提供的高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计方法，能够大幅提高该类电主轴动态设计精度，并缩短设计周期，为该类高速电主轴设计提供有效的方法。

Description

高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计方法

技术领域

本发明涉及一种高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计方法，属于高速切削加工机床主轴单元设计领域。

背景技术

为提高电主轴的径向与轴向刚度，双联滚动轴承代替单列滚动轴承，在高速加工机床电主轴中获得广泛应用。双联滚动轴承通常采用面对面、背靠背和串联三种方式配置。轴承配置方式直接影响双联滚动轴承的角刚度，进而影响电主轴转子系统的动态特性。因此，在设计阶段，除了要确定主轴规格尺寸、轴承规格尺寸、支承位置和预紧力等参量外，还必须确定合适的轴承配置方式，使高速双联滚动轴承电主轴转子系统的动态特性最佳。

由于构成双联滚动轴承的两个单列轴承在受力和位移上是相互耦合的，所以双联滚动轴承的五维刚度矩阵不等于两个单列轴承的刚度矩阵之和。为获得双联滚动轴承的五维刚度矩阵，必须将之作为一个整体单元进行建模分析。

转子动力学建模为开展双联滚动轴承电主轴转子动态设计奠定基础。应当看到，目前国内外已形成的高速双联滚动轴承电主轴转子系统设计方法中，常用的建模方法：(1)将双联滚动轴承简化为一个仅包含径向刚度的弹簧元件，该方法未计入轴承角刚度，无法获得电主轴转子系统动态特性与轴承配置方式之间的对应关系，因此，计算结果不能客观反映高速电主轴真实的转子动力学行为，继而大幅降低电主轴动态设计的准确性。(2)将双联滚动轴承简化为两个具有五维刚度矩阵的单列轴承，该方法成倍增加了轴承刚度系数的数目，增大了优化高速双联滚动轴承电主轴转子系统结构参数的计算量。

因此，需要发明一种面向高速双联滚动轴承电主轴转子系统的动态设计方法，以大幅提高电主轴动态设计精度，并缩短设计周期。

发明内容

技术问题：针对传统高速双联滚动轴承电主轴转子系统设计方法中存在的问题，本发明提供了一种高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计方法，旨在大幅提高电主轴动态设计精度，并缩短设计周期。

技术方案：本发明所述高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计方法，包括以下步骤：

步骤1：高速双联滚动轴承电主轴转子系统的结构配置设计；

步骤2：高速双联滚动轴承电主轴转子结构动力学参数化处理；

步骤3：双联滚动轴承5维刚度矩阵特性分析；

步骤4：高速双联滚动轴承电主轴转子系统动力学特性分析；

步骤5：高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计。

具体地，所述“步骤1：高速双联滚动轴承电主轴转子系统的结构配置设计”，主轴转子支承于若干组双联滚动轴承上，双联滚动轴承可采用面对面、背靠背和串联三种方式配置。

具体地，所述“步骤2：高速双联滚动轴承电主轴转子系统的参数化处理”，以符号形式表示转子基本外形尺寸参数、转子材料参数、轴承基本外形尺寸参数、轴承材料参数和支承位置尺寸参数。

具体地，所述“步骤3：双联滚动轴承5维刚度矩阵特性分析”的过程可分为以下四步：

步骤3a：将两个单列轴承的内圈简化为一个刚性组件，分别采用以下两个公式计算与每个滚珠对应的轴承内、外圈滚道沟曲率中心的位移：

式中：x_iqj、y_iqj和z_iqj分别表示内滚道沟曲率半径中心沿竖直径向、水平径向和轴向的位移；x_oqj、y_oqj和z_oqj分别表示外滚道沟曲率半径中心沿竖直径向、水平径向和轴向的位移；δ_x和δ_y分别表示轴承内圈沿竖直径向和水平径向的位移；Δ_f和Δ_p分别表示轴承内圈由外载荷和转速引起的轴向位移；θ_x和θ_y分别表示轴承内圈绕双联滚动轴承中心沿竖直径向和水平径向的转角；R_i和R_o分别表示内、外滚道沟曲率半径中心线的轨道半径；D表示滚珠直径；f_i和f_o分别表示内、外滚道沟曲率半径系数；α₀表示初始接触角；L_b表示两个单列轴承之间的轴向距离；ψ_qj表示滚珠的角位置；α_i0和δ_n分别表示在预紧力作用下的初始接触角和滚珠法向压缩量；下标q表示单列轴承标识记号，q＝1表示第一列轴承，q＝2表示第二列轴承；下标j(j＝1,2,…,Z)表示滚珠的标识记号；Z表示单列轴承滚珠数；c₁、c₂、c₃、c₄和c₅为系数，分别为：

步骤3b：采用以下两个滚珠的位移协调方程和两个滚珠的受力平衡方程描述滚珠的运动状态：

(R_iqj-R_bqj)²+(Z_iqj-Z_bqj)²-[(f_i-0_.5)D+δ_iqj]²＝0 (4)

式中：δ_i和δ_o分别表示滚珠与内、外滚道的接触变形；Q_iqj和Q_oqj分别表示滚珠与内、外滚道的接触力；α_iqj和α_oqj分别表示滚珠与内、外滚道的接触角；F_cqj和M_gqj分别表示滚珠的离心力和陀螺力矩；R_bqj和Z_bqj分别表示滚珠中心的径向和轴向位移；R_iqj和Z_iqj分别表示与滚珠对应的内滚道沟曲率中心的径向和轴向位移，可分别采用以下两个表达式计算：

Z_iqj＝z_iqj-z_oqj (8)

采用赫兹接触理论计算接触力：

式中：k_i和k_o分别表示滚珠与内、外圈滚道的赫兹接触刚度。

采用滚道控制理论计算滚珠的离心力和陀螺力矩：

式中：d_m表示轴承的节圆直径；m_b和J分别表示滚珠的质量和转动惯量；ω、ω_mqj和ω_Rqj分别表示转子角速度，滚珠的轨道角速度以及自旋角速度；β_qj表示节面角。以上各参量的计算表达式分别为：

式中：ρ表示滚珠的密度。

滚珠与轴承内、外圈接触角的正弦和余弦的计算表达式分别为：

步骤3c：采用轴承内、外圈的受力平衡方程描述其运动状态，得到双联滚动轴承5自由度准静力学模型。

轴承内圈的受力平衡方程为：

式中：F_x、F_y和F_z分别表示作用于双联滚动轴承中心的沿竖直径向、水平径向和轴向的外力；M_x和M_y分别表示作用于双联滚动轴承中心的沿竖直径向、水平径向的力矩；F_a表示预紧力。

对于采用背靠背和面对面配置的双联滚动轴承，受预紧弹簧直接作用的轴承外圈的受力平衡方程为：

步骤3d：采用Newton-Raphson方法求解双联滚动轴承5自由度准静力学模型，即联立方程组(22)-(27)，双联滚动轴承5维刚度矩阵的计算表达式为：

式中：K表示双联滚动轴承的5维刚度矩阵；k_ξη(ξ,η＝x,y,z,θ_x,θ_y)表示刚度系数。

具体地，所“述步骤4高速双联滚动轴承电主轴转子系统动力学特性分析”的过程可分为以下五步：

步骤4a：根据传递矩阵法，将高速双联滚动轴承电主轴的转子离散成由N段无质量弹性轴连接的集中质量；电机转子处理为具有陀螺效应的刚性盘；双联滚动轴承则简化成包含16个刚度系数k_ξη和16个阻尼系数c_ξη(ξ,η＝x,y,θ_x,θ_y)的弹性单元；

步骤4b：采用包含16个刚度系数和16个阻尼系数的传递矩阵描述相邻集中质量之间的传递关系以及转子两端集中质量之间的传递关系。

相邻集中质量之间的传递关系为：

Z_i+1＝U_iZ_i (29)

式中：Z_i表示集中质量状态向量，x和y分别表示沿竖直径向和水平径向的位移；θ_x和θ_y分别表示绕竖直径向和水平径向的转角；Q_x和Q_y分别表示沿竖直径向和水平径向的剪力；M_x和M_y分别表示绕竖直径向和水平径向的弯矩；下标i表示离散质量的序号；U_i表示包含16个刚度系数k_ξη和16个阻尼系数c_ξη(ξ,η＝x,y,θ_x,θ_y)的单元传递矩阵，其计算表达式为：

式中：u_11i、u_12i、u_21i和u_22i表示分块矩阵；m表示集中质量；J_p表示集中质量的极转动惯量；J_d表示直径转动惯量；E表示转子材料弹性模量；I表示无质量弹性轴的截面惯性矩；l表示无质量弹性轴的长度；ν表示转子截面剪切变形系数；Ω表示转子角速度；λ表示复数角速度； 表示轴承复刚度系数。

转子两端集中质量之间的传递关系为：

Z_N+1＝TZ₁ (31)

式中：T表示整体传递矩阵，其计算表达式为：

T＝U_NU_N-1…U₁ (32)

步骤4c：转子两端取自由边界Z_N+1＝Z₁＝[0 0 0 0 θ_y x θ_x y]^T，代入式(31)得到以下特征方程，求解特征方程获得临界转速；

式中：ω_n表示临界转速；t_mn(m,n＝1,2,…,8)表示位于整体传递矩阵中第m行第n列的元素。

取轴端集中质量的初始状态向量为Z₁＝[0 0 0 0 0 1 0 0]^T，将ω_n和Z₁代入式(29)计算得到所有集中质量的相对位移，获得与临界转速对应的转子振型。

步骤4d：采用含不平衡量的单元传递矩阵描述相邻集中质量之间的传递关系以及转子两端集中质量之间的传递关系。

相邻集中质量之间含不平衡量的传递关系为：

Z_ui+1＝U_uiZ_ui (34)

式中：Z_ui表示集中质量含不平衡量的状态向量，U_ui表示含不平衡量的单元传递矩阵，其计算表达式为：

式中：u_u11i、u_u12i、u_u13i、u_u21i、u_u22i和u_u23i表示分块矩阵；U表示不平衡量。

转子两端集中质量之间含不平衡量的传递关系为：

Z_uN+1＝T_uZ_u1 (36)

式中：T_u表示含不平衡量的整体传递矩阵，其计算表达式为：

T_u＝U_uNU_uN-1…U_u1 (37)

步骤4e：转子两端取自由边界Z_uN+1＝Z_u1＝[0 0 0 0 θ_y x θ_x y 1]^T，将不平衡量施加于轴端集中质量，由式(36)计算得到轴端集中质量的振幅，通过计算不平衡量离心力与轴端集中质量振幅之比，获得转子轴端动刚度：

式中：K_d表示转子轴端动刚度；A表示轴端集中质量的振幅。

绘制转子轴端动刚度随转速变化的曲线，将转速逼近0所对应的轴端动刚度近似为高速双联滚动轴承电主轴转子系统轴端静刚度。

所述“步骤5高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计”，首先开展双联滚动轴承电主轴转子系统一阶临界转速和轴端静刚度对设计变量的灵敏度分析，再以转子系统一阶临界转速和轴端静刚度最大为优化目标，确定电主轴最佳结构参数。

有益效果：采用本发明提供的高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计方法，能够大幅提高高速双联滚动轴承电主轴动态设计精度，并缩短设计周期。本发明专利为高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计提供一类新技术。

附图说明

图1是本发明的方法流程图；

图2是本发明实施例所设计电主轴转子系统的结构示意图；

图3a是采用面对面配置的双联滚动轴承的坐标系；

图3b是采用背靠背配置的双联滚动轴承的坐标系；

图3c是采用串联配置的双联滚动轴承的坐标系；

图4是滚珠中心以及与之对应的内、外圈滚道沟曲率中心的位置示意图；

图5是滚珠受力分析图；

图6是本发明实施例所设计电主轴转子系统的动力学模型；

图7a是集中质量受力分析图；

图7b是无质量弹性轴受力分析图；

图8a是转子-轴承系统背靠背配置的结构示意图；

图8b是转子-轴承系统面对面配置的结构示意图；

图9a是两种配置形式的电主轴转子系统Campbell图；

图9b是两种配置形式的电主轴转子系统一阶振型；

图9c是两种配置形式的电主轴转子系统动刚度曲线。

图中有：前锁紧螺母1、前轴承2、主轴转子3、电机转子4、预紧弹簧5、后轴承6、后锁紧螺母7、集中质量8、刚性盘9、无质量弹性轴10。

具体实施方式

下面结合一个实施例(51000rpm高速磨削电主轴)，对本发明的高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计方法作进一步详细说明。

图1给出了本发明高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计方法的具体内容，包括如下步骤：

步骤1：根据电主轴使用要求：工作转速为51000rpm，轴端静刚度大于10N/μm，完成高速双联滚动轴承电主轴转子系统的结构配置设计，如图2所示：主轴转子3支承于两组双联滚动轴承上，前轴承2和后轴承6均采用串联方式配置。电机转子4安装于主轴转子3上，位于前轴承2和后轴承6之间；双联滚动轴承采用定压预紧，预紧弹簧5与后轴承6的外圈相连，预紧力通过后轴承6、后锁紧螺母7、主轴转子3、前锁紧螺母1传递到前轴承2。

步骤2：对由步骤1设计的高速双联滚动轴承电主轴转子结构进行动力学参数化处理。以符号形式表示转子基本外形尺寸参数、转子材料参数、轴承基本外形尺寸参数、轴承材料参数和支承位置尺寸参数。其中，转子基本外形尺寸参数包括各轴段的外圆直径、内孔直径和长度；转子材料参数包括转子各部件的密度、弹性模量和泊松比；轴承基本外形尺寸参数包括节圆直径、内圈滚道沟曲率半径、外圈滚道沟曲率半径、滚珠直径、滚珠个数、初始接触角、两个单列轴承之间的轴向距离以及轴承配置方式标识参数；轴承材料参数包括滚珠、内圈和外圈的弹性模量和泊松比以及滚珠密度；支承位置尺寸参数包括各双联滚动轴承中心到前轴端的轴向距离。

步骤3：双联滚动轴承5维刚度矩阵特性分析的过程可分为以下四步：

步骤3a：将两个单列轴承的内圈简化为一个刚性组件，建立如图3所示的坐标系，由公式(1)和公式(2)计算与滚珠对应的轴承内、外圈滚道沟曲率中心的位移；

步骤3b：采用滚珠的位移协调方程和受力平衡方程描述滚珠的运动状态。根据如图4所示滚珠中心以及与之对应的内、外圈滚道沟曲率中心的几何关系，按式(3)和式(4)列写位移协调方程；根据如图5所示的滚珠受力分析图，按式(5)和式(6)列写滚珠的受力平衡方程。其中，与滚珠对应的内滚道沟曲率中心的径向位移R_iqj和轴向位移Z_iqj分别由式(7)和式(8)计算，接触力Q_iqj和Q_oqj分别由式(9)和式(10)计算，滚珠的离心力F_cqj、陀螺力矩M_gqj、质量m_b、转动惯量J、轨道角速度ω_Rqj、自旋角速度ω_mqj和节面角β_qj分别由式(11)-(17)计算，接触角的正弦sinα_iqj、sinα_oqj和余弦cosα_iqj、cosα_oqj分别由式(18)-(21)计算；

步骤3c：采用轴承内、外圈的受力平衡方程描述其运动状态，得到双联滚动轴承5自由度准静力学模型。按式(22)-(26)列写轴承内圈的受力平衡方程，按式(27)列写受预紧弹簧直接作用的轴承外圈的受力平衡方程；

步骤3d：采用Newton-Raphson方法求解双联滚动轴承5自由度准静力学模型，即求解联立方程组(22)-(27)，按式(28)计算双联滚动轴承的5维刚度矩阵K，为高速双联滚动轴承电主轴转子系统动力学特性分析提供数据基础。

步骤4：高速双联滚动轴承电主轴转子系统动力学特性分析的过程可分为以下五步：

步骤4a：如图6所示，将高速双联滚动轴承电主轴的转子离散成由N段无质量弹性轴10连接的集中质量8；电机转子处理为具有陀螺效应的刚性盘9；双联滚动轴承则简化成包含16个刚度系数k_ξη和16个阻尼系数c_ξη(ξ,η＝x,y,θ_x,θ_y)的弹性单元；

步骤4b：根据如图7所示的集中质量和无质量弹性轴的受力分析，设集中质量的状态向量为按式(29)列写相邻集中质量之间的传递关系，包含16个刚度系数k_ξη和16个阻尼系数c_ξη(ξ,η＝x,y,θ_x,θ_y)的单元传递矩阵U_i由式(30)计算得到，按式(31)列写转子两端集中质量之间的传递关系，高速双联滚动轴承电主轴转子系统整体传递矩阵T由式(32)计算得到；

步骤4c：转子两端取自由边界Z_N+1＝Z₁＝[0 0 0 0 θ_y x θ_x y]^T，代入式(31)得到以下特征方程(33)，求解式(33)得到临界转速ω_n。取轴端集中质量的初始状态向量为Z₁＝[0 0 0 0 0 1 0 0]^T，将ω_n和Z₁代入式(29)计算得到所有集中质量的相对位移，获得与临界转速对应的转子振型；

步骤4d：按式(34)列写相邻集中质量之间含不平衡量的传递关系，含不平衡量的单元传递矩阵U_ui由式(35)计算得到，按式(36)列写转子两端集中质量之间含不平衡量的传递关系，含不平衡量的整体传递矩阵T_u由式(37)计算得到；

步骤4e：转子两端取自由边界Z_uN+1＝Z_u1＝[0 0 0 0 θ_y x θ_x y 1]^T，将不平衡量施U加于轴端集中质量，由式(31)求解得到轴端集中质量的振幅A，按式(38)计算转子轴端动刚度，绘制转子轴端动刚度随转速变化的曲线，将转速逼近0所对应的轴端动刚度近似为高速双联滚动轴承电主轴转子系统轴端静刚度。

步骤5：高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计：开展双联滚动轴承电主轴转子系统一阶临界转速和轴端静刚度对设计变量的灵敏度分析。设计变量包括转子基本外形尺寸参数、轴承型号、支承位置以及转子-轴承配置方式等。

本实施例以确定合适的转子-轴承配置方式为例作进一步说明。考虑如图8所示的两种转子-轴承配置方式：转子-轴承系统背靠背配置和转子-轴承系统面对面配置，电主轴转子系统基本结构参数列于表1。根据步骤1至步骤4计算得到两种配置形式的电主轴转子系统的Campbell图、一阶振型和轴端动刚度曲线，如图9所示。以转子系统一阶临界转速和轴端静刚度最大为设计目标，确定最佳的转子-轴承配置方式为转子-轴承系统背靠背配置。

表1高速双联滚动轴承电主轴转子系统基本结构参数

Claims (15)

1.一种高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计方法，其特征在于该方法包括以下步骤：

步骤1：高速双联滚动轴承电主轴转子系统的结构配置设计；

步骤2：高速双联滚动轴承电主轴转子结构动力学参数化处理；

步骤3：双联滚动轴承5维刚度矩阵特性分析；

步骤4：高速双联滚动轴承电主轴转子系统动力学特性分析；

步骤5：高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计。

2.根据权利要求1所述的高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计方法，其特征在于，步骤1所述高速双联滚动轴承电主轴转子系统，其结构配置为：主轴转子支承于若干组双联滚动轴承上，双联滚动轴承可采用面对面、背靠背和串联三种方式配置。

3.根据权利要求1所述的高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计方法，其特征在于，所述步骤2：高速双联滚动轴承电主轴转子结构动力学参数化处理的方法为：以符号形式表示转子基本外形尺寸参数、转子材料参数、轴承基本外形尺寸参数、轴承材料参数和支承位置尺寸参数。

4.根据权利要求1所述的高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计方法，其特征在于，所述步骤3：双联滚动轴承5维刚度矩阵特性分析具体包括：

步骤3a：将两个单列轴承的内圈简化为一个刚性组件，计算与滚珠对应的轴承内、外圈滚道沟曲率中心的位移；

步骤3b：采用滚珠的位移协调方程和受力平衡方程描述滚珠的运动状态；

步骤3c：采用轴承内、外圈的受力平衡方程描述其运动状态，得到双联滚动轴承5自由度准静力学模型；

步骤3d：采用Newton-Raphson方法求解双联滚动轴承5自由度准静力学模型，计算双联滚动轴承的5维刚度矩阵。

5.根据权利要求1所述的高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计方法，其特征在于，所述步骤4：高速双联滚动轴承电主轴转子系统动力学特性分析具体包括：

步骤4a：根据传递矩阵法，将高速双联滚动轴承电主轴的转子离散成由N段无质量弹性轴连接的集中质量；电机转子处理为具有陀螺效应的刚性盘；双联滚动轴承则简化成包含16个刚度系数和16个阻尼系数的弹性单元；

步骤4b：采用包含16个刚度系数和16个阻尼系数的传递矩阵描述相邻集中质量之间的传递关系以及转子两端集中质量之间的传递关系；

步骤4c：转子两端取自由边界，采用特征方程计算转子临界转速，再由轴端集中质量的初始状态向量计算转子振型；

步骤4d：采用含不平衡量的传递矩阵描述相邻集中质量之间的传递关系以及转子两端集中质量之间的传递关系；

步骤4e：转子两端取自由边界，将不平衡量施加于轴端集中质量，计算轴端集中质量的振幅，通过计算不平衡量离心力与轴端集中质量振幅之比，获得转子轴端动、静刚度。

6.根据权利要求1所述的高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计方法，其特征在于，所述步骤5：高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计包括：首先开展双联滚动轴承电主轴转子系统一阶临界转速和轴端静刚度对设计变量的灵敏度分析，再以转子系统一阶临界转速和轴端静刚度最大为优化目标，确定电主轴最佳结构参数。

7.根据权利要求4所述的高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计方法，其特征在于，所述步骤3a：将两个单列轴承的内圈简化为一个刚性组件，计算与滚珠对应的轴承内、外圈滚道沟曲率中心的位移，具体为：

式中：x_iqj、y_iqj和z_iqj分别表示内滚道沟曲率半径中心沿竖直径向、水平径向和轴向的位移；x_oqj、y_oqj和z_oqj分别表示外滚道沟曲率半径中心沿竖直径向、水平径向和轴向的位移；δ_x和δ_y分别表示轴承内圈沿竖直径向和水平径向的位移；Δ_f和Δ_p分别表示轴承内圈由外载荷和转速引起的轴向位移；θ_x和θ_y分别表示轴承内圈绕双联滚动轴承中心沿竖直径向和水平径向的转角；R_i和R_o分别表示内、外滚道沟曲率半径中心线的轨道半径；D表示滚珠直径；f_i和f_o分别表示内、外滚道沟曲率半径系数；α₀表示初始接触角；L_b表示两个单列轴承之间的轴向距离；ψ_qj表示滚珠的角位置；α_i0和δ_n分别表示在预紧力作用下的初始接触角和滚珠法向压缩量；下标q表示单列轴承标识记号，q＝1表示第一列轴承，q＝2表示第二列轴承；下标j(j＝1,2,…,Z)表示滚珠的标识记号；Z表示单列轴承滚珠数；c₁、c₂、c₃、c₄和c₅为系数，分别为：

8.根据权利要求4所述的高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计方法，其特征在于，所述步骤3b：采用滚珠的位移协调方程和受力平衡方程描述滚珠的运动状态，具体为：

(R_iqj-R_bqj)²+(Z_iqj-Z_bqj)²-[(f_i-0_.5)D+δ_iqj]²＝0 (4)

式中：δ_i和δ_o分别表示滚珠与内、外滚道的接触变形；Q_iqj和Q_oqj分别表示滚珠与内、外滚道的接触力；α_iqj和α_oqj分别表示滚珠与内、外滚道的接触角；F_cqj和M_gqj分别表示滚珠的离心力和陀螺力矩；R_bqj和Z_bqj分别表示滚珠中心的径向和轴向位移；R_iqj和Z_iqj分别表示与滚珠对应的内滚道沟曲率中心的径向和轴向位移，可分别采用以下两个表达式计算：

Z_iqj＝z_iqj-z_oqj (8)

采用赫兹接触理论计算接触力：

式中：k_i和k_o分别表示滚珠与内、外圈滚道的赫兹接触刚度。

采用滚道控制理论计算滚珠的离心力和陀螺力矩：

式中：d_m表示轴承的节圆直径；m_b和J分别表示滚珠的质量和转动惯量；ω、ω_mqj和ω_Rqj分别表示转子角速度，滚珠的轨道角速度以及自旋角速度；β_qj表示节面角。以上各参量的计算表达式分别为：

式中：ρ表示滚珠的密度。

滚珠与轴承内、外圈接触角的正弦和余弦的计算表达式分别为：

9.根据权利要求4所述的高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计方法，其特征在于，所述步骤3c：采用轴承内、外圈的受力平衡方程描述其运动状态，得到双联滚动轴承5自由度准静力学模型，具体为：

轴承内圈的受力平衡方程为：

式中：F_x、F_y和F_z分别表示作用于双联滚动轴承中心的沿竖直径向、水平径向和轴向的外力；M_x和M_y分别表示作用于双联滚动轴承中心的沿竖直径向、水平径向的力矩；F_a表示预紧力。

对于采用背靠背和面对面配置的双联滚动轴承，受预紧弹簧直接作用的轴承外圈的受力平衡方程为：

10.根据权利要求4所述的高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计方法，其特征在于，所述步骤3d具体为：采用Newton-Raphson方法求解双联滚动轴承5自由度准静力学模型，即求解联立方程组(22)-(27)，采用下式计算双联滚动轴承的5维刚度矩阵：

式中：K表示双联滚动轴承的5维刚度矩阵；k_ξη(ξ,η＝x,y,z,θ_x,θ_y)表示刚度系数。

11.根据权利要求5所述的高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计方法，其特征在于，所述步骤4a具体为：根据传递矩阵法，将高速双联滚动轴承电主轴的转子离散成由N段无质量弹性轴连接的集中质量；电机转子处理为具有陀螺效应的刚性盘；双联滚动轴承则简化成包含16个刚度系数k_pq和16个阻尼系数c_pq(p,q＝x,y,θ_x,θ_y)的弹性单元。

12.根据权利要求5所述的高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计方法，其特征在于，所述步骤4b采用包含16个刚度系数和16个阻尼系数的传递矩阵描述相邻集中质量之间的传递关系以及转子两端集中质量之间的传递关系，具体为：

相邻集中质量之间的传递关系为：

Z_i+1＝U_iZ_i (29)

式中：Z_i表示集中质量状态向量，x和y分别表示沿竖直径向和水平径向的位移；θ_x和θ_y分别表示绕竖直径向和水平径向的转角；Q_x和Q_y分别表示沿竖直径向和水平径向的剪力；M_x和M_y分别表示绕竖直径向和水平径向的弯矩；下标i表示离散质量的序号；U_i表示包含16个刚度系数k_ξη和16个阻尼系数c_ξη(ξ,η＝x,y,θ_x,θ_y)的单元传递矩阵，其计算表达式为：

式中：u_11i、u_12i、u_21i和u_22i表示分块矩阵；m表示集中质量；J_p表示集中质量的极转动惯量；J_d表示直径转动惯量；E表示转子材料弹性模量；I表示无质量弹性轴的截面惯性矩；l表示无质量弹性轴的长度；ν表示转子截面剪切变形系数；Ω表示转子角速度；λ表示复数角速度；s_ξη(s_ξη＝k_ξη+iλc_ξη，ξ,η＝x,y,θ_x,θ_y，)表示轴承复刚度系数。

转子两端集中质量之间的传递关系为：

Z_N+1＝TZ₁ (31)

式中：T表示整体传递矩阵，其计算表达式为：

T＝U_NU_N-1…U₁ (32)。

13.根据权利要求5所述的高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计方法，其特征在于，所述步骤4c具体为：转子两端取自由边界Z_N+1＝Z₁＝[0 0 0 0 θ_y x θ_x y]^T，代入式(31)得到以下特征方程，求解特征方程获得临界转速：

式中：ω_n表示临界转速；t_mn(m,n＝1,2,…,8)表示位于整体传递矩阵中第m行第n列的元素；

再取轴端集中质量的初始状态向量为Z₁＝[0 0 0 0 0 1 0 0]^T，将ω_n和Z₁代入式(29)计算得到所有集中质量的相对位移，获得与临界转速对应的转子振型。

14.根据权利要求5所述的高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计方法，其特征在于，所述步骤4d采用含不平衡量的传递矩阵描述相邻集中质量之间的传递关系以及转子两端集中质量之间的传递关系，具体为：

相邻集中质量之间含不平衡量的传递关系为：

Z_ui+1＝U_uiZ_ui (34)

式中：Z_ui表示集中质量含不平衡量的状态向量，U_ui表示含不平衡量的单元传递矩阵，其计算表达式为：

式中：u_u11i、u_u12i、u_u13i、u_u21i、u_u22i和u_u23i表示分块矩阵；U表示不平衡量。

转子两端集中质量之间含不平衡量的传递关系为：

Z_uN+1＝T_uZ_u1 (36)

式中：T_u表示含不平衡量的整体传递矩阵，其计算表达式为：

T_u＝U_uNU_uN-1…U_u1 (37)。

15.根据权利要求5所述的高速双联滚动轴承电主轴转子系统动态设计方法，其特征在于，所述步骤4e具体为：转子两端取自由边界Z_uN+1＝Z_u1＝[0 0 0 0 θ_y x θ_x y 1]^T，将不平衡量施加于轴端集中质量，由式(36)求解得到轴端集中质量的振幅为A，再由下式计算转子轴端动刚度：

式中：K_d表示转子轴端动刚度；A表示轴端集中质量的振幅。

绘制转子轴端动刚度随转速变化的曲线，将转速逼近0所对应的轴端动刚度近似为高速双联滚动轴承电主轴转子系统轴端静刚度。