CN109800447B - 一种基于有限元思想的进给系统刚柔耦合动力学建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于有限元思想的进给系统刚柔耦合动力学建模方法，包括如下步骤：(1)确定进给系统滚珠丝杠的几何参数和材料属性；(2)将进给系统滚珠丝杠依据划分方法划分为若干单元；(3)通过各单元的变形势能和各单元横向移动动能和转动动能，计算各单元的刚度矩阵和质量矩阵；(4)获取滚珠丝杠系统质量矩阵和刚度矩阵，构建无阻尼的滚珠丝杠系统的动力学微分方程；(5)根据进给系统的位置和运动关系，利用集中质量法通过拉格朗日方程建立进给系统的动力学模型。该方法充分考虑滚珠丝杠系统的弹性振动和柔性基础，降低了进给系统的自由度数目，提高了动力学微分方程的求解效率，对于进给系统动态特性的研究具有理论指导意义。

Description

一种基于有限元思想的进给系统刚柔耦合动力学建模方法

技术领域

本发明涉及一种进给系统刚柔耦合动力学建模方法，特别是涉及一种基于有限元思想的进给系统刚柔耦合动力学建模方法。

背景技术

近年来,高速度、高加速度和高精度已经成为数控机床的主要发展方向。进给系统作为数控机床的核心功能部件，其性能的高低直接影响和制约着数控机床的发展。进给系统的动态特性是造成数控机床动态误差的主要因素，因此建立精准的进给系统动力学模型是进行后续动力学特性研究和动态误差影响规律研究的基础。

目前，进给系统的动力学建模方法主要有集中参数法和有限元法。其中，集中参数法将进给系统的各零部件简化为集中质量块，将各零部件结合面间的刚度利用弹簧阻尼单元进行等效，该方法基于刚体参数化动力学建模，无法真实反应各关键结构件的变形。有限元法是在集中参数法基础上，将滚珠丝杠结构件等效为离散单元进行分析，但该方法建立的模型结构复杂，自由度数目偏多，因此计算困难。

发明内容

本发明的目的在于克服现有方法的问题，提供了一种基于有限元思想的进给系统刚柔耦合动力学建模方法，在进给系统动态特性研究阶段搭建进给系统刚柔耦合动力学模型，充分考虑滚珠丝杠系统的弹性振动和柔性基础，提高计算效率。

本发明的一种基于有限元思想的进给系统刚柔耦合动力学建模方法，包括以下步骤：

步骤一、确定进给系统滚珠丝杠的几何参数和材料属性，滚珠丝杠的几何参数包括各光轴部分轴外径直径和长度，带螺纹部分公称直径和长度；滚珠丝杠的材料属性包括弹性模量、泊松比和密度；

步骤二、将进给系统滚珠丝杠划分为若干单元，划分方法如下：

将滚珠丝杠轴外径变化处作为节点，将位于两个相邻节点之间且轴外径一致的轴段作为一个单元；

当滚珠丝杠某一单元轴段长度大于该单元截面直径设定倍数时，将该轴段划分为若干单元；

将轴外径相同的滚珠丝杠光轴部分和带有螺纹部分划分为两个单元；

将滚珠丝杠与螺母结合部分划分为一个单元，滚珠丝杠与螺母结合处的左右两端为节点；

将滚珠丝杠两端的轴承支撑点取为节点，该节点设置在支撑轴承宽度的中点处；

步骤三、根据各相邻单元的节点处横向位移和弹性转角的相互作用，计算各单元的变形势能和各单元横向移动动能和转动动能，通过各单元的变形势能计算各单元刚度矩阵，通过各单元横向移动动能和转动动能计算各单元质量矩阵；

步骤四、将各单元的质量矩阵和刚度矩阵分别进行叠加，得到滚珠丝杠系统质量矩阵和刚度矩阵，构建无阻尼的滚珠丝杠系统的动力学微分方程；

步骤五、将伺服电机、联轴器、螺母、工作台视为具有集中质量的刚体，基于有限元思想将滚珠丝杠视为柔体，根据进给系统的位置和运动关系，在伺服电机的连接轴和联轴器接触部分建立第一结合面，在联轴器和滚珠丝杠接触部分建立第二结合面，在滚珠丝杠和联轴器支撑轴承接触部分建立第三结合面，在螺母和滚珠丝杠接触部分建立第四结合面，在螺母和工作台接触部分建立第五结合面，在工作台和导轨接触部分建立第六结合面，各结合面处通过假想的弹簧阻尼单元连接，实现结合部的等效建模，最终利用集中质量法通过拉格朗日方程建立进给系统的动力学模型。

与现有方法相比，本发明的基于有限元思想的进给系统刚柔耦合动力学建模方法将滚珠丝杠系统根据滚珠丝杠轴径的变化和滚珠丝杠轴承安装位置的不同划分为若干单元，通过各单元的变形势能和各单元横向移动动能和转动动能，分别计算各单元的刚度矩阵和质量矩阵，将各个单元的矩阵进行叠加形成无阻尼的滚珠丝杠系统的动力学微分方程，最后基于集中参数法构建进给系统动力学模型。该方法充分考虑滚珠丝杠系统的弹性振动和柔性基础，极大限度的降低了进给系统的自由度数目，提高了动力学微分方程的求解效率，对于进给系统动态特性的研究具有一定的理论指导意义。

附图说明

图1为基于有限元思想的进给系统刚柔耦合动力学建模方法的整体流程图；

图2为滚珠丝杠系统单元划分示意图；

图3为第i个单元节点处横向位移和弹性转角的相互作用示意图；

图4为进给系统动力学模型示意图。

具体实施方式

下面结合实施图和附图对本发明做出详细说明。

本发明的一种基于有限元思想的进给系统刚柔耦合动力学建模方法，整体流程图如图1所示。该流程包括以下步骤：

步骤一、确定进给系统滚珠丝杠的几何参数和材料属性。滚珠丝杠的几何参数包括各光轴部分轴外径直径和长度，带螺纹部分公称直径和长度；滚珠丝杠的材料属性包括弹性模量、泊松比和密度。

步骤二、将进给系统滚珠丝杠划分为若干单元，划分方法如下：

(1)将滚珠丝杠轴外径变化处作为节点，将位于两个相邻节点之间且轴外径一致的轴段作为一个单元；

(2)当滚珠丝杠某一单元轴段长度大于该单元截面直径设定倍数(1.5倍)时，将该轴段划分为若干单元；

(3)将轴外径相同的滚珠丝杠光轴部分和带有螺纹部分划分为两个单元；

(4)将滚珠丝杠与螺母结合部分划分为一个单元，滚珠丝杠与螺母结合处的左右两端为节点；

(5)将滚珠丝杠两端的轴承支撑点取为节点(轴承安装处不必划分为一个单元，只需要根据轴径变化划分，但轴承支承点为一个节点)，且节点设置在支撑轴承宽度的中点处。

作为本发明的一种实施方式，如图2所示，在该滚珠丝杠子结构中，将其划分为14个单元，分别为轴承安装Ⅰ处的单元1、单元2，轴肩部分的单元3，光轴部分单元4、单元5，螺纹部分Ⅰ的单元6、单元7、单元8，滚柱丝杠与螺母结合部分的单元9，螺纹部分Ⅱ的单元10、单元11、单元12和轴承安装Ⅱ处的单元13、单元14。

步骤三、根据各相邻单元的节点处横向位移和弹性转角的相互作用，计算各单元的变形势能和各单元横向移动动能和转动动能，通过各单元的变形势能计算各单元刚度矩阵，通过各单元横向移动动能和转动动能计算各单元质量矩阵。

各单元刚度矩阵和各单元质量矩阵的具体计算方法如下：

第一步，设滚珠丝杠系统单元个数为N，单元间节点数目为N_n，单元个数与节点个数之间存在以下关系：

N_n＝N+1

将各单元和节点自左向右进行编号，每个节点处建立两个广义坐标为横向位移和弹性转角。在第i个节点处建立的横向位移广义坐标编号为U_2i-1，建立的弹性转角广义坐标编号为U_2i，最终形成广义坐标列阵U＝[U₁ U₂ … U_2i-1 U_2i]^T。广义坐标数目N_u＝2N_n。

第二步，分析第i个单元的节点处横向位移和弹性转角的变化，如图3所示。第i个单元包括有两个节点，将左节点处的横向位移和弹性转角设为u₁(t)和u₂(t)，将右节点处的横向位移和弹性转角设为u₃(t)和u₄(t)，利用u(x,t)表示在该单元任意径向截面处的横向位移，该单元在受到载荷作用时变形较为复杂，因此假定横向振动单元的位移取为三次多项式u(x,t)＝c₀+c₁x+c₂x²+c₃x³，利用节点两侧的横向位移和弹性转角u₁(t)、u₂(t)、u₃(t)和u₄(t)的边界条件，该边界条件u₁(t)、u₂(t)、u₃(t)和u₄(t)的计算方法为现有方法，具体参见文献(王世斌,亢一澜,王燕群,等.普通高等教育“十一五”国家级规划教材,材料力学[M].高等教育出版社,2008.)，获取三次多项式中的待定系数c₀、c₁、c₂和c₃，至此，求的任意截面y处的横向位移u(x,t)。该横向位移u(x,t)的计算方法为现有方法，具体参见文献(张策.机械动力学,(第二版)[M].高等教育出版社,2008.)

第三步，计算第i个单元的变形势能，并通过第i个单元的变形势能计算单元刚度矩阵，计算方法可以参见文献(张策.机械动力学,(第二版)[M].高等教育出版社,2008.)，下面对该方法加以说明：

单元的变形势能与该单元变形过程中曲率有关，假定截面y处的横向位移u(x,t)对x(x为距离左侧节点的位移，t为时间)的二阶导数即为y处的曲率，该单元的变形势能E_p(t)由下式确定：

式中：E为材料的弹性模量，I为单元的截面惯性矩，计算采用

公式即可得到，d为截面y处的直径。

通过已求的单元变形势能E_p(t)，设单元左节点和右节点的横向位移和弹性转角为单元的广义坐标列阵u＝[u₁(t) u₂(t) u₃(t) u₄(t)]^T，节点两侧的横向位移和弹性转角u₁(t)、u₂(t)、u₃(t)和u₄(t)作为边界条件是已知项，则单元的刚度矩阵k可根据下式确定：

式中：l为单元的长度

第四步，计算第i个单元横向移动动能和转动动能，并通过计算第i个单元横向移动动能和转动动能计算单元质量矩阵。设单元左节点和右节点的横向位移和弹性转角的广义速度矩阵为

该单元横向移动动能E_k(t)由下式确定：

式中：ρ为材料的密度，A为单元的截面积

通过已求的单元横向移动动能E_k(t)，则单元仅考虑横向线性位移的质量矩阵m_x可根据下式确定：

式中：l为单元的长度

该单元转动动能E_θ(t)由下式确定：

式中：J_d为单位长度上对直径的转动惯量，计算采用

公式即可得到。

通过已求的单元转动动能E_θ(t)，单元仅考虑转动角位移的质量矩阵m_θ可根据下式确定：

单元的总质量矩阵为m＝m_x+m_θ

步骤四、将各单元的质量矩阵和刚度矩阵分别进行叠加，得到滚珠丝杠系统质量矩阵和刚度矩阵，构建无阻尼的滚珠丝杠系统的动力学微分方程。动力学微分方程的构建方法为现有方法，参见文献(张策.机械动力学,(第二版)[M].高等教育出版社,2008.)。

步骤五、将伺服电机、联轴器、螺母、工作台视为具有集中质量的刚体，基于有限元思想将滚珠丝杠视为柔体。根据进给系统的位置和运动关系，在伺服电机的连接轴和联轴器接触部分建立第一结合面，在联轴器和滚珠丝杠接触部分建立第二结合面，在滚珠丝杠和联轴器支撑轴承接触部分建立第三结合面，在螺母和滚珠丝杠接触部分建立第四结合面，在螺母和工作台接触部分建立第五结合面，在工作台和导轨接触部分建立第六结合面，各结合面处通过假想的弹簧阻尼单元连接，实现结合部的等效建模，最终利用集中质量法通过拉格朗日方程建立进给系统的动力学模型。

结合图4，将伺服电机15、联轴器16、螺母17、工作台19视为具有集中质量的刚体，基于有限元思想将滚珠丝杠18视为柔体，如图4所示，伺服电机15与滚珠丝杠18之间通过联轴器16直接连接，螺母17螺纹连接在滚珠丝杠18上并固定在工作台19上。工作过程中，伺服电机15的驱动轴通过联轴器16带动滚珠丝杠18实现回转运动，螺母17固定在工作台19上，滚柱丝杠18的回转带动螺母17直线运动，最终实现工作台19的直线进给。根据进给系统的位置和运动关系，在伺服电机15的连接轴和联轴器16接触部分建立第一结合面，在联轴器16和滚珠丝杠18接触部分建立第二结合面，在滚珠丝杠18和联轴器支撑轴承接触部分建立第三结合面，在螺母17和滚珠丝杠18接触部分建立第四结合面，在螺母17和工作台19接触部分建立第五结合面，在工作台19和导轨20接触部分建立第六结合面，各结合面处通过假想的弹簧阻尼单元连接，实现结合部的等效建模，最终利用集中质量法通过拉格朗日方程建立进给系统的动力学模型。拉格朗日方程如下：

式中：T为进给系统总动能，V为进给系统总势能，D为进给系统瑞利耗能函数，q_k为进给系统广义坐标，Q_k为进给系统广义力，n为进给系统自由度数目

拉格朗日方程的构建方法为现有方法，参见文献(张策.机械动力学,(第二版)[M].高等教育出版社,2008.)。

尽管上面结合附图对本发明的优选实施例进行了描述，但是本发明并不局限于上述的具体实施方式，上述的具体实施方式仅仅是示意性的，并不是限制性的，本领域的普通技术人员在本发明的启示下，在不脱离本发明宗旨和权利要求所保护的范围情况下，还可以作出很多形式，这些均属于本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种基于有限元思想的进给系统刚柔耦合动力学建模方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤一、确定进给系统滚珠丝杠的几何参数和材料属性，滚珠丝杠的几何参数包括各光轴部分轴外径直径和长度，带螺纹部分公称直径和长度；滚珠丝杠的材料属性包括弹性模量、泊松比和密度；

步骤二、将进给系统滚珠丝杠划分为若干单元，划分方法如下：

将滚珠丝杠轴外径变化处作为节点，将位于两个相邻节点之间且轴外径一致的轴段作为一个单元；

当滚珠丝杠某一单元轴段长度大于该单元截面直径设定倍数时，将该轴段划分为若干单元；

将轴外径相同的滚珠丝杠光轴部分和带有螺纹部分划分为两个单元；

将滚珠丝杠与螺母结合部分划分为一个单元，滚珠丝杠与螺母结合处的左右两端为节点；

将滚珠丝杠两端的轴承支撑点取为节点，该节点设置在支撑轴承宽度的中点处；

步骤三、根据各相邻单元的节点处横向位移和弹性转角的相互作用，计算各单元的变形势能和各单元横向移动动能和转动动能，通过各单元的变形势能计算各单元刚度矩阵，通过各单元横向移动动能和转动动能计算各单元质量矩阵；

步骤四、将各单元的质量矩阵和刚度矩阵分别进行叠加，得到滚珠丝杠系统质量矩阵和刚度矩阵，构建无阻尼的滚珠丝杠系统的动力学微分方程；

步骤五、将伺服电机、联轴器、螺母、工作台视为具有集中质量的刚体，基于有限元思想将滚珠丝杠视为柔体，根据进给系统的位置和运动关系，在伺服电机的连接轴和联轴器接触部分建立第一结合面，在联轴器和滚珠丝杠接触部分建立第二结合面，在滚珠丝杠和联轴器支撑轴承接触部分建立第三结合面，在螺母和滚珠丝杠接触部分建立第四结合面，在螺母和工作台接触部分建立第五结合面，在工作台和导轨接触部分建立第六结合面，各结合面处通过假想的弹簧阻尼单元连接，实现结合部的等效建模，最终利用集中质量法通过拉格朗日方程建立进给系统的动力学模型。

Images