CN106202755A - 基于动力学模型和遗传算法的电主轴结构优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明基于动力学模型和遗传算法的电主轴结构优化设计方法，包括：1)利用Timoshenko梁单元、转盘单元分别建立了转子、电机转子的有限元模型；基于Jones模型，建立轴承模型；将上述模型集成得到电主轴结构动力学方程；2)根据电主轴结构的动力学方程求解其一阶固有频率；3)确定电主轴优化的设计变量，设置约束条件，建立目标函数；4)利用遗传算法，求解目标函数，获得全局最优解，即求得使电主轴结构一阶固有频率最大的各轴承最佳配置位置。本发明建立了电主轴结构较为实际和精确的动力学模型，保证了优化设计相关参数的准确性。利用遗传算法对电主轴结构进行优化，保证了电主轴上轴承位置的最佳配置，优化效果好，为电主轴的设计提供了有效指导。

Description

基于动力学模型和遗传算法的电主轴结构优化设计方法

技术领域：

本发明属于机械设计技术领域，具体涉及一种基于动力学模型和遗传算法的电主轴结构优化设计方法。

背景技术：

电主轴系统是一项涉及电主轴本身及相关附件的系统工程，因具备转速高、精度高、振动小、响应快等优点在机械加工领域得到广泛应用。作为数控机床的核心部件，其性能直接影响机械加工的精度与稳定性。因此，对电主轴进行动力学分析及结构优化设计，对于机床性能的提高具有重大的意义。

对于(电)主轴的优化设计国内外进行了大量的研究。许多研究是在(电)主轴建模分析的基础上结合优化算法进行探究。2011年，Lin(Lin CW.An application of Taguchimethod on the high-speed motorized spindle system design[J].Proceedings ofthe Institution of Mechanical Engineers,Part C:Journal of MechanicalEngineering Science,2011,225(9):2198-2205.)建立了高速电主轴的动态模型，并利用田口方法提高了该系统一阶固有频率的信噪比，从而使得系统一阶固有频率增加；2014年，Lin(Lin C-W.Optimization of Bearing Locations for Maximizing First ModeNatural Frequency of Motorized Spindle-Bearing Systems Using a GeneticAlgorithm[J].Applied Mathematics,2014,5(14):2137-2137.)开发了一种基于遗传算法的电主轴优化方法，利用遗传算法确定主轴上各轴承的最佳配置位置，从而使系统一阶固有频率最大，并通过实例分析验证了该方法是有效的。

申请号为201310013720.7的发明专利公开了一种机床主轴的优化设计方法，其特点在于利用试验设计在可行域中进行均匀的初步寻优，然后从所有试验点中选出令目标函数综合最优的一个初步优化解，将其作为梯度法的初始值进行深入优化，最终获得令机床主轴综合性能最优的全局最优解。申请号为201510658571.9的专利公开了一种基于参数化有限元模型的电主轴结构优化方法，其特点在于以主轴轴承配合段直径、前后支撑轴承跨距、主轴悬伸量为设计变量，以高刚性、轻质量为优化目标，选择智能优化算法对电主轴进行多目标优化设计。

从现有的检索文献可以发现，大部分(电)主轴优化方法是基于简化模型进行分析的，从而限制了分析结果的精度，也影响了分析结果的可信度。尽管有些分析模型是完整的(电)主轴轴承模型，但是它们多是利用这些模型进行动态分析及稳定性预测，很少结合智能优化算法对(电)主轴进行优化设计。因此，不能有效地对电主轴进行结构优化。

发明内容：

本发明的目的在于结合电主轴动力学模型和遗传算法，为电主轴结构优化设计提供一种准确、有效的基于动力学模型和遗传算法的电主轴结构优化设计方法。

为达到上述目的，本发明采用以下技术方案来实现：

基于动力学模型和遗传算法的电主轴结构优化设计方法，包括下述步骤：

1)将电主轴的转子划分为若干梁单元，并利用Timoshenko梁单元建立转子的有限元模型，同时利用转盘单元建立电机转子的有限元模型；基于Jones模型，建立轴承模型；将转子、电机转子及轴承模型集成得到电主轴结构的动力学方程；

2)根据电主轴结构的动力学方程求得电主轴结构的一阶固有频率；

3)确定电主轴优化的设计变量，建立约束条件，然后基于步骤2)中所求一阶固有频率建立起目标函数；

4)利用遗传算法，对步骤3)中的目标函数进行求解，获得全局最优解，即求解出使步骤2)中所求电主轴结构一阶固有频率最大的各轴承最佳配置位置。

本发明进一步的改进在于，所述步骤1)中，建立电主轴结构的有限元模型，获得其动力学方程，具体过程如下：

Timoshenko梁单元的有限元模型中，两个端面的中心点分别代表梁的两个节点，每个节点具有三个移动自由度和两个转动自由度，即：

q＝{δ_x,δ_y,δ_z,γ_y,γ_z}^T (1)

式中，δ_x,δ_y,δ_z分别表示x,y,z三个轴向的移动自由度，γ_y,γ_z分别表示绕y轴和z轴的自由度；

在忽略阻尼的情况下，梁单元的运动学方程为：

$M^b\stackrel{\·\·}{X}-{\mathrm{\ΩG}}^b\stackrel{\·}{X}+(K^b+K_P^b-{\mathrm{\Ω}}^2{M}_c^b)X=F^b---\left(2\right)$

式中，M^b是质量矩阵，Ω是转速，G^b是反对称的陀螺力矩矩阵，K^b是刚度矩阵，是轴向力引起的刚度矩阵，是计算离心力的质量矩阵，F^b是力向量；

同样，转盘单元的动力学方程表示为：

$M^d\stackrel{\·\·}{X}-{\mathrm{\ΩG}}^d\stackrel{\·}{X}=F^d---\left(3\right)$

式中，M^d是质量矩阵，Ω是转速，G^d是反对称的陀螺力矩矩阵，F^d是力向量；

高速旋转作用下，轴承内、外圈以及滚子之间的相对位置发生变化，把轴承视为“轴承单元”，把其内、外圈等效为两个节点，则内、外圈节点的自由度表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{q}_i={\{{\mathrm{\δ}}_{xi},{\mathrm{\δ}}_{yi},{\mathrm{\δ}}_{zi},{\mathrm{\γ}}_{yi},{\mathrm{\γ}}_{zi}\}}^T\\ q_o={\{{\mathrm{\δ}}_{xo},{\mathrm{\δ}}_{yo},{\mathrm{\δ}}_{zo},{\mathrm{\γ}}_{yo},{\mathrm{\γ}}_{zo}\}}^T\end{array}\right.---\left(14\right)$

式中，δ_xi,δ_yi,δ_zi和δ_xo,δ_yo,δ_zo分别表示内、外圈节点在x,y,z三个轴向的移动自由度，γ_yi,γ_zi和γ_yo,γ_zo分别表示内、外圈节点绕y轴和z轴的自由度；

基于上述轴承模型，轴承刚度矩阵表示为：

$K_B=\frac{\∂F_i}{\∂q_i}-=\frac{\∂F_o}{\∂q_o}---\left(15\right)$

式中，F_i和F_o分别为内外圈节点受到的合力；

集成上述转子、电机转子、轴承的模型，电主轴结构的运动学方程表示为：

$M\stackrel{\·\·}{X}+C\stackrel{\·}{X}+KX=F---\left(16\right)$

式中，M＝M^b+M^d是质量矩阵，C＝C^s-ΩG^b-ΩG^d是阻尼矩阵，C^s是结构阻尼，是刚度矩阵，F是外力向量。

本发明进一步的改进在于，所述步骤2)中，在不考虑阻尼的情况下，求解电主轴结构动力学方程可得：

(M^-1K)Φ＝λΦ (17)

式中，Φ是特征向量，λ＝ω_n ²是特征值，ω_n是无阻尼固有频率；

考虑阻尼时，电主轴结构的阻尼固有频率表示为：

${\mathrm{\ω}}_d={\mathrm{\ω}}_n\sqrt{(1-{\mathrm{\ζ}}^2)}---\left(18\right)$

式中，ω_d是阻尼固有频率，是阻尼比，δ是对数衰减率。

本发明进一步的改进在于，所述步骤3)中，确定优化的设计变量，建立约束条件，然后基于步骤2)中所求一阶固有频率建立起目标函数，具体过程如下：

设计变量：转子被划分为若干梁单元，电主轴上各轴承均配置在梁单元的节点处，以电主轴上各轴承的坐标位置为设计变量，即：

x＝(x_1,1 x_1,2 … x_2,1 x_2,2 … x_i,1 x_i,2…) (19)

式中，x_i,j表示第i组轴承中的第j个轴承的坐标位置；

约束条件：各轴承坐标位置主要受到两种约束的限制，一类是电主轴结构的影响；另一类是轴承本身宽度的影响，即相邻两个轴承中线之间的距离不小于这两个轴承各自宽度的一半之和，即有：

$\left\{\begin{array}{cc}{L}_{i,j}\≤x_{i,j}\≤U_{i,j}& j=1\\ x_{i,j-1}+\frac{1}{2}(b_{i,j-1}+b_{i,j})\≤x_{i,j}\≤U_{i,j}& j=2,3,...n\end{array}\right.---\left(20\right)$

式中，L_i,j、U_i,j分别表示为x_i,j的上下极限值，b_i,j-1、b_i,j分别表示第i组第j-1个和第j个轴承的宽度；

目标函数：优化目标是提高电主轴结构的刚度，具体量化为使电主轴结构一阶固有频率最大化。由上述式(4)和式(5)可知一阶固有频率是刚度矩阵K的函数，而K又是各轴承坐标位置即设计变量x的函数，所以，目标函数表示为：

f＝f(x) (21)

在满足约束条件的情况下要求f取最大值，即：maxf＝maxf(x)。

本发明进一步的改进在于，所述步骤4)中，十进制遗传算法如下：

401)利用随机数生成方法确定包含z个个体的初始群体，具体表示为：

$x_{i,j}=\mathrm{\β}(x_{i,j}^U-x_{i,j}^L)+x_{i,j}^L---\left(22\right)$

式中，β是[0,1]上的随机数，分别是x_i,j的上下极限值，其具体取值同式(7)；

402)利用目标函数求得上述生成的每个个体对应的函数值，即为该个体的适应度值；

403)判断操作是否结束，在该遗传操作中，当遗传代数达到预先设置的总代数n_g时，操作结束，否则继续进行下一步；

404)利用轮盘赌算法从已有群体中选取个体组成新的交配池，其中，每个个体被选中的概率和步骤402)中计算得到的该个体适应度值成正比；

405)对交配池中个个体进行交叉操作产生子代，具体交叉操作方法可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1^{\′}={\mathrm{\βx}}_1+(1-\mathrm{\β})x_2\\ x_2^{\′}={\mathrm{\βx}}_2+(1-\mathrm{\β})x_1\end{array}\right.---\left(23\right)$

式中，β是[0,1]上的随机数，x₁，x₂表示进行交叉操作的个体，x₁′，x′₂表示交叉产生的子代；

406)对交叉后个体进行变异操作产生新一代群体，有两种交叉方法可以选择，被选取的个体进行交叉操作时随机利用其中一种方法进行交叉；

$x_k^{\′}=x_k+\mathrm{\Δ}(n,x_k^U-x_k)---\left(24\right)$

或

$x_k^{\′}=x_k-\mathrm{\Δ}(n,x_k-x_k^L)---\left(25\right)$

式中，分别是x_k的上下极限；Δ(n,y)定义为：

Δ(n,y)＝yβ(1-n/N)^b (26)

式中，β是[0,1]上的随机数，n是当前遗传代数，N是遗传代数最大值，b是一个常数；

407)根据步骤402)计算新一代群体的适应度值，循环其后操作。

与现有技术相比，本发明基于Timoshenko梁单元、转盘单元和Jones模型等建立了电主轴结构的动力学模型，考虑了离心力、陀螺力矩等因素，和实际工况更加接近，从而使模型更加准确；同时，该发明利用智能算法—遗传算法对电主轴上各轴承的位置进行了最优配置，使得电主轴结构一阶固有频率显著提高。

附图说明：

图1是Timoshenko梁单元；

图2是角接触球轴承受力分析；

图3是遗传算法流程图；

图4是某型号数控成型磨齿机电主轴。图中：1’、后端轴承；2’、转轴；3’、电机转子；4’、前段轴承；5’、砂轮；

图5是待优化电主轴结构划分；

图6是优化前后电主轴轴承配置：(a)优化前，(b)优化后。

具体实施方式：

结合实例对本发明的基于动力学模型和遗传算法的优化方法作进一步详细说明。

本发明实施实例采用如图4所示的某型号数控成型磨齿机电主轴。后端轴承1’背对背安装在转子2’的后端；前段轴承4’共四个，两两串联背对背安装；电机转子3’安装在前后端轴承之间；砂轮5’安装在主轴的悬伸端并固定。具体采用如下步骤对电主轴系统进行优化：

1)如图5所示，将电主轴结构划分为10段，其中2号段和7号段分别安装后端、前端轴承；4号段是电机转子所在部分；10号段是安装砂轮的悬伸端；3号、6号、8号段均为台阶结构。对每段再细分为若干单元，各段具体几何结构、单元划分及材料特性如表1所示。

表1电主轴单元划分及材料特性

由图4知，轴承型号为7013的两个轴承背对背安装在主轴2号段，轴承型号为7016的四个轴承两两串联背对背安装在主轴7号段。前后端两组轴承的参数如表2所示。

表2电主轴轴承参数

根据电主轴的几何结构及相关参数，建立电主轴结构的动力学方程。

2)根据步骤1)中建立的电主轴动力学方程求解出其一阶固有频率表达式。

3)确定优化的设计变量，建立约束条件，然后建立起目标函数。

设计变量：由以上电主轴结构可知，电主轴系统中有两组轴承，第一组(后端)有两个轴承，第二组(前段)有四个轴承，故设计变量为：

x＝(x_1,1 x_1,2 x_2,1 x_2,2 x_2,3 x_2,4) (27)

约束条件：考虑电主轴结构及轴承本身宽度的影响，六个轴承的坐标值的约束条件及其可移动区间如表3所示：

表3轴承位置约束

目标函数：以提高电主轴系统的刚度为目标，具体量化为一阶固有频率最大化。在本实例中以电主轴一阶固有频率在提高10％的基础上尽可能大为优化目标。目标函数可表示为：

f＝f(x_1,1 x_1,2 x_2,1 x_2,2 x_2,3 x_2,4) (28)

4)利用遗传算法，对上述目标函数进行求解，获得全局最优解，即求得使电主轴结构一阶固有频率最大的各轴承最佳配置位置。

利用遗传算法求解时，首先需要确定种群大小z，遗传代数n_g，交叉概率p_c，变异概率p_m的值。z值的最佳取值范围是[20,200]，p_c和p_m的最优取值范围分别是[0.6,1.0]和[0.005,0.01]。本实例中采用多种组合选取最优的方法进行分析。对z选取三个值，分别是50，100，150。对于p_c和p_m，分别选取0.7，0.8，0.9和0.005，0.01。至于遗传代数n_g，取其值为100。故而，对于(z,n_g,p_c,p_m)共有18种组合。分别求取这18种组合下电主轴系统的最大一阶固有频率，结果显示(z,n_g,p_c,p_m)＝(50,100,0.8,0.01)时电主轴系统的一阶固有频率值最大，为696.63Hz，相比原系统，其值增大了12.38％，实现了高刚性优化的目标。此时，六个轴承的坐标值分别为56mm，74mm，381mm，445mm，467mm和489mm。

优化前后轴承的坐标位置及对应电主轴系统的一阶固有频率如表4及图6a、图6b所示。

表4优化前后电主轴系统轴承配置及其一阶固有频率

Claims (5)

1.基于动力学模型和遗传算法的电主轴结构优化设计方法，其特征在于，包括下述步骤：

1)将电主轴的转子划分为若干梁单元，并利用Timoshenko梁单元建立转子的有限元模型，同时利用转盘单元建立电机转子的有限元模型；基于Jones模型，建立轴承模型；将转子、电机转子及轴承模型集成得到电主轴结构的动力学方程；

2)根据电主轴结构的动力学方程求得电主轴结构的一阶固有频率；

3)确定电主轴优化的设计变量，建立约束条件，然后基于步骤2)中所求一阶固有频率建立起目标函数；

4)利用遗传算法，对步骤3)中的目标函数进行求解，获得全局最优解，即求解出使步骤2)中所求电主轴结构一阶固有频率最大的各轴承最佳配置位置。

2.根据权利要求1所述的基于动力学模型和遗传算法的电主轴结构优化设计方法，其特征在于，所述步骤1)中，建立电主轴结构的有限元模型，获得其动力学方程，具体过程如下：

Timoshenko梁单元的有限元模型中，两个端面的中心点分别代表梁的两个节点，每个节点具有三个移动自由度和两个转动自由度，即：

q＝{δ_x,δ_y,δ_z,γ_y,γ_z}^T (1)

式中，δ_x,δ_y,δ_z分别表示x,y,z三个轴向的移动自由度，γ_y,γ_z分别表示绕y轴和z轴的自由度；

在忽略阻尼的情况下，梁单元的运动学方程为：

$M^b\stackrel{\·\·}{X}-{\mathrm{\ΩG}}^b\stackrel{\·}{X}+(K^b+K_P^b-{\mathrm{\Ω}}^2{M}_c^b)X=F^b---\left(2\right)$

式中，M^b是质量矩阵，Ω是转速，G^b是反对称的陀螺力矩矩阵，K^b是刚度矩阵，是轴向力引起的刚度矩阵，是计算离心力的质量矩阵，F^b是力向量；

同样，转盘单元的动力学方程表示为：

$M^d\stackrel{\·\·}{X}-{\mathrm{\ΩG}}^d\stackrel{\·}{X}=F^d---\left(3\right)$

式中，M^d是质量矩阵，Ω是转速，G^d是反对称的陀螺力矩矩阵，F^d是力向量；

高速旋转作用下，轴承内、外圈以及滚子之间的相对位置发生变化，把轴承视为“轴承单元”，把其内、外圈等效为两个节点，则内、外圈节点的自由度表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{q}_i={\{{\mathrm{\δ}}_{xi},{\mathrm{\δ}}_{yi},{\mathrm{\δ}}_{zi},{\mathrm{\γ}}_{yi},{\mathrm{\γ}}_{zi}\}}^T\\ q_o={\{{\mathrm{\δ}}_{xo},{\mathrm{\δ}}_{yo},{\mathrm{\δ}}_{zo},{\mathrm{\γ}}_{yo},{\mathrm{\γ}}_{zo}\}}^T\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中，δ_xi,δ_yi,δ_zi和δ_xo,δ_yo,δ_zo分别表示内、外圈节点在x,y,z三个轴向的移动自由度，γ_yi,γ_zi和γ_yo,γ_zo分别表示内、外圈节点绕y轴和z轴的自由度；

基于上述轴承模型，轴承刚度矩阵表示为：

$K_B=\frac{\∂F_i}{\∂q_i}=\frac{\∂F_o}{\∂q_o}---\left(2\right)$

式中，F_i和F_o分别为内外圈节点受到的合力；

集成上述转子、电机转子、轴承的模型，电主轴结构的运动学方程表示为：

$M\stackrel{\·\·}{X}+C\stackrel{\·}{X}+KX=F---\left(3\right)$

式中，M＝M^b+M^d是质量矩阵，C＝C^s-ΩG^b-ΩG^d是阻尼矩阵，C^s是结构阻尼，是刚度矩阵，F是外力向量。

3.根据权利要求1所述的基于动力学模型和遗传算法的电主轴结构优化设计方法，其特征在于，所述步骤2)中，在不考虑阻尼的情况下，求解电主轴结构动力学方程可得：

(M^-1K)Φ＝λΦ (4)

式中，Φ是特征向量，λ＝ω_n ²是特征值，ω_n是无阻尼固有频率；

考虑阻尼时，电主轴结构的阻尼固有频率表示为：

${\mathrm{\ω}}_d={\mathrm{\ω}}_n\sqrt{(1-{\mathrm{\ζ}}^2)}---\left(5\right)$

式中，ω_d是阻尼固有频率，是阻尼比，δ是对数衰减率。

4.根据权利要求1所述的基于动力学模型和遗传算法的电主轴结构优化设计方法，其特征在于，所述步骤3)中，确定优化的设计变量，建立约束条件，然后基于步骤2)中所求一阶固有频率建立起目标函数，具体过程如下：

设计变量：转子被划分为若干梁单元，电主轴上各轴承均配置在梁单元的节点处，以电主轴上各轴承的坐标位置为设计变量，即：

x＝(x_1,1 x_1,2 … x_2,1 x_2,2 … x_i,1 x_i,2 …) (6)

式中，x_i,j表示第i组轴承中的第j个轴承的坐标位置；

约束条件：各轴承坐标位置主要受到两种约束的限制，一类是电主轴结构的影响；另一类是轴承本身宽度的影响，即相邻两个轴承中线之间的距离不小于这两个轴承各自宽度的一半之和，即有：

$\left\{\begin{array}{cc}{L}_{i,j}\≤x_{i,j}\≤U_{i,j}& j=1\\ x_{i,j-1}+\frac{1}{2}(b_{i,j-1}+b_{i,j})\≤x_{i,j}\≤U_{i,j}& j=2,3,...n\end{array}\right.---\left(7\right)$

式中，L_i,j、U_i,j分别表示为x_i,j的上下极限值，b_i,j-1、b_i,j分别表示第i组第j-1个和第j个轴承的宽度；

目标函数：优化目标是提高电主轴结构的刚度，具体量化为使电主轴结构一阶固有频率最大化，由上述式(4)和式(5)可知一阶固有频率是刚度矩阵K的函数，而K又是各轴承坐标位置即设计变量x的函数，所以，目标函数表示为：

f＝f(x) (8)

在满足约束条件的情况下要求f取最大值，即：max f＝max f(x)。

5.根据权利要求1所述的基于动力学模型和遗传算法的电主轴结构优化设计方法，其特征在于，所述步骤4)中，十进制遗传算法如下：

401)利用随机数生成方法确定包含z个个体的初始群体，具体表示为：

$x_{i,j}=\mathrm{\β}(x_{i,j}^U-x_{i,j}^L)+x_{i,j}^L---\left(9\right)$

式中，β是[0,1]上的随机数，分别是x_i,j的上下极限值，其具体取值同式(7)；

402)利用目标函数求得上述生成的每个个体对应的函数值，即为该个体的适应度值；

403)判断操作是否结束，在该遗传操作中，当遗传代数达到预先设置的总代数n_g时，操作结束，否则继续进行下一步；

404)利用轮盘赌算法从已有群体中选取个体组成新的交配池，其中，每个个体被选中的概率和步骤402)中计算得到的该个体适应度值成正比；

405)对交配池中个个体进行交叉操作产生子代，具体交叉操作方法可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1^{\′}={\mathrm{\βx}}_1+(1-\mathrm{\β})x_2\\ x_2^{\′}={\mathrm{\βx}}_2+(1-\mathrm{\β})x_1\end{array}\right.---\left(10\right)$

式中，β是[0,1]上的随机数，x₁，x₂表示进行交叉操作的个体，x′₁，x′₂表示交叉产生的子代；

406)对交叉后个体进行变异操作产生新一代群体，有两种交叉方法可以选择，被选取的个体进行交叉操作时随机利用其中一种方法进行交叉；

$x_k^{\′}=x_k+\mathrm{\Δ}(n,x_k^U-x_k)---\left(11\right)$

或

$x_k^{\′}=x_k-\mathrm{\Δ}(n,x_k-x_k^L)---\left(12\right)$

式中，分别是x_k的上下极限；Δ(n,y)定义为：

Δ(n,y)＝yβ(1-n/N)^b (13)

式中，β是[0,1]上的随机数，n是当前遗传代数，N是遗传代数最大值，b是一个常数；

407)根据步骤402)计算新一代群体的适应度值，循环其后操作。