CN108549325A - 一种自由曲面弧长参数曲线加工轨迹生成方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种自由曲面弧长参数曲线加工轨迹生成方法。具体包括三大步骤：光滑连续特征曲面加工轨迹提取、给定精度参数曲线加工轨迹生成与加工轨迹弧长参数化；步骤(1)由计算机辅助制造软件(CAM)生成的加工轨迹，根据弦长特征进行分类，并提取出具有光滑连续特征的离散自由曲面加工轨迹；步骤(2)对步骤(1)提取得到的离散自由曲面加工轨迹在给定精度下进行拟合，得到满足几何表征精度要求的参数曲线加工轨迹；步骤(3)采用不断迭代弧长重参数化的方法对步骤(2)得到的参数曲线进行弧长重参数化，最终得到弧长参数曲线自由曲面加工轨迹。该方法降低了自由曲面加工中实时插补与速度规划的难度，提高了加工过程的光顺性与加工精度。

Description

一种自由曲面弧长参数曲线加工轨迹生成方法

技术领域

本发明属于数控加工技术领域，具体涉及一种自由曲面弧长参数轨迹生成方法。

背景技术

传统的自由曲面加工主要采用由计算机辅助制造软件(CAM)生成的大量离散小线段型轨迹，然后通过在线光顺与速度规划来实现。但是随着航空航天、汽车和船舶等领域的发展，对自由曲面零件如叶片、模具等的加工要求越来越高。但是由于在线实时计算量的严格控制使得传统的自由曲面加工方式不能实现很好的高速高精自由曲面加工，很难保证加工曲面的轮廓精度与表面质量，且加工效率较低。因此在自由曲面加工中，以高阶连续的参数曲线作为加工轨迹的自由曲面加工方法得到广泛的关注。但是采用参数曲线加工轨迹的自由曲面加工方法在生产实践中难以推广应用。主要的原因为：(1)由于曲线参数与曲线弧长一般不具有显函数关系，限制了采用参数曲线加工的速度规划与实时插补过程；(2)由于刀具轨迹规划的复杂性，很难由计算机辅助制造软件(CAM)直接生成参数曲线自由曲面加工轨迹。

已有公开技术解决自由曲面数控加工中遇到的问题，针对直接应用离散型小线段型自由曲面加工轨迹，文献(H.Zhao,L.M.Zhu,H.Ding,A real-time look-aheadinterpolation methodology with curvature-continuous B-spline transitionscheme for CNC machining of short line segments,International Journal ofMachine Tools and Manufacture 65(2013)88-98.)提出了在线光顺与速度规划方法。由于实时计算能力的限制，在线光顺与速度规划方法与采用参数曲线的自由曲面加工相比存在原理上劣势。为了解决采用参数曲线加工自由曲面面临的曲线参数与曲线弧长一般不具有显函数关系的问题。文献(Chen Z C,Khan M A.A new approach to generating arclength parameterized NURBS tool paths for efficient three-axis machining ofsmooth,accurate sculptured surfaces[J].International Journal of AdvancedManufacturing Technology,2014,70(5-8):1355-1368.)介绍了一种三轴弧长参数非均匀有理B样条(NURBS)加工轨迹生成方法，方便了在线实时插补与速度规划过程，但是该方法直接由曲面生成弧长参数化非均匀有理B样条(NURBS)加工轨迹，其算法复杂，计算时间较长。由于刀具轨迹规划的复杂性，自由曲面零件的加工轨迹一般为计算机辅助制造软件(CAM)生成的大量离散小线段。而在计算机辅助制造软件(CAM)生成的离散轨迹中，提取出具有光滑连续特征的曲面精加工阶段轨迹，然后转换成参数曲线引起了广大学者的关注。文献(Lin K Y,Ueng W D,Lai J Y.CNC codes conversion from linear and circularpaths to NURBS curves[J].International Journal of Advanced ManufacturingTechnology,2008,39(7-8):760-773.)研究了由小线段与圆弧构成的数控机床(CNC)加工轨迹转化成非均匀有理B样条(NURBS)的方法，但是由于非均匀有理B样条(NURBS)插补与速度规划的复杂性，生成的非均匀有理B样条(NURBS)曲线依然较难应用于生产实践。

发明内容

针对采用小线段曲面加工轨迹存在几何表征原理误差与一般参数曲线加工轨迹不存在曲线参数与弧长的显函数关系，本发明提供一种自由曲面弧长参数曲线加工轨迹生成方法。

本发明首先从计算机辅助制造软件(CAM)生成的轨迹中提取出具有光滑连续特征的曲面加工轨迹，然后采用弧长参数曲线对提取出的曲面加工轨迹进行表征。采用该方法避免了由曲面直接生成参数曲线加工轨迹的复杂计算，且生成的参数曲线加工轨迹为弧长参数，降低了实时插补计算与速度规划的难度，提高了自由曲面加工过程的光顺性与加工精度。

一种自由曲面弧长参数曲线加工轨迹生成方法适用于数控机床加工自由曲面，所述数控机床包括实时机床控制器与机床本体，所述机床本体包括工作台和X、Y与Z轴三个直线运动轴，操作步骤如下：

(1)光滑连续特征自由曲面加工轨迹提取

首先采用计算机辅助制造软件(CAM)对自由曲面零件进行加工轨迹规划，得到包含进退刀、粗加工与曲面连续精加工的离散小线段自由曲面加工轨迹，根据光滑连续特征对所述离散小线段型自由曲面加工轨迹进行分类，并提取出具有光滑连续特征的离散自由曲面加工轨迹段；

(2)给定精度的参数曲线自由曲面加工轨迹生成

在给定拟合精度下，采用参数曲线对所述具有光滑连续特征的离散自由曲面加工轨迹段进行三次B-spline拟合，得到满足拟合误差要求的参数曲线自由曲面加工轨迹，使其保证加工轨迹几何表征精度；

(3)参数曲线自由曲面加工轨迹的弧长重参数化

采用不断迭代弧长重参数化的方法对所述参数曲线自由曲面加工轨迹进行弧长重参数化，最终得到弧长参数曲线自由曲面加工轨迹；实现将所述具有光滑连续特征的离散自由曲面加工轨迹段转换成便于后续速度规划与实时插补的弧长参数曲线自由曲面加工轨迹。

进一步限定的具体操作步骤如下：

(1)光滑连续特征自由曲面加工轨迹提取

在所述包含进退刀、粗加工与曲面连续精加工的离散小线段自由曲面加工轨迹生成过程中，选择离散小线段自由曲面加工轨迹的各个相邻轨迹点之间的弦长作为特征变量，然后根据大数定律中的切比雪夫不等式对离散小线段型自由曲面加工轨迹进行分类，提取其中具有光滑连续特征的离散自由曲面加工轨迹段；

(2)给定精度的参数曲线自由曲面加工轨迹生成

以弦长参数为变量，对具有光滑连续特征的离散自由曲面加工轨迹进行参数化；采用三次B-spline对参数化的离散自由曲面精加工轨迹进行拟合，在拟合过程中，B-spline的节点向量采用给定精度的节点预测方法进行求取；得到待拟合B-spline的节点向量后，为了避免拟合过程中的龙格库塔现象，对原数据进行密化，最后采用最小二乘法对待拟合B-spline的控制点进行计算；得到满足拟合误差要求的参数曲线自由曲面加工轨迹；

(3)参数曲线自由曲面加工轨迹的弧长重参数化

(3.1)对参数曲线自由曲面加工轨迹进行离散采样；采样的原则为使采样点之间移动轴位置对弧长导数的变化一致；采用高斯求积公式对采样点与节点向量进行弧长重参数化；然后采用三次B-spline对弧长重参数化后的离散采样点进行拟合，节点向量继承重参数化后的弦长参数B-spline加工轨迹节点向量，控制点采用最小二乘法求解；最后得到初步弧长参数化自由曲面加工轨迹；

(3.2)对初步弧长参数化自由曲面加工轨迹进行迭代弧长重参数化，得到满足弧长参数化要求的参数曲线自由曲面加工轨迹；操作步骤为：首先根据弧长参数化标准，判断自由曲面加工轨迹B-spline曲线每个节点区间是否满足弧长参数化要求，若不满足弧长参数化标准，则通过不断插入节点、重参数化与判断，直至得到满足弧长参数化要求的弧长参数曲线型自由曲面加工轨迹；具体操作是根据增加节点后的节点向量对原数据进行密化，然后对增加节点后节点向量与密化后的原始数据进行弧长重参数化，并采用最小二乘法求解控制点，得到新的弧长参数曲线自由曲面加工轨迹，然后判断得到新的弧长参数曲线自由曲面加工轨迹是否满足弧长参数化要求；若满足弧长参数化标准，则得到弧长参数曲线自由曲面加工轨迹。

基于具体操作步骤进一步限定的技术方案如下：

所述步骤(1)中：由计算机辅助制造软件(CAM)生成的整体加工轨迹，对离散小线段自由曲面加工轨迹的各个相邻轨迹点之间的弦长样本进行统计，得到整体轨迹弦长的样本均值与样本方差

式(1)、(2)中，n表示整体加工轨迹弦长样本数量，X_i为弦长样本，为样本均值，S²为样本方差；所述整体轨迹弦长的样本是指所有具体弦长样本的集合；

根据样本数字特征的性质，弦长随机变量X的期望E(X)与方差D(X)可大概率的认为

根据自由曲面加工轨迹光滑连续特征，认为光滑连续的由曲面加工轨迹的弦长较均匀一致；且在自由曲面加工中，较短轨迹一般为被加工曲面曲率特征复杂处，所以接受弦长较短轨迹，而弦长较长轨迹认为不属于自由曲面精加工轨迹，所述弦长较短轨迹、所述弦长较长轨迹均是指具体各个相邻轨迹点之间的弦长样本；反之，如果一段自由曲面加工轨迹存在弦长较长轨迹，则认为该段轨迹不具有光滑连续特征；根据切比雪夫不等式与样本假设，当设置概率阈值为δ时，当存在自由曲面弦长随机变量X-E(X)大于时，认为该弦长样本为弦长较长轨迹，则根据自由曲面加工轨迹连续弦长特征，判定该段自由曲面加工轨迹不具有光滑连续特征，并将原整段轨迹在小概率弦长处进行分段；根据每段轨迹点数量，剔除掉轨迹点数量较少的轨迹段，保留轨迹点数较多的轨迹段，然后继续采用切比雪夫不等式进行判定与分段；当一段轨迹不存在弦长较长的随机变量且轨迹点数量较大时，可以认为该段轨迹的弦长特征均匀一致，则该段轨迹为具有光滑连续特征的离散自由曲面加工轨迹段。

所述步骤(2)中，具体计算过程如下：

设由步骤(1)得到的具有光滑连续特征的离散自由曲面加工轨迹段为：

(X,Y,Z)_i,i＝1,2,3…

对具有光滑连续特征的整段轨迹进行弦长参数化，每个轨迹点的参数为该轨迹点相对于初始轨迹点的总弦长:

式(4)中，u_i为初步弦长参数化的轨迹点i处曲线参数；

对于三次B-spline拟合经弦长参数化后的离散自由曲面加工轨迹，其节点区间拟合误差可以采用下式进行估计：

式(5)中ε为估计的三次B-spline拟合误差，为运动轴变量(X,Y,Z)相对于弦长参数三次导数中的最大值组成的向量，为运动轴变量(X,Y,Z)相对于弦长参数三次导数中的最小值组成的向量，Δu为拟合三次B-spline的节点区间；

根据估计的拟合误差ε，在给定误差δ下，节点向量的确定算法如下：

步骤a：给定节点向量第一个节点值为初始轨迹点U₁＝u₁，i＝1，j＝1；

步骤b：i＝i+1，并判断i是否等于原离散数据数量，如果相等转至步骤d；不相等时，顺序执行步骤c；

步骤c：计算区间[U_j,u_i]三次B-spline拟合误差ε，并判断ε是否大于等于给定拟合误差δ，如果满足ε≥δ，则确定下一个节点向量为U_j+1＝u_i且j＝j+1；转至步骤b；

步骤d：令节点向量U_j+1等于原数据终点参数，结束节点向量计算；

节点向量确定后，为了避免拟合过程中的龙格库塔现象，需要判定得到的B-spline曲线节点向量区间的原数据数量是否小于B-spline的次数；如果存在节点向量区间原数据数量小于B-spline的次数，则根据原数据采用线性插值的方式对原数据进行密化；

根据密化后的数据以及求得的节点向量，采用最小二乘法求取B-spline加工轨迹控制顶点，得到满足拟合误差要求的参数曲线自由曲面加工轨迹。

所述步骤(3.1)中，对参数曲线自由曲面加工轨迹进行离散采样并进行初步弧长重参数化的具体算法如下：

首先根据弦长参数曲线B-spline自由曲面加工轨迹进行离散采样，离散采样的原则为使采样点之间各个移动轴位置对弧长导数的变化一致；具体判定方法为：

对于采样点i与i+1点，其参数值分别为u_i与u_i+1，则在采样点之间移动轴位置对弧长的最大变化为：

式(6)中，dP/ds为各轴位置相对于曲线弧长的导数，为三维向量；根据采样点之间移动轴位置对弧长的变化Δ_dp/ds，给定恒定变化量δ，使得每个采样点之间满足Δ_dp/ds＝δ；具体求解过程采用迭代法求解：

步骤I：设参数曲线初始点为第一个离散采样点u₁，并给出迭代步长Δu，迭代计数i＝1；

步骤II：令a＝u_i，b＝u_i+Δu；判断b是否大于等于参数曲线终点参数值，若满足则设u_i+1为曲线终点参数值，采样分点结束，跳出循环；若不满足执行步骤III；

步骤III：求取a点与b点之间的Δ_dp/ds，判断若满足，则i＝i+1,Δu＝b-a,返回步骤II；若不满足，计算步骤IV；

步骤IV：若Δ_dp/ds＜δ，则循环执行a＝b,b＝b+Δu，直到Δ_dp/ds＞δ或若Δ_dp/ds＞δ，则b＝(a+b)/2，Δu＝b-a；返回步骤III；

得到按照各个移动轴位置对弧长导数变化一致性分布的采样点后，对采样点与参数曲线自由曲面加工轨迹B-spline曲线节点向量进行弧长重参数，弧长采用高斯求积公式进行数值求解；根据重参数化后的节点向量，计算B-spline曲线控制顶点，得到初步弧长参数化自由曲面加工轨迹。

所述步骤(3.2)中，对初步弧长参数化自由曲面加工轨迹进行迭代弧长重参数化的具体操作过程如下：

首先判定初步弧长参数化自由曲面加工轨迹是否满足弧长参数化要求；弧长参数化曲线的判定准则采用弧长对曲线参数导数(即ds/du)与数值1的接近程度；在给定误差δ下，对每个节点区间是否满足max(ds/du-1)≤δ进行判定；若得到的弧长参数B-spline曲线加工轨迹每个节点区间都满足要求，则停止迭代，得到满足弧长参数化要求的参数曲线自由曲面加工轨迹；

若存在节点区间不满足要求，则在该区间插入新的节点，新插入节点的数量可以采用不大于的整数，并采用均布方式对新插入的节点进行分布；得到新的节点向量后，判断B-spline曲线每个节点区间待拟合原数据量是否大于拟合B-spline次数，如果不满足，则根据原始曲线与节点区间密化原数据；然后对插入节点后的节点向量与待拟合原数据采用高斯求积公式进行弧长重参数化，并用最小二乘法得到待拟合B-spline控制点，从而得到更新后的弧长参数B-spline曲线加工轨迹；然后判断得到的弧长参数曲线自由曲面加工轨迹是否满足弧长参数化要求；若满足弧长参数化要求，则得到弧长参数曲线型自由曲面加工轨迹；若不满足，则通过不断插入节点、重参数化与判断，直至得到满足弧长参数化要求的弧长参数曲线自由曲面加工轨迹。

本发明的有益技术效果体现在以下方面：

(1)本发明避免了由曲面直接生成参数曲线加工轨迹的复杂计算，且生成的参数曲线加工轨迹为弧长参数，降低了实时插补计算与速度规划的难度，提高了自由曲面加工过程的光顺性与加工精度。避免了由采用离散自由曲面加工轨迹的几何原理误差导致的加工过程不光顺，加工精度较低的问题。

(2)采用本发明的自由曲面加工轨迹生成方法，避免了采用常规参数曲线加工轨迹导致的速度规划与实时插补复杂计算的问题，提高了实时计算的鲁棒性。

(3)本发明采用弦长参数拟合与弧长重参数化的方法得到弧长参数自由曲面参数曲线加工轨迹，既保证了拟合几何精度又能使弧长参数化满足要求。

(4)在弦长参数化过程中，采用给定精度的节点预测方法，根据原数据高阶特征分布节点，提高了拟合精度，降低了拟合所需数据量。

附图说明

图1为为本发明流程图。

图2为由计算机辅助制造软件(CAM)生成的实施例——自由曲面零件义齿整体加工路径示意图。

图3为实施例义齿整体加工轨迹弦长参数图。

图4为义齿整体加工轨迹分段一次后弦长参数图1。

图5为义齿整体加工轨迹分段一次后弦长参数图2。

图6为具有光滑连续特征的自由曲面精加工轨迹段1弦长参数图。

图7为具有光滑连续特征的自由曲面精加工轨迹段2弦长参数图。

图8为具有光滑连续特征的自由曲面精加工轨迹段1路径图。

图9为具有光滑连续特征的自由曲面精加工轨迹段2路径图。

图10为自由曲面精加工轨迹段1弦长参数拟合图。

图11为自由曲面精加工轨迹段2弦长参数拟合图。

图12为自由曲面精加工轨迹段1弦长参数拟合误差图。

图13为自由曲面精加工轨迹段2弦长参数拟合误差图。

图14为弦长参数自由曲面精加工轨迹段1弧长对参数导数图。

图15为弦长参数自由曲面精加工轨迹段2弧长对参数导数图。

图16为弧长参数自由曲面精加工轨迹段1弧长对参数导数图。

图17为弧长参数自由曲面精加工轨迹段2弧长对参数导数图。

图18为采用本发明生成的自由曲面精加工轨迹加工义齿零件结果图。

具体实施方式

下面结合附图，通过实施例对本发明作进一步地描述。

以下实施例将有助于本领域的技术人员进一步理解本发明，但不以任何形式限制本发明。应当指出的是，对本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进。这些都属于本发明的保护范围。以下结合附图对本发明的实施详细说明，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。

如图1所示，采用该发明由离散自由曲面加工轨迹转换为弧长参数曲线加工轨迹的生成方法的具体流程包括：首先根据机床与刀具结构以及被加工自由曲面零件，采用商用计算机辅助制造软件(CAM)规划包含进退刀、粗加工以及精加工的混合小线段型加工轨迹。然后基于弦长特征对具有光滑连续特征的自由曲面加工轨迹进行提取。分类提取的方法采用基于大数定律中的切比雪夫不等式对弦长较长轨迹进行提取与分段，最终得到具有光滑连续特征的自由曲面离散加工轨迹。得到该离散轨迹后，首先对离散点数据进行弦长参数化，然后采用三次B-spline对其进行拟合，保证拟合的几何精度。三次B-spline的节点向量采用给定精度的节点向量预测方法根据原数据的高阶特性求得，控制顶点采用最小二乘法取得。得到弦长参数化的曲线型自由曲面加工轨迹后，采用不断迭代弧长重参数化的方法求得满足弧长参数化要求的B-spline曲线型自由曲面加工轨迹。迭代过程为对每一个B-spline曲线节点区间的弧长参数化进行评判，如果存在不满足弧长参数化要求的节点区间，则在该区间增加节点，直至所有B-spline节点区间都满足弧长参数化要求。

实施例：

本实施例所使用数控机床为三轴立式铣床，机床本体包括工作台和X、Y与Z三个直线运动轴。

自由曲面弧长参数曲线加工轨迹生成的具体操作步骤如下：

(1)光滑连续特征自由曲面加工轨迹提取

如图2所示由计算机辅助制造软件(CAM)生成的包含粗加工、进退刀以及精加工轨迹的义齿小线段加工轨迹，首先根据小线段离散轨迹相邻轨迹点之间的弦长特征对整体加工轨迹进行分类。对弦长样本进行统计，得到整体轨迹弦长样本的样本均值与样本方差

式(1)、(2)中，n表示整体加工轨迹弦长样本数量，X_i为弦长样本，为样本均值，S²为样本方差；所述整体轨迹弦长的样本是指所有具体弦长样本的集合；

根据样本数字特征的性质，弦长随机变量X的期望E(X)与方差D(X)可大概率的认为：

根据自由曲面加工轨迹光滑连续特征，认为光滑连续的由曲面加工轨迹的弦长较均匀一致；且在自由曲面加工中，较短轨迹一般为被加工曲面曲率特征复杂处，所以接受弦长较短轨迹，而弦长较长轨迹认为不属于自由曲面精加工轨迹，所述弦长较短轨迹、所述弦长较长轨迹均是指具体各个相邻轨迹点之间的弦长样本；反之，如果一段自由曲面加工轨迹存在弦长较长轨迹，则认为该段轨迹不具有光滑连续特征。

根据切比雪夫不等式，根据随机变量X的数学期望E(X)和方差D(X)，则对任意的ε＞0，总有

式(4)中，P{|X-E(X)|≥ε}为弦长随机变量X-E(X)大于ε的概率；

当设置概率阈值为δ＝2％时，如果存在弦长随机变量X-E(X)大于时，认为存在弦长较长随机变量，则可认定该段轨迹为不具有光滑连续特征。因此将原整段轨迹在弦长较长处进行分段，然后根据每段轨迹点数量，剔除掉轨迹点数量较少的轨迹段，保留轨迹点数较多的轨迹段，继续采用切比雪夫不等式进行判定与分段。直至存在一段轨迹不存在弦长较长随机变量且轨迹点数量较大时，可以认为该段轨迹的弦长特征均匀一致，则该段轨迹为具有光滑连续特征的自由曲面加工轨迹。

图3为图2整体轨迹的弦长分布图，图3中也给出了该段轨迹所求的样本均值、样本方差以及较长弦长阈值。根据数字特征与弦长样本，整体轨迹不具有光滑连续特征，根据所提方法，在轨迹弦长较长处进行分段，然后继续采用上述方法进行循环迭代寻找，直至发现具有光滑连续特征的离散自由曲面加工轨迹。图4与图5为整体轨迹分段后，采样点数较多的两段轨迹的弦长分布图，根据本发明方法，对这两段轨迹继续进行判定，依然存在弦长较长轨迹点，则需要继续分段与判定。图6与图7为最终得到具有光滑连续特征的自由曲面精加工轨迹段的弦长分布图，从图中可以发现轨迹弦长均匀一致。图8与图9为该段轨迹的空间路径图，从图中可以看出该段轨迹具有光滑连续的特征。

(2)给定精度的参数曲线自由曲面加工轨迹生成

对如图8和9所示的由步骤(1)提取得到的具有光滑连续特征的自由曲面加工离散点轨迹整段轨迹进行弦长参数化，每个轨迹点的参数为该轨迹点相对于初始轨迹点的总弦长:

式(5)中，u_i为初步弦长参数化的轨迹点i处曲线参数；

对于三次B-spline拟合经弦长参数化后的离散自由曲面加工轨迹，其拟合误差可以采用下式进行估计：

式(6)中ε为估计的三次B-spline拟合误差，为运动轴变量(X,Y,Z)相对于弦长参数三次导数中的最大值组成的向量，为运动轴变量(X,Y,Z)相对于弦长参数三次导数中的最小值组成的向量，Δu为拟合三次B-spline的节点区间；

根据估计的拟合误差ε，在给定误差δ下，节点向量的确定算法如下：

步骤a：给定节点向量第一个节点值为初始轨迹点U₁＝u₁，i＝1，j＝1；

步骤b：i＝i+1，并判断i是否等于原离散数据数量，如果相等转至步骤d；不相等时，顺序执行步骤c；

步骤c：计算区间[U_j,u_i]三次B-spline拟合误差ε，并判断ε是否大于等于给定拟合误差δ，如果满足ε≥δ，则确定下一个节点向量为U_j+1＝u_i且j＝j+1；转至步骤b；

步骤d：令节点向量U_j+1等于原数据终点参数，结束节点向量计算。

节点向量确定后，为了避免拟合过程中的龙格库塔现象，需要判定得到的B-spline节点向量区间的原数据数量是否小于B-spline的次数。如果存在节点向量区间原数据数量小于B-spline的次数，则根据原数据采用线性插值的方式对原数据进行密化。

根据密化后的数据以及求得的节点向量，采用最小二乘法求取B-spline控制顶点，从而得到参数曲线B-spline自由曲面加工轨迹。

图10与图11为采用该步骤根据图8与图9轨迹点生成的参数曲线轨迹图，图12与图13为拟合曲线的误差图。根据图中给出的拟合误差可以说明本发明提出的给定精度的三次B-spline拟合方法能够满足误差要求，能够保证得到的参数曲线加工轨迹的几何表征准确性。

(3)参数曲线自由曲面加工轨迹的弧长重参数化

图14与图15为图10与图11弦长参数化加工轨迹的弧长对曲线参数导数(即ds/du)，从图中可以看出，ds/du与数值1的偏离程度较大，不满足弧长参数化加工轨迹的标准。因此需要对图10与图11所示的加工轨迹进行弧长参数化。

3.1对两段轨迹进行离散采样并进行初步弧长重参数化的具体算法如下：

首先根据弦长参数B-spline轨迹进行离散采样，离散采样的原则为使得采样点之间各个移动轴位置对弧长导数的变化一致。具体判定公式为：

对于采样点i与i+1点，其参数值分别为u_i与u_i+1，则在采样点之间移动轴位置对弧长导数的最大变化为：

式(7)中，dP/ds为各轴位置相对于曲线弧长的导数，为三维向量。根据采样点之间移动轴位置对弧长的变化Δ_dp/ds，给定恒定变化量δ，使得每个采样点之间满足Δ_dp/ds＝δ。具体求解过程采用迭代法求解：

步骤I：设参数曲线初始点为第一个离散采样点u₁，并给出迭代步长Δu，迭代计数i＝1；

步骤II：令a＝u_i，b＝u_i+Δu；判断b是否大于等于参数曲线终点参数值，若满足则设u_i+1为曲线终点参数值，采样分点结束，跳出循环；若不满足执行步骤III；

步骤III：求取a点与b点之间的Δ_dp/ds，判断若满足，则u_i+1＝b,i＝i+1,Δu＝b-a,返回步骤II；若不满足，计算步骤IV；

步骤IV：若Δ_dp/ds＜δ，则循环执行a＝b,b＝b+Δu，直到Δ_dp/ds＞δ或若Δ_dp/ds＞δ，则b＝(a+b)/2，Δu＝b-a；返回步骤III。

得到按照各个移动轴位置对弧长导数的变化一致性分布的采样点后，对采样点与三次弦长参数B-spline节点向量进行弧长重参数，弧长参数采用高斯求积公式进行数值求解。根据重参数化后的B-spline节点向量，计算控制顶点，得到初步弧长参数化的B-spline自由曲面加工轨迹。

3.2采用迭代重参数化的方法，得到满足弧长参数化要求的B-spline曲面加工轨迹的具体迭代过程如下：

首先判定得到的弧长参数化B-spline加工轨迹是否满足弧长参数化要求。弧长参数化曲线的判定准则采用弧长对曲线参数导数(即ds/du)与数值1的接近程度。在给定误差δ下，对每个B-spline节点区间是否满足max(|ds/du-1|)≤δ进行判定。若得到的B-spline曲线每个节点区间都满足要求，则停止迭代，得到满足弧长参数化要求的弧长参数B-spline曲线自由曲面加工轨迹。

若存在节点区间不满足要求，则在该区间插入新的节点，新插入节点的数量可以采用不大于的整数，并采用均布方式对新插入的节点进行分布。得到新的节点向量后，判断B-spline曲线每个节点区间待拟合原数据量是否大于拟合B-spline次数，如果不满足，则根据原始曲线与节点区间密化原数据。然后对插入节点后的节点向量与待拟合原数据采用高斯求积公式进行弧长重参数化，并用最小二乘法得到待拟合B-spline控制顶点，从而得到更新后的弧长参数B-spline曲线加工轨迹。然后判断得到新的弧长参数曲线自由曲面加工轨迹是否满足弧长参数化要求；若满足弧长参数化要求，则得到弧长参数曲线型自由曲面加工轨迹；若不满足，则通过不断插入节点、重参数化与判断，直至得到满足弧长参数化要求的弧长参数曲线型自由曲面加工轨迹。

图16为图10所示轨迹经弧长参数化后弧长对曲线参数导数ds/du，从图中可以看出ds/du与数值1的绝对值误差在5％的范围内，满足弧长参数化要求。图17为图11所示轨迹经弧长参数化后弧长对曲线参数导数ds/du，从图中可以看出ds/du与数值1的绝对值误差在5％的范围内，满足弧长参数化要求。图18为采用本发明方法加工出自由曲面零件义齿的牙冠面与牙根面图，从图中可以看出本发明能够实际应用于自由曲面加工。

以上对本发明的具体实施例进行了描述。需要理解的是，本发明并不局限于上述特定实施方式，本领域技术人员可以在权利要求的范围内做出各种变形或修改，这并不影响本发明的实质内容。

Claims (6)

1.一种自由曲面弧长参数曲线加工轨迹生成方法，适用于数控机床加工自由曲面，所述数控机床包括实时机床控制器与机床本体，所述机床本体包括工作台和三个运动轴，其特征在于操作步骤如下：

(1)光滑连续特征自由曲面加工轨迹提取

首先采用计算机辅助制造软件(CAM)对自由曲面零件进行加工轨迹规划，得到包含进退刀、粗加工与曲面连续精加工的离散小线段自由曲面加工轨迹，根据光滑连续特征对所述离散小线段型自由曲面加工轨迹进行分类，并提取出具有光滑连续特征的离散自由曲面加工轨迹段；

(2)给定精度的参数曲线自由曲面加工轨迹生成

在给定拟合精度下，采用参数曲线对所述具有光滑连续特征的离散自由曲面加工轨迹段进行三次B-spline拟合，得到满足拟合误差要求的参数曲线自由曲面加工轨迹，使其保证加工轨迹几何表征精度；

(3)参数曲线自由曲面加工轨迹的弧长重参数化

采用不断迭代弧长重参数化的方法对所述参数曲线自由曲面加工轨迹进行弧长重参数化，最终得到弧长参数曲线自由曲面加工轨迹；实现将所述具有光滑连续特征的离散自由曲面加工轨迹段转换成便于后续速度规划与实时插补的弧长参数曲线自由曲面加工轨迹。

2.根据权利要求1所述的一种自由曲面弧长参数曲线加工轨迹生成方法，其特征在于具体操作步骤如下：

(1)光滑连续特征自由曲面加工轨迹提取

在所述包含进退刀、粗加工与曲面连续精加工的离散小线段自由曲面加工轨迹生成过程中，选择离散小线段自由曲面加工轨迹的各个相邻轨迹点之间的弦长作为特征变量，然后根据大数定律中的切比雪夫不等式对离散小线段型自由曲面加工轨迹进行分类，提取其中具有光滑连续特征的离散自由曲面加工轨迹段；

(2)给定精度的参数曲线自由曲面加工轨迹生成

以弦长参数为变量，对具有光滑连续特征的离散自由曲面加工轨迹进行参数化；采用三次B-spline对参数化的离散自由曲面精加工轨迹进行拟合，在拟合过程中，B-spline的节点向量采用给定精度的节点预测方法进行求取；得到待拟合B-spline的节点向量后，为了避免拟合过程中的龙格库塔现象，对原数据进行密化，最后采用最小二乘法对待拟合B-spline的控制点进行计算；得到满足拟合误差要求的参数曲线自由曲面加工轨迹；

(3)参数曲线自由曲面加工轨迹的弧长重参数化

(3.1)对参数曲线自由曲面加工轨迹进行离散采样；采样的原则为使采样点之间移动轴位置对弧长导数的变化一致；采用高斯求积公式对采样点与节点向量进行弧长重参数化；然后采用三次B-spline对弧长重参数化后的离散采样点进行拟合，节点向量继承重参数化后的弦长参数B-spline加工轨迹节点向量，控制点采用最小二乘法求解；最后得到初步弧长参数化自由曲面加工轨迹；

(3.2)对初步弧长参数化自由曲面加工轨迹进行迭代弧长重参数化，得到满足弧长参数化要求的参数曲线自由曲面加工轨迹；操作步骤为：首先根据弧长参数化标准，判断自由曲面加工轨迹B-spline曲线每个节点区间是否满足弧长参数化要求，若不满足弧长参数化标准，则通过不断插入节点、重参数化与判断，直至得到满足弧长参数化要求的弧长参数曲线型自由曲面加工轨迹；具体操作是根据增加节点后的节点向量对原数据进行密化，然后对增加节点后节点向量与密化后的原始数据进行弧长重参数化，并采用最小二乘法求解控制点，得到新的弧长参数曲线自由曲面加工轨迹，然后判断得到新的弧长参数曲线自由曲面加工轨迹是否满足弧长参数化要求；若满足弧长参数化标准，则得到弧长参数曲线自由曲面加工轨迹。

3.根据权利要求2所述的一种自由曲面弧长参数曲线加工轨迹生成方法，其特征在于：所述步骤(1)中：

由计算机辅助制造软件(CAM)生成的整体加工轨迹，对离散小线段自由曲面加工轨迹的各个相邻轨迹点之间的弦长样本进行统计，得到整体轨迹弦长的样本均值与样本方差

式(1)、(2)中，n表示整体加工轨迹弦长样本数量，X_i为弦长样本，为样本均值，S²为样本方差；所述整体轨迹弦长的样本是指所有具体弦长样本的集合；

根据样本数字特征的性质，弦长随机变量X的期望E(X)与方差D(X)可大概率的认为

根据自由曲面加工轨迹光滑连续特征，认为光滑连续的由曲面加工轨迹的弦长较均匀一致；且在自由曲面加工中，较短轨迹一般为被加工曲面曲率特征复杂处，所以接受弦长较短轨迹，而弦长较长轨迹认为不属于自由曲面精加工轨迹，所述弦长较短轨迹、所述弦长较长轨迹均是指具体各个相邻轨迹点之间的弦长样本；反之，如果一段自由曲面加工轨迹存在弦长较长轨迹，则认为该段轨迹不具有光滑连续特征；根据切比雪夫不等式与样本假设，当设置概率阈值为δ时，当存在自由曲面弦长随机变量X-E(X)大于时，认为该弦长样本为弦长较长轨迹，则根据自由曲面加工轨迹连续弦长特征，判定该段自由曲面加工轨迹不具有光滑连续特征，并将原整段轨迹在小概率弦长处进行分段；根据每段轨迹点数量，剔除掉轨迹点数量较少的轨迹段，保留轨迹点数较多的轨迹段，然后继续采用切比雪夫不等式进行判定与分段；当一段轨迹不存在弦长较长的随机变量且轨迹点数量较大时，可以认为该段轨迹的弦长特征均匀一致，则该段轨迹为具有光滑连续特征的离散自由曲面加工轨迹段。

4.根据权利要求2所述的一种自由曲面弧长参数曲线加工轨迹生成方法，其特征在于：所述步骤(2)中，具体计算过程如下：

设由步骤(1)得到的具有光滑连续特征的离散自由曲面加工轨迹段为：

(X,Y,Z)_i,i＝1,2,3…

对具有光滑连续特征的整段轨迹进行弦长参数化，每个轨迹点的参数为该轨迹点相对于初始轨迹点的总弦长:

式(4)中，u_i为初步弦长参数化的轨迹点i处曲线参数；

对于三次B-spline拟合经弦长参数化后的离散自由曲面加工轨迹，其节点区间拟合误差可以采用下式进行估计：

式(5)中ε为估计的三次B-spline拟合误差，为运动轴变量(X,Y,Z)相对于弦长参数三次导数中的最大值组成的向量，为运动轴变量(X,Y,Z)相对于弦长参数三次导数中的最小值组成的向量，Δu为拟合三次B-spline的节点区间；

根据估计的拟合误差ε，在给定误差δ下，节点向量的确定算法如下：

步骤a：给定节点向量第一个节点值为初始轨迹点U₁＝u₁，i＝1，j＝1；

步骤b：i＝i+1，并判断i是否等于原离散数据数量，如果相等转至步骤d；不相等时，顺序执行步骤c；

步骤c：计算区间[U_j,u_i]三次B-spline拟合误差ε，并判断ε是否大于等于给定拟合误差δ，如果满足ε≥δ，则确定下一个节点向量为U_j+1＝u_i且j＝j+1；转至步骤b；

步骤d：令节点向量U_j+1等于原数据终点参数，结束节点向量计算；

节点向量确定后，为了避免拟合过程中的龙格库塔现象，需要判定得到的B-spline曲线节点向量区间的原数据数量是否小于B-spline的次数；如果存在节点向量区间原数据数量小于B-spline的次数，则根据原数据采用线性插值的方式对原数据进行密化；

根据密化后的数据以及求得的节点向量，采用最小二乘法求取B-spline加工轨迹控制顶点，得到满足拟合误差要求的参数曲线自由曲面加工轨迹。

5.根据权利要求2所述的一种自由曲面弧长参数曲线加工轨迹生成方法，其特征在于：所述步骤(3.1)中，对参数曲线自由曲面加工轨迹进行离散采样并进行初步弧长重参数化的具体算法如下：

首先根据弦长参数曲线B-spline自由曲面加工轨迹进行离散采样，离散采样的原则为使采样点之间各个移动轴位置对弧长导数的变化一致；具体判定方法为：

对于采样点i与i+1点，其参数值分别为u_i与u_i+1，则在采样点之间移动轴位置对弧长的最大变化为：

式(6)中，dP/ds为各轴位置相对于曲线弧长的导数，为三维向量；根据采样点之间移动轴位置对弧长的变化Δ_dp/ds，给定恒定变化量δ，使得每个采样点之间满足Δ_dp/ds＝δ；具体求解过程采用迭代法求解：

步骤I：设参数曲线初始点为第一个离散采样点u₁，并给出迭代步长Δu，迭代计数i＝1；

步骤II：令a＝u_i，b＝u_i+Δu；判断b是否大于等于参数曲线终点参数值，若满足则设u_i+1为曲线终点参数值，采样分点结束，跳出循环；若不满足执行步骤III；

步骤III：求取a点与b点之间的Δ_dp/ds，判断若满足，则i＝i+1,Δu＝b-a,返回步骤II；若不满足，计算步骤IV；

步骤IV：若Δ_dp/ds＜δ，则循环执行a＝b,b＝b+Δu，直到Δ_dp/ds＞δ或若Δ_dp/ds＞δ，则b＝(a+b)/2，Δu＝b-a；返回步骤III；

得到按照各个移动轴位置对弧长导数变化一致性分布的采样点后，对采样点与参数曲线自由曲面加工轨迹B-spline曲线节点向量进行弧长重参数，弧长采用高斯求积公式进行数值求解；根据重参数化后的节点向量，计算B-spline曲线控制顶点，得到初步弧长参数化自由曲面加工轨迹。

6.根据权利要求2所述的一种自由曲面弧长参数曲线加工轨迹生成方法，其特征在于：所述步骤(3.2)中，对初步弧长参数化自由曲面加工轨迹进行迭代弧长重参数化的具体操作过程如下：

首先判定初步弧长参数化自由曲面加工轨迹是否满足弧长参数化要求；弧长参数化曲线的判定准则采用弧长对曲线参数导数(即ds/du)与数值1的接近程度；在给定误差δ下，对每个节点区间是否满足max(|ds/du-1|)≤δ进行判定；若得到的弧长参数B-spline曲线加工轨迹每个节点区间都满足要求，则停止迭代，得到满足弧长参数化要求的参数曲线自由曲面加工轨迹；

若存在节点区间不满足要求，则在该区间插入新的节点，新插入节点的数量可以采用不大于的整数，并采用均布方式对新插入的节点进行分布；得到新的节点向量后，判断B-spline曲线每个节点区间待拟合原数据量是否大于拟合B-spline次数，如果不满足，则根据原始曲线与节点区间密化原数据；然后对插入节点后的节点向量与待拟合原数据采用高斯求积公式进行弧长重参数化，并用最小二乘法得到待拟合B-spline控制点，从而得到更新后的弧长参数B-spline曲线加工轨迹；然后判断得到的弧长参数曲线自由曲面加工轨迹是否满足弧长参数化要求；若满足弧长参数化要求，则得到弧长参数曲线型自由曲面加工轨迹；若不满足，则通过不断插入节点、重参数化与判断，直至得到满足弧长参数化要求的弧长参数曲线自由曲面加工轨迹。