CN107832268A - 一种基于噪声增强的线性最小均方误差估计方法 - Google Patents

一种基于噪声增强的线性最小均方误差估计方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于噪声增强的线性最小均方误差估计方法。属于信号处理领域。它是一种将噪声增强和线性最小均方误差估计方法相结合的线性估计方法。首先给非线性系统输入信号加入与之独立的加性噪声，经过非线性系统后获得加噪后非线性系统输出信号，然后利用所述非线性系统输出信号对输入参数进行线性最小均方误差估计，建立噪声增强参数估计模型，最后求解该模型下的最优加性噪声，并获取最优加性噪声下的参数估计。本发明将噪声增强与线性最小均方误差估计方法相结合，通过给非线性系统输入加入噪声，达到了使系统输出信号对输入参数进行线性估计时产生的最小均方误差进一步减小的目的。

Description

一种基于噪声增强的线性最小均方误差估计方法
技术领域
本发明属于信号处理领域，具体涉及噪声增强和线性最小均方误差估计。
背景技术
噪声无处不在，理解和掌握噪声的分布和性能是一个非常重要的问题。在经典信号处理中，噪声被视为不需要的信号或是对系统的干扰。系统中噪声越多会导致信道容量越小，从而使得检测性能和估计精度都有所下降。然而，噪声对系统的影响并不都是负面的，在一定条件下，噪声可以通过非线性系统对信号和系统起到积极的增强作用，被称为噪声增强现象。随着近年来对噪声增强的深入探索和应用研究，噪声增强在信号检测及估计问题中所发挥的重要作用获得越来越多的重视和肯定。线性最小均方误差估计方法是使被估计参数与估计值之间均方误差最小的线性估计方法，但并不是使得均方误差最小的估计方法。因此，线性估计性能存在有进一步改善的可能性。基于噪声增强理论研究可知，给非线性系统加入合适的噪声，可减小对参数进行线性估计后的误差。
发明内容
本发明的目的是在现有线性最小均方误差估计方法的基础上，结合噪声增强原理，提出一种基于噪声增强的线性最小均方误差估计方法，通过给非线性系统的输入信号加入噪声，降低系统输出对输入参数进行线性估计时产生的最小均方误差。
本发明具体包括以下步骤：
(1)建立噪声增强参数估计模型：
非线性系统输入信号x＝θ+v，其中θ为需要估计的输入参数，θ的值由其概率密度函数pθ(θ)确定，v表示背景噪声，其概率密度函数为pv(v)。
给非线性系统的输入信号x加入与之独立的加性噪声n，其中n服从概率密度函数为pn(n)的分布；经过非线性系统后，获得噪声修正非线性系统的输出信号为y＝T(x+n)，其中T(·)表示非线性系统的传递函数；利用所述非线性系统输出信号y对输入参数θ进行线性最小均方误差估计可表示为：
其中E(θ)表示输入参数θ的期望，Ey(pn(n))和Vary(pn(n))分别表示加入概率密度函数为pn(n)的噪声时对应的系统输出信号y的期望和方差，Covθ,y(pn(n))表示输入参数θ和系统输出信号y的协方差；同时可知θ与之间的均方误差为：
其中V(θ)表示系统输入参数θ的方差；
(2)求解最优加性噪声：
为获得上述噪声增强估计模型下均方误差最小时对应的最优加性噪声，构建以下模型：
由于V(θ)的值与所加噪声无关，从而LMMSE(pn(n))的最小值等价于的最大值，并结合的特性，可将该模型中关于多元函数的极值问题等价为如下关于一元函数的极值问题：
其中Vary(n)和Covθ,y(n)分别表示给非线性系统的输入信号x加入常向量n作为噪声时，对应的非线性系统输出信号y＝T(x+n)的方差，以及输入参数θ和非线性系统输出信号y的协方差。获得上述一元函数的优化解后，即可获得使得线性均方误差最小的加性噪声nopt。
(3)最优加性噪声下的参数估计：
基于噪声增强的非线性系统的输出信号y＝T(x+nopt)对输入参数θ进行线性最小均方误差估计可得：
输入参数θ与其估计量之间的均方误差为：
进一步，步骤(1)所述非线性系统输入信号为与参数θ相关的函数。
本发明有机的将噪声增强与线性最小均方误差估计方法相结合，通过给非线性系统的输入信号加入噪声，达到了使得系统输出信号对输入参数进行线性估计时产生的最小均方误差进一步减小的目的。
本发明主要采用仿真实验的方法进行验证，所有步骤、结论都在MATLAB R2016a上验证正确。
附图说明
图1是本发明的工作流程框图。
图2是本发明仿真中不同σ值对应的噪声修正和原线性最小均方误差。
图3是本发明仿真中不同μ值对应的噪声修正和原线性最小均方误差。
图4是本发明仿真中不同σb值对应的噪声修正和原线性最小均方误差。
图5是本发明仿真中不同μb值对应的噪声修正和原线性最小均方误差。
具体实施方式
下面结合实施例对本发明作进一步说明，但不应该理解为本发明上述主题范围仅限于下述实施例。在不脱离本发明上述技术思想的情况下，根据本领域普通技术知识和惯用手段，做出各种替换和变更，均应包括在本发明的保护范围内。
本实施例公开一种基于噪声增强的线性最小均方误差估计方法，包括以下步骤：
(1)建立噪声增强参数估计模型：
非线性系统输入信号x＝θ+v，其中θ为需要估计的有用的输入参数，θ的值由其概率密度函数pθ(θ)确定，v表示背景噪声，其概率密度函数为pv(v)。
首先，给非线性系统输入信号x加入与之独立的加性噪声n，其中n服从概率密度函数为pn(n)的分布。
其次，经过非线性系统后，获得噪声修正非线性系统输出信号y＝T(x+n)，对应的概率密度函数为
其中T(·)表示非线性系统的传递函数，δ(·)表示冲激函数。
然后，利用非线性系统输出信号y对输入参数θ进行线性最小均方误差估计可表示为：
其中表示输入参数θ的期望，Ey(pn(n))和Vary(pn(n))分别表示加入概率密度函数为pn(n)的噪声时对应的系统输出信号y的期望和方差，
其中可看作加入常向量n作为加性噪声时对应的非线性系统输出信号y的期望，
其中Ey2(pn(n))表示加入概率密度函数为pn(n)的噪声时y2的期望，
其中可以看作加入常向量n作为加性噪声时对应的y2的期望；Covθ,y(pn(n))表示加入概率密度函数为pn(n)的噪声时对应的输入参数θ和非线性系统输出信号y的协方差,
其中可以看作加入常向量n作为加性噪声时，对应的输入参数θ和非线性系统输出信号y的协方差。
同时，获得θ与之间的均方误差如下：
其中表示系统输入参数θ的方差。
(2)求解最优加性噪声：
为获得上述噪声增强估计模型下均方误差最小时对应的最优加性噪声，构建以下模型：
由于V(θ)的值与所加噪声无关，从而LMMSE(pn(n))的最小值等价于取得最大值。又由于具体地
其中倒数第二个等式中表示给非线性系统输入x加入常向量n作为噪声时，对应的非线性系统输出y的方差。综上，可将上述模型中关于多元函数的极值问题等价为如下关于一元函数的极值问题：
求解此一元函数求极值问题，即可求得使得线性均方误差最小的加性噪声nopt。
(3)最优加性噪声下的参数估计：
基于噪声增强的非线性系统输出信号y＝T(x+nopt)对输入参数θ进行线性最小均方误差估计可得：
输入参数θ与其估计量之间的均方误差为：
进一步，所述非线性系统输入为与参数θ相关的函数。相应地有：
本发明的效果可以通过以下仿真实验进一步说明：
本仿真实验中，系统输入信号为x＝θ+v，x∈R，其中输入参数θ服从高斯分布，对应的概率密度函数为v为高斯混合背景噪声，其概率密度函数表示为pv(v)＝0.5γ(v；μb,σb 2)+0.5γ(v；-μb,σb 2)。此外，非线性变换设为正弦变换，即非线性系统输出y＝T(x+n)＝sin(θ+v+n)。
利用MATLAB语言编程实现nopt，和LMMSE(nopt)。以μ＝1，σ＝1，μb＝0.5和σb＝1为例，通过给系统输入加入常向量nopt＝2.1425获得的噪声修正线性最小均方误差LMMSE(nopt)＝0.7895，相比于未给系统输入x加入加性噪声时对应的线性最小均方误差LMMSE(0)＝0.9290，其估计性能改善了0.1395。
改变输入参数θ的均值μ和标准差σ，以及背景噪声v的均值μb和标准差σb，来比较不同条件下加噪前后的线性最小均方误差，具体如下：
保持μ＝1，μb＝0.5和σb＝1不变，将σ以0.1的间隔从0增至2.5，对每个σ值求解对应LMMSE(nopt)，并与未加噪的情况进行对比，结果如图2。
保持σ＝1，μb＝0.5和σb＝1不变，将μ以0.1的间隔从0增至3.5，对每个μ值求解对应LMMSE(nopt)，并与未加噪的情况进行对比，结果如图3。
保持μ＝1，σ＝1，和μb＝0.5不变，将σb以0.1的间隔从0增至2.5，对每个σb值求解对应LMMSE(nopt)，并与未加噪的情况进行对比，结果如图4。
保持μ＝1，σ＝1，和σb＝1不变，将μb以0.05的间隔从0增至1.5，对每个μb值求解对应LMMSE(nopt)，并与未加噪的情况进行对比，结果如图5。
由图2至图5可以看出，在一定情况下，通过给非线性系统输入加入噪声，可以大大降低其线性估计的均方误差。

Claims (2)

1.一种基于噪声增强的线性最小均方误差估计方法，其特征在于：包括以下步骤：
(1)建立噪声增强参数估计模型：
非线性系统输入信号x＝θ+v，其中θ为需要估计的输入参数，θ的值由其概率密度函数pθ(θ)确定，v表示背景噪声，其概率密度函数为pv(v)；
给非线性系统的输入信号x加入与之独立的加性噪声n，其中n服从概率密度函数为pn(n)的分布；经过非线性系统后，获得噪声修正非线性系统的输出信号y＝T(x+n)，其中T(·)表示非线性系统的传递函数；利用所述非线性系统的输出信号y对输入参数θ进行线性最小均方误差估计可表示为：
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其中E(θ)表示输入参数θ的期望，Ey(pn(n))和Vary(pn(n))分别表示加入概率密度函数为pn(n)的噪声时对应的系统输出信号y的期望和方差，Covθ,y(pn(n))表示输入参数θ和系统输出信号y的协方差；同时可知θ与之间的均方误差为：
<mrow> <mi>L</mi> <mi>M</mi> <mi>M</mi> <mi>S</mi> <mi>E</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>L</mi> <mi>M</mi> <mi>M</mi> <mi>S</mi> <mi>E</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>=</mo> <mi>V</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>Cov</mi> <mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>Var</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>
其中V(θ)表示系统输入参数θ的方差；
(2)求解最优加性噪声：
为获得上述噪声增强估计模型下均方误差最小时对应的最优加性噪声，构建以下模型：
<mrow> <munder> <mi>min</mi> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </munder> <mi>L</mi> <mi>M</mi> <mi>M</mi> <mi>S</mi> <mi>E</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow>
由于V(θ)的值与所加噪声无关，从而LMMSE(pn(n))的最小值等价于取得最大值，并结合的特性，可将该模型中关于多元函数的极值问题等价为如下关于一元函数的极值问题：
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其中Vary(n)和Covθ,y(n)分别表示给非线性系统的输入信号x加入常向量n作为噪声时，对应的非线性系统输出信号y＝T(x+n)的方差，以及输入参数θ与非线性系统输出信号y之间的协方差；获得上述一元函数的优化解后，即可获得使线性均方误差最小的加性噪声nopt；
(3)最优加性噪声下的参数估计：
基于噪声增强的非线性系统的输出信号y＝T(x+nopt)对输入参数θ进行线性最小均方误差估计可得：
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输入参数θ与其估计量之间的均方误差为：
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2.根据权利要求1所述的一种基于随机共振的线性最小均方误差估计方法，其特征在于：步骤(1)所述的非线性系统输入信号 为与参数θ相关的函数。
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