CN109635349B - 一种噪声增强最小化克拉美罗界的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种噪声增强最小化克拉美罗界的方法。属于信号处理领域。首先给非线性系统输入信号加入与之独立的加性噪声，然后利用加噪后对应的非线性系统输出信号对输入参数进行估计，建立噪声增强最小化克拉美罗界模型，并求解该模型下使得克拉美罗界最小时所需加入的噪声，从而获得噪声增强下所对应的最小化克拉美罗界。本发明将噪声增强与参数估计中克拉美罗界的计算相结合，通过寻求对非线性系统输入信号所加入的合适噪声，使得利用非线性系统输出信号对输入参数进行估计时对应的克拉美罗界进一步降低。

Description

一种噪声增强最小化克拉美罗界的方法

技术领域

本发明属于信号处理领域，具体涉及噪声增强与衡量参数估计性能时所用的无偏估计均方误差的下限。

背景技术

噪声无处不在，理解和掌握噪声的分布和性能是一个非常重要的问题。在经典信号处理中，噪声被视为不需要的信号或是对系统的干扰。系统中噪声越多将导致信道容量越小，从而使得检测性能和估计精度都有所下降。然而，噪声对系统的影响并不都是负面的，在一定条件下，噪声可以通过非线性系统对信号和系统起到积极的增强作用，被称为噪声增强现象。随着近年来对噪声增强的深入探索和应用研究，噪声增强在信号检测及估计中所发挥的重要作用受到越来越多的重视和肯定。克拉美罗界是参数估计中无偏估计方差的下限，无偏估计量的方差只能无限的逼近克拉美罗下界，而不会比它小。因此，克拉美罗下界通常用于计算理论能达到的最佳估计精度和作为评判参数估计方法优劣的标准。将噪声增强理论用于参数估计中，在一定情况下，给非线性系统输入信号加入噪声后，再利用非线性系统输出信号对输入参数进行估计，可有效减小对应的克拉美罗界。

发明内容

本发明的目的是在计算无偏估计对应均方误差下限的基础上，结合噪声增强原理，提出一种噪声增强最小化克拉美罗界的方法，通过给非线性系统输入信号加入噪声，在利用非线性系统输出信号对输入参数进行估计时，可降低参数的真实值与其无偏估计量之间均方误差的下限(即克拉美罗界)。

本发明具体包括以下步骤：

1)构建噪声增强非线性系统：

所述非线性系统包括三个部分：非线性系统输入信号、非线性系统和非线性系统输出信号；非线性系统输入信号x与参数θ密切相关，而θ的值由其概率密度函数p_θ(θ)确定；给非线性系统输入信号x加入与之独立的加性噪声n，经过非线性系统后，获得噪声修正非线性系统输出信号y＝T(x+n)，其中T(·)表示非线性系统的传递函数；

2)建立噪声增强最小化克拉美罗界模型：

利用所述非线性系统输出信号y对输入参数θ进行估计后，可采用参数θ与其无偏估计量

的均方误差的下界对估计性能进行衡量，即克拉美罗界

CRLB＝(J_P+J_D)^-1 (1)式

其中J_P和J_D分别表示从参数θ和非线性系统输出信号y的分布中获得的信息；因为J_P只与参数θ的分布相关而与加性噪声无关，因此使得克拉美罗界最小的加性噪声即为使得J_D最大的加性噪声，即

其中J_D(p_n(n))为给非线性系统输入信号x加入概率密度函数为p_n(n)的加性噪声时对应的J_D；

3)求解最小化克拉美罗界所需加性噪声：

由于给非线性系统输入信号x加入概率密度函数为p_n(n)的加性噪声时对应的J_D小于给非线性系统输入信号x加入常向量作为噪声时对应的最大的J_D，即

从而可将(2)式模型中多元函数的极值问题等价为(4)式中关于参数n的一元函数求极值问题，

即意味着使得克拉美罗界最小的加性噪声为使得J_D(n)最大的常向量；

4)噪声增强下所获得的最小克拉美罗界：

给非线性系统输入信号x加入与之独立的常向量噪声n^opt后，再利用非线性系统输出信号y＝T(x+n^opt)对输入参数θ进行估计，可获得参数θ与其无偏估计量

之间均方误差的克拉美罗界为

CRLB＝(J_P+J_D(n^opt))^-1 (5)式。

本发明将噪声增强与参数估计中克拉美罗界的计算相结合，通过给非线性系统输入信号加入噪声，使得非线性系统输出信号对输入参数进行估计时对应的克拉美罗界进一步降低。

本发明主要采用仿真实验的方法进行验证，所有步骤、结论都在MATLAB R2016a上验证正确。

附图说明

图1是本发明的工作流程框图。

图2是本发明仿真中不同σ值时加噪前后对应的克拉美罗界。

图3是本发明仿真中不同μ值时加噪前后对应的克拉美罗界。

图4是本发明仿真中不同σ_θ值时加噪前后对应的克拉美罗界。

图5是本发明仿真中不同μ_θ值时加噪前后对应的克拉美罗界。

具体实施方式

下面结合实施例对本发明作进一步说明，但不应该理解为本发明上述主题范围仅限于下述实施例。在不脱离本发明上述技术思想的情况下，根据本领域普通技术知识和惯用手段，做出各种替换和变更，均应包括在本发明的保护范围内。

1)构建噪声增强非线性系统：

所述非线性系统包括三个部分：非线性系统输入信号、非线性系统和非线性系统输出信号；非线性系统输入信号x与参数θ密切相关，而θ的值由其概率密度函数p_θ(θ)确定；给非线性系统输入信号x加入与之独立的加性噪声n，经过非线性系统后，获得噪声修正非线性系统输出信号y＝T(x+n)，其中T(·)表示非线性系统的传递函数；

2)建立噪声增强最小化克拉美罗界模型：

利用所述非线性系统输出信号y对输入参数θ进行估计后，可采用参数θ与其无偏估计量

的均方误差的下界对估计性能进行衡量，即克拉美罗界

CRLB＝(J_P+J_D)^-1 (6)式

其中J_P和J_D分别表示从参数θ和非线性系统输出信号y的分布中获得的信息:

因为J_P只与参数θ的分布相关而与加性噪声无关，因此使得克拉美罗界最小的加性噪声即为使得J_D最大的加性噪声，即

其中J_D(p_n(n))为给非线性系统输入信号x加入概率密度函数为p_n(n)的噪声时对应的J_D。由于(8)式中的期望是同时关于y和θ的，因此J_D可以计算为

其中p_y(y|θ)表示参数θ值一定时，非线性系统输出信号y的条件概率密度函数。进一步地，可以将p_y(y|θ)和

计算如下

其中

和/>

将(11)式和(12)式代入(10)式，可得给非线性系统输入信号x加入概率密度函数为p_n(n)的加性噪声时对应的J_D为

3)求解最小化克拉美罗界所需加性噪声：

为了求解(9)式中优化问题，首先引入函数

当z₂≥0时，函数F(z)的黑塞矩是半正定的，从而可得F(z)是凸函数且有(14)式成立

令

因为/>

所以对任意非线性系统输出信号y以及任意可能的噪声概率密度函数p_n(n)均有

对(15)式不等式两边积分有如下结果：

(16)式中最后一个等式可通过交换n和y的积分顺序实现。进一步地，针对任意不同的参数θ，(16)式中不等式均能成立，则有

交换(17)式中不等式右边的积分顺序有

其中

表示给非线性系统输入信号x加入常向量n作为噪声时时对应的J_D。结合(17)式和(18)式可知，给非线性系统输入信号x加入概率密度函数为p_n(n)的加性噪声时对应的J_D小于给非线性系统输入信号x加入常向量作为噪声时对应的最大的J_D，即

从而可将(9)式模型中多元函数的极值问题等价为(20)式中关于参数n的一元函数求极值问题，

即意味着，使得(8)式中信息量J_D最大，同时也使得克拉美罗界最小的最优加性噪声为常向量

对应概率密度函数为/>

4)噪声增强下所获得的最小克拉美罗界：

给非线性系统输入信号x加入与之独立的常向量噪声n^opt后，再利用非线性系统输出信号y＝T(x+n^opt)对输入参数θ进行估计，可获得参数θ与其无偏估计量

之间均方误差的克拉美罗界为

CRLB＝(J_P+J_D(n^opt))^-1 (21)式

其中

本发明的效果可以通过以下仿真实验进一步说明：

本仿真实验中，假设非线性系统输入信号为x＝θ+v，其中θ为有用参数，对应的概率密度函数为

即θ服从均值为μ_θ、方差为/>

的高斯分布。此外，v为零均值的非对称高斯混合背景噪声，其概率密度函数表示为p_v(v)＝tγ(v；(1-t)μ_b,σ_b ²)+(1-t)γ(v；-tμ_b,σ_b ²)，其中0＜t＜1。当θ值一定时，非线性系统输入信号x的条件概率密度函数为p_x(x|θ)＝p_v(x-θ)。假设非线性系统为限幅系统，给非线性系统输入信号x加入常量n作为噪声时，对应的非线性系统输出信号y为：

利用MATLAB语言编程求解使得克拉美罗界最小的加性噪声n^opt。以t＝0.75、A＝3、μ_θ＝3、σ_θ＝1、μ_b＝3和σ_b＝1为例，没有给非线性系统输入信号x加任何噪声时，对应的原克拉美罗界为0.7481，通过给非线性系统输入信号x加入常量n^opt＝-2.85可使得克拉美罗界降至0.6265。

表1给出了当A＝3、μ_θ＝3、σ_θ＝1、μ_b＝3和σ_b＝1时，分别在t值为0.075、0.75和0.9的情况下给非线性系统输入信号x加入常量n^opt时噪声增强克拉美罗界以及未加噪时原克拉美罗界。

表1加噪前后对应的克拉美罗界

接下来通过先后改变背景噪声参数t、非线性系统门限A、输入参数θ的均值μ_θ和标准差σ_θ，来比较不同条件下加噪前后克拉美罗界，具体如下：

保持A＝3、μ_θ＝3、σ_θ＝1、μ_b＝3和σ_b＝1不变，将t以0.05的间隔从0增至1。针对每个t值，给非线性系统输入信号x加入相应的最优加性噪声n^opt，获得对应加噪后的噪声增强克拉美罗界，并与未加噪时的原克拉美罗界进行对比，结果如图2。随着t值的增加，噪声增强和原克拉美罗界均先增加后减小，且任意可能的t值对应的噪声增强克拉美罗界均小于原克拉美罗界。

保持t＝0.75、μ_θ＝3、σ_θ＝1、μ_b＝3和σ_b＝1不变，将A以0.5的间隔从0增至10，对每个A值求解对应的噪声增强克拉美罗界，并与未加噪的情况进行对比，结果如图3。原克拉美罗界和噪声增强克拉美罗界均随着A值的增加而逐渐减小至0.6134，而当0＜A＜7.5时前者总是大于后者。

保持t＝0.75、A＝3、σ_θ＝1、μ_b＝3和σ_b＝1不变，将μ_θ以0.25的间隔从0增至5，对每个μ_θ值求解对应的噪声增强克拉美罗界，并与未加噪的情况进行对比，结果如图4。原克拉美罗界均随着μ_θ值的增大而增大，而噪声增强克拉美罗界并不随着μ_θ的改变而改变，而是一直保持常量0.6265。此外，克拉美罗界的改善程度随着μ_θ值的增大而增大，而当μ_θ＜0.5时，通过加噪所能获得的估计性能改善并不明显且接近于零。

保持t＝0.75、A＝3、μ_θ＝3、μ_b＝3和σ_b＝1不变，将σ_θ以0.1的间隔从0增至2，对每个σ_θ值求解对应的噪声增强克拉美罗界，并与未加噪的情况进行对比，结果如图5。原克拉美罗界和噪声增强克拉美罗界均为关于σ_θ单调递增的函数。当σ_θ值趋近于零时，无论加入任何噪声均不可能使得克拉美罗界减小。当σ_θ值增大到一定程度时，克拉美罗界通过加噪实现的改善程度随着σ_θ的增加而增加。

Claims (1)

1.一种噪声增强最小化克拉美罗界的方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)构建噪声增强非线性系统：

所述非线性系统包括三个部分：非线性系统输入信号、非线性系统和非线性系统输出信号；非线性系统输入信号x与参数θ密切相关，而θ的值由其概率密度函数p_θ(θ)确定；给非线性系统输入信号x加入与之独立的加性噪声n，经过非线性系统后，获得噪声修正非线性系统输出信号y＝T(x+n)，其中T(·)表示非线性系统的传递函数；

2)建立噪声增强最小化克拉美罗界模型：

利用所述非线性系统输出信号y对输入参数θ进行估计后，可采用参数θ与其无偏估计量

的均方误差的下界对估计性能进行衡量，即克拉美罗界

CRLB＝(J_P+J_D)^-1 (1)式

其中J_P和J_D分别表示从参数θ和非线性系统输出信号y的分布中获得的信息:

因为J_P只与参数θ的分布相关而与加性噪声无关，因此使得克拉美罗界最小的加性噪声即为使得J_D最大的加性噪声，即

其中J_D(p_n(n))为给非线性系统输入信号x加入概率密度函数为p_n(n)的加性噪声时对应的J_D；

3)求解最小化克拉美罗界所需加性噪声：

由于给非线性系统输入信号x加入概率密度函数为p_n(n)的加性噪声时对应的J_D小于给非线性系统输入信号x加入常向量作为噪声时对应的最大的J_D，即

从而可将(4)式模型中多元函数的极值问题等价为(6)式中关于参数n的一元函数求极值问题，

即意味着使得克拉美罗界最小的加性噪声为使得J_D(n)最大的常向量；

4)噪声增强下所获得的最小克拉美罗界：

给非线性系统输入信号x加入与之独立的常向量噪声n^opt后，再利用非线性系统输出信号y＝T(x+n^opt)对输入参数θ进行估计，可获得参数θ与其无偏估计量

之间均方误差的克拉美罗界为

CRLB＝(J_P+J_D(n^opt))^-1 (7)式。

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