CN111371432A - 一种带有噪声相关的非线性可观测度分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种带有噪声相关的非线性可观测度分析方法，属于非线性可观测度研究领域。本发明提出了一种带有噪声相关的非线性可观测度分析方法。由于非线性系统本身的复杂性导致非线性系统的可观测度理论有所欠缺，在非线性系统可观测度的已有研究中，都没有考虑当系统的观测噪声与过程噪声相关情形下的分析研究。本发明在已有的非线性可观测度的研究中，考虑将过程噪声与观测噪声相关的情形加入到非线性可观测度的分析计算中，比较噪声相关情况与噪声不相关情形下的可观测度关系，进一步完善非线性系统可观测度的分析理论，本发明还将可观测度与自适应滤波结合，改善非线性滤波方法。

Description

一种带有噪声相关的非线性可观测度分析方法

技术领域

本发明涉及一种带有噪声相关的非线性可观测度分析方法，属于可观测度研究领域。

背景技术

现如今经济技术发展的异常迅速，现代工程实际领域出现的控制系统多是非线性的问题。传统的卡尔曼滤波在非线性大环境的背景下不断衍生出许多针对于非线性系统的滤波方法。有用一阶泰勒级数展开处理的EKF，该方法使用泰勒级数展开，使得非线性系统近似成为线性的控制系统，但该方法在非线性较强的系统下不具有可行性。UKF即无迹卡尔曼滤波使用UT变换的方式，使得变换后在点集逼近概率密度，该方法不需要对非线性系统求解雅可比矩阵，计算复杂度较低，但对于高维系统精度却大大下降。

有学者在近年来研究了容积卡尔曼滤波，该方法在维数高的系统下滤波精度高于无迹卡尔曼滤波。但是该方法仍旧存在问题：即随着滤波循环迭代会出现矩阵的非正定性，导致滤波进程无法进行下去，针对该问题有学者研究了平方根容积卡尔曼滤波，该方法无需对每个过程都进行乔利斯基分解，避免了因为矩阵不正定性导致的滤波中断。随着研究的加深，不断出现新的滤波方法，不断对非线性滤波的估计精度加以改进。

针对于非线性问题，虽有很多方法处理。但是目前来看很少有学者关注噪声相关的问题，特别是对于可观测度领域来说，目前仅有何学者基于线性条件的噪声相关的可观测度分析，对于非线性系统的噪声相关系统没有学者涉足过。实际工程应用背景下研究非线性系统中不能简单的将噪声相关的问题忽略掉。常见处理噪声相关问题的方法是利用解相关手段，将噪声相关的系统转化为不相关系统处理。

发明内容

本发明针对现有技术的不足，提出了一种带有噪声相关的非线性可观测度分析方法。

本发明在已有的非线性可观测度的研究中，考虑将过程噪声与观测噪声相关的情形加入到非线性可观测度的分析计算中。比较噪声相关情况与噪声不相关情形下的可观测度关系，进一步完善非线性系统可观测度的分析理论，本发明还将可观测度与自适应滤波结合，改善非线性滤波方法。

本发明包括以下步骤：

步骤(1)噪声相关非线性系统解相关处理

给定噪声相关的非线性系统模型如下：

这里的f(x_k-1)与h(x_k)分别是非线性模型的状态函数与观测函数，k为正整数，x_k是n×1的状态向量，z_k是m×1的观测向量。w_k-1，v_k是非线性模型的过程噪声与观测噪声，且他们是相关的。设过程噪声与观测噪声是相关的高斯白噪声方差分别为：Q_k,R_k，噪声统计特性为：

对公式(1)解相关处理有：

x_k＝f(x_k-1)+w_k-1+J_k(z_k-h(x_k)-v_k) (3)

J_k是噪声相关的相关系数，联立公式(1)与公式(3)非线性模型转换为：

要使得转化后的系统模型可以进行贝叶斯估计处理，则要满足转化后的过程噪声与观测噪声满足噪声不相关，则有：

这里的

其中

此时模型的观测噪声与量测噪声是不相关的；

步骤(2)噪声相关非线性系统的伪矩阵构造

通过步骤1可得解相关后的非线性系统模型可以写成：

上述公式中的上标cn表示噪声相关系统；通过平方根容积卡尔曼滤波构造伪状态转移矩阵与伪观测矩阵，则有：

式中的参数为：

步骤(3)噪声相关系统的克拉美罗下界

噪声相关情形下的克拉美罗下界递推式可以写成：

这里的参数可以表达成：

将公式(6)带入至递推式可得：

公式(7)中的表达式为：

整理可以得到噪声相关情形下的克拉美罗下界为：

步骤(4)噪声相关非线性可观测度定义

对于噪声相关系统的可观测度分析以克拉美罗下界的逆作为可观测性判别矩阵，对该矩阵求解矩阵的迹的倒数作为该系统的全局可观测度。对于滤波误差矩阵，即估计误差协方差矩阵，它的主要信息反应在矩阵的主对角线元素上，由于对于克拉美罗下界矩阵，作为系统滤波误差的下界，所以所克拉美罗下界的主要信息也反应在矩阵的对角线元素上，所以以该矩阵的对角线元素的倒数作为系统局部可观测度，定义噪声相关的非线性可观测度计算矩阵为：

噪声相关情形下的系统局部分量的可观测度为：

系统全局可观测度为：

步骤(5)基于噪声相关可观测度的自适应滤波

考虑用可观测度来调整滤波过程，减小可观测度较小的分量对滤波精度的影响。将构造的调节因子加入到滤波的增益中，分析噪声相关与不相关带有和不带有自适应调节因子的滤波性能；构造可观测度调节因子为：

其中这里的参数为：

为分量可观测度的均值，

为分量可观测度之和，

为分量可观测度均值，则构造后的滤波增益为：

将构造好的基于可观测度的自适应调节因子带入到平方根容积卡尔曼滤波中让其能够自适应的调节滤波进程。

本发明的有益效果：本发明提出了一种带有噪声相关的非线性可观测度分析方法。考虑将过程噪声与观测噪声相关的情形加入到非线性可观测度的分析计算中，比较噪声相关情况与噪声不相关情形下的可观测度关系，进一步完善了非线性系统可观测度的分析理论，本发明还将可观测度与自适应滤波结合，改善了非线性滤波方法。

附图说明：

图1：本发明流程图；

图2：仿真轨迹图；

图3：相关与不相关算法分量1误差；

图4：相关与不相关算法分量1可观测度；

图5：相关与不相关算法分量3误差比较；

图6：相关与不相关算法分量3可观测度；

图7：相关与不相关算法系统跟踪误差比较；

图8：相关与不相关算法全局观测度比较；

图9：与谱分解可观测度一致性分析；

图10：带有基于可观测度调节因子SCKF与不带有调节因子误差比较。

具体的实施方式

本发明提出一种基于条件数融合的非线性可观测度分析方法，其流程框图如图1所示，包括以下几个步骤：

步骤(1)噪声相关非线性系统解相关处理，给定噪声相关的非线性系统模型如下：

这里的f(x_k-1)与h(x_k)分别是非线性模型的状态函数与观测函数，k为正整数，x_k是n×1的状态向量，z_k是m×1的观测向量。w_k-1，v_k是非线性模型的过程噪声与观测噪声，且他们是相关的。设过程噪声与观测噪声是相关的高斯白噪声方差分别为：Q_k,R_k，噪声统计特性为：

对公式(1)解相关处理有：

x_k＝f(x_k-1)+w_k-1+J_k(z_k-h(x_k)-v_k) (3)

J_k是噪声相关的相关系数，联立公式(1)与公式(3)非线性模型转换为：

要使得转化后的系统模型可以进行贝叶斯估计处理，则要满足转化后的过程噪声与观测噪声满足噪声不相关，则有：

这里的

其中

此时模型的观测噪声与量测噪声是不相关的；

为了便于理解下面对步骤1作出以下解释：在对噪声相关的非线性系统计算其可观测度时需要对相关的系统进行解相关处理，将其处理为不相关的非线性系统，步骤1就是进行解相关的步骤。将相关的非线性模型转换成不相关的非线性模型。

步骤(2)噪声相关非线性系统的伪矩阵构造，通过步骤1可得解相关后的非线性系统模型可以写成：

上述公式中的上标cn表示噪声相关系统；通过平方根容积卡尔曼滤波构造伪状态转移矩阵与伪观测矩阵，则有：

式中的参数为：

为了便于理解下面对步骤2作出以下解释：由于非线性系统的状态转移矩阵与观测矩阵不能直接将其写出，在此需要采用非线性滤波中的伪矩阵的方式将其写出。同时由于容积滤波在不断迭代的过程中会产生矩阵的非正定性，不能继续滤波过程，在步骤2采用平方根容积卡尔曼滤波的方式避免了该问题的出现。

步骤(3)噪声相关系统的克拉美罗下界，噪声相关情形下的克拉美罗下界递推式可以写成：

这里的参数可以表达成：

将公式(6)带入至递推式可得：

公式(7)中的表达式为：

整理可以得到噪声相关情形下的克拉美罗下界为：

为了方便理解对步骤3作出以下解释：克拉美罗下界是指估计误差逼近的最小值并且不能达到该值。利用步骤1得到的解相关后的模型构造出噪声相关系统的克拉美罗下界递推式，利用矩阵求逆引理等方法求的最终的克拉美罗下界表达式。

步骤(4)噪声相关非线性可观测度定义方法，对于噪声相关系统的可观测度分析以克拉美罗下界的逆作为可观测性判别矩阵，对该矩阵求解矩阵的迹的倒数作为该系统的全局可观测度。对于滤波误差矩阵，即估计误差协方差矩阵，它的主要信息反应在矩阵的主对角线元素上，由于对于克拉美罗下界矩阵，作为系统滤波误差的下界，所以所克拉美罗下界的主要信息也反应在矩阵的对角线元素上，所以以该矩阵的对角线元素的倒数作为系统局部可观测度，定义噪声相关的非线性可观测度计算矩阵为：

噪声相关情形下的系统局部分量的可观测度为：

系统全局可观测度为：

步骤(5)基于噪声相关可观测度的自适应滤波，考虑用可观测度来调整滤波过程，减小可观测度较小的分量对滤波精度的影响。将构造的调节因子加入到滤波的增益中，分析噪声相关与不相关带有和不带有自适应调节因子的滤波性能；构造可观测度调节因子为：

其中这里的参数为：

为分量可观测度的均值，

为分量可观测度之和，

为分量可观测度均值，则构造后的滤波增益为：

将构造好的基于可观测度的自适应调节因子带入到平方根容积卡尔曼滤波中让其能够自适应的调节滤波进程。

为了便于理解下面对步骤4与步骤5作出以下解释：步骤4采用典型的可观测度计算方案对噪声相关系统的可观测度加以定义，由相关知识可以得出可观测度的大小与滤波精度密切相关，步骤5利用各个分量的可观测度大小来自适应的调节滤波的精度。

结合附图介绍本发明方法的有益效果：图2是系统的真实轨迹与滤波轨迹的比较，由图可知，滤波轨迹能跟踪到真实轨迹，滤波方法有效。图7描述的经过解相关处理的噪声相关的系统跟踪的误差与没有经过噪声相关处理算法的误差比较，由于系统本身是观测噪声与过程噪声是有相关性的，即若不经过解相关处理，即得出的滤波误差会高于经过解相关处理的误差大小。实验结果图7验证了本发明方法的有效性。图8是两种算法的可观测度的比较，从图中可以看出经过解相关算法的误差小对应的可观测度大，未解相关算法的可观测度小对应的误差大。

图3与图5分别为系统分量1与分量3的误差比较，图4与图6分别是分量1与分量3的可观测度对比，从图中可以看出，分量误差与分量可观测度对应，即有分量误差大时可观测度小，分量误差小时可观测度大。即无论从全局角度分析还是分量角度分析，都说明了解相关的噪声相关非线性可观度的有效性。本发明又分析了我们传统求解可观测度方法与特征值求解可观测度的一致性，从图9可以看两曲线相互重合，说明本发明中的正确性，从图10可知：基于可观测度的ASCKF滤波方法优于传统的SCKF方法，验证了本发明的合理性。

Claims (1)

1.一种带有噪声相关的非线性可观测度分析方法，其特征方法在于该方法包括以下步骤：

步骤(1)噪声相关非线性系统解相关处理

给定噪声相关的非线性系统模型如下：

这里的f(x_k-1)与h(x_k)分别是非线性模型的状态函数与观测函数，k为正整数，x_k是n×1的状态向量，z_k是m×1的观测向量；w_k-1，v_k是非线性模型的过程噪声与观测噪声，且他们是相关的；设过程噪声与观测噪声是相关的高斯白噪声方差分别为：Q_k,R_k，噪声统计特性为：

对公式(1)解相关处理有：

x_k＝f(x_k-1)+w_k-1+J_k(z_k-h(x_k)-v_k) (3)

J_k是噪声相关的相关系数，联立公式(1)与公式(3)，则非线性系统模型转换为：

要使得转化后的系统模型可以进行贝叶斯估计处理，则要满足转化后的过程噪声与观测噪声满足噪声不相关，则有：

这里的

其中

此时模型的观测噪声与量测噪声是不相关的；

步骤(2)噪声相关非线性系统的伪矩阵构造

通过步骤1可得解相关后的非线性系统模型：

上述公式中的上标cn表示噪声相关系统；通过平方根容积卡尔曼滤波构造伪状态转移矩阵与伪观测矩阵，则有：

式中的参数为：

步骤(3)确定噪声相关系统的克拉美罗下界

噪声相关情形下的克拉美罗下界递推式写成：

这里的参数表达成：

将公式(6)带入至递推式可得：

公式(7)中的表达式为：

整理得到噪声相关情形下的克拉美罗下界为：

步骤(4)噪声相关非线性可观测度定义，对于噪声相关系统的可观测度分析以克拉美罗下界的逆作为可观测性判别矩阵，对该矩阵求解矩阵的迹的倒数作为该系统的全局可观测度；

对于滤波误差矩阵，即估计误差协方差矩阵，它的主要信息反应在矩阵的主对角线元素上，由于对于克拉美罗下界矩阵，作为系统滤波误差的下界，所以所克拉美罗下界的主要信息也反应在矩阵的对角线元素上，所以以该矩阵的对角线元素的倒数作为系统局部可观测度，定义噪声相关的非线性可观测度计算矩阵为：

噪声相关情形下的系统局部分量的可观测度为：

系统全局可观测度为：

步骤(5)基于噪声相关可观测度的自适应滤波

考虑用可观测度来调整滤波过程，减小可观测度较小的分量对滤波精度的影响；将构造的调节因子加入到滤波的增益中，分析噪声相关与不相关带有和不带有自适应调节因子的滤波性能；

构造可观测度调节因子为：

其中这里的参数为：

为分量可观测度的均值，

为分量可观测度之和，

为分量可观测度均值，则构造后的滤波增益为：

将构造好的基于可观测度的自适应调节因子带入到平方根容积卡尔曼滤波中让其能够自适应的调节滤波进程。

Images