CN110046327B

CN110046327B - 一种基于帕德逼近的通信误差函数逼近方法

Info

Publication number: CN110046327B
Application number: CN201910299354.3A
Authority: CN
Inventors: 姜霓裳; 陈小雕
Original assignee: Hangzhou Dianzi University; Hangzhou Dianzi University Shangyu Science and Engineering Research Institute Co Ltd
Current assignee: Hangzhou Dianzi University; Hangzhou Dianzi University Shangyu Science and Engineering Research Institute Co Ltd
Priority date: 2019-04-15
Filing date: 2019-04-15
Publication date: 2023-08-04
Anticipated expiration: 2039-04-15
Also published as: CN110046327A

Abstract

本发明涉及一种基于帕德逼近的通信误差函数逼近方法。现有逼近方法或逼近效果不够精确，或算式复杂度较高。本发明方法首先设定上界函数U(x)，令x点第i阶导数U⁽ⁱ⁾(x)＝Q⁽ⁱ⁾(x)，得到含有n个未知数n个方程的方程组，解出的a_i带入U(x)，整理后得到U_Q(x)；然后设定下界函数L(x).建立方程组解出的b_j带入L(x)，整理后得到L_Q(x)；得到的U_Q(x)、L_Q(x)将Q(x)上下紧密包围，达到逼近效果。本发明通过对于Q(x)及其积分的高精度估算，有助于提高通信信号系统的性能分析精度。通信误差函数的逼近方法可以在各种通信系统计算机仿真软件中得到应用。相比较于常规的查表方法，更加精确，计算通信误码率更加准确。

Description

一种基于帕德逼近的通信误差函数逼近方法

技术领域

本发明属于通信与电子信息技术领域，具体是属于计算机仿真领域，涉及一种基于帕德逼近的通信误差函数逼近方法。

背景技术

在通信领域，通信误差高斯Q函数在数字调制方案的符号错误概率(SEP)、加性高斯白噪声等的估计中起着十分关键的作用。高斯Q函数的逼近问题，在信号处理和通信原理中有广泛的应用。对于加性高斯白噪音、衰落信道，多个数字调制方案的误码率估值中应用了高斯Q函数，对符号差错概率的逼近扮演重要角色。

Q函数，即标准正态分布的右尾函数，又叫(标准正态分布的)互补累计分布函数，其表达式为：

由于它与正态分布的累积分布函数的关系，Q函数也可以用误差函数表示。Q(x)不是初等函数，通常需要用初等函数来逼近，以方便计算。为了更好地控制相应的逼近误差，通常需要求解Q(x)的上下界。目前已有一些结果，比如：其中φ(x)为标准正态分布的密度函数。当前对于逼近误差有着越来越高的要求，改善Q(x)的逼近误差，对于提高通信系统的性能分析变的越发重要。

在近年一个关于一维高斯Q函数近似值的调查中明确指出，这个问题是当前普遍存在的。即使在近三年内，也有许多文献根据期望获取的精度提供了简单的闭合公式逼近Q函数。Q函数本身不是闭式解，逼近Q函数则为Q函数提供了一种简单的形式，提供了进一步的数学分析，进而方便了各种通信系统的性能分析。值得注意的是，高斯概率密度函数对语音信号、无线接收机中的信号、正交频分复用技术调制信号进行了表征，Q函数的逼近问题在很多应用领域都有出现，具有重要意义。下面为一些已有的Q函数逼近公式：

上述逼近方法或逼近效果不够精确，或算式复杂度较高。

在通信领域，在数字调制方案的符号错误概率(SEP)、加性高斯白噪声等的估计中高斯Q函数起着十分关键的作用。理论上，可用高斯Q函数改进的近似N点高斯Hermite求积法则来估算，其中增加N的值可以提高精度，但将相应地增加计算复杂性及其计算成本。

此外，各种数字调制方案的SEP表达式涉及到积分，其被积函数是Q函数和衰落概率密度函数(PDF)的乘积，表示为：其中代表衰落概率密度函数，m定义了衰落参数，范围从0.5到∞，γ是平均信噪比，Γ(·)表示Gamma函数，a和b是依赖于数字调制技术的实正常数，k为Q(x)的次数。

即若要精确计算数字调制方案的SEP表达式需要预先获取Q(x)的原函数，然而由于Q(x)不是初等函数，难以计算，因此必须采用Q函数的逼近函数来计算。

发明内容

本发明目的就是针对现有技术的不足，提供一种基于帕德逼近的通信误差函数逼近方法,以更好地方便各种通信系统的性能分析。

本发明方法步骤如下：

步骤(1).设定U(x)为Q(x)的上界函数，令a_i为上界待定未知系数，满足U(0)＝0.5＝Q(0)；n为根据上界具体逼近精度需要而定的参数，n为偶数，n∈[4,20]；

步骤(2).令U⁽ⁱ⁾(x)＝Q⁽ⁱ⁾(x),i＝1,2,···,n，U⁽ⁱ⁾(x)、Q⁽ⁱ⁾(x)分别表示U(x)、Q(x)在x点第i阶导数；由此得到含有n个未知数n个方程的方程组：U⁽ⁱ⁾(x)＝Q⁽ⁱ⁾(x),i＝1,2,···,n；

步骤(3).求解步骤(2)的方程组，得到a_i,i＝1,2,···,n，解出的a_i是与x相关的参数方程，将a_i相应的函数式带入U(x)，整理得到U_Q(x)，U_Q(x)为带入具体的n值得到的上界函数；

步骤(4).设定L(x)为Q(x)的下界函数，令b_j为下界待定未知系数，满足L(0)＝0.5＝Q(0)；m为根据下界具体逼近精度需要而定的参数，m为奇数，m∈[5,21]；

步骤(5).建立方程组j＝1,2,···,m-1；其中L′(0)、Q′(0)为L(x)、Q(x)在0点的1阶导数，L^(j)(x)、Q^(j)(x)为L(x)、Q(x)在x点的j阶导数；

步骤(6).解步骤(5)的方程组，得到b_j,j＝1,2,···,m，解出的b_j为与x相关的参数方程，将b_j相应的函数式带入L(x)，整理得到L_Q(x)，L_Q(x)为带入具体的m值得到的下界函数；

步骤(7).得到U_Q(x)、L_Q(x)满足即U_Q(x)和L_Q(x)将Q(x)上下紧密包围，达到逼近效果。

本发明通过对于Q(x)及其积分的高精度估算，有助于提高通信信号系统的性能分析精度。

本发明通过对Q(x)的高精度快速估算，以及Q(x)的相关积分的高精度估算等两个内容的研究，获取Q(x)逼近精度更高的上下界，以及Q(x)相关积分高精度的估算，进而改善通信系统的性能及分析精度等。从理论上说，n、m的值可以取更大，以获得逼近Q函数效果更好的函数。

利用本发明方法取得的逼近函数来计算各种数字调制方案中的误码率，计算中用到的积分函数即高斯Q函数和衰落概率密度函数结合的函数。这个函数的形式如下：

将取得的逼近函数带入到上述公式计算误码率，取得了很好的效果。通信误差函数的逼近方法可以在各种通信系统计算机仿真软件中得到应用。相比较于常规的查表方法(采用其它逼近方法得到数值表)，本发明方法逼近效果更加精确，计算通信误码率更加准确，并且计算复杂度不高，可以获得更加优良的结果。

附图说明

图1为用maple程序所作的Q(x)-U_Q(x)，Q(x)-L_Q(x)的图像；

图2为Q(x)-L_Q(x)，Q(x)-U_Q(x)和Q(x)-Q_k(x),(i＝1,2,3,4,5,6)的图像。

具体实施方式

以下结合附图对本发明进行进一步说明。

一种基于帕德逼近的通信误差函数逼近方法，具体步骤如下：

(1).设定U(x)为Q(x)的上界函数，n为根据上界具体逼近精度需要而定的参数，n为偶数，n∈[4,20]，本实施例n＝10。从理论上说，从理论上说，为了得到逼近精度更好的函数，n也可以取更大的偶数，n＝10时取得的函数已取得较好的逼近效果。

因为为使U(x)满足U(0)＝0.5＝Q(0)，令/>a_i为上界待定未知系数。

(2).为使U(x)逼近Q(x)的效果尽可能好，令U⁽ⁱ⁾(x)＝Q⁽ⁱ⁾(x),i＝1,2,···,10，U⁽ⁱ⁾(x)、Q⁽ⁱ⁾(x)分别表示U(x)、Q(x)在x点第i阶导数；即在x点令U(x)与Q(x)的i阶导数分别相等，由此得到含有10个未知数10个方程的方程组：U⁽ⁱ⁾(x)＝Q⁽ⁱ⁾(x),i＝1,2,···,10。

(3).求解步骤(2)的方程组，得到a_i,i＝1,2,···,10，解出的a_i是与x相关的参数方程，将a_i相应的函数式带入U(x)，整理得到U_Q(x)，U_Q(x)为带入具体的n值得到的上界函数：。

该步骤可以通过计算机求解，求解软件包括maple，mathematica，matlab等。

(4).设定L(x)为Q(x)的下界函数，m为根据下界具体逼近精度需要而定的参数，m为奇数，m∈[5,21]，本实施例m＝11。从理论上说，从理论上说，为了得到逼近精度更好的函数，m也可以取更大的奇数，m＝11时取得的函数已取得较好的逼近效果。

同理，令b_j为下界待定未知系数，满足L(0)＝0.5＝Q(0)。

(5).建立方程组j＝1,2,···,10；其中L′(0)、Q′(0)为L(x)、Q(x)在0点的1阶导数，L^(j)(x)、Q^(j)(x)为L(x)、Q(x)在x点的j阶导数。

(6).解步骤(5)的方程组，得到b_j,j＝1,2,···,11，解出的b_j为与x相关的参数方程，将b_j相应的函数式带入L(x)，整理得到L_Q(x)，L_Q(x)为带入具体的m值得到的下界函数。。

(7).得到U_Q(x)、L_Q(x)满足即U_Q(x)和L_Q(x)将Q(x)上下紧密包围，达到逼近效果。

如图1和图2所示，通过maple程序对比Q(x)-L_Q(x)、Q(x)-U_Q(x)和Q(x)-Q_k(x),(k＝1,2,3,4,5,6)的大小，图像可以得出L_Q(x)和U_Q(x)的逼近误差明显小于其他函数，则逼近效果明显优于其他函数，已取得很好的逼近效果。

图2中：

利用上述所得到的逼近函数来计算各种数字调制方案中的误码率，计算中用到的积分函数即高斯Q函数和衰落概率密度函数结合的函数。这个函数的形式如下：

通信误差函数的逼近方法可以在各种通信系统计算机仿真软件中得到应用。相比较于常规的查表方法(采用其它逼近方法得到数值表)，本方法逼近效果更加精确，计算通信误码率更加准确，并且计算复杂度不高，可以获得更加优良的结果。

Claims

1.通过逼近函数提高数字调制方案中的误码率准确度的方法，其特征在于该方法具体步骤如下：

步骤(2).令U⁽ⁱ⁾(x)＝Q⁽ⁱ⁾(x),i＝1,2,…,n，U⁽ⁱ⁾(x)、Q⁽ⁱ⁾(x)分别表示U(x)、Q(x)在x点第i阶导数；由此得到含有n个未知数n个方程的方程组：U⁽ⁱ⁾(x)＝Q⁽ⁱ⁾(x),i＝1,2,…,n；

步骤(3).求解步骤(2)的方程组，得到a_i,i＝1,2,…,n，解出的a_i是与x相关的参数方程，将a_i相应的函数式带入U(x)，整理得到U_Q(x)，U_Q(x)为带入具体的n值得到的上界函数；

步骤(5).建立方程组其中L′(0)、Q′(0)为L(x)、Q(x)在0点的1阶导数，L(^j)(x)、Q^(j)(x)为L(x)、Q(x)在x点的j阶导数；

步骤(6).解步骤(5)的方程组，得到b_j,j＝1,2,…,m，解出的b_j为与x相关的参数方程，将b_j相应的函数式带入L(x)，整理得到L_Q(x)，L_Q(x)为带入具体的m值得到的下界函数；

步骤(7).得到U_Q(x)、L_Q(x)满足即U_Q(x)和L_Q(x)将Q(x)上下紧密包围，达到逼近效果；

步骤(8).将取得的逼近函数确定各种数字调制方案中的误码率。