CN108470089A - 一种基于最小二乘样本拟合的复信号时延估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于最小二乘样本拟合的复信号时延估计方法。本发明首先给出互相关的代价函数，利用sinc内插公式用有限数量的样本去估计相关数据值，再通过最小二乘(LS)准则最小化其代价函数，得到并接近于无偏的估计值，且给出算法的克拉美罗下界(CRLB)表达式。实验表明，针对高斯信号，基于最小二乘样本拟合的准确度更高，基于最小二乘的时延估计算法，在信噪比或者信号长度一定的条件下，估计性能都明显高于传统的时延估计算法。特别指出，对于高斯信号具有的随机性，互相关算法与基于MMSE算法性能都出现明显下降，本发明是一种有效的时延估计算法。

Description

一种基于最小二乘样本拟合的复信号时延估计方法

技术领域

本发明属于目标定位估计及时差测量技术领域，特别涉及一种提高针对高斯信号的时延估计性能的方法。

背景技术

时延是表征信号的一个重要特征参数，准确、迅速地对两个或多个空间分离传感器接收信号之间的时延进行估计且利用其他参数可以进一步确定信源距离、方位、速度等信息，因此，对时延参数的估计一直是信号处理技术中的十分活跃的研究热点，广泛地应用于通信、雷达、水声学、地震学和生物医学等领域。随着时延估计的广泛应用，时延估计方法需要更多地考虑各种实际因素，如非平稳环境、相关噪声环境以及复杂干扰等情况，简单的理想模型会被更加复杂，时延估计问题呈现出多样性，对时延估计方法和精度也提出更高的要求。在不同的环境条件下，使用的时延估计方法也不同，常用的时延估计方法有互相关法、高阶统计量法、基于MMSE(minimum mean square error，最小均方误差)估计法等。

例如在窄带雷达体制下，目标回波信号近似服从复高斯分布。目前，高阶统计量的时延估计方法适用于信号是非高斯信号的情况，因为高斯噪声的三阶及以上的相关函数与互相关函数恒为零，但该算法运算量较大。并且高斯信号具有随机性若使用互相关算法会导致性能下降，且基于MMSE算法通过内插估计时并没有进行样本拟合最小化，从而导致算法性能不高。特别指出，在时延估计问题中常采用克拉美罗下界(CRLB)作为估计性能的极限,即作为时延估计准确性的一种度量。因此，如何精确估计出对于高斯信号的时延误差值，如何逼近对高斯信号时延估计的克拉美罗下界值成为目前的研究难点。

在时延估计算法中，相关法是最经典的时延估计方法，它通过信号的自相关函数滞后的峰值估计信号之间延迟的时间差。这种方法简单易懂，容易实现，但它的不足之处是要求信号和噪声、噪声和噪声互不相关，对非平稳信号和可变时延估计的估计误差大，甚至不能估计。

Knapp和Cater提出了广义相关时延估计方法，与基本的相关法不同的是，该方法在做相关之前先对信号进行加权处理。所采用的加权函数即为广义加权函数，如ROTH、PATH、SCOT、Eckart及ML等。这些函数依据不同的优化准则提出，用于增强信号中信噪比较高的频率成分，进而改善信号与噪声的功率比，从而提高了时延估计精度。但是对于高斯信号这种具有随机性的信号，在白噪声的环境下，互相关方法性能下降明显，很快的远离克拉美罗下界值。

Cing与Chan提出了基于MMSE的时延估计算法，该算法把自适应滤波器的权值看作是采样(sinc)函数的抽样值在最小均方误差的准则下改进了代价函数，并且仅对滤波器的峰值做自适应迭代。CTDE算法比LMSTDE算法收敛快且更加简单，计算量也小，但由于仅对自适应滤波器的最大权值加以约束，它的时延估计值是有偏的，且均方误差也较大，也需要一个较好的时延估计初值才能收敛，不能够很好的逼近于克拉美罗下界值。

由于高斯随机信号的不确定性，且与白噪声环境混合后导致信号与噪声分布相似，不能够很好的进行分离并估计时延值，另外，在实际中是基于有限个样本点数进行估计，是否更好逼近克拉美罗下界值就成为了比较算法性能的指标。

发明内容

针对高斯随机信号，为解决现有互相关算法与基于MMSE算法的时延估计值得准确度低的问题，本发明提供了一种基于最小二乘样本拟合的时延估计方法。

本发明所采用的技术方案包括以下步骤：

S1、建立被动时延估计模型，离散时间下观测可以表示为：

x₁[n]＝s[n]+z₁[n]，n＝0,1，…，N-1,(1)

x₂[n]＝αs[n-D]+z₂[n]，n＝0,1，…，N-1,(2)

其中s[n]是随机的高斯信号，α是衰减常数，D是需要估计的时延量，N是采样点个数，而z₁[n]和z₂[n]是零均值且互不相关的白噪声过程，各自对应方差为和

S2、根据步骤S1构造的原始信号模型与最小均方误差准则，给出其模型的代价函数I：

其中和是各自α和D最优变量，假设

S4、步骤S3对应于互相关函数计算x₂[n]和之间的相似性，得到x₁[n]与之间的关系，利用sinc内插公式

假设P＞＞|D|，sinc函数为sinc(ν)＝sin(πν)/(πν)。

S5、把步骤S3代入找出互相关函数所对应的峰值点。而在实际中是基于有限个样本进行估计，是一个估计量。因此，利用步骤S4内插公式，代入可得

S6、把步骤S5所得代入步骤S2中的代价函数I获取代价函数Ⅱ：

S7、利用最小二乘(LS)准则进行拟合的方法，对步骤S6的代价函数Ⅱ进行改进，将最小化可得代价函数

其中的为β的最优变量。

S8、对步骤S7获取的代价函数求关于的一阶导数

S9、将步骤S8一阶导数等于零，即

S10、将步骤S9代回步骤S7的代价函数Ⅲ求解，加入最小二乘准则改进的代价函数为：

对应的估计值D_L：

S11、验证步骤S10所得估计D_L为无偏估计。

为求的一阶导数前，需要先得到的期望值为非零常数。

当时，期望值为

其中取N＞＞P，并假设

S12、同样当时，利用步骤S5式(6)与期望值为

S13、同理再次求导期望值为

S14、将步骤S12中式(15)除以步骤S13式(16)可得

S15、从S14可得，符合无偏估计条件，D_L接近于无偏。

S16、若所估计的量为无偏估计量，则该估计量可以达到或渐进达到这个克拉美罗下界。当信号采样点数N→∞时，进行抛物线插值与高斯-马尔科夫估计后得

其中SNR为信噪比，L为接收信号的数量。

S17、将L＝2代入步骤S16式(19)可得CRLB为

本发明有益效果如下：

本发明通过最小二乘准则进行样本拟合，最小化代价函数，求得对应的估计值经验证后是接近于无偏的。并在不同的信噪比或者不同N点数条件下，基于最小二乘样本拟合的估计值对比互相关算法的估计值和基于MMSE算法的估计值都能更精确地计算出时延误差值，更优地逼近CRLB。且在只比较样本数P时，对于较大的P值，基于最小二乘样本拟合的估计值能够更好地逼近CRLB。

基于最小二乘样本拟合的准确度更高，基于最小二乘的时延估计算法，在信噪比或者信号长度一定的条件下，估计性能都明显高于传统的时延估计算法。特别指出，对于高斯信号具有的随机性，互相关算法与基于MMSE算法性能都出现明显下降，本发明是一种有效的时延估计算法。

附图说明

图1为原始高斯信号x₁[n]曲线；

图2为图1高斯信号进行时延D后的信号x₂[n]曲线；

图3为算法的互相关函数估计量曲线；

图4为图3算法互相关函数峰值处局部放大曲线；

图5为P＝10,N＝1000时，不同信噪比下的均方延迟误差曲线；

图6为P＝30，N＝1000时，不同信噪比下的均方延迟误差曲线；

图7为SNR＝5,P＝30时，不同N点数下的均方延迟误差曲线；

具体实施例

下面结合附图对本发明的具体实施例作进一步的说明。

本实施例的最小二乘样本拟合时延估计方法，包括以下步骤：

S1、建立被动时延估计模型：(如图1、图2所示)

x₁[n]＝s[n]+z₁[n]，n＝0,1，…，N-1,

x₂[n]＝αs[n-D]+z₂[n]，n＝0,1，…，N-1,

生成三个互不相关的复高斯序列s[n]，z₁[n]和z₂[n]，并假设使得因此z₁[n]和z₂[n]具有着相同的功率。

S2、在步骤S1中模型赋值：衰减系数α＝1，时延量D＝0.01，点数N＝1000。

S3、给出模型对应的代价函数并将该代价函数展开后，取出其中的互相关函数部分

S4、利用内插公式，将步骤S3得出的结果进行变换，给出此时的代价函数

S5、利用最小二乘(LS)准则进行样本拟合的方法，将步骤S4中最小化得到

S6、将步骤S5中的求关于的一阶导数，并将一阶导数置为零，得到最终的代价函数

S7、求出步骤S6中的取到最小值时所对应的自变量值，即所求的时延估计量。

S8、由图3与图4可知，互相关函数大约在1010.9位置处取得最大，进行粗略估计，此时估算的时延为(2000/2+1)-1010.9＝-9.9，即9.9个采样周期，换算成时延为0.0099，而仿真时延估计数值为0.00991547，此时估算结果与实际信号时延非常接近。

S9、进行抛物线插值与高斯-马尔科夫估计，给出该模型所对应的克拉美罗下界(CRLB)，并取1000个独立的蒙特卡罗法运行的平均值作为最后的结果。

以下对本发明的方法与其他的方法的效果作比较：

用Matlab仿真产生原始高斯信号，假设使得这样可以通过改变功率以产生不同的SNR条件。并通过取1000个独立的蒙特卡罗法运行的平均值作为最后的结果。D_G代表互相关算法，D_M代表基于MMSE算法，D_L代表基于最小二乘样本拟合算法。仿真实验用Matlab 2014a软件编程，在内存8G，CPU主频3.1GHZ的Window 7平台上进行。

1、不同算法在不同信噪比条件下比较

图5与图6分别给出了不同信噪比下的均方延迟误差值。观察图5，在-10<SNR<-5时，互相关算法D_G更敏感于信噪比的影响，更快渐近于CRLB。而在-10<SNR<20时，互相关算法D_G已经达到算法的极限值，准确度明显下降，基于MMSE算法D_M也开始趋于收敛，准确度也开始出现下降，而基于最小二乘样本拟合算法的D_L能更精确地计算出误差值，并更好地渐近于CRLB，准确度下降不明显。在总体来看，互相关算法D_G与基于MMSE算法D_M都已经收敛于其算法的极限值，基于最小二乘样本拟合算法D_L性能优于基于MMSE算法D_M，基于MMSE算法D_M又优于互相关算法D_G。且在图6中，基于最小二乘样本拟合算法D_L性能仍优于基于MMSE算法D_M与互相关算法D_G。

另外，将图5与图6作对比，发现在信噪比逐渐增大时，P值增大，能够提高本算法的性能，基于最小二乘样本拟合算法D_L在不同信噪比的影响下能更好地渐进于CRLB。

2、不同算法在不同初始信号点数条件下比较

图7给出了不同N点数下的均方延迟误差值。在图5中可以分析出，互相关算法D_G在N逐渐增大时，所得的误差会逐渐偏离CRLB，收敛于自身的算法极限，而基于最小二乘样本拟合的D_L能够得到较为准确的延迟误差值。从总体上看，基于最小二乘样本拟合D_L的均方延迟误差能够最好地渐近于CRLB，而互相关算法D_G与基于MMSE算法D_M算法都会收敛至其的极限值后不再增加。

本发明针对高斯随机信号提出了基于最小二乘样本拟合的时延估计算法，通过sinc内插公式在有限数量样本条件下去估计代价函数中的互相关量，并通过LS准则进行样本拟合将代价函数最小化，求得代价函数的极值点，该值即为所需的时延估计值。由算法仿真结果中可得，在不同的信噪比或者不同N点数条件下，基于最小二乘样本拟合的时延估计量D_L对比互相关算法的时延估计量D_G和基于MMSE算法的时延估计量D_M都能更精确地计算出时延误差值，且对于较大的样本点数P值，基于最小二乘样本拟合的时延估计量D_L也能够更好地逼近克拉美罗下界(CRLB)。因此可得基于最小二乘样本拟合的时延估计量D_L总体性能最佳。因此，基于最小二乘样本拟合的时延估计算法是一种有效的时延估计算法。

上面结合附图对本发明的实施例作了详细说明，但是本发明并不限于上述实施例，在本领域普通技术人员所具备的知识范围内，还可以在不脱离本发明宗旨的前提下作出得各种变化，也应视为本发明的保护范围。

Claims (8)

1.一种基于最小二乘样本拟合的时延估计方法，其特征在于包括如下步骤：

步骤1、建立被动时延估计模型；

步骤2、根据步骤1构造的原始被动时延估计模型与最小均方误差准则，给出其模型的代价函数

步骤3、对代价函数展开，并取其中的互相关部分

步骤4、利用内插公式，将步骤3得出的结果进行变换，给出此时的代价函数

步骤5、利用最小二乘准则进行拟合的方法，对步骤4的代价函数进行改进，将最小化可得代价函数

步骤6、对步骤5中的代价函数求关于的一阶导数，并将一阶导数置为零，得到最终的代价函数

步骤7、求出步骤6中的代价函数取到最小值时所对应的自变量值，即所求的时延估计量；

步骤8、进行抛物线插值与高斯-马尔科夫估计，给出模型所对应的克拉美罗下界，并取1000个独立的蒙特卡罗法运行的平均值作为最后的结果。

2.根据权利要求1所述的一种基于最小二乘样本拟合的时延估计方法，其特征在于步骤1具体实现如下：

x₁[n]＝s[n]+z₁[n]，n＝0,1，…，N-1,(1)

x₂[n]＝αs[n-D]+z₂[n]，n＝0,1，…，N-1,(2)

其中，s[n]是随机的高斯信号，α是衰减常数，D是需要估计的时延量，N是采样点个数，而z₁[n]和z₂[n]是零均值且互不相关的白噪声过程，各自对应方差为和

3.根据权利要求2所述的一种基于最小二乘样本拟合的时延估计方法，其特征在于步骤2具体实现如下：

根据步骤1构造的模型与最小均方误差准则，给出模型的代价函数

其中，和是各自α和D最优变量，假设

4.根据权利要求3所述的一种基于最小二乘样本拟合的时延估计方法，其特征在于步骤3具体实现如下：

将步骤2的代价函数展开，并取其中的互相关部分，可得

5.根据权利要求4所述的一种基于最小二乘样本拟合的时延估计方法，其特征在于步骤4所述的利用内插公式，将步骤3得出的结果进行变换，给出此时的代价函数具体实现如下：

4-1.步骤3对应于互相关函数计算x₂[n]和之间的相似性，得到x₁[n]与之间的关系，利用sinc内插公式：

假设P＞＞|D|，sinc函数为sinc(ν)＝sin(πν)/(πν)；

4-2.将步骤3代入找出互相关函数所对应的峰值点，利用步骤4-1内插公式，代入可得：

4-3.将步骤4-2所得代入步骤2中的代价函数获取代价函数

6.根据权利要求5所述的一种基于最小二乘样本拟合的时延估计方法，其特征在于步骤5具体实现如下：

对代价函数进行改进，将最小化可得代价函数

其中的为β的最优变量。

7.根据权利要求6所述的一种基于最小二乘样本拟合的时延估计方法，其特征在于步骤6所述的对步骤5中的代价函数求关于的一阶导数，并将一阶导数置为零，得到最终的代价函数

6-1.对步骤5获取的代价函数求关于的一阶导数：

6-2.将步骤6-1的一阶导数等于零，即

6-3.将步骤6-2代回步骤5的代价函数求解，加入最小二乘准则改进的代价函数为：

对应的估计值D_L：

8.根据权利要求7所述的一种基于最小二乘样本拟合的时延估计方法，其特征在于步骤7所述的求出步骤6中的代价函数取到最小值时所对应的自变量值，即所求的时延估计量，具体实现如下：

7-1.验证步骤6-3所得估计D_L为无偏估计；

为求的一阶导数前，需要先得到的期望值为非零常数；

当时，期望值为

其中取N＞＞P，并假设

当时，利用式(6)与sinc′(0)＝0，期望值为

同理再次求导 期望值为

将式(15)除以式(16)可得：

7-2.从步骤7-1可得，符合无偏估计条件，D_L接近于无偏；

若所估计的量为无偏估计量，则该估计量可以达到或渐进达到这个克拉美罗下界；当信号采样点数N→∞时，进行抛物线插值与高斯-马尔科夫估计后得

其中SNR为信噪比，L为接收信号的数量；

7-3.将L＝2代入式(19)可得CRLB为