CN107167763A - 基于非圆特性的远近场混合信号波达方向估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及阵列信号处理领域，为利用非圆信号的非圆信息测量远近场混合源的相关参数，从而在达到区分远近场信号的同时，提高所测参数的估计性能，促使阵列测向估计算法在解决该类实际问题中更加有效。为此，本发明采用的技术方案是，基于非圆特性的远近场混合信号波达方向估计方法，先利用远场非圆信号的特性估计出远场信号的来波方向及相应参数，而后由此得到远场信号的协方差矩阵，从而在总体协方差矩阵与远场信号协方差矩阵相减后得到近场信号的协方差矩阵，最后利用近场信号的协方差矩阵得到近场信号的来波方向及距离参数，从而达到估计两种信号的相应参数以及提高估计性能的目的。本发明主要应用于阵列信号处理场合。

Description

基于非圆特性的远近场混合信号波达方向估计方法

技术领域

本发明涉及阵列信号处理领域，是一种波达方向(direction-of-arrival,DOA)估计技术。具体讲,涉及基于非圆特性的远近场混合信号DOA(波达方向)估计方法。

背景技术

在DOA(波达方向)估计中，基于子空间分解的方法如MUSIC(Multiple SignalClassification多重信号分类)和ESPRIT(Estimating signal parameters viaRotational invariance techniques旋转不变子空间)算法应用十分广泛。然而，在实际应用中，经常存在近场和远场信号混合并存的情况，例如在电子对抗中，辐射源可能同时放置于传感器的远场和近场；另外，在阵列麦克风的应用中，讲话者所处的位置可能同时位于阵列麦克风的远场和近场。近些年，近场与远场的参数估计问题已经取得了较大突破，但仍有众多难题需要解决，如提高参数估计的性能等。在雷达等通信领域，非圆信号是常见的通信信号，如BPSK(二进制相移键控)，ASK(幅移键控)等。利用信号的非圆特性，可以扩大阵列的虚拟孔径，从而能够检测更多的信号源以及提高测量参数的精度。因此，当接收远场及近场非圆混合信号时，如何在估计信号参数的同时，有效利用非圆信息提高估计精度对于提高估计性能具有重要意义。

目前近场与远场的参数估计问题已经取得了较大突破，文献[1]和文献[2]分别提出了两种有效的解决方法。但这些算法在估计远近场非圆混合信号时并未能利用信号的非圆特性，因此参数估计的性能受限。

[1]J.He,M.N.S.Swamy and M.O.Ahmad,"Efficient Application of MUSICAlgorithm Under the Coexistence of Far-Field and Near-Field Sources,"in IEEETransactions on Signal Processing,vol.60,no.4,pp.2066-2070,April 2012。

[2]G.Liu and X.Sun,"Efficient Method of Passive Localization forMixed Far-Field and Near-Field Sources,"in IEEE Antennas and WirelessPropagation Letters,vol.12,no.,pp.902-905,2013。

发明内容

为克服现有技术的不足，本发明旨在利用非圆信号的非圆信息测量远近场混合源的相关参数，从而在达到区分远近场信号的同时，提高所测参数的估计性能，促使阵列测向估计算法在解决该类实际问题中更加有效。为此，本发明采用的技术方案是，基于非圆特性的远近场混合信号波达方向估计方法，先利用远场非圆信号的特性估计出远场信号的来波方向及相应参数，而后由此得到远场信号的协方差矩阵，从而在总体协方差矩阵与远场信号协方差矩阵相减后得到近场信号的协方差矩阵，最后利用近场信号的协方差矩阵得到近场信号的来波方向及距离参数，从而达到估计两种信号的相应参数以及提高估计性能的目的。

具体地：

(1)远近场信号模型

采用均匀线阵模型，如图1所示，K＝2L+1个全向传感器元素组成，阵列的间距d为λ/4，λ为入射信号的波长，假设有M个非相关窄带信号，其中包括M₁个近场信号以及M-M₁个远场信号它们分别从方向入射到该阵列上，为信号发射源到阵元的距离，近场信号为有限未知距离，远场信号认为是无穷大，因此，用于表示近场信号的距离参量，均匀线阵上的接收噪声都是均值为0，方差为σ²的加性高斯圆噪声，在采样t时刻，该阵列的输出矢量x(t)表示为

x(t)＝As(t)+n(t)＝A_Ns_N(t)+A_Fs_F(t)+n(t) (5-1)

其中，x(t)＝[x_-L(t),…,x₀(t),…,x_L(t)]^T，A为信号的阵列流型矩阵，s(t)为入射信号源矢量，n(t)为加性高斯白噪声矢量，A_N和A_F分别表示远场信号和近场信号的阵列流型矩阵，

其中近场信号的导向矢量为

其中，远场信号的导向矢量为k₂＝M₁+1,…M，s_N(t)和s_F(t)分别表示近场和远场信号的入射信号源矢量，因为接收信号为非圆信号，因此入射信号源矢量s(t)表示为s(t)＝ψ^1/2s_o(t)，其中s_o(t)＝[s_o,1(t),…,s_o,M(t)]^T，为信号对应的零初相的实信号，对角矩阵 为信号的的初相，k₃＝1,…,M，对于最大非圆率的严格非圆信号，非圆相位为初相的两倍；

(2)远场信号参数估计

将阵列的接收数据x(t)与其共轭形式x^*(t)组成一个新的数据矢量，即

A为信号的阵列流型矩阵，s(t)为入射信号源矢量，A^*和ψ^*分别对应阵列流型矩阵A和对角矩阵ψ的共轭形式，n(t)为加性高斯白噪声矢量，n^*(t)为n(t)的共轭形式，ψ_N ^*和ψ_F ^*分别为近场信号相位对角矩阵ψ_N和远场信号相位对角矩阵ψ_F的共轭形式；

定义A_eN和A_eF分别为近场和远场的扩展方向矩阵，其中

其中近场扩展的导向矢量为

为近场信号方向矩阵的导向矢量，为其共轭形式，和分别为近场信号的来波方向，距离和初相；

其中远场扩展的导向矢量为

为远场信号方向矩阵的导向矢量，为其共轭形式，和分别为近场信号的来波方向和初相；

对扩展数据矢量Y(t)的协方差矩阵为：

R＝E[Y(t)Y^H(t)]＝A_eR_sA_e ^H+σ²I_2K

＝A_eNR_sNA_eN ^H+A_eFR_sFA_eF ^H+σ²I_2K

＝R_N+R_F+σ²I_2K (5-7)

其中，A_e为信号扩展方向矩阵，R_s为信号的协方差矩阵，R_N和R_F分别为近场和远场观测数据的协方差矩阵，R_sN和R_sF分别为近场信号和远场信号的协方差矩阵，R_sN＝E[s_N(t)s_N ^H(t)]，R_sF＝E[s_F(t)s_F ^H(t)]，σ²为阵元噪声功率，I_2K为2K×2K的单位矩阵；

对协方差矩阵R进行特征分解

R＝U_sΛ_sU_s ^H+U_nΛ_nU_n ^H (5-8)

Λ_s是M个主特征值的对角阵，Λ_n是其余2K-M个次特征值构成的对角阵，U_s为主特征值对应的2K×M的特征向量矩阵，它张成了R的信号子空间，U_n为次特征值对应的2K×(2K-M)的特征矢量矩阵，它张成了R的噪声子空间；

基于U_n的共轭转置U_n ^H与近场扩展的导向矢量正交，对于从任意方向的远场信号有

令2K×2的矩阵V_F(θ)为a_F(θ)为远场信号方向矩阵的导向矢量，a_F ^*(θ)为其共轭形式，定义2×2的矩阵Q_F(θ)＝V_F(θ)^HU_nU_n ^HV_F(θ)，则角度θ不等于真实方位角时，Q_F(θ)是满秩的，只有当θ等于真实方位角时，矩阵Q_F(θ)会出现秩损，即rank{Q_F(θ)}<2，因此构造远场信号估计器

给定角度θ的搜索范围为-90°到90°，则远场信号的DOA可从f_F(θ)的峰值中得到；

(3)近场信号角度估计

由(5-7)和(5-8)可得

U_s(Λ_s-σ²I_M×M)U_s ^H＝A_eR_sA_e ^H＝A_eNR_sNA_eN ^H+A_eFR_sFA_eF ^H (5-11)

其中，σ²为噪声能量，可用(2K-M)个最小特征值的平均值来估计，因此，第(M₁+m)个远场信号的能量能用以下式子估计

+表示伪逆，k₂＝M₁+1,…M

将U_n划分为两个维数相等的子阵U_n1和U_n2都是K×(2K-M)的矩阵，则可由以下式子得到

因此，将估计得的远场信号角度代入上式即可得到该非圆远场信号的非圆相位；

且远场信号的协方差矩阵R_F表示为

因此，将估计得到的远场信号角度代入式(5-12)，(5-13)，而后将式(5-12)，(5-13)代入(5-14)即得到R_F的结果，而后由下式得到近场信号的协方差矩阵

R_N＝U_s(Λ_s-σ²I_M×M)U_s ^H-R_F (5-15)

对R_N进行特征分解

Δ_s为包含M₁个主特征值的对角矩阵，Δ_n为其余(2K-M₁)个次特征值构成的对角阵，E_s为主特征值对应的2K×M₁的特征矢量矩阵，它是张成R_N的信号子空间，E_n为次特征值对应的2K×(2K-M₁)的特征矢量矩阵，它张成了R_N的噪声子空间；

定义2L×K的矩阵J₁和J₂，

且定义4L×2K的矩阵和

且定义Φ(θ)＝diag{e^-j2Lγ,…,e^-j2(1-L)γ,e^j2Lγ,…,e^j2(1-L)γ}，γ＝-2πdsinθ/λ，

构造4L×M₁的矩阵

当角度θ为真实近场信号时(即)时矩阵Q_N(θ)的第k₁列将变为0，令W为任意4L×M₁的满列秩矩阵，则W^HQ_N(θ)为奇异矩阵，构造近场信号的估计器

给定角度θ的搜索范围为-90°到90°，则近场信号的DOA可从f_N(θ)的峰值中得到；

(4)近场信号距离估计

对于从任意方向的近场信号(k₁＝1,2,…,M₁)，基于U_n ^H与的正交性

令2K×2的矩阵V_N(θ)为

定义2×2的矩阵

P_N(θ,r)＝V_N(θ,r)^HU_nU_n ^HV_N(θ,r) (5-21)

当近场信号为真实值时，即θ,r，θ为信号方向角度，r为信号距离，为真实近场信号参数时，P_N(θ,r)会出现秩损，即rank{P_N(θ,r)}<2，因此代入由式(5-18)估计得到的近场信号的估计角度值k₁＝1,2,…,M₁，得到近场信号距离r的估计值：

给定距离r的搜索范围r∈[0.62(D³/λ)^1/2,2D²/λ]，D为阵列孔径，λ为波长，则近场信号估计角对应的距离参数可从的峰值中得到。

本发明的特点及有益效果是：

本发明基于均匀线阵，在估计远近场混合非圆信号参数的同时，充分利用非圆信号的非圆信息，提高了算法的估计性能。近些年，近场与远场的参数估计问题已经取得了较大突破，已涌现出许多优秀的算法，如文献[2]中所提算法就能有效解决该问题，但与本发明所提算法相比，本发明的估计精度更高，该结论已通过仿真实验验证，因此，本发明在解决远近场混合非圆信号参数估计的同时，估计精度也有所提高。

在DOA估计性能方面，本算法与文献[2]中算法在不同信噪比下进行比较，用均方根误差(RMSE)作为性能的衡量标准，信号数设为4，阵元数设为9，结果如图2，图3所示，可以看出，本方法对于远场和近场信号的参数估计性能都优于文献[2]所提算法的估计性能。

附图说明：

图1对称均匀线性阵列结构。

图2远场误差和近场误差与信噪比的关系。

图3近场信号距离误差与信噪比的关系。

图4算法流程图。

具体实施方式

本发明具体涉及到使用均匀线阵，对混合的近场及远场非圆信号进行DOA(波达方向)估计，并分离两种信号，同时对近场非圆信号的距离参数进行估计的方法。

本算法主要过程是先利用远场非圆信号的特性估计出远场信号的来波方向及相应参数，而后由此得到远场信号的协方差矩阵，从而在总体协方差矩阵与远场信号协方差矩阵相减后得到近场信号的协方差矩阵。最后利用近场信号的协方差矩阵得到近场信号的来波方向及距离参数，从而达到估计两种信号的相应参数以及提高估计性能的目的。

具体方案如下：

(1)远近场信号模型

采用均匀线阵模型，如图1所示，K＝2L+1个全向传感器元素组成，阵列的间距d为λ/4，λ为入射信号的波长，假设有M个非相关窄带信号，其中包括M₁个近场信号以及M-M₁个远场信号它们分别从方向入射到该阵列上，为信号发射源到阵元的距离，近场信号为有限未知距离，远场信号认为是无穷大，因此，一般用于表示近场信号的距离参量。均匀线阵上的接收噪声都是均值为0，方差为σ²的加性高斯圆噪声，在采样t时刻，该阵列的输出矢量x(t)表示为

x(t)＝As(t)+n(t)＝A_Ns_N(t)+A_Fs_F(t)+n(t) (5-1)

其中，x(t)＝[x_-L(t),…,x₀(t),…,x_L(t)]^T，A为信号的阵列流型矩阵，s(t)为入射信号源矢量，n(t)为加性高斯白噪声矢量，A_N和A_F分别表示远场信号和近场信号的阵列流型矩阵，

A_N＝[a_N(θ₁,r₁),…,a_N(θ_m,r_m),…,a_N(θ_M1,r_M1)]

其中近场信号的导向矢量为

其中，远场信号的导向矢量为k₂＝M₁+1,…M，s_N(t)和s_F(t)分别表示近场和远场信号的入射信号源矢量，因为接收信号为非圆信号，因此入射信号源矢量s(t)表示为s(t)＝ψ^1/2s_o(t)，其中s_o(t)＝[s_o,1(t),…,s_o,M(t)]^T，为信号对应的零初相的实信号，对角矩阵 为信号的的初相，k₃＝1,…,M，对于最大非圆率的严格非圆信号，非圆相位为初相的两倍；

(2)远场信号参数估计

将阵列的接收数据x(t)与其共轭形式x^*(t)组成一个新的数据矢量，即

A为信号的阵列流型矩阵，s(t)为入射信号源矢量，A^*和ψ^*分别对应阵列流型矩阵A和对角矩阵ψ的共轭形式，n(t)为加性高斯白噪声矢量，n^*(t)为n(t)的共轭形式，ψ_N ^*和ψ_F ^*分别为近场信号相位对角矩阵ψ_N和远场信号相位对角矩阵ψ_F的共轭形式。

定义A_eN和A_eF分别为近场和远场的扩展方向矩阵，其中

其中近场扩展的导向矢量为

为近场信号方向矩阵的导向矢量，为其共轭形式，和分别为近场信号的来波方向，距离和初相。

其中远场扩展的导向矢量为

为远场信号方向矩阵的导向矢量，为其共轭形式，和分别为近场信号的来波方向和初相。

对扩展数据矢量Y(t)的协方差矩阵为：

R＝E[Y(t)Y^H(t)]＝A_eR_sA_e ^H+σ²I_2K

＝A_eNR_sNA_eN ^H+A_eFR_sFA_eF ^H+σ²I_2K

＝R_N+R_F+σ²I_2K (5-7)

其中，A_e为信号扩展方向矩阵，R_s为信号的协方差矩阵，R_N和R_F分别为近场和远场观测数据的协方差矩阵，R_sN和R_sF分别为近场信号和远场信号的协方差矩阵，R_sN＝E[s_N(t)s_N ^H(t)]，R_sF＝E[s_F(t)s_F ^H(t)]，σ²为阵元噪声功率，I_2K为2K×2K的单位矩阵；

对协方差矩阵R进行特征分解

R＝U_sΛ_sU_s ^H+U_nΛ_nU_n ^H (5-8)

Λ_s是M个主特征值的对角阵，Λ_n是其余2K-M个次特征值构成的对角阵，U_s为主特征值对应的2K×M的特征向量矩阵，它张成了R的信号子空间，U_n为次特征值对应的2K×(2K-M)的特征矢量矩阵，它张成了R的噪声子空间；

基于U_n ^H(U_n的共轭转置)与(近场扩展的导向矢量)正交，对于从任意方向的远场信号有

令2K×2的矩阵V_F(θ)为a_F(θ)为远场信号方向矩阵的导向矢量，a_F ^*(θ)为其共轭形式，定义2×2的矩阵Q_F(θ)＝V_F(θ)^HU_nU_n ^HV_F(θ)，则角度θ不等于真实方位角时，Q_F(θ)是满秩的，只有当θ等于真实方位角时，矩阵Q_F(θ)会出现秩损，即rank{Q_F(θ)}<2，因此构造远场信号估计器

给定角度θ的搜索范围为-90°到90°，则远场信号的DOA可从f_F(θ)的峰值中得到；

(3)近场信号角度估计

由(5-7)和(5-8)可得

U_s(Λ_s-σ²I_M×M)U_s ^H＝A_eR_sA_e ^H＝A_eNR_sNA_eN ^H+A_eFR_sFA_eF ^H (5-11)

其中，σ²为噪声能量，可用(2K-M)个最小特征值的平均值来估计，因此，第(M₁+m)个远场信号的能量能用以下式子估计

+表示伪逆，k₂＝M₁+1,…M

将U_n划分为两个维数相等的子阵U_n1和U_n2都是K×(2K-M)的矩阵，则可由以下式子得到

因此，将估计得的远场信号角度代入上式即可得到该非圆远场信号的非圆相位；

且远场信号的协方差矩阵R_F表示为

因此，将估计得到的远场信号角度代入式(5-12)，(5-13)，而后将式(5-12)，(5-13)代入(5-14)即得到R_F的结果，而后由下式得到近场信号的协方差矩阵

R_N＝U_s(Λ_s-σ²I_M×M)U_s ^H-R_F (5-15)

对R_N进行特征分解

Δ_s为包含M₁个主特征值的对角矩阵，Δ_n为其余(2K-M₁)个次特征值构成的对角阵，E_s为主特征值对应的2K×M₁的特征矢量矩阵，它是张成R_N的信号子空间，E_n为次特征值对应的2K×(2K-M₁)的特征矢量矩阵，它张成了R_N的噪声子空间；

定义2L×K的矩阵J₁和J₂，

且定义4L×2K的矩阵和

且定义Φ(θ)＝diag{e^-j2Lγ,…,e^-j2(1-L)γ,e^j2Lγ,…,e^j2(1-L)γ}，γ＝-2πdsinθ/λ，

构造4L×M₁的矩阵

当角度θ为真实近场信号时(即)时矩阵Q_N(θ)的第k₁列将变为0，令W为任意4L×M₁的满列秩矩阵，则W^HQ_N(θ)为奇异矩阵，构造近场信号的估计器

给定角度θ的搜索范围为-90°到90°，则近场信号的DOA可从f_N(θ)的峰值中得到；

(4)近场信号距离估计

对于从任意方向的近场信号(k₁＝1,2,…,M₁)，基于U_n ^H与的正交性

令2K×2的矩阵V_N(θ)为

定义2×2的矩阵

P_N(θ,r)＝V_N(θ,r)^HU_nU_n ^HV_N(θ,r) (5-21)

当近场信号为真实值时，即θ,r(θ为信号方向角度，r为信号距离)为真实近场信号参数时，P_N(θ,r)会出现秩损，即rank{P_N(θ,r)}<2，因此代入由式(5-18)估计得到的近场信号的估计角度值得到近场信号距离r的估计值：

给定距离r的搜索范围r∈[0.62(D³/λ)^1/2,2D²/λ]，D为阵列孔径，λ为波长，则近场信号估计角对应的距离参数可从的峰值中得到。

本发明的一个步骤总结如下。

步骤1：由式(5-2)构造新数据矢量Y(t)；

步骤2：按照式(5-7)计算协方差矩阵R；

步骤3：根据式(5-8)特征分解得到其噪声子空间U_n；

步骤4：由式(5-10)构造的远场信号DOA估计器得M-M₁个远场信号的测向角度

步骤5：由式(5-15)得近场信号的协方差矩阵R_N；

步骤6：由式(5-16)特征分解R_N得到近场信号的信号子空间E_s；

步骤7：由式(5-18)构造的近场信号DOA估计器得到M₁个近场信号的测向角度

步骤8：通过式(5-22)构造的距离估计器得到近场信号对应的距离参数r。

Claims (2)

1.一种基于非圆特性的远近场混合信号波达方向估计方法，其特征是，先利用远场非圆信号的特性估计出远场信号的来波方向及相应参数，而后由此得到远场信号的协方差矩阵，从而在总体协方差矩阵与远场信号协方差矩阵相减后得到近场信号的协方差矩阵，最后利用近场信号的协方差矩阵得到近场信号的来波方向及距离参数，从而达到估计两种信号的相应参数以及提高估计性能的目的。

2.如权利要求1所述的基于非圆特性的远近场混合信号波达方向估计方法，其特征是，具体地：

(1)远近场信号模型

采用均匀线阵模型，如图1所示，K＝2L+1个全向传感器元素组成，阵列的间距d为λ/4，λ为入射信号的波长，假设有M个非相关窄带信号，其中包括M₁个近场信号以及M-M₁个远场信号它们分别从方向入射到该阵列上，为信号发射源到阵元的距离，近场信号为有限未知距离，远场信号认为是无穷大，因此，用于表示近场信号的距离参量，均匀线阵上的接收噪声都是均值为0，方差为σ²的加性高斯圆噪声，在采样t时刻，该阵列的输出矢量x(t)表示为

x(t)＝As(t)+n(t)＝A_Ns_N(t)+A_Fs_F(t)+n(t) (5-1)

其中，x(t)＝[x_-L(t),…,x₀(t),…,x_L(t)]^T，A为信号的阵列流型矩阵，s(t)为入射信号源矢量，n(t)为加性高斯白噪声矢量，A_N和A_F分别表示远场信号和近场信号的阵列流型矩阵，

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其中近场信号的导向矢量为

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其中，远场信号的导向矢量为k₂＝M₁+1,…M，s_N(t)和s_F(t)分别表示近场和远场信号的入射信号源矢量，因为接收信号为非圆信号，因此入射信号源矢量s(t)表示为s(t)＝ψ^1/2s_o(t)，其中s_o(t)＝[s_o,1(t),…,s_o,M(t)]^T，为信号对应的零初相的实信号，对角矩阵 为信号的的初相，k₃＝1,…,M，对于最大非圆率的严格非圆信号，非圆相位为初相的两倍；

(2)远场信号参数估计

将阵列的接收数据x(t)与其共轭形式x^*(t)组成一个新的数据矢量，即

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>Y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>x</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>A</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>A</mi> <mo>*</mo> </msup> <msup> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>*</mo> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>n</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mi>N</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <msub> <mi>A</mi> <mi>N</mi> </msub> <mo>*</mo> </msup> <msup> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>N</mi> </msub> <mo>*</mo> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <msub> <mi>s</mi> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mi>F</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <msub> <mi>A</mi> <mi>F</mi> </msub> <mo>*</mo> </msup> <msup> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>F</mi> </msub> <mo>*</mo> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <msub> <mi>s</mi> <mi>F</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>n</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

A为信号的阵列流型矩阵，s(t)为入射信号源矢量，A^*和ψ^*分别对应阵列流型矩阵A和对角矩阵ψ的共轭形式，n(t)为加性高斯白噪声矢量，n^*(t)为n(t)的共轭形式，ψ_N ^*和ψ_F ^*分别为近场信号相位对角矩阵ψ_N和远场信号相位对角矩阵ψ_F的共轭形式；

定义A_eN和A_eF分别为近场和远场的扩展方向矩阵，其中

<mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mi>N</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <msub> <mi>A</mi> <mi>N</mi> </msub> <mo>*</mo> </msup> <msup> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>N</mi> </msub> <mo>*</mo> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mover> <mi>a</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>a</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>r</mi> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>-</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中近场扩展的导向矢量为

<mrow> <msub> <mover> <mi>a</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>r</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mi>N</mi> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>r</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <msub> <mi>a</mi> <mi>N</mi> </msub> <mo>*</mo> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>r</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>j&amp;psi;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>r</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msup> <msub> <mi>a</mi> <mi>N</mi> </msub> <mo>*</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>r</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>j&amp;psi;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>-</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

为近场信号方向矩阵的导向矢量，为其共轭形式，和分别为近场信号的来波方向，距离和初相；

<mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>F</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mi>F</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <msub> <mi>A</mi> <mi>F</mi> </msub> <mo>*</mo> </msup> <msup> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>F</mi> </msub> <mo>*</mo> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mover> <mi>a</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>F</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>a</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>F</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>-</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中远场扩展的导向矢量为

<mrow> <msub> <mover> <mi>a</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>F</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mi>F</mi> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <msub> <mi>a</mi> <mi>F</mi> </msub> <mo>*</mo> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>j&amp;psi;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mi>F</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msup> <msub> <mi>a</mi> <mi>F</mi> </msub> <mo>*</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>j&amp;psi;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>-</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

为远场信号方向矩阵的导向矢量，为其共轭形式，和分别为近场信号的来波方向和初相；

对扩展数据矢量Y(t)的协方差矩阵为：

R＝E[Y(t)Y^H(t)]＝A_eR_sA_e ^H+σ²I_2K

＝A_eNR_sNA_eN ^H+A_eFR_sFA_eF ^H+σ²I_2K

＝R_N+R_F+σ²I_2K (5-7)

其中，A_e为信号扩展方向矩阵，R_s为信号的协方差矩阵，R_N和R_F分别为近场和远场观测数据的协方差矩阵，R_sN和R_sF分别为近场信号和远场信号的协方差矩阵，R_sN＝E[s_N(t)s_N ^H(t)]，R_sF＝E[s_F(t)s_F ^H(t)]，σ²为阵元噪声功率，I_2K为2K×2K的单位矩阵；

对协方差矩阵R进行特征分解

R＝U_sΛ_sU_s ^H+U_nΛ_nU_n ^H (5-8)

Λ_s是M个主特征值的对角阵，Λ_n是其余2K-M个次特征值构成的对角阵，U_s为主特征值对应的2K×M的特征向量矩阵，它张成了R的信号子空间，U_n为次特征值对应的2K×(2K-M)的特征矢量矩阵，它张成了R的噪声子空间；

基于U_n的共轭转置U_n ^H与近场扩展的导向矢量正交，对于从任意方向的远场信号有

<mrow> <msup> <msub> <mi>U</mi> <mi>n</mi> </msub> <mi>H</mi> </msup> <msub> <mover> <mi>a</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>F</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <msub> <mi>U</mi> <mi>n</mi> </msub> <mi>H</mi> </msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mi>F</mi> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <msub> <mi>a</mi> <mi>F</mi> </msub> <mo>*</mo> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>j&amp;psi;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msup> <msub> <mi>U</mi> <mi>n</mi> </msub> <mi>H</mi> </msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mi>F</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msup> <msub> <mi>a</mi> <mi>F</mi> </msub> <mo>*</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>j&amp;psi;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>-</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

令2K×2的矩阵V_F(θ)为a_F(θ)为远场信号方向矩阵的导向矢量，a_F ^*(θ)为其共轭形式，定义2×2的矩阵Q_F(θ)＝V_F(θ)^HU_nU_n ^HV_F(θ)，则角度θ不等于真实方位角时，Q_F(θ)是满秩的，只有当θ等于真实方位角时，矩阵Q_F(θ)会出现秩损，即rank{Q_F(θ)}<2，因此构造远场信号估计器

<mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>F</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>det</mi> <mo>{</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mi>F</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>det</mi> <mo>{</mo> <msub> <mi>V</mi> <mi>F</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msub> <mi>U</mi> <mi>n</mi> </msub> <msup> <msub> <mi>U</mi> <mi>n</mi> </msub> <mi>H</mi> </msup> <msub> <mi>V</mi> <mi>F</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>-</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

给定角度θ的搜索范围为-90^°到90^°，则远场信号的DOA可从f_F(θ)的峰值中得到；

(3)近场信号角度估计

由(5-7)和(5-8)可得

U_s(Λ_s-σ²I_M×M)U_s ^H＝A_eR_sA_e ^H＝A_eNR_sNA_eN ^H+A_eFR_sFA_eF ^H (5-11)

其中，σ²为噪声能量，可用(2K-M)个最小特征值的平均值来估计，因此，第(M₁+m)个远场信号的能量能用以下式子估计

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>{</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>A</mi> <mi>e</mi> <mo>+</mo> </msubsup> <msub> <mover> <mi>a</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>F</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mi>R</mi> <mi>s</mi> <mo>+</mo> </msubsup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>A</mi> <mi>e</mi> <mo>+</mo> </msubsup> <msub> <mover> <mi>a</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>F</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>}</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>{</mo> <msubsup> <mover> <mi>a</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>F</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Lambda;</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <msub> <mi>U</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>H</mi> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mo>+</mo> </msup> <msub> <mover> <mi>a</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>F</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>{</mo> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>j&amp;psi;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mi>F</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msup> <msub> <mi>a</mi> <mi>F</mi> </msub> <mo>*</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Lambda;</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <msub> <mi>U</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>H</mi> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mo>+</mo> </msup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mi>F</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msup> <msub> <mi>a</mi> <mi>F</mi> </msub> <mo>*</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>H</mi> </msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>j&amp;psi;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>}</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>-</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

+表示伪逆，k₂＝M₁+1,…M

将U_n划分为两个维数相等的子阵U_n1和U_n2都是K×(2K-M)的矩阵，则可由以下式子得到

<mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>j&amp;psi;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>F</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>U</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mi>H</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>F</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>F</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>U</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mi>H</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>F</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>-</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

因此，将估计得的远场信号角度代入上式即可得到该非圆远场信号的非圆相位；

且远场信号的协方差矩阵R_F表示为

<mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>F</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>F</mi> </mrow> </msub> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>F</mi> </mrow> <mi>H</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>-</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

因此，将估计得到的远场信号角度代入式(5-12)，(5-13)，而后将式(5-12)，(5-13)代入(5-14)即得到R_F的结果，而后由下式得到近场信号的协方差矩阵

R_N＝U_s(Λ_s-σ²I_M×M)U_s ^H-R_F (5-15)

对R_N进行特征分解

<mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>N</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>E</mi> <mi>s</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msubsup> <mi>E</mi> <mi>s</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>E</mi> <mi>n</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>n</mi> </msub> <msubsup> <mi>E</mi> <mi>n</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>-</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

△_s为包含M₁个主特征值的对角矩阵，△_n为其余(2K-M₁)个次特征值构成的对角阵，E_s为主特征值对应的2K×M₁的特征矢量矩阵，它是张成R_N的信号子空间，E_n为次特征值对应的2K×(2K-M₁)的特征矢量矩阵，它张成了R_N的噪声子空间；

定义2L×K的矩阵J₁和J₂，

且定义4L×2K的矩阵和

且定义Φ(θ)＝diag{e^-j2Lγ,…,e^-j2(1-L)γ,e^j2Lγ,…,e^j2(1-L)γ}，γ＝-2πdsinθ/λ，

构造4L×M₁的矩阵

当角度θ为真实近场信号时(即)时矩阵Q_N(θ)的第k₁列将变为0，令W为任意4L×M₁的满列秩矩阵，则W^HQ_N(θ)为奇异矩阵，构造近场信号的估计器

<mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>det</mi> <mo>{</mo> <msup> <mi>W</mi> <mi>H</mi> </msup> <msub> <mi>Q</mi> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> <mo>}</mo> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>-</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

给定角度θ的搜索范围为-90^°到90^°，则近场信号的DOA可从f_N(θ)的峰值中得到；

(4)近场信号距离估计

对于从任意方向的近场信号(k₁＝1,2,…,M₁)，基于U_n ^H与的正交性

<mrow> <msup> <msub> <mi>U</mi> <mi>n</mi> </msub> <mi>H</mi> </msup> <msub> <mover> <mi>a</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>r</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <msub> <mi>U</mi> <mi>n</mi> </msub> <mi>H</mi> </msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>r</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <msub> <mi>a</mi> <mi>N</mi> </msub> <mo>*</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>r</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>j&amp;psi;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msup> <msub> <mi>U</mi> <mi>n</mi> </msub> <mi>H</mi> </msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>r</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msup> <msub> <mi>a</mi> <mi>N</mi> </msub> <mo>*</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>r</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>j&amp;psi;</mi> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>-</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

令2K×2的矩阵V_N(θ)为

<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msup> <msub> <mi>a</mi> <mi>N</mi> </msub> <mo>*</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>-</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

定义2×2的矩阵

P_N(θ,r)＝V_N(θ,r)^HU_nU_n ^HV_N(θ,r) (5-21)

当近场信号为真实值时，即θ,r，θ为信号方向角度，r为信号距离，为真实近场信号参数时，P_N(θ,r)会出现秩损，即rank{P_N(θ,r)}<2，因此代入由式(5-18)估计得到的近场信号的估计角度值得到近场信号距离r的估计值：

<mrow> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>det</mi> <mo>{</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>det</mi> <mo>{</mo> <msub> <mi>V</mi> <mi>N</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msub> <mi>U</mi> <mi>n</mi> </msub> <msup> <msub> <mi>U</mi> <mi>n</mi> </msub> <mi>H</mi> </msup> <msub> <mi>V</mi> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>-</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> 4

给定距离r的搜索范围r∈[0.62(D³/λ)^1/2,2D²/λ]，D为阵列孔径，λ为波长，则近场信号估计角对应的距离参数可从的峰值中得到。