CN106524905A - 一种基于激光追踪仪多站位测量的四轴机床标定方法 - Google Patents

Abstract

一种基于激光追踪仪多站位测量的四轴机床标定方法，属于精密测试技术领域。首先在四轴机床的移动空间范围内确定测点坐标，测量时移动靶镜到各测点，激光追踪仪在转动轴平台上随转动轴的转动进行转站测量，获取不同站位下每个测点到初始测点的相对干涉测长值；其次利用两点距离公式、最小二乘原理、激光追踪仪站位求解优化算法，求解出各站位坐标和对应站位到初始测点的距离；再将测点坐标、站位坐标、对应站位到初始测点的距离作为初值，通过干涉测长误差方程的一次泰勒级数展开，求解得到各测点在四轴机床三个移动轴方向上的修正值；最后依据圆拟合，建立激光追踪仪站位坐标信息与转动轴角度之间的映射关系，实现转动轴转角误差的高精度测量。

Description

一种基于激光追踪仪多站位测量的四轴机床标定方法

技术领域

本发明涉及一种四轴机床标定的方法，特别是基于多站位激光追踪测量的技术方法，属于精密测试技术领域。

背景技术

机床能够实现复杂零件高精度高效的加工以及测量，在一定程度上反映了一个国家装备制造能力的强弱，是衡量一个国家制造业水平高低的一项重要指标。由于我国机床研究起步晚、技术水平相对落后，国产机床在全球市场竞争中与欧美等发达国家仍有一定的差距，其主要原因是国产设备在稳定性、可靠性以及精度等方面难以与发达国家的高档装备相比，其中精度是国产机床的主要薄弱环节。

目前提高机床精度、减小误差的方法主要有两种：误差预防法和误差补偿法，其中误差预防法通过设计、制造、装配等途径来减少误差来源，但这些措施在精度提高上有较大的局限，同时也会极大地增加成本；误差补偿法在不改变机床机械结构的基础上，建立机床相应坐标的误差模型，再根据模型对各轴进行校准。常用的机床误差补偿方法是利用激光干涉仪、自准直仪等高精度光学仪器直接分离机床的21项误差，然后对各单项误差分别进行补偿，这种方法需要较多的光学元件，需要针对不同的误差源搭建相应的光路，耗时较长，无法满足快速高效的要求。用于机床校准的激光追踪仪LaserTRACER，其测量精度不受机械结构影响，能够实现自动跟踪测量，并提供高精度的相对干涉测长距离，无需固定光路，能够高精度快速高效的完成机床检测。为此有必要发明一种基于激光追踪仪多站位测量的适合于机床，能够实时快速标定其多轴误差的方法，以提高机床的精度。

发明内容

以四轴机床为例，技术的四轴机床标定的方法，目的是提供一种基于激光追踪仪多站位测量的方法，对机床进行标定，使之能够在实际测量中提高机床精度。本方法具有操作简单、精度较高等特点。

为达到以上目的，本发明是采取如下技术方案予以实现的：

基于激光追踪仪多站位测量的四轴机床标定方法，包括下述步骤：

步骤一：构建四轴机床激光追踪仪多站位测量模型。

四轴机床空间坐标系下，设四轴机床空间内待测点为A_i(x_i,y_i,z_i)，x_i、y_i、z_i分别为四轴机床空间内的x、y、z三向的坐标值，其中i＝1,2,3,…,n，n表示待测点的个数且取正整数；激光追踪仪的站位坐标为P_j(X_j,Y_j,Z_j)，X_j、Y_j、Z_j分别表示激光追踪仪的x、y、z三向站位坐标值，其中j＝1,2,3,…,m，m表示站位坐标的个数且取正整数；P_j到A₁点的距离为d_j；测量过程中激光追踪仪的测量数据为l_ij，测量模型如图1所示。按三维空间两点距离公式建立下列关系式：

方程个数为m×n，未知数个数为4m+3n。为使方程组可解应满足：

m×n≥4m+3n (2)

则有m和n满足m≥4，n≥16。

步骤二：确定具体实验步骤。

将激光追踪仪固定在含转动轴的平台上，此时激光追踪仪的站位初始点为P₁，控制机床移动目标靶镜按照一定的路径移动至第i个待测点A_i，此时激光追踪仪的测量数据为l_i1；转动轴每次转动θ，第j-1次转动后激光追踪仪的站位为P_j，其中j＝2,3,…,m-1，并按规划路径移动靶镜完成所有待测点测量数据l_ij的测量；多站位测量系统的站位不能在同一平面内，需在转台之外选一站位P_m，移动激光追踪仪到站位P_m，控制机床移动目标靶镜按照规划好的路径移动至待测点A_i，测量此时的激光追踪仪的测量数据l_im。

步骤三：初步求得站位坐标P_i(X_j,Y_j,Z_j)和d_j。

将式(1)等号两边同时平方并移项得到方程：

为方便计算，引入数学变量k，k无物理意义，令则式(3)转化为：

根据最小二乘法将目标函数定义为：

使F(X_j,Y_j,Z_j,k)最小，(5)式应满足下列条件：

同时满足：

将式(6)写成矩阵形式：

解式(8)可得到站位坐标P_i(X_j,Y_j,Z_j)和d_j。

步骤四：优化求解站位坐标，提高求解站位坐标的精度。

根据式(1)可令

理论上f(X_j,Y_j,Z_j,d_j)＝0恒成立，但由于三坐标测量机给出的x_j、y_j、z_j有一定的误差，所以f(X_j,Y_j,Z_j,d_j)＝0不恒成立。

用一次泰勒级数展开有

将式(10)转化成自变量为ΔX_j，ΔY_j，ΔZ_j，Δd_j的方程，令

利用最小二乘法求解ΔX_j，ΔY_j，ΔZ_j，Δd_j，

有

则需满足

求解式(13)即可得到ΔX_j，ΔY_j，ΔZ_j，Δd_j，与式(8)求得的结果相加即可得到优化后的站位坐标P_j'(X_j',Y_j',Z_j')、优化后P_j'到A₁点的距离d_j'。

步骤五：利用步骤四优化的结果和误差方程求得待测点的修正值。

将式(1)写成误差v_ij的方程：

利用最小二乘法处理式(14)得到的误差平方和为E，E是自变量为x₁、y₁、z₁、…、x_n、y_n、z_n、X₁、Y₁、Z₁、…、X_m、Y_m、Z_m的函数，则

式(15)是一个非线性方程，为方便求解采用下面的计算过程：

测点A_i和激光追踪仪站位坐标P_j之间的距离为L_ij，其中

利用泰勒级数展开对式(16)进行泰勒级数展开，得到如下方程：

将式(17)代入式(14)，化简整理后有：

其中：等式(18)即为优化后的求解模型。式(17)、(18)中，标为|₀的为该数值的近似值，x_i|₀、y_i|₀、z_i|₀由机床提供，X_j|₀、Y_j|₀、Z_j|₀、d_j分别为步骤四优化求解得到X_j'、Y_j'、Z_j'、d_j'。

令v_ij＝0，将式(18)写成矩阵的形式：

Ax＝B (19)

A、B是由式(18)写成矩阵形式后的矩阵系数。

其中：

其中dx_i、dy_i、dz_i和dX_j、dY_j、dZ_j为待测点相应坐标的修正值和站位P_j相应坐标的修正值。解方程组(19)可初步得到待测点A_i的修正值(dx_i,dy_i,dz_i)。这样就完成了四轴中x轴、y轴、z轴的标定。

步骤六：利用步骤四得到的站位坐标拟合平面圆的圆心。

由步骤四优化后激光追踪仪的站位坐标为P_j'(X_j',Y_j',Z_j')，通过最小二乘法拟合一个由激光追踪仪站位坐标P_j'(X_j',Y_j',Z_j')组成的圆，圆心为O(X₀,Y₀,Z₀)，半径为R，其中j＝1,2,3,…,m-1。

取这m-1个站位坐标z值的平均值作为圆心在z方向的坐标。

即

设该圆的方程式为

将式子(x-X₀)²+(y-Y₀)²＝R²展开有

为方便计算，引入新变量r，令r＝X₀ ²+Y₀ ²-R²，利用最小二乘法拟合圆得到函数H，则有

使H(X₀,Y₀)→0，式(25)应满足下列条件

将式(26)写成矩阵形式

求解式(27)并结合式(22)可得到拟合圆的圆心O(X₀,Y₀,Z₀)。

步骤七：分别求解每次转动的真实角度。

转动轴第j-1次转动时，其中j＝2,3,…,m-1，转动的真实角度为

所以离散的转动误差为

这样就完成了四轴中转动轴的标定。Δθ_j-1为转动轴第j-1次转动的转动误差，θ_j-1为转动轴转动的真实角度，θ是转动轴的转动角度。

综上所述，以激光追踪仪多站位测量技术为基础，采用站位坐标优化方法，能够有效的提高四轴机床x、y、z轴的移动精度；最后利用求解的高精度站位坐标，并通过圆拟合和余弦定理可以求解得到转动轴的修正值，提高了四轴机床转动轴的精度。

附图说明

图1是四轴机床多站位测量系统示意图；

图2a是x轴引入误差与计算得到的x轴修正值的比较图；

图2b是y轴引入误差与计算得到的y轴修正值的比较图；

图2c是z轴引入误差与计算得到的z轴修正值的比较图；

图2d是转动轴引入角度误差与计算得到的转动轴修正角度的比较图；

图3a是计算得到的x轴修正值与x轴引入误差的差值图；

图3b是计算得到的y轴修正值与y轴引入误差的差值图；

图3c是计算得到的z轴修正值与z轴引入误差的差值图；

图3d是计算得到的转动轴修正角度与转动轴引入角度误差差值图；

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步的详细说明，以令本领域技术人员参照说明书文字能够据以实施。

仿真实验中采用如图1所示的四轴机床多站位测量系统来进行相对干涉测长值的测量，因此通过下述步骤进行分析：

步骤一：构建四轴机床激光追踪仪多站位测量模型。考虑测量精度和实验所需时间，确定激光追踪仪站位的个数为13，其中12个站位为激光追踪仪固定在转动轴平台上的站位和转动11次后分别得到的站位，第13个站位为与12个站位有高度差的站位。空间待测点在四轴机床坐标系下的个数为6×6×2＝72。

步骤二：确定72个待测点的坐标，如表1。

表1待测点的坐标

将激光追踪仪固定在机床转动轴的平台上，站位为P₁，如图1所示，按预设的路劲移动靶镜，记录到达待测点时激光追踪仪测得的数据l_i1，直到完成全部72个测点的测量；随后控制机床转动轴转动，转动轴每次转动θ＝30度，第j-1次转动后激光追踪仪的站位为P_j，其中j＝2,3,…,12，并按规划路径移动靶镜完成所有待测点测量数据l_ij的测量；将激光追踪仪移动到大理石平台上，站位为P₁₃，按规划路径移动靶镜完成所有待测点测量数据l_i13的测量；

步骤三：将72个测点坐标和测得的72×13＝936个测量数据代入式(8)并求解方程组，即可解出激光追踪仪的站位坐标P_j(X_j,Y_j,Y_j)、P_j到A₁点的距离d_j。

步骤四：将72个测点的坐标、936个测量数据l_ij、激光追踪仪站位坐标P_j(X_j,Y_j,Y_j)和P_j到A₁点的距离d_j代入式(13)，求解得到ΔX_j，ΔY_j，ΔZ_j，Δd_j，与式(8)求得的结果相加即可得到优化的结果P_j'(X_j',Y_j',Z_j')和d_j'。

步骤五：将72个测点的坐标、936个测量数据l_ij、激光追踪仪站位坐标P_j'(X_j',Y_j',Z_j')和d_j'代入式(19)，求解方程组即可得到72个测点的坐标修正值，与x轴、y轴、z轴引入的误差做比较，分别如图2a、图2b、图2c所示。

步骤六：取转动轴平台上12个激光跟踪仪的站位坐标，将12个Z_j'代入式(22)求得拟合圆圆心O的z轴坐标Z₀，再将12个(X_j',Y_j')代入式(27)求得圆心的x、y轴坐标X₀、Y₀。

步骤七：将12个激光跟踪仪的站位坐标和圆心O的坐标代入式(28)和式(29)，求得四轴机床转动轴的修正角度，与转动轴引入的转动做比较，如图2d所示。

将计算得到的x轴、y轴、z轴、转动轴修正值分别与引入的x轴、y轴、z轴、转动轴的误差值做差值，结果分别如图3a、图3b、图3c、图3d所示。比较图2a与图3a、图2b与图3b、图2c与图3c、图2d与图3d，可知通过基于激光追踪仪多站位测量的四轴机床标定方法，将x轴的误差范围从-2.9～2.9μm减小到-0.1～0.5μm，将y轴的误差范围从-3.0～3.0μm减小到0～0.8μm，将z轴的误差范围从-3.0～2.8μm减小到-1.1～1.4μm，将转动轴的误差范围从-5.0～5.0秒减小到-1.6～0.2秒，有效地降低了四轴机床三个移动轴的移动误差以及降低了转动轴的角度转动误差，标定效果比较显著。

Claims (1)

1.一种基于激光追踪仪多站位测量的四轴机床标定方法，其特征在于：该方法包括下述步骤：

步骤一：构建四轴机床激光追踪仪多站位测量模型；

四轴机床空间坐标系下，设四轴机床空间内待测点为A_i(x_i,y_i,z_i)，x_i、y_i、z_i分别为四轴机床空间内的x、y、z三向的坐标值，其中i＝1,2,3,…,n，n表示待测点的个数且取正整数；激光追踪仪的站位坐标为P_j(X_j,Y_j,Z_j)，X_j、Y_j、Z_j分别表示激光追踪仪的x、y、z三向站位坐标值，其中j＝1,2,3,…,m，m表示站位坐标的个数且取正整数；P_j到A₁点的距离为d_j；测量过程中激光追踪仪的测量数据为l_ij；按三维空间两点距离公式建立下列关系式：

$\sqrt{{(x_i-X_j)}^2+{(y_i-Y_j)}^2+{(z_i-Z_j)}^2}=d_j+l_{ij}---\left(1\right)$

方程个数为m×n，未知数个数为4m+3n；为使方程组可解应满足：

m×n≥4m+3n (2)

则有m和n满足m≥4，n≥16；

步骤二：确定具体实验步骤；

将激光追踪仪固定在含转动轴的平台上，此时激光追踪仪的站位初始点为P₁，控制机床移动目标靶镜按照一定的路径移动至第i个待测点A_i，此时激光追踪仪的测量数据为l_i1；转动轴每次转动θ，第j-1次转动后激光追踪仪的站位为P_j，其中j＝2,3,…,m-1，并按规划路径移动靶镜完成所有待测点测量数据l_ij的测量；多站位测量系统的站位不能在同一平面内，需在转台之外选一站位P_m，移动激光追踪仪到站位P_m，控制机床移动目标靶镜按照规划好的路径移动至待测点A_i，测量此时的激光追踪仪的测量数据l_im；

步骤三：初步求得站位坐标P_i(X_j,Y_j,Z_j)和d_j；

将式(1)等号两边同时平方并移项得到方程：

$x_i^2+y_i^2+z_i^2-2x_i{X}_j-2y_i{Y}_j-2z_i{Z}_j+X_j^2+Y_j^2+Z_j^2-d_j^2-2d_j{l}_{ij}-l_{ij}^2=0---\left(3\right)$

为方便计算，引入数学变量k，k无物理意义，令则式(3)转化为：

$x_i^2+y_i^2+z_i^2-2x_i{X}_j-2y_i{Y}_j-2z_i{Z}_j+k-2d_j{l}_{ij}-l_{ij}^2=0---\left(4\right)$

根据最小二乘法将目标函数定义为：

$F(X_j,Y_j,Z_j,k)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{(x_i^2+y_i^2+z_i^2-2x_i{X}_j-2y_i{Y}_j-2z_i{Z}_j+k-2d_j{l}_{ij}-l_{ij}^2)}^2---\left(5\right)$

使F(X_j,Y_j,Z_j,k)最小，(5)式应满足下列条件：

$\frac{\∂F}{\∂X_j}=0,\frac{\∂F}{\∂Y_j}=0,\frac{\∂F}{\∂Z_j}=0,\frac{\∂F}{\∂d_j}=0,\frac{\∂F}{\∂k}=0---\left(6\right)$

同时满足：

$\begin{array}{c}\frac{{\∂}^{2}F}{\∂X_j^2}=8\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{x}_i^2>0,\frac{{\∂}^{2}F}{\∂Y_j^2}=8\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{y}_i^2>0,\frac{{\∂}^{2}F}{\∂Z_j^2}=8\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{z}_i^2>0,\\ \frac{{\∂}^{2}F}{\∂d_j^2}=8\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{l}_{ij}^2>0,\frac{{\∂}^{2}F}{\∂k^2}=2>0\end{array}---\left(7\right)$

将式(6)写成矩阵形式：

$\left[\begin{array}{ccccc}2\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{x}_i^2& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{x}_i{y}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{x}_i{z}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{x}_i{l}_{ij}& -\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{x}_i\\ 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{x}_i{y}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{y}_i^2& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{y}_i{z}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{y}_i{l}_{ij}& -\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{y}_i\\ 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{x}_i{z}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{y}_i{z}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{z}_i^2& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{z}_i{l}_{ij}& -\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{z}_i\\ 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{x}_i{l}_{ij}& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{y}_i{l}_{ij}& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{z}_i{l}_{ij}& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{l}_{ij}^2& -\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{l}_{ij}\\ -\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{x}_i& -\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{y}_i& -\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{z}_i& -\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{l}_{ij}& \frac{n}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_j\\ Y_j\\ Z_j\\ d_j\\ k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{x}_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_{ij}^2)\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{y}_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_{ij}^2)\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{z}_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_{ij}^2)\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{l}_{ij}(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_{ij}^2)\\ -\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_{ij}^2)\end{array}\right]---\left(8\right)$

解式(8)可得到站位坐标P_i(X_j,Y_j,Z_j)和d_j；

步骤四：优化求解站位坐标，提高求解站位坐标的精度；

根据式(1)可令

$f(X_j,Y_j,Z_j,d_j)=\sqrt{{(x_i-X_j)}^2+{(y_i-Y_j)}^2+{(z_i-Z_j)}^2}-d_j-l_{ij}---\left(9\right)$

理论上f(X_j,Y_j,Z_j,d_j)＝0恒成立，但由于三坐标测量机给出的x_j、y_j、z_j有一定的误差，所以f(X_j,Y_j,Z_j,d_j)＝0不恒成立；

用一次泰勒级数展开有

$\begin{array}{c}f(X_j,Y_j,Z_j,d_j)\≈f(X_j,Y_j,Z_j,d_j){|}_0\\ +\frac{\∂f}{\∂X_j}{|}_0\·{\mathrm{\ΔX}}_j+\frac{\∂f}{\∂Y_j}{|}_0\·{\mathrm{\ΔY}}_j+\frac{\∂f}{\∂Z_j}{|}_0\·{\mathrm{\ΔZ}}_j+\frac{\∂f}{\∂d_j}{|}_0\·{\mathrm{\Δd}}_j\end{array}---\left(10\right)$

将式(10)转化成自变量为ΔX_j，ΔY_j，ΔZ_j，Δd_j的方程，令

$\begin{array}{c}g({\mathrm{\ΔX}}_j,{\mathrm{\ΔY}}_j,{\mathrm{\ΔZ}}_j,{\mathrm{\Δd}}_j)=f(X_j,Y_j,Z_j,d_j){|}_0\\ +\frac{\∂f}{\∂X_j}{|}_0\·{\mathrm{\ΔX}}_j+\frac{\∂f}{\∂Y_j}{|}_0\·{\mathrm{\ΔY}}_j+\frac{\∂f}{\∂Z_j}{|}_0\·\frac{\∂f}{\∂d_j}{|}_0\·{\mathrm{\Δd}}_j\end{array}---\left(11\right)$

利用最小二乘法求解ΔX_j，ΔY_j，ΔZ_j，Δd_j，

有

$\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{g}^2({\mathrm{\ΔX}}_j,{\mathrm{\ΔY}}_j,{\mathrm{\ΔZ}}_j,{\mathrm{\Δd}}_j)\→0---\left(12\right)$

则需满足

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂g}{\∂\left({\mathrm{\ΔX}}_j\right)}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}2g({\mathrm{\ΔX}}_j,{\mathrm{\ΔY}}_j,{\mathrm{\ΔZ}}_j,{\mathrm{\Δd}}_j)\·\frac{\∂f}{\∂X_j}{|}_0=0\\ \frac{\∂g}{\∂\left({\mathrm{\ΔY}}_j\right)}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}2g({\mathrm{\ΔX}}_j,{\mathrm{\ΔY}}_j,{\mathrm{\ΔZ}}_j,{\mathrm{\Δd}}_j)\·\frac{\∂f}{\∂Y_j}{|}_0=0\\ \frac{\∂g}{\∂\left({\mathrm{\ΔZ}}_j\right)}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}2g({\mathrm{\ΔX}}_j,{\mathrm{\ΔY}}_j,{\mathrm{\ΔZ}}_j,{\mathrm{\Δd}}_j)\·\frac{\∂f}{\∂Z_j}{|}_0=0\\ \frac{\∂g}{\∂\left({\mathrm{\Δd}}_j\right)}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}2g({\mathrm{\ΔX}}_j,{\mathrm{\ΔY}}_j,{\mathrm{\ΔZ}}_j,{\mathrm{\Δd}}_j)\·\frac{\∂f}{\∂d_j}{|}_0=0\end{array}\right.---\left(13\right)$

求解式(13)即可得到ΔX_j，ΔY_j，ΔZ_j，Δd_j，与式(8)求得的结果相加即可得到优化后的站位坐标P_j'(X_j',Y_j',Z_j')、优化后P_j'到A₁点的距离d_j'；

步骤五：利用步骤四优化的结果和误差方程求得待测点的修正值；

将式(1)写成误差v_ij的方程：

$v_{ij}=\sqrt{{(x-X_j)}^2+{(y_i-Y_j)}^2+{(z_i-Z_j)}^2}-d_j-l_{ij}.---\left(14\right)$

利用最小二乘法处理式(14)得到的误差平方和为E，E是自变量为x₁、y₁、z₁、…、x_n、y_n、z_n、X₁、Y₁、Z₁、…、X_m、Y_m、Z_m的函数，则

$E(x_1,y_1,z_1,...,x_n,y_n,z_n,X_1,Y_1,Z_1,...,X_m,Y_m,Z_m)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}{v}_{ij}^2.---\left(15\right)$

式(15)是一个非线性方程，为方便求解采用下面的计算过程：

测点A_i和激光追踪仪站位坐标P_j之间的距离为L_ij，其中

$L_{ij}=\sqrt{{(x_i-X_j)}^2+{(y_i-Y_j)}^2+{(z_i-Z_j)}^2}.---\left(16\right)$

利用泰勒级数展开对式(16)进行泰勒级数展开，得到如下方程：

$\begin{array}{c}{L}_{ij}\≈L_{ij}{|}_0+\frac{\∂L_{ij}}{\∂x_i}{|}_0\·{\mathrm{dx}}_i+\frac{\∂L_{ij}}{\∂y_i}{|}_0\·{\mathrm{dy}}_i+\frac{\∂L_{ij}}{\∂z_i}{|}_0\·{\mathrm{dz}}_i\\ +\frac{\∂L_{ij}}{\∂X_j}{|}_0\·{\mathrm{dX}}_j+\frac{\∂L_{ij}}{\∂Y_j}{|}_0\·{\mathrm{dY}}_j+\frac{\∂L_{ij}}{\∂Z_j}{|}_0\·{\mathrm{dZ}}_j.\end{array}---\left(17\right)$

将式(17)代入式(14)，化简整理后有：

$\begin{array}{c}{v}_{ij}=L_{ij}{|}_0+\frac{x_i{|}_0-X_j{|}_0}{L_{ij}{|}_0}\·({\mathrm{dx}}_i-{\mathrm{dX}}_j)+\frac{y_i{|}_0-Y_j{|}_0}{L_{ij}{|}_0}\·({\mathrm{dy}}_i-{\mathrm{dY}}_j)\\ +\frac{z_i{|}_0-Z_j{|}_0}{L_{ij}{|}_0}\·({\mathrm{dz}}_i-{\mathrm{dZ}}_j)-d_j-l_{ij}.\end{array}---\left(18\right)$

其中：等式(18)即为优化后的求解模型；式(17)、(18)中，标为|₀的为该数值的近似值，x_i|₀、y_i|₀、z_i|₀由机床提供，X_j|₀、Y_j|₀、Z_j|₀、d_j分别为步骤四优化求解得到X_j'、Y_j'、Z_j'、d_j'；

令v_ij＝0，将式(18)写成矩阵的形式：

Ax＝B (19)

A、B是由式(18)写成矩阵形式后的矩阵系数；

其中：

$x={\[{\mathrm{dx}}_1,{\mathrm{dy}}_1,{\mathrm{dz}}_1,...,{\mathrm{dx}}_n,{\mathrm{dy}}_n,{\mathrm{dz}}_n,{\mathrm{dX}}_1,{\mathrm{dY}}_1,{\mathrm{dZ}}_1,...,{\mathrm{dX}}_m,{\mathrm{dY}}_m,{\mathrm{dZ}}_m\]}_{1\×(3n+3m)}^T---\left(20\right)$

$b={\[d_1+l_{11}-L_{11}{|}_0,\mathrm{...},d_j+l_{ij}-L_{ij}{|}_0,...,d_m+l_{nm}-L_{nm}{|}_0\]}_{1\×nm}^T---\left(21\right)$

其中dx_i、dy_i、dz_i和dX_j、dY_j、dZ_j为待测点相应坐标的修正值和站位P_j相应坐标的修正值；解方程组(19)可初步得到待测点A_i的修正值(dx_i,dy_i,dz_i)；这样就完成了四轴中x轴、y轴、z轴的标定；

步骤六：利用步骤四得到的站位坐标拟合平面圆的圆心；

由步骤四优化后激光追踪仪的站位坐标为P_j'(X_j',Y_j',Z_j')，通过最小二乘法拟合一个由激光追踪仪站位坐标P_j'(X_j',Y_j',Z_j')组成的圆，圆心为O(X₀,Y₀,Z₀)，半径为R，其中j＝1,2,3,…,m-1；

取这m-1个站位坐标z值的平均值作为圆心在z方向的坐标；

即

$Z_0=\underset{j=1}{\overset{m-1}{\Σ}}{Z_j}^{\′}---\left(22\right)$

设该圆的方程式为

$\left\{\begin{array}{c}{(x-X_0)}^2+{(y-Y_0)}^2=R^2\\ z=Z_0\end{array}\right.---\left(23\right)$

将式子(x-X₀)²+(y-Y₀)²＝R²展开有

x²+y²-2X₀x-2Y₀y+X₀ ²+Y₀ ²-R²＝0 (24)

为方便计算，引入新变量r，令r＝X₀ ²+Y₀ ²-R²，利用最小二乘法拟合圆得到函数H，则有

$H(X_0,Y_0)=\underset{j=1}{\overset{m-1}{\Σ}}{({X_j}^{\′2}+{Y_j}^{\′2}-2{X_j}^{\′}{X}_0-2{Y_j}^{\′}{Y}_0+r)}^2---\left(25\right)$

使H(X₀,Y₀)→0，式(25)应满足下列条件

$\frac{\∂H}{\∂X_0}=0,\frac{\∂H}{\∂Y_0}=0,\frac{\∂H}{\∂r}=0---\left(26\right)$

将式(26)写成矩阵形式

$\left[\begin{array}{ccc}2\underset{j=1}{\overset{m-1}{\Σ}}{X_j}^{\′2}& 2\underset{j=1}{\overset{m-1}{\Σ}}{X_j}^{\′}{Y_j}^{\′}& -\underset{j=1}{\overset{m-1}{\Σ}}{X_j}^{\′}\\ 2\underset{j=1}{\overset{m-1}{\Σ}}{X_j}^{\′}{Y_j}^{\′}& 2\underset{j=1}{\overset{m-1}{\Σ}}{Y_j}^{\′2}& -\underset{j=1}{\overset{m-1}{\Σ}}{Y_j}^{\′}\\ -\underset{j=1}{\overset{m-1}{\Σ}}{X_j}^{\′}& -\underset{j=1}{\overset{m-1}{\Σ}}{Y_j}^{\′}& \frac{m-1}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_0\\ Y_0\\ r\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\underset{j=1}{\overset{m-1}{\Σ}}{X_j}^{\′}({X_j}^{\′2}+{Y_j}^{\′2})\\ \underset{j=1}{\overset{m-1}{\Σ}}{Y_j}^{\′}({X_j}^{\′2}+{Y_j}^{\′2})\\ -\frac{1}{2}\underset{j=1}{\overset{m-1}{\Σ}}({X_j}^{\′2}+Y_j^{\′2})\end{array}\right]---\left(27\right)$

求解式(27)并结合式(22)可得到拟合圆的圆心O(X₀,Y₀,Z₀)；

步骤七：分别求解每次转动的真实角度；

转动轴第j-1次转动时，其中j＝2,3,…,m-1，转动的真实角度为

${\mathrm{\θ}}_{j-1}=arccos\frac{{\left|{P_{j-1}}^{\′}O\right|}^2+{\left|{P_j}^{\′}O\right|}^2-{\left|{P_{j-1}}^{\′}{P_j}^{\′}\right|}^2}{2\left|{P_{j-1}}^{\′}O\right|\·\left|{P_j}^{\′}O\right|}---\left(28\right)$

所以离散的转动误差为

${\mathrm{\Δ\θ}}_{j-1}=\underset{j=2}{\overset{m-1}{\Σ}}{\mathrm{\θ}}_{j-1}-(j-1)\mathrm{\θ}---\left(29\right)$

这样就完成了四轴中转动轴的标定；Δθ_j-1为转动轴第j-1次转动的转动误差，θ_j-1为转动轴转动的真实角度，θ是转动轴的转动角度。