CN109884658B - 基于激光追踪仪多站位测量系统的激光追踪仪站位方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于激光追踪仪多站位测量系统的激光追踪仪站位方法，该方法的实现过程如下，搭建激光追踪仪多站位测量系统；基于Levenberg‑Marquardt算法的激光追踪仪站位自标定；参数μ_i选择。激光追踪仪站位坐标优化；利用Levenberg‑Marquardt算法及协方差矩阵的奇异值分解变换方法优化激光追踪仪站位坐标。本方法能够提高激光追踪仪站位坐标精度，更精准的修正多轴机床坐标误差，从而使修正结果达到更高的精度。

Description

基于激光追踪仪多站位测量系统的激光追踪仪站位方法

技术领域

本发明涉及一种激光追踪仪站位优化方法，特别是基于激光追踪仪多站位测量系统的激光追踪仪站位优化方法，属于精密测试技术领域。

背景技术

随着现代精密制造和测量技术水平的不断发展，现代工业在加大多轴机床需求的同时，对其精度也提出了更高的要求。误差修正技术只对测量结果进行修正，成本低、效率高、能够大规模应用。而传统的误差修正方法多数无法修正测量结果中的随机成分，具有一定的局限性。激光追踪仪具有测量速度快、精度高等优点，易于实现空间坐标的跟踪测量。因此应用激光追踪仪实现多轴机床的误差修正成为有重要意义的研究。

搭建激光追踪仪多站位测量系统需要多轴机床和激光追踪仪。采用基于激光追踪仪多站位测量方法，利用高精度干涉测长值作为约束条件，能够实时快速标定多轴机床的坐标误差，提高多轴机床空间测量点的定位精度。而在标定过程中，激光追踪仪站位坐标精度影响标定结果的精度，需要对激光追踪仪的站位坐标进行优化。

为此有必要发明一种基于激光追踪仪多站位测量系统的激光追踪仪站位优化方法，提高激光追踪仪站位坐标精度，更精准的修正多轴机床坐标误差，从而使修正结果达到更高的精度。

发明内容

技术的激光追踪仪站位优化方法，目的是提供一种基于激光追踪仪多站位测量系统的激光追踪仪站位优化方法，提高激光追踪仪站位坐标精度，使多轴机床的修正结果达到更高的精度。本方法具有全面合理以及准确等特点。

为达到以上目的，本发明是采取如下技术方案予以实现的：

基于激光追踪仪多站位测量系统的激光追踪仪站位方法，该方法包括以下步骤：

步骤一：搭建激光追踪仪多站位测量系统。本系统搭建需要一台三坐标测量机CMM、转台以及一台激光追踪仪。激光追踪仪的猫眼反射镜固定在三坐标测量机的测头上，并作为待测点。猫眼反射镜与三坐标测量机的测头运动轨迹相同。当三坐标测量机控制测头在测量空间范围内移动时，猫眼反射镜也能够同时跟随多轴机床的测头移动。激光追踪仪发出的激光束入射到猫眼反射镜上，并反射回激光追踪仪的跟踪头。激光追踪仪接收到猫眼反射镜的反射光束后，实现猫眼反射镜即待测点与激光追踪仪之间相对位移的测量。

激光追踪仪多站位测量模型如图1所示。在CMM坐标系下，令CMM测量空间内待测点的坐标为A_i(x_i,y_i,z_i)，其中i＝1,2,3,…,n，n为待测点个数；激光追踪仪的站位坐标为P_j(X_j,Y_j,Z_j)，其中j＝1,2,3,…,m，m为激光追踪仪站位个数；激光追踪仪内部标准球的球心为O；激光追踪仪在每个站位P_j到初始待测点A₁点的距离为d_j；激光追踪仪测量得到的高精度干涉测长值为l_ij。根据三维空间中两点距离公式建立下列关系式，得到激光追踪仪在每个站位对应到待测点的距离d_ji：

步骤二：基于Levenberg-Marquardt算法的激光追踪仪站位自标定。根据式 (1)，令

记f_i(x)＝(f₁(x),f₂(x),...,f_n(x)),则有

式中，Rⁿ为n维实数集，n为待测点个数。

将目标函数F的梯度记为g(x)，得到

式中，

采用Levenberg-Marquardt算法(L-M)进行迭代，通过迭代得出激光追踪仪站位坐标以及激光追踪仪站位到初始待测点的距离。设迭代的搜索方向为h_i，有

式中，μ_i＞0，μ_i为调整搜索方向引入的正参数，f_i为误差方程的集合，J_i为误差方程的梯度矩阵，h为搜索方向的集合。

由最优性条件，h_i满足

其中，I为n阶单位矩阵。

求解式(6)，得

h_i＝-(J_i ^TJ_i+μ_iI)^-1J_i ^Tf_i (7)

式中，

令m_i′是满足式(8)-(11)的最小非负整数m′，即

式中，σ∈(0,1)，β∈(0,1)。

为保证h_i是f_i(x)在x_i处的下降方向，迭代时先设置μ_i的初始值，通过计算 h_i，不断地调整μ_i。根据激光追踪仪多站位测量系统实际需求的容许误差ε，通过迭代即可标定出激光追踪仪站位坐标P_j(X_j,Y_j,Z_j)以及激光追踪仪站位到初始待测点的距离d_j。

步骤三：参数μ_i选择。L-M算法的关键在于参数μ_i的选择，根据当前迭代点，假定二次函数为

式中，F_i为目标函数。

用r_i表示目标函数与二次函数的增量之比，得

当r_i接近于0或者1，都需要对此参数进行调整。r_i的临界值为0.25和0.75，得到参数μ_i选择规则为

迭代过程中，给定μ_i初始值，取每一次迭代步的值作为下一次迭代的初始值。根据计算得到的h_i以及r_i，选择参数μ_i。根据选择的参数μ_i，计算h_i并进行线搜索，进而完成迭代过程。

步骤四：激光追踪仪站位坐标优化。由于激光追踪仪自身重量的影响，转台的转动轴与工作台平面不垂直，导致激光追踪仪站位存在误差。为了提高激光追踪仪自标定算法得到的站位坐标精度，采用协方差矩阵的奇异值分解(Singular Value Decomposition，简称SVD)变换进行平面拟合。将自标定算法得到的激光追踪仪m个站位坐标拟合成一个平面。拟合平面满足激光追踪仪m个站位的坐标到拟合平面距离的残差最小。将激光追踪仪m个站位坐标投影到拟合平面上，即可得到优化后的激光追踪仪站位坐标。

协方差矩阵的奇异值分解SVD分解原理为

A＝UΣV^T (15)

式中，U为左奇异正交向量矩阵，Σ为对角奇异值矩阵，V为右奇异正交向量矩阵。

设拟合平面为

aX+bY+cZ+e＝0 (16)

最小奇异值对应的奇异向量即为拟合后的平面方程法向量方向

通过求解SVD即可得到拟合后的平面方程系数a、b、c、e，从而得到拟合后的平面方程aX+bY+cZ+e＝0。

设优化后的激光追踪仪站位坐标为P_j′(X_j′,Y_j′,Z_j′)。根据直线P_jP_j′与平面 aX+bY+cZ+e＝0的法向量

平行，直线P_jP_j′的参数方程为

将(X_j′,Y_j′,Z_j′)代入到平面方程aX+bY+cZ+e＝0中，得到

将λ代入到式(17)中，即得到优化后的激光追踪仪站位坐标P_j′(X_j′,Y_j′,Z_j′)。

与现有技术相比较，本发明的有益效果为：利用Levenberg-Marquardt算法及协方差矩阵的奇异值分解变换方法优化激光追踪仪站位坐标。所提出的基于激光追踪仪多站位测量系统的激光追踪仪站位坐标优化方法，可以提高激光追踪仪站位坐标精度，从而使多轴机床的修正结果达到更高的精度。

附图说明

图1是搭建的激光追踪仪多站位测量模型

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步的详细说明，以令本领域技术人员参照说明书文字能够据以实施。

搭建如图1所示的激光追踪仪多站位测量系统的实验平台，通过以下步骤进行激光追踪仪站位坐标的优化：

步骤一：搭建激光追踪仪多站位测量系统。测量系统中三坐标测量机为海克斯康公司的Leitz Infinity，高精密转台的型号为RT400，激光追踪仪为Etalon公司的LaserTracer，型号为07 2009 TR IF。规划出三坐标测量机待测点空间范围为450×600×450mm³。在此空间范围内规划待测点个数为n＝64，激光追踪仪站位个数为m＝11。待测点空间范围内采样点路径规划中，CMM测量空间内待测点的坐标为A_i(x_i,y_i,z_i)，其中i＝1,2,3,…,n(n为待测点个数)；激光追踪仪的站位坐标为P_j(X_j,Y_j,Z_j)，其中j＝1,2,3,…,m(m为激光追踪仪站位个数)；激光追踪仪内部标准球的球心为O；激光追踪仪在每个站位P_j到初始待测点A₁点的距离为 d_j；激光追踪仪测量得到的高精度干涉测长值为l_ij。根据三维空间中两点距离公式建立下列关系式，得到激光追踪仪在每个站位对应到待测点的距离d_ji：

将激光追踪仪固定安装在转台转角-145°位置上。记此位置为激光追踪仪的第一个站位P₁。控制三坐标测量机测头移动到待测点A₁。设置转台逆时针转动 30°。激光追踪仪随转台一同转动。分别记录激光追踪仪从第一个站位P₁等角度转动至第11个站位P₁₁的干涉测长值l_1j。控制三坐标测量机测头沿待测空间范围内的规划路径从待测点A₁移动至A₂。分别记录激光追踪仪从第一个站位P₁等角度转动至第11个站位P₁₁的干涉测长值l_2j。控制三坐标测量机测头沿待测空间范围内的规划路径从待测点A₁移动至A_i。依次记录激光追踪仪从第一个站位P₁等角度转动至第11个站位P₁₁的干涉测长值l_ij。实验过程中总共记录704 个激光追踪仪干涉测长值。

步骤二：基于Levenberg-Marquardt算法的激光追踪仪站位自标定。激光追踪仪的精度为亚微米级，本文搭建的激光追踪仪多站位测量系统的精度需求为亚微米级，即ε＝10^-4。通过对参数一系列的试验，观察标定后的激光追踪仪站位坐标，得出参数的最优设置，即β＝0.55，σ＝0.4。

步骤三：参数μ_i选择。测量系统中，初始值μ_i设定方式为||f_i(X₀,Y₀,Z₀,d₀)||， X₀＝-64.9938，Y₀＝-6.6256，Z₀＝122.5133，d₀＝1128.5363。通过计算得出μ₀＝0.75。根据公式(14)，得知符合L-M算法参数μ_i的规则。根据激光追踪仪初始站位坐标值(X₀,Y₀,Z₀)以及激光追踪仪站位到初始待测点的初始距离值d₀的设定，以及L-M算法中参数的选择。通过迭代得出激光追踪仪站位坐标P_j(X_j,Y_j,Z_j)以及激光追踪仪站位到初始待测点距离d_j，如表1所示。

表1激光追踪仪站位坐标及其到初始待测点的距离(单位：mm)

步骤四：激光追踪仪站位坐标优化。根据SVD变换中最小奇异值对应的平面向量即为拟合后平面方程的法向向量。平面方程aX+bY+cZ+e＝0的系数分别为a＝1.9405×10^-5，b＝1.5739×10^-5，c＝0.9999，e＝-122.5119。即可得出拟合平面方程。根据式(18)以及得出的平面方程系数a，b，c，e值，计算得到λ＝-0.0013。优化后的激光追踪仪站位坐标如表格2所示。

表2优化后的激光追踪仪站位坐标(单位：mm)

通过搭建激光追踪仪多站位测量实验系统。三坐标测量机的待测点空间范围为450×600×450mm³，待测点个数64，激光追踪仪站位个数11，转台转角范围为[-145°,155°]，转台等间隔转动角度为30°。通过表1与表2的激光追踪仪站位坐标值，能够得出在上述实验条件下得出，利用Levenberg-Marquardt算法以及采用协方差矩阵的奇异值分解(Singular Value Decomposition)变换得到优化后的激光追踪仪站位坐标精度得到了提高。

Claims (1)

1.基于激光追踪仪多站位测量系统的大型精密转台标定方法，其特征在于：包括以下步骤，

步骤一：搭建激光追踪仪多站位测量系统；本系统搭建需要一台三坐标测量机CMM、转台以及一台激光追踪仪；激光追踪仪的猫眼反射镜固定在三坐标测量机的测头上，并作为待测点；猫眼反射镜与三坐标测量机的测头运动轨迹相同；当三坐标测量机控制测头在测量空间范围内移动时，猫眼反射镜也同时跟随多轴机床的测头移动；激光追踪仪发出的激光束入射到猫眼反射镜上，并反射回激光追踪仪的跟踪头；激光追踪仪接收到猫眼反射镜的反射光束后，实现猫眼反射镜即待测点与激光追踪仪之间相对位移的测量；

在CMM坐标系下，令CMM测量空间内待测点的坐标为A_i(x_i,y_i,z_i)，其中i＝1,2,3,…,n，n为待测点个数；激光追踪仪的站位坐标为P_j(X_j,Y_j,Z_j)，其中j＝1,2,3,…,m，m为激光追踪仪站位个数；激光追踪仪内部标准球的球心为O；激光追踪仪在每个站位P_j到初始待测点A₁点的距离为d_j；激光追踪仪测量得到的高精度干涉测长值为l_ij；根据三维空间中两点距离公式建立下列关系式，得到激光追踪仪在每个站位对应到待测点的距离d_ji：

步骤二：基于Levenberg-Marquardt算法的激光追踪仪站位自标定；根据式(1)，令

记f(x)＝(f₁(x),f₂(x),...,f_n(x)),则有

式中，Rⁿ为n维实数集，n为待测点个数；

将目标函数F的梯度记为g(x)，得到

式中，

采用Levenberg-Marquardt算法(L-M)进行迭代，通过迭代得出激光追踪仪站位坐标以及激光追踪仪站位到初始待测点的距离；设迭代的搜索方向为h_k，k为迭代次数，k≥1，有

式中，μ_k＞0，μ_k为调整搜索方向引入的正参数，f为误差方程的集合，J_k为第k次迭代误差方程的梯度矩阵，h为搜索方向的集合；

由最优性条件，h_k满足

其中，I为n阶单位矩阵；

求解式(6)，得

h_k＝-(J_k ^TJ_k+μ_kI)^-1J_k ^Tf_k (7)

式中，

令m_k′是满足式(8)-(11)的最小非负整数m′，即

式中，σ∈(0,1)，β∈(0,1)；

为保证h_k是f_k(x)在x_k＝[X_kj Y_kj Z_kj d_kj]处的下降方向，迭代时先设置μ_k的初始值，通过计算h_k，不断地调整μ_k；根据激光追踪仪多站位测量系统实际需求的容许误差ε，通过迭代即可标定出激光追踪仪站位坐标P_j(X_j,Y_j,Z_j)以及激光追踪仪站位到初始待测点的距离d_j；

步骤三：参数μ_k选择；Levenberg-Marquardt算法的关键在于参数μ_k的选择，根据当前第k次迭代点，假定二次函数为

式中，F_k为目标函数；

用r_k表示目标函数与二次函数的增量之比，得

当r_k接近于0或者1，都需要对此参数进行调整；r_k的临界值为0.25和0.75，得到参数μ_k选择规则为

迭代过程中，给定μ_k初始值，取每一次迭代步的值作为下一次迭代的初始值；根据计算得到的h_k以及r_k，选择参数μ_k；根据选择的参数μ_k，计算h_k并进行线搜索，进而完成迭代过程；

步骤四：激光追踪仪站位坐标优化；由于激光追踪仪自身重量的影响，转台的转动轴与工作台平面不垂直，导致激光追踪仪站位存在误差；为提高激光追踪仪自标定算法得到的站位坐标精度，采用协方差矩阵的奇异值分解SVD变换进行平面拟合；将自标定算法得到的激光追踪仪m个站位坐标拟合成一个平面；拟合平面满足激光追踪仪m个站位的坐标到拟合平面距离的残差最小；将激光追踪仪m个站位坐标投影到拟合平面上，即可得到优化后的激光追踪仪站位坐标；

协方差矩阵的奇异值分解SVD分解原理为

A＝UΣV^T (15)

式中，U为左奇异正交向量矩阵，Σ为对角奇异值矩阵，V为右奇异正交向量矩阵；

设拟合平面为

aX+bY+cZ+e＝0 (16)

最小奇异值对应的奇异向量即为拟合后的平面方程法向量方向

通过求解SVD即可得到拟合后的平面方程系数a、b、c、e，从而得到拟合后的平面方程aX+bY+cZ+e＝0；

设优化后的激光追踪仪站位坐标为P_j′(X_j′,Y_j′,Z_j′)；根据直线P_jP_j′与平面aX+bY+cZ+e＝0的法向量

平行，直线P_jP_j′的参数方程为

将(X_j′,Y_j′,Z_j′)代入到平面方程aX+bY+cZ+e＝0中，得到

将λ代入到式(17)中，即可得到优化后的激光追踪仪站位坐标P_j′(X_j′,Y_j′,Z_j′)；

步骤五：转台转动轴圆心拟合；激光追踪仪的站位随着转台转动轴的转动而发生改变；

设O(x_c,y_c,z_c)为优化后的激光追踪仪站位坐标P_j′(X_j′,Y_j′,Z_j′)拟合圆的圆心，R为拟合圆的半径，θ为转台理论转动的角度，θ′为转台实际转动的角度；

设激光追踪仪在转台上转动时所形成的平面在平面z＝z_c上的投影方程式为

(X_j′-x_c)²+(Y_j′-y_c)²＝R² (19)

式中，x_c为拟合圆的圆心在x轴方向的坐标值，y_c为拟合圆的圆心在y轴方向的坐标值；

根据非线性最小二乘法原理可以将目标函数定义为：

令g(X_j′,Y_j′)＝(X_j′-x_c)²+(Y_j′-y_c)²-R²，有

为使目标函数f最小，式(21)应满足下列条件

设

其中

则得

由式(23)解得

则有

根据式(16)得

综上得到激光追踪仪站位拟合圆的圆心坐标(x_c,y_c,z_c)；

步骤六：大型精密转台的定位精度标定；转台转动时，根据优化后的激光追踪仪站位坐标与拟合圆心(x_c,y_c,z_c)，得到转台实际转动的角度θ′_j为

式中，P_j-1′为激光追踪仪优化后的第j-1个站位坐标，P_j′为激光追踪仪优化后的第j个站位坐标；

当激光追踪仪站位坐标个数为m时，转台转动(m-1)次；根据式(28)得转动误差Δθ_j为

Δθ_j＝θ′_j-θ_j (29)

其中，θ_j为转台的理论转动角度，j＝1...m-1；

采用多次测量取平均值方式得到激光追踪仪多站位测量方式标定转台定位精度

为

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